k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0
|
|
- Tommi Karjalainen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota usein kutsutaan muuttuksi. Symbolin 1 sovitaan tarkoittavan ääretöntä negatiivista lukua, jolle pätee 1 <akaikilla kokonaisluvuilla a, = 1, 1 + a = 1 kaikilla kokonaisluvuilla a. Symbolille 1 ei ole määritelty muita operaatioita, käytämme sitä ainoastaan nollapolynomin asteen merkkinä. Määritelmä 1.1. Olkoon K kommutatiivinen rengas, jossa on vähintään kaksi alkiota. Olkoon n N, olkoota n,a n 1,...,a 1,a 0 K. Lauseke nx P (X) = a k X k = a n X n + a n 1 X n a 1 X + a 0 on yhden muuttun K-kertoiminen polynomi.lukua 0 on polynomin P (X) vakiotermi. Josylläolevassalausekkeessaa n 6=0,niinpolynominP (X) aste on deg(p (X)) = n a n on polynomin P (X) korkeimman asteen kerroin. Nollapolynomin0 aste on 1. Kaikkien K-kertoimisten polynomien joukkoa merkitään K[X]. Kommutatiivinen rengas K on polynomin P (X) K[X] kerroinrengas. Olkoot P (X) = P n k=1 a kx k Q(X) = P m k=1 b kx k K-kertoimisia polynome, n m. Olkootb m+1 = b m+ = = b n =0,josn>m.Polynomiensummatulo määritellään asettamalla nx P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k (1) P (X)Q(X) = n+m X X i+j=k a i b j X k. Vähemmän havainnollinen mutta täsmällisempi Määritelmän 1.1 kanssa ekvivalentti tapa määritellä polynomit on korvata polynomin lauseke P n a kx k kertoimien muodostamalla jonolla (a 0,a 1,...,a n, 0, 0,...) määritellä yhteenlasku komponenteittain kuten jonoille on tapana kertolasku kaavan (1) mukaisesti. Tällöin jono (0, 1, 0, 0, 0,...) on symbolin X vastine: Määritelmä 1.1. Olkoon K kommutatiivinen rengas, jossa on vähintään kaksi alkiota. Kuvaus! : N! K, jolleonn! N siten, että!(k) =0kaikille k N!, on K-kertoiminen polynomi. Kaikkien K-kertoimisten polynomien joukko on K[X]. Määritellään laskutoimitukset + joukossa K[X] asettamalla (! +! 0 )(k) =!(k)+! 0 (k) (!! 0 )(k) = kaikille k N. Polynomin! 6= 0aste on Nollapolynomin 0 aste on 1. X i,jn:i+j=k!(i)! 0 (j) deg! =max{k N :!(k) 6= 0}. 7
2 Huomaa, että polynomeille P (X),Q(X) K[X] pätee P (X) =Q(X) täsmälleen silloin, kun niiden kerroinjonot ovat samat. Propositio 1.. Olkoon K kommutatiivinen rengas, jossa on vähintään kaksi alkiota. Joukko K[X] varustettuna polynomien yhteen- kertolaskulla on kommutatiivinen rengas. Kuvaus i: K! K[X], jokakuvaarenkaank alkion a polynomiksi a K[X], oninjektiivinenrengashomomorfismi. Todistus. Selvästi polynomit 0 1 ovat yhteenlaskun kertolaskun neutraalialkiot. Muut renkaan määrittelevät ominaisuudet seuraavat suoraviivaisesti siitä, että K on kommutatiivinen rengas. Kuvauksen i ominaisuudet on myös helppo tarkastaa. Polynomirenkaat ovat tärkeitä kommutatiivisia renkaita, havainnollistamme niiden merkitystä hieman kurssin viimeisessä luvussa, kun sovellamme niitä äärellisten kuntien konstruktiossa. Rengas K voidaan atella Proposition 1. kuvauksen i avulla polynomirenkaan K[X] alirenkaaksi. Kun tarkastelemme polynomirengasta (Z/qZ)[X], merkitsemme kerrointa a + qz yksinkertaisuuden vuoksi edustalla a. Esimerkki 1.3. (1) Olkoot P (X),Q(X) Z[X], P (X) =X +, Q(X) =1+X. Tällöin P (X)Q(X) =4X 3 +X +4X +. Nyt deg(p (X)) =, deg(q(x)) = 1 deg(p (X)Q(X)) = 3. () Jos polynomit P (X),Q(X) (Z/4Z)[X] määritellään samoilla lausekkeilla kuin edellä polynomin kertoimena oleva kokonaisluku a k tulkitaan edellä tehdyn sopimuksen mukaan kongruenssiluokaksi a k +4Z Z/4Z, niin P (X)Q(X) =X +. Nyt pätee P (X)Q(X) =P (X) =P (X) 1 mutta Q(X) 6= 1,jotenkertolaskun supistussääntö ei päde polynomirenkaassa (Z/4Z)[X]. Siis Proposition nolla (Z/4Z)[X] ei ole kokonaisalue. Itse asiassa polynomi X on nollan ka renkaassa (Z/4Z)[X]: (X)(X) =4X =0. Lisäksi pätee deg(p (X)) =, deg(q(x)) = 1 mutta nyt deg(p (X)Q(X)) = < 3=+1 1 =deg0=deg((x)(x)) < deg(x) =. Lemma 1.4. Olkoon K kommutatiivinen rengas, K 6= {0}. Tällöin kaikille P (X),Q(X) K[X]. deg(p (X)Q(X)) apple deg P (X)+degQ(X) Todistus. Olkoot P (X) = P n a kx k Q(X) = P m b kx k oletetaan, että a n 6=0, b m 6=0.TulopolynominP (X)Q(X) korkeimman asteen termi on a n b m X n+m, jos a n b m 6=0,muutenasteonalempi. Propositio 1.5. Jos Kon kokonaisalue, niin K[X] on kokonaisalue. Tällöin deg(p (X)Q(X)) = deg(p (X)) + deg(q(x)). Todistus. Lemman 1.4 merkinnöillä tulopolynomin korkeimman asteen termin kerroin on a n b m 6=0,silläK on kokonaisalue. 73
3 Polynomirengas ei ole koskaan kunta. Jos K on kokonaisalue, niin Proposition 1.5 mukaan ainoat polynomit, joilla on käänteisalkio kertolaskun suhteen ovat vakiopolynomit u, missäu K.Sensian,joskerroinrengaseiolekokonaisalue,niin vakiopolynomeilla a, missä a onnollanka renkaassa K, ei ole käänteisalkiota Propositioiden nolla. Tässä tapauksessa kuitenkin joillakin korkeamman asteen polynomeilla on käänteisalkiot. Esimerkki 1.6. Renkaassa (Z/4Z)[X] pätee (X +1)(X +1)=4X +4X +1=1. Koska merkitsemme renkaan (Z/qZ) alkiota käyttämällä sen kokonaislukuedustaa, on syytä olla huolellinen ollisuuden kanssa: "samalla lausekkeella annettujen polynomien ollisuus riippuu tarkasteltavasta polynomirenkaasta": Esimerkki 1.7. (a) (X 1) (X 1) (X +1) (X 1) kaikissa polynomirenkaissa R[X]: (X 1)(X +1)=X +(1 1)X 1=X 1. (b) (X +1) (X +1)renkaassa (Z/Z)[X], sillä1= 1 renkaassa Z/Z. (c) Polynomi (X+1) ei a polynomia (X +1) renkaassa C[X]:Jos(X+1) (X +1), niin on A, B C,joille(X +1)(AX +B) =X +1. Tällöin toisen nollannen asteen kertoimia tarkastelemalla havaitaan, että pitää olla A =1=B, muttaensimmäisen asteen termit eivät täsmää. Olemme käyttäneet kurssilla muutamia kerto kokonaislukujen koyhtälöä: Olkoot a, b Z b 6= 0. Tällöin on yksikäsitteiset q, j Z, joille a = qb + j 0 apple j< b. Tämä tulos on hyvin uskottava se todistetaan tarkasti lukuteorian alkeiskursseilla. Todistamme seuraavaksi vastaavan tuloksen polynomeille: Lause 1.8 (Jakoyhtälö). Olkoon K kommutatiivinen rengas, jossa on vähintään kaksi alkiota. Olkoot A(X), B(X) K[X] siten, että B(X) 6= 0 polynomin B(X) korkeimman asteen termin kerroin on yksikkö. Tällöin on yksikäsitteiset polynomit Q(X),J(X) K[X], joillepätee deg J(X) < deg B(X). A(X) =Q(X)B(X)+J(X) Todistus. Osoitetaan ensin, että on polynomit Q(X) J(X), jotkatoteuttavatväitteen yhtälön. Jos B(X) kaa polynomin A(X), ei ole mitään todistettavaa. Muuten olkoon S = {A(X) D(X)B(X) :D(X) K[X]}. Koska B(X) ei a polynomia A(X), niin0 / S, jotenjoukko deg S = {deg P (X) :P (X) S} on luonnollisten lukujen joukon epätyhjä osajoukko sillä on siis minimi m 0. Olkoon Q(X) K[X] polynomi, jolle pätee deg(a(x) Q(X)B(X)) = m.olkoon J(X) =A(X) Q(X)B(X) =a m X m + + a 0. Nyt polynomit Q(X) J(X) siis toteuttavat väitteen yhtälön. Osoitetaan sitten, että m<d=degb(x). Olkoonb d polynomin B(X) korkeimman asteen kerroin, joka on oletuksen mukaan yksikkö. Jos olisi m d, niin J(X) a m b 1 d Xm d B(X) =A(X) (Q(X)+a m b 1 d Xm d )B(X) S 74
4 deg J(X) a m b 1 d Xm d B(X) <m,muttatämäonmahdotonta,koskapolynomin J(X) aste on minimaalinen. Osoitetaan lopuksi polynomien Q(X) J(X) yksikäsitteisyys. Jos e Q(X) e J(X) ovat polynome, joille pätee niin A(X) = e Q(X)B(X)+ e J(X), (Q(X) e Q(X))B(X) = e J(X) J(X). Jos e Q(X) 6= Q(X), niinyhtälönvasemmanpuolenpolynominasteonvähintäänd. Kuitenkin, jos deg e J(X) <d,niin deg( e J(X) Siis e Q(X) =Q(X) e J(X) =J(X). J(X)) <d. Seuraus 1.9 (Jakoyhtälö). Olkoon K kunta. Olkoot A(X), B(X) K[X] siten, että B(X) 6= 0.Tällöin on yksikäsitteiset Q(X),J(X) R[X], joille deg J(X) < deg B(X). A(X) =Q(X)B(X)+J(X) Esimerkki Jakoyhtälö voidaan toteuttaa algoritmisesti kokulman avulla kuten kokonaisluvuillekin. Tällöin esimerkiksi polynomeille A(X) =X 3 +X X 1 B(X) =X renkaassa Z[X] kokulma antaa Toisin sanoen X +1 X X 3 +X X 1 X 3 ±4X X +3X 1 X ± 3X +1 X 3 + X X 1=(X +1)(X ) + 3X +1, joten Jakoyhtälön merkinnöillä Q(X) =X +1 J(X) =3X +1. Renkaassa (Z/3Z)[X] polynomeille A(X) B(X) pätee (13) X 3 + X X 1=(X +1)(X ) + 1 = (X +1)(X +1)+1. Jos B(X) =X +1,niin koyhtälö ei toimi renkaassa Z[X]: kokulmassa päädytään ongelmalliseen tilanteeseen X 3 + X X 1=X (X +1) X 1, josta ei voi tkaa. Tämä johtuu siitä, että Z ei ole yksikkö. Sen sian renkaassa (Z/3Z)[X] voidaan tkaa, koska Z/3Z on kunta. Nyt X 1=X +=(X +1)+1 päädytään yhtälöön (13). Renkaassa Q[X] koa voi myös tkaa, saadaan X 3 + X X 1=(X 1 )(X +1) 1. Määritelmä Olkoon K kommutatiivinen rengas. Polynomin nx P (X) = a k X k K[X] määräämä polynomifunktio on P : K! K, x 7! P n a kx k = P (x). 75.
5 Algebrassa tulee pitää erillään polynomin polynomifunktion käsitteet käyttää määritelmän 1.11 merkintätapo. Jokaisen kommutatiivisen renkaan K polynomirengas K[X] on ääretön mutta, jos K on äärellinen, niin funktioita joukolta K joukkoon K on ainoastaan äärellinen määrä. Propositio 1.1. Olkoon K kommutatiivinen rengas. Kuvaus, joka liittää K- kertoimiseen polynomiin P (X) polynomifunktion P : K! K, on rengashomomorfismi polynomirenkaasta K[X] funktiorenkaaseen F (K, K). Todistus. Harjoitustehtävä 157. Esimerkki Olkoot Q(X) =X,P(X) =X (Z/Z)[X]. Tällöin P (0) = 0=0 = Q(0), P (1) = 1 = 1 = Q(1), jotenpolynomitp (X) Q(X) vastaavat samaa polynomifunktiota. Nollasta poikkeava polynomi Q(X) P (X) =X X, määrää nollakuvauksen renkaalta Z/Z itselleen. Määritelmä Olkoon K kommutatiivinen rengas, olkoon P (X) K[X]. Alkio c K on polynomin P (X) juuri, josp (c) =0. Jakoyhtälö antaa seuraavan perustuloksen: Propositio Olkoon K kommutatiivinen rengas. Olkoon P (X) K[X], c K. TällöinP (c) =0,josvainjos(X c) P (X). Todistus. Oletetaan, että P (c) =0.JakoyhtälönmukaanonK-kertoimiset polynomit Q(X) J(X), joilledeg J(X) < 1 P (X) =Q(X)(X c)+j(x). Koska deg J<1, J(X) on vakiopolynomi, joten on b K, jollej(a) =b kaikilla a K. Erityisesti 0=P (c) =Q(c)(c c)+j(c) =b, joten b =0. Toisaalta, jos P (X) =(X c)q(x) jollain polynomilla Q(X) K[X], niin P (c) =(c c)q(c) =0. Propositio Olkoon K kokonaisalue. Olkoon P (X) K[X] polynomi, olkoot c 1,c,...,c k K polynomin P (X) k eri juurta. Tällöin on Q(X) K[X], jolle P (X) =(X c 1 )(X c ) (X c k )Q(X). Todistus. Harjoitustehtävä 155. Lause Olkoon K kokonaisalue olkoon n 1. Jos P (X) K[X] deg P (X) =n, niinpolynomillap (X) on korkeintaan n eri juurta. Todistus. Propositioiden mukaan, jos polynomilla P (X) on k eri juurta, niin deg(p (X)) k. Propositio Olkoon K ääretön kokonaisalue. Tällöin jokaista kokonaisalueen K polynomifunktiota vastaa yksikäsitteinen polynomi renkaassa K[X]. Todistus. Kuvaus, joka liittää polynomiin vastaavan polynomifunktion on on rengashomomorfismi, joten riittää osoittaa, että tämän homomorfismin ydin on {0}. Jos polynomia P (X) vastaa nollafunktio, niin sillä on äärettömän monta juurta. Lauseen 1.17 nolla ainoa tällainen polynomi on 0. Seuraus Olkoon K jokin kokonaisalueista Z, Q, R tai C. Kuvaus, joka liittää jokaiseen polynomiin P (X) K[X] vastaavan polynomifunktion P : K! K, on injektio. 76
6 Erityisesti Propositio.1 antaa kaikki toisen asteen kompleksikertoimisen polynomiyhtälön ratkaisut. Seuraus 1.0. Olkoot a 0,a 1 C. Yhtälön ratkaisut ovat z 1 = a 1 + s a1 z + a 1 z + a 0 =0 a 0 z = a 1 s a1 a 0. Todistus. Jos z 1 6= z,niinväiteseuraasuoraanlauseesta1.17.josz 1 = z = a 1, niin X +a 1 X +a 0 =(X z 1 ).Lauseen1.17mukaanpolynomillaX +a 1 X +a 0 voi olla korkeintaan yksi muu juuri. Kertolaskun supistussääntö pätee renkaassa C[X] Proposition 1.5 nolla, joten yhtälöstä (X z 1 ) = X + a 1 X + a 0 =(X z 1 )(X d) seuraa X z 1 = X c. Siisc = z 1. Määritelmä 1.1. Kunta K onalgebrallisesti suljettu,josjokaisella vakiosta poikkeavalla polynomilla P (X) K[X] on juuri. Seuraus 1.. Jos K algebrallisesti suljettu kunta, niin jokainen vakiosta poikkeava polynomi P (X) K[X] on ensimmäisen asteen polynomien tulo. Jos (X c) k kaa polynomin P (X) renkaassa R[X], niinc on polynomin P (X) k-kertainen juuri. Yleensä,kunlasketaanpolynominjuuria,k-kertaiset juuret huomioidaan laskussa k kertaa. Esimerkiksi 0 on polynomin X kaksinkertainen juuri, kertaluku huomioiden polynomilla X on siis kaksi juurta. Seuraus 1.3. Jos K algebrallisesti suljettu kunta, niin jokaisella nollasta poikkeavalla polynomilla P (X) K[X] on juurten kertaluku huomioiden deg P (X) juurta. Lukualueiden kompleksianalyysin kursseilla todistetaan seuraava tärkeä tulos: Lause 1.4 (Algebran peruslause). Kompleksilukujen kunta on algebrallisesti suljettu. Seuraus 1.5. Jokainen vakiosta poikkeava polynomi P (X) C[X] on ensimmäisen asteen polynomien tulo. Nollasta poikkeavalla polynomilla P (X) C[X] on juurten kertaluku huomioiden deg P (X) juurta. Usein polynomeilla on vähemmän juuria kuin niiden asteesta tuleva maksimimäärä. Esimerkiksi polynomilla X 3 + X R[X] on täsmälleen yksi juuri polynomilla X +1 R[X] ei ole juuria lainkaan. Harjoitustehtäviä. Tehtävä 149. Olkoon K kommutatiivinen rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Osoita, että K(X) on kommutatiivinen rengas. Tehtävä 150. Olkoot P (X),Q(X) (Z/8Z)[X], P (X) =3+X +4X +X 3 Q(X) =4+4X +4X +4X 3 +4X 4. (1) Kerro Q(X) polynomilla P (X). () Jaa Q(X) polynomilla P (X). 77
7 Tehtävä 151. Jaa polynomi P (X) =X 3 +X +3X + polynomilla Q(X) =X +3X +1 (1) polynomirenkaassa Q[X] () polynomirenkaassa (Z/7Z)[X]. Tehtävä 15. Osoita, että F (X) =1 X on yksikkö renkaassa (Z/16Z)[X]. Tehtävä 153. Olkoon p alkuluku. Montako juurta polynomilla X p on? X (Z/pZ)[X] Tehtävä 154. Olkoon K kokonaisalue. Olkoot P (X),Q(X) K[X]. Osoita: Jos P (X) Q(X) Q(X) P (X), niinonu K,jolleP (X) =uq(x). Tehtävä 155. Olkoon K kokonaisalue. Olkoon P (X) K[X] polynomi, olkoot c 1,c,...,c k K polynomin P (X) juuria. Osoita, että on Q(X) K[X], jolle P (X) =(X c 1 )(X c ) (X c k )Q(X). 1 on äärettömän monta ratkaisua Ha- Tehtävä 156. Osoita, että yhtälöllä x = miltonin kvaternioiden vinossa kunnassa. Tehtävä 157. Olkoon K kommutatiivinen rengas. Osoita, että kuvaus, joka liittää polynomiin P (X) K[X] vastaavan polynomifunktion P F (K, K), onrengashomomorfismi. Tehtävä 158. Olkoon p alkuluku. Osoita, että 1+pZ 1+pZ ovat ainoat kunnan Z/pZ alkiot, jotka ovat omat käänteisalkionsa kertolaskun suhteen. Osoita, että Tehtävä 159. Osoita, että jos p on alkuluku. Tehtävä 160. Osoita, että jos q 6 ei ole alkuluku. ( + pz)(3 + pz) (p +pz) =1+pZ. (p 1)! 1 mod p, (q 1)! 0 mod q 15 Vihje: Kerroinrengas Z/16Z ei ole kokonaisalue. 153 Vihje: Käytä ryhmäteoriaa! 156 Vihje: Tarkastele kvaternioita, jotka ovat muotoa ai + bj + ck, a + b + c =1. 78
Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.
Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden
LisätiedotH = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.
10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas
Lisätiedot(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R.
11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi φ: R R on erityisesti ryhmähomomorfismi φ: (R, +) (R, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin φ
Lisätiedotkaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja
Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,
Lisätiedot(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0
11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi : R! R 0 on erityisesti ryhmähomomorfismi :(R, +)! (R 0, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin
Lisätiedot[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko
3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin
Lisätiedotrm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.
9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat
LisätiedotMAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen
Lisätiedotrenkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x
8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 25 Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset
Lisätiedot1 Algebralliset perusteet
1 Algebralliset perusteet 1.1 Renkaat Tämän luvun jälkeen opiskelijoiden odotetaan muistavan, mitä ovat renkaat, vaihdannaiset renkaat, alirenkaat, homomorfismit, ideaalit, tekijärenkaat, maksimaaliset
LisätiedotR 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l,
2. Laajennettu Eukleideen algoritmi Määritelmä 2.1. Olkoot F kunta ja A, B, C, D F [x]. Sanotaan, että C jakaa A:n (tai C on A:n jakaja), jos on olemassa K F [x] siten, että A = K C; tällöin merkitään
Lisätiedotg : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.
ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot
LisätiedotTOOLS. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO TOOLS 1 / 28
TOOLS Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 2018 TOOLS 1 / 28 Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. TOOLS
LisätiedotMAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen Tämä tiedosto sisältää kurssin kaikki laskuharjoitukset. viikottain uusia tehtäviä. Tiedostoon lisätään To 05.02.09 pidetyt harjoitukset.
Lisätiedota b 1 c b n c n
Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =
Lisätiedot{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja
5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.
LisätiedotEsko Turunen Luku 3. Ryhmät
3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,
Lisätiedotjonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä
4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko
LisätiedotALGEBRA KEVÄT 2013 JOUNI PARKKONEN
ALGEBRA KEVÄT 2013 JOUNI PARKKONEN Algebra käsittelee laskemista. Osin tämä tarkoittaa numeroilla laskemista lukualueissa N, Z, Q, R, C laskutoimituksilla + ja ja niiden käänteisoperaatioilla ja / siinä
Lisätiedot14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo.
14. Juurikunnat Mielivaltaisella polynomilla ei välttämättä ole juuria tarkasteltavassa kunnassa. Tässä luvussa tutkitaan sellaisia algebrallisia laajennoksia, jotka saadaan lisäämällä polynomeille juuria.
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jukka Vilen. Polynomirenkaista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jukka Vilen Polynomirenkaista Informaatiotieteiden tiedekunta Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Kesäkuu 2005 Tampereen yliopisto Matematiikan,
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotAlgebra 1. Jouni Parkkonen Luentoja Jyväskylän yliopistossa talvella 2019
Algebra 1 Jouni Parkkonen Luentoja Jyväskylän yliopistossa talvella 2019 Sisältö I Renkaat ja kunnat 1 1 Laskutoimitukset 3 1.1 Laskutoimitus.................................. 3 1.2 Indusoitu laskutoimitus.............................
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,
Lisätiedotja jäännösluokkien joukkoa
3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi
LisätiedotAlgebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen
Algebra II Syksy 2004 Pentti Haukkanen 1 Sisällys 1 Ryhmäteoriaa 3 1.1 Ryhmän määritelmä.... 3 1.2 Aliryhmä... 3 1.3 Sivuluokat...... 4 1.4 Sykliset ryhmät... 7 1.5 Ryhmäisomorfismi..... 11 2 Polynomeista
LisätiedotTeema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32
1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotTodistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset alhaaltaylöspäin.
18 ALGEBRA II missä r n (x) =syt(f(x),g(x)). Lause 2.7. Olkoot f(x),g(x) K[x]. Silloin syt(f(x),g(x)) = a(x)f(x)+b(x)g(x), joillakin a(x),b(x) K[x]. Todistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset
LisätiedotIdeaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Esko Turunen Luku 7. Ideaalit ja tekijärenkaat
Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Rengashomomorfismi ψ :
Lisätiedot11. Jaollisuudesta. Lemma Oletetaan, että a, b R.
11. Jaollisuudesta Edellisen luvun esimerkissä tarvittiin tietoa erään polynomin jaottomuudesta. Tämä on hyvin tavallista kuntalaajennosten yhteydessä. Seuraavassa tarkastellaan hieman jaollisuuskäsitettä
Lisätiedota ord 13 (a)
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
Lisätiedot1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
LisätiedotRenkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit
Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
Lisätiedot802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen
802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................
LisätiedotLUKUTEORIA johdantoa
LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,
LisätiedotLukuteorian kertausta
Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +
Lisätiedot7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
Lisätiedot802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013
802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Kertausta kurssilta Lukuteoria ja ryhmät
LisätiedotPolynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi
Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi Pro gradu -tutkielma Outi Aksela 2117470 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Renkaat 3 1.1 Rengas...............................
Lisätiedot2 1/ /2 ; (a) Todista, että deg P (x)q(x) = deg P (x) + deg Q(x). (b) Osoita, että jos nolla-polynomille pätisi. deg 0(x) Z, Z 10 ; Z 10 [x];
802656S ALGEBRALLISET LUVUT Harjoituksia 2017 1. Näytä, että (a) (b) (c) (d) (e) 2 1/2, 3 1/2, 2 1/3 ; 2 1/2 + 3 1/2 ; 2 1/3 + 3 1/2 ; e iπ/m, m Z \ {0}; sin(π/m), cos(π/m), tan(π/m), m Z \ {0}; ovat algebrallisia
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
LisätiedotKuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara
Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen
Lisätiedot1 Kertausta algebran kurssilta 1. 4 Kuntalaajennukset Kuntalaajennuksen aste Harppi-viivoitin-konstruktiot Hajoituskunnat 88
Sisältö 1 Kertausta algebran kurssilta 1 2 Lisää polynomeista 10 3 Kertausta Q:n konstruktiosta; jakokunta 20 4 Kuntalaajennukset 27 5 Kuntalaajennuksen aste 49 6 Harppi-viivoitin-konstruktiot 64 7 Galois
LisätiedotEsko Turunen MAT Algebra1(s)
Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H
LisätiedotAlgebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen
Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä Versio 1.0 (27.1.2006) Turun yliopisto Lukuteoria 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen joukolla: a) C D
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
Lisätiedotkoska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan
4. Äärellisten kuntien yleisiä ominaisuuksia 4.1. Laajenuskunnat. Tarkastellaan aluksi yleistä kuntaparia F ja K, missä F on kunnan K alikunta. Tällöin sanotaan, että kunta K on kunnan F laajennuskunta
LisätiedotMAT Algebra 1(s)
8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotPERUSASIOITA ALGEBRASTA
PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen
LisätiedotLiite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet
Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja
Lisätiedot800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä
800333A Algebra I Luentorunko Kevät 2010 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä Sisältö 1 Lukuteorian alkeita 3 1.1 Kongruenssiin liittyviä perustuloksia.............. 7 2 Ekvivalenssirelaatio
LisätiedotAlgebra 2. Syksy Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto
Algebra 2 Syksy 2014 Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto Á ÂÓ ÒØÓ Ð Ö Ý ØĐ ÐĐÓØ 1. Koulualgebrasta algebraan Koulun matematiikan opetuksen suurimpia abstraktiohyppäyksiä on
Lisätiedotk=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu
LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja
Lisätiedot[E : F ]=[E : K][K : F ].
ALGEBRA II 35 Lause 4.4 (Astelukulause). Olkoot E/K/Fäärellisiä kuntalaajennuksia. Silloin [E : F ]=[E : K][K : F ]. Todistus. Olkoon {α 1,...,α n } kanta laajennukselle E/K ja {β 1,...,β m } kanta laajennukselle
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 4.7 Syklisen koodin jälkiesitys Olkoon F = F q ja K = F q m kunnan F laajennuskunta. Määritelmä 4.7.1. Kuntalaajennuksen K/F jälkifunktioksi
LisätiedotLUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että
LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,
LisätiedotTeemu Ojansivu Polynomien resultanteista
PRO GRADU -TUTKIELMA Teemu Ojansivu Polynomien resultanteista TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Helmikuu 2015 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ojansivu,
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos Koodausteoria 10 op Kontaktiopetusta 50 h, 26.5. - 26.6. ma 10-14, ti 10-13, to 10-13 Aloitusviikolla poikkeuksellisesti ke 10-13 torstain
Lisätiedot2017 = = = = = = 26 1
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu
LisätiedotNopea kertolasku, Karatsuban algoritmi
Nopea kertolasku, Karatsuban algoritmi Mikko Männikkö 16.8.2004 Lähde: ((Gathen and Gerhard 1999) luku II.8) Esityksen kulku Algoritmien analysointia (1), (2), (3), (4) Klassinen kertolasku Parempi tapa
Lisätiedot(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0)
. Kompleksiluvut Kompleksiluvut C saadaan varustamalla taso R komponenteittaisella yhteenlaskulla (Esimerkki.3 (b)) ja kertolaskulla, joka määritellään asettamalla Huomaa, että ja (a, b)(c, d) =(ac bd,
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua)
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin ( sivua).... Nämä ovat kurssin Algebra I harjoitustehtävien ratkaisuehdoituksia. Ratkaisut koostuvat kahdesta osiosta,
LisätiedotR : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on
0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset
LisätiedotLuonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
LisätiedotÄärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause
Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
LisätiedotLiittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.
Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla
LisätiedotDiofantoksen yhtälön ratkaisut
Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön
LisätiedotKvasiryhmistä ja niiden sovelluksista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Suvi Pasanen Kvasiryhmistä ja niiden sovelluksista Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Maaliskuu 2016 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö PASANEN,
LisätiedotRollen lause polynomeille
Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................
Lisätiedota k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx
x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa
LisätiedotKurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on
Lisätiedotx > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.
ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 94 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Kertoma/Factorial Määritellään
Lisätiedot13.3. Transkendenttisuudesta. 14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo.
13.3. Transkendenttisuudesta. Luvun todistamiseksi algebralliseksi riittää löytää polynomi, jonka juuri kyseinen luku on. Transkendenttisuuden todistaminen on sen sijaan työläämpää. Jotkut tapaukset ovat
LisätiedotTehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla
LisätiedotTehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.
Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain
LisätiedotJäännösluokat. Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan
Jäännösluokat LUKUTEORIA JA TODIS- TAMINEN, MAA Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan lukujoukkoja 3k k Z =, 6, 3, 0, 3, 6, 3k + k Z =,,,,, 7, 3k + k Z =,,,,, 8, Osoita,
LisätiedotH = H(12) = {id, (12)},
7. Normaali aliryhmä ja tekijäryhmä Tarkastelemme luvun aluksi ryhmän ja sen aliryhmien suhdetta. Olkoon G ryhmä ja olkoon H G. Alkiong G vasen sivuluokka (aliryhmän H suhteen) on gh = {gh : h H} ja sen
LisätiedotLuuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006
Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Sisältö 1 Luupeista 2 1.1 Luupit ja niiden kertolaskuryhmät................. 2 2 Transversaalit 5 3
Lisätiedot4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
Lisätiedotd Z + 17 Viimeksi muutettu
5. Diffien ja Hellmanin avaintenvaihto Miten on mahdollista välittää salatun viestin avaamiseen tarkoitettu avain Internetin kaltaisen avoimen liikennöintiväylän kautta? Kuka tahansahan voi (ainakin periaatteessa)
Lisätiedot802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2017 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotJohdanto 2. 2 Osamääräkunnan muodostaminen 7. 3 Osamääräkunnan isomorfismit 16. Lähdeluettelo 20
Osamääräkunta LuK-tutkielma Lauri Aalto Opiskelijanumero: 2379263 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Käsitteitä ja merkintöjä 3 2 Osamääräkunnan muodostaminen
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Olkoot n, d 1 ja d n. Osoita, että (k, n) d jos ja vain jos k ad, missä (a, n/d) 1. (ii) Osoita, että jos (m j, m k ) 1 kun
Lisätiedot(ψ + ζ)φ(a) = ψφ(a) + ζφ(a) = (ψφ + ζφ)(a), φ(ψ + ζ)(a) = φ(ψ(a) + ζ(a)) = φψ(a) + φζ(a) = (φψ + φζ)(a).
ALGEBRA 2007 15 Todistus. Mieti, miksi kuvaus on hyvin määritelty! Surjektiivisuus on selvää. Lisäksi φ(xkyk) = φ(xyk) = xyh = xhyh = φ(xk)φ(yk), joten kuvaus on homomorfismi. Jos y H, niin φ(yk) = yh
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
Lisätiedot