Mat Matematiikan peruskurssi K2

Transkriptio

1 Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x, y, z) = x yzi + xy zj + xyz k. a) Laske kentän F divergenssi ja roottori. b) Laske kentän F vuo läpi kuution x, y, z pinnan ulospäin.. a) Ratkaise alkuarvotehtävä y + 3x y = e x3 cos x, y() =. b) Ratkaise alkuarvotehtävä y = xe y, y() =. 3. a) Määrää differentiaaliyhtälön y y y = yleinen ratkaisu. b) Etsi differentiaaliyhtälön y y y = x yksittäisratkaisu. (Vihje: ratkaisu löytyy muotoa y = ax + b olevalla yritteellä.) c) Ratkaise alkuarvotehtävä y y y = x, y() =, y () =. 4. a) Laske elliptisen kiekon x + y pinta-ala soveltamalla Greenin 4 9 lausetta vektorikenttään F(x, y) = ( yi + xj). b) Osoita sopivia testejä käyttäen, että sarjat k= k 3 k ja k= k 3 suppenevat.

2 Integrointikaavoja D S D div F dv = S curl F ˆN ds = F ˆN ds C F dr F x F da = F dr C

3 K VK ratkaisut tehtäviin ja.tehtävä a) Vektorikentän F = F i + F j + F 3 k divergenssi on ja roottori on i j k curl F = x z F F F 3 = div F = F x + F + F 3 z, ( F3 F ) ( F i+ z z F ) ( 3 F j+ x x F ) k. Tässä F = x yzi + xy zj + xyz k, joten divergenssiksi saadaan div F = (x yz) x + (xy z) + (xyz ) z = xyz + xyz + xyz = 6xyz. ja roottoriksi i j k curl F = x z x yz xy z xyz = ( xz xy ) i + ( x y yz ) j + ( y z x z ) k. b) Käytetään hyväksi Gaussin lausetta: S F ˆN ds = = D div F dv = 3x yz dydz = 6xyz dxdydz 3yz dydz = 3 z dz = 3 4. Luonnollisesti tehtävän voi ratkaista myös summaamalla yhteen vuot jokaisen kuution seinän läpi. Pisteytys: 3 pistettä a- ja b-kohdista. a-kohdasssa yleisimmät virheet olivat divergenssin ilmoittaminen vektorina ja merkkivirhe roottorin j-komponentissa. Jos virheistä oli vain jompikumpi, sai kaksi pistettä. b-kohdassa järkevästä lähestymistavasta sai pisteen ja oikeasta laskusta pistettä.

4 .tehtävä a) Ensimmäisen kertaluvun vakiokertoiminen DY, joka on muotoa y (x) + p(x)y(x) = r(x) ratkeaa integroivan tekijän e p(x)dx avulla. y (x) + p(x)y(x) = r(x) e p(x)dx y (x)e p(x)dx + p(x)y(x)e p(x)dx = r(x)e p(x)dx d dx (y(x)e p(x)dx ) = r(x)e p(x)dx y(x)e p(x)dx = r(xe p(x)dx dx + C y(x) = Ce p(x)dx + e p(x)dx r(x)e p(x)dx dx Tässä p(x) = 3x ja r(x) = e x3 cos x, jolloin ratkaisuksi saadaan y(x) = Ce x3 + e x3 cos x dx = (C + sin x)e x3. Sijoitetetaan alkuarvo ja ratkaistaan vakio: y() = C =. Lopullinen ratkaisu: y(x) = ( + sin x)e x3. b) Kyseessä on separoituva differentiaaliyhtälö. y = xe y dy dx = xe y e y dy = x dx e y = x + C ( ) y = ln x + C

5 Ratkaistaan vakio alkuarvosta: Lopullinen ratkaisu: y() = ln C = C =. ( ) y = ln x + Pisteytys: 3 pistettä a- ja b-kohdista. a-kohdasssa yleisin virhe oli yhdistää termi e x3 vakioon C, jolloin vastaukseksi tuli + sin(x)e x3. Termi e x3 ei ole vakio, koska se sisältää x:n. Tästä lähti piste, jos tehtävä oli muuten oikein. b-kohdassa virheet liittyivät yleisimmin logaritmin käyttöön. Useimmiten todettiin, että y = ln x + ln C, mikä johtaa mahdottomaan alkuehtoon. Tästä virheestä menetti pistettä, jos tehtävän jätti kesken tai ratkaisi loppuun väärin. Mahdottoman alkuehdon havaitseminen ja tuloksen perusteleminen aiheutti vain pisteen menetyksen. Toinen tyypillinen virhe oli sotkea ln ja ln. 3

6 Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Kolmas välikoe 6.5. Malliratkaisut tehtäviin 3 ja 4 3. a) Differentiaaliyhtälön y y y = karakteristinen yhtälö on λ λ =. Sen juuret ovat λ = ja λ =. Täten DY:n ratkaisuksi saadaan y(x) = Ae x + Be x, A, B R. b) Sijoitetaan yrite y = ax + b differentiaaliyhtälöön y y y = x. Tällöin saadaan a (ax + b) = a b ax = x = a b =, a =, a =, b = 4. Siten yksittäisratkaisuksi saadaan y(x) = x + 4. c) DY:n y y y = x yleiseksi ratkaisuksi saadaan a-kohdan mukaisen homogeenisen yhtälön ratkaisun ja b-kohdan yksittäisratkaisun lineaarikombinaatio, eli y(x) = Ae x + Be x x + 4. Vakiot A ja B saadaan määrättyä alkuehdoista y() = A + B + 4 =, y () = A + B = A = 3, B = 5. Täten alkuarvotehtävän ratkaisuksi saadaan y(x) = 3 e x + 5 ex x + 4. Pisteytys: Jokaisesta kohdasta saa kaksi pistettä. a-kohdassa karakteristisen yhtälön juurista saa yhden pisteen. b-kohdassa yritteen sijoittaminen differentiaaliyhtälöön ja yhtälön muodostaminen vakioille a ja b oikeuttaa yhteen pisteeseen. c-kohdasta sai pisteen, jos osasi muodostaa DY:n yleisen ratkaisun a- ja b-kohtien ratkaisujen avulla.

7 4. a) Elliptisen kiekon x } D = 4 + y 9 positiivisesti suunnistettu reunakäyrä C voidaan parametrisoida seuraavasti } C = r(t) = cos ti + 3sin tj : t π. Greenin lauseella saadaan ala(d) = da = ( x D D x ( y) ) ( F da = D x F ) da π = F dr = F(r(t)) r (t) dt = π ( 3sin ti + cos tj) ( sin ti + 3cos tj) dt C π ( = 3 sin t + cos t ) dt = 3 π dt = 6π. b) Olkoon a k = k 3 k, joten a k kun k Z +. Suhdetestin nojalla saadaan joten sarja k= k a k+ = k + 3k a k 3k+ k = 3 3 k suppenee. ( + ) k k 3 <, Olkoon f (x) = x 3. Tällöin f (k) = k 3, k Z +, lisäksi f on jatkuva ja saa epänegatiivisia arvoja, kun x [, ). Koska f (x) dx = lim M joten sarja k= M dx x 3 = lim M M/ x = lim M k 3 suppenee integraalitestin nojalla. ( M ) = <, Pisteytys: a-kohdasta sai kaksi ja b-kohdasta neljä pistettä. a-kohdasta sai pisteen, jos osasi näyttää, että Greenin lauseella saa pinta-alan laskettua viivaintegraalista. b-kohdassa sopivan testin valinta tuotti kummassakin tapauksessa yhden pisteen, perusteluista sai toisen.