Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016

Transkriptio

1 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 216 Tuntitehtävä 1: Laske sylinterikoordinaatteja käyttämällä sen kappaleen tilavuus, joka on pinnan z = x 2 + y 2 yläpuolella ja pallopinnan x 2 + y 2 + z 2 = 2 sisällä. Ratkaisu 1: Tilanne esitetty kuvassa 1. Tehdään sylinterikoordinaattimuunnos x rcosθ, y rsinθ, jolloin integrointijoukolle pätee: josta saadaan (integroimisrajat): r 2 + z 2 2 r z 2, r z 2 r 2 r 1, ja ottamalla vielä huomioon, että tilavuuselementti on sylinterikoordinaateissa dv = rdrdθdz, saadaan tilavuudeksi integroimalla alueen yli (huom. integrointijärjestystä muutettu, z ensin): V = 2π 2 r 2 = 2π r 2 r 2 r rdzdrdθ rdzdr = 2π (r 2 r 2 r r)dr = 2π( 1 3 (2 r2 ) 3/2 2 5 r5/2 ) = 2π( ) 1 Tiedostoa viimeksi muokattu: 2. syyskuuta 216 1/9

2 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Kuva 1: Tehtävan 1 pintojen väliin jäävä tilavuus. Tuntitehtävä 2: Hahmottele seuraavat vektorikentät ja etsi niiden kenttäviivat a) F(x, y) = yi + xj b) F(x, y) = e x i + e x j Ratkaisu 2: Sileän vektorikentän F kenttäviiva r(t), t (a, b), toteuttaa ehdon r (t) = λ(t)f(r(t)) jollakin λ(t) >, kun t (a, b). Kun haetaan separoituvaa ratkaisua, saadaan tasovektorikentän F(x, y) = F 1 (x, y)i + F 2 (x, y)j tapauksessa kätevä muoto dx F 1 (x, y) = dy F 2 (x, y). a) Vektorikentän F(x, y) = yi + xj kenttäviivat määräytyvät yhtälöstä dx y = dy x = y dy = x dx = y 2 = x 2 + C, C R. b) Vektorikenttä on F(x, y) = e x i + e x j, kuten edellä saadaan dx e = dy = dy = e 2x dx = y = 1 x e x 2 e 2x + C, C R. Tiedostoa viimeksi muokattu: 2. syyskuuta 216 2/9

3 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Kuva 2: Tehtävän 2a vektorikenttä. Kuva 3: Tehtävän 2b vektorikenttä. Tiedostoa viimeksi muokattu: 2. syyskuuta 216 3/9

4 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Tuntitehtävä 3: Joukon R hitausmomentti suoran L suhteen määritellään kaavalla I = r 2 ρdv, jossa r = r(x, y, z) on etäisyys suorasta L ja ρ = ρ(x, y, z) on tiheysjakauma. Määritä sylinterin R = {(x, y, z) R 3 : 1 x 2 + y 2 2, 1 z 1} hitausmomentti z-akselin suhteen, kun tiheys ρ on vakio. Ratkaisu 3: Lasketaan sylinterin hitausmomentti z-akselin suhteen. Ilmeisen sylinterisymmetrian vuoksi tehdaan sylinterikoordinaattimuunnos (r 2 = x 2 + y 2 ). Koska kyseisessä koordinaatistossa r on etäisyys z-akselista, saadaan: I = r 2 ρdv = (ρ vakio) ρ r 2 dv R R Nyt koordinaattimuunnoksen jälkeen sylinteri on: jolloin saadaan: R = {(r, θ, z) R 3 : 1 r 2 2, 1 z 1}, I = ρ = ρ = ρ = ρ R 2π π π π dz dθ r 2 dv r 2 rdrdθdz r 3 drdθdz 2 1 r 3 dr = ρ 2 2π 1 (( 2) 1 ) = 3πρ Tiedostoa viimeksi muokattu: 2. syyskuuta 216 /9

5 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Palautettava tehtävä : Laske tasojen x + z = 1, y z = 1 ja pinnan x 2 + y 2 = 1 rajoittaman kappaleen massa, kun sen tiheys noudattaa funktiota δ(x, y, z) = x + y + 3. Ratkaisu : Hahmotellaan kappaleen R muotoa Mathematican avulla. Tasot x + z = 1 ja y z = 1 leikkaavat toisensa suoralla y = x. Ajatellaan kappaletta kahtena erillisenä sylinterilohkona. Ensimmäista rajoittaa ylhäältä taso x + z = 1 ja toista y z = 1. Yksittäinen lohko on esitetty kuvassa ja koko rajattu kappale kuvassa. Kappaleen poikkileikkaus xy-tasossa on siis ympyrä. Poikkileikkauksen erottaa kahteen eri kappaleeseen suora y = x. Kappaleen rajat voidaan kirjoittaa sylinterikoordinaateissa esim. seuraavasti kahtena erillisenä kappaleena: R 1 = {(r, θ, z) R 3 : r 1, π θ 3π, 1 r cos θ z 1 + r sin θ} R 2 = {(r, θ, z) R 3 3π : r 1, θ 7π, 1 + r sin θ z 1 r cos θ} Tiheysfunktio on nyt ρ(r, θ, z) = r cos θ + r sin θ + 3, jolloin massa on: M = ρ(r, θ, z)dv = = = = R 3π 1+r sin θ π 3π π 3π π + 1 r cos θ +r sin θ 1 r cos θ ρ(r, θ, z) rdzdθdr + 7π 3π (r cos θ + r sin θ + 3) rdzdθdr + r cos θ ρ(r, θ, z) rdzdθdr 1+r sin θ 7π 1 r cos θ r(r cos(θ) + r sin(θ))(3 + r cos(θ) + r sin(θ)) dθdr 7π 3π r 2 (6 2 + πr)dr + 3π 1+r sin θ r( r sin θ r cos θ)(r sin θ + r cos θ + 3)) dθdr = 1 (8 2 + π) π = 2 r 2 ( πr)dr (r cos θ + r sin θ + 3) rdzdθdr Tiedostoa viimeksi muokattu: 2. syyskuuta 216 5/9

6 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Kuva : Tehtävän puolikkaan kappaleen muoto. Kuva 5: Tehtävän kappaleen muoto. Tiedostoa viimeksi muokattu: 2. syyskuuta 216 6/9

7 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Palautettava tehtävä 5: Näytä, että vektorikenttä F(x, y) = (2xe xy + x 2 ye xy )i + (x 3 e xy + 2y)j on konservatiivinen ja määritä sen potentiaalifunktio. Ratkaisu 5: Näytetään, etta vektorikenttä F(x, y, z) on konservatiivinen, ts. että on olemassa skalaarifunktio φ siten, että: φ = F (1) Oletetaan, että (1) patee. Tälloin Edelleen φ x = 2xexy + x 2 ye xy φ(x, y, z) = (2xe xy + x 2 ye xy ) dx = x 2 e xy + C(y) φ y = y (x2 e xy + C(y)) = x 3 e xy + C (y) = x 3 e xy + 2y C(y) = y 2 + C vakio Eli vektorikenttä F on konservatiivinen ja sen potentiaalifunktio on φ(x, y, z) = x 2 e xy +y 2 +C vakio. Huomio: vektorikenttä voidaan todeta konservatiiviseksi myös tutkimalla seuraavia ekvivalentteja ehtoja F = tai F 1 = F 2, F 2 = F 3, F 3 = F 1. dy dx dz dy dx dz Palautettava tehtävä 6: Newtonin gravitaatiolain mukaan massallinen kappale vetää massallisia kappaleita puoleensa voimalla, jonka suuruus on kääntäen verrannollinen kappaleiden välisen etäisyyden neliöön. Esitä origoon sijoitetun kappaleen (massa M > ) muodostama gravitaatiokenttä a) pallokoordinaateissa b) karteesisissa koordinaateissa. Hahmottele kenttäviivoja. Ratkaisu 6: Origossa olevan pistemäisen kappaleen (massa M > ) aiheuttama gravitaatiokenttä on: g(r) = km ˆr r 2, missa k > on gravitaatiovakio ja r = xi+yj+zk kappaleiden (pisteiden) välinen paikkavektori. a) Pallokoordinaateissa: g(r, θ, φ) = km r 2 (cos θ sin φî + sin θ sin φĵ + cos φˆk) b) Karteesisissa koordinaateissa: km ( x g(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 x2 + y 2 + z î + 2 y x2 + y 2 + z 2 ĵ + z x2 + y 2 + z 2 ˆk) Kenttäviivat (vektorikenttä) ovat esitetty kuvassa 6. Kuten kuvasta nähdään, gravitaatiokenttä osoittaa jokaisessa pisteessä kohtisuorasti kohti keskipistettä. Tiedostoa viimeksi muokattu: 2. syyskuuta 216 7/9

8 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Kuva 6: Gravitaatiokent n vektorimuodossa. Palautettava tehtävä 7: Esitä parametrisaatiot seuraaville käyrille a) jana, joka kulkee pisteestä (1, 2, 3) pisteeseen (, 5, 6). b) ympyräkaari, jonka keskipiste on ( 1, 2) ja säde 8. c) funktion y = sin(x) kuvaaja, kun x [ π, π]. Ratkaisu 7: a) Parametrisoidaan jana pisteestä (1,2,3) pisteeseen (,5,6). Merkitään u = i + 2j + 3k ja v = i + 5j + 6k. Jana voidaan nyt parametrisoida esim. seuraavasti r = r(t) = u + t(v u) = i + 2j + 3k + t(3i + 3j + 3k), t [, 1] b) Yksikköympyrän parametrisaario on esim. r(t) = cos ti + sin tj, t [, 2π], josta esim. 8-säteinen = r(t) = 8(cos ti + sin tj), t [, 2π], ja siirretään keskipistettä = r(t) = 8(cos ti + sin tj) + ( i + 2j), t [, 2π]. Tiedostoa viimeksi muokattu: 2. syyskuuta 216 8/9

9 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 c) Parametrisoidaan funktio y = sin x seuraavasti. Kuvaaja koostuu pisteistä, jotka ovat muotoa (x, f(x)), ja x [ π, π]. Tästa helposti kuvaajan parametrisaatioksi esim. r(t) = ti + sin tj, t [ π, π]. Tiedostoa viimeksi muokattu: 2. syyskuuta 216 9/9