6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)

Transkriptio

1 6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ ! µ 0! 8! 1! 2 2! ! 47!! , b) c) d) 4 µ µ µ 2 4 0, , µ µ 13 2 µ µ 13 2 µ , , µ , , e) Kirjan (s. 118) nyrkkisääntö on n < 0, 1. N Tehtävän tilanteessa n ja N 2, joten nyrkkisääntö toteutuu juuri ja juuri: ' 0, 096 < 0, 1. 2 f) Nostetun kortin palauttaminen pakkaan ennen seuraavan kortin jakoa muuttaa todennäköisyyksiä suhteellisesti huomattavasti mutta absoluuttisesti vähän. Binomijakauman mukainen todennäköisyys on noin kaksinkertainen mutta ero on silti vain kymmenestuhannesosia (0, 0000 vs. 0, 00098).

2 2. Binomijakauman normaalijakauma-approksimaatio on kirjan (s:n 110) peukalosäännön mukaan käyttökelpoinen, kun np > ja nq >, jossan on havaintojen lukumäärä ja p ja q ovat vaihtoehtoisten tapahtumien todennäköisyydet. Tehtävän tilanteessa n 118 ja oletuksen mukaan p q 0,, joten np nq 118 0, 9>. Peukalosäännön mukaan normaalijakauma-approksimaatio on käytettävissä. Merkitään X:llä satunnaismuuttujaa "päätösten lukumäärä, joissa lapset määrätään isälle asumaan". Tehtävän tilanteessa odotusarvo E(X) np 9ja varianssi D 2 (X) npq 118 0, 0, 29,. Näin ollen normaalijakaumaapproksimaation mukaan todennäköisyys, että satunnaisessa 118:n havainnon aineistossa lapset määrätään isälle asumaan päätöksistä 3:ssä tai pienemmässä lukumäärässä on P(X 3) P µ X , 29, P(Z , ) µ 3 9 Φ 29, Φ ( 4, 419), Yllä Z on standardinormaalisti jakautunut satunnaismuuttuja. Satunnaismuuttujan arvo 4, 419 on niin pieni, että siihen liittyvää normaalijakauman kertymäfunktion arvoa ei ole taulukoitu! (Kirjan taulukko alkaa arvosta 3, 9, jolla arvolla kertymäfunktion arvo on n. 0, 0002.) Kertymäfunktion arvo yllä on laskettu tilasto-ohjelmistolla. Todennäköisyys on noin viisi miljoonasosaa. Mikäli käytetään jatkuvuuskorjausta (kirjan s. 109 ja kurssin kotisivun lisämateriaali), tulos on noin kahdeksan miljoonasosaa: Φ µ , Φ ( 4, 327) 7, Mikäli käräjäoikeudenkäynnissä eri sukupuolta olevilla vanhemmilla olisi oletetulla tavalla yhtäsuuri todennäköisyys (0, ) saada lapsi asumaan luokseen, olisi tutkimuslaitoksen aineisto äärimmäisen poikkeuksellinen. Sen vuoksi on syytä epäillä oletuksen p 0, paikkansapitävyyttä. Huomaa tehtävän kysymyksenasettelun ja päättelyn samankaltaisuus kirjan sivujen 119 ja 12 esimerkkien kanssa.

3 3. Satunnaismuuttujat X i ovat riippumattomasti jakautuneita siten, että E(X i ) 20 (kg) ja D 2 (X i )9(kg 2 ) kaikilla i 1, 2,..., 10. a) Z i X i X i Satunnaismuuttuja Z i on lineaarimuunnos ("a + bx i ") satunnaismuuttujasta X i. Siten Z i :n odotusarvon ja varianssin voi laskea kirjan sivujen 84 ja 94 kaavoilla: E(Z i )E( 1 3 X i 20 3 )E(1 3 X i) E( 20 3 )1 3 E(X i) D 2 (Z i )D 2 ( 1 3 X i 20 3 )D2 ( 1 3 X i) D2 (X i ) Satunnaismuuttuja Z i :n odotusarvo on 0 ja varianssi on 1. b) X (X X 10 ) X X Satunnaismuuttuja X on keskiarvo kymmenestä riippumattomasta satunnaismuuttujasta X i. Keskiarvon odotusarvon ja varianssin voi laskea käyttäen kirjan sivujen 8 ja 9 kaavoja: E(X) E( X X )E(X 1 10 ) E(X ) D 2 (X) D 2 ( X X ) riippum D2 (X 1 ) D2 (X 10 ) Satunnaismuuttuja X:n odotusarvo ja varianssi ovat 20 (kg) ja 0.9 (kg 2 ).

4 4. Kahvin määrä yhdessä "lusikallisessa" on satunnaismuuttuja, jonka oletetetaan olevan normaalijakautunut odotusarvolla (g) ja varianssilla 12 (g 2 ). Merkitään kyseistä satunnaismuuttujaa X:llä ja vastaavaa standardoitua satunnaismuuttujaa Z:lla. Siis X N(, 12) ja Z X 12 N(0, 1). a) Maija on tyytyväinen kahviinsa, kun 4. <X<6.. Tämän tapahtuman todennäköisyys on P(X <6.) P (X <4.) P(Z < 6. ) P(Z < 4. ) P(Z < 6. ) P(Z < 4. ) P(Z < ) P(Z < ). Pyöristämällä ja käyttämällä normaalijakauman kertymäfunktion taulukkoa kirjan lopusta voimme sanoa, että kysytty todennäköisyys on noin 0, 22: P(Z < 0.43) P(Z < 0.14) Φ(0.43) Φ( 0.14) b) Kahvi on Maijan mielestä liian laihaa, kun X<4., eli kun Z< Tämän tapahtuman todennäköisyys on a-kohdan perusteella noin Φ( 0.14) c) Kahvi on Maijalle liian vahvaa, kun X > 6. g. Tämän tapahtuman todennäköisyys on 1 P(X <6.) 1 P(Z < 6. )1 P(Z < 6. ) Φ(0.43)

5 . Olkoon satunnaismuuttuja X i "i:nnen keksin paino". Sen odotusarvo on 30 (g) ja varianssi on 2.32 (g 2 ). Eri keksien painot ovat toisistaan riippumattomia. Siis X i N(30, 2.32) kaikilla i ja X i :t ovat toisistaan riippumattomia. Kunkin keksipaketin paino on summa 20 tai 30 toisistaan riippumattoman keksin painosta. Tällöin myös keksipakettien painot ovat toisistaan riippumattomia satunnaismuuttujia. Tehtävässä käytetyn indeksoinnin on tarkoitus korostaa tätä asiaa. Riippumattomuus on oleellista satunnaismuuttujien yhdisteiden varianssien laskemisessa, kuten kirjan sivujen 94 ja 9 kaavojen vertailu osoittaa. Esimerkki: D 2 (X + X) D 2 (2X) 4D 2 (X), kun X on satunnaismuuttuja. toisistaan.) Toisaalta (Yllä summattavat eivät ole riippumattomia D 2 (X 1 + X 2 )D 2 (X 1 )+D 2 (X 2 )2D 2 (X i ), kun X i :t ovat toisistaan riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden varianssi on sama. a) Olkoon satunnaismuuttuja S 20 "20 keksiä sisältävän paketin paino". Tällöin E(S 20 )E( 20X i1 X i ) 20X i1 E(X i )20E(X i ) D 2 (S 20 )D 2 ( 20X i1 X i ) riippum. 20X i1 Näin ollen pienen keksipaketin painon jakauma on D 2 (X i )20D 2 (X i ) S 20 N(600, 46.4) ja P(S 20 > 61) 1 P(S 20 < 61) 1 P( S < ) P(Z < ) Φ( ) Φ(2.20)

6 b) Merkitään satunnaismuuttujaa "30 keksiä sisältävän paketin paino" S 30 :lla. Vastaavasti kuten yllä saadaan E(S 30 )30E(X i ) 900, D 2 (S 30 ) Siis suuren keksipaketin painon jakauma on S 30 N(900, 69.6). Indeksoidaan nyt keksipaketit myös järjestysnumerolla, jotta keksipaketit voidaan erottaa laskuissa toisistaan (esim. S 20,1 on ensimmäinen pieni keksipaketti). Olkoon satunnaismuuttuja Y kolmen pienen keksipaketin paino vähennettynä kahden suuren paketin painolla eli Tällöin Y S 20,1 + S 20,2 + S 20,3 S 30,1 S 30,2. E(Y ) E(S 20,1 + S 20,2 + S 20,3 S 30,1 S 30,2 ) E(S 20,1 )+E(S 20,2 )+E(S 20,3 ) E(S 30,1 ) E(S 30,2 ) 3 E(S 20 ) 2 E(S 30 ) D 2 (Y ) D 2 (S 20,1 + S 20,2 + S 20,3 S 30,1 S 30,2 ) riippum. D 2 (S 20,1 )+D 2 (S 20,2 )+D 2 (S 20,3 )+D 2 (S 30,1 )+D 2 (S 30,2 ) Siis Y N(0, 278.4). Todennäköisyys, että kolme pientä pakkausta painaa vähintään 2 grammaa enemmän kuin kaksi suurta, on P(Y >2) 1 P(Y <2) 1 P( Y 0 < 2 0 ) P(Z < 2 2 )1 Φ( ) 1 Φ(1.0)

7 6. a) Edellisen tehtävän perusteella suuren keksipaketin paino S 30 noudattaa normaalijakaumaa S 30 N(900, 69.6) (järjestysnumeroindeksointi jätetään tässä tehtävässä pois tarpeettomana). Todennäköisyys, että yksittäisen suuren keksipaketin paino S 30 on yli 900 grammaa on siten puoli: P(S ) P( S )P(Z 0) Yllä Z on standardinormaalisti jakautunut satunnaismuuttuja. Yksittäinen keksipaketti toteuttaa Kuluttujaviraston kriteerin todennäköisyydellä puoli. Satunnaisessa otoksessa keksipaketeista puolet ei välttämättä täytä kriteeriä. (Esimerkiksi todennäköisyys, että kolmen keksipaketin otoksessa yksikään ei toteuttaisi kriteeriä, on (0.) ) Mikäli otos on suuri, niin suurten lukujen laki (s. 89) kuitenkin takaa, että keksipaketeista puolet toteuttaa kriteerin: Kriteerin toteutuminen on binomijakautunut satunnaismuuttuja, jossa kriteerin toteutumisen todennäköisyys p 0,. Merkitään K i :llä satunnaismuuttujaa "kriteeri toteutuu", K i 1,josi. keksipaketti toteuttaa kriteerin ja K i 0, jos se ei toteuta. Tällöin kriteerin toteuttavien keksipakettien osuus (murtolukuna 0:n ja 1:n välillä) on n:n suuruisessa otoksessa n 1 n X i1 K i [0, 1]. (Esimerkiksi jos n 100 ja paketeista 2 toteuttaa kriteerin, niin P n i1 K i 0, 2.) Yksittäisen K i :n odotusarvo yllä on 0, (yksittäisen binomijakautuneen satunnaismuuttujan odotusarvo on 1 p p, ks. s. 98). Osuus n 1 P n i1 K i on keskiarvo riippumattomista satunnaismuuttujista, joiden odotusarvo on sama 0,. Suurten lukujen lain (s. 89) perusteella osuus n 1 P n i1 K i lähestyy siten 0, :ttä otoskoon n kasvaessa. Tällöin puolet keksipaketeista toteuttaa kriteerin. (Kirjan s:illa perusteltiin, että osuuden (n 1 P n i1 K i)odotusarvoon sama kuin yksittäisen satunnaismuuttujan (K i ) odotusarvo. Argumentti edellä takaa, että suurilla otoskoilla osuus (eikä pelkkä sen odotusarvo) täsmää yksittäisen satunnaismuuttujaan liittyvän todennäköisyyden kanssa.)

8 b) Edelleen E(S 30 )30E(X i ), mutta keksien odotusarvo E(X i ) on nyt tuntematon. Keksien painon varianssi pysyy ennallaan, joten edelleen D 2 (S 30 ) Koska normaalisuuskin oletetaan edelleen, pätee Tehtävässä annettu kriteeri S 30 N(30E(X i ), 69.6). on yhtäpitävä ehtojen ja P(S 30 > 900) 0.9 P(S 30 < 900) 0.1 P( S 30 30E(X i ) 69.6 < E(X i) 69.6 )P(Z < E(X i) 69.6 ) 0.1 kanssa. Yllä Z on standardinormaalijakautunut satunnaismuuttuja. Standardinormaalijakauman kertymäfunktion taulukosta nähdään (tarkista!), että (oikeanpuoleisin) epäyhtälö toteutuu, kun E(X i ) ) eli kun E(X i ) eli kun E(X i ) Keksien painon odotusarvon tulisi olla vähintään g, jotta yli 90 prosenttia suurista keksipakkauksista painaisi yli 90 grammaa.