ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

Transkriptio

1 ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 15. syyskuuta 2016

2 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Nablaoperaatiot Gaussin ja Stokesin lauseet Nabla on ystävä 2 (18)

3 Differentiaaliset pituudet Etäisyyskoordinaattien tapauksessa differentiaalinen pituus on dx, dy, dz, dr, dr. Ympyränkaaren pituus on säde kertaa kulma radiaaneissa: sylinterikoordinaatistossa: r dφ pallokoordinaatistossa: R dθ, R} sin {{ θ} dφ =r Esim: Pallokoordinaatiston tilavuusalkio dv = dr (R dθ) (R sin θ dφ) = R 2 sin θ dr dθ dφ Sylinteripinnan pinta-ala-alkio ( r on pinnan ulkonormaali) ds r = r (r dφ) dz 3 (18)

4 Viivaintegraaliesimerkki V = E(x, y) dl c b y x dx c V a x ŷ dy Kirjan ja kaavakokoelman mukaan karteesisen koordinaatiston viiva-alkio on dl = x dx + ŷ dy + ẑ dz mutta tästä pitää tavallaan valita sopiva osa: V = a E(x, 0) x dx + 0 b 0 E(a, y) ŷ dy Entä, jos polku ei kulje vakiokordinaattikäyriä pitkin? 4 (18)

5 Yleisempi integroimispolku (2D) Parametrisoitu käyrä ( x(t), y(t) ) pisteestä A (t = t 1 ) pisteeseen B (t = t 2 ): Otetaan viiva-alkio kaavakokoelmasta B dl ŷ dy x dx A dl = x dx + ŷ dy ja käytetään rohkeasti ketjusääntöä dl = [ x dx ] dt + ŷdy dt dt Polkuintegraalista tulee tällöin c E(x, y) dl = t 2 t 1 E ( x(t), y(t) ) [ x x (t) + ŷ y (t) ] dt 5 (18)

6 Nablaoperaatiot Nabla ( ) on vektorimuotoinen derivaatta, joka karteesisessa koordinaatistossa voidaan esittää muodossa = x x + ŷ y + ẑ z Tavallisen vektorilaskennan avulla saadaan skalaarifunktiolle V ja vektorifunktiolle A operaattorit: gradientti divergenssi roottori V A A Laplacen operaattori 2 V = ( V ) Muissa koordinaatistoissa kannattaa ehdottomasti käyttää kurssin vektorikaavakokoelmaa. 6 (18)

7 Gradientti Skalaarifunktion gradientti V (x, y, z) = x x V + ŷ y V + ẑ z V osoittaa funktion suurimman kasvun suuntaan ja suuruus on kasvuvauhti kyseisessä suunnassa. Esim: V = x 2 y 2 V = 2x x 2y ŷ

8 Gradientti (jatkoa) Gradientin avulla voi laskea yksikkövektori â:n suuntaisen suunnatun derivaatan: â V Ottamalla suunnattu derivaatta käyrää pitkin ja integroimalla pisteestä A pisteeseen B saadaan Tulon derivaatta ja ketjusääntö: B V dl = V B V A A (UV ) = V U + U V [ ( )] f V (x, y, z) = f (V ) V 8 (18)

9 Divergenssi Vektorifunktion divergenssi A(x, y, z) = x A x + y A y + z A z mittaa vektorikentän muuttumista vektoreiden suunnassa tai vuoviivojen hajaantumista. Vektorikenttä A on lähteetön jos A = 0. A(x, y) = 0 A(x, y) = vakio > 0

10 Divergenssi (jatkoa) Tällä 2D-vektorikentällä on yksi pistemäinen lähde ja yksi pistemäinen nielu, ja muualla se on lähteetön. (Kuva voisi olla kahden vastakkaismerkkisen viivavarauksen vuoviivat.) 10 (18)

11 Gaussin lause A dv = V S A ds V = tilavuus S = tilavuuden ulkopinta ds = n ds n = pinnan ulkonormaali Tarkastelemalla häviävän pientä tilavuutta V saadaan myös divergenssille tulkinta/määritelmä. 11 (18)

12 Esim: Pistevarauksen kenttä Pistevarauksen sähkövuontiheys on D = εe = q 4πR 2 R = D R R Vektorikentän divergenssi paljastaa lähteen.lasketaan divergenssi pallokoordinaatistossa [kaavakokoelma] D = 1 R 2 = 1 R 2 R ) (R 2 D R + R ( ) q = 0 4π 1 R sin θ ( ) D θ sin θ + θ q D 1 R sin θ φ D φ pistevarauksen sähkövuontiheys on lähteetön kaikkialla??, paitsi origossa, missä D on epäjatkuva 12 (18)

13 Esim: Pistevarauksen kenttä (jatkoa) Tutkitaan tilannetta Gaussin lauseen avulla, integroimalla a-säteisen pallon yli: D dv = V S D ds = = q π 4π 2π 0 π 0 sin θ dθ 0 } {{ } =2 q 4πa R 2 }{{ R } a 2 sin θ dθ dφ =1 2π dφ 0 }{{} =2π = q Tulkinta: D = 0 kaikkialla, paitsi origossa, missä divergenssi on ääretön siten, että tilavuusintegraali antaa pistevarauksen. (Pistevarauksen tilavuusvarausjakauma sisältää siis jonkinlaisen deltafunktion [ylikurssia].) 13 (18)

14 Roottori Vektorikentän roottori x ŷ ẑ A(x, y, z) = x y z A x A y A z mittaa kentän pyörteisyyden (tai poikittaisen muutoksen) ja osoittaa pyörimisakselin suuntaan. Roottori on vektorikentän maksimikierto C A dl pinta-alaa kohti: [ ] C 1 A = lim n A dl s 0 s n C max 14 (18)

15 Roottori (jatkoa) A = y x + x ŷ A = 2 ẑ A = x x + y ŷ A = 0 15 (18)

16 Stokesin lause ( A) ds = S C A dl S = pinta ds = n ds n = pinnan normaali C = pinnan reunakäyrä C Reunakäyrän ja normaalin suunta oikeakätisesti: n Vektorikenttä A on pyörteetön eli konservatiivinen jos A = 0 A dl = 0 C 16 (18)

17 Laskuesimerkki (taululla) Lasketaan vektorikentälle A = x ( x y ) + ŷ x (a) S ( A) ds (b) C A dl kun pinta S on origokeskeinen puolikiekko säteellä 3 ja reunakäyrä C kulkee kuvassa vastapäivään. Kannattaako tässä käyttää karteesista koordinaatistoa vai sylinterikoordinaatistoa? Joskus jompi kumpi integraali on selvästi helpompi. Stokesin lauseen takia molempia ei yleensä tarvitse laskea (18)

18 Toinen derivaatta nablalla Laplacen operaattori Kaksoisroottori ( V ) = 2 V = 2 x 2 V + 2 y 2 V + 2 z 2 V ( A) = ( A) 2 A Nollakaavat ( A) = 0 ( V ) = 0 Lähteetön vektorikenttä (B) voidaan esittää vektoripotentiaalin roottorina ja pyörteetön vektorikenttä (staattinen E) voidaan esittää skalaaripotentiaalin gradientilla. (Mikä tahansa vektorikenttä voidaan jakaa lähteettömään ja pyörteettömään osaan.) 18 (18)