0 Matemaattsa apuneuvoja 0.1 Kokonasdfferentaal Tarkastellaan kahden muuttujan funktota f(x, y), joka on määrtelty xy-tasossa. llon jokaseen tason psteeseen (x, y) lttyy funkton arvo z = f(x, y). Jos funkto on rttävän säännöllnen, on sen kuvaaja pnta kolmulottesessa xyz-avaruudessa ja osttasdervaatat f x = lm f(x + x, y) f(x, y) (1) x 0 x f y = lm f(x, y + y) f(x, y) (2) y 0 y on määrtelty kaklla x:n ja y:n arvolla. Tarkastellaan, kunka funkton arvo muuttuu, kun srrytään psteestä (x, y) psteeseen (x + x, y + y). Koska alku- ja loppupsteet ovat funktota kuvaavalla pnnalla, muutos e rpu stä, mtä kautta alkupsteestä srrytään loppupsteeseen. altaan kulkuteks (x, y) (x + x, y) (x + x, y + y). y y (x+ x,y+ y) y f(x,y) f x (x,y) (x+ x,y) f(x+ x,y) x fy x x Jos muutos x on pen, on muutos ten ensmmäsellä osuudella f x = f(x + x, y) f(x, y) x. (3) x (x,y) astaavast muutos ten tosella osuudella on f y = f(x + x, y + y) f(x + x, y) 5 y, (4) x (x+ x,y)
6 ja kokonasmuutos on f = f x + f y. Kun x:n ja y:n annetaan lähetä nollaa, loppupste lähenee alkupstettä. Muutosten nfntesmaalslla (s.o. hyvn penllä) arvolla dx ja dy myös funkton arvon muutos on nfntesmaalnen. Tämä muutos on kokonasdfferentaal df = dx + x dy. (5) y Tässä osttasdervaatat vodaan laskea alkupsteessä (x, y), sllä kulkuten kakk psteet ovat nfntesmaalsen lähellä alkupstettä. Tulos on suoraan ylestettävssä useamman muuttujan funktohn. Jos f = f(x, y, z), on kokonasdfferntaal df = dx + x 0.2 ektoralgebraa dy + y dz. (6) z ektor on olo, jolla on suuruus (ptuus, tsesarvo) ja suunta. Fyskassa vektora merktään panetussa tekstssä usemmten lhavolla krjasmella ja käsn krjotetussa tekstssä krjamella, jonka yläpuolelle on vedetty vva ( vektormerkk ). ektorn ptuus merktään joko ta. ektorn vastavektor, on vektor, jonka ptuus on, mutta suunta :n suunnalle vastakkanen. Nollavektor on vektor, jonka ptuus on 0. Nollavektorn suuntaa e ole määrtelty. ektor vodaan kertoa skalaarlla. Merknnällä = a (7) ymmärretään vektora, jonka tsesarvo on a ja suunta sama kun :n suunta, mkäl a>0, ja :n suunnalle vastakkanen, mkäl a<0. - k k 0<k<1 k>1 Käytännöllnen apuneuvo vektoren esttämseen on koordnaatsto. Tavallsn käytössä oleva koordnaatsto on karteesnen, joka koostuu orgon kautta kulkevsta tosaan vastaan kohtsuorsta akselesta. Kolmulottesessa avaruudessa näden akselen avulla määrtellystä pakkakoordnaatesta käytetään tavallsest merkntöjä x, y ja z. Ykskkövektor on vektor, jonka ptuus on 1 (paljas luku, ss ykskötön). Nänollen vektorn suuntanen ykskkövektor on a = (8)
0.2. EKTORILGER 7 ja tosaalta vektor on ptuutensa ja tsensä suuntasen ykskkövektorn tulo: = a. (9) Koordnaattakselen suuntassta ykskkövektoresta käytetään merkntöjä, j ja k (mutakn merkntöjä on käytössä). z z x x k j y y ektorn komponentteja ovat sen projektot koordnaattakselelle ja vektor vodaan esttää komponenttensa avulla, esmerkks Helpost nähdään, että vastavektor on =( x, y, z ). (10) =( x, y, z ). (11) - + Kahden vektorn summa on vektor, jonka komponetteja ovat yhteenlaskettaven vektoreden komponentten summat. Jos ss =( x, y, z )ja =( x, y, z ), on summavektor C = + =( x + x, y + y, z + z ). (12) Tarkastellaan vektoreta x =( x, 0, 0), y j =(0, y, 0) ja z k =(0, 0, z ). Ilmesest näden summa on ( x, y, z ), joten vektor vodaan esttää muodossa ektoren erotus määrtellään vastavektorn avulla: = x + y j + z k. (13) C = = +( ), (14)
8 joten C = =( x x ) +( y y )j +( z z )k. (15) Ilmesest vektorn ja sen vastavektorn summa on nollavektor. astavektor votasn määrtellä myös tämän avulla. x, Kahden vektorn pstetulo (ssätulo) määrtellän skalaarks, jonka suuruus on vektoren ptuuksen ja nden välsen kulman kosnn tulo. s = cos(, ). (16) Ilmesest =. Komponenttestyksen avulla tästä saadaan =( x + y j + z k) ( x + y j + z k)= x x + y y + Z z, (17) sllä = j j = k k =1ja j = j k = k = 0. Huomaa, että kahden vektorn pstetulo on skalaar. Komponenttestyksestä seuraa suoraan, että pstetulo on dstrbutvnen: C ( + ) =C + C. (18) Kahden vektorn rsttulo (vektortulo) määrtellään kolmrvsenä determnanttna j k = x y z = y z x y z y z j x z x z + k x y x y = ( y z z y ) ( x z z x )j +( x y y x )k. (19) Kahden vektorn rsttulo on ss vektor. Komponettmuodon avulla vodaan suoraan laskemalla osottaa, että ja = (20) ( ) = ( ) = 0 (21) Rsttulovektor on ss kohtsuorassa tulon tekjöden vrttämää tasoa vastaan. Okeakätsen karteessen koordnaatston ykskkövektorelle on vomassa esmerkks j = k. (22) astaavast, ja muodostavat okeakätsen järjestelmän.
0.3. DERIOINNIT 9 0.3 Dervonnsta Jos vektor on jonkn skalaarmuuttujan funkto, esmerkks = (u), sen dervaatta tämän muuttujan suhteen määrtellään d = d x + d y j + d z k (23) Komponenttestyksen avulla vodaan suoraan johtaa tulokset ja d( + ) d(a) d( ) = d + d, (24) = a d + da, (25) = d + d (26) d( ) = d + d. (27) ektoroperaattor nabla määrtellään kaavalla = x + y j + k. (28) z Tämä operaattor vo operoda sekä skalaarkenttään Φ(x, y, z) että vektorkenttään F(x, y, z). Operont skalaarkenttään tuottaa kentän gradentn Φ = Φ x + Φ y j + Φ k. (29) z Nablalla vodaan operoda vektorkenttään sekä pste- että rsttulon avulla. Pstetulo antaa dvergenssn F =( x + y j + z k) (F x + F y j + F z k)= F x x + F y y + F z z. (30) Huomaa että vektorn dvergenss on skalaar. Nablan ja vektorn rsttulo on nmeltään roottor: j k F = x y z = y z x y z F y F z j x z F x F z + k x y F x F y ( Fz = y F ) ( y Fz z x F ) ( x Fy j + z x F ) x k. (31) y ektorn roottor on ss vektor. On olemassa joukko kaavoja, joden avulla gradentteja, dvergenssejä ja roottoreta ssältävä kaavoja vodaan seventää. Yleensä nämä kaavat vodaan todstaa komponenttestyksen avulla.
10 0.4 Integronnsta ähköopssa on sekä skalaar- että vektorkenttä, jota joutaan ntegromaan er tavon. Er tyyppset ntegraalt vodaan jakaa vva- pnta- ja tlavuusntegraaleks. Φ 0 s s vantegraal lasketaan ptkn käyrää, jonka kulku avaruudessa tunnetaan. Tavallnen x:n yl laskettu määrätty ntegraal vodaan tulkta ptkn x-aksela lasketuks vvantegraalks. Jos kolmulottesessa avaruudessa on määrtelty skalaarkenttä Φ(x, y, z) jakäyrä C, saa Φ jonkn tetyn arvon käyrän C jokasessa psteessä. setetaan nollakohta johonkn pakkaan käyrää, ja mtataan ptuus s ptkn käyrää tästä psteestä lähten. Toseen suuntaan mtattu ptuus määrtellään postvseks ja vastakkaseen suuntaan negatvseks. Jaetaan käyrällä oleven kahden psteen ja välnen käyrän osuus osn; :nnen osan ptuus on s :n ptusa. Merktään funkton arvoa :nnen osan kohdalla Φ :llä ja lasketaan summa Φ s. (32) Funkton Φ ntegraal :sta :hen ptkn käyrää C määrtellään raja-arvona Φds = lm Φ s. (33) s 0 Tämä on helppo ymmärtää tavallsen yksulottesen ntegraaln avulla jos kuvttelee, että käyrä C vedetään suoraks (s-akselks), jollon se vastaa x-aksela, ja jokasta s:n arvoa vastaava Φ:n arvo vastaa y:n arvoa. ektorkentän F(x, y, z) vvantegraal vodaan määrtellä komponentten vvantegraalen muodostamana vektorna: Fds = F x ds + j F y ds + k F z ds. (34) Ertysest työtä lasketteassa tulee vastaan ntegraal, jossa C:llä olevaa vvaelementtä on pdettävä vektorna. Tämä johtuu stä, että voman F srtäessä kappaletta ds:n verran, tehty työ onf ds. Jos F:n ja ds:n välnen kulma on α(s), vodaan määrtellä ntegraal F ds = F cos α(s)ds. (35)
0.4. INTEGROINNIT 11 F α s s 0 Hukan monmutkasemp käste on pntantegraal. jatellaan avaruudessa olevaa pntaa, jota rajottaa jokn reunakäyrä C. Jaetaan tämä pnta penn pntaalkohn, =1, 2,... Kunkn pnta-alkon kohdalla funktolla Φ(x, y, z) on jokn arvo Φ. Tarkastellaan summaa Φ. (36) Funkton Φ ntegraal yl pnnan on raja-arvo Φd = lm Φ. (37) 0 ektorkentän pntantegraal votasn laskea analogsest komponenttmuodossa Fd = F x d + j F y d + k F z d. (38) Tavallsemp on kutenkn tlanne, jossa on laskettava vektorkentän vuo jonkn pnnan lävtse. llon pnta-alko on määrteltävä vektorna, ja sen lävtse kulkeva vuo on F = F cos α, mssä α on F:n ja :n välnen kulma. Tällön F:n vuo pnnan lävtse on F d = F cos αd. (39) α F Kolmas ntegraaltyypp on tlavuusntegraal. jatellaan avaruudessa olevaa tlavuutta, jota rajottaa jokn suljettu pnta. Jaetaan penn tlavuuselementtehn τ, =1, 2... Kunkn tlavuuselementn kohdalla funktolla Φ(x, y, z) on jokn arvo Φ. tarkastellaan summaa Φ τ. (40)
12 Funkton Φ ntegraal yl tlavuuden on raja-arvo Φdτ = lm Φ τ. (41) τ 0 Φ τ ektorkentän tlavuusntegraal vodaan määrtellä komponentten tlavuusntegraalen muodostamana vektorna. Käytännössä vva- pnta- ja tlavuusntegraalen laskemnen edellyttää ntegrontrajojen selvttämstä. Tällön pntantegraaln laskemnen edellyttää ntegromsta kaks kertaa ja tlavuusntegraaln laskemnen kolme kertaa. llon joutaan pntantegraalssa käyttämään kahta ntegraalmerkkä, johon kumpaankn on merktty ala- ja yläraja, ja tlavuusntegraalssa vastaavast kolmea. Kun ntegraaaleja e varsnasest ole tarkotus laskea, kuten teoreettsessa tarkastelussa on lata, käytetään kummassakn tapauksessa usen van yhtä ntegraalmerkkä. Tällön ajatellaan, että asayhteydestä selvää, onko kyseessä yks-, kaks- va kolmulottenen ntegraal. 0.5 Gaussn ja tokesn lauseet ähkömagnetsmn teorassa joutaan usen käyttämään Gaussn ja tokesn lauseta, joden opettelemnen on välttämättömyys. Gaussn lauseen mukaan vektorkentän vuo suljetun pnnan lävtse on yhtä suur kun pnnan ssälle jäävän tlavuuden yl laskettu kentän dvergenssn ntegraal. Jos ss on suljettu pnta ja sen ssään jäävä tlavuus, on vektorkentälle F vomassa F d = Fdτ. (42) Tässä ntegraalmerkkn lsätty pallo tarkottaa stä, että ntegront tehdään suljetun pnnan yl. tokesn lan mukaan vektorkentän vvantegraal ptkn suljettua käyrää on yhtä suur kun käyrän rajottaman pnnan yl laskettu kentän roottorn pntantegraal. Jos ss C on suljettu käyrä ja pnta, jonka rajakäyrä C on, on vomassa yhtälö F ds = ( F) d. (43) C
0.5. GUIN J TOKEIN LUEET 13 Tässä ntegraalmerkkn lsätty pallo tarkottaa stä, että ntegront tehdään ptkn suljettua käyrää. Gaussn lausetta emme johda tässä. Myöhemmn osotetaan, että sähkökentälle E on vomassa Gaussn lan ntegraalmuoto ja tästä johdetaan dfferentaalmuoto E δ = 1 ε 0 ρdτ (1.14b) E = ρ/ε 0. (1.20) jottamalla jälkmmäsestä yhtälöstä ratkastu ρ = ε E edellseen, saadaan E d = Edτ, (44) mstä nähdään, että Gaussn lause on vomassa sähkökentälle. e on vomassa myös mulle kentlle, jotka toteuttavat rttävät matemaattset ehdot. tokesn lause johdetaan myöhemmn kappaleessa 4.5.1.