DYNAMIIKKA II, LUENTO 4 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
|
|
- Niko Seppälä
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 DYNAMIIKKA II, LUENTO 4 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
2 LUENNON SISÄLTÖ Kertausta: jäykkä kappale, kulma-asema, Eulerin kulmat, kulmanopeus. Suhteellinen liike: Vektorin muutosnopeudet eri koordinaatistoissa. Suhteellisen liikkeen yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin nopeus ja kiihtyvyys. Jäykän kappaleen suhteellinen liike.
3 KERTAUS
4 KERTAUS: JÄYKKÄ KAPPALE Kappalekoordinaatisto (kuvassa akselit x, y ja z) on sidottu liikkuvaan kappaleeseen, joten sen kanta ei ole vakio (origo nk. mielivaltaisessa siirtopisteessä). Kappaleen yleinen siirtymä voidaan esittää suorittamalla sen (1) siirtopisteen translaatio ja (2) rotaatio siirtopisteen kautta kulkevan suoran ympäri. z Z C ρ CP y r C Y x P r = r C + ρ CP X
5 KERTAUS: JÄYKKÄ KAPPALE Kappalekoordinaatisto helpottaa kappaleeseen vaikuttavien voimien, kuten esimerkiksi ilmanvastuksen tai lentokoneen nosteen kuvaamista. Jatkossa myös huomataan: jäykän kappaleen liikeyhtälöiden käsittely helpottuu erittäin paljon oikein valitun kappalekoordinaatiston avulla. z Z C ρ CP y r C Y x P r = r C + ρ CP X
6 KERTAUS: KULMA-ASEMA Kulma-asema (ei ole vekori): 3 parametria: esim. kuvan ϕ, θ, Ψ Kulmanopeus (vektori): ω = ω(ϕ, θ, Ψ, ϕ, θ, Ψ) Kulmakiihtyvyys (vektori): α = α(ϕ, θ, Ψ, ϕ, θ, Ψ) (= ω) ϕ = phi θ = theta Ψ = psi ξ = xi η = eta ζ = zeta
7 KERTAUS: EULERIN KULMAT JA 1. ROTAATIO (PRESESSIO) Z, z Perusrotaatio Z-akselin ympäri: y cos ϕ sin ϕ 0 L(ϕ) Z = sin ϕ cos ϕ ϕ Apukoordinaatisto x y z (i j k -kanta): Y Käytetään apuna rotaatioiden konstruoimisessa. x ja y säilyvät xy-tasossa. X x i j k I = L(ϕ)Z J K
8 KERTAUS: EULERIN KULMAT JA 2. ROTAATIO (NUTAATIO) ζ θ η Perusrotaatio x -akselin ympäri: L(θ) x = 0 cos θ sin θ 0 sin θ cos θ e ξ e η e ζ x, ξ = L(θ) x i j k Välikoordinaatisto ξηζ (e ξ e ηe ζ -kanta): Ajatellaan yleensä kiinnitetyksi tarkasteltavaan kappaleeseen. ζ-akseli yhtyy usein kappaleen symmetria-akseliin. Helpottaa usein liikkeen kuvaamista. I = L(θ) x L(ϕ) Z J K (huomaa, että L(θ) x tekee perusrotaation L(ϕ) Z :n kääntämässä koordinaatistossa.)
9 KERTAUS: EULERIN KULMAT JA 3. ROTAATIO (SPINNI) ζ, z y η Perusrotaatio ζ-akselin ympäri: cos Ψ sin Ψ 0 L(Ψ) ζ = sin Ψ cos Ψ Ψ i j = L(Ψ) ζ k e ξ e η e ζ ξ x Kappalekoordinaatisto xyz (ijk-kanta): = L(Ψ) ζl(θ) x ajatellaan yleensä kiinnitetyksi tarkasteltavaan kappaleeseen. z-akseli yhtyy usein kappaleen symmetria-akseliin. välikoordinaatisto ei spinnaa, kappale spinnaa. i j k x- ja y-akselit pysyvät ξη-tasossa. I = L(Ψ) ζl(θ) x L(ϕ) Z J K
10 KERTAUS: EULERIN KULMAT JA KAIKKI ROTAATIOT ζ, z θ ϕ y Ψ x η Saatiin kokonaisuudessaan kappaleja inertiaalikoordinaatiston välinen yhteys: i I j = L(Ψ) ζl(θ) x L(ϕ) Z J k K Kertomalla matriisit auki, saadaan alla esitetty yhteys koordinaatistojen välille. ξ i cϕcψ cθsϕsψ cψsϕ cθcϕsψ sψsθ I j = cθcψsϕ cϕsψ cθcψcϕ sϕsψ cψsθ J k sϕsθ cϕsθ cθ K
11 KERTAUS: EULERIN KULMAT JA KULMANOPEUDET ζ,z Ψ θ φ y η φ Ψ θ ξ x Kappaleen kulmanopeus ω = ω( Ψ, θ, ϕ, Ψ, θ, ϕ) on puolestaan eri kannoissa: ω =( θ Φ + Ψ θ φ) +( θ φ Ψ θ φ) +( φ + Ψ θ) Inertiaali-k: ω =( θcφ + Ψsθsϕ)I ω = + θ ξ ( + φ θ η +( Ψ + φ θ) + ( ϕ ζ + Ψcθ)K Väli-k: ω = θe ω =( θ Ψ + φ θ Ψ) +( φ θ Ψ θ Ψ) +( φ θ + Ψ), ξ + ϕsθe η + ( Ψ + ϕcθ)e ζ Kappale-k: ω =( θcψ + ϕsθsψ)i + ( ϕsθcψ θsψ)j + ( ϕcθ + Ψ)k. Nämä esitykset saadaan kantavektoreiden välisiä yhteyksiä (edellä olleet L:t).
12 KERTAUS: ESIMERKKI Oheisen kuvan sauvaan kiinnitetty levy on nivelöity kitkattomasti pisteeseen O. Kappale pyörii symmetria-akselinsa ympäri vakiokulmanopeudella ω s ja pystyakselin ympäri vakiokulmanopeudella ω p. Esitä kappaleen kulmanopeus ja -kiihtyvyys Eulerin kulmiin liittyvässä välikoordinaatistossa ξηζ.
13 DYNAMIIKKA II: L4: JÄYKÄN KAPPALEEN KINEMATIIKKA Arttu Polojärvi
14 OPPIMISTAVOITTEET Tämän luennon jälkeen opiskelija: Ymmärtää kuinka saadaan johdettua yhteys toistensa suhteen liikkeessä olevista koordinaatistoista tehdyt havainnot muutosnopeuksista. Osaa ratkaista suhteellisen liikkeen kaavoja käyttäen aboluuttisen nopeuden ja kiihtyvyyden partikkelille, jonka nopeus ja kiihtyvyys tunnetaan liikkuvassa koordinaatistossa. Osaa soveltaa jäykän kappaleen suhteellisen liikkeen kaavoja ratkaistakseen jäykän kappaleen kulmanopeuden ja -kiihtyvyyden suhteellisiin havaintoihin perustuen.
15 SUHTEELLINEN LIIKE
16 SUHTEELLINEN LIIKE: INVARIANSSI Skalaarit: suuruus säilyy kaikissa kannoissa (esim. massa ei riipu kannasta). Skalaarin aikaderivaatta: ei myöskään riipu kannasta ( ) ( ) da da = (tässä ja jatkossa derivaatta (d/) A on havaitsijan ottama A jne.) A Vektorit: voidaan aina kirjoittaa missä tahansa kannassa ja sen suunta ja suuruus säilyvät vaikkakin komponentit muuttuvat aina valitun kannan mukaan a = a X I + a Y J + a Z K = a x i + a y j + a z k Vektorin aikaderivaatta: voi riippua kannasta (tarkemmin: niiden liikkeestä) ( ) ( ) da da A Huomaa: vektorin komponenttien kertoimet (a X, a x,...) ovat skalaareita. Suhteellinen näkemys: helpottaa usein monimutkaisten systeemien tarkastelua. B B
17 SUHTEELLINEN LIIKE: MUUTOSNOPEUDEN HAVAINNOT Suhteellisen liikkeen tarkastelu yhdistää eri koordinaatistoista tehdyt havainnot: saadaan myös relaatio suhteellisen ja absoluuttisen muutosnopeuden välille. Tarvittavat työkalut: vakiovektorin muutosnopeus ė = ω e, tulon derivointi ja vektorin ja skalaarin invarianssi koordinaatiston muuunnoksen suhteen. Huomaa tässä ensin oletettavan ainoastaan, että havaitsija ajattelee kantansa olevan vakio mjtta ei välttämättä inertiaalikanta (ei oteta vielä liikelakeihin kantaa).
18 SUHTEELLINEN LIIKE: MUUTOSNOPEUDEN HAVAINNOT Ongelma: muodosta yhteys vektorin a muutosnopeuden eri kannoista tehtyjen havaintojen ( ) ( ) da da ja A B välille. Tässä oletetaan A:n ja B:n kannat ovat liikkeessä toistensa suhteen (B:n kannan kulmanopeus Ω A:n kannan suhteen).
19 SUHTEELLINEN LIIKE: MUUTOSNOPEUDEN HAVAINNOT Kirjoitetaan tarkasteltava vektori a kahdessa kannassa IJK ja ijk a = a X I + a Y J + a Z K = a x i + a y j + a z k. Nyt A olettaa IJK-kantansa vakioksi ja derivoi edellistä esitystä ȧ = ȧ X I + ȧ Y J + ȧ Z K = ȧ x i + ȧ y j + ȧ z k + a x i + ay j + az k = ȧ xi + ȧ yj + ȧ zk + a x(ω i) + a y(ω j) + a z(ω k) = ȧ xi + ȧ yj + ȧ zk + ω (a xi + a yj + a zk) }{{}}{{} =(da/) B =ω a ( ) da = A ) + ω a ( da B Viimeisestä yhtälöstä saat myös havainnon (da/) B - vaikuttaako tulos järkevältä?
20 SUHTEELLINEN LIIKE: ABSOLUUTTINEN HAVAINTO A:n ollessa oikeasti inertaalikoordinaatisto, voidaan muutosnopeuden yhtälössä käyttää merkintöjä jossa ȧ = ( ) da A ȧ = ȧ r + ω a, ja ȧ r = ( ) da B ja alaindeksi r viittaa suhteelliseen havaintoon. Usein myös merkitään Ω suhteellisen havainnon koordinatiston kulmanopeudelle inertiaalikoordinaatiston suhteen.
21 SUHTEELLINEN LIIKE: YHTÄLÖT Suhteellisen liikkeen yhtälöt vastaavat seuraavaan ongelmaan: z Z ω C ρ y r C Y x r = r C + ρ P X Pisteen P paikka (paikkavektori ρ), nopeus ja kiihtyvyys mitataan liikkuvassa koordinaatistossa (akselit xyz, ijk-kanta). Tunnettakoon liikkuvan koordinaatiston origon paikka ja liike (paikkavektori r C, kulmanopeus ω) inertiaalikoordinaatistossa (akselit XY Z, IJK-kanta). Mitkä ovat pisteen P absoluuttisen nopeuden ja kiihtyvyyden esitykset?
22 SUHTEELLINEN LIIKE: YHTÄLÖT z Z ω ρ y x Y = + ρ X Derivoimalla edeltä esitystä r = r C + ρ saadaan (kannattaa johtaa ) XY Z ρ Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt Nopeus: Kiihtyvyys: v = ṙ C + ρ r + ω ρ a = r C + ρ r + ω ρ + ω (ω ρ) + 2ω ρ r (alaviite r viittaa suhteellisiin derivaattoihin)
23 SUHTEELLINEN LIIKE: YHTÄLÖIDEN JOHTO Nopeus: v = ṙ = d (r C + ρ) = ṙ Cx I + ṙ Cy J + ṙ Cz K + ρ x i + ρ y j + ρ z k + ρ x i + ρy j + ρz k = ṙ CxI + ṙ CyJ + ṙ CzK + ρ xi + ρ yj + ρ zk + ω (ρ xi + ρ yj + ρ zk) }{{}}{{}}{{} ṙ C ρ r ω ρ eli Kiihtyvyys: v = ṙ C + ρ r + ω ρ a = r = d (ṙ C + ρ r + ω ρ) = r C + ( ρ x i + ρ y j + ρ z k) + ( ρ x i + ρy j + ρz k) + ω (ρ x i + ρ y j + ρ z k) + }{{}}{{}}{{} = ρ r =ω ρ r = ω ρ ω ( ρ xi + ρ yj + ρ zk) + ω (ρ x i + ρy j + ρz k) }{{}}{{} =ω ρ r =ω (ω ρ) eli a = r C + ρ r + ω ρ + ω (ω ρ) + 2ω ρ r
24 SUHTEELLINEN LIIKE: TAPAUS JÄYKKÄ KAPPALE z Z ω ρ y Y x = + ρ X Eli siis jäykälle kappaleelle kappalekoordinaatistosta havainnoituna ρ CP = 0, koska kappaleen partikkeleiden C ja P etäisyys on vakio. Toisin sanoen ρ r = 0 jäykälle kappaleelle.
25 SUHTEELLINEN LIIKE: TAPAUS JÄYKKÄ KAPPALE z Z ω ρ y Y x = + ρ X Koska jäykälle kappaleelle kappalekoordinaatistossa ρ r = 0 Jäykän kappaleen partikkelin partikkelin nopeus ja kiihtyvyys asema: r = r C + ρ CP nopeus: v = ṙ C + ω ρ CP kiihtyvyys: a = r C + ω ρ CP + ω (ω ρ CP ),
26 SUHTEELLINEN LIIKE: ESIMERKKI Z R säteinen kiekko vierii XY -tasolla liukumatta siten, että sen keskipiste O etenee vakionopeudella v = vj. Mikä on tällöin kiekon kulmanopeus ω? Y O P ω v X
27 JÄYKÄN KAPPALEEN SUHTEELLINEN LIIKE
28 JÄYKÄN KAPPALEEN SUHTEELLINEN LIIKE: ONGELMA Oheisen kuvan mukainen laiva on aallokon vuoksi liikkeessä s.e. sen kulmanopeus on laivan xyz-kappalekoordinaatistossa ω x (vakio) x-akselin suhteen ja ω y (vakio) y-akselin suhteen. Tarkasteluhetkellä koordinaatistot xyz ja XY Z yhtyvät. Samaan aikan laivan tuulimittari pyörii kulmanopeudella ω (vakio) oman akselinsa ympäri. Mikä on tuulimittarin kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys kappalekoordinaatistossa?
29 JÄYKÄN KAPPALEEN SUHTEELLINEN LIIKE Dynamiikan ongelmia helpottamaan vastataan siis seuraavaan kysymykseen: Edellä olevan perusteella saadaan johdettua yhteydet kulmanopeuksien ja - kiihtyvyyksistä tehtyjen havaintojen välille yhteydet. Kuvassa: haetaan B kulmanopeutta ja -kiihtyvyyttä, kun A:n suhteellinen havainto niistä tiedetään ja A:n oman kannan vastaavat tunnetaan inertiaalikoordinaatistossa C. Kulmanopeus: Kulmakiihtyvyys: ω = Ω + ω r α = Λ + α r + Ω ω r Näissä yhtälöissä ω, α B:n kulmanopeus ja -kiihtyvyys (abs.) Ω, Λ A:n kannan kulmanopeus ja -kiihtyvyys (abs., Ω = Λ) ω r, α r A:n havainto B:n kulmanopeudesta ja -kiihtyvyydestä (suht.)
30 JÄYKÄN KAPPALEEN SUHTEELLINEN LIIKE Kuinka saadaan absoluuttinen kulmanopeus ja -kiihtyvyys (ω ja α), jos (1) niistä tehdyt suhteelliset havainnot (ω r ja α r ) ja (2) suhteellisen havainnon tekijän kannan kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Ω ja Λ) tunnetaan? Käytetään hyväksi edellä johdettuja yhtälöitä eri havaintojen välillä: ( ) ( ) da da = + Ω a (1) C A ( ) ( ) da da = + ω r a (2) A B ( ) ( ) da da = + ω a (3) C B ja ratkaistaan yhtälön (3) tuntematon absoluuttinen kulmanopeus ω. Tässä a on mielivaltainen vektori.
31 JÄYKÄN KAPPALEEN SUHTEELLINEN LIIKE Käytetään hyväksi edellä johdettuja yhtälöitä eri havaintojen välillä: ( ) ( ) da da = + Ω a (1) C A ( ) ( ) da da = + ω r a (2) A B ( ) ( ) da da = + ω a (3) C B ja ratkaistaan yhtälön (3) tuntematon absoluuttinen kulmanopeus ω. Tässä a on mielivaltainen vektori.
32 JÄYKÄN KAPPALEEN SUHTEELLINEN LIIKE Käytetään hyväksi edellä johdettuja yhtälöitä eri havaintojen välillä: ( ) ( ) da da = + Ω a (1) C A ( ) ( ) da da = + ω r a (2) A B ( ) ( ) da da = + ω a (3) C B ja ratkaistaan yhtälön (3) tuntematon absoluuttinen kulmanopeus ω. Tässä a on mielivaltainen vektori. Sijoita (da/) A yhtälöstä (2) yhtälöön (1) ja vähennä tulos yhtälöstä (3) (ω Ω ω r) a = 0, ja a mielivaltainen ω Ω ω r = 0 ω = Ω + ω r (4)
33 JÄYKÄN KAPPALEEN SUHTEELLINEN LIIKE Kulmakiihtyvyyden α:n ratkaisemiseksi derivoidaan ω = Ω + ω r ajan suhteen: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dω dω dωr dω dωr α = = + = + + Ω ω r. C C C Toinen = seuraa suhteellisen liikkeen kaavoista (sijoita yhtälöön (1) ω r a). Muutetaan merkinnät seuraavasti ( ) dω Λ = (= Ω) A:n koordinaatiston absoluuttinen kulmakiihtyvyys. C ( ) dωr α r = A:n havainto B:n kulmakiihtyvyydestä. A Ja saatiin haettu absoluuttinen kulmakiihtyvyys C α = Λ + α r + Ω ω r. A
34 JÄYKÄN KAPPALEEN SUHTEELLINEN LIIKE: ESIMERKKI Oheisen kuvan mukainen laiva on aallokon vuoksi liikkeessä s.e. sen kulmanopeus on laivan xyz-kappalekoordinaatistossa ω x (vakio) x-akselin suhteen ja ω y (vakio) y-akselin suhteen. Tarkasteluhetkellä koordinaatistot xyz ja XY Z yhtyvät. Samaan aikan laivan tuulimittari pyörii kulmanopeudella ω (vakio) oman akselinsa ympäri. Mikä on tuulimittarin kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys kappalekoordinaatistossa?
35 JÄYKÄN KAPPALEEN SUHTEELLINEN LIIKE: ESIMERKKI Kuvan xyz-koordinaatisto pyörii Z-akselin ympäri vakiokulmanopeudella ω p. Hyrrä pyörii samanaikaisesti x-akselin ympäri kulmanopeudella ω s = ω 0 sin ω 0 t (mitattuna xyz-koordinaatistossa), jossa ω 0 on vakio. Lisäksi hyrrän kallistuskulma α vakio. Määritä hyrrän kulmanopeus sekä kulmakiihtyvyys lausuttuina xyz-koordinaatiston kantavektoreiden i, j, k avulla. Käytä jäykän kappaleen suhteellisen liikkeen kaavoja. Jos vertaat tehtävän xyz-koordinaatistoa viime luennolla esitettyihin Eulerin kulmiin liittyviin koordinaatistoihin niin minkä niistä sen sanoisit olevan (apu-,väli- vai kappalekoordinatisto)?
DYNAMIIKKA II, LUENTO 3 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 3 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Lyhyt kertaus edellisen luennon asioista. Jäykkä kappale, kappalekoordinaatisto ja kulma-asema. Eulerin kulmat kulma-aseman ja nopeuden
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 6 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 6 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Mekaniikan peruslait (liikelait). Liikemäärän momentin tase. Kappaleen massan vaikutusmitat. Jäykän
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 2 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 2 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertaus edelliseltä luennolta sekä ristituloista. Mekaniikan koordinaatistot: pallokoordinaatisto. Vakiovektorin muutosnopeus (kantavektorin
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 31.3.2016 Susanna Hurme Dynamiikan välikoe 4.4.2016 Ajankohta ma 4.4.2016 klo 16:30 19:30 Salijako Aalto-Sali: A-P (sukunimen alkukirjaimen mukaan) Ilmoittautuminen
LisätiedotLuento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa 1 / 31 Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää
LisätiedotLuento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 22.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Rotaatioliikkeen kinematiikka: kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.7, 16.3) Osaamistavoitteet Osata analysoida jäykän
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 7 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 7 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Liikemäärän ja liikemäärän momentin tase. Hyrräyhtälöt. Liikeyhtälöiden muodostaminen. Lagrangen formalismi:
LisätiedotLuento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike 1 / 29 Luennon sisältö Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 29.3.2016 Susanna Hurme Yleisen tasoliikkeen kinematiikka: absoluuttinen ja suhteellinen liike, rajoitettu liike (Kirjan luvut 16.4-16.7) Osaamistavoitteet Ymmärtää,
LisätiedotLuento 3: Käyräviivainen liike
Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luennon sisältö Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike
LisätiedotEi-inertiaaliset koordinaatistot
orstai 25.9.2014 1/17 Ei-inertiaaliset koordinaatistot Tarkastellaan seuraavaa koordinaatistomuunnosta: {x} = (x 1, x 2, x 3 ) {y} = (y 1, y 2, y 3 ) joille valitaan kantavektorit: {x} : (î, ĵ, ˆk) {y}
LisätiedotDerivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r
Vuka HT 4 Tehtävä. Lyhyenä alustuksena tehtävään johdetaan keskeiskiihtyvyys tasaisessa pyörimisessä. Meillä on ympyräradalla liikkuva kappale joka pyörii vakiokulmanopeudella ω dϕ säteellä r origosta.
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 30.3.2016 Susanna Hurme Yleisen tasoliikkeen kinetiikka (Kirjan luku 17.5) Osaamistavoitteet Osata ratkaista voimia ja niiden aiheuttamia kiihtyvyyksiä tasoliikkeessä
LisätiedotLuento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa Konseptitesti 1 Kysymys
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain
LisätiedotJakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti
Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti Kertausta Ympyrärataa kiertävälle kappaleelle on määritelty käsitteet kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys seuraavasti: ω = dθ dt dω ja α = dt Eli esimerkiksi
LisätiedotLuento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa Ajankohtaista FuksiProffaBuffa Järjestetään
LisätiedotLuento 5: Käyräviivainen liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike Ajankohtaista Konseptitesti 1 http://presemo.aalto.fi/mekaniikka2017 Kysymys Sotalaivasta
LisätiedotLuento 5: Käyräviivainen liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Viereisessä kuvassa leppäkerttu istuu karusellissa,
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Syksy 009 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen liike-energia, teho ja energiaperiaate (Kirjan luku 18) Osaamistavoitteet Ymmärtää, miten liike-energia määritetään kiinteän
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 1 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 1 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Yleisiä asioita syksyn 2015 kurssista. Johdanto: Dynamiikka osana mekaniikkaa ja sen tarkastelukohteet. Dynamiikan ongelmien ratkaiseminen.
LisätiedotLuento 3: Käyräviivainen liike
Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike 2015-09-14 13:50:32 1/40 luentokalvot_03_combined.pdf (#36) Luennon
Lisätiedot2.7.4 Numeerinen esimerkki
2.7.4 Numeerinen esimerkki Karttusen kirjan esimerkki 2.3: Laske Jupiterin paikka taivaalla..2. Luennoilla käytetty rataelementtejä a, ǫ, i, Ω, ω, t Ω nousevan solmun pituus = planeetan nousevan solmun
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 8 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 8 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Määritelmiä: yleistetyt koordinaatit, virtuaaliset siirtymät Liike-energian lausekkeita erilaisille
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.
LisätiedotKinematiikka -1- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 2010 PARTIKKELI. Suoraviivainen liike
Kinematiikka -1- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 010 PARTIKKELI Suoraviivainen liike 1. Suoraviivaisessa liikkeessä olevan partikkelin asema on (järjestelmä m, s) 3 x ( = t 15t + 36t 10. Laske a) partikkelin
LisätiedotMEI Kontinuumimekaniikka
MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 1 MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 3. harjoitus matemaattiset peruskäsitteet, kinematiikkaa Ratkaisut T 1: Olkoon x 1, x 2, x 3 (tai x, y, z) suorakulmainen karteesinen koordinaatisto
LisätiedotFysiikka ei kerro lopullisia totuuksia. Jokin uusi havainto voi vaatia muuttamaan teorioita.
766323A Mekaniikka Mansfield and O Sullivan: Understanding physics kpl 1 ja 2. Näitä löytyy myös Young and Freedman: University physics -teoksen luvuissa 2 ja 3, s. 40-118. Johdanto Fysiikka on perustiede.
LisätiedotLuvun 10 laskuesimerkit
Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 10.1 Tee-se-itse putkimies ei saa vesiputken kiinnitystä auki putkipihdeillään, joten hän päättää lisätä vääntömomenttia jatkamalla pihtien vartta siihen tiukasti sopivalla
LisätiedotLuento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa
Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti ja sen määrittäminen Liikemäärämomentti Gyroskooppi Harjoituksia ja laskettuja esimerkkejä 1 / 37 Luennon sisältö Johdanto
LisätiedotHitaustensori. Inertiaalikoordinaatisto {x} Kappaleen (mahd. ei-inertiaalinen) lepokoordinaatisto {y} )2 x = 1 2 T = 1.
Torstai 2.10.2014 1/20 Hitaustensori Inertiaalikoordinaatisto {x} Kappaleen (mahd. ei-inertiaalinen) lepokoordinaatisto {y} T = 1 m i ( r i 2 )2 x = 1 m i ( R + ω ri ) 2 2 i i = 1 2 M R 2 + 1 2 ω i I ik
LisätiedotKJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, tentti
KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, tentti 13.12.2017 1. Jos r θ on paikkavektori, niin mitä ovat r θ, esitksiä r θ ja r θ? Kätä Karteesisen koordinaatiston T θ θ r < j < j zθ θ k k z ja / θ < j
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen kinetiikka: hitausmomentti ja liikeyhtälöt (Kirjan luvut 17.1, 17.2 ja 17.4) Osaamistavoitteet Ymmärtää hitausmomentin
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
Lisätiedot(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi
Tehtävä 1 Tornadon virtauskenttää voidaan approksimoida kaksiulotteisen nielun ja pyörteen summana Oleta, että nielun voimakkuus on m < ja pyörteen voimakkuus on > (a Määritä tornadon potentiaali- ja virtafunktiot
LisätiedotSuorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt
6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ
76336A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät 217 1. Koordinaatiston muunnosmatriisi (a) y' P r α φ ' Tarkastellaan, mitä annettu muunnos = cos φ + y sin φ, y = sin φ + y cos φ, (1a) (1b) tekee
LisätiedotShrödingerin yhtälön johto
Shrödingerin yhtälön johto Tomi Parviainen 4. maaliskuuta 2018 Sisältö 1 Schrödingerin yhtälön johto tasaisessa liikkeessä olevalle elektronille 1 2 Schrödingerin yhtälöstä aaltoyhtälöön kiihtyvässä liikkeessä
LisätiedotTASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö.
TSON YHTÄLÖT VEKTORIT, M4 Jokainen seuraavista määrää avaruuden tason yksikäsitteisesti: - kolme tason pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla, - yksi piste ja pisteen ulkopuolinen suora, - yksi piste
Lisätiedot766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4
766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4 0. MUISTA: Tenttitehtävä tulevassa päätekokeessa: Fysiikan säilymislait ja symmetria. (Tästä tehtävästä voi saada tentissä kolme ylimääräistä pistettä. Nämä
LisätiedotJäykän kappaleen mekaniikkaa
Jäykän kappaleen mekaniikkaa 29. joulukuuta 2005 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Jäykän kappaleen mekaniikka 2 2.1 Pyörivä koordinaatisto...................... 2 2.2 Vakio Ω.............................. 3 2.3
LisätiedotLuento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa
Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti ja sen määrittäminen Liikemäärämomentti Gyroskooppi Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy
LisätiedotBM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon
LisätiedotVektorin paikalla avaruudessa ei ole merkitystä. Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa kaikki kolme vektoria ovat samoja, ts.
49 3 VEKTORIT 3.1 VEKTORIN KÄSITE Vektori on suure, jolla suuruuden lisäksi on myös suunta (esim. kiihtyvyys). Skalaari puolestaan on suure, jolla on vain suuruus (esim. tiheys). Vektori graafisesti: Vektorin
LisätiedotLuento 4: kertaus edelliseltä luennolta
Luento 4: kertaus edelliseltä luennolta Liikeyhtälön ratkaisu: kartioleikkaus (Kepler I r = k2 /µ + e cosf = a ǫ2 +ǫ cos f k = k ǫ < ellipsi, negativinen energia a = µ 2h ǫ = parabeli, nolla energia ǫ
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa
LisätiedotTarkastellaan tilannetta, jossa kappale B on levossa ennen törmäystä: v B1x = 0:
8.4 Elastiset törmäykset Liike-energia ja liikemäärä säilyvät elastisissa törmäyksissä Vain konservatiiviset voimat vaikuttavat 1D-tilanteessa kappaleiden A ja B törmäykselle: 1 2 m Av 2 A1x + 1 2 m Bv
LisätiedotKerrataan harmoninen värähtelijä Noste, nesteen ja kaasun aiheuttamat voimat Noste ja harmoninen värähtelijä (laskaria varten)
Noste Ympyräliike I Luennon tavoitteet Kerrataan harmoninen värähtelijä Noste, nesteen ja kaasun aiheuttamat voimat Noste ja harmoninen värähtelijä (laskaria varten) Aloitetaan ympyräliikettä Keskeisvoiman
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Kevät 2010 Jukka Maalampi LUENTO 2-3 Vääntömomentti Oletus: Voimat tasossa, joka on kohtisuorassa pyörimisakselia vastaan. Oven kääntämiseen tarvitaan eri suuruinen voima
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
LisätiedotTaso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora
Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet
Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus 1 Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat lausekkeet (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juurilausekkeet 3. kerto-
LisätiedotSuhteellinen nopeus. Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää
3.5 Suhteellinen nopeus Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää P:n nopeus junassa istuvan toisen matkustajan suhteen on v P/B-x = 1.0 m/s Intuitio :
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut 4.1-4.6) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia
MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu
Lisätiedot5.9 Voiman momentti (moment of force, torque)
5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) Voiman momentti määritellään ristitulona M = r F missä r on voiman F vaikutuspisteen paikkavektori tarkasteltavan pisteen suhteen Usean voiman tapauksessa
Lisätiedot2 Osittaisderivaattojen sovelluksia
2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 12. Usean muuttujan funktiot Osittaisderivaatta Gradientti Suhteellinen muutosnopeus ja osittaisjousto
Talousmatematiikan perusteet: Luento 12 Usean muuttujan funktiot Osittaisderivaatta Gradientti Suhteellinen muutosnopeus ja osittaisjousto Aiemmilla luennoilla Tähän mennessä olemme tarkastelleet Erilaisia
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)
Lisätiedot2 LIIKE, JÄNNITYS JA VENYMÄ
2 LIIKE, JÄNNITYS JA VENYMÄ 2.1 KAPPALEEN LIIKE... 4 2.2 LAGRANGEN JA EULERIN ESITYSTAVAT... 12 2.3 SIIRTYMÄ... 22 2.4 JÄNNITYS... 25 2.5 VENYMÄ JA VENYMÄNOPEUS... 38 Viikko 45/1 VIIKON 45 OSAAMISTAVOITTEET
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten
LisätiedotViikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi
Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 13. Usean muuttujan funktiot Osittaisderivaatta ja gradientti Suhteellinen muutosnopeus ja osittaisjousto
Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Usean muuttujan funktiot Osittaisderivaatta ja gradientti Suhteellinen muutosnopeus ja osittaisjousto Aiemmilla luennoilla Tähän mennessä olemme tarkastelleet Erilaisia
Lisätiedotax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa.
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 7, Syksy 206 Tutkitaan yhtälöryhmää x + y + z 0 2x + y + az b ax + y + 2z 0 (a) Jos a 0 ja b 0 niin mikä on yhtälöryhmän ratkaisu? Tulkitse ratkaisu
Lisätiedot1.4. VIRIAALITEOREEMA
1.4. VIRIAALITEOREEMA Vaikka N-kappaleen ongelman yleistä ratkaisua ei tunneta, on olemassa eräitä tärkeitä yleisiä tuloksia Jos systeemi on stabiili, eli paikat ja nopeudet eivät kasva rajatta kineettisen
LisätiedotA B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1
Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!
Lisätiedotinfoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1
infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.
Lisätiedot8 Suhteellinen liike (Relative motion)
8 Suhteellinen liike (Relative motion) 8.1 Inertiaalikoordinaatistot (Inertial reference of frames) Newtonin I laki on II lain erikoistapaus. Jos kappaleeseen ei vaikuta ulkoisia voimia, ei kappaleen liikemäärä
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
Lisätiedotkaikki ( r, θ )-avaruuden pisteet (0, θ ) - oli θ
58 VEKTORIANALYYSI Luento 9 Ortogonaaliset käyräviivaiset koordinaatistot Olemme jo monta kertaa esittäneet karteesiset x, y ja z koordinaatit uusia koordinaatteja käyttäen: x= xuvw (,, ), y= yuvw (,,
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet
Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus 1 Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat lausekkeet (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juurilausekkeet 3. kerto-
Lisätiedot12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa
12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa 12.1. Gradientti, divergenssi ja roottori 328. Laske u, kun u on vektorikenttä a) (z y)i + (x z)j + (y x)k, b) e xyz (i + xlnyj + x 2 zk), c) (x
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotGaussin lause eli divergenssilause 1
80 VEKTOIANALYYI Luento 1 8. Gaussin lause eli divergenssilause 1 A 16.4 Kurssin jäljellä olevassa osassa käymme läpi joukon fysiikan kannalta tärkeitä vektorikenttien integrointia koskevia tuloksia, nimittäin
LisätiedotLineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi
Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja
LisätiedotMat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ
Mat-48 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ L ẋ = x ẋ = g L sin x rx Epälineaarisen systeemin tasapainotiloja voidaan
LisätiedotMuutoksen arviointi differentiaalin avulla
Muutoksen arviointi differentiaalin avulla y y = f (x) y = f (x + x) f (x) dy y dy = f (x) x x x x x + x Luento 7 1 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto Muutoksen arviointi differentiaalin
Lisätiedotkertausta Esimerkki I
tavoitteet kertausta osaat määrittää jäykän kappaleen hitausmomentin laskennallisesti ymmärrät kuinka vierimisessä eteneminen ja pyöriminen kytekytyvät osaat soveltaa energiaperiaatetta vierimisongelmiin
LisätiedotLiikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima
Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima Tämän luennon tavoitteet Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat ja binomiapproksimaatio gravitaatio jatkuu viime viikolta Jousivoima: mikä se on ja miten
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
LisätiedotHarjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio,
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 06 Harjoitus 3 Kaikissa tehtävissä, joissa pitää tarkastella kriittisten pisteiden stabiliteettia, jos kyseessä on satulapiste, ilmoita myös satulauraratkaisun (tai kriittisessä
LisätiedotKJR-C1001: Statiikka L2 Luento : voiman momentti ja voimasysteemit
KJR-C1001: Statiikka L2 Luento 21.2.2018: voiman momentti ja voimasysteemit Apulaisprofessori Konetekniikan laitos Luennon osaamistavoitteet Tämän päiväisen luennon jälkeen opiskelija Pystyy muodostamaan,
LisätiedotNopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit
Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Luento 2 https://geom.mathstat.helsinki.fi/moodle/course/view.php?id=360 Luennon tavoitteet: Vektorit tutuiksi Koordinaatiston valinta Vauhdin ja nopeuden ero
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 3 Kevät E 1 + c 2 m 2 = E (1) p 1 = P (2) E 2 1
763306A JOHDATUS SUHTLLISUUSTORIAAN Ratkaisut 3 Kevät 07. Fuusioreaktio. Lähdetään suoraan annetuista yhtälöistä nergia on suoraan yhtälön ) mukaan + m ) p P ) m + p 3) M + P 4) + m 5) Ratkaistaan seuraavaksi
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 1.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Jäykän kappaleen tasapaino ja vapaakappalekuva (Kirjan luvut 5.1-5.4) Osaamistavoitteet: 1. Ymmärtää, mitä tukireaktiot ovat
LisätiedotVektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa
Viikon aiheet Pistetulo (skalaaritulo Vektorien tulot Pistetulo Ristitulo Skalaari- ja vektorikolmitulo Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integrointi, yhdistetyn funktion derivaatan integrointi Vektoreiden
LisätiedotLiikkuvan varauksen kenttä
Luku 14 Liikkuvan varauksen kenttä Tässä luvussa tutustutaan liikkuvan varauksen aiheuttamaan kenttään. Asiaa on käsitelty RMC:n luvussa 21 ja CL:n luvussa 13. Jokaisen sähködynaamikon on laskettava ainakin
LisätiedotLuento 9: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa
Luento 9: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti ja sen määrittäminen Liikemäärämomentti Gyroskooppi Harjoituksia ja laskettuja esimerkkejä ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami
Lisätiedot