30A02000 Tilastotieteen perusteet

Transkriptio

1 30A02000 Tilastotieteen perusteet Kertaus 1. välikokeeseen Lauri Viitasaari Tieto- ja palvelujohtamisen laitos Kauppatieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2019 Periodi I-II

2 Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi ja kombinatoriikka Todennäköisyyslaskentaa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Diskreettejä jakaumia Jatkuvat jakaumat ja normaalijakauma

3 1. välikoe Tiistaina klo , salissa U2. Sallitut apuvälineet: yliopiston laskin. Omia laskimia ei sallita. Normaalijakauman taulukko (sama kuin mycourses-sivuilla) jaetaan. Kysymyspaperi on palautettava! 5 tehtävää, joista kustakin saa pisteitä 0-6. Yhdessä tehtävässä voi olla useita alakohtia (esim. a-c) jotka eivät välttämättä ole samanarvoisia. Alakohdista saatavat pisteet on merkitty kysymyspaperiin. Yksi tehtävistä on monivalinta, jossa on 6 kysymystä ja jokaisessa 2 vaihtoehtoa (oikeasta vastauksesta 1 piste, väärästä -1 piste, tyhjästä 0. Kokonaispisteet silti välillä 0-6). Mahdollisia tehtävätyyppejä: selitystehtävä, suora lasku, sanallinen tehtävä.

4 Yleisohjeita Mitä kysytään Tehtävien tarkoitus on mitata ymmärtämistä ja soveltamista, ei ulkoa opittuja kaavoja. Esimerkki: selitystehtävässä ei ole tarkoitus muistaa luentokalvojen lauseita ulkoa, vaan selittää omin sanoin miten asian on ymmärtänyt. Vastaamisesta Perustele vastauksesi. Oikea tulos ilman perusteluja tuo nolla pistettä, kun taas oikea perustelu mutta esim. laskuvirheen vuoksi väärä vastaus tuo lähes täydet pisteet. Poikkeuksena monivalintatehtävä jossa vastaus riittää. Välikokeessa (ja elämässä yleensä) kannattaa yrittää! Tyhjästä vastauksesta ei kuitenkaan varmasti saa pisteitä joten miksipä ei jotakin raapustaisi.

5 Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi ja kombinatoriikka Todennäköisyyslaskentaa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Diskreettejä jakaumia Jatkuvat jakaumat ja normaalijakauma

6 Joukko-opista: keskeiset asiat Uusien joukkojen muodostaminen joukko-opin perusoperaatioiden avulla. Perusjoukon käsite

7 Tapahtumien yhdisteleminen Yhteenveto Termi Merkintä Määritelmä Venn-kaavio Tulkinta Perusjoukko S {x S : x S} Varma tapahtuma Osajoukko A {x S : x A} A toteutuu Osajoukko B {x S : x B} B toteutuu Leikkaus A B {x S : x A ja x B} A ja B toteutuvat Yhdiste A B {x S : x A tai x B} A tai B toteutuu Erotus A \ B {x S : x A ja x B} A toteutuu mutta B ei Erotus B \ A {x S : x B ja x A} B toteutuu mutta A ei Komplementti A c {x S : x A} A ei toteudu Komplementti B c {x S : x B} B ei toteudu Tyhjä joukko {x S : x S} Mahdoton tapahtuma

8 Lukumääristä: keskeiset asiat Yhteenlaskuperiaate (liittyen sanaan tai) Kertolaskuperiaate (liittyen sanaan ja) Permutaatiot n(n 1)... (n k): kun n:n alkion joukosta valitaan k yksikköä jonoon palauttamatta. Erityisesti n! = n(n 1) Kombinaatiot ( n k) : kun valitaan n:n alkion joukosta k:n kokoinen osajoukko (järjestyksellä ei väliä)

9 Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi ja kombinatoriikka Todennäköisyyslaskentaa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Diskreettejä jakaumia Jatkuvat jakaumat ja normaalijakauma

10 Todennäköisyyslaskenta: keskeiset asiat Todennäköisyyden luonne suhteellisena osuutena Ehdollinen todennäköisyys ja riippumattomuus Osituskaavan ja Bayesin kaavan soveltaminen

11 Todennäköisyyden perussäännöt Yleinen summasääntö: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Poissulkevien summasääntö: P(A B) = P(A) + P(B), kun A B =. Vastakohdan ja erotuksen todennäköisyys: P(A c ) = 1 P(A), P(B \ A) = P(B) P(A B). Monotonisuus: P(A) P(B), kun A B.

12 Ehdollinen todennäköisyys ja riippumattomuus Ehdollinen todennäköisyys P(A B) = P(A B), P(B) 0 P(B) eli todennäköisyys A:lle, kun tiedetään että B tapahtui. Riippumattomuus Tapahtumat riippumattomia, jos P(A B) = P(A)P(B) tai yhtäpitävästi P(A B) = P(A) (todennäköisyys ei muutu vaikka tiedetään että B tapahtui)

13 Tulosääntö, osituskaava ja Bayesin kaava Tulosääntö: P(A 1... A n ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 )P(A 3 A 1 A 2 )... P(A k A 1... A n 1 ) Ositussääntö: jos B 1,..., B n on ositus (eli muodostavat yhdessä koko perusjoukon) niin Bayesin kaava: P(A) = n P(B i )P(A B i ). k=1 P(A B) = P(B A)P(B) P(A)

14 Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi ja kombinatoriikka Todennäköisyyslaskentaa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Diskreettejä jakaumia Jatkuvat jakaumat ja normaalijakauma

15 Satunnaismuuttujat: keskeiset asiat Satunnaismuuttujan ja todennäköisyysjakauman käsitteet keskeiset termit: diskreetti jakauma: pistetodennäköisyysfunktio p(x) = P(Y = x) ja kertymäfunktio F (x) = P(Y x) jatkuva jakauma: tiheysfunktio f (x) ja kertymäfunktio F (x) = P(Y x) odotusarvo E(X ) varianssi Var(X ) ja keskihajonta SD(X )

16 Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi ja kombinatoriikka Todennäköisyyslaskentaa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Diskreettejä jakaumia Jatkuvat jakaumat ja normaalijakauma

17 Diskreetit jakaumat: keskeiset asiat Binomijakauma Bin(n, p) Asetelma, jossa toistetaan operaatiota n kertaa ja lasketaan onnistumisten lukumäärä. Yksittäisellä operaatiolla onnistumisen tn on p Vastaavasti binomijakauma vastaa tilannetta, jossa otanta suoritetaan palauttaen (onnistuminen vastaa ominaisuuden A esiintymistä otoksessa) Hypergeometrinen jakauma Hypergeom(N, K, n) Perusjoukossa N yksikköä, ja K yksiköllä on mielenkiinnon kohteena oleva ominaisuus A. Poimitaan n yksikköä satunnaisesti palauttamatta ja tarkastellaan otoksessa ominaisuuden A esiintymistä

18 Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi ja kombinatoriikka Todennäköisyyslaskentaa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Diskreettejä jakaumia Jatkuvat jakaumat ja normaalijakauma

19 Jatkuvat jakaumat: keskeiset asiat Pistetodennäköisyyksiä ei ole : jokaiselle yksittäiselle x pätee P(Y = x) = 0. Yksittäisten pisteiden sijaan tarkastellaan välien todennäköisyyksiä. Todennäköisyys olla välillä [a, b] saadaan kertymäfunktion F Y (x) = P(Y x) avulla P(a X b) = F (b) F (a).

20 Normaalijakauma: keskeiset asiat Kertymäfunktion Φ(x) arvojen lukeminen luvuilla x 0 taulukosta. Erilaisten todennäköisyyksien palauttaminen lausekkeiksi, jotka sisältävät kertymäfunktion Φ(x) arvoja luvuilla x 0: P(Z > x) = 1 Φ(x) (komplementtisääntö) Φ( x) = 1 Φ(x) (symmetria) P(x < Z < y) = Φ(y) Φ(x) Normittaminen: Yleisen X N(µ, σ 2 ) palauttaminen standardoituun Z N(0, 1) muunnoksella Z = X µ σ. Keskeinen raja-arvolause Ei tarvitse osata ulkoa, vaan ymmärtää sen filosofinen merkityksen