Laskennallsen vrtausmekankan ja lämmönsrron perusteet Tmo Skonen c 2012 by Aalto Unversty School of Engneerng Department of Appled Mechancs Sähkömehente 4 FIN-00076 Aalto Fnland
1 Ssällys 1 Johdanto 5 1.1 Laskennallnen vrtausmekankka.................. 5 1.2 Vrtausta ja lämmönsrtoa kuvaavat yhtälöt............. 10 1.3 Heman vrtauksen fyskkaa..................... 12 1.4 Konvekto ja dffuuso......................... 14 1.5 Ratkasumenetelmät.......................... 17 1.5.1 Ratkasualgortm....................... 17 1.5.2 Dfferenssmenetelmä.................... 18 1.5.3 Kontrolltlavuusmenetelmä................. 19 1.5.4 Elementtmenetelmä..................... 20 1.5.5 Spektraalmenetelmä..................... 23 1.6 Tetokoneet.............................. 24 1.7 Menetelmen kehttymnen...................... 28 1.7.1 Laskentamenetelmen hstoraa................ 28 1.7.2 Vrtauslaskentaa Suomessa.................. 37 1.7.3 Symmetrnen ja ylävrtapanotettu dskretont........ 39 2 Osttasdfferentaalyhtälöt 44 2.1 Hyvn asetettu probleema....................... 44 2.2 Fyskaalsten probleemoden luokttelu................ 45 2.3 Yhtälöden luokttelu......................... 46 2.4 Hyperbolset yhtälöt.......................... 49 2.5 Parabolset yhtälöt.......................... 53 2.6 Ellptset yhtälöt............................ 54 2.7 Vrtausyhtälöden tyypp....................... 55
2 3 Yhtälöden dskretont 60 3.1 Dfferenssmenetelmä......................... 60 3.2 Dfferenssyhtälöden muodostamnen Taylor-sarjan avulla..... 62 3.3 3-psteen epäsymmetrnen yhtälö T x :lle............... 64 3.4 Dskretonnn tarkkuus........................ 64 3.5 Epäjatkuvuuskohdat.......................... 65 4 Konsstenss ja konvergenss 73 4.1 Ratkasun konvergenss........................ 73 4.2 Konsstenss.............................. 74 4.3 Stablsuus.............................. 76 5 Sälymsomnasuus ja kontrolltlavuusmenetelmä 83 5.1 Sälymsomnasuus.......................... 83 5.2 Kontrolltlavuusmenetelmä...................... 86 5.3 Rakenteellnen hla.......................... 88 5.4 Delta-muoto.............................. 90 5.5 Implsttnen menetelmä....................... 91 5.6 Smulontohjelman rakenne..................... 92 6 Ratkasualgortm 97 6.1 Johdanto................................ 97 6.2 Crank-Ncolson............................ 98 6.3 Epälneaarsuus............................ 100 6.4 Reunaehdot.............................. 105 6.5 Method of Lnes............................ 107 7 Kaks-dmensonen dffuusoyhtälö 111 7.1 Yhtälön dskretont.......................... 111 7.2 Implsttnen menetelmä....................... 113 7.3 Lkmääränen ostus (approxmate factorsaton).......... 116 7.4 ADI.................................. 117 7.5 Kaksdmensosen ohjelman mplementont............. 119
3 8 Konvekto 123 8.1 Yks-dmensosen yhtälön omnasuuksa.............. 123 8.2 Leap-frog ja Lax-Wendroff -menetelmät............... 129 9 Numeernen vamennus ja dsperso 139 9.1 Taustaa................................ 139 9.2 Modfodun yhtälön käyttö...................... 139 9.3 Eksakt vamennuskerron....................... 142 9.4 Dskretontvrheen tarkastelu aaltoluvun avulla........... 146 10 Tasapanotlan konvekto-dffuusoyhtälö 150 10.1 Laskentatlavuuden Reynoldsn luku -ongelma............ 150 10.2 MUSCL-dskretont konvektolle.................. 155 11 Ajasta rppuva konvekto-dffuusoyhtälö 159 11.1 Stablsuustarkasteluja keskesdfferensslle............. 159 11.2 Lax-Wendroff -tyyppsten menetelmen akantegront....... 162 11.3 Implsttnen menetelmä....................... 166 11.4 Epälneaarnen ajasta rppuva konvekto-dffuusoyhtälö...... 168 12 Kaksdmensonen ajasta rppuva konvekto-dffuusoyhtälö 173 12.1 Dskretont.............................. 173 12.2 Implsttnen vahe.......................... 175 12.3 Ensmmäsen kertaluvun ylävrtadskretonnn katkasuvrhe konvektoyhtälölle177 13 Ylävrtapanottesten menetelmen ja keskesdfferenssn tarkastelua 183 13.1 Yhteenveto.............................. 183 13.2 Johtopäätökset............................. 185 13.3 Ylävrtapanottesten menetelmen tarkastelua............ 187 13.4 Monotonset menetelmät....................... 192 13.5 Entropaehdon toteutumnen..................... 193 13.6 Vamennus keskesdfferenssllä................... 197 13.7 FCT, Flux-Corrected Transport.................... 200
4 14 TVD-menetelmä 204 14.1 Taustaa................................ 204 14.2 Peruskästtetä............................. 205 14.3 TVD-ehdot kolmen psteen menetelmälle.............. 208 14.4 TVD-ehdot useamman psteen menetelmälle............. 209 14.5 TVD-menetelmän konstruont.................... 210 14.6 MUSCL-kaavan käyttö........................ 216 14.7 Entropaehdon toteutumnen TVD-menetelmllä........... 222 15 Käyrävvaset koordnaatstot 228 15.1 Käyrävvanen laskentahla...................... 228 15.1.1 Koordnaatstomuunnos................... 228 15.1.2 Kantavektort......................... 230 15.2 Vrtausyhtälöt käyrävvasessa koordnaatstossa.......... 234 15.3 Kontrolltlavuusmenetelmä...................... 236 15.4 Kontrolltlavuusmenetelmän ja dfferenssmenetelmän vastaavuus. 239 15.5 Laskentahlan aheuttama vrhe.................... 240 Hakemsto 242
5 1 Johdanto 1.1 Laskennallnen vrtausmekankka Luonnon lmötä kuvaavat lat ovat yleensä epälneaarsa ja van yksnkertasssa kouluesmerkessä lmötä kuvaavat mallt, yleensä osttasdfferentaalyhtälöt, vodaan ratkasta analyyttsest. Vrtaus on esmerkk lmöstä, jolle analyyttsä ratkasuja on olemassa van hyvn yksnkertaslle tlantelle. Teoreettnen vrtausmekankka e ss yllä käytännön laskentatehtäven vaatmalle tasolle, mutta on välttämätön tausta kokeellselle ja laskennallselle vrtausmekankalle. Laskennallnen lähestymstapa on tunkeutunut vme vuoskymmennä kaklle fyskan ja teknsten teteden osa-aluelle. Eräs syy tähän on ollut laskentamahdollsuuksen lsääntymnen tetokonekapasteetn hurjan kasvun myötä. Tässä yhteydessä kesktymme vrtauksen ja lämmönsrron smulontn, mutta on syytä mustaa, että numeernen laskenta kehtty aluks rnnan usella teteenalolla. Er tarkotuksn kehtettn menetelmä jo kauan ennen tetokoneen keksmstä. Laskennallsen vrtausmekankankn hstora yleensä alotetaan Rchardsonn v. 1910 Royal Socetyssä esttämästä padon jänntysjakaumaa koskevasta työstä, joka okeastaan kuuluu rakenneanalyysn prn. Rchardson ratkas dfferenssmenetelmällä ellptsen jänntysjakaumaa kuvaavan osttasdfferentaalyhtälön. Sen jälkeen laskennallsen vrtausmekankan etenemnen ol monen vuoskymmenen ajan hdasta keskttyen osttasdfferentaalyhtälöden ratkasumenetelmen kehttämseen. Shen akaan ol velä epäoleellsta mhn sovellukseen ratkasukenot lttyvät ekä teteellsä foorumeta ta akakausjulkasuja tarvttu kovnkaan montaa. Myöhemmn kehtys on erytynyt nn, että jopa vrtausten smulontkn on jakaantunut monn osa-aluesn, jotka pokkeavat termnologaltaan ja ratkasumenetelmltään-
1.1. LASKENNALLINEN VIRTAUSMEKANIIKKA 6 Taulukko 1.1: Erlasten tutkmuslähtökohten vertalua. Lähestymstapa Edut Hatat Kokeellnen 1. Kuvaa lmöt tarkast 1. Tarvtaan lattestoja 2. Skaalausongelmat 3. Tunnelkorjaukset 4. Mttausvakeudet 5. Käyttökustannukset Teoreettnen 1. Teto ylesessä muodossa 1. Rajottuu yksnkertasn yleensä yhtälönä tlantesn ja fyskkaan 2. Rajottuu lneaarsn tlantesn Laskennallnen 1. E lneaarsuusrajotusta 1. Numeernen vrhe 2. Vodaan kästellä monmutkasta 2. Reunaehto-ongelmat fyskkaa 3. Mahdollsuus smuloda 3. Laskentakustannukset ajasta rppuva tlanteta kn tosstaan. Teknkan alueella vrtaussmulontartkkeleta julkaseva lehtä on kymmenä, ehkä jopa satoja. Edellä mantut kokeellnen, teoreettnen ja laskennallnen lähestymstapa jaetaan joskus erllsks teteks. Vme vuosna on usella er alolla otettu käyttöön term laskennallnen tede, korostamaan stä sekkaa, että tetokone on tuonut avan uudenlasa mahdollsuuksa pats käytännön sovelluksn myös tse teoreettsen tedon lsäämseen. Oheseen taulukkoon on hahmoteltu er lähestymstapohn lttyvä etuja ja hattoja. Yleensä ajatellaan, että kokeden tekemnen on kallsta ja laskennalla on mahdollsta säästää kustannuksa. Todellsuudessa myös smulonten teko ve usen paljon akaa ja tetokoneresursseja, mutta tuloksa saadaankn paljon enemmän kun kokeellsest on mahdollsta määrttää. Okeastaan jako er teteenalohn on snä melessä kenotekonen, että kakk er alueet tarvtsevat tukea tosltaan. Vrtaussmulonten luotettavuus on ja tulee pysymään huonolla tasolla lähnnä turbulenssn kuvaukseen lttyvän epävarmuuden vuoks. Sks tarvtaan paljon koetuloksa, joden avulla smulontmalleja vodaan valdoda. Teoreettsta lähestymstapaa tarvtaan kehtettäessä juur esmerkks uusa turbulenssn mallnnustapoja. Ennen kun valdonta vodaan tehdä, on laskentamall verfotava. Tällä
1.1. LASKENNALLINEN VIRTAUSMEKANIIKKA 7 tarkotetaan koodn okeellsuuden tarkstamsta. Verfonnn yhteydessä varmstutaan stä, että laskentamall ratkasee halutulla tarkkuudella ne yhtälöt, jota sen on tarkotettu ratkasevan. Kuva 1.1: Ktkattoman vrtauksen teoralla laskettu Hawk-harjotuskoneen panejakauma. Laskennallsta vrtausmekankkaa vastaa englannnkelnen term computatonal flud dynamcs (CFD). Termn alkuperästä e ole tarkkaa tetoa, mutta se ol käytössä anakn Patrck Roachen krjan nmenä v. 1972. CFD:n juuret ovat teteenalassa, jota vme akona on ryhdytty kutsumaan myös laskennallseks aerodynamkaks. Vrtauksen analysonnssa on ollut ptkään käytössä kaks yksnkertasta kenoa, jota käytetään yhdessä. Ensks lasketaan ktkattoman vrtauksen oletuksella (potentaalteora) panejakauma. Aerodynamkassa käytetään veläkn tähän tarkotukseen ns. paneelmenetelmä (kutsutaan myös reunaelementtmenetelmks). Esmerkk tällasen analyysn tuloksesta on kuvassa 1.1 estetty panejakauma harjotushävttäjän pnnalla. Paneelmenetelmä on luonteeltaan kaksdmensonen ja mm. sen vuoks laskenta e vaad suura resursseja. Menetelmällä e saada määrtetyks lentokoneen vastusta, vaan stä varten on tehtävä erllnen analyys käyttäen rajakerrosyhtälötä. Näden ratkasemnen on myös hyvn nopeaa. Paneelmenetelmän ja rajakerrosyhtälöden käyttöä e ana luoktella CFD:n prn. Varsnasella laskennallsella vrtausmekankalla tarkotetaan joko ktkallsen vrtauksen yhtälöden (Naver-Stokes -yhtälöden) ta ns. Eulern yhtälöden ratka-
1.1. LASKENNALLINEN VIRTAUSMEKANIIKKA 8 semsta. Kuten tälläkn kursslla tulee eslle, ktkan lsäämnen Eulern yhtälöhn e muuta menetelmen luonnetta juur ollenkaan. Määrtettäessä lentävään kappaleeseen kohdstuva voma laskennallsest, on tärkeää kuvata kappaleen muoto geometrsest rttävän tarkast. Tämän vuoks ol aluks mahdollsta käyttää van paneel- ja rajakerrosmenetelmä. Vasta 1970-luvulla ns. supertetokoneden tultua käyttöön, ryhdyttn aerodynamkassa soveltamaan aluks Eulern yhtälötä ja melko pan sen jälkeen Naver-Stokes -yhtälötä. Myös ratkasumenetelmen kehtys sa tällön avan uutta vauhta nn, että nykysn käytössä oleven menetelmen vodaan sanoa saavuttaneen kypsän tason 1980-luvun loppuun mennessä. Nykysn vodaan rutnnomasest laskea vrtausjakauma kokonasen lentokoneen ympärllä. Esmerkknä on panejakauma Hornet-hävttäjän ympärllä (kuva 1.2). Kuva 1.2: Ktkallsen vrtauksen teoralla laskettu panejakauma Hornet-hävttäjälle. Vrtaussmulonteja on alusta lähten tehty monlla mulla alolla. Jako teknsn ja muhn sovelluksn, kuten meteorologaan ja muhn ympärstövrtauksn, astrofyskkaan jne., on melko karkea, koska teknstenkn sovellusten parssa työskentelee monta koulukuntaa. Menetelmät, jota on sovellettu, saattavat poketa tosstaan huomattavastkn, samon lehdet ja konferensst, jossa tuloksa julkastaan. Term CFD tul yleseen käyttöön kaklla teknkan alolla vasta 1990-luvulla ja mustona varhasemmsta ajosta tämänkn opntojakson nmenä on edelleen laskennallnen vrtausmekankka. Kyseessä on slt myös CFD:n peruskurss! Myös Suomessa on CFD:stä ryhdytty ylesest käyttämään nmtystä laskennallnen vrtausdynamk-
1.1. LASKENNALLINEN VIRTAUSMEKANIIKKA 9 ka. (Kannattaa huomata, että täsmällsemp nmtys ols nestedynamkka ). Akasemmn englannn kelessä käytettn ylesemmn termä flud mechancs ta esmerkks termä numercal heat transfer, kuvaamaan sovelluskohdetta tarkemmn. Vakka nyt vodaan termä CFD käyttää kaklla teknsen vrtauslaskennan osaaluella, on syytä huomata, että koulukuntajako on edelleen olemassa. Numercal Heat Transfer -leht on edelleen ratkasumenetelmen osalta ssällöltään varsn erlanen verratessa stä laskennallsen aerodynamkan pääjulkasuun AIAA Journaln. Jako koulukuntn on vakuttanut menetelmen kehtykseen stäkn kautta, että supertetokoneet ovat olleet perntesest käytössä aerodynamkan ja lmateteen alolla, jossa rahaa on ollut runsaast käytössä. Vastaavast teollsuusprosessen smulont kehtty aluks htaast juur nukkojen laskentaresurssen taka. Laskentaalueen muoto kuvattn hyvn approksmatvsest käyttäen ptkään suorakulmasa laskentaverkkoja. Ratkaseva muutos tässä tlanteessa tapahtu 1990-luvulle tultaessa, jollon rttävän tehokkata tetokoneta alko saada kohtuullsella hnnalla. Sen jälkeen käyrävvaset laskentaverkot, ja van heman myöhemmn, ns. rakenteettomat laskentaverkot tulvat yleseen käyttöön. Aerodynamkassa käyrävvasta laskentahlaa ol luonnollsest pakko soveltaa alusta lähten, mutta esmerkks meteorologassa tlanne on sellanen, että ns. hlapstemallessa käytetään edelleenkn tasavälstä laskentaverkkoa. Mantereet, vuorstot ja muut maan pnnan ykstyskohdat kuvataan van sllä tarkkuudella, mhn tasavälsest sjotettu pstekkö antaa mahdollsuuden. Kaupallsa tetokoneohjelma on ollut saatavlla jo 1980-luvulta lähten, mutta vasta vuostuhannen lopulla nden laatu on ollut alan ylesen tetämyksen tasolla, joka, kuten edellä manttn, saavutt kypsän tason jo 1980-luvulla. Uudelle vuostuhannelle tultaessa laadukkata ohjelma on saatavssa sekä ns. ylesohjelmna, jotka soveltuvat peraatteessa mhn tahansa vrtaus- ja lämmönsrtoprobleemaan, että ns. ertysohjelmna, jotka on räätälöty käytettävyydeltään ja tarkkuudeltaan paremmks johonkn teknkan osa-alueeseen. Jatkossa tarkastelun kohteena ovat vrtauslaskennassa sovellettaven ratkasumenetelmen perusteet.
1.2. VIRTAUSTA JA LÄMMÖNSIIRTOA KUVAAVAT YHTÄLÖT 10 1.2 Vrtausta ja lämmönsrtoa kuvaavat yhtälöt Vrtausta kuvaavat massan, lkemäärän ja energan sälymsyhtälöt vodaan krjottaa seuraavaan muotoon ρ(e + V 2 /2) t ρ V t ρ t + ρ V = 0 + ρ V V + p = τ j + ρ g + ρ V (e + V 2 /2 + p/ρ) = k T + ( V τ j )(1.1) mssä ρ on theys, V = u +v j +w k nopeus, p pane, τ j jänntystensor, e omnasssäenerga, T lämpötla ja k lämmönjohtavuus. Yhtälöden er termen merktystä kuvataan lähemmn vrtausmekankan oppkrjossa (esm. Whte, Vscous Flud Flow). Tässä yhteydessä rttää todeta, että yhtälöden vasen puol kuvaa ktkatonta vrtausta ja okealla puolella on ktkan (nesteen vskosteetn) vakutuksen huomoon ottavat termt. Yhtälöryhmää nmtetään Naver-Stokes -yhtälöks. Mkäl okea puol asetetaan nollaks saadaan Eulern yhtälöt. Vasemmalla puolella on akadervaatta, konvektoterm ja panegradentt. Energayhtälössä pane on yhdstetty konvektotermn. Okealla puolella lkemääräyhtälössä on ktkaterm, energayhtälössä lämmönjohtavuusterm ja ktkan tekemä työ. Okean puolen termt ovat dffuusotyyppsä. Vrtausyhtälöden vodaan todeta ssältävän ss akadervaatta-, konvekto- ja dffuusotermt sekä nästä luonteeltaan pokkeavan panegradentn. Jatkossa tarkastellaan kolmen ensmmäsen termn dskretonta, paneen määrttämnen ja kytkeytymnen vrtaukseen kästellään jatkokursslla. Tarkasteltaessa numerkkaan lttyvä asota, muodostaa yhtälöryhmä (1.1) tarpeettoman raskaan arsenaaln. Sen vuoks tutktaan yhtälöden yksnkertastettuja muotoja, mallyhtälötä. Ensmmänen yhtälö, jatkuvuus- el massan sälymsyhtälö, ssältää akadervaatan lsäks van konvektotermn. Sellasta nmtetään konvektoyhtälöks. Energayhtälö vodaan lausua entalpan avulla lsäämällä okealle puolelle paneen akadervaatta. Usen paneen muutos on pen ja akadervaatta vodaan pudottaa yhtälöstä pos. Jos oletamme velä ktkavomen tekemän työn peneks (nän e todellsuudessa usenkaan ole asanlata, mutta se on tässä yhteydessä epäoleellsta) ja oletamme omnaslämpökapasteetn c p vakoks, päädytään
1.2. VIRTAUSTA JA LÄMMÖNSIIRTOA KUVAAVAT YHTÄLÖT 11 seuraavaan yhtälöön ρc p T t + ρc p V T = k T (1.2) Kyseessä on konvekto-dffuuso -yhtälö. Aneomnasuuksen muuttumnen lämpötlan funktona e ole ratkasumenetelmen kannalta olennanen asa. Olettamalla aneomnasuudet vakoks, vomme krjottaa yhtälöä (1.2) hyvn kuvaavan mallyhtälön yksdmensosena T t + ut x = α 2 T x 2 (1.3) mssä α on dffuusokerron. Jatkossa tämä yhtälö ja sen kaksdmensonen vastne, tulevat olemaan pääasallnen tarkastelukohteemme. Yhtälö on yksnkertanen verrattuna varsnasn vrtausyhtälöhn, mutta on tärkeää tedostaa, että tämän mallyhtälön avulla vodaan panetta lukuun ottamatta tarkastella myös yhtälöryhmän (1.1) kakken muden termen dskretonta ja dskretotujen yhtälöden ratkasumenetelmä. Jatkossa eslle tulevlla menetelmllä on vastneensa myös esmerkks kaupallsssa smulontohjelmssa. Tällä kursslla laadtaan harjotustehtävnä tetokoneohjelma, jolla yhtälöä (1.3) ratkastaan. Tetokoneohjelmen rakenne vastaa ss huomattavast laajempa käytännön tarkotuksn laadttuja koodeja. Opettelemalla krjottamaan hyvä ohjelma, saadaan ymmärrystä pats ratkasumenetelmstä, myös stä mten ratkasualgortmeja ohjelmssa sovelletaan. Edellsestä poketen lkemääräyhtälö on dskretotuna epälneaarnen nopeuden suhteen. Epälneaarsuutta aheuttaa lsäks aneomnasuuksen rppuvuus ratkastavsta suuresta. Osttasdfferentaalyhtälöryhmän (1.1) sanotaan kutenkn olevan kvaslneaarnen, kästteen määrttelyyn palataan myöhemmn. Laadtaan seuraavaks lkemääräyhtälöä kuvaava mallyhtälö. Yksdmensonen lkemääräyhtälö vodaan krjottaa lman eksplsttstä ktkatermä muotoon ρu t + ρu2 x + p x = ktkaterm (1.4) Jättämällä panegradentt pos ja dervomalla auk saadaan ρ u [ ρ t + ρu u x + u t + ρu ] = ktkaterm (1.5) x
1.3. HIEMAN VIRTAUKSEN FYSIIKKAA 12 Hakasulussa oleva lauseke hävää jatkuvuusyhtälön perusteella. Korvaamalla ktkaterm yksnkertasella dffuusotyyppsellä lausekkeella saadaan lkemääräyhtälöä korvaavaks mallyhtälöks muoto u t + u2 /2 x = u α 2 (1.6) x 2 jota nmtetään Burgersn yhtälöks. Se on hyvä lähtökohta rakennettaessa tetyn tyyppsä ratkasualgortmeja. Burgersn yhtälöä kästellään etupäässä jatkokurssn puolella, mutta epälneaarsuuden vakutus tulee jo tällä kursslla eslle. 1.3 Heman vrtauksen fyskkaa Tässä yhteydessä e ole syytä uppoutua laks vrtauksen fyskan kuvaukseen, mutta nän on jossan määrn tehtävä, koska usen vrtaustlanne hejastuu jollan tavalla myös ratkasuteknkkaan. Kuten edellä todettn, on tämän vuoks er aluelle syntynyt hyvnkn tosstaan pokkeava ratkasukenoja. 1 Pen Re y * x* u * Iso Re y * = 0 Kuva 1.3: Dmensoton nopeusprofl er Reynoldsn luvulla. Tärken vrtauksen luonnetta kuvaava parametr on Reynoldsn luku. Reynoldsn luku saadaan eslle esmerkks tekemällä lkemääräyhtälö dmensottomaks referensssuurella ρ 0, V 0, µ 0 ja L 0, mssä µ 0 on vskosteett ja L 0 sopvast valttu referenssptuus. Merktsemällä dmensottoma suureta yländeksllä * saadaan ρ V t + ρ V V + p = 1 Re 0 τ j mssä Re 0 = ρ 0 V 0 L 0 /µ 0 on tlanteeseen lttyvä globaal Reynoldsn luku. Vodaan todeta, että kun Re 0, lähestytään Eulern yhtälöä. Reynoldsn luvun kasvaes-
1.3. HIEMAN VIRTAUKSEN FYSIIKKAA 13 sa dmensoton rajakerroksen paksuus penenee (kts kuva 1.3). (Kuljettaessa alavrtaan rajakerroksen absoluuttnen paksuus tetenkn kasvaa Reynoldsn luvun funktona). Lkemääräyhtälöön lttyvä dffuusokerron on knemaattnen vskosteett ν ja energayhtälöön lttyvä on termnen dffusvteett α. Näden suhde on Prandtln luku P r = ν/α. Tarkasteltaessa dffuuson aheuttamaa aneen srtoa, vastaavaa parametra nmtetään Schmdtn luvuks. n n n n V V oo T T oo V V oo T T oo V V oo T T oo V V oo T T oo 0 1. 0 1. 0 1. 0 1. nestem. metallt: Pr << 1 kaasut: Pr = 0,7 ves: 2,0 < Pr < 7 öljyt: Pr >> 1 Kuva 1.4: Termnen rajakerros er Parandtln luvulla. Reynoldsn luku ja Prandtln luku kuvaavat ss suhteellsessa melessä hydrodynaamsen ja termsen rajakerroksen paksuuksa ja sten nopeus- ja lämpötlaproflen jyrkkyyksä (kts. kuvat). Jos P r = 1 nopeus- ja lämpötlaproflt ovat samanmuotoset. Suureen äkllnen muutos hejastuu ratkasumenetelmen käyttäytymseen ja tarkkuuteen. Jatkossa tullaan käyttämään myös kästettä laskentatlavuuden kokoon referotu Reynoldsn luku. Reynoldsn luku on myös parametr, jonka mukaan vrtaus muuttuu lamnaarsta turbulentks. Edellä estetyt yhtälöt (1.1) kuvaavat peraatteessa kakka vrtaustlanteta, joten myös mallyhtälöllä on sama omnasuus ja jatkossa kehtettävät menetelmät sopvat pats lamnaarn vrtauksen, nn myös turbulentn vrtauksen suoraan smulontn (DNS, drect numercal smulaton). Käytännössä joudutaan laskennassa soveltamaan suodatettuja yhtälötä. Mkäl osa turbulenssn spektrstä kuvataan ajasta rppuvana lmönä, kyseessä on ns. sojen pyörteden menetelmä (LES large-eddy smulaton). Akakeskarvottamalla suodatetulla yhtälöllä RANS, (Reynolds-averaged Naver-Stokes) pyrtään laskemaan suoraan vrtauksen aka-
1.4. KONVEKTIO JA DIFFUUSIO 14 keskarvoa. Suodatetulla yhtälöllä ylesn mallnnuskeno on lsätä vskosteetta ns. pyörrevskosteetn avulla. Tällön vrtausyhtälöden perusmuoto e okeastaan muutu. Koska myöskään monmutkasn mallnnustapa, Reynoldsn jänntys -mall, e muuta peraatteellsest ratkastaven yhtälöden muotoa, jatkossa estettävät laskentamenetelmät soveltuvat peraatteessa kakkn mallnnustapohn. Vrtauksen fyskasta e tarvta ss tässä yhteydessä laajoja perustetoja. Jatkossa joudutaan ajottan kutenkn tuomaan eslle myös jotan turbulenssn lttyvä asota, jos nllä on vakutusta ratkasumenetelmn. 1.4 Konvekto ja dffuuso Tarkastellaan seuraavaks ylestä taseyhtälön johtamsta. Numeersa tarkotusperä varten kannattaa lähteä äärellsen kokosesta ja muotosesta tlavuusalkosta V, jolle vodaan krjottaa taseyhtälö (kts. kuva 1.5). Suureen T muutosnopeus tlavuuden ssällä on TdV t V Tämä yhteys pätee rppumatta alkon koosta ta muodosta. Yleensä fyskaalsest melekkätä yhtälötä johdettaessa on tarkotuksenmukasta käyttää ratkasussa suureta, joden laatu kuvaa kuvaa suureen theyttä, ss jotan /m 3. Tällön yhtälöhn tulee ntegraaln alle myös theys ρ, kuten esmerkks yhtälöryhmässä (1.1), mutta tässä yhteydessä rttää tarkastella yksnkertasta mallyhtälöä. Jos oletetaan, n V= u + vj + wk Tlavuus, V ds Kuva 1.5: Kontrolltlavuus, pnta-ala-alko ja nopeusvektorn suunta. että suuretta T e kehty tlavuuden ssällä, muutosnopeus saadaan suureen ssäänja ulosvrtausten erosta. Pnta-ala-alkon ds kautta kulkeutuva määrä on f(t) nds = f(t) ds
1.4. KONVEKTIO JA DIFFUUSIO 15 mssä f(t) on suureen T vuo. (Nmtystä vuo käytetään joskus myös suureesta f(t) d S, jollon f(t) on vuon theys). Vuo on laadultaan ana [T] m 2 s Vuo e yleensä ole suunnaltaan kohtsuorassa tarkasteltavan alueen pntaa vasten, joten pnnan kautta kulkeutuva vrta saadaan vuon normaalkomponenttna. Ottamalla ntegraal koko tlavuuden yl, saadaan suureen muutosnopeus, joka on yhtä suur kun akadervaatan avulla lausuttu muutosnopeus TdV = f(t) ds t = f(t)dv (1.7) V S mssä on käytetty hyväks Gaussn lausetta muutettaessa tlavuusntegraal pntantegraalks. Tässä yhteydessä on velä kerran syytä korostaa, että yhtälö pätee melvaltasen kokoselle tlavuudelle V. Yhtälö saadaan myös muotoon ( ) T t + f(t) dv = 0 (1.8) V Jotta tämä lauseke päts kaklle tlavuukslle V täytyy olla V T t + f(t) = 0 (1.9) Äärellsen tlavuuden avulla saatn ss myös dfferentaalyhtälö. Muotoa (1.9) olevan yhtälön sanotaan olevan sälymsmuodossa. Jos -operaattor puretaan auk, kyseessä on prmtvmuoto. Yhtälöryhmän (1.1) vodaan todeta olevan sälymsmuodossa. Vuon pääosat koostuvat konvektosta ja dffuusosta. Näden lsäks lkemääräyhtälössä on paneterm ja energayhtälössä pntavomen tekemä työ, jotka vodaan myös krjottaa vuon muotoon. Dffuuson oletetaan noudattavan Fckn laka, jollon vuoks (konvekto + dffuuso) saadaan tässä tapauksessa f(t) = V T α T (1.10) Fckn laka vastaavaa yhteyttä lämpötlalle kutsutaan Fourern laks q = k T (1.11) Edellä estettyjen mallyhtälöden vodaan ajatella kuvaavan jonkn suureen, es-
1.4. KONVEKTIO JA DIFFUUSIO 16 T t = 0 T x L 1. 0. 1. x 2. t = 0,5/u x R T x L 1. 0. 1. x 2. t = 1,0/u x R x L 1. 0. 1. x 2. x R Kuva 1.6: Yksdmensosen konvekto-dffuusoyhtälön ratkasu, kun alkuehtona on snmuotonen pulss. merkks lämpötlan kulkeutumsta vrtauksen mukana. Jatkossa ylesenä ratkastavana muuttujana on T. Jos vrtausnopeus on nolla, nn ratkastava yhtälö on muodoltaan sama kun lämmönjohtavuusyhtälö. Konvekto-dffuuso -yhtälön muodollsta ratkasua on hahmoteltu kuvassa 1.4. Tlanteen vodaan ajatella kuvaavan tapausta, jossa alkutlassa lämpötlajakauma on tasanen lukuunottamatta kohdassa x = 0 olevaa kukkulanmuotosta pulssa. Pulss etenee okealle nopeudella u ja vamenee samalla dffuuson vuoks. Mkäl dffuusota e ols, pulss etens vamentumatta. Dffuusoyhtälöllä pulss taas pysys pakallaan, mutta ltstys vähtellen pos. Dffuuso on symmetrnen prosess, konvekto taas vakuttaa van yhteen suuntaan, vrtaussuuntaan. Jatkossa tutkmme ss ratkasumenetelmä konvektolle ja dffuusolle. Jossakn oppkrjossa konvektosta käytetään termä advekto, tässä materaalssa termejä pdetään synonyymenä. Meteorologt puolestaan nmttävät konvektoks pystyvrtausta ja advektoks vaakasuunnassa tapahtuvaa vrtausta.
1.5. RATKAISUMENETELMÄT 17 1.5 Ratkasumenetelmät 1.5.1 Ratkasualgortm JOKAISELLE NESTE ELEMENTILLE : Aneen hävöttömyys Newtonn tonen lak Energan hävöttömyys Tlayhtälö => Jatkuvuusyhtälö => {Eulern yhtälöt, Naver Stokes yhtälöt} => Energayhtälö Ratkase yhtälöt sekä reunaehdot Nopeus jakauma : u(x,y,z,t), v(x,y,z,t), w(x,y,z,t) Pane " : p(x,y,z,t) Theys " : ρ(x,y,z,t) Lämpötla " : T(x,y,z,t) } ratkasualgortm Sov. äärellselle tlavuudelle Fyskaalnen tausta Algebrallset yhtälöt Dfferentaal yhtälöt Dskretont Päättele vrtauksen käyttäytymnen : vrtauksen rtoamnen : vrtauksen suuruus : lämmönsrto : vomat (pntaktka, vastus, nostovoma) : hyötysuhteet : ahdn, dffuusor Ratkasja Approks. ratkasu Kuva 1.7: Smulonttehtävän suorttamnen (vasemmalla); ratkasualgortmn muodostamnen (okealla) Vrtaussmulonttehtävän vaheet on hahmoteltu kuvassa 1.7 vasemmalla. Kuva esttää okeastaan myös kästteen CFD ssällön. Ratkasualgortmn vodaan ajatella ssältävän yhtälöden ja reunaehtojen ratkasemsen approksmatvsella (numeersella) kenolla. Joskus termä algortm käytetään myös jostan tetokoneohjelmaan ssältyvästä osasta, eskerkks van dskretonnssa muodostuven algebrallsten yhtälöden ratkasusta. Numeersa ratkasumenetelmä vodaan johtaa kahdella tavalla (kuva 1.7 okealla). Joko käytetään hyväks dfferentaalyhtälötä ta lähdetään suoraan äärellslle alkolle johdetusta taseyhtälöstä. Kontrolltlavuuskeno perustuu vmeks manttuun tapaan. Edellä osotettn, että dfferentaalyhtälöt vodaan johtaa äärellselle tlavuudelle krjotetun taseen avulla. Täten kontrolltlavuusmenetelmä perustuu suoremmn fyskan peruslakehn kun dfferentaalyhtälöhn pohjautuvat dskretonttavat. Ratkasualgortm vodaan jakaa karkeast kahteen osaan: dskretontn, jossa muodostetaan algebrallsten yhtälöden ryhmä, ja yhtälöryhmän ratkasuun. Yhtä-
1.5. RATKAISUMENETELMÄT 18 löryhmä on käytännön tehtävssä epälneaarnen ja se joudutaan sten ratkasemaan teratvsest. Iterontn lttyy yleensä lneaarsen yhtälöryhmän ratkasemnen jokasella teraatokerroksella. Yhtälöryhmäkn joudutaan yleensä ratkasemaan teroden, jollon puhutaan ssäsestä teraatosta epälneaarsten yhtälöden ratkasun muodostaessa ulkosen teraaton. Yhtälöden dskretonttavat vodaan jakaa monella tavon. Seuraavassa jaossa estetään dfferenss-, kontrolltlavuus-, elementtja spektraalmenetelmän peraatteet. 1.5.2 Dfferenssmenetelmä Dfferenssmenetelmä on vanhn numeernen dfferentaalyhtälöden ratkasukeno. Menetelmä perustuu dervaatan määrtelmän pohjalla muodostettavn approksmatvsn lausekkesn. Esmerkks ensmmästä dervaattaa vodaan approksmoda seuraavast dy dx y(x + x) y(x) x (1.12) Monet dfferensskaavat ovat tsestään selvyyksä, joten nllä e ole snä melessä ketään keksjää. Usesn perusmenetelmn ltetään kutenkn jonkn henklön nm, joka on ensmmäsenä ehdottanut kysestä menettelyä ta julkassut menetelmästä tutkmuksen. Tosaalta on tetyst monmutkasempa dskretonttapoja, jotka vaatvat taustalleen jonknastesen johdon. Myöhemmn eslle tuleva Laasosen menetelmä kuuluu ensmmäseen ryhmään ja esmerkks Lax-Wendroff ja Beam- Warmng -menetelmät toseen. Laasosen menetelmässä käytetään ns. mplsttstä dskreronta, joka tavallselle dfferentaalyhtälölle krjotetaan muotoon dy dt y n+1 y n t = f(y, t) (1.13) = f(y n+1, t n+1 ) (1.14) mssä ndeks n vttaa ajan hetkeen, t n+1 = t n + t. Yhtälön (1.14) määrttelemää dskretonta kutsutaan mplsttseks Eulern menetelmäks. Eksplsttnen Eulern menetelmä on y n+1 y n = f(y n, t n ) (1.15) t
1.5. RATKAISUMENETELMÄT 19 Dfferenssmenetelmän soveltamnen osttasdfferentaalyhtälölle on peraatteessa suoravvasta. Koska dskretotuja yhtälötä e juur votu ratkasta käsn, osttasdfferentaalyhtälöden ratkasumenetelmä on ehdotettu vasta 1900-luvulla. Erään dfferenssmenetelmen luokan muodostavat ns. kompaktt dfferensst, jossa myös approksmotavat dervaatat dskretodaan, jollon ne evät ratkea eksplsttsest. Esmerkks ensmmäslle dervaatolle vodaan krjottaa seuraava tavanomasa tarkemp dfferenssapproksmaato ( ) ( ) ( ) T T T + 4 + x x x +1 1 = 3 T +1 T 1 x (1.16) 1.5.3 Kontrolltlavuusmenetelmä Yksnkertanen sälymsperaate vodaan krjottaa dskreettn muotoon tlavuuden suureen T muutosnopeus = f(t) S j (1.17) j kyseessä on selväst yhtälön (1.7) dskretotu vastne. Yksdmensosessa tapauksessa vodaan lähteä myös dfferentaalyhtälön (1.9) sälymsmuotosesta dskretonnsta T t + f +1/2 f 1/2 = 0 (1.18) x Tässä on merktty f :llä numeersta vuota, joka rppuu ratkastavan suureen T arvosta f+1/2 = f (T +k,..., T k+1 ) (1.19) ja toteuttaa ehdon f (T,..., T) = f(t) (1.20) Sälymsmuotosella dskretonnlla on lsäks vuon tlavuuksen ja j toteutettava fj = fj (1.21) el se mkä lähtee tosesta tlavuudesta on sama mkä vrtaa vereseen tlavuuteen. Yhtälötyyppn (1.18) päädyttäsn suoraan myös perusyhtälöstä (1.7), mutta tässä lähdettn hstorallssta systä dskretomaan dfferentaalyhtälöä. Yhtälöä (1.18) vodaan ptää kontrolltlavuusmuotosena, vakkakn stä on sevennetty pos geometrsa suureta, kuten myöhemmn osotetaan. Yhtälö saatn kutenkn dfferenssmenetelmällä, joten tässä tapauksessa päädyttn samaan dskreettn
1.5. RATKAISUMENETELMÄT 20 yhtälöön kun kontrolltlavuusmenetelmällä ols päädytty. Edellytyksenä tälle on, että dskretont (1.18) tehtn sälymsmuodossa. Kun laskentamenetelmä kehtettn kaasudynamkkaan, knnostuksen kohteena ol ratkoa tvstysaallon etenemstä. Tämä on mahdollsta, jos käytetään sälymsmuotosta dskretonta. Sälymsmuodosta nähdään dskretodun yhtälön toteuttavan mahdollsen epäjatkuvuuskohdan yltse ns. Rankne-Hugonot -ehdot. Yhtälölle (1.18) vodaan määrtellä ratkasu seuraavast (Lax ja Wendroff, 1960): Jos yhtälön (1.18) ratkasu on konservatvnen (sälymsmuotonen) määrtelmen (1.19) ja (1.20) mukaan ja konvergo rajatta lähes kakkalla jotan funktota T(x, t) kohden, kun x ja t lähestyvät nollaa, nn T(x, t) on yhtälön hekko ratkasu. Hekon ratkasun määrtelmä on hukan tosstaan pokkeavassa muodossa er krjossa ja usen määrtelmä on ntegraalmuodossa. Tvstysaallon laskenta vakuttaa ehkä vähemmän mystseltä, jos todetaan, että aallon yl prmtvsuureet, kuten pane, nopeus ja lämpötla, ovat epäjatkuva, mutta vuot jatkuva. Vuon ktkattomsta ossta (Eulern yhtälöstä) saadaan edellä mantut Rankne-Hugonot -ehdot. Jos vrtaus on kokoonpurstumatonta, smulonnn suorttamnen sälymsmuodossa e ratkasussa näy yhtä dramaattsest. Esmerkks rajakerrosyhtälöt evät ole sälymsmuodossa. Vähtellen on huomattu kutenkn hyväks, että laskentaalueessa toteutuu ana globaal sälymnen. Käytännön työssä saattas herättää kummastusta se, ette tarkasteltavassa alueessa massa- ta energatase toteudu. Kontrolltlavuusmenetelmällä saadaan ana sälymsmelessä fyskaalsest järkevä tuloksa. 1.5.4 Elementtmenetelmä Elementt- ja spektraalmenetelmät ovat esmerkkejä jäännösmenetelmstä (method of weghted resduals) ja myös kontrolltlavuusmenetelmä vodaan tulkta tälla-
1.5. RATKAISUMENETELMÄT 21 seks. Jäännösmenetelmssä oletetaan, että ratkasu vodaan krjottaa muotoon T(x, t) = T 0 (x, t) + N a j (t)φ j (c) (1.22) mssä φ j (x) on yrtefunkto, tyypllsest alhasastenen polynom ta trgonometrnen funkto. Tarkastellaan seuraavaks esmerkknä dffuusoyhtälön ratkasua krjottamalla se muotoon j=1 R = T t α 2 T x 2 (1.23) Tarkalla ratkasulla tulee jäännöksen R olla nolla. Numeersessa ratkasussa kertomet a j (t) määrtetään sten, että panotetun jäännöksen ntegraal laskenta-alueen yl on nolla: V W m (x)rdv = 0 (1.24) Yhtälöstä (1.24) saadaan yhtälöryhmä kertomlle a j (t). Panofunktot vodaan valta monella tavalla. Osa-aluekenossa W m (x) = 1 alueen ssällä, muualla W m (x) = 0. Yhtälöstä (1.24) saadaan tällön RdV = [ T t T α 2 x ]dv = 2 V V V T t dv α T ds = 0 (1.25) S x mssä käytettn hyväks Gaussn lausetta. Osa-aluekenolla saatn ntegraalmuotonen yhtälö, joka on kontrolltlavuusmenetelmän perusta. Osa-aluekeno ja kontrolltlavuusmenetelmä ovat sten ekvvalentteja ja hekko ratkasu vodaan myös määrtellä ntegraalmuotosen yhtälön (1.24) avulla. Jossakn lähtessä käytetään hyväks osttasntegronta, jollon saadaan saadaan yhtälölle (1.24) ekvvalentt estys, jossa esntyy panofunkton dervaattoja ja johon kytkeytyvät myös reunaehdot. Galerknn kenossa valtaan panofunktoks yrtefunktot W m (x) = φ m (x). Elementtmenetelmässä ratkasu krjotetaan noodpstessä ratkastaven suureden avulla T(x) = N T j φ j (x) (1.26) j=1 mssä T j on ss T(x):n arvo noodpsteessä j. Funktot φ j (x) ovat alhasastesa polynomeja, jotka saavat psteessä j arvon 1 ja mussa pstessä arvon nolla. Funkto
1.5. RATKAISUMENETELMÄT 22 φ 1. φ j φ j+1 0. x x j 1 x j x j+ 1 x j+ 2 x j+ 3 Kuva 1.8: Yksdmensosen elementtmenetelmän lneaarset yrtefunktot φ j (x) on nollasta pokkeava van kahden rnnakkasen elementn alueella. Yksdmensonen lneaarnen yrtefunkto on hahmoteltu kuvaan 1.8. Kuvan elementssä A ja elementssä B φ j (x) = x x j 1 x j x j 1 (1.27) φ j (x) = x j+1 x x j+1 x j (1.28) Ratkastavaks suureeks esmerkks elementssä A saadaan yhtälöstä (1.26) T(x) = T j 1 φ j 1 + T j φ j (1.29) Vrtaus- ja lämmönsrtoprobleemolle e ole yleensä olemassa ns. varaatomuotoa, mnkä vuoks Galerknn kenoa käytetään. Jos käytetään kuvan 1.8 lneaarsa yrtefunktota yksdmensoselle dffuusoyhtälölle, saadaan dffuusotermlle approksmaato α 2 T x 2 αt j+1 2T j + T j 1 x 2 (1.30) Myöhemmn johdetaan sama yhtälö dfferenss ja kontrolltlavuusmenetelmällä. Kaklla kolmella kenolla on ss mahdollsta erässä tapauksssa saada samat dskreett yhtälöt, vakka formalsm saattaa aluks näyttää varsn erlaselta. Galerknn kenolla saadaan ana symmetrsä approksmaatota dervaatolle. Tämä ol ptkään tämän lähestymstavan hekkous, koska ratkasumenetelmät tomvat van alhasen (globaaln) Reynoldsn luvun vrtaukslle. Myöhemmn on opttu lsäämään vamennusta joko ylävrtapanottamalla (Petrov-Galerkn) ta lsää-
1.5. RATKAISUMENETELMÄT 23 mällä dffuusota (esmerkks stream-lne dffuson). Lähestymstavat vodaan luoktella stabloduks elementtmenetelmks ja ne ovat käyttökelposa ratkastaessa teknsä vrtaussmulontprobleemota. Suomessa esmerkks CSC:n ELMERohjelmsto pohjautuu stablotuhn elementtmenetelmn. 1.5.5 Spektraalmenetelmä f(x) Fourer sarjan 100 termä f(x) x x Kuva 1.9: Epäjatkuvuuskohdan kuvauksessa syntyvät värähtelyt (Gbbsn lmö). Spektraalmenetelmässä käytetään ortogonaalsa yrtefunktota, jolle pätee φ (x)φ j (x) = δ j (1.31) V mssä δ j on Kroneckern delta-funkto. Esmerkks Fourer-sarjan termt ovat ortogonaalsa, joten perodslla reunaehdolla ratkasu vodaan krjottaa muodossa N T(x) = a 0 sn(πx) + a j (t) sn(jπx) (1.32) Sarjan termt ovat nollasta pokkeava koko laskenta-alueessa. Valtsemalla panofunktoks sn(mπx), vodaan johtaa tavallsten dfferentaalyhtälöden ryhmä ta tasapanotlan tehtävssä algebrallnen yhtälöryhmä kertomlle a j. Musta edellä estetystä menetelmstä poketen kertomlla e ole fyskaalsta merktystä. Spektraalmenetelmällä on peraatteessa mahdollsta saada hyvn tarkka ratkasu. Vrtauksa ratkotaan yleensä van korkentaan ns. tosen kertaluvun menetelmllä, mutta spektraalmenetelmän kertaluku on ääretön, kun sarjan termen lukumäärä lähenee ääretöntä. Menetelmä sop slt huonost usempn sovelluksn. Eräänä syynä on äkllsten muutosten kuvaamsen hankaluus. Fourer-sarjalla vodaan approksmoda van jatkuva funktota. Pyrttäessä kuvaamaan kuvan 1.7 kaltasta epäjatkuvuuskohtaa Fourer-sarjalla, muodostuu värähtelytä, jotka evät suppe- j=1
1.6. TIETOKONEET 24 ne, vakka sarjan termen lukumäärää kasvatetaan huomattavastkn. Värähtelyjen muodostumsta kutsutaan Gbbsn lmöks. Spektraalmenetelmän sovelluskohteta ovat numeernen sään ennustamnen ja turbulensstutkmus. Kun laskenta-alueena on koko maapallo, vodaan käyttää Fourersarja -estystä tä-läns -suunnassa. Ptuusprejä ptkn vodaan käyttää yrtefunktona tarkotukseen sopva (ortogonaalsa) Legendren ta Tschebyschevn polynomeja. Turbulenssa vodaan tutka käyttäen suoraa smulonta, jollon on mahdollsta käyttää kanavalle perodsa reunaehtoja vrtaussuunnassa. Spektraalmenetelmä soveltuu snällään lneaarslle probleemolle. Ongelmaks tulee epälneaarset dervaattatermt (lkemäärän vuotermt). Tällön käytetään hyväks apuhlaa, jonka avulla dervaatat lausutaan. Spektraalmenetelmääkn ss vastaa jonknlanen pstekkö. Laskennassa käytetään nopeaa Fourer-muunnosta sekä sen kääntesmuunnosta srrettäessä ratkasua sarjaestyksen ja hlapste-estyksen välllä. 1.6 Tetokoneet Laskennallsen vrtausmekankan kehttymsen on mahdollstanut tetokoneden kapasteetn ja laskentanopeuden kasvu. Ennen vuotta 1960 menetelmä kehtettn lähnnä strategsn tarkotuksn. Suomeen tul ensmmänen tetokone vasta vuonna 1959. Maalmalla laskentamenetelmen kehttäjät saattovat velä 1950-luvulla suorttaa työlätä kuukausa kestävä laskentatehtävä käsn. Tetokoneet ylestyvät 1960-luvun puolvälstä lähten, mutta nden must ol hyvn pen ja rajott vrtauslaskut kahteen dmensoon. Opetusmnsterö hankk Suomeen 1970-luvun alussa akonaan hyvn tehokkaan Unvac 1108-tetokoneen. Ajanhetkeä vodaan ptää nykyakasen teteellsen laskennan alkuna Suomessa. 1970-luvulla kehtettn uus tetokonetyypp, josta käytettn nmtystä supertetokone. Ensmmänen kaupallsest saatava superkone ol Cray-1S vuonna 1976 ja stä seurasvat mm. Cray-XMP ja japanlaset tetokonevalmstajat. Supertetokonessa käytettn ns. vektorprosessora, joka edellyttää, että tetokoneohjelma vektorotuu. Ylesmmät vektoronnn esteet ovat ns. rekurso el laskentatuloksen rppumnen slmukan edellsestä laskentatuloksesta sekä slmukan ssällä tapahtuvat
1.6. TIETOKONEET 25 pokkeustomnnot, kuten krjotus- ja ehtolauseet. Supertetokoneden käyttö edellytt ohjelmen uudelleenkrjottamsta ja jopa algortmen vahtoa. CFD-probleemat vektorotuvat kutenkn suhteellsen helpost ja Cray-tetokonella ol mahdollsta päästä kymmenkertaseen tehonlsäykseen skalaarlaskentaan verrattuna. Nykysn markknolla on velä japanlasa koneta, jolla tehonlsäys on ollut jopa nelkymmenkertanen. Pernteset supertetokoneet ovat edelleenkn hyvn kallta ja ne ovat sks lähes hävnneet markknolta. Tlalle ovat tulleet rnnakkastetokoneet, josta suurmpa edelleen kutsutaan supertetokoneks, vakka arkktehtuur on erlanen vektorkonesn verrattuna. Vektorotuvat koodt sopvat myös rnnakkaskonelle, mutta eräät rnnakkastuvat ongelmat evät kutenkaan vektorodu. Supertetokoneden käyttö on kallsta ja se on mahdollsta pääasassa van julksella sektorlla. Tyypllnen supertetokoneden käyttösovellus on sään ennustamnen. Tehon kasvaessa on laskentatehtäven luonnekn muuttunut. Nykysllä supertetokonella on mahdollsta suorttaa monmutkasa ajan suhteen tarkkoja laskelma, josta eräänä esmerkknä on turbulenssn kuvaus joko suoralla smulonnlla ta suurten pyörteden menetelmällä. Tetokoneet ovat kehttyneet nopeast 1950-luvulta lähten ja CFD-oppkrjossa saatetaan esttää logartmsella skaalalla koneden tehoa ta laskennan hntaa, josta edellnen käyrä on monotonsest nouseva ja jälkmmänen laskeva. Kuvaajat päättyvät usen vuoden 1985 tenolle. Tetokoneden kehtyksestä on tok senkn jälkeen tehty vertaluja, jota e estetä tässä nden nopean vanhenemsen vuoks. Tonen sekka lttyy shen, että perntesessä melessä tetokoneen käste on hämärtynyt. Nykysn nopemmat koneet ovat joko massvsa rnnakkaskoneta ta satojen, jopa tuhansen, penempen koneden muodostama klustereta. Tällasa kokoonpanoja vodaan koota välakasest jopa demonstraatomelessä. Ehkä okeampaa ols pyrkä esttämään suortuskykyä toteutuneden sovellusten pohjalta. An harvon on mahdollsuuksa ta varaa hyödyntää suuren koneen kakka prosessoreta, joten estetty laskentanopeus on lähnnä teoreettnen. Vuoden 1970-jälkeen laskentamahdollsuuksen kehttymstä varten kannattaa seurata mkropren kehttymstä. Tällä hetkellä tetojenkästtelyssä vakuttas ole-
1.6. TIETOKONEET 26 Kuva 1.10: Mooren lak (kuva alkuperäsestä julkasusta vuodelta 1965). van menossa murros, jossa lähes kakk laskenta tehdään yhden ta korkentaan kahden valmstajan mkroprosessorehn perustuen. Supertetokoneeks nmtetään konetta, jossa prosessoreta on rttävän monta. Yksttäsen prosessorn laskentanopeus on tulossa nn suureks, että vaatva smulonteja on myös mahdollsta tehdä kottetokoneella. Kun puhutaan mkropren kehtyksestä, esllä on usemmten ns. Mooren lak, jonka mukaan mkropren pakkaustheys kaksnkertastuu non puolessatosta vuodessa ta vahtoehtosest kymmenkertastuu non vdessä vuodessa. Alkuperänen Gordon E. Mooren artkkel on vuodelta 1965 ja snä todetaan theyden lkman kaksnkertastuvan vuosttan ja tämän trendn todennäkösest jatkuvan ana vuoteen 1975, jollon ols käytössä huma 64K pr. Mooren akana ol kannattavaa valmstaa prejä, jossa ol 50 komponentta, mutta Moore ennust komponentten määrän nousevan tuhanteen vuoteen 1970 mennessä, mkäl ntä pystyttäsn valmstamaan rttävä määrä, ts. mkäl prellä ols kysyntää! (Prelle ol jo sllon mahdollsta tunkea jonkn verran enemmän komponentteja, mutta samalla valmstuskustannukset nousvat). Mooren artkkel on tarkkuudessaan hämmästyttävä muutama humorstsa prtetä lukuunottamatta. Artkkelssa ennustetaan jo vuonna 1965 kottetokoneden ja kannettaven puhelmen tulo markknolle. Mooren lak vakuttaa tetokoneen kapasteetn kehttymseen kahdella tavalla.
1.6. TIETOKONEET 27 Kuva 1.11: Inteln prosessoren komponenttmäärän kehttymnen. Mustpren kapasteett on kasvanut valtavast ja samalla hnta on romahtanut. Itse laskentaa suorttava prosessor on monmutkastunut, jollon laskenta on tehostunut ja prosessorlla sjatseva ohesmust (cache) on kasvanut. Ennen vuostuhannen vahdetta laskentanopeuteen enten vakuttanut tekjä ol prosessorn kellotaajuus, joka Inteln P4-prosessorlla ol syyskuussa 2001 maksmssaan 2GHz. Myöhemmn tehon lsäys on perustunut mm. rnnakkaslaskentaan. Vrtauslaskjan kannalta tärken lukema on koneesta rt saatava laskentanopeus, e teoreettset arvot. Usen mustn ja väylen nopeus on rajottava tekjä, ekä prosessorsta saada rt läheskään sen nmellstehoa. Joka tapauksessa eräs tapa tarkastella alan kehtystä on ylesmmn käytetyn Inteln prosessorn ssältämen komponentten lukumäärä. Se noudattelee Mooren laka, jota, kuten edellä todettn, on heman rukattu alkuperäsestä (kuva 1.11). Tällä hetkellä e ole näkyvssä mtään, mkä lähtulevasuudessa kääntäs kehtyksen suuntaa. Vrtauslaskennan harrastajlla on ss velä edessään mukavat ajat, vakka tse menetelmäkehtys näyttäs saavuttaneen jossan määrn kypsän tason. Seuraavaks tarkastellaan hukan laskentamenetelmen hstoraa.
1.7. MENETELMIEN KEHITTYMINEN 28 1.7 Menetelmen kehttymnen 1.7.1 Laskentamenetelmen hstoraa Osttasdfferentaalyhtälötä ratkastaan teknsssä sovelluksssa dfferenss-, elementtta kontrolltlavuusmenetelmällä. Nästä dfferenssmenetelmä on vanhn. Vrtauksa smulodaan yleensä ns. kontrolltlavuusmenetelmällä (control-volume method ta fnte-volume method). Tapa on lähestä sukua dfferenssmenetelmälle ja yksnkertasssa tlantessa menetelmllä saadaan samat dskreett yhtälöt. Sama koskee myös elementtmenetelmää kuten edellä estettn: esmerkks Laplace-yhtälön ratkasulle kaklla kolmella menetelmällä on mahdollsta johtaa samat algebrallset yhtälöt, jotka approksmovat pohjalla olevaa osttasdfferentaalyhtälöä 2 φ = 0. Jatkossa kesktytään kontrolltlavuusmenetelmän perustesn. Taustalla oleva teora on suurelta osn dfferenssmenetelmää varten alunpern kehtetty. Tämä on mahdollsta, koska menetelmen omnasuuksa vodaan tutka yksnkertaslla mallyhtälöllä. Laskentamenetelmen hstora on sten aluks dfferenssmenetelmään lttyven kenojen ja analyysmenetelmen hstoraa. Kontrolltlavuusmenetelmää käytettn lmesest ensmmäsen kerran kaasuturbnen laskennassa vuonna 1971 (McDonald, P.W., The Computaton of Transonc Flow through Two-dmensonal Gas Turbne Cascades) ja tästä rppumattomast seuraavana vuonna (MacCormack, R.W. and Paullay, A.J., Computatonal Effcency Acheved by Tme Splttng of Fnte Dfference Operators). Vmeks manttu artkkel osottaa, että kontrolltlavuusformulaatota e velä tuollon pdetty tsenäsenä menetelmänä, vaan eräänlasena dfferenssmenetelmänä. Vasta myöhemmn on ovallettu, että formulaaton perustana olevat kontrolltlavuudet vovat olla melvaltasen muotosa, esmerkks tetraedrejä, jollon samoja yhtälötä e mtenkään voda johtaa dfferenssmenetelmän kenon. Kontrolltlavuus- ja elementtmenetelmllä laskenta vodaan helpost suorttaa melvaltasen muotoslle geometrolle, kun taas dfferenssmenetelmä rajottuu suorakulmasn koordnaatstohn. Kontrolltlavuusmenetelmä sovellettn kolmdmensoseen tapaukseen ensmmäsen kerran vuonna 1973 (Rzz ja Innouye). Sen ajan laskentamahdollsuukssta antaa jonknlasen kuvan käytetyn lasken-
1.7. MENETELMIEN KEHITTYMINEN 29 taverkon koko: tuhatkunta laskentatlavuutta. Menetelmän varsnasta keksjää on edellä manttujen referenssen valossa hankala manta, koska tse peraate on ollut esllä vrtausyhtälöden johtamsessa (esm. Roachen CFD vuodelta 1972). Tärkeä vrstanpylväs on ollut myös Peter Laxn artkkel vuodelta 1954, jossa osotettn, että transoonsessa vrtauksessa mahdollset tvstysaallot (shock waves), jotka ovat peraatteessa epäjatkuvuuskohta, vodaan kuvata ns. hekkona ratkasuna, kun dfferentaalyhtälöt dskretodaan sälymsmuodossa. Myöhemmn nähdään, että juur sälymsmuotonen dskretont on kontrolltlavuusmenetelmän perusta. Lax käytt akonaan dfferenssmenetelmää, joka ol mahdollsta karteessen geometran yhteydessä, mutta formulaato ol tällön täsmälleen sama kun kontrolltlavuusmenetelmällä. Edellä manttn osttasdfferentaalyhtälöden ratkasemshstoran alkavan vuonna 1910. Tällön Rchardson estt ns. psteteraatomenetelmän bharmonselle yhtälölle 4 φ = 0 (1.33) sekä Laplace-yhtälölle. Bharmonnen yhtälö kuvaa esmerkks kaksdmensosta srtymäjakaumaa. Molemmat yhtälöt ovat luonteeltaan ellptsä, jollon reunaehdot tarvtaan laskenta-alueen kaklla reunolla. Ellptset tehtävät kuvaavat tasapanotlaa ja nden ratkasua haetaan teratvsest. a) t reunat ntegroms suunta b) y reunat alkutla x x Kuva 1.12: a) Parabolselle ta hyperbolselle probleemalle rttää tuntea kaks reunaehtoa ja alkuehto; b) ellptsellä probleemalla ratkasu on tunnettava kaklla reunolla. Rchardson estt myös ratkasumenetelmän aaltoyhtälölle 2 φ t 2 = c2 2 φ (1.34)
1.7. MENETELMIEN KEHITTYMINEN 30 Aaltoyhtälö on tyypltään hyperbolnen, jollon kakka reunaehtoja e tarvta ja ratkasu haetaan akantegromalla. Rchardsonn ehdottama ntegrontmenetelmä on epästabl ekä stä vo käyttää laskentaan. Rchardsonn akana e ollut kehtetty velä stablsuusanalyysä ekä hän tullut jatkaneeks laskentaa käsn nn ptkälle, että epästablsuus ols tullut eslle. Vuonna 1928 Courant, Fredrchs ja Levy julkasvat kuulusan artkkelnsa, josta on peräsn Courantn krteerks kutsuttu ehto eksplsttsen menetelmän stablsuudelle. Krteerssä on keskesenä kästteenä ns. Courantn luku, josta yleensä käytetään huonohkoa lyhennysmerkntää CF L. (Jatkossa käytämme Fletchern tapaan krjanta C). Courant et al. artkkela pdetään ensmmäsenä varsnasena CFD-julkasuna. Kehtettyjä numeersa menetelmä ol hyvn hankala testata. Ana 1950-luvun puolväln ast ovat alan poneert tehneet hyvn työlätä, jopa kuukausa kestänetä käslaskuja menetelmen testauksessa. Ensmmäset tetokoneet kehtettn 1940- luvulla Yhdysvallossa ja nllä ryhdyttn het laskemaan erätä vrtauslmötä, lähnnä tvstysaallon etenemstä, joka on tärkeä monssa sodankäyntä svuavssa sovelluksssa. Laskentamenetelmä, nden teoraa ja ertysest dskretotujen yhtälöden stablsuusanalyysä kehtt ertysest unkarlassyntynen professor John von Neumann. Tuloksa julkastn muden tomesta sodan jälkeen. Von Neumannn menetelmään perehdytään jatkossa. Tvstysaaltojen laskenta on tärkeää esmerkks lkennelentokoneden ja kaasuturbnen vrtausjakaumen laskennassa. Nässä tlantessa vrtauksen Machn luku on suur ja tällön vodaan käyttää vrtausyhtälöden akantegrontn perustuvaa ratkasukenoa. Juur tätä vrtauslaskennan osa-aluetta nmtettn alunpern CFD:ks. Stä votasn käyttää myös nmtyksä laskennallnen aerodynamkka ta kaasudynamkka. Tarkastellaan seuraavaks ensn tämän alueen hstoraa. Ensmmänen kaupallnen tetokone ol Unvac 1950-luvun alussa. Samalla vuoskymmenellä kehtettn myös korkeamman tason ohjelmontkel (Fortran), jolla tetokoneen ohjelmont yksnkertastu huomattavast. Alkuvuosen poneereja askarrutt tvstysaallon laskennassa se, että aallon kohdalle muodostu epäfyskaalsa värähtelyjä, jotka plasvat ratkasun. Ilmö on mahdollsta postaa kahdella tavalla. Ensmmäsessä tavassa epäjatkuvuuskohta kuvataan todellsena epäjat-
1.7. MENETELMIEN KEHITTYMINEN 31 kuvuuskohtana, jossa sovelletaan reunaehtona ns. Rankne-Hugonot-ehtoja. Nän saadaan peraatteessa tarkka ratkasu, mutta menettelyn laajentamnen useampaan dmensoon on hankalaa. Tapa on englannn kelessä nmeltään shock fttng. Helpomp keno on ns. shock capturng, jossa epäjatkuvuuskohtaa e kuvata epäjatkuvana, vaan heman loventuneena. Menetelmä edellyttää, että dskretont on tehty sälymsmuodossa ja että se ssältää vamennusta. Tämän menetelmän perusteet julkas Peter Lax vuonna 1954. Samassa artkkelssa on kuulusa ekvvalensslause, joka tulee eslle jatkossa. Nykyakaset laskentamenetelmät perustuvat Laxn esttämään peraatteeseen. 1950-luvulla havattn, että menetelmään vodaan lsätä kenotekosest numeersta vamennusta ta menetelmä vo ptää vamennusta mplsttsest ssällään. Vmeks manttuun ryhmään kuuluvat esmerkks Laxn ja Lax-Wendroff -menetelmät, joden ssänen numeernen vamennus syntyy akadervaattatermn dskretonnsta. Tämä e ole kutenkaan hyvä asa, kuten myöhemmn nähdään. Tonen mahdollsuus konstruoda ssäsest vamentava menetelmä, on käyttää ylävrtapanottesta dskretonta. Tällanen on esmerkks Courant-Isaacson-Rees -menetelmä vuodelta 1952. Snä ratkasu tehdään ns. karakterstsessa muodossa, joka e ole luonteeltaan sälyttävä. Nän ollen menetelmä e suoraan sovellu tvstysaaltojen laskentaan, vaan sen kanssa on käytettävä shock fttng -kenoa. Yhtälöden sälymsmuotosessa dskretonnssa syntyvä vuoterm panegradentteneen on mahdollsta ylävrtapanottaa käyttäen ns. Remann-ratkasua laskentatlavuuksen rajapnnolla. Tämän ovals venälänen S.K. Godunov vuonna 1959. Menetelmä esteltn lännessä melko pan, ja mm. hyvn tunnetussa Rchtmyern- Mortonn krjassa vuodelta 1967 Godunovn lähestymstapa mantaan nerokkaaks. Tästä huolmatta länsmassa käytettn ptkään joko Lax-Wendroff -tyyppsä menetelmä ta stten lsättn eksplsttsest dfferenssyhtälöhn kenotekonen vamennusterm, jonka kertomena ol kokemusperänen vako (tämäntyyppsä menetelmä käytetään veläkn). Ehkä eräänä syynä ol hankaluus tajuta Godunovn menetelmän olemusta sekä se sekka, että Godunov käytt ensmmäsen kertaluvun dskretonta. Nopeast votn osottaa, että korkeamman kertaluvun menetelmllä muodostuu oskllonteja tvstysaallon kohdalle. Lax-Wendroff -menetelmä on tosen kertaluvun menetelmä, joten oskllonteja e votu välttää.