Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Transkriptio

1 Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä. Olkoon O parittomien kokonaislukujen joukko. O- soita, että (O, ) on ryhmän (Z, ) aliryhmä. Ratkaisu. Käydään ryhmän ehdot läpi yksi kerrallaan. (G0): Laskutoimitus on kokonaisluvuille määritelty laskutoimitus, joten ehto toteutuu triviaalisti. Tämä on myös helppo nähdä siitä, että kolmen kokonaisluvun summa on myös kokonaisluku. (G1): Harjoituksen 2 tehtävässä 1 osoitettiin, että annettu laskutoimitus on liitännäinen. (G2): Harjoituksen 2 tehtävässä 1 osoitettiin myös, että annetun laskutoimituksen neutraalialkio on 5. (G3): Olkoon x Z. Alkio y Z on alkion x käänteisalkio, mikäli yhtälö x y = y x = 5 toteutuu. Koska harjoituksen 2 tehtävässä 1 osoitettiin, että laskutoimitus on myös vaihdannainen, yhtälön x y = 5 toteutuminen riittää. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että x + y + 5 = 5 x + y = 10 y = x 10. Siten alkion x Z käänteisalkio on x 10. Koska pari (Z, ) toteuttaa ehdot (G0)-(G3), se on ryhmä. Harjoituksen 2 tehtävässä 1 osoitettiin, että myös ehto (G4) toteutuu, joten kyseessä on Abelin ryhmä. Osoitetaan nyt käymällä aliryhmän ehdot läpi yksitellen, että parittomien kokonaislukujen joukko O Z varustettuna laskutoimituksella on ryhmän (Z, ) aliryhmä. 1

2 (H1): Olkoon a, b O. Koska a ja b ovat parittomia kokonaislukuja, on olemassa sellaiset kokonaisluvut x, y Z, että a = 2x+1 ja b = 2y+1. Tällöin joten a b O. a b = a + b + 5 = (2x + 1) + (2y + 1) + 5 = 2x + 2y + 7 = 2x + 2y = 2(x + y + 3) + 1, (H2): Laskutoimituksen neutraalialkio 5 on pariton kokonaisluku, eli 5 O. (H3): Olkoon a O. Aiemmin osoitettiin, että alkion a käänteisalkio a 10. Koska a on pariton kokonaisluku, on olemassa sellainen kokonaisluku x Z, että a = 2x + 1. Tällöin a 10 = (2x + 1) 10 = 2x 10 1 = 2( x 5) 1, joten a 10 O. Siten koska pari (H, ) toteuttaa ehdot (H1)-(H3), se on ryhmän (Z, ) aliryhmä. 2. Olkoon G = {E, O}, missä E on parillisten kokonaislukujen joukko, ja O on parittomien kokonaislukujen joukko. Joukolle G voidaan määritellä laskutoimitus seuraavasti: Oletetaan, että X, Y G. Valitaan jotkin alkiot x X ja y Y. Nyt X Y on se joukko, johon summa x+y kuuluu. (Tässä kyse on tavallisesta kokonaislukujen yhteenlaskusta.) Kirjoita laskutoimituksen laskutoimitustaulu ja osoita, että (G, ) on ryhmä. Huomio: Ei ole itsestään selvää, että laskutoimitus voidaan määritellän niin kuin se on määritelty. Asiaa käsitellään lisää myöhemmin. Ratkaisu. Kahden alkion joukolle määritetyn laskutoimituksen laskutaulu on helppo kirjoittaa. Koska kahden parillisen kokonaisluvun summa on 2

3 aina parillinen, kahden parittoman kokonaisluvun summa on aina parillinen ja parillisen ja parittoman kokonaisluvun summa on aina pariton, laskutauluksi saadaan E O E E O O O E Siten huomataan, että laskutoimitus tosiaan on hyvin määritelty laskutoimitus joukossa G. Laskutaulusta voidaan nyt lukea, että E on laskutoimituksen neutraalialkio ja alkio O on oma käänteisalkionsa.. On siis vielä osoitettava, että laskutoimitus on liitännäinen. Tämä voidaan tehdä mekaanisesti tarkistamalla kaikki erilaiset yhdistelmät X (Y Z), X, Y, Z G (erilaisia yhdistelmiä on yhteensä kahdeksan kappaletta), mutta on helpompaa palauttaa kysymys takaisin kokonaislukujen (tuttuihin) ominaisuuksiin, sillä kurssimateriaalin nojalla (Z, +) on ryhmä. Olkoon X, Y, Z G ja x X, y Y ja z Z joitakin alkioita. Tällöin Y Z on se alkio, johon luku y + z kuuluu, ja edelleen X (Y Z) on se alkio, johon luku x + (y + z) kuuluu. Vastaavasti (X Y ) Z on se alkio, johon luku (x+y)+z kuuluu. Koska (Z, +) on ryhmä, laskutoimitus + on liitännäinen ja on voimassa x + (y + z) = (x + y) + z. Siten X (Y Z) on se alkio, johon luku (x+y)+z kuuluu, ja (X Y ) Z on se alkio, johon luku x + (y + z) kuuluu. Edelleen X (Y Z) = (X Y ) Z, joten laskutoimitus on liitännäinen ja (G, ) on ryhmä. 3. Olkoon G ryhmä. Osoita, että karteesinen tulo G G on ryhmä, kun laskutoimitus määritellään seuraavasti: (a, b) (c, d) = (ac, bd). (Sanotaan, että karteesisen tulon laskutomitus on tällöin määritelty komponenteittain tai pisteittäin.) Olkoon H ryhmän G aliryhmä. Näytä, että H H on ryhmän G G aliryhmä. Ratkaisu. Käydään ryhmän ehdot läpi yksi kerrallaan. 3

4 (G0): Olkoon (a, b), (c, d) G G. Koska G on ryhmä, niin ac, bd G. Siten (a, b) (c, d) = (ac, bd) G G, joten G G on suljettu annetun laskutoimituksen suhteen. (G1): Olkoon (a, b), (c, d), (f, g) G G. Koska G on ryhmä, niin on voimassa a(cf) = (ac)f ja b(dg) = (bd)g. Käyttäen tätä tietoa hyväksi huomataan nyt, että (a, b) ((c, d) (f, g)) = (a, b) (cf, dg) = (a(cf), b(dg)) = ((ac)f, (bd)g) = (ac, bd) (f, g) joten annettu laskutoimitus on liitännäinen. = ((a, b) (c, d)) (f, g), (G2): Olkoon e G ryhmän G neutraalialkio ja olkoon (a, b) G G. Nyt on voimassa (e, e) (a, b) = (ea, eb) = (a, b) = (ae, be) = (a, b) (e, e), joten (e, e) G G on annetun laskutoimituksen neutraalialkio. (G3): Olkoon (a, b) G G. Koska G on ryhmä, niin on olemassa käänteisalkiot a 1, b 1 G ja siten (a 1, b 1 ) G G. Tämä on alkion (a, b) G G käänteisalkio, sillä (a, b) (a 1, b 1 ) = (aa 1, bb 1 ) = (e, e) = (a 1 a, b 1 b) = (a 1, b 1 ) (a, b). Koska pari (G G, ) toteuttaa ehdot (G0)-(G3), se on ryhmä. Olkoon nyt H ryhmän G aliryhmä, eli H toteuttaa aliryhmän ehdot (H1)- (H3). Osoitetaan ehto kerrallaan, että myös H H toteuttaa ehdot (H1)- (H3). 4

5 (H1): Olkoon (a, b), (c, d) H H. Koska a, b, c, d H, niin ac, bd H ja (a, b) (c, d) = (ac, bd) H H. (H2): Koska H on ryhmän G aliryhmä, niin G:n neutraalialkio e kuuluu joukkoon H. Siten (e, e) H H. (H3): Olkoon (a, b) H H. Koska a, b H, niin myös a 1, b 1 H, eli (a, b) 1 = (a 1, b 1 ) H H. Siten pari (H H, ) on ryhmän (G G, ) aliryhmä. Edellinen olisi voitu osoittaa myös käyttäen aliryhmäkriteeriä, eli lausetta Koska H G, niin H on epätyhjä ja H G, joten myös H H on epätyhjä ja se on joukon G G osajoukko. Riittää siis osoittaa, että kaikilla (a, b), (c, d) H H on voimassa (a, b) (c, d) 1 H H. Olkoon siis (a, b), (c, d) H H. Koska H toteuttaa aliryhmäkriteerin, niin ac 1, bd 1 H. Siten puolestaan (a, b) (c, d) 1 = (a, b) (c 1, d 1 ) = (ac 1, bd 1 ) H H, joten H H G G. 4. Määritellään ja f : N N, f(n) = 2011n g : R R, f(x) = x. Ovatko kuvaukset f ja g injektioita, surjektioita tai bijektioita? Olkoot A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} ja B = { 10, 9,..., 9, 10}. Määritä f[a], f [B], g[b] ja g [A]. Ratkaisu. Kuvaus f on injektio, sillä ehdosta f(m) = f(n) seuraa 2011m = 2011n m = n, 5

6 eli mitkään kaksi alkiota eivät kuvaudu samalle alkiolle. Kuvaus f puolestaan ei ole surjektio, sillä mikään luonnollinen luku ei kuvaudu esimerkiksi alkiolle 1: f(m) = m = 1 m = / N. Koska kuvaus f ei ole surjektio, se ei voi olla myöskään bijektio. Kuvaus g ei ole injektio sillä esimerkiksi sekä 1 että -1 kuvautuvat luvulle 1. Se ei ole myöskään surjektio, sillä yksikään reaaliluku ei kuvaudu negatiiviseksi luvuksi. Koska kuvaus g ei ole injektio eikä surjektio, se ei myöskään voi olla bijektio. Kuvajoukko f[a] saadaan määritettyä ottamalla kuva jokaisesta alkiosta erikseen: f[a] = {f(0), f(1), f(2), f(3), f(4), f(5)} = {0, 2011, 4022, 6033, 8044, 10055}. Määritetään alkukuvajoukko f [B] viimeiseksi. Kuvajoukko g[b] saadaan määritettyä ottamalla kuva jokaisesta alkiosta erikseen. Huomataan, että kaikille x R on voimassa g(x) = g( x), joten g[b] = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Alkukuvan määritelmän nojalla alkio x R kuuluu joukon A alkukuvaan g [A], jos g(x) A. Huomataan, että kun a R, niin g(x) = a x = a x = ±a, joten joukon A alkukuvaan kuuluvat joukon A alkiot ja niiden vasta-alkiot, eli g [A] = { 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}. Otettaessa alkukuva joukosta C kuvauksen h : X Y suhteen joukon C täytyy määritelmän nojalla sisältyä maaliavaruuteen Y. Kuvaus f on kuitenkin luonnollisilta luvuilta luonnollisille luvuille ja joukko B ei ole luonnollisten lukujen osajoukko! Tällöin alkukuvasta puhuminen ei ole mielekästä, mutta määritetään joukon B alkukuva kuvauksen f : N Z, jolle on voimassa f(n) = f(n) = 2011n. 6

7 Tällöin joukko B sisältyy maaliavaruuteen ja alkukuvajoukkoon f [B] kuuluu ne alkiot n N, joille on voimassa f(n) B. Siten tarkasteluun täytyy ottaa ne joukon B positiiviset alkiot, jotka ovat jaollisia luvulla Tällaisia alkioita löytyy vain yksi, eli 0. Koska kuvaus f on injektio, myös kuvaus f on injektio. Koska lisäksi f(0) = 0, niin f [B] = {0}. 5. Todista seuraavat väitteet huolellisesti ja hyvällä suomen kielellä. Implikaatio- ja ekvivalenssinuolten käyttö on kiellettyä. Muista, että kaksi joukkoa osoitetaan samoiksi todistamalla, että ne ovat toistensa osajoukkoja. Oletetaan, että f : A B on kuvaus ja C, D B. Osoita, että a) f[f [D]] D b) f [C D] = f [C] f [D]. Ratkaisu. a) Olkoon x f[f [D]]. Kuvajoukon määritelmän nojalla nyt on olemassa sellainen y f [D], että f(y) = x. Alkukuvan määritelmän nojalla joukkoon f [D] kuuluu ne alkiot, joiden kuva-alkiot kuuluvat joukkoon D. Koska y f [D], niin f(y) D. Siten f(y) = x D, eli f[f [D]] D. b) Osoitetaan sisältyvyydet kumpaankin suuntaan. Olkoon x f [C D]. Alkukuvan määritelmän nojalla nyt f(x) C D, eli alkio f(x) kuuluu joukkoon C tai joukkoon D. Tästä puolestaan seuraa, että alkio x kuuluu joukkoon f [C] tai f [D], joten x kuuluu joukkoon f [C] f [D]. Siten f [C D] f [C] f [D]. Olkoon x f [C] f [D], eli x kuuluu joukkoon f [C] tai f [D]. Alkukuvan määritelmän nojalla alkio f(x) kuuluu nyt joukkoon C tai D, eli f(x) C D. Edelleen määritelmän nojalla, alkio x kuuluu nyt joukon C D alkukuvaan, eli x f [C D]. Siten f [C] f [D] f [C D]. 7

8 6. Määritellään f : Z Q \ {0}, f(n) = ( 1) n. Määritä Imf ja f [{1}]. Onko Imf ryhmän (Q \ {0}, ) aliryhmä? Onko f [{1}] ryhmän (Z, +) aliryhmä? Ratkaisu. Jos n on parillinen, niin f(n) = 1, ja jos n on pariton, niin f(n) = 1. Siten Im(f) = {1, 1}. Alkukuvan määritelmän nojalla joukkoon f [{1}] kuuluvat ne alkiot n Z, jotka kuvautuvat alkiolle 1. Koska f(n) = 1 vain jos n on parillinen, niin yksiön {1} alkukuva on parilliset kokonaisluvut, joiden muodostamaa joukkoa merkitään usein 2Z:lla. Siten f [{1}] = {2n : n Z} = 2Z. Osoitetaan nyt, että joukko {1, 1} varustettuna rationaalilukujen kertolaskulla on ryhmän (Q \ {0}, ) aliryhmä osoittamalla, että ({1, 1}, ) toteuttaa ryhmän ehdot. Kahden alkion laskutaulu on helppo kirjoittaa: Tästä nähdään, että joukko {1, 1} on vakaa laskutoimituksen suhteen, 1 on laskutoimituksen neutraalialkio ja 1 on oma käänteisalkionsa. Koska puolestaan (Q \ {0}, ) on ryhmä, laskutoimitus on liitännäinen, joten ({1, 1}, ) toteuttaa ryhmän ehdot. Siten lauseen nojalla ({1, 1}, ) on ryhmän (Q\{0}, ) aliryhmä. Huomataan, että kyseessä on sama ryhmä kuin tehtävässä kaksi, sillä kaksialkioisia ryhmiä on olemassa täsmälleen yksi. Joukko 2Z varustettuna tavallisella kokonaislukujen yhteenlaskulla on ryhmän (Z, +) aliryhmä: (H1): Olkoon x, y 2Z. Tällöin on olemassa sellaiset m, n Z, että x = 2m ja y = 2n, joten (H2): Koska 0 = 2 0, niin 0 2Z. x + y = 2m + 2n = 2(m + n) 2Z.. 8

9 (H3): Olkoon x 2Z. Tällöin on olemassa sellainen m Z, että x = 2m. Tällöin alkion x vasta-alkio on x = 2m, joka on myös parillinen kokonaisluku. Siten 2Z Z. Edellinen olisi voitu osoittaa myös käyttäen aliryhmäkriteeriä. Olkoon x, y 2Z. Tällöin x = 2m ja y = 2n joillakin m, n Z ja alkion y vasta-alkio on y. Koska x + ( y) = x y = 2m 2n = 2(m n) 2Z, niin aliryhmäkriteerin nojalla 2Z on ryhmän Z aliryhmä. 9