Insinöörimatematiikka D

Transkriptio

1 Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 7 1 of 22

2 Sisätulo Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus V V R, on sisätulo, jos se toteuttaa seuraavat ehdot: (x, x) 0 ja (x, x) = 0 tarkalleen silloin kun x = 0 (epänegativisuus ja epädegeneratiivisuus). (x, y) = (y, x) (vaihdannaisuus eli kommutatiivisuus). (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) (lineaarisuus). Määritelmä Vektoreiden x = (x 1,..., x n ) ja y = (y 1,..., y n ) R n pistetulo määritellään x y = x 1 y x n y n. Jos x ja y ovat pystyvektoreita, niin voidaan tulkita x y = x T y. Esimerkki Lasketaan x y, kun x = (1, 2, 0, 2) ja y = ( 1, 1, 3, 5). M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 7 2 of 22

3 Sisätulo Sisätulon ehdot: (x, x) 0 ja (x, x) = 0 tarkalleen silloin kun x = 0 (epänegativisuus ja epädegeneratiivisuus). (x, y) = (y, x) (vaihdannaisuus eli kommutatiivisuus). (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) (lineaarisuus). Esimerkki Pistetulo x y = x 1 y x n y n täyttää sisätulon ehdot, sillä x x = x x 2 n 0 ja x x = 0 tarkalleen silloin kun x = 0, x y = x 1 y x n y n = y 1 x y n x n = y x ja (ax + by) z = (ax 1 + by 1 )z (ax n + by n )z n = a(x 1 z 1 + x n z n ) + b(y 1 z 1 + y n z n ) = a(x z) + b(y z). M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 7 3 of 22

4 Esimerkki 67 Välillä [a, b] jatkuvien reaalifunktioiden joukossa C 0 [a, b] täyttää sisätulon ehdot. (f, g) = b a fg. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 7 4 of 22

5 Normi Olkoon V vektoriavaruus. Vektoriavaruuden normi on kuvaus V R, x x, joka toteuttaa seuraavat ehdot: x 0 ja x = 0 tarkalleen silloin kun x = 0 (positiivisuus ja epädegeneratiivisuus) ax = a x (skalaarin siirto) x + y x + y (kolmioepäyhtälö) M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 7 5 of 22

6 Esimerkki 66 Vektoriavaruudessa R n määritelty kuvaus x = (x 1,..., x n ) = x x n on normi, sillä x = x x n 0 ja x = x x n = 0 tarkalleen silloin kun x = 0, ax = ax ax n = a x a x n = a ( x x n ) = a x ja x+y = (x 1 +y 1,..., x n +y n ) = x 1 + y x n + y n x 1 + y x n + y n = x + y. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 7 6 of 22

7 Lause Jos (x, y) on sisätulo, on x = (x, x) normi. (Todistus harjoitustehtävänä.) Määritelmä Sisätulo indusoi normin x = (x, x), jota kutsutaan myös Eukleidiseksi normiksi. Huomautus Pistetulosta saadaan normi x = x x = x x n. 2 Kun n = 1, 2, 3, niin tämä normi vastaa tavanomaista vektorin pituutta avaruudessa R n. Esimerkki Lasketaan pistetulon indusoima normi x, kun x = (1, 2, 0, 2). M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 7 7 of 22

8 Etäisyys Olkoon V vektoriavaruus. Etäisyys on funktio V V R, joka toteuttaa seuraavat ehdot: Lause d(x, y) 0 ja d(x, y) = 0 tarkalleen silloin kun x = y d(x, y) = d(y, x) (symmetria). d(x, y) d(x, z) + d(z, y) (kolmioepäyhtälö). Jokainen normi indusoi etäisyysfunktion d(x, y) = x y. (Todistus harjoitustehtävänä.) Huomautus Pistetulosta saatava normi x = x x indusoi tavanomaisen vektoreiden etäisyyden R n :ssä, kun n = 1, 2, 3. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 7 8 of 22

9 Esimerkki Lasketaan pisteiden x = (1, 2, 0, 2) ja y = ( 1, 1, 3, 5) välinen etäisyys, kun etäisyysfunktio on pistetulon indusoima. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 7 9 of 22

10 Cauchyn-Schwarzin epäyhtälö (x, y) 2 (x, x)(y, y) eli (x, y) x y. Kulma avaruudessa R n Vektoreiden x ja y R n välinen kulma tarkoittaa kulmaa θ [0, π], joka muodostuu origosta (pisteestä 0) pisteeseen x ja origosta pisteeseen y kulkevien janojen välille. Huomaa, että kolme pistettä x, y ja 0 kuuluvat aina samalle tasolle, joten vektoreiden välinen kulma on aina tason ominaisuus. Lause Jos θ on vektoreiden x ja y välinen kulma, niin x y = x y cos θ. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 7 10 of 22

11 Seuraus Jos kumpikaan x tai y ei ole nollavektori, on Huomautus cos θ = x y x y Cauchyn-Schwarzin epäyhtälön mukaan x y x y, joten cos θ [ 1, 1]. Esimerkki Lasketaan vektoreiden x = (1, 2, 0, 2) ja y = ( 1, 1, 3, 5) välinen kulma (pistetulon suhteen). M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 7 11 of 22

12 Määritelmä Olkoon (x, y) jokin sisätulo. Vektorit x ja y ovat ortogonaalit eli kohtisuorat jos (x, y) = 0. Määritelmä Vektorijoukko {x 1,..., x n } on ortogonaali, jos (x i, x j ) = 0 aina kun i j. Ortogonaali joukko {x 1,..., x n } on ortonormaali, jos lisäksi (x i, x i ) = 1. Esimerkki 70 R n :n luonnollinen kanta {e 1,..., e n } on ortonormaali (pistetulon suhteen). M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 7 12 of 22

13 Huomautus Jokaisesta ortogonaalista joukosta joka ei sisällä nollavektoria voidaan helposti saada ortonormaali kertomalla kukin x i norminsa käänteisluvulla x 1. Lause Olkoon V vektoriavaruus ja A = {x 1,..., x n } joukko, joka ei sisällä nollavektoria ja on ortogonaali jonkin sisätulon (x, y) suhteen. Tällöin A on lineaarisesti riippumaton. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 7 13 of 22

14 Kertausta Avaruudessa R n L(x) = {cx c R}. Määritelmä Olkoot x ja y 0 avaruuden R n vektoreita. Tällöin vektorin x projektio vektorilla y tarkoittaa sitä origon ja pisteen y kautta kulkevan suoran L(y) pistettä x, jolle x x on kohtisuorassa vektoria y vastaan. Esimerkki Olkoot x = (2, 6) ja y = (2, 1) vektoreita avaruudessa R 2. Etsitään vektorin x projektio vektorille y. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 7 14 of 22

15 Määritelmä Olkoon V kompleksinen vektoriavaruus. Kuvaus V V C, on Hermiten sisätulo, jos se toteuttaa seuraavat ehdot: (x, x) 0 ja (x, x) = 0 tarkalleen silloin kun x = 0 (epänegativisuus ja epädegeneratiivisuus). (x, y) = (y, x) (vinosymmetria). (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) (lineaarisuus 1. argumentin suhteen). Määritelmä Vektoreiden x = (x 1,..., x n ) ja y = (y 1,..., y n ) C n Hermiten pistetulo määritellään x y = x 1 y x n y n. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 7 15 of 22

16 Lause Hermiten pistetulo täyttää Hermiten sisätulon ehdot. Riittävän säännöllisten funktioiden joukolle on Hermiten sisätulo. (f, g) = b a f g M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 7 16 of 22

17 Etäisyyden säilyttävät kuvaukset Määritelmä Lineaarikuvaus f : V V säilyttää etäisyyden, jos d(f (x), f (y)) = d(x, y) x, y V. Lineaarikuvaus f säilyttää normin, jos f (x) = x x V. Lineaarikuvaus f säilyttää sisätulon, jos (f (x), f (y)) = (x, y) x, y V. Lause Olkoon etäisyys normin ja tämä puolestaan sisätulon indusoima. Jos lineaarikuvaus f : V V säilyttää sisätulon, säilyttää se myös normin ja etäisyyden. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 7 17 of 22

18 Etäisyyden säilyttävät kuvaukset Määritelmä Matriisi A on ortogonaali, jos A T = A 1, siis A T A = AA T = I. Esimerkki Matriisi A = on ortogonaali, sillä AA T = = I M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 7 18 of 22

19 Lause Jos lineaarikuvauksen f : R n R n matriisi A f on ortogonaali, niin kuvaus f säilyttää pistetulon (ja siis myös tämän indusoiman normin ja etäisyyden) Määritelmä Matriisin A adjugaatti määritellään A = A T. Matriisi A on unitaarinen, jos A = A 1, siis A A = AA = I. Lause Jos lineaarikuvauksen f : C n C n matriisi A f on unitaarinen, niin f säilyttää Hermiten pistetulon (ja siis myös sen indusoiman normin ja etäisyyden) M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 7 19 of 22

20 Korrelaatiokerroin Ongelmanasettelu Kaksi satunnaismuuttujaa X ja Y. Näiden havainnot x = (x 1, x 2,..., x n ) ja y = (y 1, y 2,..., y n ) tapauksissa 1, 2,..., n. Selvitettävä, kuinka yleisesti y i c x i + b. Muuttujien siirto Merkitään 1 = (1, 1,..., 1) Keskiarvot µx = 1 n x i ja µy = 1 n n i=1 n i=1 Määritellään x = x µx1 ja y = y µy1. Tällöin y = cx + b1 y = cx. Lisäksi vektoreiden x ja y koordinaattien summa on 0 y i M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 7 20 of 22

21 Korrelaatiokerroin Riippuvuus Yhdensuuntaisuus y = cx merkitsee täydellistä (lineaarista) riippuvuutta. Vektoreiden x ja y kohtisuoruus merkitsee täydellistä (lineaarista) riippumattomuutta. Riippuvuuden määrää on siksi luonteva mitata vektoreiden x ja y välisellä kulmalla (tai sen kosinilla) Huomautuksen 19 mukaan (cos θ =) Corr(x, y) = x y x y. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 7 21 of 22

22 Korrelaatiokerroin Esimerkki 73 Demoprosentit x R 36 Tenttipisteet y R 36 Keskiarvot µx = 1768/36 ja µy = 645/36. x = x µx1 ja y = y µy1. Voidaan laskea x y x y = Korrelaatiota voidaan pitää hyvin voimakkaana. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 7 22 of 22