= ( F dx F dy F dz).

Transkriptio

1 17 VEKTORIANALYYSI Luento Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin ja voima riippuu paikasta, F( r) F( x, y, z), täytyy integroida: W dw F dr ( F iˆ F ˆj F kˆ) ( dxiˆ dyj ˆ dzkˆ) = ( F dx F dy F dz). A 15.4 Tämä on esimerkki vektorikentän viivaintegraalista. Tässä integroinnissa parametrina on matka s ja käyränä, jonka pisteiden paikkavektori on r. Olkoon Fr ( ) yleisemmin jokin vektorikenttä ja r jonkin käyrän pisteiden paikkavektori. Integraalia F dr kutsutaan vektorin F käyräintegraaliksi yli käyrän.

2 18 Huomaa, että oikeastaan tässä lasketaan vektorin F käyrän tangentin suuntaisen komponentin F Fcos käyräintegraali eli F dr F Tdr. Perimmältään siis tässäkin on kyse skalaarikentän käyräintegraalista. T Kun käyrä esitetään parametrimuodossa eli r r() t, on integraali saatettava sellaiseen muotoon, jossa integroiminen tapahtuu parametrin t suhteen jonkin välin a t b yli. Käytetään ketjusääntöä, esim. dx dx, jolloin saadaan b dr F( r ) dr ( ) F r a b dx dy x( ( ), ( ), ( )) y( ( ), ( ), ( )) a F x t y t z t F x t y t z t dz + Fz ( x( t), y( t), z( t)). Lyhyemmin kirjoitettuna: b dx dy dz F( r) dr Fx Fy + Fz. a

3 19 Esimerkki. Lasketaan vektorikentän F( x, y, z) xiˆ yj ˆ zkˆ käyräintegraali yli käyrän (ruuviviiva) r( t) ( x( t), y( t), z( t)) (sin t,cos t, t), 0 t 2. Sovelletaan äskeistä kaavaa. Koska x'( t) cos t, y'( t) sint ja zt ( ) 1, saadaan b dr F( r ) dr F a 2 = sin t iˆ cost ˆj t kˆ cost iˆ sint ˆj kˆ = sin t cost sint cost t t t = 2. 0

4 20 A 15.2& Käyräintegraali ja vektorikentän konservatiivisuus Tarkastellaan vektorikentän käyräintegraalia pitkin suljettua käyrää eli integroinnin alku- ja loppupiste ovat samat, r( a) r( b). Merkitään tätä integraalia F ( r ) dr. On helppo uskoa, että integraali voi olla nolla, jos käyrä vaan sattuu olemaan sopivanlainen. On kuitenkin olemassa sellaisia vektorikenttiä, joille tämä integraali on nolla kaikille suljetuille käyrille, F ( r ) dr 0 kaikille suljetuille Niitä sanotaan konservatiivisiksi kentiksi. Mekaniikasta ovat tuttuja konservatiiviset voimat; ne ovat konservatiivisia vektorikenttiä. On helppo nähdä, että konservatiivisen kentän käyräintegraali kahden pisteen välillä on reitistä riippumaton. Olkoon 1 ja 2 kaksi eri käyrää pisteestä P 0 pisteeseen P. Ne voidaan yhdistää suljetuksi käyräksi, jossa ensin mennään P 0 pisteeseen P käyrää 1 pitkin ja palataan takaisin käyrää 2 väärään suuntaan eli käyrää 2. Silloin (huomaa, että reiteillä 2 ja - 2 käyrädifferentiaalilla dr on vastakkainen merkki, koska ne osoittavat vastakkaiseen suuntaan) joten 0 F dr F dr F dr, F dr F dr F dr. 1 2

5 21 Konservatiivinen vektorikenttä Fr ( ) voidaan aina esittää jonkin skalaarikentän () r avulla seuraavasti: ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ( ) r F r i r j r k ˆ. F F F x y z Tämä on konservatiivisen kentän määritelmä. Kaava voidaan kirjoittaa lyhyemmin määrittelemällä derivointioperaattori eli nabla: ˆ ˆ i j kˆ. Silloin F. Nabla hyvin tulee tutuksi jatkossa. [Huom. Fysiikassa usein valitaan potentiaalin etumerkki niin, että F.] Integrandi saadaan skalaarikentän avulla muotoon ˆ F dr i ˆ j kˆ dxiˆ dyj ˆ dzkˆ dx dy dz d. Jos reitillä on parametriesitys r( t) ( a t b), on konservatiivisen kentän käyräintegraali (analyysin päälauseen mukaan) b bd( r ( t)) F dr d( r ( t)) ( r ( b)) ( r ( a)), a a eli käyräintegraalin arvon määräävät potentiaalifunktion arvot käyrän päätepisteissä. Kun käyrä on suljettu, r( a) r( b) ja käyräintegraali häviää.

6 22 Seuraavat kolme ehtoa ovat yhtäpitäviä eli seuraavat toinen toisistaan (ks. Adams puuttuvien todistusten osalta): (i) F on konservatiivinen eli on muotoa F. (ii) F ( ) 0 kaikille suljetuille käyrille. (iii) Käyräintegraali pisteestä P 0 pisteeseen P ei riipu käyrästä, jota pitkin integrointi suoritetaan eli r( P) F dr ei riipu käyrästä. r( P 0 ) Esimerkki. Tarkastellaan vektorikenttää F ( F, F, F ) ( x y, x z, y) ( x y) iˆ ( x z) ˆj ykˆ. Onko kenttä konservatiivinen? Mikä on kentän käyräintegraali F dr origosta (0,0,0) pisteeseen (0,1,1)? Yksi tapa osoittaa kenttä konservatiiviseksi on etsiä sellainen skalaarifunktio, josta se saadaan nablaamalla eli F ( / x) iˆ ( / y) ˆj ( / z) kˆ. Hetken pohtimisella näkee, että yksi sellainen on 1 2 ( x, y, z) 2 x xy yz. Esimerkiksi x x y F x. Kenttä on siis konservatiivinen. Käyräintegraalin arvoksi saadaan F dr (0,1,1) (0,0,0) 1 1 (0) 0111 (0)

7 23 Esimerkki. Laske integraali F dr, kun on ympyrä x y 1 kierrettynä vastapäivään alku- ja loppupisteenä (1,0) ja F on vektorikenttä y x F ( Fx, Fy) (, ). x y x y Onko kenttä konservatiivinen? Laskua yksinkertaistava huomio: koska integroimiskäyrällä x y 1, on kenttä sillä F ( y, x). Parametrisoidaan käyrä kiertokulman avulla: r( ) (cos,sin ), 0 2. Silloin F ( sin,cos ) ja käyräintegraaliksi saadaan 2 2 F dr F r '( ) d ( sin,cos ) ( sin,cos )d (sin cos ) d d Koska tämä integraali yli suljetun käyrän ei häviä, kenttä ei ole konservatiivinen. Pyörteettömyysehto. Välttämätön ehto vektorikentän F F( x, y, z) konservatiivisuudelle ja siten skalaaripotentiaalin olemassaololle on myös seuraava: F F x y Fy Fz Fz Fx,,. y x z y x z

8 24 Tämä ehto voidaan kirjoittaa edellä annetun -operaattorin avulla yksinkertaisesti F( x, y, z) 0, sillä F( x, y, z) tarkoittaa vektoria iˆ ˆj kˆ F( x, y, z) F F F F Fy z ˆ F F x Fz ˆ y F x i j kˆ. y z z x x y Vektorikenttää F, jolle F( x, y, z) 0, sanotaan pyörteettömäksi (asiaan palataan myöhemmin). Kaksiulotteisessa tapauksessa pyörteettömyysehto on F x F y. y x Esimerkki. Edellä olleessa tehtävässä kysyttiin, onko kenttä F ( F, F, F ) ( x y, x z, y) konservatiivinen. Yllä annetut ehdot toteutuvat, F F x y Fy Fz Fz Fx 1, 1, 0, y x z y x z joten kenttä voi olla konservatiivinen. Ei välttämättä kuitenkaan ole, koska pyörteettömyys on välttämätön mutta ei riittävä ehto.

9 25 Esimerkki. Fysiikassa potentiaalia merkitään usein kirjaimella U ja konservatiivinen voima F esitetään muodossa U ˆ U ˆ U F U i j kˆ. Yhdessä ulottuvuudessa jousivoiman potentiaali(energia) on 1 2 U U( x) 2 kx, josta saadaan jousivoimaksi F iˆ kxiˆ. x