ja jäännösluokkien joukkoa
|
|
- Tyyne Haapasalo
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi on ekvalenssirelaatio. Polynomin f ekvivalenssiluokkaa (kongruenssiluokkaa tai jäännösluokkaa modulo m) merkitään [f] m = {g F [x] g f mod m} = {f + m h h F [x]}, ja jäännösluokkien joukkoa Polynomia m kutsutaan moduliksi. F [x]/(m) = {[f] m f F [x]}. Huomautus 3.1. Edellinen kongruenssirelaatio on erikoistapaus seuraavasta (vrt. [Alg, propositio 11.18]): Olkoot R kommutatiivinen, ykkösellinen rengas, ja I R ideaali. Alkioille f, g R asetetaan g f : g f I g = f + i jollekin i I. Tämä relaatio on ekvalenssirelaatio. Alkion f ekvivalenssiluokka on {g R g f} = {f + i i I} =: f + I, ja jäännösluokkien joukkoa merkitään R/I. Polynomien tilanteessa I = (m) := {m h h F [x]} = m F [x] on polynomin m virittämä ideaali. Määritelmä 3.2. Jäännösluokille [f] m, [g] m F [x]/(m) määritellään yhteen- ja kertolasku asettamalla [f] m + [g] m := [f + g] m, [f] m [g] m := [fg] m. Lause 3.3. Edellisen määritelmän mukaiset yhteen- ja kertolasku ovat hyvin määriteltyjä, ja joukko F [x]/(m) on kommutatiivinen, ykkösellinen rengas. Todistus. Aluksi pitää siis osoittaa, että summa ja tulo eivät riipu valittujen edustajien valinnasta, t.s. jos [f] m = [f ] m ja [g] m = [g ] m, niin [f + g] m = [f + g ] m ja [fg] m = [f g ] m. Yksityiskohdat jätetään lukijalle. Rengasominaisuuksien osoittaminen on suoraviivaista; nolla-alkio on [0] m ja ykkösalkio [1] m. Esimerkki 3.4. Jäännösluokilla laskemisessa voidaan hyödyntää polynominen jakoyhtälöä: jos deg f deg m ja f = q m + r, missä deg r < deg m, on f r mod m, joten [f] m = [r] m. Siis jäännösluokilla laskettaessa käytetään jäännösluokkien edustajia. Kun välivaiheissa esiintyvien polynomien asteet kasvavat vähintään polynomin m asteen suuruisiksi, käytetään jakoyhtälöä: m:n monikerrat voidaan tiputtaa pois. 9 Viimeksi muutettu
2 Käsin laskettaessa voidaan menetellä vielä yksikertaisemmin. Tarkastellaan esimerkkinä rengasta Q[x] ja modulia m := x 2 x 1. Määritelmän mukaan jokainen m:n monikerta on kongruentti nollan kanssa. Erityisesti m 0 mod m, joten [m] m = [0] m. Tällöin [x 2 ] m = [x 2 x 1] m + [x + 1] m = [x + 1] m. Esimerkiksi 17 Tällöin [x 3 ] m = [x] m [x 2 ] m = [x] m [x + 1] m = [x 2 + x] m = [x 2 ] m + [x] m = [x + 1] m + [x] m = [2x + 1] m, ja [x 2 + 2x] m = [x 2 ] m + [2x] m = [x + 1] m + [2x] m = [3x + 1] m. [x 3 + 1] m [x 2 + 2x] m [x 3 ] m = ([2x + 1] m + [1] m )[3x + 1] m [2x + 1] m = [(2x + 2)(3x + 1) (2x + 1)] m = [6x 2 + 6x + 1] m = 6[x 2 ] m + [6x + 1] m = 6[x + 1] m + [6x + 1] m = [12x + 7] m. Tarkastellaan yleisesti jäännösluokkarenkaan F [x]/(m) rakennetta. Olkoot m F [x], d := deg m > 0 ja K := F [x]/(m). Olkoon ϕ K mielivaltainen. Tällöin on olemassa f F [x] siten, että ϕ = [f] m. Jakoyhtälön perusteella on olemassa q, r F [x] siten, että f = q m + r ja deg r < deg m. Tällöin f r mod m, joten [f] m = [r] m. Koska deg r < deg m = d, voidaan r esittää muodossa missä r 0, r 1,..., r d 1 F. Tällöin r = r 0 + r 1 x + + r d 1 x d 1, ϕ = [f] m = [r 0 + r 1 x + + r d 1 x d 1 ] m. Jokaista ϕ K vastaa siis polynomi r = r 0 + r 1 x + + r d 1 x d 1, jonka aste on pienempi kuin d. Jos on olemassa toinen polynomi r siten, että deg r < d ja [ r] m = ϕ, on [ r] m = [r] m, joten r r mod m. Tämä tarkoittaa, että m r r, eli r r = g m jollekin g F [x]. Mutta deg( r r) < d ja deg(g m) = deg g + deg m = deg g + d, joten g = 0 ja r = r. Siis jokaista jäännösluokkaa ϕ K = F [x]/(m) edustaa yksikäsitteinen polynomi r F [x], jolle deg r < d = deg m. Luokan [f] m yksikäsitteinen edustaja on polynomin f jakojäännös polynomilla m jaettaessa, [f] m = [f rem m] m. Lisäksi jakojäännöspolynomi f rem m = r = r 0 + r 1 x + + r d 1 x d 1 voidaan samastaa vektorin (r 0, r 1,..., r d 1 ) F d kanssa. Tarkemmin: kuvaus F d K, (r 0, r 1,..., r d 1 ) [r 0 + r 1 x + + r d 1 x d 1 ] m, on F -lineaarinen bijektio. Väitteen todistus jätetään lukijan tehtäväksi, mutta kerrataan tarvittavia käsitteitä. Määritelmä 3.5. Olkoon F kunta. Joukko E on F -kertoiminen vektoriavaruus (tai F -lineaarinen vektoriavaruus), jos 1 joukkoon E on määritelty kaksi laskutoimitusta +: E E E, (u, v) u + v, ja : F E E, (r, u) r u siten, että 2 (E, +) on Abelin ryhmä, ja
3 18 3 r (u + v) = r u + r v, (r + s) u = r u + s u, (rs) u = r (s u), 1 u = u kaikille u, v E, r, s F. Esimerkkejä 3.6. a) Kun F on kunta ja d Z +, on joukko E = F F = F d (tulossa d tekijää) F -kertoiminen vektoriavaruus, kun asetetaan (a 0,..., a d 1 ) + (b 0,..., b d 1 ) := (a 0 + b 0,..., a d 1 + b d 1 ), r (a 0,..., a d 1 ) := (ra 0,..., ra d 1 ), kun (a 0,..., a d 1 ), (b 0,..., b d 1 ) F d ja r F. Erityisesti, Z d p on Z p -kertoiminen vektoriavaruus. b) Kun F on kunta, on F -kertoimisten polynomien rengas F [x] F -kertoiminen vektoriavaruus. Samoin joukko P d := {f F [x] deg f < d} on F -kertoiminen vektoriavaruus. F -kertoimisia vektoriavaruuk- Määritelmä 3.7. Olkoot F kunta sekä E 1 ja E 2 sia. Kuvaus L: E 1 E 2 on F -lineaarinen, jos 1 L(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v), 2 L(r u) = r ϕ(u) kaikille u, v E, r F. Määritelmä 3.8. Olkoot F kunta, E F -kertoiminen vektoriavaruus, d Z +, r 1,..., r d F ja e 1,..., e d E. Vektorit e 1,..., e d ovat lineaarisesti riippumattomat, jos ehdosta r 1 e r d e d = 0 seuraa r 1 = 0,..., r d = 0. Muutoin, vektorit e 1,..., e d ovat lineaarisesti riippuvat. Jos vektorit e 1,..., e d ovat lineaarisesti riippumattomat ja jokainen vektori e E voidaan esittää vektoreiden e 1,..., e d lineaarikombinaationa e = r 1 e r d e d joillekin r 1,..., r d F, muodostavat vektorit e 1,..., e d kannan avaruudelle E. Merkitään d =: dim F E. Esimerkkejä 3.9. a) dim F F d = d; kannaksi käyvät vektorit e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1, 0,..., 0),..., e d = (0,..., 0, 1). b) Kun P d := {f F [x] deg f < d}, on dim F P d = d; kannaksi käy e 1 := 1, e 2 := x,..., e d := x d 1 (t.s. e i := x i 1 ). c) Kun m F [x], d := deg m > 0 ja K := F [x]/(m), on dim F K = d; kannaksi käy e 1 := [1] m, e 2 := [x] m,..., e d := [x d 1 ] m. Huomautus Vektoriavaruuden dimensio riippuu kerroinkunnasta. Esimerkiksi C on kaksiulotteinen R-vektoriavaruus, mutta yksiulotteinen C-vektoriavaruus. Lukusuora R on Q-kertoimisena vektoriavaruutena ääretönulotteinen! Lause Olkoot F kunta ja f, m F [x]. Merkitään R := F [x]/(m). Tällöin [f] m on kääntyvä renkaassa R, jos ja vain jos syt(f, m) = 1. Kun syt(f, m) = 1, löydetään alkion [f] m käänteisalkio LEA:n avulla.
4 19 Todistus. Alkio [f] m on kääntyvä s F [x] s.e. [s] m [f] m = [1] m s F [x] s.e. s f 1 mod m s, t F [x] s.e. s f + t m = 1 Ehdosta s f + t m = 1 seuraa, että syt(f, m) = 1. Toisaalta, jos syt(f, m) = 1, löydetään LEA:n avulla polynomit s, t F [x] s.e. s f + t m = 1, jolloin [s] m = ([f] m ) 1. Esimerkki Olkoot f := x 3, m := x 2 x 1 Q[x]. LEA:n avulla saadaan (2x 3) f + ( 2x 2 + x 1) m = 1, joten syt(f, m) = 1, ja ([f] m ) 1 = [2x 3] m. Olkoot m F [x] jaoton ja f F [x]. Tällöin (lause 3.11) [f] m on kääntyvä, jos ja vain jos syt(f, m) = 1. Osoitetaan, että syt(f, m) = 1 [f] m [0] m. Jos g := syt(f, m) 1, on g m (ja g f), joten m = g h jollekin h F [x]. Koska m on jaoton, on deg g = 0 tai deg h = 0. Koska g 1, on deg g > 0. Siis deg h = 0, joten h F \ {0}, ja m f, joten [f] m = [0] m. Toisaalta, jos [f] m = [0] m, on m f, joten syt(f, m) 1. Ennen seuraavan lauseen muotoilua, otetaan käyttöön seuraava merkinnällinen sopimus: Olkoot R ja S kommutatiivisia renkaita ja ϕ: R S rengashomomorfismi. Tällöin ϕ indusoi rengashomomorfismin ϕ: R[x] S[x], kun asetetaan ϕ(f(x)) := f(x), missä polynomille f(x) = a 0 + a 1 x + + a d x d R[x] asetetaan f(x) := ϕ(a 0 ) + ϕ(a 1 ) x+ +ϕ(a d ) x d. Esimerkiksi jokainen kokonaislukukertoiminen polynomi f(x) = a 0 + a 1 x + + a d x d (missä siis a j Z) määrää Z n -kertoimisen f(x) = ā 0 + ā 1 x + + ā d x d, missä ā j = [a j ] n Z n. Usein tällaisessa tilanteissa polynomeja f ja f ei erotella toisistaan. Lause Olkoot F kunta, m F [x], d := deg m > 0, ja K := F [x]/(m). Tällöin K on kunta, jos ja vain jos m on jaoton. Lause Olkoot F kunta, m F [x] jaoton ja K := F [x]/(m). Tällöin (i) K sisältää kunnan F (kanssa isomorfisen kunnan) alikuntanaan; (ii) kun α := [x] m K, on m(α) = 0; (iii) kunta K on d-ulotteinen F -kertoimisena vektoriavaruutena. Todistus. Ensimmäisen kohdan väitteen kohta jos seuraa ennen lausetta olleesta tarkastelusta. Vain jos jätetään lukijan tehtäväksi. Toista kohtaa varten olkoon ϕ: F K, ϕ(a 0 ) := [a 0 ] m F [x]/(m), missä a 0 F samastetaan vakiopolynomin kanssa. On helpppo todeta, että ϕ on injektiivinen rengashomomorfismi. Joukko ϕ(f ) on haettu alikunta. Olkoon m(x) = m m 1 x + + m d x d. Tällöin m(α) = m m 1 α + + m d α d = m 0 [1] m + m 1 [x] m + + m d [x] d m = [m m 1 x + + m d x d ] m = [m] m = [0] m. Viimeinen kohta seuraa ennen määritelmää 3.5 olleista tarkasteluista.
5 Huomautus Kunta K = F [x]/(m) on esimerkki kuntalaajennuksesta: alkuperäinen kunta F on isomman kunnan K alikunta. Laajennuskunnalla K on lisäksi se tärkeä ominaisuus, että valitulla polynomilla m on juuri kunnassa K, vaikkei sillä sellaista ole alkuperäisessä kunnassa F (paitsi tapauksessa deg m = 1). Esimerkki Tarkastellaan tuttua tilannetta F := R ja m := x Koska x 2 +1 on jaoton renkaassa R[x], on jäännösluokkarengas R[x]/(x 2 +1). Lisäksi se sisältää kunnan R (kanssa isomorfisen kunnan) alikuntanaan. Olkoon [g] m R[x]/(x 2 +1). Kun polynomi g(x) jaetaan polynomilla x 2 + 1, löydetään yksikäsitteiset q(x) R[x] ja a, b R siten, että g(x) = q(x) (x 2 + 1) + a + b x. Alkiolla I := [x] m on ominaisuus I = [x 2 + 1] m = [0] m, t.s. I 2 = 1. Jos asetetaan ϕ: C R[x]/(x 2 + 1), a + i b [a + b x] x 2 +1, on kuvaus ϕ bijektiivinen rengashomomorfismi. Siis kompleksilukujen kunta C on isomorfinen jäännösluokkakunnan R[x]/(x 2 + 1) kanssa. Kompleksilukujen kunnan C tulkinta jäännösluokkakuntana R[x]/(x 2 + 1) on algebran kannalta se luonnollinen tapa; tässähän reaalilukujen kuntaan R liitetään polynomin x juuri I, joka toteuttaa yhtälön I 2 = 1. Näinhän imaginaariyksikköä ajatellaan, ei lukuparina (a, b) R 2! Esimerkki Olkoot F := Q ja m := x 2 2. Vastaavanlaisella polynomien jakoyhtälöä käyttävällä päättelyllä nähdään, että jäännösluokkarenagas Q[x]/(x 2 2) on isomorfinen joukon Q[ 2] := {a + 2 b a, b Q} kanssa. Huomaa, että polynomi x 2 2 on jaoton renkaassa Q[x], joten jäännösluokkarenagas Q[x]/(x 2 2) on kunta. Renkaassa R[x] polynomi jakautuu tekijöhin x 2 2 = (x 2)(x + 2). Kunnan Q[x]/(x 2 2) alkiolla α := [x] x 2 2 on nyt ominaisuus α 2 = 2. Esimerkki Olkoot F := Z 2 = { 0, 1} ja m := x 2 +x+ 1. Tällöin m on jaoton renkaassa Z 2 [x] (polynomifunktiolla r m(r) on arvot m( 0) = 1 ja m( 1) = 1). Olkoon α := [x] m. Tällöin m(α) = 0, t.s. α 2 + α + 1 = 0. Koska kerroinkunnassa Z 2 on 1 = 1, on α 2 = α + 1. Kunnassa Z 2 [x]/(x 2 + x + 1) on siis alkiot 0, 1, α ja α + 1. Ainoa erityinen laskusääntö, joka tarvitaan kerroinkunnan Z 2 laskusääntöjen lisäksi, on tieto α 2 = α + 1. Määritelmä Olkoot p alkuluku, m Z p [x] jaoton ja d := deg m. Galois n kunta, jossa on p d alkiota, on jäännösluokkakunta GF(p d ) := F p d := Z p [x]/(m). Lauseen 3.14 nojalla Galois n kunta on kunta. Mutta millaisia tällaiset kunnat ovat rakenteeltaan? Ja onko tällaisia olemassa? Siis: millaisille alkuluvuille p ja kokonaisluvuille d on olemassa kunnan Z p suhteen jaoton, astetta d oleva polynomi? Ja jos tällaisia on, niin vaikuttaako jaottoman polynomin valinta kuntaan F p d? Eräs tuttu kunta voidaan tunnistaa. Olkoon m(x) := x Z p [x]. Tällöin m on jaoton astetta yksi oleva polynomi, joten F p = Z p [x]/(x) on kunta. Millaisia ovat kunnan F p alkiot? Se saadaan selville polynomien jakoyhtälön avulla. Olkoon f Z p [x]. Jakoyhtälön nojalla f(x) = q(x) x + r joillekin q(x) Z p [x] ja r Z p [x], jolla deg r < deg x = 1. Siis r on vakiopolynomi, r Z p, ja jäännösluokka [f(x)] x = [q(x)] x [x] x + [r] x = [r] x. Kunnan F p = Z p [x]/(x) alkiot voidaan siis samastaa kunnan Z p alkioiden kanssa samastamalla r Z p ja [r] x F p. (Tarkempi selitys olisi: kuvaus Z p F p, r [r] x, on rengasisomorfismi.) 20
koska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan
4. Äärellisten kuntien yleisiä ominaisuuksia 4.1. Laajenuskunnat. Tarkastellaan aluksi yleistä kuntaparia F ja K, missä F on kunnan K alikunta. Tällöin sanotaan, että kunta K on kunnan F laajennuskunta
Lisätiedot7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
LisätiedotR 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l,
2. Laajennettu Eukleideen algoritmi Määritelmä 2.1. Olkoot F kunta ja A, B, C, D F [x]. Sanotaan, että C jakaa A:n (tai C on A:n jakaja), jos on olemassa K F [x] siten, että A = K C; tällöin merkitään
LisätiedotEsko Turunen Luku 3. Ryhmät
3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 25 Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset
LisätiedotPolynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi
Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi Pro gradu -tutkielma Outi Aksela 2117470 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Renkaat 3 1.1 Rengas...............................
Lisätiedota b 1 c b n c n
Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
Lisätiedot2 Renkaat ja kunnat. toteutuvat: 1. pari (K, +) on Abelin ryhmä, jonka neutraalialkio on 0 K,
1 Ryhmät Olkoot S on joukko ja X S. Jos kuvaus : S S S, (x, y) x y toteuttaa ehdon x y X kaikilla x, y X, niin sanotaan, että binäärinen operaatio on suljettu joukon X suhteen. Määritelmä 1. Olkoot G joukko
LisätiedotR : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on
0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset
Lisätiedot802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen
802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................
Lisätiedot(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R.
11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi φ: R R on erityisesti ryhmähomomorfismi φ: (R, +) (R, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin φ
LisätiedotKuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara
Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen
LisätiedotH = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.
10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas
Lisätiedot1 Algebralliset perusteet
1 Algebralliset perusteet 1.1 Renkaat Tämän luvun jälkeen opiskelijoiden odotetaan muistavan, mitä ovat renkaat, vaihdannaiset renkaat, alirenkaat, homomorfismit, ideaalit, tekijärenkaat, maksimaaliset
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
LisätiedotAlgebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen
Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä Versio 1.0 (27.1.2006) Turun yliopisto Lukuteoria 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen joukolla: a) C D
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
Lisätiedot800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä
800333A Algebra I Luentorunko Kevät 2010 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä Sisältö 1 Lukuteorian alkeita 3 1.1 Kongruenssiin liittyviä perustuloksia.............. 7 2 Ekvivalenssirelaatio
LisätiedotMAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen
Lisätiedot802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013
802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Kertausta kurssilta Lukuteoria ja ryhmät
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Tommi Kuusisto
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Tommi Kuusisto Äärellisistä kunnista Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 2008 Tampereen yliopisto Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian
Lisätiedotkaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja
Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,
LisätiedotTeema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32
1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki
LisätiedotAlgebra 1. Jouni Parkkonen Luentoja Jyväskylän yliopistossa talvella 2019
Algebra 1 Jouni Parkkonen Luentoja Jyväskylän yliopistossa talvella 2019 Sisältö I Renkaat ja kunnat 1 1 Laskutoimitukset 3 1.1 Laskutoimitus.................................. 3 1.2 Indusoitu laskutoimitus.............................
Lisätiedotg : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.
ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot
Lisätiedot14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo.
14. Juurikunnat Mielivaltaisella polynomilla ei välttämättä ole juuria tarkasteltavassa kunnassa. Tässä luvussa tutkitaan sellaisia algebrallisia laajennoksia, jotka saadaan lisäämällä polynomeille juuria.
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotBijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
LisätiedotIdeaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Esko Turunen Luku 7. Ideaalit ja tekijärenkaat
Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Rengashomomorfismi ψ :
LisätiedotMAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen Tämä tiedosto sisältää kurssin kaikki laskuharjoitukset. viikottain uusia tehtäviä. Tiedostoon lisätään To 05.02.09 pidetyt harjoitukset.
LisätiedotMitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.
Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden
Lisätiedotjonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä
4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko
Lisätiedot[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko
3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin
LisätiedotSalausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
Lisätiedotk=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0
1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota
Lisätiedotd Z + 17 Viimeksi muutettu
5. Diffien ja Hellmanin avaintenvaihto Miten on mahdollista välittää salatun viestin avaamiseen tarkoitettu avain Internetin kaltaisen avoimen liikennöintiväylän kautta? Kuka tahansahan voi (ainakin periaatteessa)
LisätiedotOrtogonaalit latinalaiset neliöt
Ortogonaalit latinalaiset neliöt M Tamminen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2013 Tiivistelmä: M Tamminen, Ortogonaalit latinalaiset neliöt (engl
LisätiedotLiite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet
Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja
LisätiedotRenkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit
Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen
Lisätiedot2017 = = = = = = 26 1
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu
Lisätiedotei ole muita välikuntia.
ALGEBRA II 41 Lause 4.15. F q m on polynomin x qm x hajoamiskunta kunnan F q suhteen. Todistus. Olkoon α kunnan F q m primitiivialkio. Nyt F qm =< α > muodostuu täsmälleen polynomin x qm 1 1nollakohdistajatäten
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 6. Alkeislukuteoria 6.1 Jaollisuus Käsitellään kokonaislukujen perusominaisuuksia: erityisesti jaollisuutta Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,...
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku
LisätiedotTOOLS. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO TOOLS 1 / 28
TOOLS Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 2018 TOOLS 1 / 28 Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. TOOLS
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos Koodausteoria 10 op Kontaktiopetusta 50 h, 26.5. - 26.6. ma 10-14, ti 10-13, to 10-13 Aloitusviikolla poikkeuksellisesti ke 10-13 torstain
Lisätiedot[E : F ]=[E : K][K : F ].
ALGEBRA II 35 Lause 4.4 (Astelukulause). Olkoot E/K/Fäärellisiä kuntalaajennuksia. Silloin [E : F ]=[E : K][K : F ]. Todistus. Olkoon {α 1,...,α n } kanta laajennukselle E/K ja {β 1,...,β m } kanta laajennukselle
LisätiedotAlgebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen
Algebra II Syksy 2004 Pentti Haukkanen 1 Sisällys 1 Ryhmäteoriaa 3 1.1 Ryhmän määritelmä.... 3 1.2 Aliryhmä... 3 1.3 Sivuluokat...... 4 1.4 Sykliset ryhmät... 7 1.5 Ryhmäisomorfismi..... 11 2 Polynomeista
LisätiedotTodistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset alhaaltaylöspäin.
18 ALGEBRA II missä r n (x) =syt(f(x),g(x)). Lause 2.7. Olkoot f(x),g(x) K[x]. Silloin syt(f(x),g(x)) = a(x)f(x)+b(x)g(x), joillakin a(x),b(x) K[x]. Todistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset
LisätiedotLineaarialgebra Kerroinrenkaat. Kevät Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto
Lineaarialgebra 2 Kevät 2014 Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto Á Ë Ð Ö Ø Ú ØÓÖ Ø 1. Kerroinrenkaat 1.1. Määritelmä. Yhden laskutoimituksen rakenne(g, + on Abelin ryhmä, jos
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
LisätiedotKanta ja dimensio 1 / 23
1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio
Lisätiedotrenkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x
8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta
LisätiedotALGEBRA KEVÄT 2013 JOUNI PARKKONEN
ALGEBRA KEVÄT 2013 JOUNI PARKKONEN Algebra käsittelee laskemista. Osin tämä tarkoittaa numeroilla laskemista lukualueissa N, Z, Q, R, C laskutoimituksilla + ja ja niiden käänteisoperaatioilla ja / siinä
LisätiedotTensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0
Tensorialgebroista Esitysteorian kesäopintopiiri, Turun yliopisto, 2012 Jyrki Lahtonen Olkoon k jokin skalaarikunta. Kerrataan k-algebran käsite: A on k-algebra, jos se on sekä rengas että vektoriavaruus
Lisätiedotn (n 1) avainten vaihtoa. Miljoonalle käyttäjälle avainten vaihtoja tarvittaisiin
3. RSA Salausjärjestelmien käytön perusongelma oli pitkään seuraava: Kun Liisa ja Pentti haluavat vaihtaa salakirjoitettuja viestejä keskenään ja jos heidän käyttämänsä salausmenetelmä on symmetrinen,
LisätiedotJäännösluokat. Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan
Jäännösluokat LUKUTEORIA JA TODIS- TAMINEN, MAA Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan lukujoukkoja 3k k Z =, 6, 3, 0, 3, 6, 3k + k Z =,,,,, 7, 3k + k Z =,,,,, 8, Osoita,
Lisätiedot2 j =
1. Modulaariaritmetiikkaa Yksinkertaisissa salausjärjestelmissä käytettävä matematiikka on paljolti lukuteoriaan pohjautuvaa suurten lukujen modulaariaritmetiikkaa (lasketaan kokonaisluvuilla modulo n).
Lisätiedot1 Tensoriavaruuksista..
1 Tensoriavaruuksista.. Käydään läpi kirjan (1) sivut 126-133. 19.02.2007 Palautetaaieleen viime kerran tärkeä määritelmä: (kirja, Määr. 5.12). Määritelmä 1.1 Olkoon T vektoriavaruus ja Φ : V 1 V 2 V m
LisätiedotMAT Algebra 1(s)
8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2014 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 1 of 16 Kertausta Lineaarinen riippuvuus
LisätiedotJohdatus p-adisiin lukuihin
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Anne Keskinen Johdatus p-adisiin lukuihin Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Maaliskuu 2010 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
LisätiedotJohdanto 2. 2 Osamääräkunnan muodostaminen 7. 3 Osamääräkunnan isomorfismit 16. Lähdeluettelo 20
Osamääräkunta LuK-tutkielma Lauri Aalto Opiskelijanumero: 2379263 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Käsitteitä ja merkintöjä 3 2 Osamääräkunnan muodostaminen
LisätiedotÄärelliset kunnat ja polynomien jako alkutekijöihin
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Heidi Kananoja Äärelliset kunnat ja polynomien jako alkutekijöihin Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Syyskuu 2007 Tampereen yliopisto
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
Lisätiedot6. Tekijäryhmät ja aliryhmät
6. Tekijäryhmät ja aliryhmät Tämän luvun tavoitteena on esitellä konstruktio, jota kutsutaan tekijäryhmän muodostamiseksi. Konstruktiossa lähdetään liikkeelle jostakin isosta ryhmästä, samastetaan alkioita,
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,
Lisätiedota ord 13 (a)
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod
LisätiedotAlgebrallisista käyristä
Tampereen yliopisto Pro gradu -tutkielma Heidi Kalliojärvi Algebrallisista käyristä Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotAvainsanat Nyckelord Keywords Nullstellensatz, Hilbertin nollajoukkolause, algebrallinen geometria
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Sampo
Lisätiedot802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2017 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
Lisätiedot{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja
5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.
LisätiedotLukuteorian kertausta
Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +
LisätiedotLineaarialgebra b, kevät 2019
Lineaarialgebra b, kevät 2019 Harjoitusta 4 Maplella with(linearalgebra); (1) Tehtävä 1. Lineaarisia funktioita? a) Asetelma on kelvollinen: lähtö- ja maalijoukko on R-kertoiminen lineaariavaruus ja L
LisätiedotMääritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
Lisätiedot6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio
6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.
LisätiedotPääideaalialueen yli määriteltyjen äärellisviritteisten modulien rakennelause
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jyri Hiltunen Pääideaalialueen yli määriteltyjen äärellisviritteisten modulien rakennelause Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Helmikuu 2014 Tampereen yliopisto
Lisätiedot1. Hiukan lineaarialgebraa
ÁÎ ÃÓ Ø ÐÓ ³Ò Ø ÓÖ 1. Hiukan lineaarialgebraa 1.1. Määritelmä. Olkoon K = (K, +, ) kunta (ns. kerroinkunta). Joukko V varustettuna yhteenlaskulla +:V V V ja skalaarikerronnalla :K V V on K- vektoriavaruus,
LisätiedotTekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2
Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarmo Niemelä. Primitiivisistä juurista ja. alkuluokkaryhmistä
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jarmo Niemelä Primitiivisistä juurista ja alkuluokkaryhmistä Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Marraskuu 2000 2 TAMPEREEN YLIOPISTO
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/310 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
Lisätiedot802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä
802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät 2014 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Ekvivalenssirelaatio 3 2 Lukuteoriaa 4 2.1 Lukuteorian
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
Lisätiedot1 Kertausta algebran kurssilta 1. 4 Kuntalaajennukset Kuntalaajennuksen aste Harppi-viivoitin-konstruktiot Hajoituskunnat 88
Sisältö 1 Kertausta algebran kurssilta 1 2 Lisää polynomeista 10 3 Kertausta Q:n konstruktiosta; jakokunta 20 4 Kuntalaajennukset 27 5 Kuntalaajennuksen aste 49 6 Harppi-viivoitin-konstruktiot 64 7 Galois
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
LisätiedotLiittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.
Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla
Lisätiedotx j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu
2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 5.2 BCH-koodin dekoodaus Tarkastellaan t virhettä korjaavaa n-pituista BCH-koodia. Olkoon α primitiivinen n:s ykkösen juuri, c = c(x)
Lisätiedot