KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

Transkriptio

1 KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento Susanna Hurme

2 Rotaatioliikkeen kinetiikka: hitausmomentti ja liikeyhtälöt (Kirjan luvut 17.1, 17.2 ja 17.4) Osaamistavoitteet Ymmärtää hitausmomentin käsite Osata määrittää hitausmomentti kappaleelle integroimalla Osata määrittää hitausmomentti säännöllisistä kappaleista koostuvalle kappalesysteemille Osata soveltaa liikeyhtälöitä kiinteän akselin ympäri pyörivän jäykän kappaleen liikkeen ja voimien ratkaisemiseen Sisältö Hitausmomentti Esimerkkejä hitausmomentin laskemisesta Liikeyhtälöt kiinteän akselin ympäri pyörivälle jäykälle kappaleelle Esimerkki sovelluksesta

3 Hitausmomentti (Kirjan luku 17.1) Liikeyhtälö translaatioliikkeessä F = ma Liikeyhtälö rotaatioliikkeessä on muotoa M = Iα

4 Hitausmomentti (Kirjan luku 17.1) Partikkelin hitausmomentti m r F O a t Hitausmomentti kappaleelle, joka koostuu partikkeleista dm, saadaan summaamalla kaikkien partikkeleiden hitausmomentit I = m r 2 dm Massa = tiheys * tilavuus F = m a t I = V r 2 ρ dv M = r F = rm a t a t = rα M = r 2 m α = I α Kun tiheys on vakio I = ρ V r 2 dv

5 Hitausmomentti (Kirjan luku 17.1) Integrointi tilavuuden yli on kolmoisintegraali V = V dv = z y x dxdydz m = I = V V ρdv = r 2 ρdv = z y x z y x ρ dxdydz r 2 ρ dxdydz Se tarkoittaa, että kappale koostuu kuutioelementeistä, joiden sivujen pituudet ovat dx, dy ja dz. Koko kappaleen tilavuus saadaan, kun summataan kaikki nämä kuutioelementit. Koska pituudet dx, dy ja dz ovat infinitesimaalisia, kuutioelementtien summaus on integrointia.

6 Hitausmomentti (Kirjan luku 17.1) Kuutioelementin dxdydz sijasta voidaan käyttää esim. putken muotoista tilavuuselementtiä, jolla on vain yksi infinitesimaalinen mitta. Silloin tarvitaan vain yksi integrointi. Putkielementin tilavuus on dv = 2πy z dy Ympyrän kehä Paksuus Sylinterin korkeus Koska elementti on ohut, sen kaikki pisteet sijaitsevat samalla etäisyydellä z-akselista, y = r. Siten se soveltuu hitausmomentin määrittämiseen z-akselin ympäri.

7 Esimerkki I = ρ V r 2 dv Lasketaan sylinterin hitausmomentti, kun tiheys on vakio Käytetään putkielementtiä dv = 2πy z dy = 2πrh dr I z = ρ r r 3 2πh dr = ρ 0 R r 3 2πh dr I z = 1 2 r4 ρπh R 0 = 1 2 R4 ρπh Lausutaan hitausmomentti massan avulla m = ρ V dv = ρ2πh r r dr = ρπhr 2 I z = 1 2 mr2

8 Esimerkki I = ρ V r 2 dv Käytetään putkielementtiä dv = 2πy z dy = 2πrh dr Lasketaan onton sylinterin hitausmomentti. Tiheys on vakio. z Integroidaan nyt välillä r-r I z = ρ r R r 3 2πh dr = 1 2 r4 ρπh R r R r h = 1 2 R4 ρπh 1 2 r4 ρπh = 1 2 ρπh(r4 r 4 ) x O 2 h 2 y Lausutaan hitausmomentti massan avulla m = ρ V dv = ρ2πh r R r dr = ρπh(r 2 r 2 ) I z = 1 2 ρπh R2 r 2 R 2 + r 2 = 1 2 m R2 + r 2

9 Hitausmomentti Kun kappale koostuu useista yksinkertaisista muodoista, sen kokonaishitausmomentti voidaan laskea summaamalla kaikkien osien hitausmomentit saman akselin suhteen. Siten onton sylinterin hitausmomentti oltaisiin voitu laskea myös vähentämällä umpinaisen sylinterin hitausmomentista reiän kokoisen sylinterin hitausmomentti. I z = 1 2 R4 ρπh 1 2 r4 ρπh = 1 2 ρπh(r4 r 4 ) z z z r r x R h 2 h 2 y x R h 2 h 2 y x h 2 h 2 y

10 Hitausmomentti Säännöllisille kappaleille hitausmomentti löytyy usein taulukoista (esim. kirjan lopusta) Hitausmomentti voidaan määrittää myös hitaussäteen (radius of gyration) avulla I = mk 2 k = I m Jos halutaan määrittää kappaleen hitausmomentti jonkin muun, kuin massakeskipisteen kautta kulkevan akselin suhteen, voidaan soveltaa yhdensuuntaisten akseleiden sääntöä (Steinerin sääntö). I G m d I = I G + md 2 on hitausmomentti massakeskipisteen kautta kulkevan akselin suhteen, on kappaleen massa ja on kohtisuora etäisyys yhdensuuntaisten akseleiden välillä.

11 Ratkaisun eteneminen: Esimerkki Kuvan kappale koostuu ympyrälevystä, jonka massa on 6 kg ja kahdesta ohuesta sauvasta, joiden massa on 2 kg/m. Kun L on 0.75 m, määritä kappaleen hitausmomentti pisteen O kautta kulkevan tasoa vastaan kohtisuoran akselin suhteen. 1. Katsotaan taulukosta ohuen levyn ja ohuen sauvan hitausmomentit massakeskipisteiden kautta kulkevien akseleiden suhteen. 2. Sovelletaan yhdensuuntaisten akseleiden sääntöä ja lasketaan kaikkien osien hitausmomentit pisteen O kautta kulkevan akselin suhteen. 3. Summataan kaikkien osien hitausmomentit, jotta saadaan koko kappaleen hitausmomentti. 1. Osien hitausmomentit. Ohut ympyrälevy. I G = 1 2 mr2 I G = kg 0.2m 2 = 0.12 kg m 2 Ohut sauva. I G = 1 I G,AB = 1 12 ml2 = 1 12 (2.6kg) 1.3m 2 = kg m 2 12 ml2 I G,CD = 1 12 ml2 = 1 12 (1.5kg) 0.75m 2 = 0.07 kg m 2

12 1.1 Levyn hitausmomentti. *) Esimerkki Jos taulukoituja hitausmomentteja ei ole saatavilla, ne voidaan määrittää integroimalla tilavuuden yli. Tämä on hyvä tehdä myös harjoituksen vuoksi. (Ei käyty luennolla) Levy on tasomainen kappale, jonka paksuuden ajatellaan olevan 1. Umpinaisen sylinterin hitausmomentti laskettiin edellä, ja se ei massan avulla lausuttuna riipu sylinterin korkeudesta h. Siten sylinterin hitausmomentti on myös ohuen ympyrälevyn hitausmomentti (Katso umpinaisen sylinterin hitausmomentin laskeminen luennon alusta). I G = 1 2 mr2 1.2 Sauvan hitausmomentti. Sauva on yksiulotteinen kappale, eli sillä ajatellaan olevan vain yksi merkittävä dimensio, pituus. Sauvan hitausmomentti saadaan siis integroimalla pituuden yli. Ajatellaan sauvan koostuvan partikkeleista, joiden massa on dm ja pituus dx. Partikkeleiden etäisyys massakeskipisteestä on r = x. Summataan jokaisen partikkelin hitausmomentti massakeskipisteen kautta kulkevan akselin ympäri. y dm dx G x l/2 l/2

13 *) Esimerkki y G dm dx x Jos taulukoituja hitausmomentteja ei ole saatavilla, ne voidaan määrittää integroimalla tilavuuden yli. Tämä on hyvä tehdä myös harjoituksen vuoksi. (Ei käyty luennolla) l/2 Yhden partikkelin massa on dm = I = m r 2 dm = l/2 x x 2 ( m l )dx I G = ( m l ) x 2 dx = ( m l/2 l ) 1 3 m l l 2 l/2 dx, missä m on sauvan massa. 3 l 2 3 = m l 1 3 l l3 8 = 1 12 ml2 I G = 1 12 ml2

14 Esimerkki Kuvan kappale koostuu ympyrälevystä, jonka massa on 6 kg ja kahdesta ohuesta sauvasta, joiden massa on 2 kg/m. Kun L on 0.75 m, määritä kappaleen hitausmomentti pisteen O kautta kulkevan tasoa vastaan kohtisuoran akselin suhteen. 2. Lasketaan kaikkien osien hitausmomentit pisteen O kautta kulkevan akselin suhteen. Levy: I G = 0.12 kg m 2 I O = I G + md 2 I O,levy = 0.12 kg m 2 + 6kg ( m) 2 = 6.12 kg m 2 Sauva AB: I G = kg m 2 d = 0.8 m AB 2 = 0.15 m I O,AB = kg m kg (0.15m) 2 = kg m 2 Sauva CD: d = 0.5 m I G = 0.07 kg m 2 I O,CD = 0.07 kg m kg (0. 5m) 2 = kg m 2

15 Esimerkki Kuvan kappale koostuu ympyrälevystä, jonka massa on 6 kg ja kahdesta ohuesta sauvasta, joiden massa on 2 kg/m. Kun L on 0.75 m, määritä kappaleen hitausmomentti pisteen O kautta kulkevan tasoa vastaan kohtisuoran akselin suhteen. 3. Koko kappaleen hitausmomentti pisteen O kautta kulkevan akselin suhteen. I O = I O,levy + I O,AB + I O,CD = kg m 2 = 6.99 kg m 2

16 Jäykän kappaleen liikeyhtälöt (Kirjan luku 17.2) Kirjoitetaan liikeyhtälöt jäykän kappaleen tasoliikkeelle. Liikeyhtälöt kirjoitetaan kappaleen massakeskipisteelle. ΣF x = m(a G ) x ΣF y = m(a G ) y ΣM G = I G α Resultanttimomentti on joskus hyödyllistä laskea muun pisteen kuin massakeskipisteen ympäri (esim. piste P). Silloin pitää huomioida, että momenttiresultantti on yhtä suuri kuin voimien aiheuttama kineettinen momentti. Huomataan, että jos kulmakiihtyvyys on nolla, kappale ei pyöri, ja liikeyhtälöt ovat samat kuin jäykän kappaleen translaatioliikkeelle. ΣM P = Σ(M k ) P = y ma G x + x ma G y + I G α

17 Jäykän kappaleen liikeyhtälöt (Kirjan luku 17.4) Kun kappale pyörii kiinteän akselin ympäri, sen massakeskipiste on ympyräliikkeessä. Liikeyhtälöt on siis hyvä kirjoittaa normaali- ja tangentiaalikoordinaattien avulla. ΣF n = m(a G ) n ΣF t = m(a G ) t = mω 2 r G = mαr G ΣM G = I G α

18 Jäykän kappaleen liikeyhtälöt (Kirjan luku 17.4) Usein on järkevää summata momentit kiinteän pyörimisakselin O suhteen. Kineettisestä kuvasta: ΣM O = r G m(a G ) t +I G α (a G ) t = αr G : ΣM O = r G mαr G + I G α = (I G + mr G 2 ) α Yhdensuuntaisten akselien sääntö = I O α

19 Vapaakappalekuva. t Esimerkki 60 Nm Kuvan sauvalla on hetkellisesti kulmanopeus ω = 6 rad/s vastapäivään. Määritä tangentin ja normaalin suuntaiset tukireaktiot nivelessä O sekä sauvan kulmakiihtyvyys. Sauvan tiheys on vakio ja sen massa on 30 kg. O n O t Kineettinen kuva. G mg n r G m(a G ) t = mαr G G m(a G ) n I G α = mω 2 r G

20 Esimerkki Tukireaktiot sekä kulmakiihtyvyys saadaan ratkaistua liikeyhtälöistä: ΣF n = m(a G ) n = mω 2 r G Kuvan sauvalla on hetkellisesti kulmanopeus ω = 6 rad/s vastapäivään. Määritä tangentin ja normaalin suuntaiset tukireaktiot nivelessä O sekä sauvan kulmakiihtyvyys. Sauvan tiheys on vakio ja sen massa on 30 kg. ΣF t = m(a G ) t ΣM O = I O α Sauvan massakeskipisteen etäisyys pisteestä O: r G = = mαr G 0.3 m = 0.15 m Sauvan hitausmomentti pisteen O suhteen I O = I G + mr G 2 = kg 0.9m 2 + (30kg)(0.15m) 2 = 2.7kg m 2

21 Vapaakappalekuva. 60 Nm O n O t G mg Kulmakiihtyvyys saadaan alimmasta liikeyhtälöstä ΣM O = I O α α = ΣM O I O = 60 N m ( N)(0.15m) 2.7 kg m 2 = 5.87 rad/s 2 Tukireaktiot nivelessä O saadaan liikeyhtälöistä: Kineettinen kuva. + ΣF n = m(a G ) n + ΣF t = m(a G ) t = mω 2 r G = mαr G r G mαr G O n = mω 2 r G = 30 kg 6 rad/s m = 162 N G O t mg = mαr G mω 2 r G I G α O t = N + 30 kg 5.87 rad s m = 321 N

22 Yhteenveto Opimme laskemaan hitausmomentin kappaleelle integroimalla tilavuuden yli kappalesysteemille yhdensuuntaisten akseleiden säännön avulla Opimme, miten jäykän kappaleen liikeyhtälöitä sovelletaan kiinteän akselin ympäri pyörivän kappaleen liikkeen ja voimien ratkaisemiseen