Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Transkriptio

1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

2 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 2

3 Kertymäfunktio: Määritelmä Kertymäfunktion määritelmä Olkoon ξ satunnaismuuttuja. Satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio F on reaaliarvoinen funktio F( x) = Pr( ξ x) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 3

4 Kertymäfunktio: Määritelmä Kertymäfunktion määritelmä: Kommentteja 1/2 Satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktion F määritelmässä on F( x) = Pr( ξ x) ξ = satunnaismuuttuja x = reaaliluku, kertymäfunktion F argumentti Kertymäfunktion F arvo pisteessä x on todennäköisyys sille, että satunnaismuuttuja ξ saa arvoja, jotka ovat x. Piste x erottaa vasemmalle puolelleen todennäköisyysmassan, jonka koko on Pr(ξ x) = F(x) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 4

5 Kertymäfunktio: Määritelmä Kertymäfunktion määritelmä: Kommentteja 2/2 Satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio F( x) = Pr( ξ x) kuvaa satunnaismuuttujan ξ todennäköisyysmassan kertymistä, kun kertymäfunktion argumentti x kasvaa. Satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio määrää kaikkien ko. satunnaisilmiöön liittyvien tapahtumien todennäköisyydet. Kertymäfunktion määritelmä sopii kaikille satunnaismuuttujille olivatpa ne diskreettejä, jatkuvia tai jotakin muuta tyyppiä. Kertymäfunktio on keskeinen työväline matemaattisessa tilastotieteessä. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 5

6 Kertymäfunktio: Määritelmä Kertymäfunktio ja tapahtumien todennäköisyydet Jos satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio F tunnetaan, kaikkien ko. satunnaisilmiöön liittyvien tapahtumien todennäköisyydet hallitaan. Tämä johtuu seuraavista seikoista: (i) Jokaista tapahtumaa vastaa jokin reaalilukujen joukon R osajoukko, joka voidaan muodostaa muotoa (, x] olevista reaaliakselin väleistä tavanomaisten joukko-opin operaatioiden avulla. (ii) Jokaisen tapahtuman todennäköisyys saadaan tyyppiä (, x] olevien reaaliakselin välien todennäköisyyksistä todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen avulla. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 6

7 Kertymäfunktio: Määritelmä Kertymäfunktion ominaisuudet 1/2 [ ] Funktio F : R 0,1 on kertymäfunktio, jos ja vain jos se toteuttaa seuraavat ehdot: (1) lim F( x) = 0 x (2) lim F( x) = 1 x + (3) F on ei - vähenevä: F( x ) F( x ), jos x x (4) F on jatkuva oikealta: lim F( x+ h) = F( x) h 0+ TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 7

8 Kertymäfunktio: Määritelmä Kertymäfunktion ominaisuudet 2/2 [ ] Jos funktio F : R 0,1 on kertymäfunktio, niin: (5) Pr( ξ > x) = 1 F( x) (6) Pr( a< ξ b) = F( b) F( a) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 8

9 Kertymäfunktio: Määritelmä Kertymäfunktion ominaisuuksien perustelu Käytämme kertymäfunktioiden ominaisuuksien perustelussa mm. seuraavia todennäköisyyslaskennan lauseita (ks. tarkemmin lukua Todennäköisyyden aksioomat): Lause 1: Olkoon ( S, F,Pr) todennäköisyyskenttä ja A1, A2, A3, F. (i) Jos A A A, niin (ii) Pr ( A ) lim Pr( ) i 1 i = An = n + Jos A A A, niin Pr ( A ) lim Pr( ) i 1 i = An = n + Lause 2: Olkoon ( S, F,Pr) todennäköisyyskenttä ja A. 1, A2, A3, F Jos A1 A2 A3, niin lim Pr A = 0 n + ( ) n TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 9

10 Kertymäfunktio: Määritelmä Kertymäfunktion ominaisuus (1): Perustelu Olkoon F( x) = Pr( ξ x) satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio. Tällöin (1) lim x F( x) = 0 Todistus: Olkoon x 1 > x 2 > x 3 > aleneva lukujono ja lisäksi lim n + x n = Tällöin { ξ x1} { ξ x2} { ξ x3} Lauseen 2 mukaan lim F( x ) = lim Pr ξ x = 0 n + n n + ( ) n TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 10

11 Kertymäfunktio: Määritelmä Kertymäfunktion ominaisuus (2): Perustelu 1/2 Olkoon F( x) = Pr( ξ x) satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio. Tällöin (2) lim x + F( x) = 1 Todistus: Olkoon x 1 < x 2 < x 3 < kasvava lukujono ja lisäksi lim n + x n =+ Tällöin { ξ x1} { ξ x2} { ξ x3} ja { ξ > x} { ξ > x } { ξ > x } TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 11

12 Kertymäfunktio: Määritelmä Kertymäfunktion ominaisuus (2): Perustelu 2/2 Lauseen 2 mukaan lim Pr ( ξ > xn ) = 0 n + joten lim F( x ) = lim Pr ξ n + n ( x ) ( ξ x ) = 1 lim Pr > = 1 n + n + n n TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 12

13 Kertymäfunktio: Määritelmä Kertymäfunktion ominaisuus (3): Perustelu Olkoon F( x) = Pr( ξ x) satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio. Tällöin (3) F( x1) F( x2), jos x1 x2 Todistus: Olkoon x 1 x 2 Tällöin { ξ x1} { ξ x2} joten F( x ) = Pr( ξ x ) Pr( ξ x ) = F( x ) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 13

14 Kertymäfunktio: Määritelmä Kertymäfunktion ominaisuus (4): Perustelu Olkoon F( x) = Pr( ξ x) satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio. Tällöin (4) lim h 0+ F( x+ h) = F( x) Todistus: Olkoon h 1 > h 2 > h 3 > aleneva lukujono ja lisäksi limn + hn = 0 Tällöin { ξ x+ h1} { ξ x+ h2} { ξ x+ h3} { ξ x} Lauseen 1 kohdan (ii) mukaan lim F( x+ h ) = lim Pr ξ x+ h = Pr( ξ x) = F( x) n + n n + ( ) n TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 14

15 Kertymäfunktio: Määritelmä Kertymäfunktion ominaisuus (5): Perustelu Olkoon F( x) = Pr( ξ x) satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio. Tällöin (5) Pr( ξ > x) = 1 F( x) Todistus: Komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavan nojalla Pr( ξ > x) = 1 Pr( ξ x) = 1 F( x) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 15

16 Kertymäfunktio: Määritelmä Kertymäfunktion ominaisuus (6): Perustelu Olkoon F( x) = Pr( ξ x) satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio. Tällöin (6) Pr( a< ξ b) = F( b) F( a) Todistus: Koska { ξ b} = { ξ a} { a< ξ b} ja { ξ a} { a< ξ b} = niin toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön nojalla F( b) = Pr( ξ b} = Pr( ξ a) + Pr( a< ξ b) = F( a) + Pr( a< ξ b) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 16

17 Kertymäfunktio: Määritelmä Kertymäfunktion tulkinta Kertymäfunktion määritelmän F( x) = Pr( ξ x) ja kertymäfunktion ominaisuuden (3) F( x ) F( x ), jos x x perusteella kertymäfunktiolle voidaan antaa seuraava tulkinta: Kertymäfunktio F kuvaa miten satunnaismuuttujan ξ todennäköisyysmassaa kumuloituu eli kertyy lisää, kun kertymäfunktion argumentti x kasvaa. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 17

18 Kertymäfunktio: Määritelmä Tilastolliset taulukot ja kertymäfunktio Tavanomaisten tilastollisessa päättelyssä käytettyjen jakaumien tilastolliset taulukot liittyvät jakaumien kertymäfunktion arvoihin. Normaalijakauman taulukoissa on tavallisesti taulukoitu todennäköisyyksiä (kertymäfunktion arvoja) Pr( ξ x) = F( x) useille argumentin x arvoille (ks. lukua Jatkuvia jakaumia). χ 2 -, F- ja t-jakaumien taulukoissa on tavallisesti taulukoitu argumentin x arvoja muutamille todennäköisyyksille Pr( ξ x) = 1 F( x) (ks. lukua Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia). TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 18

19 Kertymäfunktio Diskrettien ja jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot Tarkastelemme seuraavassa kertymäfunktioita kahdessa erikoistapauksessa: (i) Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot (ii) Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 19

20 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä >> Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 20

21 Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Diskreetin jakauman kertymäfunktion määritelmä Olkoon ξ diskreetti satunnaismuuttuja ja {x 1, x 2, x 3, } sen tulosvaihtoehtojen eli arvojen joukko. Olkoon satunnaismuuttujan ξ pistetodennäköisyysfunktio f( x ) = Pr( ξ = x ) = p, i= 1,2,3, i i i Määritellään funktio F : R 0,1 kaavalla F( x) = Pr( ξ x) = f ( xi ) i x x i [ ] Tällöin F on diskreetin satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio. Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio F on epäjatkuva ei-vähenevä funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 21

22 Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Diskreetin jakauman kertymäfunktion määritelmä: Kommentteja Diskreetin jakauman kertymäfunktion F määritelmän F( x) = Pr( ξ x) = f ( xi ) i x x i mukaan kertymäfunktion F arvo pisteessä x eli todennäköisyys tapahtumalle ξ x saadaan laskemalla yhteen kaikki pistetodennäköisyydet f(x i ) = Pr(ξ = x i ) = p i joita vastaavat satunnaismuuttujan ξ arvot x i x. Kaikkien satunnaismuuttujaan ξ liittyvien tapahtumien todennäköisyydet voidaan määrätä sen kertymäfunktion avulla. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 22

23 Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Diskreetin jakauman kertymäfunktion ja pistetodennäköisyysfunktion yhteys Olkoon ξ diskreetti satunnaismuuttuja ja {x 1, x 2, x 3, } sen tulosvaihtoehtojen eli arvojen joukko. Olkoon satunnaismuuttujan ξ pistetodennäköisyysfunktio Olkoon satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio Tällöin f( x ) = Pr( ξ = x ) = p, i= 1,2,3, i i i F( x) = Pr( ξ x) = p i x x f( x ) = Pr( ξ = x ) = p = F( x ) F( x ) i i i i i i 1 i TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 23

24 Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Esimerkki: Onnenpyörä 1/7 Luvun Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat kappaleen Diskreetit satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat johdattelevassa esimerkissä käsitellään viereen kuvatun onnenpyörän käyttäytymistä satunnaisilmiönä. D 15 % C 20 % E 10 % B 25 % A 30 % TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 24

25 Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Esimerkki: Onnenpyörä 2/7 Onnenpyörän pinta on jaettu viiteen sektoriin A, B, C, D, E Sektoreiden pinta-alojen osuudet onnenpyörän kokonaispinta-alasta on esitetty alla: Sektori % A 30 B 25 C 20 D 15 E 10 Summa 100 D 15 % C 20 % E 10 % B 25 % A 30 % TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 25

26 Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Esimerkki: Onnenpyörä 3/7 Esimerkissä määriteltiin diskreetti satunnaismuuttuja ξ, joka liittää tulosvaihtoehtoihin A, B, C, D, E reaaliluvut seuraavalla tavalla: A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 D 15 % C 20 % E 10 % B 25 % A 30 % TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 26

27 Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Esimerkki: Onnenpyörä 4/7 Diskreetin satunnaismuuttujan ξ pistetodennäköisyysfunktio f voidaan yleisesti määritellä kaavalla f( xi) = Pr( ξ = xi) = pi, i= 1,2,3, jossa {x 1, x 2, x 3, } on satunnaismuuttujan ξ saamien arvojen joukko Pistetotodennäköisyysfunktio (1, p 1 ) (2, p 2 ) (3, p 3 ) (4, p 4 ) (5, p 5 ) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 27

28 Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Esimerkki: Onnenpyörä 5/7 Esimerkin tapauksessa satunnaismuuttujan ξ pistetodennäköisyysfunktio f voidaan määritellä seuraavasti: f(1) = Pr(ξ = 1) = 0.30 = Pr(A) f(2) = Pr(ξ = 2) = 0.25 = Pr(B) f(3) = Pr(ξ = 3) = 0.20 = Pr(C) f(4) = Pr(ξ = 4) = 0.15 = Pr(D) f(5) = Pr(ξ = 5) = 0.10 = Pr(E) Pistetotodennäköisyysfunktio (1, p 1 ) (2, p 2 ) (3, p 3 ) (4, p 4 ) (5, p 5 ) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 28

29 Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Esimerkki: Onnenpyörä 6/7 Satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio on F(x) = Pr(ξ x) Diskreetin satunnaismuuttujan pistetodennäköisyys- ja kertymäfunktioiden välillä on seuraava yhteys: Pr( ξ = x ) = p = F( x ) F( x ) i i i i Kertymäfunktio p 3 p 4 p 5 p 2 p TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 29

30 Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Esimerkki: Onnenpyörä 7/7 Esimerkin tapauksessa satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio F voidaan määritellä alla olevan taulukon avulla. Kuva oikealla esittää esimerkin kertymäfunktion kuvaajaa. F(x) = Pr(ξ x) x < x < 2 p 1 = x < 3 p 1 + p 2 = x < 4 p 1 + p 2 + p 3 = x < 5 p 1 + p 2 + p 3 + p 4 = x p 1 + p 2 + p 3 + p 4 + p 5 = Kertymäfunktio p 3 p 4 p 5 p 2 p TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 30

31 Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Diskreetin jakauman kertymäfunktio on porrasfunktio Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio F on epäjatkuva ei-vähenevä funktio, jolla on epäjatkuvuuskohta eli hyppäys jokaisessa pisteessä x i, johon liittyy positiivinen todennäköisyys Pr(ξ = x i ) = p i Hyppäyksen suuruus pisteessä x i on p i. Kertymäfunktio saa vakioarvon peräkkäisten pisteiden x i 1 ja x i välissä. Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio on siten porrasfunktio, jossa todennäköisyydet p i määräävät askelmien korkeudet ja erotukset x i x i 1 määräävät askelmien syvyydet. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 31

32 Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Välien todennäköisyydet 1/2 Diskreetin jakauman tapauksessa välin todennäköisyys on Pr( a< ξ b) = F( b) F( a) = Pr( ξ = x ) = i x i i x i ( a, b] ( a, b] p i i ( ab, ] R TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 32

33 Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Välien todennäköisyydet 2/2 Kaavan Pr( a< ξ b) = F( b) F( a) = p i x ( a, b] mukaan välin ( ab, ] R todennäköisyys voidaan määrätä kahdella tavalla: (i) Jos jakauman pistetodennäköisyysfunktio tunnetaan, välin (a, b] todennäköisyys saadaan laskemalla yhteen pistetodennäköisyydet p i, joita vastaavat x i (a, b]. (ii) Jos jakauman kertymäfunktio F tunnetaan, välin (a, b] todennäköisyys saadaan laskemalla kertymäfunktion F arvojen F(b) ja F(a) erotus. i i TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 33

34 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot >> Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 34

35 Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvan jakauman kertymäfunktion määritelmä Olkoon ξ jatkuva satunnaismuuttuja. Olkoon satunnaismuuttujan ξ tiheysfunktio f(x). Määritellään funktio F : R 0,1 kaavalla F( x) = Pr( ξ x) = f( t) dt x [ ] F on jatkuvan satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio. Jatkuvan satunnaismuuttujan kertymäfunktio F on jatkuva ei-vähenevä funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 35

36 Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvan jakauman kertymäfunktion määritelmä: Kommentteja Jatkuvan jakauman kertymäfunktion F määritelmän F( x) = Pr( ξ x) = f( t) dt x mukaan kertymäfunktion F arvo pisteessä x eli todennäköisyys tapahtumalle ξ x määrätään integroimalla tiheysfunktio f välillä (, x]. Kaikkien satunnaismuuttujaan ξ liittyvien tapahtumien todennäköisyydet voidaan määrätä sen kertymäfunktion avulla. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 36

37 Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvan jakauman kertymäfunktion ja tiheysfunktion yhteys Olkoon ξ jatkuva satunnaismuuttuja. Olkoon satunnaismuuttujan ξ tiheysfunktio f(x). Olkoon satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio Tällöin F( x) = Pr( ξ x) = f( t) dt d f ( x) = F ( x) = F( x) dx x TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 37

38 Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot Välien todennäköisyydet 1/2 Jatkuvan jakauman tapauksessa välin todennäköisyys on Pr( a ξ b) = F( b) F( a) b = a f( x) dx ( ab, ] R TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 38

39 Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot Välien todennäköisyydet 2/2 Kaavan Pr( a ξ b) = F( b) F( a) = f( x) dx mukaan välin ( ab, ] R todennäköisyys voidaan määrätä kahdella tavalla: (i) Jos jakauman tiheysfunktio f tunnetaan, välin [a, b] todennäköisyys saadaan integroimalla tiheysfunktio välillä [a, b]. (ii) Jos jakauman kertymäfunktio F tunnetaan, välin [a, b] todennäköisyys saadaan laskemalla kertymäfunktion arvojen F(b) ja F(a) erotus. b a TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 39

40 Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvan jakauman tiheysfunktio ja välien todennäköisyydet: Havainnollistus Olkoon f(x) jatkuvan satunnaismuuttujan ξ tiheysfunktio. Tällöin: Pr( a ξ b) = b a f( x) dx = Alueen A pinta-ala Kuva oikealla esittää normaalijakauman tiheysfunktiota (ks. lukua Jatkuvia jakaumia). Tiheysfunktio f(x) A a b TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 40

41 Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvan jakauman kertymäfunktio ja välien todennäköisyydet: Havainnollistus Olkoon F(x) jatkuvan satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio ja f(x) sen tiheysfunktio. Tällöin: Pr( a ξ b) = F( b) F( a) b = f( x) dx F(a) 0 a F(b) Kuva oikealla esittää normaalijakauman kertymäfunktiota (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) Kertymäfunktio F(x) a b TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 41