ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

Transkriptio

1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

2 Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä satunnaisilmiön tulosvaihtoehtoihin reaaliarvoinen funktio, jota kutsutaan satunnaismuuttujaksi Satunnaismuuttujan arvoihin liitetään todennäköisyydet määrittelemällä satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma. Satunnaismuuttujien tarkastelu jaetaan kahteen osaan: (i) Diskreetit satunnaismuuttujat. (ii) Jatkuvat satunnaismuuttujat.

3 Satunnaismuuttujan määritelmä Olkoon ξ funktio otosavaruudesta S reaalilukujen joukkoon R: ξ : S R Tällöin ξ on satunnaismuuttaja. Satunnaismuuttuja on funktiona täysin määrätty, mutta sattuma määrää mikä alkeistapahtumista realisoituu ja sitä kautta myös minkä arvon satunnaismuuttuja saa.

4 Todennäköisyysjakauma Olkoon kolmikko (S, F, P r) otosavaruudessa S määritelty todennäköisyyskenttä, jossa on seuraavat elementit: - S otosavaruus - F otosavaruuden S osajoukkojen joukossa määritelty σ-algebra - P r σ-algebran F alkioille määritelty todennäköisyysmitta. Satunnaismuuttujan ξ todennäköisyysjakaumalla tarkoitetaan kuvauksen ξ : S R reaalilukukujen joukkoon indusoimaa todennäköisyysmittaa. Suomeksi: Todennäköisyysjakauma kuvaa otosavaruuden todennäköisyysmassan (= 1) jakautumista otosavaruudessa määritellyn satunnaismuuttujan arvoalueelle. Tilastollinen malli on satunnaismuuttujan ja sen jakauman yhdistelmä.

5 Satunnaismuuttujien tyyppejä Tämän kurssin piiriin kuuluvat kahden tyyppiset satunnaismuuttujat: Diskreetit satunnaismuuttujat - Satunnaismuuttuja on diskreetti, jos sen arvoalue on diskreetti joukko eli sen arvoalue muodostuu erillisistä reaaliakselin pisteistä. - Diskreetin muuttujan jakauma määrittelee alkeistapahtumien todennäköisyydet. Jatkuvat satunnaismuuttujat - Satunnaismuuttuja on jatkuva, jos sen arvoalue on jokin reaaliakselin osaväli. - Jatkuvan muuttujan jakauma määrittelee muuttujan arvoalueeseen kuuluvien reaaliakselin välien todennäköisyydet.

6 Diskreettejä satunnaismuuttujia Kone tekee tuotetta n kpl päivässä. Satunnaisesti valittu tuote on viallinen todennäköisyydellä p. Viallisten tuotteiden lukumäärä päivän aikana tehtyjen tuotteiden joukossa on satunnaismuuttuja, joka noudattaa binomijakaumaa. Pyydystetään järvestä joukko kaloja, merkitään ne ja päästetään takaisin järveen. Pyydystetään myöhemmin uusi joukko kaloja. Merkittyjen kalojen määrä uudessa saaliissa on satunnaismuuttuja, joka noudattaa hypergeometrista jakaumaa. Palvelujonoon tulee keskimäärin k asiakasta aikayksikköä kohden. Jonakin aikavälinä saapuvien asiakkaiden lukumäärä on satunnaismuuttuja joka noudattaa Poisson-jakaumaa.

7 Pistetodennäköisyysfunktio Merkitään ξ:n arvojen joukkoa kirjaimella T : T = {x 1,x 2,...,x n }, jos S on äärellinen T = {x 1,x 2,...}, jos S on numeroituvasti ääretön Reaaliarvoinen funktio f määrittelee pistetodennäköisyysfunktion ξ:lle, jos 1. f(x i ) = Pr(ξ = x i ) x i T 2. f(x i ) 0 x i T 3. T f(x i) = 1 Todennäköisyyttä Pr(ξ = x i ) = p i sanotaan pistetodennäköisyydeksi. Pistetodennäköisyysfunktion vakioita sanotaan jakauman parametreiksi ja ne määräävät pistetodennäköisyysfunktion muodon ts. jakauman muodon.

8 Diskreetin jakauman todennäköisyydet Diskreetin jakauman tapauksessa välin [a, b] R todennäköisyys on Pr(a ξ b) = i x i [a,b] p i

9 Jatkuvia satunnaismuuttujia Vapaasti pyörivän onnenpyörä osoittimen kulman muutos osoitinta pyöräytettäessä on tasajakautunut eli tasaisesti jakautunut jatkuva satunnaismuuttuja. Palvelujonoon tulee keskimäärin k asiakasta aikayksikköä kohden. Seuraavan jonoon tulevan asiakkaan odotusaika on jatkuva satunnaismuuuttuja, joka noudattaa eksponenttijakaumaa. Viisivuotiaden tyttöjen pituus on jatkuva satunnaismuuttuja, jonka voidaan sanoa noudattavan approksimatiivisesti normaalijakaumaa.

10 Tiheysfunktio Reaaliarvoinen funktio f määrittelee (todennäköisyys-) tiheysfunktion jatkuvalle satunnaismuuttujalle ξ, jos 1. f(x) on x:n jatkuva funktio 2. f(x i ) 0 x 3. + f(x)dx = 1 4. Pr(a ξ b) = b a f(x)dx Tiheysfunktion vakioita sanotaan jakauman parametreiksi ja ne määräävät tiheysfunktion muodon ts. jakauman muodon.

11 Jatkuvan jakauman todennäköisyydet Edellisten lisäksi on hyvä huomata: b Pr(ξ = b) = lim Pr(a ξ b) = lim a b a b a Tiheysfunktio voidaan määritellä myös paloittain. Esim. olkoon f(x) = x + b, kun 0 x 1 0, muulloin f(x)dx = 0 Tällöin 1 0 f(x)dx = 1

12 Diskreetti vs. jatkuva Diskreettiä satunnaisfunktiota ξ vastaavan pistetodennäköisyysfunktion f arvo pisteessä x i on todennäköisyys: f(x i ) = Pr(ξ = x i ) Näin ollen 0 f(x i ) 1 Jatkuvaa satunnaismuuttujaa ξ vastaavan tiheysfunktion f arvo pisteessä x ei ole todennäköisyys, joten on mahdollista, että f(x) > 1

13 Kertymäfunktio Satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio F(x) = Pr(ξ x) kuvaa todennäköisyysmassan kertymistä argumentin x kasvaessa. Kertymäfunktio määrää ko. satunnaisilmiön kaikkien tapahtumien todennäköisyydet. Funktio F : R [0, 1] on kertymäfunktio, jos ja vain jos 1. lim x F(x) = 0 2. lim x + F(x) = 1 3. F on ei-vähenevä: F(x 1 ) F(x 2 ) jos x 1 x 2 4. F on jatkuva oikealta: lim h 0+ F(x + h) = F(x)

14 Lisää kertymäfunktiosta Edellisten lisäksi pätee: - Pr(ξ > x) = 1 F(x) - Pr(a ξ b) = F(b) F(a) Diskreetissä tapauksessa kertymäfunktio saadaan kaavalla F(x) = Pr(ξ x) = i x i x Jatkuvassa tapauksessa kertymäfunktio saadaan kaavalla p i F(x) = Pr(ξ x) = x f(x)dx