a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki = 16 3 =
|
|
- Tuulikki Heikkinen
- 9 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin määritelmä atkaisu: a) eaalifunktion f integraalifunktioksi sanotaan jokaista funktiota F, jonka derivaatta on f. Koska f (x) on jokaisen funktion F(x) +C derivaatta (missä C on vakio), ei integraalifunktio ole yksikäsitteinen. Saman funktion integraalifunktiot voivat siis erota toisistaan vakiolla. Esimerkiksi funktion f (x) = x derivaatta on f (x) = x. Funktion f (x) mikä tahansa integraalifunktio F(x) = x +C, siis esimerkiksi f (x) = x +. b) Määrätty integraali tietyllä välillä tarkoitta funktion ja akselin tai kahden funktion väliin jäävän alueen pinta-alaa kyseisellä välillä. Esimerkiksi funktion f (x) = x + 4 ja x- akselin väliin jäävän alueen pinta-ala välillä [, ] on / ( x + 4)dx = ( x + 4x) = = 6 =.. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Jos F on jokin funktion f integraalifunktio, niin kaikki f :n integraalifunktiot ovat muotoa F +C, jossa C on vakio. b) Jokaisella jatkuvalla funktiolla on integraalifunktio. { c) Paloittaisella funktiolla h(x) = x, kun x <, kun x on integraalifunktio, joka on määritelty kaikilla reaaliluvuilla. d) Jos funktio f on derivoituva, se ei ole integroituva. e) Funktion ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala välillä [a,b] saadaan kaavalla b f (x)dx, kun f (x) välillä [a, b]. a f) Funktiolla f (x) on ainakin kaksi nollakohtaa välillä [a, b], kun käyrän ja x-akselin välisen alueen ala A = c f (x)dx d f (x)dx + b f (x)dx. a c d
2 g) Analyysin peruslauseen mukaan b f (x)dx = Vihje: funktion f jokin integraalifunktio. * Integraalifunktion käsite a / b * Määrätyn integraalin ja integraalifunktion yhteys Vastaus: a) tosi b) tosi c) epätosi d) epätosi e) tosi f) tosi g) epätosi atkaisu: a) Tosi. b) Tosi. a F(x) = F(a) F(b), kun F on jatkuvan c) Epätosi. Epäjatkuvuuskohdassa funktiolla ei ole integraalifunktiota, koska integroimalla erikseen{ funktion h lausekkeet saadaan x +C, kun x < H(x) = x +C, kun x Jatkuvuusehto antaa yhtälön +C = +C C = +C = 4 +C Tällöin { x 4 H(x) = +C, kun x < x +C, kun x Huomataan, että H (x) = h(x), kun x. Koska lim x H (x) = lim x h(x) = ja lim x + H (x) = lim x + h(x) =, ei H() ole olemassa. Se merkitsee, että funktiolla h ei ole integraalifunktiota, joka olisi määritelty kaikilla reaaliluvuilla. d) Epätosi. Väittämä ei ole tosi, mikä voidaan todistaa vastaesimerkin avulla: funktio f (x) = x + on derivoituva ja sen derivaatta on f (x) = x +. Funktio on myös integroituva. Sen integraalifunktio on F(x) = x4 4 + x +C.
3 e) Tosi. f) Tosi. g) Analyysin peruslauseen mukaan b funktion f jokin integraalifunktio. a f (x)dx = b F(x) = F(b) F(a), kun F on jatkuvan a. Integroi a) (x + x + )dx b) ( + x x4 )dx c) x dx Vihje: * Suoria integrointikaavoja I * Suoria integrointikaavoja II * Osittaisintegrointi Vastaus: a) (x + x + )dx = x + x + x +C b) ( + x x4 )dx = x + 7 x x5 +C c) x dx = 6 x +C atkaisu: a) (x + x + )dx = x + x + x +C b) ( + x x4 )dx = x + 7 x x5 +C c) x dx = 6 x +C 4. Integroi a) ( x 5 + e+x )dx b) ( 4cos(x) ) dx c) (7 7 u + u u )du
4 d) (t t) dt = 7 t t +C e) ( tan(r) + sin(r) ) dr Vastaus: a) ( x 5 + e+x )dx = ln x 5x + e+x +C b) ( 4cos(x) ) dx = 4 sin(x) +C c) (7 7 u + u u )du = 7( 7 u u 6 ) +C d) (t t) dt = 7 t t +C e) ( tan(r) + sin(r) ) dr = ln cos(r) cos(r) +C atkaisu: a) ( x 5 + e+x )dx = ln x 5x + e+x +C b) ( 4cos(x) ) dx = 4 sin(x) +C c) (7 7 u + u u )du = 7( 7 u u 6 ) +C d) (t t) dt = t 7 7 = 7 t t +C e) ( tan(r) + sin(r) ) dr = ln cos(r) cos(r) +C 5. Osoita, että funktio F : F(x) = x + on funktion f : f (x) = x eräs integraalifunktio. x + Vihje: Derivaatta on integraalin käänteinen toimenpide. atkaisu: Jos funktio F(x) on funtion f (x) eräs integraalifuntio, F (x) = f (x). Saadaan F (x) = (x + ) x = x = x = f (x). x + x + F(x) on siis eräs funktion f (x) integraalifunktio. 6. a) Määritä funktion f : f (x) = x se integraalifunktio F, jonka kuvaaja kulkee pisteen (,) kautta. b) Määritä se funktion f : f (x) = x + integraalifunktio F, jonka kuvaaja sivuaa suoraa y = x +.
5 Vastaus: a) F(x) = x x + b) F(x) = x + x + atkaisu: a) Integroidaan funktio: F(x) = (x )dx = x x +C. Vakion C arvo saadaan sijoittamalla piste (,): F() = +C = C = F(x) = x x +. b) Integroidan funktio: F(x) = (x + )dx = x + x +C = x + x +C. atkaistaan suoran ja integraalin yhteinen piste. Muodostetaan yhtälö x + x +C = x + x + 4x + ( +C) = x = 4± 6 4 (+C). Jotta suoralla ja integraalifunktiolla olisi vain yksi yhteinen piste, on diskriminantin oltava nolla. D = 6 4 ( +C) = 6 4C = 4C = 4 C = F(x) = x + x + 7. Tutki, onko yhtälö tosi. a) (5x + ) dx = (5x + )4 +C b) 4x + dx = (4x + ) +C c) cos(x)dx = sin(x) +C d) sin( π 4 x)dx = cos( π 4 x) +C e) e x dx = ln e x +C Vihje: * Sijoitusmenettely
6 Vastaus: a) tosi b) epätosi c) tosi d) tosi e) epätosi atkaisu: a) Tosi. Käytetään sijoituskeinoa: 5x + = t 5dx = dt 5 (5x + ) dx = t 5 dt = 5 t4 4 +C = (5x + )4 +C b) Epätosi. Käytetään sijoituskeinoa: 4x + = t 4dx = dt 4 4x + dx = t dt 4 = 4 t +C = 6 t +C = 6 (4x + ) +C c) Tosi. Käytetään sijoituskeinoa: x = t cos(x)dx = cos(t) dt = sin(t) +C = sin(x) +C d) Tosi. Käytetään sijoituskeinoa: π x = t dx = dt sin( π 4 x)dx = sin(t) dt = ( cos(t)) +C = cos(t) +C = cos( π 4 x) +C e) Epätosi. Saadaan e x dx = x e π +C 8. Tutki, onko yhtälö tosi.
7 a) dx x+ = ln x + +C b) x(x + ) dx = 8 (x + ) 4 +C c) x (x ) dx = (x ) +C d) xe x dx = e x +C Vastaus: a) epätosi b) tosi c) epätosi d) tosi atkaisu: a) Epätosi. Käytetään sijoituskeinoa: x + = t dx x+ = dt t = ln t +C b) Tosi. Käytetään sijoituskeinoa: x + = t xdx = dt x x(x + ) dx = t dt = 8 t4 +C = 8 (x + ) 4 +C c) Epätosi. Käytetään sijoituskeinoa: x = t x dx = dt x x (x ) dx = t dt = t4 +C = (x ) 4 +C d) Tosi. Käytetään sijoituskeinoa: x = t xdx = dt x xe x dx = e t dt = et +C = e x +C
8 9. Integroi a) sin(x)cos(x)dx b) ( sin(x) ) cos(x)dx c) dx xlnx d) e x e x + dx Vastaus: ( ) sin(x) a) sin(x)cos(x)dx = +C b) ( sin(x) ) ( ) sin(x) cos(x)dx = +C c) dx xlnx = ln lnx +C d) e x e x + dx = ln(ex + ) +C atkaisu: a) Käytetään sijoituskeinoa: sin(x) = t cos(x)dx = dt dx = dt cos(x) sin(x)cos(x)dx = t dt = t ( +C = ) sin(x) +C b) Käytetään sijoituskeinoa, ks. tehtävä 9 a) ( sin(x) ) cos(x)dx = t dt = t ( +C = ) sin(x) +C c) Käytetään sijoituskeinoa: ln(x) = t x dx = dt dx = xdt dx xlnx = dt t = ln(t) +C = ln ( ln(x) ) +C
9 d) Käytetään sijoituskeinoa: e x + = t e x dx = dt e x e x e x + dx = dt t = ln t +C = ln e x + +C = ln(e x + ) +C. Integroi a) ( sin(x) ) dx b) x x+ dx c) x x x+ dx Vastaus: a) ( sin(x) ) dx = x 4 sin(x) +C b) x x+ c) x x x+ atkaisu: dx = x + 5ln x + +C dx = (x+) (x + )x + x + +C a) ( sin(x) ) dx = ( cos(x)) dx = x cos(x)dx Käytetään sijoituskeinoa: x = t x cos(x)dx = x cos(t)dt = x 4 sin(t) +C = x 4 sin(x) +C b) Käytetään sijoituskeinoa: x + = t x = t x x+ dx = (t ) t dt = 5 t dt = t 5ln t +C = x + 5ln x + +C c) Käytetään sijoituskeinoa, ks. tehtävä b) x x x+ dx = (t ) (t ) t dt = t t +t t dt = (t t + )dt = t t +t +C = (x+) (x + )x + x + +C
10 . a) Olkoon F funktion f : f (x) = x se integraalifunktio, jolle F() =. Laske F(). b) f (x) = x + x ja f () =. Määritä funktio f. Vihje: Integraalifunktion F:n tulee olla jatkuva. Vastaus: { x x + 7, x a) F(x) = x + x +, x < F() = = 5 x + x 7, x b) f (x) = x 7, < x < x x,x atkaisu: a) Integroidaan funktio { x, x f (x) = x = x +, x < Saadaan{ x x +C, x F(x) = x + x +C,x <. F:n tulee olla jatkuva kohdassa x =. Sijoitetaan x = yhtälöparin lausekkeisiin ja lasketaan vakio C : 4 +C = + 4 +C C = 4 +C. Integraalifunktioksi { saadaan x x +C, x F(x) = x + x 4 +C, x < Ehdon F() = + 4 +C = C = 7 avulla integraalifunktioksi saadaan { x x + 7, x F(x) = x + x +,x < Lisäksi F() = = 5 { x + x +C, x b) f (x) = x +C, x < x < x x +C, x
11 f (x):n tulee olla jatkuva rajakohdissa, jolloin C = C ja 4 +C = C. (ks.edellinen) { x + x +C, x f (x) = x +C, x < x < x x + 4 +C, x f () = + 4 +C = C = 7 { x + x 7, x f (x) = x 7, x < x < x x, x. Laske a) b) c) d) (x ) dx 9 xdx t x+4 dx cos(t y)dy ( e) (x +t) dt ) dx Vastaus: a) b) 6 c) ( ) d) sin(t) e) 8 atkaisu: a) (x ) dx = (4x x + 9)dx / 4x = 6x + 9x = ( 4 6 9) =
12 b) Käytetään sijoituskeinoa: 9 x = t dx = dt 9 xdx = = = = / / t dt t t 9 / 9 (9 x) = 9 (9 ) ( 9 (9 ) ) = 6 c) Käytetään sijoituskeinoa: x 4 = t Integroidaan sivussa: x+4 dx = t dt = t +C = t +C = x + 4 +C = / x + 4 ( ) + 4 ( ) + 4 = ( ) d) Käytetään sijoituskeinoa: t y = h dy = dh dy = dh Integroidaan sivussa: cos(t y)dy = cos(h) dh = sin(h) +C = sin(t y) +C / t sin(t y) = sin(t t) + sin(t) = sin(t) e) ( (x +t) dt ) dx = ( (t + 4xt + 4x ) dt)dx
13 = / t ( + xt + 4x t)dx = ( + x + 4x )dx / = ( x + x + 4x ) = = 8. (*) atkaise kaksoisepäyhtälö < x Vastaus: < x < 9 t dt < ln, kun x >. t + atkaisu: Integroidaan itse funktio. Käytetään sijoituskeinoa: t + = h t dt = dh dt = dh t Integroidaan sivussa: t t + dt = t h dh t = dh h = ln h +C = ln t + +C = ln(t + ) +C x / x t t + dt = ln(t + ) = ln(x + ) ln() = ln( x + ) < ln( x + ) < ln, kun x > ln < ln( x + ) < ln < x + < < x + < < x < 9 < x < 9, kun x > 4. (*) Laske ( x + + x )dx. Vihje: Lausekkeen itseisarvot jakavat tarkastelun eri väleihin. Vastaus: 4 atkaisu: ( x + + x ) dx = ((x + ) + x )dx = (x + + x)dx + (x + + x )dx = (x x + )dx + (x + x)dx
14 / / = ( x x + x)dx + ( x + x ) = + ( 8 4 4) ( + ) = 4 5. (*) Määritä funktion f (x) = Vihje: * Tarkastele lausekkeen arvoa muuttujan x eri väleillä. * Pienimmän arvon voi tulkita esimerkiksi kuvaajasta. Vastaus: Pienin arvo on f () =. x t dt pienin arvo. Piirrä funktion f kuvaaja. atkaisu: Integroitaessa tarkastellaan funktiota eri x:n arvoilla. Saadaan kolme tapausta: ) x : f (x) = ( x +t)dt = ) x : f (x) = (x t)dt = / / (t xt) = 4 x = x (xt t ) = x ) < x < : f (x) = x (x t)dt + (t x)dt = x ) = x x + x / x (xt t ) + / x (t xt) = x x x + ( x Kuvaajasta tarkastelemalla nähdään, että funktio saavuttaa pienimmän arvonsa välillä < x <. Pienin arvo löytyy tämän välin derivaatan nollakohdasta: f (x) = x = x = x =
15 Pienin arvo on siis f () =. 6. (*) Sievennä f (x) = x x + 4, x Vastaus: f (x) = x 4, x 6 4 x x + 4, < x < 6 t dt. Piirrä funktion f kuvaaja. atkaisu: Tarkastellaan funktiota eri x:n arvoilla. Saadaan kolme tapausta: ) x x : f (x) = / ( x +t)dt = xt ( + t ) = x + 4 ) x x 6: f (x) = / ( x t)dt = ( xt t ) = x 4 ) < x < < x < 6: f (x) = x ( x t)dt + x ( x +t)dt = / x ( xt t ) + / x ( xt + t ) = x 4 x x x ( 4 + x 8 ) = 4 x x + 4 x + 4, x f (x) = x 4, x 6 4 x x + 4, < x < a) Laske käyrän y = x, x-akselin sekä suorien x = pinta-ala. ja x = rajoittaman alueen
16 b) Määritä käyrän y = x x, x-akselin ja suoran x = rajoittaman, kaksiosaisen alueen pinta-ala. c) Laske käyrien y = 4 x +, y = x +, x = ja x = rajoittaman alueen pinta-ala. Vihje: * Määrätyn integraalin laskusäännöt * Esimerkkejä määrätyn integraalin laskemisesta Vastaus: a) A = 7 8 b) A = c) A = atkaisu: a)
17 Kuvaajasta nähdään, että kyseinen alue on x-akselin alapuolella, joten määrätyn integraalin kaava antaa negatiivisen arvon. Ala saadaan laskemalla funktion y = x määrätty integraali välillä [,]. A = ( x )dx = / ( x x) = ( 8 + ) = = 7 8 b) Kuvaajasta nähdään, että välillä [, ] alue on x-akselin alapuolella, joten määrätyn integraalin kaava antaa negatiivisen arvon. Välillä [, ] alue taas on x-akselin yläpuolella, jolloin määrätyn integraalin kaavasta saatu arvo on positiivinen. Kokonaispinta-ala saadaan laskemalla yhteen näiden kahden alueen alat. A = (x x)dx / = ( x x ) = = 6 A = (x x)dx / = ( x x ) = = 5 6 A = A + A = = c)
18 Koska funktio y = x + rajaa aluetta yläpuolelta ja funktio y = 4 x + alapuolelta saadaan alueen pinta-ala integroimalla funktioiden erotus välillä [,]: A = ( x + ( 4 x + ))dx = ( 4 x + x + )dx / = ( x + x 4 + x) = =. 8. Määritä käyrän y = x x 4 rajaaman kuvion pinta-ala. Vihje: * Hyödynnä kuvion symmetriaa pinta-alan laskemisessa. * Huomaa reaalisuusehto Vastaus: A = atkaisu: Saadaan y = x x 4 y = ± x ( x ). Koska pinta-ala on symmetrinen x-akselin suhteen, riittää, että lasketaan x-akselin yläpuolella olevan alueen pinta-ala ja kerrotaan se kahdella. Myös akselin yläpuolella olevan alueen ala koostuu kahdesta keskenään symmetrisestä osiosta, joista vain toisen ala on syytä laskea.
19 Tarkastellaan funktiota y = x ( x ). Lasketaan funktion nollakohdat: x ( x ) = x = x = x = x = ±. Saadaan reaalisuusehto: x ( x ) x tai x x tai x ±. Merkkikaaviosta nähdään, että funktion reaalisuusehto täyttyy välillä [, ]. Merkitään x-akselin yläpuolelle jäävän alueen pinta-alaa välillä [,] A : A = ( x ( x ) ) dx = (x x )dx. Integroidaan sivussa ja käytetään sijoituskeinoa: x = t xdx = dt x x x dx = x t x dt = t dt = t +C = ( x ) +C A = (x x )dx = / ( ( x ) ) = ( ) + ( ) = Saadaan kokonaisala A = 4 A =. 9. Käyrän y = x pisteiden (,) ja (,) välinen kaari pyörähtää a) x-akselin ja b) y-akselin ympäri. Laske muodostuvan pyörähdyskappaleen tilavuus. Vihje: * Pyörähdyspinnan ala Vastaus: a) 8 5 π b) 7 π atkaisu:
20 a) Pyörähdyskappaleen tilavuus saadaan integroimalla x-akselin suhteen välillä [,] kaavan V = π b a f (x) dx avulla: V = π (x ) dx = π (x 4 x + )dx / = π ( x5 5 x + x = π( ) π( 5 + ) = 5 8 π. b) Muunnetaan funktio muotoon x = y +. Pyörähdyskappaleen tilavuus saadaan integroimalla y-akselin suhteen välillä [,] kaavan V = π b f (x) dx avulla: a V = π ( y + ) dy = π (y + )dy / = π ( y + y = π( 9 + ) π( + ) = 7 π.. Funktioiden f (x) = x ja g(x) = + x kuvaajien väliin jäävä alue välillä [,] pyörähtää x-akselin ympäri. Laske syntyvän kappaleen tilavuus. Vastaus: 49 7 atkaisu:
21 Syntyvän pyärähdyskappaleen tilavuus saadaan onton pyörähdyskappaleen tilavuuden kaavalla: V = π ( + x ) x dx = π 4 + x4 dx = π ( 4 + x4 )dx = π / 4 x + x ) = π( 4 = 49 7 π.
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
Integrointi ja sovellukset
Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,
Differentiaalilaskennan tehtäviä
Differentiaalilaskennan tehtäviä DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona 2. Derivoimiskaavat 2.1
x n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x
Osittaisintegrointia käyttäen osoita integraalille I n x n e x dx oikeaksi reduktiokaava I n x n e x + ni n ja laske sen avulla mitä on I 4 kun x. x n e x dx n( e x ) nx n ( e x ) x n e x + ni n x 4 e
Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja
Differentiaalilaskenta 1.
Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,
Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman
Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi
Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2
, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä
Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =
l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
Integroimistekniikkaa Integraalifunktio
. Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A
l 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!
A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim
3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.
Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman
Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2
Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100
1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)
Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)
Talousmatematiikan perusteet: Luento 16. Integraalin käsite Integraalifunktio Integrointisääntöjä
Talousmatematiikan perusteet: Luento 16 Integraalin käsite Integraalifunktio Integrointisääntöjä Integraalin käsite Tarkastellaan auton nopeusmittarilukemaa v(t) ajan t funktiona aikavälillä klo 12.00-17.00
MAA10 HARJOITUSTEN RATKAISUJA
MAA MAA HARJOITUSTEN RATKAISUJA. f(), jolloin kaikki integraalifunktiot saadaan parvesta F() C, ja kun F(), niin integroimisvakion määräämiseksi saadaan yhtälö C C 9 9 C. Kysytty integraalifunktio on siten
H5 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H5 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 30. syyskuuta 07 a) 3a (ax + b)3/ + C b) a cos(ax + b) + C a) Tässä tehtävässä päästään harjoittelemaan lukiosta tuttua integrointimenetelmää. Ensimmäisessä kohdassa
Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
3 Määrätty integraali
Määrätty integraali. a) Muodostuva alue on kolmio, jonka kanta on. Kolmion korkeus on funktion arvo kohdassa, eli f() = = 6. Lasketaan A() kolmion pintaalana. 6 A() 6 Vastaus: A() = 6 b) Muodostuva alue
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa
Differentiaali- ja integraalilaskenta
Differentiaali- ja integraalilaskenta Opiskelijan nimi: DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona
cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos Matlab-tehtäviä, käyrän sovitus -e Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Laske integraali 2π cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti.
Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?
Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.
6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat
Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa
MS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)
MS-A17 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 CHEM) Laskuharjoitus 4lv, kevät 16 1. Tehtävä: Laske cos x dx a) osittaisintegroinnilla, b) soveltamalla sopivaa trigonometrian kaavaa. Ratkaisu: a) Osittaisintegroinnin
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
Johdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9
Lyhyehkö johdanto integraalilaskentaan. Johdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Integraalilaskennan lähtökohta 1: Laskutoimitukset + ja ovat keskenään käänteisiä, samoin ja ovat käänteisiä, kunhan ei jaeta
derivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,.
Matematiikka, MAA9. a) Ratkaise yhtälö tan (YOS) Kulma on välillä [, 6]. Ratkaise asteen tarkkuudella seuraavat yhtälöt: b) sin c) cos (YOs). Kulmalle [9,6 ] on voimassa sin = 8 7. Määritä cos ja tan..
π( f (x)) 2 dx π(x 2 + 1) 2 dx π(x 4 + 2x 2 + 1)dx ) = 1016π 15
BMA58 Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Kevät 7 Vaikka useissa tehtävissä pyydetään vain lauseketta, ratkaisua tehdessäsi hahmottele aina kuva ja merkitse näkyviin myös lausekkeen osien geometriset
Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.
Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x
Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:
MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi
KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.
KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a
Hyvä uusi opiskelija!
Hyvä uusi opiskelija! Tässä tulee tärkeää tietoa heti syksyn alussa pidettävästä laskutaitotestistä. Matematiikka kuuluu tekniikan alan opiskelijan tärkeimpiin oppiaineisiin. Matematiikan opiskelu kehittää
Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3
MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, I/27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3 Tehtävä : Hahmottele seuraavat vektorikentät ja piirrä niiden kenttäviivat. a) F(x, y) =
A B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1
Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa
2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 2 Funktion derivaatta 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 1. Määritä suoraan derivaatan määritelmää käyttäen f (0), kun (a) + 1, (b) (2 + ) sin(3). 2. Olkoon
2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 2 Funktion derivaatta 1. Määritä derivaatan määritelmää käyttäen f (), kun (a), (b) 1 ( > 0). 2. Tutki, onko funktio sin(2) sin 1, kun 0, 2 0, kun = 0, derivoituva
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä
Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.
Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä
Matematiikan perusteet taloustieteilij oille I
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille I Harjoitukset syksy 2006 1. Laskeskele ja sieventele a) 3 27 b) 27 2 3 c) 27 1 3 d) x 2 4 (x 8 3 ) 3 y 8 e) (x 3) 2 f) (x 3)(x +3) g) 3 3 (2x i + 1) kun, x
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai 30.11.015 1. (Opiskelutet. 0 s. 81.) Selvitä, miten lauseke sin(4x 3 + cos x ) muodostuu perusfunktioista (polynomeista, trigonometrisistä funktioista jne).
Funktion derivoituvuus pisteessä
Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio
MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen
MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
YLIOPPILSTUTKINTO- LUTKUNT..7 MTEMTIIKN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ -osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän alla olevaan ruudukkoon.
Tehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
integraali Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Aiheet Linkkejä Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Määrätty integraali
integraali 1 Matta-projekti(Aalto yliopisto): Integraali (http://matta.hut.fi/matta2/isom/html/isomli8.html ) Johdatus korkeakoulumatematiikkaan (Tampereen teknillinen korkeakoulu): Integraali (http://matwww.ee.tut.fi/jkkm/integraa/integ01.htm
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
Pisteessä (1,2,0) osittaisderivaatoilla on arvot 4,1 ja 1. Täten f(1, 2, 0) = 4i + j + k. b) Mihin suuntaan pallo lähtee vierimään kohdasta
Laskukarnevaali Matematiikka B. fx, y, z) = x sin z + x y, etsi f,, ) Osittaisderivaatat ovat f f x = sin z + xy, y = x, f z = x cos z Pisteessä,,) osittaisderivaatoilla on arvot 4, ja. Täten f,, ) = 4i
x (t) = 2t ja y (t) = 3t 2 x (t) + + y (t) Lasketaan pari käyrän arvoa ja hahmotellaan kuvaaja: A 2 A 1
BM2A582 Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Kevät 26 Kaikissa tehtävissä tärkeintä ja riittävää on saada oikea lauseke aikaiseksi. Useissa tehtävissä integraalit eivät tosin ole niin vaikeita
(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R.
Calculus Kurssikoe..7. Laske (a) x sin x, (b) x x + x. (a) Merkitään u(x) = x ja v (x) = sin x, jolloin u (x) =, v(x) = cos x ja osittaisintegroimalla saadaan x sin x = u(x)v (x) = u(x)v(x) u (x)v(x) =
Matematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:
A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim
Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
Yleisiä integroimissääntöjä
INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Yleisiä integroimissääntöjä Integroiminen eli annetun funktion f integraalifunktion F määrittäminen (löytäminen) on yleisesti haastavaa. Joskus joutuu jopa arvata tai kokeilla.
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen
4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.
6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon
b) Määritä/Laske (ei tarvitse tehdä määritelmän kautta). (2p)
Matematiikan TESTI, Maa7 Trigonometriset funktiot RATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen
Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin
Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1. Derivoidaan molemmat puolet, aloitetaan vasemmasta puolesta. Muistetaan että:
Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1 1. Eräs trigonometrinen ientiteetti on sin2x = 2sinxcosx Derivoimalla yhtälön molemmat puolet x:n suhteen, joha lauseke cos 2x:lle. Ratkaisu: Derivoiaan molemmat puolet,
JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.
JATKUVAT FUNKTIOT JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva funktio Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista., suomennos Matti Pauna JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva
3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen
Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille
MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
sin x cos x cos x = sin x arvoilla x ] π
Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 0, ratkaisuista. Todenna, että = + tan x. Mutta selvitäppä millä reaaliarvoilla se oikeasti pitää paikkansa! Ratkaisu. Yhtälön molemmat puolet ovat määriteltyjä
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 8906 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Tutkintoaineen sensorikokous on hyväksynyt seuraavat hyvän vastauksen piirteet Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty
Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
3. Reaalifunktioiden määräämätön integraali
50 3. Reaalifunktioiden määräämätön integraali Integraalifunktio Derivoinnin käänteistoimituksena on vastata kysymykseen "Mikä on se funktio, jonka derivaatta on f?" Koska vakion derivaatta 0, havaitaan
dy dx = y x + 1 dy dx = u+xdu dx, u = y/x, u+x du dx = u+ 1 sinu eli du dx = 1 1 Erotetaan muuttujat ja integroidaan puolittain: y = xln(ln(cx 2 )).
Harjoitus Tehtävä 5. d) Jakamalla annettu yhtälö puolittain xsin(y/x):llä saadaan Sijoitetaan taas jolloin saadaan dy dx = y x + 1 sin ( y). u = y/x, x dy dx = u+xdu dx, u+x du dx = u+ 1 sinu du dx = 1
Oletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 18 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että sileille Jordan-poluille on voimassa : I R n ja : J R n (I) = (J) jos ja vain
MAA10 HARJOITUSTEHTÄVIÄ
MAA0 Määritä se funktion f: f() = + integraalifunktio, jolle F() = Määritä se funktion f : f() = integraalifunktio, jonka kuvaaja sivuaa suoraa y = d Integroi: a) d b) c) d d) Määritä ( + + 8 + a) d 5
Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan
Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1
Mapu. Laskuharjoitus 3, Tehtävä Lineaarisessa approksimaatiossa funktion arvoa lähtöpisteen x 0 ympäristössä arvioidaan liikkumalla lähtöpisteeseen sovitetun tangentin kulmakertoimen mukaisesti: f(x 0
Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)
Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut
B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?
Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,