2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
|
|
- Annika Pääkkönen
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa B. harjotukset / Ratkasut Aheet: Tlastollset testt Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, F-jakauma, F-test, Frekvess, Keskhajota, Normaaljakauma, Odotusarvo, Odotusarvoje vertalutest, Otos, Otoskoko, Otosvarass, Parvertalutest, Rppumattomat otokset, Rppumattomuus, Rppuvat otokset, Stadardotu ormaaljakauma, Suhteelle frekvess, Suhteelle osuus, Suhteellste osuukse vertalutest, Testt odotusarvolle, Test suhteellselle osuudelle, Testt varasslle, t-jakauma, t-test, Todeäkösyys, Varass, Varasse vertalutest, Ykskertae satuasotos, z-test Tlastollset testt Yhde otokse t-test Testausasetelma yhde otokse t-testssä odotusarvolle Olkoo X, =,,, satuasotos ormaaljakaumasta N(µ,σ ). Tällö satuasmuuttujat X, =,,, ovat rppumattoma ja oudattavat samaa ormaaljakaumaa N(µ,σ ): X, X,, X X N( µσ, ), =,,, Asetetaa ormaaljakauma N(µ,σ ) odotusarvo- el pakkaparametrlle µ ollahypotees H :µ = µ Testausogelma: Ovatko havaot sopusoussa ollahypotees H kassa? Ogelma ratkasua o yhde otokse t-test odotusarvolle. Hypoteest yhde otokse t-testssä odotusarvolle Ylee hypotees H : X, X,, X X ~N( µσ, ), =,,, Nollahypotees: H :µ = µ Vahtoehtoset hypoteest: H: µ > µ H: µ < µ H : µ µ -suutaset vahtoehtoset hypoteest -suutae vahtoehtoe hypotees Ilkka Mell (8) /43
2 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Parametre estmot yhde otokse t-testssä odotusarvolle Olkoot ja X X = = s X X = ( ) = tavaomaset harhattomat estmaattort ormaaljakauma parametrelle µ ja σ. Tuusluku X o havatoje X, =,,, artmeette keskarvo ja s o havatoje X, =,,, otosvarass. Testsuure yhde otokse t-testssä odotusarvolle Määrtellää t-testsuure X µ t = s/ Jos ollahypotees H :µ = µ pätee, testsuure t oudattaa Studet t-jakaumaa vapausaste ( ): t t( ) Testsuuree t ormaalarvo =, koska ollahypotees H pätessä E(t) = Ste tsesarvoltaa suuret testsuuree t arvot vttaavat she, että ollahypotees H e päde. e määrääme yhde otokse t-testssä odotusarvolle Valtaa test merktsevyystasoks. () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:µ > µ krtte arvo +t saadaa ehdosta Pr( t + t ) = jossa t t( ). Test hylkäysalue o tällö muotoa ( + t, + ) () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:µ < µ krtte arvo t saadaa ehdosta Pr( t t ) = Ilkka Mell (8) /43
3 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset jossa t t( ). Test hylkäysalue o tällö muotoa (, t ) () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:µ µ krttset arvot t / ja +t / saadaa ehdosta Pr( t t /) = / Pr( t + t ) = / / jossa t t( ). Test hylkäysalue o tällö muotoa (, t ) ( + t, + ) / / Nollahypotees hylätää, jos testsuuree arvo osuu hylkäysalueelle. Alla olevat kuvot havaollstavat test hylkäysaluee määräämstä: > H:µ < µ H:µ µ H:µ µ t ( ) t ( ) t ( ) t + t t / +t / p-arvo määrääme yhde otokse t-testssä odotusarvolle Olkoo t-testsuuree havattu arvo t. Alla olevat kuvot havaollstavat test p-arvo määräämstä: > H:µ < µ H:µ µ H:µ µ t ( ) t ( ) t ( ) p p p p p p p t + t t t Test p-arvo = p Test p-arvo = p Test p-arvo = p Ilkka Mell (8) 3/43
4 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Nollahypotees hylätää, jos test p-arvo o kyll pe. Yhde otokse test varasslle Olkoo X, =,,, satuasotos ormaaljakaumasta N(µ, σ ). Tällö satuasmuuttujat X, =,,, ovat rppumattoma ja oudattavat samaa ormaaljakaumaa N(µ,σ ): X, X,, X X N( µσ, ), =,,, Asetetaa ormaaljakauma N(µ,σ ) varassparametrlle σ ollahypotees H :σ = σ Testausogelma: Ovatko havaot sopusoussa ollahypotees H kassa? Ogelma ratkasua o yhde otokse χ -test varasslle. Hypoteest yhde otokse testssä varasslle Ylee hypotees H : X, X,, X X ~N( µσ, ), =,,, Nollahypotees: H :σ = σ Vahtoehtoset hypoteest: H: σ σ σ σ σ H: H : > σ -suutaset vahtoehtoset hypoteest < -suutae vahtoehtoe hypotees Parametre estmot yhde testssä varasslle Olkoot ja X X = = s X X = ( ) = tavaomaset harhattomat estmaattort ormaaljakauma parametrelle µ ja σ. Tuusluku X o havatoje X, =,,, artmeette keskarvo ja s o havatoje X, =,,, otosvarass. Ilkka Mell (8) 4/43
5 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Testsuure yhde otokse testssä varasslle Määrtellää χ -testsuure Jos ollahypotees ( ) s χ = σ H :σ = σ pätee, testsuure χ oudattaa χ -jakaumaa vapausaste ( ): χ χ ( ) Testsuuree χ ormaalarvo = ( ), koska ollahypotees H pätessä E(χ ) = Ste sekä peet että suuret testsuuree χ arvot vttaavat she, että ollahypotees H e päde. e määrääme yhde otokse testssä varasslle Valtaa test merktsevyystasoks. () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:σ > σ krtte arvo χ saadaa ehdosta Pr( ) χ χ = jossa χ χ ( ). Test hylkäysalue o tällö muotoa () ( χ, + ) Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:σ < σ krtte arvo χ saadaa ehdosta Pr( χ χ ) = jossa χ χ ( ). Test hylkäysalue o tällö muotoa (, ) χ () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:σ σ krttset arvot χ / ja χ / saadaa ehdosta Pr( χ χ ) = / / / Pr( χ χ ) = / Ilkka Mell (8) 5/43
6 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset jossa χ χ ( ). Test hylkäysalue o tällö muotoa (, χ ) ( χ, + ) / / Nollahypotees hylätää, jos testsuuree arvo osuu hylkäysalueelle. Alla olevat kuvot havaollstavat test hylkäysaluee määräämstä: H:σ > σ H:σ < σ H:σ σ χ ( ) χ ( ) χ ( ) χ χ χ χ p-arvo määrääme yhde otokse testssä varasslle Olkoo χ -testsuuree havattu arvo χ. Alla olevat kuvot havaollstavat test p-arvo määräämstä, ku vahtoehtoe hypotees o ykssuutae: H:σ > σ H:σ < σ χ ( ) χ ( ) p p p p H:σ σ tapauksessa test p-arvo o χ χ Test p-arvo = p Test p-arvo = p Kakssuutase vahtoehtose hypotees { } p = m Pr( χ χ ),Pr( χ χ ) jossa χ χ ( ) Ilkka Mell (8) 6/43
7 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Nollahypotees hylätää, jos test p-arvo o kyll pe. Kahde rppumattoma otokse t-test Testausasetelma kahde rppumattoma otokse t-testssä odotusarvolle Olkoo X, =,,, satuasotos ormaaljakaumasta N( µ, σ ). Tällö satuasmuuttujat X, =,,, ovat rppumattoma ja oudattavat samaa ormaaljakaumaa X, X,, X X N( µ, σ ), =,,, Olkoo X j, j =,,, satuasotos ormaaljakaumasta rppumattoma ja oudattavat samaa ormaaljakaumaa X, X,, X Oletetaa lsäks, että otokset X N( µ, σ ), j =,,, j N( µ, σ ) : N( µ, σ ). Tällö satuasmuuttujat X j, j =,,, ovat N( µ, σ ) : ja X, =,,, X j, j =,,, ovat rppumattoma tosstaa. Asetetaa ormaaljakaume N( µ, σ) ja N( µ, σ ) odotusarvo- el pakkaparametrelle µ ja µ ollahypotees H :µ = µ = µ Testausogelma: Ovatko havaot sopusoussa ollahypotees H kassa? Ogelma ratkasua o kahde rppumattoma otokse t-test odotusarvolle. Hypoteest kahde rppumattoma otokse t-testssä odotusarvolle Ylee hypotees H : () X ~N( µ, σ ), =,,, () X ~N( µ, σ ), j =,,, j () Havaot X ja X j ovat rppumattoma kaklle ja j Ilkka Mell (8) 7/43
8 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Nollahypotees: H :µ = µ = µ Vahtoehtoset hypoteest: H: µ > µ H: µ < µ H : µ µ -suutaset vahtoehtoset hypoteest -suutae vahtoehtoe hypotees Parametre estmot kahde rppumattoma otokse t-testssä odotusarvolle Olkoot ja k X = X, k =, k k = k k k k k = k s = ( X X ), k =, tavaomaset harhattomat estmaattort ormaaljakauma parametrelle µ k ja σ k. Tuusluku X k o havatoje X k, =,,, k, k =, artmeette keskarvo ja s k o havatoje X k, =,,, k, k =, otosvarass. Testsuure ylesessä tapauksessa kahde rppumattoma otokse t-testssä odotusarvolle Määrtellää t-testsuure t A = X X s s + Jos ollahypotees H :µ = µ = µ pätee, testsuure t A oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa N(,): t N(,) A a Testsuuree t A ormaalarvo =, koska ollahypotees H pätessä E(t A ) = Ste tsesarvoltaa suuret testsuuree t A arvot vttaavat she, että ollahypotees H e päde. Ilkka Mell (8) 8/43
9 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Pessä otoksssa testsuuree t A jakaumalle saadaa paremp approksmaato käyttämällä approksmovaa jakaumaa t-jakaumaa vapausaste (s. Satterthwate approksmaato) ν = s s + s + s Jos ν e ole kokoasluku, ν: arvo o tapaa pyörstää alaspä lähmpää kokoaslukuu. Hema huoomp approksmaato testsuuree t A jakaumalle (mutta, joka o paremp ku ormaaljakauma-approksmaato) saadaa käyttämällä approksmovaa jakaumaa t-jakaumaa vapausaste ν = m(, ) e määrääme kahde rppumattoma otokse t-testssä odotusarvolle Valtaa test merktsevyystasoks. Kästtelemme tässä krttste rajoje määräämstä va, ku testsuuretta t A approksmodaa ormaaljakaumalla. Krttste rajoje määrääme, ku testsuuretta t A approksmodaa t- jakaumalla, tapahtuu täsmällee samalla tavalla ku yhde otokse t-test tapauksessa. () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:µ > µ krtte arvo +t saadaa ehdosta Pr( t + t ) = jossat N(,). Test hylkäysalue o tällö muotoa ( + t, + ) () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:µ < µ krtte arvo t saadaa ehdosta Pr( t t ) = jossat N(,). Test hylkäysalue o tällö muotoa (, t ) () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:µ µ krttset arvot t / ja +t / saadaa ehdosta Pr( t t /) = / Pr( t + t ) = / / Ilkka Mell (8) 9/43
10 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset jossat N(,). Test hylkäysalue o tällö muotoa (, t ) ( + t, + ) / / Nollahypotees hylätää, jos testsuuree arvo osuu hylkäysalueelle. Alla olevat kuvot havaollstavat test hylkäysaluee valtaa: > H:µ < µ H:µ µ H:µ µ N(,) N(,) N(,) t + t t / +t / p-arvo määrääme kahde rppumattoma otokse t-testssä odotusarvolle Olkoo t-testsuuree t A havattu arvo t. Kästtelemme tässä test p-arvo määräämstä va, ku testsuuretta t A approksmodaa ormaaljakaumalla. p-arvo määrääme, ku testsuuretta t A approksmodaa t-jakaumalla, tapahtuu täsmällee samalla tavalla ku yhde otokse t-test tapauksessa. Alla olevat kuvot havaollstavat test p-arvo määräämstä: > H:µ < µ H:µ µ H:µ µ N(,) N(,) N(,) p p p p p p p t + t t t Test p-arvo = p Test p-arvo = p Test p-arvo = p Nollahypotees hylätää, jos test p-arvo o kyll pe. Ilkka Mell (8) /43
11 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Testsuure kahde rppumattoma otokse t-testssä odotusarvolle, jos varasst vodaa olettaa yhtä suurks Oletetaa, että edellä estettyje oletuste lsäks hypotees σ = σ = σ pätee. Määrtellää t-testsuure X X tb = sp + jossa s ( ) s + ( ) s p = + o s. yhdstetty (egl. pooled) varass. Jos ollahypotees H :µ = µ = µ pätee, testsuure t B oudattaa t-jakaumaa vapausaste ( + ): t t( + ) B Testsuuree t B ormaalarvo =, koska ollahypotees H pätessä E(t B ) = Ste tsesarvoltaa suuret testsuuree t B arvot vttaavat she, että ollahypotees H e päde. e määrääme kahde rppumattoma otokse t-testssä odotusarvolle, jos varasst vodaa olettaa yhtä suurks Krttste arvoje määrääme tapahtuu täsmällee samalla tavalla ku yhde otokse t-test tapauksessa. p-arvo määrääme kahde rppumattoma otokse t-testssä odotusarvolle, jos varasst vodaa olettaa yhtä suurks Test p-arvo määrääme tapahtuu täsmällee samalla tavalla ku yhde otokse t-test tapauksessa. Kahde rppumattoma otokse test varasselle Testausasetelma kahde rppumattoma otokse testssä varasselle Olkoo X, =,,, satuasotos ormaaljakaumasta N( µ, σ ). Tällö satuasmuuttujat X, =,,, ovat rppumattoma ja oudattavat samaa ormaaljakaumaa N( µ, σ ) : Ilkka Mell (8) /43
12 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Olkoo X, X,, X X N( µ, σ ), =,,, X j, j =,,, ykskertae satuasotos ormaaljakaumasta N( µ, σ ). Tällö satuasmuuttujat X j, j =,,, ovat rppumattoma ja oudattavat samaa ormaaljakaumaa X, X,, X Oletetaa lsäks, että otokset X N( µ, σ ), j =,,, j N( µ, σ ) : ja X, =,,, X j, j =,,, ovat tosstaa rppumattoma. Asetetaa ormaaljakaume N( µ, σ ) ja N( µ, σ ) varassparametrelleσ jaσ ollahypotees H :σ = σ = σ Testausogelma: Ovatko havaot sopusoussa ollahypotees H kassa? Ogelma ratkasua o kahde rppumattoma otokse F-test varasselle. Hypoteest kahde rppumattoma otokse testssä varasselle Ylee hypotees H : () X ~N( µ, σ ), =,,, () X ~N( µ, σ ), j =,,, j () Havaot X ja X j ovat rppumattoma kaklle ja j Nollahypotees: Vahtoehtoset hypoteest: H :σ = σ = σ H: σ > σ -suutaset vahtoehtoset hypoteest H: σ < σ H : σ σ -suutae vahtoehtoe hypotees Parametre estmot kahde rppumattoma otokse testssä varasselle Olkoot k X = X, k =, k k = k Ilkka Mell (8) /43
13 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset ja s = ( X X ), k =, k k k k k = tavaomaset harhattomat estmaattort ormaaljakauma parametrelle µ k ja σ k. Tuusluku X k o havatoje X k, =,,, k, k =, artmeette keskarvo ja s k o havatoje X k, =,,, k, k =, otosvarass. Testsuure ylesessä tapauksessa kahde rppumattoma otokse testssä varasselle Määrtellää F-testsuure Jos ollahypotees s F = s H :σ = σ = σ pätee, testsuure F oudattaa F-jakaumaa vapausaste ( ) ja ( ) : F F(, ) Suurlle testsuuree o F ormaalarvo, koska ollahypotees H pätessä E( F) = 3 Ste sekä peet että suuret testsuuree F arvot vttaavat she, että ollahypotees H e päde. e määrääme kahde rppumattoma otokse t-testssä odotusarvolle Valtaa test merktsevyystasoks. () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:σ > σ krtte arvo F saadaa ehdosta Pr( F F ) = jossa F F(, ). Test hylkäysalue o tällö muotoa ( F, + ) () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:σ < σ krtte arvo F saadaa ehdosta Pr( F F ) = jossa F F(, ). Test hylkäysalue o tällö muotoa (, ) F Ilkka Mell (8) 3/43
14 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:µ µ krttset arvot F / ja F / saadaa ehdosta Pr( F F /) = / Pr( F F ) = / / jossa F F(, ). Test hylkäysalue o tällö muotoa (, F / ) ( F/, + ) Nollahypotees hylätää, jos testsuuree arvo osuu hylkäysalueelle. Alla olevat kuvot havaollstavat test hylkäysaluee valtaa: H:σ > σ H:σ < σ H:σ σ F (, ) F (, ) F (, ) F F F F p-arvo määrääme kahde rppumattoma otokse testssä varasselle Olkoo F-testsuuree F havattu arvo F. Alla olevat kuvot havaollstavat test p-arvo määräämstä, ku vahtoehtoe hypotees o ykssuutae: H:σ > σ F (, ) H:σ < σ F (, ) p p p p F Test p-arvo = p Test p-arvo = p Ilkka Mell (8) 4/43
15 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Kakssuutase vahtoehtose hypotees H:σ σ tapauksessa test p-arvo o jossa { } p = m Pr( F F ),Pr( F F ) F F(, ) Nollahypotees hylätää, jos test p-arvo o kyll pe. t-test parvertalulle Testausasetelma t-testssä parvertalulle Oletetaa, että havaot muodostuvat muuttujaa X koskevsta tosstaa rppumattomsta mttaustulokse paresta (X, X ), =,,, Tavotteea o verrata mttauksa X ja X tossa: Atavatko mttaukset ja keskmäär sama tulokse? Muodostetaa mttaustulokse X ja X erotukset,,,, = X X = Mttaukset ja atavat keskmäär sama tulokse, jos erotukset saavat keskmäär arvo olla. Parvertaluogelma ratkasua o tavaomae yhde otokse t-test mttaustulokse X ja X erotukse odotusarvolle. Hypoteest t-testssä parvertalulle Ylee hypotees H :,,, ~N( µ, σ ), =,,, Nollahypotees: H : µ = Vahtoehtoset hypoteest: H: µ > H: µ < -suutaset vahtoehtoset hypoteest H : µ -suutae vahtoehtoe hypotees Ilkka Mell (8) 5/43
16 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Parametre estmot t-testssä parvertalulle Olkoot ja = = s = ( ) = tavaomaset harhattomat estmaattort ormaaljakauma parametrelle µ ja σ. Tuusluku o erotuste,,,, = X X = artmeette keskarvo ja s o erotuste,,,, = X X = otosvarass. Testsuure t-testssä parvertalulle Määrtellää t-testsuure t = s / Jos ollahypotees H : µ = pätee, testsuure t oudattaa Studet t-jakaumaa vapausaste ( ): t t( ) Testsuuree t ormaalarvo =, koska ollahypotees H pätessä E(t) = Ste tsesarvoltaa suuret testsuuree t arvot vttaavat she, että ollahypotees H e päde. e määrääme t-testssä parvertalulle Krttste arvoje määrääme tapahtuu täsmällee samalla tavalla ku yhde otokse t-test tapauksessa. p-arvo määrääme t-testssä parvertalulle Test p-arvo määrääme tapahtuu täsmällee samalla tavalla ku yhde otokse t-test tapauksessa. Test suhteellselle osuudelle Testausasetelma testssä suhteellselle osuudelle Olkoo A perusjouko S tapahtuma ja olkoo Pr(A) = p Pr(A c ) = p = q Ilkka Mell (8) 6/43
17 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Määrtellää satuasmuuttuja, jos tapahtuma A sattuu X =, jos tapahtuma A e satu Tällö satuasmuuttuja X oudattaa Beroull-jakaumaa parametraa p: X Ber(p) ja E( X) = p Var( X ) = ( X) = pq Oletetaa, että tapahtuma A o muotoa A = Perusjouko S alkolla o omasuus P Tällö p = Pr(A) o todeäkösyys poma perusjoukosta S satuasest alko, jolla o omasuus P. Jos perusjoukko S o äärelle, todeäkösyys p kuvaa de perusjouko S alkode suhteellsta osuutta, jolla o omasuus P. Olkoo X, X,, X satuasotos perusjoukosta S, joka oudattaa Beroull-jakaumaa Beroull(p). Tällö X, X,, X X Beroull( p), =,,, Asetetaa Beroull-jakauma odotusarvoparametrlle p ollahypotees H : p = p Testausogelma: Ovatko havaot sopusoussa ollahypotees H kassa? Ogelma ratkasua o test suhteellselle osuudelle. Hypoteest testssä suhteellselle osuudelle Ylee hypotees: X, X,, X X Beroull( p), =,,, Nollahypotees: H : p = p Vahtoehtoset hypoteest: H: p > p H: p< p H : p p -suutaset vahtoehtoset hypoteest -suutae vahtoehtoe hypotees Ilkka Mell (8) 7/43
18 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Parametre estmot testssä suhteellselle osuudelle Olkoo pˆ = X = tavaomae harhato estmaattor Beroull-jakauma parametrlle p. Huomaa, että = X = f o tapahtuma A frekvess sä -kertasessa rppumattome Beroull-kokede sarjassa, jota ykskertase satuasotokse pomta Beroull-jakaumasta Beroull(p) merktsee. Ste f pˆ = o tapahtuma A suhteelle frekvess ja f = X B(, p) = Testsuure testssä suhteellselle osuudelle Määrtellää z-testsuure pˆ p z = p( p) Jos ollahypotees H : p = p pätee, testsuure z oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa N(,): z a N(,) Testsuuree z ormaalarvo =, koska ollahypotees H pätessä E(z) = Ste tsesarvoltaa suuret testsuuree z arvot vttaavat she, että ollahypotees H e päde. e määrääme testssä suhteellselle osuudelle Valtaa test merktsevyystasoks. () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:p> p krtte arvo +z saadaa ehdosta Pr( z + z ) = jossa z N(,). Test hylkäysalue o tällö muotoa Ilkka Mell (8) 8/43
19 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset ( + z, + ) () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:p< p krtte arvo z saadaa ehdosta Pr( z z ) = jossa z N(,). Test hylkäysalue o tällö muotoa (, z ) () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:p p krttset arvot z / ja +z / saadaa ehdosta Pr( z z /) = / Pr( z + z ) = / / jossa z N(,). Test hylkäysalue o tällö muotoa (, z ) ( + z, + ) / / Nollahypotees hylätää, jos testsuuree arvo osuu hylkäysalueelle. Alla olevat kuvot havaollstavat test hylkäysaluee valtaa: H : p > p H : p < p H:p p N(,) N(,) N(,) + z z z / +z / p-arvo määrääme testssä suhteellselle osuudelle Olkoo z-testsuuree z havattu arvo z. Ilkka Mell (8) 9/43
20 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Alla olevat kuvot havaollstavat test p-arvo määräämstä: H : p > p H : p < p H:p p N(,) N(,) N(,) p p p p p p p z + z z z p-arvo = p p-arvo = p p-arvo = p Nollahypotees hylätää, jos test p-arvo o kyll pe. Suhteellste osuukse vertalutest Testausasetelma suhteellste osuukse vertalutestssä Olkoo A perusjouko S k, k =, tapahtuma ja olkoot Pr(A) = p k, k =, Pr(A c ) = p k = q k, k =, Määrtellää satuasmuuttujat X k, k =, :, jos A tapahtuu perusjoukossa Sk X k =, jos A e tapahdu perusjoukossa S Tällö ja X k ~ Beroull(p k ), k =, E( X ) = p k k Var( X k) = ( Xk) = pkqk Oletetaa, että tapahtuma A o muotoa Tällö A = Perusjouko alkolla o omasuus P p k = Pr(A) o todeäkösyys poma perusjoukosta S k, k =, satuasest alko, jolla o omasuus P. Jos perusjoukko S k, k =, o äärelle, todeäkösyys p k kuvaa de perusjouko S k alkode suhteellsta osuutta, jolla o omasuus P. Olkoo X, X,, X k Ilkka Mell (8) /43
21 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset satuasotos perusjoukosta S, joka oudattaa Beroull-jakaumaa Beroull(p ). Tällö X, X,, X X Beroull( p ), =,,, Olkoo X, X,, X satuasotos perusjoukosta S, joka oudattaa Beroull-jakaumaa Beroull(p ). Tällö X, X,, X X Beroull( p ), =,,, Olkoot otokset lsäks tosstaa rppumattoma. Asetetaa Beroull-jakaume parametrelle p ja p ollahypotees H : p = p = p Testausogelma: Ovatko havaot sopusoussa ollahypotees H kassa? Ogelma ratkasua o suhteellste osuukse vertalutest. Hypoteest suhteellste osuukse vertalutestssä Ylee hypotees: X, X,, X () X Beroull( p ), =,,, () () X, X,, X X Beroull( p ), =,,, X, X,, X, X, X,, X Nollahypotees: H : p = p = p Vahtoehtoset hypoteest: H: p > p -suutaset vahtoehtoset hypoteest H: p < p H : p p -suutae vahtoehtoe hypotees Parametre estmot suhteellste osuukse vertalutestssä Olkoo k pˆ = X, k =, k k = k tavaomae harhato estmaattor Beroull-jakauma parametrlle p k, k =,. Huomaa, että Ilkka Mell (8) /43
22 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset k = X = f, k =, k k o tapahtuma A frekvess sä -kertasessa rppumattome Beroull-kokede sarjassa, jota ykskertase satuasotokse pomta Beroull-jakaumasta Beroull(p k ), k =, merktsee. Ste fk pˆ k =, k =, k o tapahtuma A suhteelle frekvess otoksessa k =, ja k k = k k k = f X B(, p ) Jos ollahypotees H : p = p = p pätee, vodaa otokset yhdstää ja parametr p harhato estmaattor o tapahtuma A suhteelle frekvess yhdstetyssä otoksessa: p ˆ+ p ˆ f+ f pˆ = = + + Jos ollahypotees H pätee, p( p) p( p) Var( pˆ pˆ ) = + = p( p) + Testsuure suhteellste osuukse vertalutestssä Määrtellää testsuure z = pˆ pˆ pˆ( pˆ) + Jos ollahypotees H : p = p = p pätee, testsuure z oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa: z a N(,) Testsuuree z ormaalarvo =, koska ollahypotees H pätessä E(z) = Ste tsesarvoltaa suuret testsuuree z arvot vttaavat she, että ollahypotees H e päde. Ilkka Mell (8) /43
23 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset e määrääme suhteellste osuukse vertalutestssä Valtaa test merktsevyystasoks. () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:p > p krtte arvo +z saadaa ehdosta Pr( z + z ) = jossa z N(,). Test hylkäysalue o tällö muotoa ( + z, + ) () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:p < p krtte arvo z saadaa ehdosta Pr( z z ) = jossa z N(,). Test hylkäysalue o tällö muotoa (, z ) () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:p p krttset arvot z / ja +z / saadaa ehdosta Pr( z z /) = / Pr( z + z ) = / / jossa z N(,). Test hylkäysalue o tällö muotoa (, z ) ( + z, + ) / / Nollahypotees hylätää, jos testsuuree arvo osuu hylkäysalueelle. Alla olevat kuvot havaollstavat test hylkäysaluee valtaa: H:p > p H:p < p H:p p N(,) N(,) N(,) + z z z / +z / Ilkka Mell (8) 3/43
24 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset p-arvo määrääme suhteellste osuukse vertalutestssä Olkoo z-testsuuree z havattu arvo z. Alla olevat kuvot havaollstavat test p-arvo määräämstä: H:p p H:p > < H:p p p N(,) N(,) N(,) p p p p p p p z + z z z p-arvo = p p-arvo = p p-arvo = p Nollahypotees hylätää, jos test p-arvo o kyll pe. Ilkka Mell (8) 4/43
25 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Tehtävä.. Koe valmstaa auloja, jode tavoteptuus o cm. Nauloje ptuus vahtelee kutek satuasest oudattae ormaaljakaumaa. Nauloje laatua tutktaa pommalla tasatue edellse tu akaa valmstettuje auloje joukosta ykskertae satuasotos, joka koko o 3 ja vertaamalla otoksee pomttuje auloje keskptuutta ptuude tavotearvoo. Erää kerra otoksee pomttuje auloje ptuukse artmeettseks keskarvoks saat 9.95 cm ja otosvarassks saat. cm. Testaa ollahypoteesa, että ko. tu akaa valmstettuje auloje todelle keskptuus o tavotearvo mukae, ku vahtoehtosea hypoteesa o, että keskptuus o tavotearvoa peemp. Käytä testssä %: merktsevyystasoa. Tehtävä.. Mtä opmme? Tehtävässä tarkastellaa yhde otokse t-testä. Tehtävä.. Ratkasu: Koe valmstaa auloja. Koee valmstame auloje joukosta pomtaa ykskertae satuasotos, joka koko = 3. Määrtellää satuasmuuttujat X = aula ptuus otoksessa, =,,, 3 Ylee hypotees H o muotoa: X, X,, X X N(, ), =,,,3 3 µσ Nollahypotees H o muotoa: H : µ = Vahtoehtoe hypotees H o muotoa. H : µ < Sovelletaa yhde otokse t-testä. Testsuureea o X µ t = s/ jossa X = X = s = ( X X) = Jos ollahypotees H pätee, testsuure t oudattaa Studet t-jakaumaa vapausaste ( ): t t( ) = t(9) Itsesarvoltaa suuret testsuuree t arvot johtavat ollahypotees hylkäämsee. Ilkka Mell (8) 5/43
26 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Tehtävä tapauksessa = 3 X = 9.95 s =. µ = jote X µ 9.95 t = = =.739 s/./ 3 Koska vahtoehtosea hypoteesa o -suutae vahtoehto H : µ <, testsuuree t arvoa.739 vastaavaks p-arvoks saadaa esm. Mcrosoft Excel -ohjelmalla Pr(t.739) =.5 jossa t t(9). Ste ollahypotees H vodaa hylätä %: merktsevyystasolla, koska p =.5 <. Koska vahtoehtosea hypoteesa o -suutae vahtoehto H : µ <, merktsevyystasoa. vastaava krtte raja o t. =.46 sllä t-jakauma taulukode mukaa Pr(t.46) =. ku t t(9). Koska t =.739 <.46 = t. testsuuree t arvo.46 o osuut hylkäysalueelle ja ollahypotees H vodaa hylätä %: merktsevyystasolla ja vahtoehtoe hypotees H vodaa hyväksyä. Johtopäätös: Koe tekee auloja, jode keskmääräe ptuus o tlastollsest merktseväst tavotearvoa cm peemp. Tehtävä.. Kuulalaakertehtaassa o kaks samalasa kuulalaaker kuula valmstavaa koetta, K ja K. Koede valmstame kuule paot vahtelevat satuasest (ja tosstaa rppumatta) oudattae ormaaljakaumaa. Kummak koee valmstame kuule joukosta pomtaa tosstaa rppumattomat ykskertaset satuasotokset ja otokssta lasketaa otoksee pomttuje kuule paoje artmeettset keskarvot ja keskhajoat. Otokssta saadut tedot o aettu alla olevassa taulukossa. Ilkka Mell (8) 6/43
27 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Testaa ollahypoteesa, että koeet K ja K valmstavat keskmäär samapaosa kuula, ku vahtoehtosea hypoteesa o, että koede K ja K valmstame kuule keskpaot eroavat tosstaa. Käytä testssä %: merktsevyystasoa. Koe Artmeette keskarvo (g) Keskhajota (g) Otoskoko K.. 3 K.. Tehtävä.. Mtä opmme? Tehtävässä tarkastellaa kahde rppumattoma otokse t-testä. Tehtävä.. Ratkasu: Tehtaalla valmstetaa kuulalaaker kuula kahdella koeella K ja K. Koee K valmstame auloje joukosta pomtaa ykskertae satuasotos, joka koko = 3. Koee K valmstame auloje joukosta pomtaa (edellsestä rppumato) ykskertae satuasotos, joka koko =. Määrtellää satuasmuuttujat X = koee K tekemä kuula pao otoksessa, =,,, 3 X j = koee K tekemä kuula pao otoksessa, j =,,, Ylee hypotees H o muotoa: () X N( µ, σ ), =,,, 3 () X N( µ, σ ), j =,,, j (3) Havaot X ja X j ovat rppumattoma kaklle ja j Nollahypotees H o muotoa: H : µ = µ = µ Vahtoehtoe hypotees H o muotoa: H : µ µ Määrtellää seuraavat otossuureet: k X = X, k =, k k k = k k k k k = ( ) s + ( ) s p = + s = ( X X ), k =, s Kahde rppumattoma otokse odotusarvoje vertaluu o tarjolla kaks erlasta testsuuretta. Ilkka Mell (8) 7/43
28 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Testsuuretta t A = X X s s + vodaa käyttää kakssa tlatessa, jossa ylee hypotees H pätee. Jos ollahypotees H : µ = µ = µ pätee, testsuure t A oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa: t A a N(,) Pessä otoksssa testsuuree t A jakaumalle saadaa paremp approksmaato käyttämällä approksmaatoa Studet t-jakaumaa, jossa vapausastede lukumäärää käytetää lukua ν = s s + s + s Itsesarvoltaa suuret testsuuree t A arvot sotvat ollahypoteesa H : µ = µ = µ vastaa. Jos ollahypotees σ = σ = σ pätee, vodaa käyttää testsuuretta X X tb = sp + Jos hypotees σ = σ = σ lsäks ollahypotees H : µ = µ = µ pätee, testsuure t B oudattaa Studet t-jakaumaa vapausaste ( + ): t B t( + ) = t(49) Itsesarvoltaa suuret testsuuree t B arvot sotvat ollahypoteesa H : µ = µ = µ vastaa. Huomautus: Tehtyje oletukse pätessä t A oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest ormaaljakaumaa (ta t-jakaumaa), ku taas testsuuree t B jakauma o tarkka. Ilkka Mell (8) 8/43
29 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Jotta testsuuretta t B votas käyttää, o ss es testattava hypoteesa σ = σ = σ Tähä käytetää F-testsuuretta Jos hypotees s F = s σ = σ = σ pätee, testsuure F oudattaa Fsher F-jakaumaa vapausaste ( ) ja ( ): F F(, ) = F(3, 9) Sekä suuret että peet testsuuree F arvot sotvat hypoteesa σ = σ = σ vastaa. Huomautus: Käytettäessä F-jakauma taulukota kaattaa toma, että suuremp otosvarassesta asetetaa testsuuree osottajaa. Testataa ss es hypoteesa σ = σ = σ Tehtävä tapauksessa s =.4 s =. = 3 = jote = s.4 F = 4. = s Jos vahtoehtoseks hypoteesks valtaa -suutae vahtoehto σ > σ, testsuuree F arvoa 4 vastaavaks p-arvoks saadaa esm. Mcrosoft Excel -ohjelmalla Pr(F > 4) =.6 jossa F F(3, 9). Ste hypotees σ = σ = σ varasse yhtäsuuruudesta vodaa hylätä %: merktsevyystasolla, koska p =.6 <. Koska vahtoehtoseks hypoteesks valtt -suutae vahtoehto σ > σ, merktsevyystasoa. vastaava krtte raja o F. =.844 sllä F-jakauma taulukode mukaa Pr(F.844) =. ku F F(3, 9). Koska Ilkka Mell (8) 9/43
30 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset F = 4 >.844 testsuuree F arvo 4 o osuut hylkäysalueelle ja hypotees σ = σ = σ varasse yhtäsuuruudesta vodaa hylätä %: merktsevyystasolla ja vahtoehtoe hypotees σ > σ vodaa hyväksyä. Koska varasse yhtä suuruutta koskeva hypotees σ = σ = σ hylätt, käytämme testsuuretta t A ollahypotees H : µ = µ = µ testaamsee. Tehtävä tapauksessa X =. X =. s =.4 s =. = 3 = jote t A X X.. = = =.363 s.4. s Koska vahtoehtosea hypoteesa o -suutae vahtoehto H : µ µ, testsuuree t A arvoa.363 vastaavaks p-arvoks saadaa ormaaljakauma-approksmaatota käyttäe Pr(z >.363) = (.999) =.8 ku z N(,). Ste ollahypotees H jää vomaa %: merktsevyystasolla, koska p =.8 >. Jos käytämme t-jakauma-approksmaatota, vapausastede lukumääräks tulee s s + ν = = s s + jote käytämme vapausastede lukumäärää alaspä pyörstettyä lukua 46. Koska vahtoehtosea hypoteesa o -suutae vahtoehto H : µ µ, testsuuree t A arvoa.363 vastaavaks p-arvoks saadaa t-jakauma-approksmaatota käyttäe esm. Mcrosoft Excel -ohjelmalla Pr(t >.363) =. =. ku t t(46). Ste ollahypotees H jää vomaa %: merktsevyystasolla, koska p =. >. Ilkka Mell (8) 3/43
31 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Koska vahtoehtosea hypoteesa o -suutae vahtoehto H : µ µ, t-jakauma taulukosta saadaa %: merktsevyystasoa vastaavlle krttslle rajolle t.5 ja +t.5 saadaa arvot t.5 (.74,.678) +t.5 (+.678, +.74) Koska.678 < t A =.363 < testsuuree t A arvo.363 o osuut hyväksymsalueelle ja ollahypotees H jää vomaa %: merktsevyystasolla. Johtopäätös: Koede tekeme kuule keskmääräset paot evät pokkea tlastollsest merktseväst tosstaa. Huomaa kutek, että johtopäätös vahtus pävastaseks, jos test merktsevyystasoks ols valttu 5 %. Tehtävä.3. Eräässä kokeessa verratt kahta sademäärä mttauksee käytettävää latetta. Kummallak latteella mtatt sademäärät sadepävä akaa. Mttaustulokset (sademäärät mm:ä) o aettu alla olevassa taulukossa. Testaa hypoteesa, että mttart tuottavat keskmäär samoja mttaustuloksa, ku vahtoehtosea hypoteesa o, että mttart tuottavat keskmäär er mttaustuloksa. Käytä testssä %: merktsevyystasoa. Late A B Tehtävä.3. Mtä opmme? Tehtävässä tarkastellaa t-testä parvertalulle. Huomaa, että tehtävässä.. sovellettu rppumattome otokse t-test e ole yt luvalle, koska mttaustuloksa samasta sateesta e voda ptää rppumattoma. Jos latteet tomvat edes jossak määr luotettavast, lattee A ja lattee B ptää ataa samalle sateelle tosaa lähellä oleva mttaustuloksa, mkä merktsee stä, että mttaustulokslla o postve korrelaato; ks. myös tehtävää.4. Ilkka Mell (8) 3/43
32 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Tehtävä.3. Ratkasu: Jos sademäärä mttart A ja B tomvat edes jossak määr luotettavast, mttaustulokset rppuvat paretta tosstaa. Koska rppumattome otoste t-test soveltame e tällö ole luvallsta, tällasessa parvertaluasetelmassa tomtaa seuraavast: Määrätää havatoarvoje parkohtaset erotukset ja testataa ollahypoteesa, joka mukaa erotukset ovat keskmäär olla. Olkoot X A = satee sademäärä mttarlla A, =,,, X B = satee sademäärä mttarlla B, =,,, = X A X B, =,,, Ylee hypotees H o muotoa: () () µ σ, =,,, N(, ) Erotukset,,, ovat rppumattoma Nollahypotees H o muotoa: E( ) =, =,,, Sovelletaa yhde otokse t-testä mttaustuloste erotukslle. Testsuureea o t = s / jossa = = = ( ) = s Jos ollahypotees H pätee, testsuure t oudattaa Studet t-jakaumaa vapausaste ( ): t t( ) = t(9) Itsesarvoltaa suuret testsuuree t arvot johtavat ollahypotees hylkäämsee. Tehtävä tapauksessa = =.7 s =.46 Ste.7 t = = =.88 s /.4 / Koska vahtoehtosea hypoteesa o -suutae vahtoehto H: µ, testsuuree t arvoa.88 vastaavaks p-arvoks saadaa esm. Mcrosoft Excel -ohjelmalla Ilkka Mell (8) 3/43
33 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Pr(t <.88) =.86 jossa t t(9). Ste ollahypotees H jää vomaa merktsevyystasolla., koska p =.86 >. Huomaa, että ollahypotees H jää vomaa jopa merktsevyystasolla.. Koska vahtoehtosea hypoteesa o -suutae vahtoehto H: µ, merktsevyystasoa. vastaavat krttset rajat ovat t.5 = 3.5 +t.5 = +3.5 sllä t-jakauma taulukode mukaa Pr( t 3.5) =.5 ku t t(9). Koska 3.5 < t =.88 < +3.5 testsuuree t arvo.88 o osuut hyväksymsalueelle ja ollahypotees H jää vomaa %: merktsevyystasolla. Johtopäätös: Mttart A ja B äyttävät keskmäär samoja arvoja. Huomautus: Vodaa osottaa, että Cor(A-mttaus, B-mttaus) =.9997 mkä selväst osottaa otoste rppuvuude tosstaa. Tehtävä.4. Testattaessa erästä verepaelääkettä samoje potlade (8 kpl) verepae (s. yläpae) mtatt ee ja jälkee lääkkee auttmse. Koetulokset (verepaeet mm/hg) o estetty alla olevassa taulukossa. Testaa hypoteesa, että lääke e keskmäär alea verepaetta, ku vahtoehtosea hypoteesa o, että lääke keskmäär aletaa verepaetta. Käytä testssä %: merktsevyystasoa Jälkee Ee Tehtävä.4. Mtä opmme? Tehtävässä tarkastellaa t-testä parvertalulle. Ilkka Mell (8) 33/43
34 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Huomaa, että tehtävässä.. sovellettu rppumattome otokse t-test e ole yt luvalle, koska verepaemttauksa ee ja jälkee lääkkee atamse e voda ptää rppumattoma. O luultavaa, että potlalla, jolla o keskmäärästä korkeamp (matalamp) verepae ee lääkkee atoa o keskmäärästä korkeamp (matalamp) verepae myös lääkkee ao jälkee; ts. mttaustulokslla ee ja jälkee lääkkee atamse o luultavast postve korrelaato; ks. myös tehtävää.3. Tehtävä.4. Ratkasu: O todeäköstä, että verepaemttaukset ee ja jälkee lääkkee atamse rppuvat tosstaa. Koska rppumattome otoste t-test soveltame e tällö ole luvallsta, tällasessa parvertaluasetelmassa tomtaa seuraavast: Määrätää havatoarvoje parkohtaset erotukset ja testataa ollahypoteesa, joka mukaa erotukset ovat keskmäär olla. Olkoot X E = potlaa verepae ee lääkkee atamsta, =,,, 8 X J = potlaa verepae ee lääkkee atamsta, =,,, 8 = X E X J, =,,, 8 Ylee hypotees H o muotoa: () () µ σ, =,,, 8 N(, ) Erotukset,,, 8 ovat rppumattoma Nollahypotees H o muotoa: E( ) =, =,,, 8 Sovelletaa yhde otokse t-testä mttaustuloste erotukslle. Testsuureea o t = s / jossa = = = ( ) = s Jos ollahypotees H pätee, testsuure t oudattaa Studet t-jakaumaa vapausaste ( ): t t( ) = t(7) Itsesarvoltaa suuret testsuuree t arvot johtavat ollahypotees hylkäämsee. Tehtävä tapauksessa = 8 = 4.5 s = 6.6 Ilkka Mell (8) 34/43
35 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Ste 4.5 t = = = 3.3 s / 4.7/ 8 Koska vahtoehtosea hypoteesa o -suutae vahtoehto H: µ >, testsuuree t arvoa 3.3 vastaavaks p-arvoks saadaa esm. Mcrosoft Excel -ohjelmalla Pr(t > 3.3) =.83 jossa t t(7). Ste ollahypotees H vodaa hylätä merktsevyystasolla., koska p =.83 <. Koska vahtoehtosea hypoteesa o -suutae vahtoehto H: µ >, merktsevyystasoa. vastaava krtte raja o +t. =.998 sllä t-jakauma taulukode mukaa Pr( t.998) =. ku t t(7). Koska t = 3.3 >.998 ollahypotees H vodaa hylätä %: merktsevyystasolla ja vahtoehtoe hypotees H hyväksyä. Johtopäätös: Lääkkeellä o tlastollsest merktseväst keskmäärästä verepaetta aletava vakutus. Tehtävä.5. Tuottee valmstaja vättää, että se tuottesta korketaa 5 % o vallsa. Asakas pom slle tomtettuje tuottede joukosta otokse, joka koko o ja löytää 9 vallsta tuotetta. Oko valmstaja väte okeutettu? Testaa ollahypoteesa, että valmstaja väte o okeutettu, ku vahtoehtosea hypoteesa o, että vallste suhteelle osuus o suuremp ku valmstaja vättämä 5 %. Käytä testssä %: merktsevyystasoa. Tehtävä.5. Mtä opmme? Tehtävässä tarkastellaa testä suhteellselle osuudelle. Tehtävä.5. Ratkasu: Tuottee valmstaja vättää, että se tuottesta korketaa 5 % o vallsa. Asakas pom slle tomtettuje tuottede joukosta otokse, joka koko o ja löytää 9 vallsta tuotetta. Oko valmstaja väte okeutettu? Olkoo A = Tuote o valle Ilkka Mell (8) 35/43
36 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Tuottee valmstaja mukaa Pr(A) = p =.5 Määrtellää rppumattomat satuasmuuttujat Tällö X X Ber(p) Asetetaa ollahypotees H : p = p =.5 Määrtellää testsuure pˆ p z = p( p) jossa, jos. tarkastettu tuote o valle =, jos. tarkastettu tuote e ole valle = Tarkastettavaks pomttuje tuottede lukumäärä ˆp = Vallste tuottede suhteelle osuus tarkastettuje joukossa Jos ollahypotees H pätee, testsuure z oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa: z a N(,) Tehtävässä jote = pˆ = 9 / =.95 z pˆ p.95.5 = = = p( p).5(.5) Koska vahtoehtosea hypoteesa o -suutae vahtoehto H : p >.5, testsuuree arvoa z arvoa.9 vastaavaks p-arvoks saadaa ormaaljakauma taulukosta Pr(z >.9) =.8 Ste havaot ssältävät vomakasta evdessä ollahypoteesa H vastaa; ollahypotees H vodaa hylätä %: merktsevyystasolla. Koska vahtoehtosea hypoteesa o -suutae vahtoehto H : p >.5, merktsevyystasoa. vastaava krtte raja o +z. = +.33 sllä ormaaljakauma taulukode mukaa.9 Ilkka Mell (8) 36/43
37 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Koska Pr( z.33) =. z =.9 >.33 testsuuree z arvo.9 o osuut hylkäysalueelle ja ollahypotees H vodaa hylätä %: merktsevyystasolla ja vahtoehtoe hypotees H vodaa hyväksyä. Johtopäätös: Vallste suhteelle osuus o tlastollsest merktseväst valmstaja lmottamaa arvoa suuremp. Tehtävä.6. 6 erääsee vakavaa taut sarastuutta potlasta jaett satuasest kahtee ryhmää A ja B, jossa kummassak ol 3 potlasta. Ryhmälle A aett taut kehtettyä uutta lääkettä ja ryhmälle B paljo käytettyä vahaa lääkettä. (a) Ryhmässä A taudsta para 95 potlasta ja ryhmässä B 5 potlasta. Suosttelstko uude lääkkee ottamsta käyttöö koetulokse perusteella? (b) Ryhmässä A taudsta para 5 potlasta ja ryhmässä B 95 potlasta. Suosttelstko uude lääkkee ottamsta käyttöö koetulokse perusteella? Tehtävä.6. Mtä opmme? Tehtävässä tarkastellaa suhteellste osuukse vertalutestä rppumattomlle otokslle. Tehtävä.6. Ratkasu: 6 erääsee vakavaa taut sarastuutta potlasta jaett satuasest kahtee ryhmää A ja B, jossa kummassak ol 3 potlasta. Ryhmälle A aett taut kehtettyä uutta lääkettä ja ryhmälle B paljo käytettyä vahaa lääkettä. (a) Ryhmässä A taudsta para 95 potlasta ja ryhmässä B 5 potlasta. Jos uus lääke parataa vähemmä potlata ku vaha lääke, e tlastollsta testausta tarvta se johtopäätökse tekemseks, että tämä kokee perusteella uutta lääkettä e kaata ottaa käyttöö. Se sjaa, jos uus lääke parataa eemmä potlata ku vaha lääke, o testaus tarpee, jotta saadaa selvlle oko paratuede määrä lsäätymstä pdettävä sattumavarasea el otosvahtelusta johtuvaa va e. (b) Ryhmässä A taudsta para 3:sta potlaasta 5 ja ryhmässä B para 3:sta potlaasta 95. Olkoo A = Potlas paraee Ilkka Mell (8) 37/43
38 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset ja Pr(A) = p, jos potlas kuuluu ryhmää A Pr(A) = p, jos potlas kuuluu ryhmää B Määrtellää rppumattomat satuasmuuttujat jossa X k, jos. potlas paraee ryhmässä k =, jos. potlas e parae ryhmässä k =,,,, k =, k = ryhmä A k = ryhmä B Tällö X k Ber(p k ), k =, Asetetaa ollahypotees H : p = p Määrtellää testsuure z = pˆ pˆ pˆ( pˆ) + Testsuuree lausekkeessa ja k = Potlade lukumäärä ryhmässä A ˆp = Paratuede suhteelle osuus ryhmässä A = Potlade lukumäärä ryhmässä B ˆp = Paratuede suhteelle osuus ryhmässä B ˆp = Paratuede suhteelle osuus kakke potlade joukossa Huomaa, että ˆp = f / jossa ja ˆp = f / f = Paratuede lukumäärä ryhmässä A f = Paratuede lukumäärä ryhmässä B Ilkka Mell (8) 38/43
39 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset f + f pˆ + pˆ pˆ = = + + Jos ollahypotees H pätee, testsuure z oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa: z a N(,) Tehtävässä = 3 pˆ = 5/ 3 =.75 = 3 pˆ = 95/ 3 =.65 jote Ste pˆ + pˆ p = = = ˆ z pˆ pˆ = = = pˆ( pˆ) +.7(.7) Jos vahtoehtosea hypoteesa o -suutae vahtoehto H:p > p, testsuuree z arvoa.67 vastaavaks p-arvoks saadaa ormaaljakauma taulukosta Pr(z >.67) =.38 Ste aesto ssältää vomakasta evdessä ollahypoteesa H vastaa; ollahypotees H vodaa hylätä %: merktsevyystasolla. Jos vahtoehtosea hypoteesa o -suutae vahtoehto H:p > p, merktsevyystasoa. vastaava krtte raja o +z. = +.3 sllä ormaaljakauma taulukode mukaa Pr( z.33) =. Koska z =.67 >.33 testsuuree z arvo o osuut hylkäysalueelle ja ollahypotees H vodaa hylätä %: merktsevyystasolla ja vahtoehtoe hypotees H vodaa hyväksyä..67 Johtopäätös: Uude lääkkee käyttööotto o perusteltua, koska paratuede suhteelle osuus o uutta lääkettä saaede joukossa tlastollsest merktseväst vahaa lääkettä saaede osuutta suuremp. Ilkka Mell (8) 39/43
40 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Tehtävä.7. Alueella A 3:sta satuasotoksee pomtusta ääokeutetusta 56 % kaatt ehdokasta X, ku taas alueella B :sta satuasotoksee pomtusta ääokeutetusta 48 % kaatt ehdokasta X. Muodosta test ollahypoteeslle, että kaatukset evät aluella A ja B eroa tosstaa. Testaa ollahypoteesa 5 %: merktsevyystasolla, ku vahtoehtosea hypoteesa o (a) X: kaatus o alueella A suurempaa ku alueella B. (b) X: kaatus eroaa aluella A ja B. Tehtävä.7. Mtä opmme? Tehtävässä tarkastellaa suhteellste osuukse vertalutestä rppumattomlle otokslle. Tehtävä.7. Ratkasu: Alueella A ehdokasta X kaatt 3:sta ääokeutetusta 56 % ja alueella B ehdokasta X kaatt :sta ääokeutetusta 48 %. Olkoo A = Ääokeutettu kaattaa ehdokasta X ja Pr(A) = p, jos ääokeutettu kuuluu alueesee A Pr(A) = p, jos ääokeutettu kuuluu alueesee B Määrtellää rppumattomat satuasmuuttujat jossa Tällö X k, jos. ääokeutettu otoksessa kaattaa ehdokasta X alueella k =, jos. ääokeutettu otoksessa e kaata ehdokasta X alueella k =,,,, k =, k = alue A k = alue B X k Ber(p k ), k =, Asetetaa ollahypotees H : p = p Määrtellää testsuure z = pˆ pˆ pˆ( pˆ) + k Ilkka Mell (8) 4/43
41 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Testsuuree lausekkeessa ja = Otoskoko alueella A ˆp = Ehdokas X: kaattaje suhteelle osuus otoksessa alueelta A = Otoskoko alueella B ˆp = Ehdokas X: kaattaje suhteelle osuus otoksessa alueelta B ˆp = Ehdokas X: kaattaje suhteelle osuus otoksessa, joka saadaa yhdstämällä otokset aluelta A ja B Huomaa, että ˆp = f / jossa ja ˆp = f / f = Ehdokas X: kaattaje lukumäärä otoksessa alueelta A f = Ehdokas X: kaattaje lukumäärä otoksessa alueelta B f + f pˆ + pˆ pˆ = = + + Jos ollahypotees H pätee, testsuure z oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa: z a N(,) Tehtävässä A = 3 pˆa =.56 B = pˆ =.48 jote Ste B ApˆA + BpˆB pˆ = = = A B pˆ A pˆ B z = = =.76 pˆ( pˆ) +.53(.53) + 3 A B Ilkka Mell (8) 4/43
42 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset (a) Jos vahtoehtosea hypoteesa o ykssuutae vahtoehto H : p > p, testsuuree z arvoa.76 vastaavaks p-arvoks saadaa ormaaljakauma taulukosta Pr(z >.76) =.39 <.5 jote ollahypotees H vodaa hylätä 5 %: merktsevyystasolla. Jos vahtoehtosea hypoteesa o ykssuutae hypotees vahtoehto H : p > p, merktsevyystasoa.5 vastaavaks krttseks rajaks saadaa +z.5 =.65 sllä ormaaljakauma taulukode mukaa Pr( z.65) =.5 Koska z =.76 >.65 testsuuree z arvo.76 o osuut hylkäysalueelle ja ollahypotees H vodaa hylätä 5 %: merktsevyystasolla ja vahtoehtoe hypotees H vodaa hyväksyä. Johtopäätös: X: kaatus o test mukaa suurempaa alueella A ku alueella B. (b) Jos vahtoehtosea hypoteesa o kakssuutae vahtoehto H : p p, testsuuree z arvoa.76 vastaavaks p-arvoks saadaa ormaaljakauma taulukosta Pr(z >.76) =.39 =.784 >.5 jote ollahypotees H jää vomaa 5 %: merktsevyystasolla. Jos vahtoehtosea hypoteesa o kakssuutae vahtoehto H : p p, merktsevyystasoa.5 vastaavaks krttseks rajaks saadaa +z.5 =.96 sllä ormaaljakauma taulukode mukaa Pr( z.96) =.5 Koska z =.76 <.96 testsuuree z arvo o osuut hyväksymsalueelle ja ollahypoteesa H e voda hylätä 5 %: merktsevyystasolla. Johtopäätös: Nollahypoteesa stä, että X: kaatus o aluella A ja B yhtä suurta e voda hylätä. Huomautus: Vahtoehtose hypotees muoto o tässä tapauksessa vakuttaut test tuloksee. Ilkka Mell (8) 4/43
43 Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Huomautuksa tlastollsesta testauksesta: () Test tulos el se, hylätääkö test ollahypotees va jätetääkö se vomaa, rppuu sekä valtusta merktsevyystasosta että vahtoehtose hypotees muodosta. () Käytäö tutkmuksessa apuas e ole lueotsjaa, joka atas sulle ollahypotees ta vahtoehtose hypotees muodo ja testssä käytettävä merktsevyystaso. () Tlasto-ohjelmstot tulostavat ykyää tavallsest testsuuree arvo ja stä vastaava p-arvo (ta testsuuree arvoa vastaava hätätodeäkösyyde). Tällö tutkja joutuu päättämää suoraa test p-arvo perusteella hylkääkö hä ollahypotees va e. (v) Merktsevyystaso valta ta ollahypotees hylkäämsee johtava kyysarvo valta p- arvolle ovat valtoja, joh o aettava vakuttaa myös se, mtä seurauksa o ollahypotees hylkäämsestä ta ollahypotees jäämsestä vomaa. Ilkka Mell (8) 43/43
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Avainsanat:
MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 Aheet: Tlastollset testt Avasaat: Artmeette keskarvo Beroull-jakauma
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat:
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Otos ja otosjakaumat Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, χ -jakauma, Frekvess, Frekvessjakauma,
LisätiedotMTTTP1 SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN
MTTTP SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN Aesto kaavoje () (3), (9) ja () esmerkkeh Lepakot pakallstavat hyötesä lähettämällä korkeataajusta äätä Ne pystyvät pakallstamaa hyöteset
Lisätiedot2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Tilastolliset testit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma,
LisätiedotMat Tilastollinen päättely 7. harjoitukset / Tehtävät. Hypoteesien testaus. Avainsanat:
Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset / Tehtävät Aheet: Avansanat: ypoteesen testaus. lajn vrhe,. lajn vrhe, arhaton test, ylkäysalue, ylkäysvrhe, ypotees,
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:
Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Estmot Estmotmeetelmät Välestmot Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, Estmaatt, Estmaattor,
Lisätiedot1.4. Aritmeettisen keskiarvon otosjakauma: Suurten otosten tuloksia
Tlastolle päättely. Otosjakaumat Tlastolle päättely. Otosjakaumat.. Otos, otostuusluvut ja de otosjakaumat Arvota, Havato, Havatoarvo, Otos, Otosjakauma, Otostuusluku, Rppumattomuus, Satuasmuuttuja, Satuasotos,
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemaalyys laboratoro Mat-.9 Sovellettu todeäkösyyslasku A Nordlud Harjotus 8 (vko 45/3) (Ahe: Raja-arvolauseta, otostuuslukuja, johdatusta estmot, Lae luvut 9.5,.-.6). Olkoo X ~ p(λ), mssä λ
LisätiedotVarianssianalyysi. Varianssianalyysi. Varianssianalyysi. Varianssianalyysi: Mitä opimme? Varianssianalyysi: Johdanto
TKK (c Ila Mell (004 Varassaalyys Varassaalyys: Johdato Johdatus tlastoteteesee Varassaalyys TKK (c Ila Mell (004 Varassaalyys: Mtä opmme? Tarastelemme tässä luvussa seuraavaa ysymystä: Mte tavaomae ahde
LisätiedotKonvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mell (004) Kovergesskästteet ja raja-arvolauseet Kovergesskästtetä Suurte lukuje lat Keskee raja-arvolause Keskese raja-arvolausee seurauksa Johdatus todeäkösyyslasketaa Kovergesskästteet
Lisätiedot1.2. Aritmeettisen keskiarvon ja otosvarianssin otosjakaumat: Odotusarvot ja varianssit
Tlastolle päättely. Otosjakaumat Tlastolle päättely. Otosjakaumat.. Otos, otostuusluvut ja de otosjakaumat Arvota, Havato, Havatoarvo, Otos, Otosjakauma, Otostuusluku, Rppumattomuus, Satuasmuuttuja, Satuasotos,
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estimointi. 4. Otokset ja otosjakaumat 5. Estimointi 6. Estimointimenetelmät 7.
Tlastollset meetelmät Otokset, otosjakaumat ja estmot Tlastollset meetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estmot 4. Otokset ja otosjakaumat 5. Estmot 6. Estmotmeetelmät 7. Välestmot Ilkka Mell 5 Tlastollset
LisätiedotTilastollinen päättely. 4. Hypoteesien testaus Johdanto Testien konstruointi Testien vertailu
Mat.36 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus 4.. Johdato Hylkäysalue, Hypotees, Hyväksymsalue, Krtte alue, Nollahypotees, Otos, Parametr, Parametravaruus, Perusjoukko,
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemaalyys laboratoro Mat-.090 Sovellettu todeäkösyyslasku A Nordlud Harotus (vko 49/003) (Ahe: Tlastollsa testeä, regressoaalyysä Lae luvut 5.5, 6) HUOM! Laskarede palautukse takaraa o pokkeuksellsest
LisätiedotTilastollinen päättely. 4. Hypoteesien testaus Johdanto Testien konstruointi Testien vertailu
Mat-1.361 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus 4.1. Johdato Hylkäysalue, Hypotees, Hyväksymsalue, Krtte alue, Nollahypotees, Otos, Parametr, Parametravaruus,
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotMat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. Avainsanat:
Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset / Ratkasut Aheet: Avasaat: Yhde selttäjä leaare regressomall Artmeette keskarvo, Estmaatt,
LisätiedotTKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/24
Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Mtta-astekot Havatoaesto kuvaame ja otostuusluvut Avasaat: Artmeette keskarvo, Frekvess, Frekvessjakauma,
LisätiedotGeneroidaan tiedostoon BINORM satunnaislukuja jakaumasta N(0,1) muuttujiksi U, V: (U, V): N 2 (0, 0, 1, 1, 0)
Mat-2.04 Tlastollse aalyys perusteet / Ratkasut Aheet: Avasaat Korrelaato ja assosaato Hypotees, Järjestyskorrelaatokertomet, χ 2 -rppumattomuustest, Korrelaatokerro, Pstedagramm, Päätössäätö, Nollahypotees,
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 6
Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 6 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 6 Aheet: Tlastolle rppuvuus ja korrelaato Yhde selttäjä leaare regressomall Regressoaalyys
Lisätiedoton tavanomainen yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli, jossa jäännöstermit ε i toteuttavat seuraavat oletukset:
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 5. harjotukset Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 5. harjotukset / Ratkasut Aheet: Avasaat: Yhde selttäjä leaare regressomall Ylee leaare mall Artmeette keskarvo,
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 4
MS-A Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Vkko Tlastollste aestoje kerääme ja mttaame; tlastollste aestoje kuvaame; Otokset ja otosjakaumat; Estmot; Estmotmeetelmät; Vällestmot Mtä tlastotede o?
LisätiedotKokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Mell (2004) Kokoastodeäkösyys ja Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta Johdatus todeäkösyyslasketaa Kokoastodeäkösyys ja TKK (c) Ilkka
Lisätiedot= E(Y 2 ) 1 n. = var(y 2 ) = E(Y 4 ) (E(Y 2 )) 2. Materiaalin esimerkin b) nojalla log-uskottavuusfunktio on l(θ; y) = n(y θ)2
HY / Matematka ja tlastotetee latos Tlastolle päättely II, kevät 28 Harjotus 3A Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoot Y,, Y ja Nθ, ) Osota, että T T Y) Y 2 o parametr gθ) θ 2 harhato estmaattor Laske
LisätiedotIlkka Mellin. Sovellettu todennäköisyyslasku: Kaavat ja taulukot
Mat-.09 Sovellettu todeäkösyyslasku Systeemaalyys laboratoro Teklle korkeakoulu SYKSY 00 Ilkka Mell Sovellettu todeäkösyyslasku: Kaavat ja taulukot f XY x X x X y Y ( x, y) exp XY ( XY ) XY XY X X Y Tomttaut
LisätiedotMat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Mat-.09 Sovellettu todeäköiyylaku 0. harjoituket / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Aritmeettie kekiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-teti,
Lisätiedot2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
MS-A53 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Yhde otokse t-testi Testausasetelma yhde otokse t-testissä odotusarvolle Olkoo X i, i =,,, riippumato
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
LisätiedotTilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Mell (4) Tlastolle rppuvuus ja korrelaato Tlastolle rppuvuus, korrelaato ja regresso Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Järjestyskorrelaatokertomet
LisätiedotMuuttujien välisten riippuvuuksien analysointi
Mat-.4 Tlastollse aalyys peusteet, kevät 7 5. lueto: Tlastolle ppuvuus ja koelaato Muuttuje välste ppuvuukse aalysot Tlastollsssa aalyysessä tutktaa use muuttuje välsä ppuvuuksa Työttömyysastee ppuvuus
LisätiedotTilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastolliset aineistot
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 4 Aheet: Tlastollste aestoje kerääme ja mttaame Tlastollste aestoje kuvaame Otokset
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 2
Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma Aheet: Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Kertymäfukto Jakaume tuusluvut Dskreettejä jakauma Jatkuva jakauma Avasaat: Bomjakauma Desl Dskreett
LisätiedotIlkka Mellin (2006) 1/1
Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Mtta-astekot Havatoaesto kuvaame ja otostuusluvut Avasaat: Artmeette keskarvo, Frekvess, Frekvessjakauma,
LisätiedotTestit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Melli (4) Testit suhdeasteikollisille muuttujille Johdatus tilastotieteesee Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit ormaalikauma parametreille Yhde otokse t-testi Kahde otokse t-testi
LisätiedotTilastollinen päättely. 2. Datan redusoinnin periaatteet Tyhjentävyys Uskottavuus
Mat.36 Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet.. Tyhjetävyys Asllaarsuus, Basu teoreema, Data redusot, Faktorotteoreema, Iformaato, Mmaale tyhjetävyys, Otos,
LisätiedotTilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1
Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotTilastollinen päättely. 3. Piste estimointi Johdanto Estimointimenetelmät Estimaattoreiden ominaisuudet
Mat.36 Tlastolle päättely 3. Pste estmot Tlastolle päättely 3. Pste estmot 3.. Johdato Estmaattor, Estmaatt, Estmot, Havato, Havatopste, Otos, Otostuusluku, Parametr, Pste estmot, Pstetodeäkösyysfukto,
LisätiedotTilastollinen riippuvuus ja korrelaatio
Tlastollset meetelmät Osa 4: Leaare regressoaalyys Tlastolle rppuvuus ja korrelaato KE (204) Tlastolle rppuvuus ja korrelaato >> Tlastolle rppuvuus, korrelaato ja regresso Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame
Lisätiedot1. (Monisteen teht. 5.16) Eräiden kuulalaakereiden kestoa (miljoonaa kierrosta) on totuttu kuvaamaan Weibull-jakaumalla, jonka tiheysfunktio on
HY MTO / Matemaattste tetede kadohjelma Tlastolle päättely II kevät 019 Harjotus 7B Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I 1 Mostee teht 516 Eräde kuulalaakerede kestoa mljooaa kerrosta o totuttu kuvaamaa Webull-jakaumalla
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 7B Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattste tetede kadohjelma Tlastolle päättely II, kevät 208 Harjotus 7B Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoo Y, Y rppumato otos Pareto jakaumasta, fy; θ θc θ y θ+ { y > c } tuetulla vakolla
LisätiedotTilastollinen päättely. 2. Datan redusoinnin periaatteet Tyhjentävyys Uskottavuus
Mat-1.361 Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet.1. Tyhjetävyys Asllaarsuus, Basu teoreema, Data redusot, Faktorotteoreema, Iformaato, Mmaale tyhjetävyys,
LisätiedotTilastollinen päättely. 3. Piste-estimointi Johdanto Estimointimenetelmät Estimaattoreiden ominaisuudet
Mat-1.361 Tlastolle päättely 3. Pste-estmot Tlastolle päättely 3. Pste-estmot 3.1. Johdato Estmaattor, Estmaatt, Estmot, Havato, Havatopste, Otos, Otostuusluku, Parametr, Pste-estmot, Pstetodeäkösyysfukto,
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotMat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit
Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket / Ratkaut Aheet: Avaaat: Tlatollte aetoje kuvaame Oto otokaumat Etmot Etmotmeetelmät Väletmot Artmeette kekarvo,
Lisätiedot10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut
10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.04 Tlastollsen analyysn perusteet, evät 007. luento: Johdatus varanssanalyysn S ysteemanalyysn Laboratoro Ka Vrtanen Kertaus: ahden rppumattoman otosen t-test () () Perusjouo oostuu ahdesta ryhmästä
Lisätiedot8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.204 Tlastollsen analyysn perusteet, kevät 2007 5. luento: Tlastollnen rppuvuus ja korrelaato Ka Vrtanen Muuttujen välsten rppuvuuksen analysont Tlastollsssa analyysessä tutktaan usen muuttujen välsä
LisätiedotLohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4
TKK (c) lkka Melln (005) Koesuunnttelu TKK (c) lkka Melln (005) : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Mten varanssanalyysssa tutktaan yhden tekän vakutusta vastemuuttujaan, kun
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan
Lisätiedot9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli
Ssältö Kertausta: ykskertae lkeeteoreette mall M/M/-PS asakasta palvelja asakaspakkaa M/M/-PS asakasta palveljaa asakaspakkaa Sovellus elastse datalketee malltamsee vuotasolla M/M//k/k-PS k asakasta palvelja
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 11 (vko 48/003) (Aihe: Tilastollisia testejä, Laininen luvut 4.9, 15.1-15.4, 15.7) Nordlund 1. Kemiallisen prosessin
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Tlastollset meetelmät Otokset, otosjakaumat ja estmot Tlastollset meetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estmot 4. Otokset ja otosjakaumat 5. Estmot 6. Estmotmeetelmät 7. Välestmot TKK @ Ilkka Mell (006)
Lisätiedot9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli
lueto9.ppt S-38.45 Lkeeteora perusteet Kevät 5 Ykskertae lkeeteoreette mall Puhdas jakojärjestelmä Asakkata saapuu keskmäär opeudella asakasta per akayks. / keskmääräe asakkade välaka Asakkata palvellaa
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.4 Tlastollse aals perusteet, evät 7 8. lueto: Usea selttää leaare regressomall Usea selttää leaare regressomall Seltettävä muuttua havattue arvoe vahtelu halutaa selttää selttäve muuttue havattue
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Lineaarinen regressioanalyysi
Tlastollset meetelmät Leaare regressoaals Tlastollset meetelmät: Leaare regressoaals 3. Tlastolle rppuvuus ja korrelaato 4. Johdatus regressoaals 5. Yhde selttäjä leaare regressomall 6. Ylee leaare mall
LisätiedotYhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen. Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen
TKK () Ila Mell (004) Yhteesopvuude, hoogeesuude a rppuattouude testaae Johdatus tlastoteteesee Yhteesopvuude, hoogeesuude a rppuattouude testaae TKK () Ila Mell (004) Yhteesopvuude, hoogeesuude a rppuattouude
LisätiedotLuento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät
Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu Matematka a systeemaalyys latos Lueto 6 Luotettavuus Koherett ärestelmät Aht Salo Systeemaalyys laboratoro Matematka a systeemaalyys latos Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu
LisätiedotTuringin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään
4 TUINGIN KONEET Ala Turg 1935 36 auha Koe vo srtää auha: T U I N G auhapää: ohjausykskkö: Turg koe o ku äärelle automaatt, jolla o käytössää auhapäätä vasemmalle ta okealle; se vo myös lukea ta krjottaa
Lisätiedot1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä
Johdatus dskreettn matematkkaan Harjotus 3, 30.9.2015 1. Luvut 1, 10 on latettu ympyrän kehälle. Osota, että löytyy kolme verekkästä lukua, joden summa on vähntään 17. Ratkasu. Tällasa kolmkkoja on 10
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Lineaarinen regressioanalyysi
Tlastollset meetelmät Leaare regressoaalyys Tlastollset meetelmät: Leaare regressoaalyys 3. Tlastolle rppuvuus ja korrelaato 4. Johdatus regressoaalyys 5. Yhde selttäjä leaare regressomall 6. Ylee leaare
LisätiedotHarjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
LisätiedotTodennäköisyyden aksioomat. Todennäköisyyden aksioomat. Todennäköisyyden aksioomat: Mitä opimme? 2/2. Todennäköisyyden aksioomat: Mitä opimme?
TKK () Ilkka Mell (2004) 1 Todeäkösyyde aksoomat Suhteelle rekvess, klasse todeäkösyys ja ehdolle todeäkösyys Johdatus todeäkösyyslasketaa Todeäkösyyde aksoomat TKK () Ilkka Mell (2004) 2 Todeäkösyyde
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma
Lisätiedot¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi.
10.11.2006 1. Pituushyppääjä on edellisenä vuonna hypännyt keskimäärin tuloksen. Valmentaja poimii tämän vuoden harjoitusten yhteydessä tehdyistä muistiinpanoista satunnaisesti kymmenen harjoitushypyn
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman
Lisätiedot13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit
68 3. Leaarset esmmäse kertaluvu dfferetaalsysteemt Tarkastelemme systeemejä () x () t = A() t x() t + b () t, jossa matrs A kertomet ja b ovat välllä I jatkuva. Jatkuve vektorarvoste fuktode avaruutta
Lisätiedot7.5. Yleinen lineaarinen malli ja suurimman uskottavuuden menetelmä
Mat.36 Tlastolle päättely 7. Suurmma uskottavuude meetelmä ja asymptootte teora Tlastolle päättely 7. Suurmma uskottavuude meetelmä ja asymptootte teora 7.. Suurmma uskottavuude estmotmeetelmä Akasarja,
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut
Lisätiedot1. PARAMETRIEN ESTIMOINTI
Mat-.04 Tlastollse aalyys perusteet Mat-.04 Tlastollse aalyys perusteet / Ratkasut Aheet: Avasaat: Yhde selttäjä leaare regressomall Estmaatt, Estmaattor, Estmot, Jääöselösumma, Jääösterm, Jääösvarass,
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastolliset testit Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet testauksessa
LisätiedotTilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (4) : Mitä opimme? 1/5 Tilastollisessa tutkimuksessa tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään tavallisesti väitteitä
LisätiedotMoniulotteiset jakaumat ja havaintoaineistot
Momuuttujameetelmät: Ilkka Mell. Moulotteset jakaumat.. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat.. Yhtesjakaumat.3. Reuajakaumat ja satuasmuuttuje rumattomuus.4. Ehdollset jakaumat.5. Yhtesjakaume tuusluvut.6.
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit
Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille.
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
LisätiedotKynä-paperi -harjoitukset. Taina Lehtinen Taina I Lehtinen Helsingin yliopisto
Kynä-paper -harjotukset Tana Lehtnen 8.8.07 Tana I Lehtnen Helsngn ylopsto Etelä-Suomen ja Lapn lään, 400 opettajaa a. Perusjoukon (populaaton) muodostvat kakk Etelä-Suomen ja Lapn läänn peruskoulun opettajat
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille. Testit laatueroasteikollisille muuttujille. Testit laatueroasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Melli (24) Johdtus tilstotieteesee TKK (c) Ilkk Melli (24) 2 : Mitä opimme? Trkstelemme tässä luvuss seurvi ltuerosteikolliste muuttujie testejä: Testukse kohtee testeissä o Beroulli-jkum
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat:
Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Otos- ja otosjakaumat Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma,
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2007) Estimoitimeetelmät >> Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Suurimma uskottavuude
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu
LisätiedotTestaa onko lämpökäsittelyllä vaikutusta tankojen keskimääräiseen vetolujuuteen.
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset / Ratasut Aheet: Avasaat: Yssuutae varassaals Artmeette esarvo, Bartlett test, Box ja Whser
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten
LisätiedotMonte Carlo -menetelmä
Monte Carlo -menetelmä Helumn perustlan elektron-elektron vuorovakutuksen laskemnen parametrsodulla yrteaaltofunktolla. Menetelmän käyttökohde Monen elektronn systeemen elektronkorrelaato oteuttamnen mulla
LisätiedotTILASTOMATEMATIIKKA I
TILASTOMATEMATIIKKA I Srkku Parvae 1. JOHDANTO MIHIN TILASTOTIEDETTÄ TARVITAAN? suure havatomäärä (data) keräämsee, tetoje tvstämsee ja kuvaluu (deskrptvset meetelmät, data-aalyys) johtopäätöste tekemsee
LisätiedotTilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 5b
Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus b Heikki Korpela 3. helmikuuta 07 Tehtävä. a Olkoot Y,..., Y Bθ. Johda uskottavuusosamäärä testisuuree ry, Waldi testisuuree wy ja Rao pistemäärätestisuuree uy
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset
Lisätiedot1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä
Lisätiedotχ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,
LisätiedotTILASTOMATEMATIIKKA I
TILASTOMATEMATIIKKA I Srkku Parvae 1. JOHDANTO MIHIN TILASTOTIEDETTÄ TARVITAAN? suure havatomäärä (data) keräämsee, tetoje tvstämsee ja kuvaluu (deskrptvset meetelmät, data-aalyys) johtopäätöste tekemsee
Lisätiedot