1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.

Transkriptio

1 HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli, 2, tai 4. (a) Ilmoita satunnaismuuttujan X jakauma sekä kerro sen odotusarvo. (b) Millä todennäköisyydellä X = ehdolla, että ensimmäisellä heitolla saadaan 2? Ratkaisu: (a) Huomaamme, että satunnaismuuttuja saadaan toistokokeella, jossa lasketaan epäonnistumisten lukumäärää ennen ensimmäistä onnistumista, kun onnistumisella ymmärretään silmäluvun 5 tai 6 saaminen. Eli X Geom(p), missä p on onnistumistodennäköisyys. Tässä tapauksessa p = 2 6 =. Luentojen perusteella tiedämme myös, että EX = p p = 2/ / = 2 = 2 (b) Tässä on useampia tapoja päätellä kysytty ehdollinen todennäköisyys. Eräs tapa on käyttää suoraan määritelmää. Olkoon A tapahtuma. heitolla saadaan 2 mikä voidaan ilmaista myös tapahtumana {Y = 2}, kun Y i on satunnaismuuttuja heitolla i. saatu silmäluku Tällöin kysytty ehdollinen todennäköisyys on P(X =, A) P(X = A) = P(A) Nyt {X =, A} = {Y = 2, Y 2 {, 2,, 4 }, Y {, 2,, 4 }, Y 4 { 5, 6 }} joten käyttämällä riippumattomuutta P(X =, A) = P(Y = 2)P(Y 2 {, 2,, 4 })P(Y {, 2,, 4 })P(Y 4 { 5, 6 }) Koska P(Y = 2) = P(A), niin P(X = A) = P(A)( 2 )2 P(A) = 4 = 4 27 Mutta, on muitakin tapoja, eli tämä on vain yksi ehdotus. Tärkeintä on, että jotenkin perustelee (vaikka toistokokeiden avulla) että itse asiassa P(X = A) = P(X = 2) = 4 27

2 2. Oletetaan, että Y U(0, ) ja määritellään X = Y +. Määrää satunnaismuuttujan X kertymäfunktio F X sekä satunnaismuuttujan X tiheysfunktio f X. Perustele lyhyesti, miksi X on jatkuvasti jakautunut. Laske lisäksi odotusarvo EX. Ratkaisu: Eräs tapa on käyttää kertymäfunktiotekniikkaa. Koska Y 0 tn:llä, niin X = Y = tn:llä. Vastaavasti Y tn:llä, joten X = Y + + = 2 tn:llä. Siispä voimme sanoa, että F X (x) = 0, aina kun x < ja F X (x) = aina kun x 2. Voimme siis keskittyä selvittämään kertymäfunktion arvot, kun x [, 2). Suoraan määritelmän avulla F X (x) = P(X x) = P( Y + x) = P(Y + x 2 ) = P(Y x 2 ) = x 2 kun x < 2. Olemme siis saaneet selvitettyä kertymäfunktion 0, kun x < F X (x) = x 2, kun x < 2, kun x 2 Havaitsemme myös, että F X on jatkuvasti derivoituva kaikkialla paitsi mahdollisesti kohdissa x = ja x = 2, ja tämä derivaattafunktio on F X(x) 2x, kun < x < 2 = 0, kun x < tai x > 2 Tästä huomaamme, että F X ei ole derivoituva kohdassa x = eikä kohdassa x = 2, mutta F X on jatkuva näissä kohdissa. Siispä luentojen nojalla F X on jatkuvasti jakautuneen satunnaismuuttujan kertymäfunktio. Edelleen, koska tiheysfunktioksi voidaan valita kertymäfunktion derivaattafunktio niissä kohdissa missä derivaatta on olemassa, niin eräs satunnaismuuttujan X tiheysfunktiosta on 2x, kun < x < 2 f X (x) = 0, muutoin. Lopuksi voimme määrätä odotusarvon. Voimme laskea joko määritelmän avulla EX = xf X (x)dx = 2 2x 2 dx = 2 (( 2) ) = 2 (2 2 ) tai käyttää laskea EX = E Y + muunnoksen odotusarvona, jolloin EX = E Y + = y + fy (y)dy = = 2 (2/2 /2 ) = 2 (2 2 ) 0 2 y + dy = y /2 dy Toinen tapa olisi näyttää, että kuvaus g : (0, ) B, g(y) = y + on diffeomorfismi. Aivan kuten yllä, havaitsemme, että kuvajoukko B = g ( (0, ) ) = (, 2), joten pyrimme näyttämään, että g : (0, ) (, 2) on diffeomorfismi. Ensin selvitämme käänteisfunktion h(x) = y g(y) = x ratkaisemalla yhtälöä g(y) = y + = x y + = x 2 y = x 2 y = h(x) = x 2

3 Havaitsemme siis, että g on bijektio (0, ) (, 2) ja sen käänteisfunktion h on h(x) = x 2. Koska h (x) = 2x, on se jatkuvasti derivoituva (jopa koko R:ssä). Vastaavasti g (y) = 2 (y+) /2 mikä on jatkuva ainakin välillä (0, ), joten g on diffeomorfismi. Siispä satunnaismuuttujalla X on jatkuva jakauma ja sen tiheysfunktio toteuttaa f X (x) = f Y (h(x)) h 2x, kun < x < 2 (x) = { h(x) (0, ) } 2x = 0, muuten Nyt kertymäfunktio voidaan selvittää tästä integroimalla. Selvästi F X (x) = 0, kun x. Jos laskimme oikein, niin F X (x) = kun x 2. Lasketaan vielä kertymäfunktion arvo, kun < x < 2. Luentojen mukaan F X (x) = x f X (u)du = x 2udu = x 2 mikä saa arvon 0, kun x = ja arvon, kun x = 2. Siispä aivan kuten pitikin. 0, kun x < F X (x) = x 2, kun x < 2, kun x 2. Satunnaismuuttuja X noudattaa tasajakaumaa välillä (, 5). Satunnaismuuttuja Y N(2, ) on normaalijakautunut. Satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia. (a) Laske E(2X 4Y + 7) (b) Laske var(2x Y ) (c) Laske cov(x + Y, 2XY ) Ratkaisu: Koska X U(, 5), niin tiedämme, että sekä EX = 2 ( + 5) = 6 2 = var X = 2 (5 )2 = 42 4 = 4. Edelleen, koska Y N(2, ), niin EY = 2 ja var Y =. (a) Tässä voimme käyttää odotusarvon lineaarisuutta, joka kertoo että E(2X 4Y + 7) = 2EX 4EY + 7 = = 2 ( 4) + 7 = 7 2 = 5. (b) Tässä voimme käyttää hyväksi satunnaismuuttujien 2X ja Y riippumattomuutta, joten var(2x Y ) = var(2x) + var( Y ) = 4 var X + var Y missä käytimme hyväksi tietoa, että var(αx) = α 2 var X kun α on vakio. Siispä var(2x Y ) = 4 var X + var Y = = = 25.

4 (c) Tämä on haasteellisempi tehtävä ja tarvitsemme kovarianssin määritelmää tai muotoilua cov(x, Y ) = E(XY ) EXEY. Tähän pääsee myös määritelmästä, sillä cov(x, Y ) = E(X EX)(Y EY ) = E(XY Y EX XEY + EXEY ) = E(XY ) EXEY EXEY + EXEY = E(XY ) EXEY. Bilineaarisuuden avulla saamme aluksi Nyt cov(x + Y, 2XY ) = 2 cov(x, XY ) + 6 cov(y, XY ). cov(x, XY ) = E(X 2 Y ) EXE(XY ) = EX 2 EY EXEXEY missä käytimme apuna muotoilua kovarianssille, satunnaismuuttujien X ja Y riippumattomuutta, sekä sitä, että X 2 Y, mikä seuraa siitä, että X Y ja riippumattomuus säilyi muunnoksissa g(x) h(y ). Siispä cov(x, XY ) = EX 2 EY (EX) 2 EY = EY (EX 2 (EX) 2 ) = EY var X. Viimeisessä identiteetissä käytimme apuna varianssin esitystä toisen momentin ja odotusarvon avulla var X = EX 2 (EX) 2. Havaitsemme, että vastaavasti cov(y, XY ) = EY 2 EX (EY ) 2 EX = EX(EY 2 (EY ) 2 ) = EX var Y. Yhdistetään nyt saamamme termit. Siispä: Nyt voimme laskea lukuarvon: cov(x + Y, 2XY ) = 2EY var X + 6EX var Y cov(x + Y, 2XY ) = 2EY var X + 6EX var Y 4. (a) Satunnaismuuttujan X momenttiemäfunktio on Määrää EX ja var X. = = = 2 (2 + 4 ) 2 (8 + 8) = = 2 89 = 78 M(t) = + 6 et + 2 et (b) Olkoon X Bernoulli( 2) ja Y Bernoulli( ) riippumattomia. Laske satunnaismuuttujan X + Y 2 momenttiemäfunktio. Ratkaisu: (a) Tiedämme, että EX = M (0) ja EX 2 = M (0). Koska tiedämme edelleen, että var X = EX 2 (EX) 2, niin haluamme määrätä luvut M (0) ja M (0). Derivoimalla saamme M (t) = 6 et + 2 et ja M (t) = 6 et et

5 joten ja EX = M (0) = = + 2 EX 2 = M (0) = = Vielä olisi laskettava var X, mutta = 0 2 = 5 = 28 2 = 4. var X = EX 2 (EX) 2 = = = 7 9. (b) Nyt tarvitsemme momenttiemäfunktion määritelmää ja tulon odotusarvon laskemista, kun satunnaismuuttujat ovat riippumattomia. Merkitään Z = X +Y. Tällöin kysytty momenttiemäfunktio on M Z. Määritelmän avulla M Z (t) = Ee tz = Ee t(x+y ) = Ee tx+ty = E(e tx e ty ). Koska X Y, niin e tx e ty, joten M Z (t) = E(e tx e ty ) = Ee tx Ee ty = M X (t)m Y (t). Nyt M X ja M Y voidaan laskea muunnoksen odotusarvon avulla. Lasketaan ensin M X, joka on siis M X (t) = Ee tx = et et = + 2 et. Seuraavaksi lasketaan M Y, joka on vastaavasti Siispä M Y (t) = Ee ty = 2 et et = et. M Z (t) = M X (t)m Y (t) = ( + 2 et )( et ) = 6 + et + 6 et + e4t