Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
|
|
- Lauri Saarnio
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
2 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 2
3 Kertymäfunktio: Määritelmä Kertymäfunktion määritelmä Olkoon ξ satunnaismuuttuja. Satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio F on reaaliarvoinen funktio F( x) = Pr( ξ x) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 3
4 Kertymäfunktio: Määritelmä Kertymäfunktion määritelmä: Kommentteja 1/2 Satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktion F määritelmässä on F( x) = Pr( ξ x) ξ = satunnaismuuttuja x = reaaliluku, kertymäfunktion F argumentti Kertymäfunktion F arvo pisteessä x on todennäköisyys sille, että satunnaismuuttuja ξ saa arvoja, jotka ovat x. Piste x erottaa vasemmalle puolelleen todennäköisyysmassan, jonka koko on Pr(ξ x) = F(x) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 4
5 Kertymäfunktio: Määritelmä Kertymäfunktion määritelmä: Kommentteja 2/2 Satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio F( x) = Pr( ξ x) kuvaa satunnaismuuttujan ξ todennäköisyysmassan kertymistä, kun kertymäfunktion argumentti x kasvaa. Satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio määrää kaikkien ko. satunnaisilmiöön liittyvien tapahtumien todennäköisyydet. Kertymäfunktion määritelmä sopii kaikille satunnaismuuttujille olivatpa ne diskreettejä, jatkuvia tai jotakin muuta tyyppiä. Kertymäfunktio on keskeinen työväline matemaattisessa tilastotieteessä. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 5
6 Kertymäfunktio: Määritelmä Kertymäfunktio ja tapahtumien todennäköisyydet Jos satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio F tunnetaan, kaikkien ko. satunnaisilmiöön liittyvien tapahtumien todennäköisyydet hallitaan. Tämä johtuu seuraavista seikoista: (i) Jokaista tapahtumaa vastaa jokin reaalilukujen joukon R osajoukko, joka voidaan muodostaa muotoa (, x] olevista reaaliakselin väleistä tavanomaisten joukko-opin operaatioiden avulla. (ii) Jokaisen tapahtuman todennäköisyys saadaan tyyppiä (, x] olevien reaaliakselin välien todennäköisyyksistä todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen avulla. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 6
7 Kertymäfunktio: Määritelmä Kertymäfunktion ominaisuudet 1/2 [ ] Funktio F : R 0,1 on kertymäfunktio, jos ja vain jos se toteuttaa seuraavat ehdot: (1) lim F( x) = 0 x (2) lim F( x) = 1 x + (3) F on ei - vähenevä: F( x ) F( x ), jos x x (4) F on jatkuva oikealta: lim F( x+ h) = F( x) h 0+ TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 7
8 Kertymäfunktio: Määritelmä Kertymäfunktion ominaisuudet 2/2 [ ] Jos funktio F : R 0,1 on kertymäfunktio, niin: (5) Pr( ξ > x) = 1 F( x) (6) Pr( a< ξ b) = F( b) F( a) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 8
9 Kertymäfunktio: Määritelmä Kertymäfunktion ominaisuuksien perustelu Käytämme kertymäfunktioiden ominaisuuksien perustelussa mm. seuraavia todennäköisyyslaskennan lauseita (ks. tarkemmin lukua Todennäköisyyden aksioomat): Lause 1: Olkoon ( S, F,Pr) todennäköisyyskenttä ja A1, A2, A3, F. (i) Jos A A A, niin (ii) Pr ( A ) lim Pr( ) i 1 i = An = n + Jos A A A, niin Pr ( A ) lim Pr( ) i 1 i = An = n + Lause 2: Olkoon ( S, F,Pr) todennäköisyyskenttä ja A. 1, A2, A3, F Jos A1 A2 A3, niin lim Pr A = 0 n + ( ) n TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 9
10 Kertymäfunktio: Määritelmä Kertymäfunktion ominaisuus (1): Perustelu Olkoon F( x) = Pr( ξ x) satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio. Tällöin (1) lim x F( x) = 0 Todistus: Olkoon x 1 > x 2 > x 3 > aleneva lukujono ja lisäksi lim n + x n = Tällöin { ξ x1} { ξ x2} { ξ x3} Lauseen 2 mukaan lim F( x ) = lim Pr ξ x = 0 n + n n + ( ) n TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 10
11 Kertymäfunktio: Määritelmä Kertymäfunktion ominaisuus (2): Perustelu 1/2 Olkoon F( x) = Pr( ξ x) satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio. Tällöin (2) lim x + F( x) = 1 Todistus: Olkoon x 1 < x 2 < x 3 < kasvava lukujono ja lisäksi lim n + x n =+ Tällöin { ξ x1} { ξ x2} { ξ x3} ja { ξ > x} { ξ > x } { ξ > x } TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 11
12 Kertymäfunktio: Määritelmä Kertymäfunktion ominaisuus (2): Perustelu 2/2 Lauseen 2 mukaan lim Pr ( ξ > xn ) = 0 n + joten lim F( x ) = lim Pr ξ n + n ( x ) ( ξ x ) = 1 lim Pr > = 1 n + n + n n TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 12
13 Kertymäfunktio: Määritelmä Kertymäfunktion ominaisuus (3): Perustelu Olkoon F( x) = Pr( ξ x) satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio. Tällöin (3) F( x1) F( x2), jos x1 x2 Todistus: Olkoon x 1 x 2 Tällöin { ξ x1} { ξ x2} joten F( x ) = Pr( ξ x ) Pr( ξ x ) = F( x ) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 13
14 Kertymäfunktio: Määritelmä Kertymäfunktion ominaisuus (4): Perustelu Olkoon F( x) = Pr( ξ x) satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio. Tällöin (4) lim h 0+ F( x+ h) = F( x) Todistus: Olkoon h 1 > h 2 > h 3 > aleneva lukujono ja lisäksi limn + hn = 0 Tällöin { ξ x+ h1} { ξ x+ h2} { ξ x+ h3} { ξ x} Lauseen 1 kohdan (ii) mukaan lim F( x+ h ) = lim Pr ξ x+ h = Pr( ξ x) = F( x) n + n n + ( ) n TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 14
15 Kertymäfunktio: Määritelmä Kertymäfunktion ominaisuus (5): Perustelu Olkoon F( x) = Pr( ξ x) satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio. Tällöin (5) Pr( ξ > x) = 1 F( x) Todistus: Komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavan nojalla Pr( ξ > x) = 1 Pr( ξ x) = 1 F( x) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 15
16 Kertymäfunktio: Määritelmä Kertymäfunktion ominaisuus (6): Perustelu Olkoon F( x) = Pr( ξ x) satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio. Tällöin (6) Pr( a< ξ b) = F( b) F( a) Todistus: Koska { ξ b} = { ξ a} { a< ξ b} ja { ξ a} { a< ξ b} = niin toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön nojalla F( b) = Pr( ξ b} = Pr( ξ a) + Pr( a< ξ b) = F( a) + Pr( a< ξ b) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 16
17 Kertymäfunktio: Määritelmä Kertymäfunktion tulkinta Kertymäfunktion määritelmän F( x) = Pr( ξ x) ja kertymäfunktion ominaisuuden (3) F( x ) F( x ), jos x x perusteella kertymäfunktiolle voidaan antaa seuraava tulkinta: Kertymäfunktio F kuvaa miten satunnaismuuttujan ξ todennäköisyysmassaa kumuloituu eli kertyy lisää, kun kertymäfunktion argumentti x kasvaa. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 17
18 Kertymäfunktio: Määritelmä Tilastolliset taulukot ja kertymäfunktio Tavanomaisten tilastollisessa päättelyssä käytettyjen jakaumien tilastolliset taulukot liittyvät jakaumien kertymäfunktion arvoihin. Normaalijakauman taulukoissa on tavallisesti taulukoitu todennäköisyyksiä (kertymäfunktion arvoja) Pr( ξ x) = F( x) useille argumentin x arvoille (ks. lukua Jatkuvia jakaumia). χ 2 -, F- ja t-jakaumien taulukoissa on tavallisesti taulukoitu argumentin x arvoja muutamille todennäköisyyksille Pr( ξ x) = 1 F( x) (ks. lukua Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia). TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 18
19 Kertymäfunktio Diskrettien ja jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot Tarkastelemme seuraavassa kertymäfunktioita kahdessa erikoistapauksessa: (i) Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot (ii) Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 19
20 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä >> Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 20
21 Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Diskreetin jakauman kertymäfunktion määritelmä Olkoon ξ diskreetti satunnaismuuttuja ja {x 1, x 2, x 3, } sen tulosvaihtoehtojen eli arvojen joukko. Olkoon satunnaismuuttujan ξ pistetodennäköisyysfunktio f( x ) = Pr( ξ = x ) = p, i= 1,2,3, i i i Määritellään funktio F : R 0,1 kaavalla F( x) = Pr( ξ x) = f ( xi ) i x x i [ ] Tällöin F on diskreetin satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio. Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio F on epäjatkuva ei-vähenevä funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 21
22 Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Diskreetin jakauman kertymäfunktion määritelmä: Kommentteja Diskreetin jakauman kertymäfunktion F määritelmän F( x) = Pr( ξ x) = f ( xi ) i x x i mukaan kertymäfunktion F arvo pisteessä x eli todennäköisyys tapahtumalle ξ x saadaan laskemalla yhteen kaikki pistetodennäköisyydet f(x i ) = Pr(ξ = x i ) = p i joita vastaavat satunnaismuuttujan ξ arvot x i x. Kaikkien satunnaismuuttujaan ξ liittyvien tapahtumien todennäköisyydet voidaan määrätä sen kertymäfunktion avulla. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 22
23 Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Diskreetin jakauman kertymäfunktion ja pistetodennäköisyysfunktion yhteys Olkoon ξ diskreetti satunnaismuuttuja ja {x 1, x 2, x 3, } sen tulosvaihtoehtojen eli arvojen joukko. Olkoon satunnaismuuttujan ξ pistetodennäköisyysfunktio Olkoon satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio Tällöin f( x ) = Pr( ξ = x ) = p, i= 1,2,3, i i i F( x) = Pr( ξ x) = p i x x f( x ) = Pr( ξ = x ) = p = F( x ) F( x ) i i i i i i 1 i TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 23
24 Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Esimerkki: Onnenpyörä 1/7 Luvun Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat kappaleen Diskreetit satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat johdattelevassa esimerkissä käsitellään viereen kuvatun onnenpyörän käyttäytymistä satunnaisilmiönä. D 15 % C 20 % E 10 % B 25 % A 30 % TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 24
25 Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Esimerkki: Onnenpyörä 2/7 Onnenpyörän pinta on jaettu viiteen sektoriin A, B, C, D, E Sektoreiden pinta-alojen osuudet onnenpyörän kokonaispinta-alasta on esitetty alla: Sektori % A 30 B 25 C 20 D 15 E 10 Summa 100 D 15 % C 20 % E 10 % B 25 % A 30 % TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 25
26 Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Esimerkki: Onnenpyörä 3/7 Esimerkissä määriteltiin diskreetti satunnaismuuttuja ξ, joka liittää tulosvaihtoehtoihin A, B, C, D, E reaaliluvut seuraavalla tavalla: A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 D 15 % C 20 % E 10 % B 25 % A 30 % TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 26
27 Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Esimerkki: Onnenpyörä 4/7 Diskreetin satunnaismuuttujan ξ pistetodennäköisyysfunktio f voidaan yleisesti määritellä kaavalla f( xi) = Pr( ξ = xi) = pi, i= 1,2,3, jossa {x 1, x 2, x 3, } on satunnaismuuttujan ξ saamien arvojen joukko Pistetotodennäköisyysfunktio (1, p 1 ) (2, p 2 ) (3, p 3 ) (4, p 4 ) (5, p 5 ) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 27
28 Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Esimerkki: Onnenpyörä 5/7 Esimerkin tapauksessa satunnaismuuttujan ξ pistetodennäköisyysfunktio f voidaan määritellä seuraavasti: f(1) = Pr(ξ = 1) = 0.30 = Pr(A) f(2) = Pr(ξ = 2) = 0.25 = Pr(B) f(3) = Pr(ξ = 3) = 0.20 = Pr(C) f(4) = Pr(ξ = 4) = 0.15 = Pr(D) f(5) = Pr(ξ = 5) = 0.10 = Pr(E) Pistetotodennäköisyysfunktio (1, p 1 ) (2, p 2 ) (3, p 3 ) (4, p 4 ) (5, p 5 ) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 28
29 Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Esimerkki: Onnenpyörä 6/7 Satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio on F(x) = Pr(ξ x) Diskreetin satunnaismuuttujan pistetodennäköisyys- ja kertymäfunktioiden välillä on seuraava yhteys: Pr( ξ = x ) = p = F( x ) F( x ) i i i i Kertymäfunktio p 3 p 4 p 5 p 2 p TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 29
30 Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Esimerkki: Onnenpyörä 7/7 Esimerkin tapauksessa satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio F voidaan määritellä alla olevan taulukon avulla. Kuva oikealla esittää esimerkin kertymäfunktion kuvaajaa. F(x) = Pr(ξ x) x < x < 2 p 1 = x < 3 p 1 + p 2 = x < 4 p 1 + p 2 + p 3 = x < 5 p 1 + p 2 + p 3 + p 4 = x p 1 + p 2 + p 3 + p 4 + p 5 = Kertymäfunktio p 3 p 4 p 5 p 2 p TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 30
31 Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Diskreetin jakauman kertymäfunktio on porrasfunktio Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio F on epäjatkuva ei-vähenevä funktio, jolla on epäjatkuvuuskohta eli hyppäys jokaisessa pisteessä x i, johon liittyy positiivinen todennäköisyys Pr(ξ = x i ) = p i Hyppäyksen suuruus pisteessä x i on p i. Kertymäfunktio saa vakioarvon peräkkäisten pisteiden x i 1 ja x i välissä. Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio on siten porrasfunktio, jossa todennäköisyydet p i määräävät askelmien korkeudet ja erotukset x i x i 1 määräävät askelmien syvyydet. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 31
32 Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Välien todennäköisyydet 1/2 Diskreetin jakauman tapauksessa välin todennäköisyys on Pr( a< ξ b) = F( b) F( a) = Pr( ξ = x ) = i x i i x i ( a, b] ( a, b] p i i ( ab, ] R TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 32
33 Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Välien todennäköisyydet 2/2 Kaavan Pr( a< ξ b) = F( b) F( a) = p i x ( a, b] mukaan välin ( ab, ] R todennäköisyys voidaan määrätä kahdella tavalla: (i) Jos jakauman pistetodennäköisyysfunktio tunnetaan, välin (a, b] todennäköisyys saadaan laskemalla yhteen pistetodennäköisyydet p i, joita vastaavat x i (a, b]. (ii) Jos jakauman kertymäfunktio F tunnetaan, välin (a, b] todennäköisyys saadaan laskemalla kertymäfunktion F arvojen F(b) ja F(a) erotus. i i TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 33
34 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot >> Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 34
35 Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvan jakauman kertymäfunktion määritelmä Olkoon ξ jatkuva satunnaismuuttuja. Olkoon satunnaismuuttujan ξ tiheysfunktio f(x). Määritellään funktio F : R 0,1 kaavalla F( x) = Pr( ξ x) = f( t) dt x [ ] F on jatkuvan satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio. Jatkuvan satunnaismuuttujan kertymäfunktio F on jatkuva ei-vähenevä funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 35
36 Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvan jakauman kertymäfunktion määritelmä: Kommentteja Jatkuvan jakauman kertymäfunktion F määritelmän F( x) = Pr( ξ x) = f( t) dt x mukaan kertymäfunktion F arvo pisteessä x eli todennäköisyys tapahtumalle ξ x määrätään integroimalla tiheysfunktio f välillä (, x]. Kaikkien satunnaismuuttujaan ξ liittyvien tapahtumien todennäköisyydet voidaan määrätä sen kertymäfunktion avulla. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 36
37 Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvan jakauman kertymäfunktion ja tiheysfunktion yhteys Olkoon ξ jatkuva satunnaismuuttuja. Olkoon satunnaismuuttujan ξ tiheysfunktio f(x). Olkoon satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio Tällöin F( x) = Pr( ξ x) = f( t) dt d f ( x) = F ( x) = F( x) dx x TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 37
38 Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot Välien todennäköisyydet 1/2 Jatkuvan jakauman tapauksessa välin todennäköisyys on Pr( a ξ b) = F( b) F( a) b = a f( x) dx ( ab, ] R TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 38
39 Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot Välien todennäköisyydet 2/2 Kaavan Pr( a ξ b) = F( b) F( a) = f( x) dx mukaan välin ( ab, ] R todennäköisyys voidaan määrätä kahdella tavalla: (i) Jos jakauman tiheysfunktio f tunnetaan, välin [a, b] todennäköisyys saadaan integroimalla tiheysfunktio välillä [a, b]. (ii) Jos jakauman kertymäfunktio F tunnetaan, välin [a, b] todennäköisyys saadaan laskemalla kertymäfunktion arvojen F(b) ja F(a) erotus. b a TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 39
40 Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvan jakauman tiheysfunktio ja välien todennäköisyydet: Havainnollistus Olkoon f(x) jatkuvan satunnaismuuttujan ξ tiheysfunktio. Tällöin: Pr( a ξ b) = b a f( x) dx = Alueen A pinta-ala Kuva oikealla esittää normaalijakauman tiheysfunktiota (ks. lukua Jatkuvia jakaumia). Tiheysfunktio f(x) A a b TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 40
41 Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvan jakauman kertymäfunktio ja välien todennäköisyydet: Havainnollistus Olkoon F(x) jatkuvan satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio ja f(x) sen tiheysfunktio. Tällöin: Pr( a ξ b) = F( b) F( a) b = f( x) dx F(a) 0 a F(b) Kuva oikealla esittää normaalijakauman kertymäfunktiota (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) Kertymäfunktio F(x) a b TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 41
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)
LisätiedotKertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
LisätiedotVerkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa
Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Jakaumien
LisätiedotSatunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio
Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio KE (2014) 1 Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
LisätiedotNormaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma
LisätiedotHarjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox
Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
LisätiedotOsa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden aksioomat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyden aksioomat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyden aksioomat >> Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Jakaumien tunnusluvut >> Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin
LisätiedotLisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma
Lisätiedot5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyden aksioomat Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Heliövaara 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Heliövaara 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Heliövaara 2 Stunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti,
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 4. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta 2007 1 / 17 1 Moniulotteiset todennäköisyysjakaumat Johdanto Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Kaksiulotteisen
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jakaumien tunnusluvut Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Momentit Vinous ja huipukkuus Kvantiilit
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Jatkuvia jakaumia >> Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen
LisätiedotLiite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit >> Puutodennäköisyydet
Lisätiedot0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit Puutodennäköisyydet Todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit iite: Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Mitä opimme? Verkkoteoria
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat
Lisätiedot3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut D. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa
LisätiedotMoniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat
Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat KE (2014) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteiset
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Johdanto Kokonaistodennäköisyyden
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä
LisätiedotTilastollinen päättely. 5. Väliestimointi Johdanto Luottamusvälien konstruointi Luottamusvälien vertailu
ilastollinen päättely 5.. Johdanto Estimointi, Joukkoestimointi, Kriittinen alue, uottamusjoukko, uottamustaso, uottamusväli, Otos, Parametri, Peittotodennäköisyys, Piste-estimointi, Väliestimaatti, Väliestimaattori,
LisätiedotMoniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat Johdatus todennäköisyyslaskentaan todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat: Mitä opimme? /5 hden satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumat
Lisätiedot30A02000 Tilastotieteen perusteet
30A02000 Tilastotieteen perusteet Kertaus 1. välikokeeseen Lauri Viitasaari Tieto- ja palvelujohtamisen laitos Kauppatieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2019 Periodi I-II Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi
LisätiedotMiten voidaan arvioida virheellisten komponenttien osuutta tuotannossa? Miten voidaan arvioida valmistajan kynttilöiden keskimääräistä palamisaikaa?
21.3.2019/1 MTTTP1, luento 21.3.2019 7 TILASTOLLISEN PÄÄTTELYN PERUSTEITA Miten voidaan arvioida virheellisten komponenttien osuutta tuotannossa? Miten voidaan arvioida valmistajan kynttilöiden keskimääräistä
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka
LisätiedotKäytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:
8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila Kalvoissa käytetään materiaalia P. Palon vuoden 2005 kurssista. 07.09.2007 Antti Rasila () SovTodB 07.09.2007 07.09.2007 1 / 24 1 Todennäköisyyslaskennan
LisätiedotVarma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Unioni, Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys,
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
Lisätiedot4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Todennäköisyyslaskennan käsitteitä Satunnaisuus ja deterministisyys Deterministisessä ilmiössä alkutila määrää lopputilan yksikäsitteisesti. Satunnaisilmiö puolestaan arpoo - yhdestä alkutilasta voi päätyä
LisätiedotOsa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava >> Kokonaistodennäköisyys
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta. β versio. Todennäköisyyslaskenta. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio. Ilkka Mellin (2006) I
β versio Todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio TKK @ Ilkka Mellin (2006) I TKK @ Ilkka Mellin (2006) II Esipuhe Tämä moniste antaa perustiedot todennäköisyyslaskennasta.
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Todennäköisyyden aksioomat Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Bayesin kaava,
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Olkoon X satunnaismuuttuja, ja olkoot a R \ {0}, b R ja Y = ax + b. (a) Olkoon X diskreetti ja f sen pistetodennäköisyysfunktio.
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat
LisätiedotJATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.
JATKUVAT FUNKTIOT JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva funktio Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista., suomennos Matti Pauna JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman
LisätiedotTODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Todennäköisyyslaskenta 1 TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä Otosavaruus S S on satunnaiskokeen E kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien e joukko. Esim. 1. Noppaa
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
Lisätiedot2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet
Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2 Jukka Kemppainen Mathematics Division Satunnaismuuttuja Useissa luonnon- tai teknistieteellisissä sovellutuksissa satunnaiskokeen lopputulos on numeerinen lukuarvo.
LisätiedotTeema 7: Todennäköisyyksien laskentaa
Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa Teemassa 6 tutustuttiin todennäköisyyden ja satunnaisuuden käsitteisiin sekä todennäköisyyslaskennan perusteisiin. Seuraavaksi tätä aihepiiriä syvennetään perehtymällä
Lisätiedot2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Verkot ja todennäköisyyslaskenta
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Verkot ja todennäköisyyslaskenta TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Verkot ja todennäköisyyslaskenta >> Puudiagrammit todennäköisyyslaskennassa:
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen
LisätiedotJatkuvat satunnaismuuttujat
Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
Lisätiedot(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.
Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.
LisätiedotTKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,
LisätiedotLuento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja
1 Luento 23.9.2014 KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 2 Ristiintaulukko Esim. Toyota Avensis farmariautoja, nelikenttä (2x2-taulukko) 3 Esim. 5.2.6. Markkinointisuunnitelma
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta
Todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin 1. korjattu painos Ilkka Mellin I Ilkka Mellin II Esipuhe Tämä moniste pyrkii antamaan perustiedot todennäköisyyslaskennasta. Monisteen ensisijaisena tavoitteena on
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
LisätiedotOsa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden peruslaskusäännöt
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyden peruslaskusäännöt TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyden peruslaskusäännöt >> Uusien tapahtumien muodostaminen
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Verkot ja todennäköisyyslaskenta. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Verkot ja todennäköisyyslaskenta TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Verkot ja todennäköisyyslaskenta Puudiagrammit todennäköisyyslaskennassa: Johdatteleva esimerkki Todennäköisyyslaskenta
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 14. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 14. syyskuuta 2007 1 / 21 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Otosavaruuden ositus Kokonaistodennäköisyyden
Lisätiedot1 Määrittelyjä ja aputuloksia
1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia
LisätiedotD ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]
Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
LisätiedotOPETUSSUUNNITELMALOMAKE
OPETUSSUUNNITELMALOMAKE Tällä lomakkeella dokumentoit opintojaksoasi koskevaa opetussuunnitelmatyötä. Lomake on suunniteltu niin, että se palvelisi myös Oodia varten tehtävää tiedonkeruuta. Voit siis dokumentoida
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
LisätiedotOPETUSSUUNNITELMALOMAKE
OPETUSSUUNNITELMALOMAKE Tällä lomakkeella dokumentoit opintojaksoasi koskevaa opetussuunnitelmatyötä. Lomake on suunniteltu niin, että se palvelisi myös Oodia varten tehtävää tiedonkeruuta. Voit siis dokumentoida
Lisätiedot14 Jatkuva jakauma. Käsitellään kuitenkin ennen täsmällisiä määritelmiä johdatteleva
4 Jatkuva jakauma Edellä määriteltiin diskreetiksi satunnaismuuttujaksi sellainen, joka voi saada vain (hyppäyksittäin) erillisiä arvoja. Jatkuva satunnaismuuttuja voi saada mitä hyvänsä arvoja yleensä
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 28. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 28. syyskuuta 2007 1 / 20 1 Jatkoa diskreeteille jakaumille Negatiivinen binomijakauma Poisson-jakauma Diskreettien
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 17. Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa
Talousmatematiikan perusteet: Luento 17 Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa Motivointi Kahdella edellisellä luennolla olemme oppineet integrointisääntöjä
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 3 (vko 4/3) (Aihe: tasainen todennäköisyysmalli, pistetodennäköisyysfunktio, tiheysfunktio, kertymäfunktio,
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 21. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 21. syyskuuta 2007 1 / 19 1 Satunnaismuuttujien riippumattomuus 2 Jakauman tunnusluvut Odotusarvo Odotusarvon ominaisuuksia
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi
Lisätiedotx 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1
Lisätiedotx = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi
Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3
Lisätiedot