TILASTOMATEMATIIKKA I

TILASTOMATEMATIIKKA I Srkku Parvae 1. JOHDANTO MIHIN TILASTOTIEDETTÄ TARVITAAN? suure havatomäärä (data) keräämsee, tetoje tvstämsee ja kuvaluu (deskrptvset meetelmät, data-aalyys) johtopäätöste tekemsee epätäydellse ja epävarma formaato perusteella (tlastolle päättely: estmot, hypoteese testaus, rppuvuusmallt) tulevasuude eustamsee (akasarja-aalyys, eustusteora) MIHIN TILASTOTIEDE PERUSTUU? Tlastollse päättely meetelmät ojaavat tosaalta lmöstä kerättyy käytäö kokemuksee (havatoaesto) ja jakaumamalleh, tosaalta todeäkösyyslasketaa, joka perustuu aksoom. Nästä aksoomsta johdetaa laskusäätöjä ja päättelyssä käytettävä kaavoja. TILASTOTIETEEN PERUSONGELMIA: Mtä o teto ja mte epävarmuutta mtataa? Mtä o sattumavarasuus? Mte erotellaa systemaatte ja satuae vahtelu tosstaa? Mllä perusteella tehdää johtopäätöksä? Mte johtopäätöste luotettavuutta arvodaa? TILASTOTIEDETTÄ TARVITAAN MM. SEURAAVILLA ALOILLA: kakk kokeelle tutkmus! teke tutkmus systeeme ohjaus laaduvalvota luotettavuustekkka talouselämä, kauppa vakuutusala luooteteet ekologa väestötede tulevasuudetutkmus Eglakele term statstcs tarkottaa pats tlastotedettä, myös tlastoja sekä tlastollsa tuuslukuja. Tlastomatematkka o matemaattsta tlastotedettä. Tällä kursslla kesktytää todeäkösyyslasketaa, satuasmuuttuje jakaum ja äh perustuv tlastollse päättely meetelm. Esm. otatameetelmät ja kokede suuttelu evät kuulu kurss ahepreh, vakka ovatk tärkeä osa tlastollsta tutkmusta. 1

. TODENNÄKÖISYYSLASKENTAA.1. SATUNNAISKOKEET JA SATUNNAISMUUTTUJAT Satuaskoe o tostettavssa oleva ta tostuvast tapahtuva lmö, joka lopputulokse määrää satuae mekasm, lopputulosta e ss vo eustaa varmast. Koetta tostettaessa estyy tuloksssa tlastollsta sääömukasuutta suortuskertoje määrä kasvaessa. Satuaskokee mahdollset lopputulokset ovat alkestapahtuma. Otosavaruus o kakke alkestapahtume joukko, jota merktää seuraavassa S:llä. Esmerkkejä satuaskokesta ja otosavaruukssta: 1) Nopa hetto: S = {1,,3,4,5,6} ) Lamppuja pakataa 4 kappalee rasoh. Otetaa yks rasa ja testataa lamput (merk. k=kuolle, v=valle): S = {kkkk, kkkv, kkvk,..., vvvv} 3) Latevkoje lkm/v: S = {0,1,,...} 4) Tuottee pao: S = {xr x > 0} 5) Parsto elkä: S = {tr t 0} 6) Valtaa haastateltava heklö Suome kasalassta: otosavaruutee S kuuluvat kakk suomalaset. Otosavaruude määrttely rppuu tutkmukse kohteesta, joka määrää se mtä mtataa ta reksterödää. Esm. vmesessä tapauksessa otosavaruus o määrtelty hyv ylesest ja heklöltä vodaa haastattelussa kysyä useta melptetä, taustatetoja je. Jos tutkjaa kostas va heklö kata yhtee ajakohtasee kysymyksee, vos otosavaruus olla S = {puolesta, vastaa, e osaa saoa}. Tapahtuma tarkottaa otosavaruude osajoukkoa. Tapahtumlle pyrtää laskemaa todeäkösyyksä. Sekä otosavaruus että tapahtuma vodaa kuvalla - saallsest - matemaattslla symbolella - luettelemalla tapahtumaa kuuluvat alkestapahtumat - Ve dagrammlla. Satuasmuuttuja o alkestapauks lttyvä muuttuja, joka arvo o satuae. Satuasmuuttuja arvo määräytyy mttaamalla ta reksterömällä jok alkestapaukse omasuus. Koska kokee tulosta säätelee satuasmekasm, o X: arvok tätä kautta satuae. Koetta tostettaessa er arvot vahtelevat ja tätä vahtelua kuvaa satuasmuuttuja jakauma.

Esmerkk.1. Tarkastellaa lamppuje tomvuutta 4 kappalee rasassa. Otosavaruus o S = {kkkk, kkkv, kkvk, kvkk, vkkk, kkvv, kvkv, kvvk, vkkv, vkvk, vvkk, kvvv, vkvv, vvkv, vvvk, vvvv} Esmerkk kokeesee lttyvästä tapahtumasta: A = "rasassa o yks tomva lamppu" = {kvvv, vkvv, vvkv, vvvk} Esmerkk kokeesee lttyvästä satuasmuuttujasta: X = vallste lamppuje lukumäärä, joka vo saada arvot 0,1,,3,4. Tapahtuma A vodaa esttää myös symbolsessa muodossa A = {X=3}. Esmerkk.. Valtaa koeheklö ta haastateltava Suome kasalassta. Tapahtuma: A = "heklö o opskelja" B = "heklö o alle 30-vuotas" Ve dagrammlla vodaa kuvata er tapahtume suhteta otosavaruudessa... JOUKKO-OPPIA Tapahtume kästtelyssä tarvtaa joukko-op merktöjä, kästtetä ja operaatota. Merktää seuraavassa joukkoja solla ja de alkota pellä krjamlla. Merktä: Seltys: a A alko a kuuluu joukkoo A A B joukko A ssältyy joukkoo B el A o B: osajoukko (myös A B) AB joukkoje A ja B yhdste el uo: de alkode joukko, jotka kuuluvat joko A:ha ta B:he ta molemp AB joukkoje A ja B lekkaus: de alkode joukko, jotka kuuluvat sekä A:ha että B:he A ta A c A: komplemett: de alkode joukko, jotka evät kuulu A:ha. A B ta A\B joukkoje A ja B erotus: de alkode joukko, jotka kuuluvat A:ha mutta evät B:he. O tyhjä joukko 3

TAPAHTUMIEN KUVAUS JOUKKO-OPERAATIOILLA JA VENNIN DIAGRAMMEILLA A ta B tapahtuu (ta molemmat): AB A ja B tapahtuvat: A B A tapahtuu, B e: A B = A B A e tapahdu: A A o tapahtuma A komplemett- el vastatapahtuma. Jos A B= O, joukot ovat erllset el psteveraat: llä e ole yhtesä alkota. Tapahtumat A ja B ovat sllo tosesa possulkevat. 4

Esm. Suome kasalaste joukossa tapahtumat H = "heklö kotkuta o Helsk" L = "heklö kotkuta o Lappeerata" ovat tosesa possulkevat. De Morga kaavat: A B A B E päde se, että aak toe tapahtuu el Kumpkaa e tapahdu A B A B E päde se, että molemmat tapahtuvat el Aakaa toe e tapahdu Kaavat pätevät myös useamma jouko yhdstelle ja lekkaukslle. Esmerkk.3. Kompoett k1,..., k muodostavat ra kytkety systeem, jos systeem tom aa, ku yksk kompoett tom. Kompoett muodostavat sarjaa kytkety systeem, jos systeem tom va, ku kakk kompoett tomvat. Olkoot tettyy akaväl lttyvät tapahtumat A = "kompoett k tom". Lausu seuraavat tapahtumat tapahtume A avulla: a) Ra kytketty systeem tom. b) Ra kytketty systeem e tom. c) Sarjaa kytketty systeem tom. d) Sarjaa kytketty systeem e tom..3. TODENNÄKÖISYYS Tapahtuma A todeäkösyyttä (probablty) merktää P(A):lla ta Pr(A):lla. Todeäkösyys lmotetaa lukua välltä [0,1] ta prosettea. Todeäkösyys vodaa määrttää tlateesta rppue erlaslla tavolla, jotka evät ole kutekaa tosesa possulkeva. KLASSINEN TODENNÄKÖISYYS Klasse todeäkösyyde määrttely soveltuu, ku kakk alkestapahtumat ovat symmetrsä, yhtä mahdollsa ("yhtä todeäkösä"). Merktää N = kakke alkestapahtume lukumäärä NA = A: alkestapahtume lukumäärä el A:lle suotuse alkestapahtume lukumäärä Tapahtuma A todeäkösyys o N A P(A) N el suotuse alkestapahtume suhteelle osuus. Määrttely soveltuu va äärells joukkoh, mutta se vodaa ylestää äärettöm, mtattav joukkoh tarkastelemalla lukumäärä sjasta ptuutta, pta-alaa, tlavuutta je. Tällö puhutaa geometrsesta todeäkösyydestä, ks. esm..6. 5

Esmerkk.4. Nopahetto: kakk luvut 1,,3,4,5,6 ovat yhtä todeäkösä. Tapahtuma A = "kolmella jaolle luku" = {3, 6} todeäkösyys o sllo P(A) = /6 = 1/3. TILASTOLLINEN ELI SUHTEELLISIIN FREKVENSSEIHIN PERUSTUVA TODENNÄKÖISYYS Tlastolle todeäkösyys o raja-arvo, jota tapahtuma suhteelle osuus koesarjassa lähestyy, ku koetta tostetaa (ta lmö tostuu) loputtom. Esmerkks opahetossa kolmella jaollste lukuje suhteelle osuus o suullee 1/3, ku opahettoje määrä o hyv suur. Lyhyessä hettosarjassa osuus saattaa poketa paljok arvosta 1/3. Ogelmaa o tämä raja-arvo määrttely, sllä kysymys e ole matemaattsesta raja-arvo kästteestä. Käytäössä tostoja vodaa tehdä va äärelle määrä, olkoo se. Jos (A) o de kokede lukumäärä jotka atovat tulokse A, o P(A) (A) Jos todeäkösyys o määrtettävä tlastollsest, o käytettävä rttävä laajaa aestoa, jotta tulos ols luotettava. Esmerkk.5. Teolle kappaletuotato. Mllä todeäkösyydellä sattumavarasest pomttu tuote o valle? Todeäkösyys o vallste suhteelle osuus tostettaessa pomtaa äärettömä mota kertaa samalasssa olosuhtessa, ts. suhteelle osuus koko tuotaossa. Oletetaa että o pomttu =1000 satuasta tuotetta, sattumavarasa akoa, ja havattu äde joukossa 1 vallsta. Vallse todeäkösyyde arvodaa oleva o 1/1000 = 0.01 = 1. %. GEOMETRINEN TODENNÄKÖISYYS Jos -ulottesesta joukosta valtaa pste X umpmähkää el ste, että kaklla pstellä o sama valtamahdollsuus (pomtatodeäkösyys), ja A o jok : osajoukko, P(X A) m(a) m( ) mssä m o jouko -ulottee mtta (ptuus, pta-ala, tlavuus je.). Määrttely perustuu todeäkösyyde frekvesstulktaa, mutta se o myös ylestys klassse todeäkösyyde määrttelyy, kute aemm huomautett. Esmerkk.6. Kaks ystävystä ovat sopeet, että he saapuvat louasakaa tety ravtola etee ja louastavat yhdessä, jos tapaavat tosesa. Kumpk valtsee saapumsajakohda täys sattumavarasest klo 1.00 ja 13.00 välltä. Esks saapuva odottaa ravtola edessä tasa 10 muutta, jos toe e ole pakalla. Kuka suurella todeäkösyydellä ystävykset tapaavat tosesa? Vastaus: 11/36. 6

SUBJEKTIIVINEN TODENNÄKÖISYYS P(A) = uskomukse aste A: tapahtumselle Esmerkkejä: "Suom vottaa jääkeko seuraavssa MM-ksossa kultaa 5 %: varmuudella. "O ffty-ffty mahdollsuus, että etttuttava suostuu tapaamsee es vkoloppua. Mllä todeäkösyydellä vde vuode ssällä sattuu hmshekä vaatva ydvomalaoettomuus? Subjektvsta todeäkösyyttä joudutaa käyttämää tlatessa, jossa tapahtuma o autkertae ekä koetta voda tostaa. Ns. bayesläe tlastotede perustuu subjektvs todeäkösyyks, esm. Bayes-verkkoje lasketa. Subjektvsee todeäkösyyde määrttelyy o suhtauduttava varoe, etek jos stä käytetää hyväks päätökseteossa..4. TODENNÄKÖISYYDEN AKSIOMAATTINEN MÄÄRITTELY Ollaksee hyv määrtelty, todeäkösyyde tulee täyttää erätä ylesest hyväksyttyjä omasuuksa, aksoomeja. Todeäkösyyttä P vodaa ptää otosavaruude mttaa, joka o toteutettava seuraavat suhteellse estymsfrekvess omasuudet: TODENNÄKÖISYYDEN PERUSOMINAISUUDET (AKSIOOMAT) A1. 0 P(A) 1 jokaselle tapahtumalle A S. A. P(S) = 1 ("varma tapahtuma") A3. Jos A ja B ovat erllset (tosesa possulkevat) tapahtumat el A B= O, A ta B tapahtuu todeäkösyydellä P(AB) = P(A) + P(B). Omasuudet A1-A3 ovat äärellse todeäkösyysketä aksoomat. Ku S o ääretö joukko, vaadtaa lsäks: A3'. Jos A1,A,... ovat tosesa possulkeva tapahtuma el A Aj = O ku j, P(A1 A ) = P(A1) + P(A) +... SEURAUSOMINAISUUKSIA Seuraavat omasuudet vodaa osottaa aksoome A1-A3 perusteella: () Mahdoto tapahtuma: P( O ) = 0 () () (v) Komplemetttapaukse todeäkösyys: P( A ) = 1 P(A) Jos A B el A:sta seuraa B, P(A) P(B) A ta B tapahtuu: P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) 7

(v) A tapahtuu, B e: P(A B) = P(A) P(AB). Myös ä: P(A B) = P(AB) P(B) Esmerkk.7. Valtaa koeheklö ta haastateltava Suome kasalassta. Oletetaa, että opskeljota o o 8 % väestöstä ja alle 30-vuotade osuus väestöstä o 36 %. Alle 30- vuotata opskeljota o 7 % koko väestöstä. Merktää tapahtuma A = "opskelja" B = "alle 30-vuotas" Tedetää todeäkösyydet P(A) = 0.08, P(B) = 0.36 ja P(A B) = 0.07. Laske, mllä todeäkösyydellä heklö a) e ole opskelja? b) o vähtää 30-vuotas opskelja? c) vähtää 30-vuotas, e opskelja? Ratkasu (prrä kuvat): a) P( A ) = 1 0.08 = 0.9 b) P( A B ) = P(A B) = P(A) P(AB) = 0.08 0.07 = 0.01. c) P( A B ) = P( A B ) = 1 P(AB) = 1 [P(A) + P(B) P(AB)] = 1 (0.08 + 0.36 0.07) = 0.63. Ku alkestapauksa o äärelle ta umerotuva määrä (ts. e ovat lueteltavssa), o kyseessä dskreett todeäkösyysmall. Ku alkestapauksa o ylumerotuva määrä (esm. jok reaallukuväl), o kyseessä jatkuva todeäkösyysmall. Jatkuvaa tapauksee palataa jakaume yhteydessä; seuraavassa tarkastellaa dskreettä tapausta. TODENNÄKÖISYYDEN LASKEMINEN ALKEISTAPAHTUMIEN AVULLA Olkoo otosavaruus äärelle, S = {e1, e,...,e}, ta umerotuvast ääretö, S = {e1, e,...} ja alkestapahtume todeäkösyydet lukuja P(e) = p, mssä 0 p 1 ja p = 1. Tapahtuma A S todeäkösyys o 8

P (A) ea P(e Dskreetssä tapauksessa ss ) Tapahtuma A todeäkösyys saadaa summaamalla A:ha kuuluve alkestapahtume todeäkösyydet. Klassse todeäkösyyde mukae kaava saadaa myös edellse perusteella: Jos äärellse otosavaruude S = {e1, e,...,en} kakk alkestapahtumat ovat yhtä todeäkösä, P(e) = p = N 1 ja tapahtuma A S todeäkösyys o P(A) = A: alkestapauste lkm N 1 = NA/N Tämä o sekä klassse että frekvesstulka mukae todeäkösyys..5. KOMBINATORIIKKAA TULOPERIAATE: Jos jok operaato o mahdollsta suorttaa p er vaheessa ja :essä vaheessa o er valtamahdollsuutta (=1,...,p), er vahtoehtoja o p 1 1... p kappaletta. PERMUTAATIOT, VARIAATIOT JA KOMBINAATIOT: -alkose jouko permutaato o jouko alkosta muodostettu järjestetty joo k-varaato o jouko k-alkoe järjestetty joo k-kombaato o jouko k-alkoe osajoukko. Er yhdstelme lukumäärät: -alkosella joukolla o! = (-1)...1 er permutaatota (ku 1). Perustelu: Tuloperaattee mukaa 1. alko vodaa valta tavalla,. alko -1 tavalla je. ja vmee alko yhdellä tavalla. Luku! = 1...(-1) o : kertoma ja määrtellää myös 0! = 1 -alkosella joukolla o ()k = (-1)...(-k+1) =! / (-k)! er k-varaatota. Perustelu: Tuloperaate. -alkosella joukolla o k! k!( k)! er k-kombaatota (bomkerro yl k:) Perustelu: Jokae k-alkoe joukko vodaa järjestää el permutoda k! er tavalla, jote k- varaatota o k! kertaa k-kombaatode määrä ja kombaatota ss varaatode määrä jaettua k!:lla. 9

TODENNÄKÖISYYKSIEN LASKEMINEN: Alkestapahtumks valtaa tlatee mukaa joko varaatot ta kombaatot se mukaa oko järjestyksellä välä va e. Ku otos pomtaa "umpmähkää", o jokasella k-varaatolla keskeää yhtä suur pomtatodeäkösyys, samo kaklla k-kombaatolla. Erlaste tapahtume todeäkösyydet vodaa tällö laskea klassse todeäkösyyde el tasase todeäkösyysmall mukasest alkestapahtume lukumääre suhteea: suotuse alk.tap. lkm kakke alk.tap. lkm Esmerkk.8. Korttpakasta vedetää kaks kortta. Mllä todeäkösyydellä saadaa par? Tapa 1: Alkestapauksa varaatot el kahde kort joot, jota 5 51 kpl. Nästä o pareja 5 3. Esmmäe vodaa valta 5 er tavalla ja toe 3 tavalla jotta saadaa par. 5 3 3 P( par ) = 5 51 51 5 Tapa : Alkestapauksa kombaatot el kahde kort osajoukot, jota o kpl. 4 Numerota o 13 ja kutak koht par vodaa muodostaa eljästä värstä er tavalla. 4 Suotusa kombaatota o 13 ja kysytty todeäkösyys 4 13 3 P( par ) = 5 51 Esmerkk.9. Arvamyyjällä o 50 arpaa, josta vottoarpoja o 10 kpl. Asakas ostaa 6 arpaa. Mllä todeäkösyydellä hä saa eljä vottoarpaa? Otetaa alkestapauksks 6 kappalee kombaatot (osajoukot) 50: arva joukosta. Nätä o 50 kpl. 6 10 4 vottoarpaa vodaa valta 10: joukosta er tavalla 4 40 loput e-vottoarpaa vodaa valta er tavalla. Tuloperaattee ojalla suotusa kombaatota, el sellasa arpayhdstelmä, jossa o 4 vottoarpaa ja e-vottoarpaa, o 1040 kappaletta. 4 Koska arvat valtaa umpmähkää, o jokae yhdstelmä yhtä mahdolle, jote todeäkösyys saada 4 vottoa o 10

1040 4 10 780 P("4 vottoa") = 0. 0103. 50 15890700 6 Ylesest: Olkoo arpoja N kpl, josta vottoarpoja m kpl. Asakas ostaa arpaa. Mllä todeäkösyydellä hä saa k vottoarpaa? Kute edellä, käyttäe alkestapauksa kombaatota, johdetaa todeäkösyys suotuse alkestapauste ja kakke mahdollste alkestapauste suhteea. Todeäkösyys saada k vottoa o m N m P("k vottoa") = k k. N Vottoje lukumäärä saotaa oudattava hypergeometrsta jakaumaa parametre N, m,..6. EHDOLLINEN TODENNÄKÖISYYS Ehdolle todeäkösyys tarkottaa jok tapahtuma todeäkösyyttä, ku satuaskokee tuloksesta jo tedetää jota. Tapahtuma A ehdolle todeäkösyys ehdolla B o P(A B) P(A B) ku P(B) 0. P(B) Tulkta: A: todeäkösyys (suhteelle osuus) perusjoukossa B A: todeäkösyys, jos B varma omasuude A toteuttave alkestapauste suhteelle osuus de alkestapauste joukossa, jolla o omasuus B Kertosäätö: P(A B) P(B)P(A B) P(A)P(B A) Ylestys: Jos P(A1 A... A-1) > 0, P(A1 A... A) = P(A1)P(A A1)P(A3 A1 A)... P(A A1 A...A-1) Huom. Ehdolle todeäkösyys toteuttaa todeäkösyyde perusomasuudet, esm. P( A B) = 1 P(A B) je. Esmerkk.10. Opskeljota o o 8 % väestöstä ja alle 30-vuotade osuus väestöstä o 36 %. Alle 30-vuotata opskeljota o 7 % koko väestöstä. Estetää joku seuraavsta kysymyksstä: 11

Jos satuae koeheklö osottautuu alle 30-vuotaaks, mllä todeäkösyydellä hä o opskelja? Jos valtaa satuae koeheklö alle 30-vuotade suomalaste joukosta, mllä todeäkösyydellä hä o opskelja? Mkä o opskeljode suhteelle osuus alle 30-vuotasta? Kakssa ässä tapauksssa o kyse samasta ehdollsesta todeäkösyydestä: Merktää tapahtuma A = "opskelja" B = "alle 30-vuotas" Tedetää todeäkösyydet P(A) = 0.08, P(B) = 0.36 ja P(AB) = 0.07, jote kysytty todeäkösyys (el suhteelle osuus) o P(A B) = P(AB)/P(B) = 0.07 / 0.36 0.19..7. TILASTOLLINEN RIIPPUMATTOMUUS Tapahtumat A ja B ovat keskeää rppumattomat, jos ja va jos (R) P(A B) P(A)P(B) el jos (R1) P(A B) P(A) ku P(B) 0 el jos (R) P(B A) P(B) ku P(A) 0 Tulkta: tose sattume (varmast) e vakuta tose todeäkösyytee tapahtumat evät ole mssää vuorovakutuksessa keskeää A: todeäkösyys (suhteelle osuus) joukossa B o sama ku koko otosavaruudessa S B: todeäkösyys (suhteelle osuus) joukossa A o sama ku koko otosavaruudessa S Jos A: ja B: rppumattomuus o etukätee selvää (muulla tavo perusteltavssa), laskukaavoja (R), (R1) ta (R1) vo käyttää. Jos et tedä tapahtuma rppumattomks, tulokaavaa (R) e vo käyttää todeäkösyyde P(AB) laskemseks! Käytä esm. kaavaa P(AB) = P(A) + P(B) P(AB). Jos taas tutktaa, ovatko tapahtumat rppumattomat va e, o tuettava määrtelmää (R) ta (R1) ta (R) kuuluvat todeäkösyydet, jollo vodaa tarkstaa kaava pakkasaptävyys. Ylestys: Tapahtumat A1,A,...,A ovat täydellsest rppumattomat, jos P( A ) = P(A ) kaklla dekskombaatolla I {1,...,}. I I 1

Huomautuksa: Tosesa possulkevat tapahtumat evät ole rppumattoma! Täydellsestä rppumattomuudesta seuraa tapahtume A ja Aj parttae rppumattomuus, mutta e käätäe. A ja B rppumattomat A ja B rppumattomat A ja B rppumattomat je. Esmerkk.11. Opskeljota o o 8 % väestöstä ja alle 30-vuotade osuus väestöstä o 36 %. Alle 30-vuotata opskeljota o 7 % koko väestöstä. Merktää A = "opskelja" B = "alle 30-vuotas" Ovatko A ja B rppumattomat? P(A)P(B) = 0.08 0.36 = 0.088 0.07 = P(AB), jote tapahtumat evät ole rppumattomat.. Vahtoehtoe perustelu: Esmerk.10 perusteella P(A B) P(A), jote tapahtumat evät ole rppumattomat. Käytäöllsemm lmastua: uorsta opskelee suuremp osuus ku koko väestöstä (ta akussta). Esmerkk.1. Suome kasalaste joukossa tapahtuma A = "opskelja" C = vasekäte vodaa ptää rppumattoma, jote vasekätste opskeljode osuus koko väestöstä o P(AC) = P(A)P(C). RIIPPUMATTOMAT SATUNNAISKOKEET Rppumattomuude kästettä vodaa soveltaa myös er satuaskokede yhdstelm ts. kokes, jossa o er otosavaruudet. Satuaskokeet ovat rppumattoma, jos tose tulos e vakuta tose tulokse todeäkösyyks. Kokede suortusjärjestyksellä e ole välä. Tehdää kaks rppumatota satuaskoetta, jode otosavaruudet ovat S1 ja S. Jos AS1 ja BS ovat äde tulosmahdollsuuksa (tapahtuma), P(A ja B) = P(A)P(B). Tapahtumaa "A ja B" merktää symbollla AB (joukkoje karteese tulo) Esmerkk.13. Hetetää rahaa ja oppaa. Laskettava todeäkösyys, että rahahetosta saadaa klaava ja opa slmäluku o parlle. Esmerkk.14. Vomala geeraattorede pyörttämsee käytetää härötlateessa kolmea moottora 1,, ja 3, jode tuls va lmaatuessa käystyä automaattsest ja tosstaa rppumatta. Tyyppä 1 oleve moottore käystymstodeäkösyys o 99 %, ku taas moottore ja 3 käystymstodeäkösyys o va 90 %. 13

Mllä todeäkösyydellä härötlateessa a) aak yks moottor käystyy? b) täsmällee kaks moottora käystyy? Alkestapauksa ovat kakk er tapahtumavahtoehdot: S = {KKK, KKE, KEK, EKK, KEE, EKE, EEK, EEE} mssä K vastaa käystyvää, E e käystyvää moottora. Huom. P("e käysty") = 1 - P("käystyy ) Oletetaa, että moottort keskeää täydellsest rppumattoma, jollo alkestapahtume todeäkösyydet lasketaa tuloa: P(KKK) = 0.99 0.9 0.9 = 0.8019 P(KKE) = 0.99 0.9 0.1 = 0.0891 P(KEK) = 0.99 0.1 0.9 = 0.0891 P(EKK) = 0.01 0.9 0.9 = 0.0081 P(KEE) = 0.99 0.1 0.1 = 0.0099 P(EKE) = 0.01 0.9 0.1 = 0.0009 P(EEK) = 0.01 0.1 0.9 = 0.0009 P(EEE) = 0.01 0.1 0.1 = 0.0001 a) P("aak yks käystyy") = 1 P("ykskää e käysty") = 1 P(EEE) = 1 0.0001 = 0.9999 b) P("tasa kaks moottora käystyy") = P({KKE,KEK,EKK}) = P(KKE) + P(KEK) + P(EKK) = 0.0891 + 0.0891 + 0.0081 = 0.1863.8. KOKONAISTODENNÄKÖISYYS JA BAYESIN KAAVA Oletetaa, että otosavaruus S jakaatuu erlls osttes A1, A,..., A el S = A1 A... A ja A Aj = O, ku j. Tämä tarkottaa että jokae alko kuuluu täsmällee yhtee joukosta A. Oletetaa, että tuetaa erää tapahtuma B todeäkösyydet joukossa A. Sllo vodaa laskea tapahtuma B kokoastodeäkösyys: P(B) = P(A1)P(B A1) +... + P(A)P(B A) 14

Perustelu: Koska B = BS = B(A1 A... A) = (BA1)... (BA), ja yhdstee joukot ovat erllsä, saadaa yo. kaava soveltamalla säätöä P(BA) = P(A)P(B A). Edellsestä seuraa Bayes kaava, jolla lasketaa kääteset ehdollset todeäkösyydet, s. posterortodeäkösyydet: P(A B) P(A )P(B A ) P(B) P(A )P(B A ) P(A )P(B A )... P(A 1 1 )P(B A ) Esmerkk.15. Kolme koetta valmstaa lastölkkejä. Esmmäe koe valmstaa 40 % kaksta tölkestä ja se tuotaosta o 3 % vallsa. Toe koe valmstaa 30 % tölkestä ja se tuottaa vallsa %. Kolmae koee tuotaosta o vallsa 1 %. a) Motako prosetta koko tuotaosta o vallsa? b) Jos satuasest valttu tölkk paljastuu vallseks, mllä todeäkösyydellä se o peräs esmmäsestä koeesta? Tedetää P(K1)=0.4 P(V K1)=0.03 P(K)=0.3 P(V K)=0.0 P(K3)=0.3 P(V K3)=0.01 a) P(V) = P(K1)P(V K1) + P(K)P(V K) + P(K3)P(V K3) = 0.4 0.03+0.3 0.0+0.3 0.01 = 0.01 b) P(K1 V) = P(K1)P(V K1)/P(V) = 0.4 0.03 / 0.01 = 0.5714. Esmerkk.16. Väestöstä 0.1 % o erää vrukse kataja. Laboratorotest vrukse toteamseks ataa okea (postvse) tulokse todeäkösyydellä 0.99, jos heklö o vrukse kataja. Jos heklö o terve, test ataa okea (egatvse) tulokse todeäkösyydellä 0.95. Jos satuasest valttu heklö testataa ja tulos o postve, mllä todeäkösyydellä heklö todella o vrukse kataja? Vastaus: 0.0. 15

3. JAKAUMAT Satuasmuuttuja o muuttuja, joka arvo koetta ta mttausta tostettaessa vahtelee ealta arvaamattomast, jok satuasmekasm mukaa. Esm. sytyvä lapse sukupuol, opa heto tulos, kahde opa slmälukuje summa, tlaukse tomtusaka, tuottee kestokä, vallste tuottede määrä tuotatoerässä, koee käyttökatkoje määrä vuorokaudessa. Satuasmuuttuja jakauma o mall, joka kuvaa satuasmuuttuja arvoje vahtelua ptkällä tähtämellä, koko perusjoukossa. Jakauma lmastaa dskreetssä tapauksessa pstetodeäkösyysfukto (probablty fucto) avulla ja jatkuvassa tapauksessa theysfukto (probablty desty fucto) avulla. Molemp tapauks lttyy jakauma kertymäfukto (cumulatve dstrbuto fucto). Jakauma el satuasmuuttuja er arvoje ta arvojoukkoje todeäkösyys palautuu otosavaruude todeäkösyysmttaa P, dskreetssä tapauksessa alkestapauste todeäkösyyks. Merktää satuasmuuttuja solla krjamlla (X, Y je.) ja satuasmuuttuja arvoja umerolla ta pellä krjamlla. Sllo esm. lauseke "X=x" merktsee otosavaruudessa de alkestapauste joukkoa, jolla muuttuja X saa arvo x. Esmerkssä.1. todett, että jos X = vallste lamppuje lukumäärä 4 lampu rasassa, tapaus X=3 vastaa otosavaruude osajoukkoa {kvvv, vkvv, vvkv, vvvk}. 3.1. DISKREETTI SATUNNAISMUUTTUJA Satuasmuuttuja X o dskreett, jos sllä o äärelle ta umerotuvast ääretö määrä mahdollsa arvoja. Arvot ovat yleesä kokoaslukuja, esmerkks kappalemäärä. Esmerkkejä: opa heto tulos, vallste tuottede määrä tuotatoerässä, palvelupsteesee saapuve asakkade määrä vuorokaudessa. Pstetodeäkösyysfukto p(x) = P(X=x) lmasee kakke mahdollste arvoje todeäkösyydet el se määrttää X: jakauma. Pstetodeäkösyysfukto p tarvtsee määrtellä va mahdollste arvoje joukossa (muualla = 0). Symbole p ja P ero: p o muuttuja x fukto, P o s. joukkofukto, joka ataa mta otosavaruude osajoukolle. Jakauma kertymäfukto F psteessä x o todeäkösyys, että satuasmuuttuja arvo o korketaa x, el F(x) P(X x) Kertymäfukto o määrtelty kaklla reaalluvulla. Jos satuasmuuttuja X mahdollset arvot ovat x1, x,..., kertymäfukto lasketaa summaamalla pstetodeäkösyyksä pemmästä arvosta lähte arvoo x ast: 16

F (x) x x p(x ) Jos mahdollset arvot ovat esm. e-egatvset kokoasluvut 0,1,, kokoaslukupstesså x0 F (x) x k0 p(k) Esmerkk 3.1. Olkoo X = koee käyttökatkoje määrä vuorokaudessa. Oletetaa, että seuraavat todeäkösyydet o määrtetty (suhteellsa frekvesseä ptkällä akavälllä): p(0) = P(X=0) = 0.45 p(1) = P(X=1) = 0.30 p() = P(X=) = 0.15 p(3) = P(X=3) = 0.06 p(4) = P(X=4) = 0.04 Jakauma o havaollsta esttää pylväsdagramma: Jakauma kertymäfukto psteessä x o todeäkösyys, että käyttökatkoja o korketaa x kpl el F(x) = P(X x). x Todeäkösyys Kertymäfukto p(x) = P(X=x) F(x) = P(Xx) 0 0.45 0.45 1 0.30 0.75 0.15 0.90 3 0.06 0.96 4 0.04 1.00 Esm. todeäkösyys että vuorokaudessa o korketaa katkoa o P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = ) = P(X ) = F() = 0.9 vähtää katkoa o P(X ) = 1 P(X 1) = 1 F(1) = 0.5 Matemaattsest kertymäfukto määrtellää kaklla reaalluvulla seuraavast: F (x) 0 0.45 0.75 0.90 0.96 1 ku x 0 ku 0 x 1 ku 1 x ku x 3 ku 3 x 4 ku x 4 17

DISKREETIN JAKAUMAN OMINAISUUKSIA: 1. 0 p(x) 1. p (x) 1 (summaus yl kakke mahdollste arvoje) x 3. Dskreet satuasmuuttuja kertymäfukto o kasvava, okealta jatkuva porrasfukto. 4. P(a < X b) = P(X b) P(X a) = F(b) F(a). Jos X saa va kokoaslukuarvoja ja a<b kokoaslukuja, b P(a X b) = p (x) = F(b) F(a 1). xa Mkä tahasa arvojouko A todeäkösyys saadaa summaamalla kakke se arvoje todeäkösyydet: P (X A) xa p(x) Esmerkk 3.. Tarkastellaa esmerk.14. kolme moottor järjestelmää. Olkoo satuasmuuttuja X käystyve moottore lukumäärä. Mkä o X: jakauma? Todeäkösyydet saadaa esmerkssä.14. laskettuje alkestapauste todeäkösyykse avulla: P(X=0) = P(EEE) = 0.0001 P(X=1) = P(KEE) + P(EKE) + P(EEK) = 0.0099 + 0.0009 + 0.0009 = 0.0117 P(X=) = P(KKE) + P(KEK) + P(EKK) = 0.0891 + 0.0.0891 + 0.0081 = 0.1863 P(X=3) = P(KKK) = 0.8019 Nämä arvot määrttävät X: jakauma. Taulukossa laskettu lsäks kertymäfukto arvot kokoaslukupstessä. 18

k p(k) = P(X=k) F(k) = P(Xk) 0 0.0001 0.0001 1 0.0117 0.0118 0.1863 0.1981 3 0.8019 1.0000 3.. JATKUVA SATUNNAISMUUTTUJA Jatkuvalla satuasmuuttujalla o ylumerotuva määrä mahdollsa arvoja, esm. jok reaallukuväl, postve reaalaksel ta koko reaallukuje joukko R. Esm. kappalee massa ja ptuus, tuottee kestokä, tuulessa kaatuva puu suutakulma, tlaukse tomtukse myöhästymsaka, jatkuva suuree mttausvrhe. Er arvoje todeäkösyyttä e sllo voda määrtellä pstettä. Olkoo X yt jatkuva satuasmuuttuja. Se arvoje jakautumsta kuvaa eegatve theysfukto (el todeäkösyystheys) f(x), josta er arvoväle todeäkösyydet saadaa tegromalla. Jakauma kertymäfukto o F (x) P(X x) x f (t)dt el x-aksel ja theysfukto väl jäävä pta-ala alarajalta (-) arvoo x ast. Väl a X b todeäkösyys o P (a X b) f (t)dt. Esmerkk: Vvotetu aluee pta-ala o a) F(a) = P(X a) b a 19

b) P(a X b) Huomautus: Kakssa tegraalessa tegrodaa va yl se väl, jossa f(x)>0. JATKUVAN JAKAUMAN OMINAISUUKSIA: 1. f(x) 0. f (x)dx 1 3. Jatkuva jakauma kertymäfukto F(x) o jatkuva, kasvava fukto ja lm F(x) 0, lm F(x) 1. x x F (x) = f(x) sllo ku F o dervotuva. b 4. P(a X b) = P(a < X b) = P(a X < b) = P(a < X < b) = F(b) F(a) = f (x)dx a Arvojouko A todeäkösyys saadaa tegromalla yl tämä jouko: P (X A) A f (x)dx 5. a P(X=a) = f (x)dx = 0 kaklle lukuarvolle a. a Yksttäse arvo todeäkösyydestä e ole melekästä puhua. Vodaa saoa, että arvo a o mahdolle jos ja va jos f(a)>0. Esmerkk 3.3. (Mlto & Arold) Oletetaa, että erää bes lyjyptosuus X vo vahdella välllä 0.1 0.5 g/l ja se jakauma theysfukto o f (x) 1.5x 1. 5 0 ku 0.1 x 0.5 muualla 0

a) Mkä o jakauma kertymäfukto? Kertymäfukto o määrtelmä mukaa F (x) P(X x) x f (t)dt Ku x<0.1, F(x)=0. Ku 0.1 x 0.5, x F(x) = ( 1.5t 1.5)dt = / (6.5t 1.5t) = 6.5x - 1.5x + 0.065 0.1 x 0.1 Ku x>0.5, F(x)=1, koska mahdollse vahteluväl ylärajalla F(0.5)=1 ja tämä jälkee theysfukto o 0. (Rttää lmottaa kertymäfukto sllä mahdollste arvoje välllä, jolla theysfukto o postve.) b) Mllä todeäkösyydellä satuase besltra lyjyptosuus o välllä 0. 0.3 g? Tämä vodaa laskea joko tegromalla theysfuktota ta suoraa kertymäfukto avulla: ta 0.3 0.3 P(0. X 0.3) = f (t)dt = ( 1.5t 1.5)dt =... = 0.1875 0. 0. P(0. X 0.3) = F(0.3) F(0.) = (6.5 0.3 1.5 0.3 + 0.065) (6.5 0. 1.5 0. + 0.065) = 0.1875 1

3.3. ODOTUSARVO JA VARIANSSI Odotusarvo ja varass ovat keskesmmät jakaumaa kuvaavat tuusluvut. Odotusarvo (mea, expected value, expectato) o satuasmuuttuja jakauma keskarvo, "todeäkösyysmassa" paopste. Merktä:, E(X) ta EX. Varass (varace) ja se elöjuur, keskhajota el hajota (stadard devato), kuvaavat satuasmuuttuja arvoje vahtelua ja levesyyttä odotusarvo ympärllä. Varass merktä:, D (X), D X ta Var(X). DISKREETTI SATUNNAISMUUTTUJA Olkoo X dskreett satuasmuuttuja, joka mahdollset arvot ovat x1, x,... todeäkösyyks p(x1), p(x),... Odotusarvo: EX x p(x ) Varass: D X E (X ) (x Hajota: DX ) p(x ) JATKUVA SATUNNAISMUUTTUJA Olkoo X jatkuva satuasmuuttuja, joka theysfukto o f(x). Odotusarvo: EX x f (x) dx Varass: D X E (X ) (x ) f (x) dx Hajota: DX Laskettaessa tegrodaa yl se väl, jossa f(x)>0. Odotusarvo ja hajoa yksköt ovat X: ykskötä, varass yksköt ovat X: yksköde elötä. Huom: hajota ja varass aa e-egatvsa.

Vodaa osottaa, että E[(X µ) ] = E(X ) µ, josta saadaa varasslle käs laskettaessa kätevämp kaava: x p(x ), ku X dskreett x f (x)dx, ku X jatkuva. OMINAISUUKSIA (pätevät sekä dskreetlle että jatkuvalle satuasmuuttujalle): 1. E(X+Y) = EX +EY. E(aX) = a EX E(a) = a ku a o vako. 3. Ku X ja Y ovat rppumattoma satuasmuuttuja, D (X+Y) = D X + D Y D (X Y) = D X + D Y. Yleesä D(X+Y) DX + DY. 4. D (ax) = a D X D (a) = 0 ku a o vako. 5. Ylestys: Jos X1, X,...,X ovat tosstaa rppumattoma satuasmuuttuja ja a1,...,a ovat vakota, E(a1X1 + ax +... + ax ) = a1e(x1)+ae(x)+...+ ae(x) D (a1x1 + ax +... + ax ) = a1 D (X1)+a D (X)+...+ a D (X) 6. Jos g(x) o satuasmuuttuja X fukto, g(x) o myös satuasmuuttuja, joka jakauma määräytyy X: jakaumasta ja E(g(X)) = g (x, ku X dskreett )p(x ) E(g(X)) = g (x)f (x)dx, ku X jatkuva. Esmerkk 3.4. Olkoo X koee käyttökatkoje määrä vuorokaudessa, jakaumaa p(0) = 0.45 p(1) = 0.30 p() = 0.15 p(3) = 0.06 p(4) = 0.04 Odotusarvo: 4 EX x p(x) = 00.45 + 10.3 + 0.15 + 30.06 + 40.04 = 0.94 x0 3

Varass: D X 4 x0 x p(x) = 0 0.45 + 1 0.3 + 0.15 + 3 0.06 + 4 4 0.04 0.94 = 1.1964 Hajota: = 1.0938 Jos yhdestä käyttökatkosta aheutuu kteä kustaus, esm. 50, kustauste C = 50X odotusarvo o E(C) = E(50X) = 50 E(X) = 47 vuorokaudessa. Esmerkk 3.5. Lasketaa bes lyjyptosuude odotusarvo esmerk 3.3. jakaumasta. 0.5 0.1 1.5 3 0.5 1.5 3 1.5 x (1.5x 1.5)dx = / ( x x ) = 3 0.5 3 1.5 0.5 0.1 1.5 3 0.1 3 1.5 0.1 = 0.3667 g/l. Laske lyjyptosuude hajota. Vastaus: = 0.0940 g/l. Esmerkk 3.6. Olkoo X opa heto tulos. Laske satuasmuuttuja g(x) = 1/X odotusarvo. X: jakauma o p(x) = 1/6, x=1,,3,4,5,6. Omasuude 6 mukaa 6 1 1 1 1 1 1 1 1 49 E p(x)... = 0.4083 X x1 x 1 6 6 6 6 10 Huomautus: EX = 3.5, jote E(1/X) 1 / EX. 3.4. DISKREETTEJÄ JAKAUMIA 3.4.1. BINOMIJAKAUMA Beroull koe o satuaskoe, jolla o kaks vahtoehtosta tulosta: tapahtuma A sattuu ta e. Tulokset vovat olla esm. koe ostuu ta e, tuote valle ta e, kytk k ta auk je. Olkoo satuasmuuttuja X = 1, ku A tapahtuu 0, ku A e tapahdu Jos A tapahtuu todeäkösyydellä p, X oudattaa Beroull jakaumaa parametrlla p, merk. X ~ Beroull(p). Se pstetodeäkösyysfukto o P(X=0) = 1 p P(X=1) = p 4

Tostetaa kertaa koetta, jossa tapahtuma A todeäkösyys o p, ste että tostot ovat rppumattoma. Tapahtuma A estymskertoje lukumäärä : kokee joukossa oudattaa tällö bomjakaumaa parametre ja p. Jakauma pstetodeäkösyysfukto o P(X x) p x (1 p) x x x = 0,1,..., Merktä: X ~ B(, p) Luetaa: X oudattaa bomjakaumaa parametre ja p Odotusarvo: EX = p Varass: D X = p(1-p) Todeäkösyyde lasketakaava perustellaa seuraava esmerk yhteydessä. Huom. B(1,p)-jakauma o sama ku Beroull(p)-jakauma ja B(, p)-satuasmuuttuja o : rppumattoma Beroull(p)-satuasmuuttuja summa. Odotusarvo ja varass kaava vodaa osottaa helpost Beroull jakauma avulla. Esmerkk 3.7. Olkoo X vallste lamppuje määrä 4 kappalee rasassa. Oletetaa, että tuotatoprosessssa sytyy vallsa lamppuja keskmäär 10 %. Kyseessä o tällö tostokoe, mssä = 4 ja vallse lampu todeäkösyys p = 0.1. Koketa vodaa ptää rppumattoma, olettae että lamput o pomttu sattumavarasest. Vallste määrä oudattaa ss bomjakaumaa B(4, 0.1). Alkestapahtumat ovat {kkkk,kkkv,kkvk,kvkk,vkkk,kkvv,kvkv,kvvk,vkkv,vkvk,vvkk,kvvv,vkvv,vvkv,vvvk,vvvv} ( 4 = 16 alkestapausta) Koska lamput tosstaa rppumattoma saadaa alkestapahtume todeäkösyydet tuloa. P(kkkk) = (1-p) 4 = 0.9 4 P(kkkv) = p(1-p) 3 = 0.1 0.9 3 (sama kaklle tapaukslle jossa 1 valle, 3 kuollsta) P(kkvv) = p (1-p) = 0.1 0.9 (sama kaklle tapaukslle jossa vallsta, kuollsta) je. Esm. P(X=) = P({kkvv,kvkv,kvvk,vkkv,vkvk,vvkk})= 6 0.1 0.9 4 = 0.1 0.9 = 0.0486 Ylee tapaus: Kuk alkestapaukse, jossa tapahtuma sattuu x kertaa, todeäkösyys o p x (1-p) -x. Tällasa alkestapauksa o kpl, josta seuraa bomtodeäkösyyde kaava.. x Bomjakauma todeäkösyyksä ja kertymäfukto arvoja o taulukotu jollak parametre ja p arvolla. Edellse tehtävä todeäkösyydet saadaa suoraa taulukosta, esm. Kaks vallsta P(X=) = 0.0486 Korketaa vallsta P(X ) = F() = 0.9963 (todeäkösyystaulukko) (kertymäfukto taulukko) 5

3.4.. POISSON-JAKAUMA Olkoo satuasmuuttuja X tosstaa rppumattome, sattumavaraste tapahtume lukumäärä akaykskössä ta muussa mttaykskössä, ku tapahtumlla o keskmääräe theys. Tällase satuasmuuttuja jakaumaks sop use Posso-jakauma. Esmerkkejä Posso-jakautuesta satuasmuuttujsta: - puhelkeskuksee ta palveluumeroo saapuve puhelude lkm/m - esapuasemalle saapuve asakkade lukumäärä vuorokaudessa - aemäärässä tapahtuve radoaktvste hajoamste lkm/m - vakave leto-oettomuukse määrä vuodessa (ku rsk e oleasest muutu) - paovrhede lkm / krja svu - bakteere lkm / tlavuusykskkö estettä Satuasmuuttuja X oudattaa Posso-jakaumaa parametrlla, jos se pstetodeäkösyysfukto o x P(X x) e x! x = 0,1,,... Merktä: X ~ Posso() ta X ~ P() Odotusarvo: EX = Varass: D X = Posso-jakauma todeäkösyyksä P(X = x) ja kertymäfukto arvoja F(x) = P(X x) löytyy taulukosta jollak parametrarvolla. Esm. jos X ~ Posso(3.5), P(X = 4) = 0.1888 (todeäkösyystaulukko) ta laskemalla P(X 4! 3.5 4! 4 4 3.5 4) e e = 0.1888 P(X 4) = F(4) = 0.754 (kertymäfukto taulukko) Posso-jakauma Bomjakauma rajajakaumaa: Ku bomjakaumassa ja p pysyy vakoa (el samalla p 0), p x x (1 p) x x ( p) p e x = 0,1,,... x! Ku o suur ja p vastaavst pe, vodaa bomtodeäkösyyksä approksmoda Possotodeäkösyyksllä, parametra = p. Esmerkks harvaste tapahtume A määrä todeäkösyykse approksmot suuressa populaatossa, esm. harvasee, sattumavarasest skevää taut sarastuve määrä suurkaupugssa / vuos (ku kyseessä e tartutataut). Ks. Esmerkk 3.17. luvussa 3.5.6. 6

YLEISESTI: Posso-jakauma sop lukumäärä jakaumaks tlates, jossa tapahtume keskmääräe theys e muutu mkää tomeptee johdosta, mutta yksttäset tapahtumat sattuvat täys sattumavarasest, tosstaa rppumatta, ekä tä voda eustaa (esm. oettomuudet, palvelupsteesee saapuvat asakkaat). Tällasta tapahtume jooa kutsutaa Posso-prosessks ja parametr o prosess testeett. YHTEENLASKUOMINAISUUS: Jos X ~ Posso(1) ja Y ~ Posso() ja X ja Y ovat rppumattomat, YLEISTYS: X+Y ~ Posso(1) Olkoo satuasmuuttuja X tettyje tapauste A määrä akaykskössä ja X ~ Posso(). Jos satuasmuuttuja Xt = tapauste A määrä t akaykskössä (t>0) ja akavält ovat tosstaa rppumattomat, Xt ~ Posso(t ). Esmerkk 3.8. Ydvomalassa sattuu havattavssa oleva radoaktve päästö satuasest, keskmäär kaks kertaa kuussa. Päästöje lukumäärä akaykskössä vodaa katsoa oudattava Posso-jakaumaa. Perustelu jakaumalle: päästöjä tulee sattumavarasest tosstaa rppumatta, keskmääräsellä theydellä = kertaa kuussa, tä e voda eustaa etukätee. Päästöje lkm kuussa X ~ Posso() EX = = a) Mllä todeäkösyydellä kuukaude akaa sattuu vähtää eljä päästöä? P(X 4) = 1 P(X 3) = 1 F(3) = 1 0.8571 = 0.149 (kertymäfukto taulukosta) b) Mllä todeäkösyydellä kahde kuukaude akaa sattuu vähtää kahdeksa päästöä? Olkoo X = päästöje lkm kk:ssa: X ~ Posso() = Posso(4) P(X 8) = 1 P(X 7) = 1 F(7) = 1 0.9489 = 0.0511 (kertymäfukto taulukosta) c) Mllä todeäkösyydellä esmmäe päästö havataa akastaa kolme kuukaude kuluttua? P( esmmäe päästö akastaa 3 kk: kuluttua ) = P( e yhtää päästöä 3 kk: akaa ) Olkoo X3 = päästöje lkm 3 kk:ssa: X3 ~ Posso(3) = Posso(6) 7

P(X3 = k) = 6 k 6 e k! Kysytty todeäkösyys o P(X3 = 0) = e -6 = 0.005 d) Johda esmmäsee päästöhavatoo kuluva aja jakauma (jatkuva jakauma!). Olkoo T esmmäse päästöhavatoo kuluva aka kuukausa. Johdetaa T: kertymäfukto. F(t) = P(T t) = 1 P(T > t) = 1 P( esmmäe päästö akastaa t kk: kuluttua ) = 1 P( e yhtää päästöä t kk: akaa ) Olkoo Xt = päästöje lkm t kk:ssa, Xt ~ Posso(t) = Posso(t) k ( t) t P(Xt = k) = e k! Kertymäfukto o F(t) = 1 P(Xt = 0) = 1 e -t ku t > 0 Theysfukto o f(t) = F (t) = e -t ku t > 0 Tämä o luvussa 3.5 kästeltävä ekspoetaaljakauma theysfukto. 3.4.3. MUITA DISKREETTEJÄ JAKAUMIA Dskreett tasajakauma: Ku satuasmuuttujalla X o äärelle määrä arvoja, jotka ovat kakk yhtä todeäkösä, X oudattaa dskreettä tasajakaumaa. Esm. opa heto tulos, joka pstetodeäkösyydet ovat P(X = x) = 1/6, x = 1,,3,4,5,6. Hypergeometre jakauma: Esmerkk.9. Geometre jakauma: Oletetaa, että jossa satuaskokeessa tulokse A todeäkösyys o p. Koketa tostetaa kaua, kues saadaa esmmäse kerra tulos A. Tarvttave kokede määrä X oudattaa tällö geometrsta jakaumaa parametrlla p: X ~ Geom(p) Esmerkk 3.9. Hetetää oppaa kaua, että saadaa esmmäe kuutoe. Olkoo satuasmuuttuja X tarvttave hettoje lukumäärä. Johda X: jakauma. 8

3.5. JATKUVIA JAKAUMIA 3.5.1. TASAJAKAUMA Satuasmuuttuja X, joka arvot ovat välllä (a, b) ste, että kaklla väl pstellä o yhtäläe mahdollsuus tulla valtuks, oudattaa tasajakaumaa välllä (a,b), merk. X ~ U(a, b). Esm. taskulaskme satuaslukugeeraattor ataa vällle (0, 1) tasajakautueta arvoja. Arvoväl vo olla avo, puolavo ta suljettu (koska yhde pstee todeäkösyys o 0, reuapstellä e ole merktystä). Jakauma U(a, b) theysfukto: f (x) 1 b a 0 ku a x b muualla Kertymäfukto: F (x) 0 x - a b - a 1 ku x a ku a x b ku x b a b Odotusarvo: EX = Varass: D X = (b a) 1 3.5.. EKSPONENTIAALIJAKAUMA Satuasmuuttuja X oudattaa ekspoetaaljakaumaa parametrlla, merk. X ~ Exp(), jos se theysfukto o muotoa f (x) x e ku x > 0 (0 muualla) 9

Expoetal Dstrbuto 1,6 Mea 0,5 desty 1, 0,8 0,4 Kertymäfukto: 0 0 0,5 1 1,5 x F(x) x 1 e ku x > 0. Odotusarvo: EX = 1 / Varass: D X = 1 / Ekspoetaaljakauma o ylee mm. kestoä ta vkaatumsaja jakaumaa tekkassa, saapums- ja palveluakajakaumaa joosysteemessä, esm. tetolketeessä. Ylesest: Tetyllä keskmääräsellä theydellä tapahtuve keskeää rppumattome, sattumavaraste tapauste akaväl vodaa use saoa oudattava ekspoetaaljakaumaa. Esm. radoaktvste hajoamste akaväl aemäärässä, puhelkeskuksee saapuve peräkkäste puheluje väle aka je. Ekspoetaaljakaumalla o seuraava "meesyyde uohtamsomasuus" el mustttomuus: Jos X ~ Exp(), kaklle luvulle t, h > 0 pätee, että P(X > t+h X t) = P(X > h). Jos X o esm. tuottee kestokä, todeäkösyys slle, että jo käytössä ollut tuote kestää velä h akaykskköä e rpu tähäastsesta kestosta t. Tämä omasuus kertoo oleasest, mllaste tapauste mallks ekspoetaaljakauma sop. Ekspoetaaljakaumaa ylesemp kestoä jakauma o Webull jakauma, joka ottaa huomoo myös s. lastetaudt ja vaheemse. Ekspoetaaljakauma ja Posso-jakauma yhteys: Jos X = keskeää rppumattome tapahtume A lukumäärä akaykskössä T = kahde peräkkäse tapahtuma A väle aka, X ~ Posso( ) T ~ Exp(). T vo olla myös esmmäse tapahtuma sattumsaka, ku kello käystetää melvaltasella ajahetkellä. Esmerkk 3.10. Suurkaupug eräs paloasema saa hälytykse keskmäär 7 tu väle. a) Mkä vos olla hälytyste välse aja jakauma ja mks? 30

Koska hälytykset sattuvat tosstaa rppumatta, sattumavarasest keskmääräsellä vakotheydellä, de lukumäärä vo katsoa oudattava Posso-jakaumaa ja hälytyste väle aka T oudattaa ekspoetaaljakaumaa, odotusarvoa ET = 1/ = 7 = 1/7. Jakauma kertymäfukto o F(t) = P(T t) = 1 e -t/7, ku t > 0. b) Mllä todeäkösyydellä hälytykse jälkee kuluu alle 3 tuta seuraavaa? P(T < 3) = P(T 3) = F(3) = 1 e -3/7 0.35 c) Jos edellsestä hälytyksestä o kuluut jo 3 tuta, mllä todeäkösyydellä seuraavaa kuluu velä aak tuta? P(T 3+ T 3) = P(T ) = 1 F() = e -/7 0.75 3.5.3. NORMAALIJAKAUMA Normaaljakauma o tärke jatkuve satuasmuuttuje jakauma. Se theysfukto kuvaajaa kutsutaa Gauss käyräks ta kellokäyräks, joka sjat ja muoto rppuvat kahdesta parametrsta, odotusarvosta ja varasssta (ta hajoasta ). Satuasmuuttuja X oudattaa ormaaljakaumaa parametre µ ja, merk. X ~ N(, ) jos X: theysfukto o muotoa f(x) 1 e (x) Odotusarvo: EX = µ Varass: D X = OMINAISUUKSIA: Odotusarvo määrää theysfukto keskkohda ja huppukohda, joka suhtee fukto o symmetre. Varass ta hajota määrää käyrä muodo: mtä suuremp, stä laveamp ja matalamp jakauma muoto; mtä peemp, stä jyrkemp ja kapeamp muoto. Theysfukto ja x-aksel väl jäävä pta-ala el tegraal yl koko reaalaksel o 1 (kute kaklla jatkuvlla jakaumlla). Arvot kasautuvat keskelle: mtä kauempaa keskkohdasta, stä harvasempa Theysfukto f(x) > 0 koko reaalaksellla, mutta esm. sellasa arvoja, jotka ovat yl 3 hajoa etäsyydellä keskkohdasta, o alle 0.3 %. Tässä kahde ormaaljakauma theysfuktode kuvaajat, parametrella 1) µ=1, =4 (vasemmapuolee käyrä) ) µ=3, =1 (okeapuolee käyrä) 31

Normal Dstrbuto 0,4 0,3 Mea,Std. dev. 1, 3,1 desty 0, 0,1 0-8 -6-4 - 0 4 6 8 10 x Jakauma kertymäfuktota 1 F(x) P(X x) e e voda lausua suljetussa muodossa x (t) dt Esmerkkejä ormaaljakautuesta satuasmuuttujsta: jatkuve suurede mttausvrheet teollsuusprosessssa valmstetu tuottee laatua mttaavat jatkuvaluoteset omasuudet kute paper puhkasulujuus ta teräsvajer vetolujuus koeellsest täytety vakokokose sälö massa: kemkaalt, laotteet, eltarvkkeet kesklämpötla ta sademäärä eräässä mttauspsteessä, tettyä kuukautea jok eläpopulaato täyskasvuste aarade ta korade koko ta pao Ylesest ormaaljakauma soveltuu tapauks, jossa symmetrsyys ja em. keskttyesyys, paottume keskkohda ympärlle vomassa omasuus X muodostuu usede rppumattome tekjöde summaa (ks. Keskee rajaarvolause): esm. tuottee lujuutee vakuttaa useta tosstaa rppumattoma prosess muuttuja ja härötä sekä materaal epätasasuudesta johtuva pokkeama. Normaaljakauma ylesyyde vuoks moet tlastollse päättely meetelmät (mm. useat testsuureet) pohjautuvat tähä jakaumaa. Normaaljakauma todeäkösyykse määrttämsessä käytetää s. stadardotua el ormeerattua satuasmuuttujaa. STANDARDOITU NORMAALIJAKAUMA: µ = 0, =1 X ~ N(0,1) Normal Dstrbuto 0,4 0,3 Mea,Std. dev. 0,1 desty 0, 0,1 0-4 - 0 4 x 3

STANDARDOINTI ELI NORMEERAUS: Jos X ~ N(µ, ), Z X ~ N(0, 1) N(0,1)-JAKAUMAN KERTYMÄFUNKTIO: (z) P(Z z) 1 z e t dt Kute mullek jatkuvlle satuasmuuttujlle, kertymäfukto arvo psteessä z o pta-ala, joka jää vaaka-aksel ja theysfukto väl alarajalta - psteesee z ast. Normaaljakauma kertymäfuktota e voda lausua suljetussa muodossa, arvot lasketaa umeersest. todeäkösyykse ja erlaste jakaumapstede (fraktle) arvoja saa taulukosta, laskmella ta tetokoeohjelmlla. Ee taulukode käyttöä o aa suortettava arvoje stadardot el ormeeraus. Taulukosta saadaa kertymäfukto (z) arvoja postvslla z. Koska theysfukto o symmetre orgo suhtee, o ( z) = 1 (z). TODENNÄKÖISYYKSIEN LASKEMINEN: Olkoo X ~ N(µ, ) ja Z = (X- µ)/, jollo Z ~ N(0,1). Olkoo a ja b reaallukuja. Sllo P (X X a) P a a a PZ P (a a X b) P X b a P Z b b a Huomautuksa: Normaaljakauma todeäkösyyslausekkeet pyrtää aa saattamaa muotoo jossa o kertymäfukto (z) = P(Z z) postvsella arvolla z > 0. Sllo vodaa käyttää taulukota. Älä opettele edellsä kaavoja ulkoa! 33

Esmerkk 3.11. Normaaljakauma taulukode käyttö: a) Oletetaa, että X ~ N(0,1). Määrää tapahtume X 1.96, X 1.35 ja X - todeäkösyydet. b) Oletetaa, että X ~ N(3, ). Laske todeäkösyydet P(X 5) ja P(1.5 X 3.0). c) Oletetaa, että X ~ N(3, ). Määrää luku c ste, että P(X c) = 0.10. Ratkasu: a) X ~ N(0,1). P(X 1.96) = (1.96) = 0.9750 P( X 1.35) = P(X 1.35 ta X 1.35) = P(X 1.35) + P(X 1.35) = P(X 1.35) (symmetra) = [1 P(X 1.35)] = [ 1 (1.35)] = (1 0.9115) = 0.1770 P(X ) = (.00) = 1 (.00) = 1 0.977 = 0.08 b) X ~ N(3, ) X X 3 Stadardotu muuttuja Z ~ N(0, 1) P(X 5) = X 3 5 3 P = P(Z 1) = (1.00) = 0.8413 1.5 3 X 3 3 3 P(1.5 X 3.0) = P = P( 0.75 Z 0) = P(0 Z 0.75) (symmetra) = (0.75) (0) = 0.7734 0.5 = 0.734 34

c) X ~ N(3, ). c 3 c 3 c 3 P(X c) = P Z 1 P Z 1 = 0.10 c 3 0.90 Taulukko: (1.816) = 0.90 Merktää z0.90 = 1.816, jakauma 0.9-fraktl. c 3 1.816 c = 5.563 Esmerkk 3.1. Erää ammattryhmä vuostulot ovat ormaalst jakautueet, keskasoa µ = 30 64 ja hajotaa = 437. a) Kuka suur osuus ammattkuasta jää vuostuloraja 5 000 alapuolelle? Merktää ko. ammat harjottaja vuostuloa satuasmuuttujalla X. X ~ N(3064, 437 ) X X 3064 Z ~ N(0, 1) 437 Kysytty osuus o X 5000 5000 3064 P (X 5000) P P Z 437 = P(Z.16) = (.16) = 1 (.16) = 1 0.9846 = 0.0154 el o 1.5 %. b) Määrtä tuloraja, joka alapuolelle jää 5 % ammattkuasta. Kysytty tuloraja q toteuttaa ehdo P(X q) = 0.5, josta P(X X q q 3064 q 3064 q) P PZ 0.5 437 437 Stadardotu tuloraja o yt egatvsella puolella (prrä kuva). q 3064 3064 q 1 0. 5 437 437 3064 q 0.75 437 35

Normaaljakauma tauluko perusteella (0.6745) = 0.75, jote (3064 q) / 437 = 0.6745, josta saadaa tulorajaks q = 8 60. Normaaljakautuede muuttuje leaarset muuokset oudattavat myös ormaaljakaumaa. Odotusarvo ja varass muodostuvat kute leaarkombaatolle yleesäk (luku 3.3). 1. Jos X ~ N(µ1, 1 ) ja Y ~ N(µ, ) tosstaa rppumatta, X + Y ~ N(µ1+µ, 1 ) X Y ~ N(µ1 µ, 1 ). Jos X ~ N(, ) ja a ja b ovat vakota, ax ~ N(a, a ) ax + b ~ N(a+b, a ) 3. Ylesest: Jos X ~ N(µ, ), =1,,, tosstaa rppumatta ja a1,...,a ovat vakota, a1x1 + ax +... + ax ~ N(µ, ) mssä µ = a11+a+...+ a = a1 1 +a +...+ a 4. Jos X ~ N(µ, ), =1,,, äde keskarvomuuttuja 1 X X ~ N(, / ) 1 Esmerkk 3.13. Yrtys myy kahta kemkaala, olkoot satuasmuuttujat X ja Y de vkottaset myytmäärät toea. Oletetaa, että myyt ovat tosstaa rppumattomat ja oudattavat ormaaljakaumaa parametre µx =, x = 0.1 ja µy = 3, y = 0.. Tuottede myytvotot ovat vastaavast 5 mlj. /t ja 7 mlj. /t. Mllä todeäkösyydellä vko myytvotto o yl 35 mlj.? Votto V = 5X + 7Y ~ N(µ, ), mssä µ = 5µx + 7µy = 5 7 3 = 31 = 5 x + 7 y = 5 0.1 49 0. = 1.985 V 1 Z ~ N(0,1) 1.985 35 31 P(V > 35) = P( Z ) = P(Z >.84) = 1 P(Z.84) = 1 (.84) = 1 0.9977 1.985 = 0.003 36

Esmerkk 3.14. Kuva kappalee ols mahduttava kappalee 1 uraa. Kappalee 1 ura leveys o ormaaljakautuut satuasmuuttuja, odotusarvoa 6.0 cm ja hajotaa 0.07 cm. Kappalee leveys o myös ormaaljakautuut satuasmuuttuja, hajotaa 0.03 cm. Leveyde odotusarvoa vodaa säätää. Kuka suur odotusarvo saa olla, jotta mahtumstodeäkösyys ols 95%? Ura leveys X1 ~ N(6, 0.07 ) Kappalee leveys X ~ N(µ, 0.03 ) Mahtumstodeäkösyys: P(X1 > X) = P(X1 X > 0) Erotusmuuttuja Y = X1 X ~ N(YY ), mssä Y = E(Y) = E(X1) E(X) = 6 µ Y = D (Y) = D (X1) + D (X) = 0.07 + 0.03 = 0.0058 Stadardotu muuttuja Y (6 ) Z = ~ N(0,1) 0.0058 0 (6 ) 6 P(X1 X 0) P(Y 0) P Z P Z 0.95 0.0058 0.0058 Jotta vodaa käyttää taulukota, tämä o lausuttava kertymäfukto (z) = P(Z z) avulla. 6 Arvo o egatve. Symmetra perusteella (prrä kuva!) 0.0058 6 6 P Z 0.95 0.95 0.0058 0.0058 Normaaljakauma tauluko perusteella (1.6449) = 0.95, jote 6 1.6449 6 1.6449 0.0058 = 5.87 cm. 0.0058 3.5.4. NORMAALIJAKAUMAAN LIITTYVIÄ JAKAUMIA Seuraavlla erkosjakaumlla o käyttöä tlastollsessa päättelyssä, parametre luottamusvälessä ja testauksessa. Nämä satuasmuuttujat määrtellää erää ormaaljakaumaa oudattave satuasmuuttuje epäleaarsa fuktoa ja de theysfuktot vodaa johtaa 37

teoreettsest. Kertymäfuktota e voda lausua suljetussa muodossa. Jakaumapstetä (fraktleja) saadaa taulukosta, laskmella ta tlastollslla ohjelmstolla. Seuraave jakaume parametreja kutsutaa vapausasteks (degrees of freedom, df). -JAKAUMA Jos X1,,Xv ovat rppumattoma, N(0,1)-jakautueta satuasmuuttuja, satuasmuuttuja K = X1 + + Xv oudattaa -jakaumaa ( kh elö ) vapausaste v, merk. K ~ (v) t-jakauma ELI STUDENTIN JAKAUMA Jos Z, X1,,Xv ovat rppumattoma, N(0,1)-jakautueta satuasmuuttuja, T = Z (X1... X v ) / v oudattaa t-jakaumaa el Studet jakaumaa vapausaste v, merk. T ~ t(v). Theysfukto o symmetre 0: suhtee ja läheee N(0,1)-jakauma theysfuktota ku. Symmetra taka P(T t) = p P(T t) = 1 p P(T t) = 1 p 38

3.5.5. JAKAUMIEN p-pisteet Jakauma p-pste el p-fraktl, p-kvatl o se lukuarvo xp, jolla kertymäfukto saa arvo p: F(xp) = p el kyseessä o käätesfukto: xp = F -1 (p) jolla theysfukto ja x-aksel väl jäävä pta-ala välllä (-, xp) o p jota peempä ta yhtäsuura arvoja estyy 100 p %. Nätä o taulukotu ylesmmlle jatkuvlle jakaumlle. Fraktleja vodaa merktä seuraavast: 1) Jos Z ~ N(0,1), jakauma p-pste o luku zp, jolla P(Z zp) = (zp) = p. ) Jos K ~ (v), jakauma p-pste o luku p(v), jolla P(K p(v)) = F( p(v)) = p 3) Jos T ~ t(v), jakauma p-pste o luku tp(v), jolla P(T tp(v)) = F(tp(v) = p. 39

Huom. 0-symmetra perusteella t1-p(v) = tp(v) Huomautuksa: Jossak krjossa ja taulukossa käytetää pävasto merktää zp (vast. muut jakaumat) psteestä jota suurempa arvoja o 100p %. Tarksta aa merkät! Samaa symbol er merktyksssä: esm. vo olla satuasmuuttuja m ta se arvo, (v) se jakauma symbol ja p(v) se p-fraktl arvo. Esmerkk 3.15. Taulukode käyttöä: a) Ets jakaumapsteet t.975(13),.05(19). b) Olkoo T ~ t(7), K ~ (16). Määrää luvut a, b ja c ste, että P(T a) = 0.01, P(K b) = 0.01 ja P(K c) = 0.01. c) Arvo todeäkösyyttä, että X 0, ku X ~ (7). Ratkasu: a) t.975(13) o pste, jossa t(13)-jakauma kertymäfukto o 0.975. BETA taulukko t-dstrbuto: F(.160) = 0.975 jote t.975(13) =.160.05(19) o pste, jossa (19)-jakauma kertymäfukto o 0.05 BETA: taulukko -dstrbuto: F(10.1) = 0.05 jote.05(19) = 10.1 b) T ~ t(7) P(T a) = F(a) = 0.01 Koska theysfukto o symmetre ja 0-keske, o oltava a < 0. 40

Symmetra taka P(T -a) = 0.01 P(T -a) = 0.99 el F(-a) = 0.99 -a = t.99(7) =.998 a = -.998 K ~ (16). P(K b) = 0.01 ja P(K c) = 0.01. P(K b) = 0.01 el F(b) = 0.01 b = 0.01(16) = 5.81 P(K c) = 0.01 P(K c) = 0.99 el F(c) = 0.99 c =.99(16) = 3.00 c) X ~ (7) P(X 0) = F(0) =? Taulukko: P(X 18.48) = F(18.48) = 0.99 P(X 0.8) = F(0.8) = 0.995 jote 0.99 F(0) 0.995 Kertymäfukto arvo F(0) o kuvassa valkose aluee pta-ala: 41

Arvo: F(0) 0.994 Excel CHISQ.DIST-fukto (CHINELIÖ.JAKAUMA): =chsq.dst(0;7;1) ataa todeäkösyydeks P(X 0) = 0.99443 Matlablla vastaavast: chcdf(0,7) 3.5.6. KESKEINEN RAJA-ARVOLAUSE KESKEINEN RAJA-ARVOLAUSE (Cetral Lmt Theorem): Ku X1, X,..., X ovat rppumattoma, samaa jakaumaa oudattava satuasmuuttuja, jolla o äärelle odotusarvo EX = ja varass D X =, =1,,...,, suurlla : arvolla de summamuuttuja S = X1 + X +... + X oudattaa lkma ormaaljakaumaa, merktää X1 + X +... + X ~a N(, ). Saotaa että summamuuttuje joo o asymptoottsest ormaale, mkä tarkottaa että muuttuja S kertymäfukto läheee joka psteessä ormaaljakauma kertymäfuktota, ku. Samo oletuks ku edellä, myös keskarvomuuttuja o asymptoottsest ormaale 1 X (X1 X... X ) ~a N(, /) Summamuuttujaa koskeva todeäkösyyksä vodaa approksmoda ormaaljakauma kertymäfukto avulla. Es tehdää ormeeraus käyttäe summamuuttuja odotusarvoa ja hajotaa. Esmerkk 3.16. Ku satuasa reaallukuja pyörstetää kokoasluvuks, yhde luvu pyörstysvrhe oudattaa tasajakaumaa välllä (-0.5, 0.5). O laskettava yhtee 60 reaallukua, jotka pyörstetää ee yhteelaskua kokoasluvuks. Mllä todeäkösyydellä summa vrhe o tsesarvoltaa korketaa.0? Summattavat luvut 4

A = B + X, =1,..., mssä B = tarkka arvo, A = pyörstetty arvo, X = pyörstysvrhe Summa: A B Summa vrhe: X 1 1 1 X 1 X mssä = 60 X ~ U(-0.5, 0.5), =1,..., a b 0.5 0.5 = EX = = 0 = D (b a) (0.5 ( 0.5)) X = 1 1 1 1 Koska suur ja X:de jakauma symmetre, summamuuttuja X oudattaa lkma ormaaljakaumaa parametre EX = EX1 + + EX = = 600 = 0 D X = D X1 + + D X = = 60 / 1 = 5 X X ~a N(0,5) Z = ~a N(0,1) 5 P( X ) = P(- X ) = P(-/5 Z /5) = P(-0.8944 Z 0.8944) (0.89) (-0.89) = (0.89) [1 (0.89)] = (0.89) 1 = 0.8133 1 = 0.666 Keskesestä raja-arvolauseesta o useta versota er oletuks. KESKEISEN RAJA-ARVOLAUSEEN YLEINEN MUOTO: Ku X1, X,..., X ovat rppumattoma satuasmuuttuja, odotusarvoa EX = ja varassea D X = suurlla : arvolla (tety oletuks) X1 + X+... + X ~a N(, ) mssä = 1 + +... + ja = 1 + +... +. Muuttuje e ss tarvtse oudattaa samaa jakaumaa! Mllo keskestä raja-arvolausetta vo soveltaa? Summattave lukumäärä 30 o yleesä rttävä. Peraatteessa approksmaato o stä tarkemp, mtä symmetrsemp X:de jakauma o. Approksmaato vrhe o stä peemp, mtä suuremp ja mtä symmetrsemp summattave jakauma. 43