MAT Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen
|
|
- Leo Penttilä
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 MAT Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Tehtävä 2. Onko laskutoimituksilla ja neutraalialkiot? Tehtävä 3. Onko jokaisella A P(X) käänteisalkiot laskutoimitusten ja suhteen? Tehtävä 4. Onko joukon P(X) laskutoimitus \ assosiatiivinen? Tehtävä 5. Onko matriisien yhteenlasku assosiatiivinen joukossa P M 2 R, ks Esimerkki 1.7? Onko se kommutatiivinen? Tehtävä 6. Onko matriisien kertolasku assosiatiivinen joukossa P M 2 R? Onko se kommutatiivinen? Tehtävä 7. Onko matriisien yhteenlaskulla neutraalialkio joukossa P M 2 R? Onko matriisien kertolaskulla neutraalialkio joukossa P M 2 R? Tehtävä 8. Olkoon Γ = {A M 2 R : deta = 1}. Osoita, että matriisien kertolasku indusoi laskutoimituksen joukossa Γ. Miten yhteenlasku käyttäytyy? Tehtävä 9. Olkoon X, ja olkoon joukon X laskutoimitus. Osoita: Jos on alkiot e X ja e X siten, että e g = g ja g e = g kaikilla g X, niin e = e. 1
2 Tehtävä 10. Olkoon E relaatio reaalilukujen joukossa R 2 siten, että Osoita, että E on ekvivalenssirelaatio. Tehtävä 11. (x, y)e(z, w) x 2 + y 2 = z 2 + w 2. Olkoon ekvivalenssirelaatio joukossa A. Olkoot x, y A. Osoita, että ekvivalenssiluokille pätee: Jos [x] [y], niin [x] = [y]. Tehtävä 12. Osoita, että tekijälaskutoimitus on assosiatiivinen, jos alkuperäinen laskutoimitus on assosiatiivinen. Peano 1. Hahmottele tapaa, miten voisit todistaa luonnollisten lukujen summan oleva vaihdannainen ja liitännäinen. Peano 2. Määrittele ensin parillinen luonnollinen luku ja osoita sitten induktiolla, että n 2 + n on parillinen, kun n on luonnollinen luku ja n 0. Tehtävä 13. Olkoon relaatio joukossa N N annettu ehdolla (m, n) (p, q) jos, ja vain jos m + q = n + p. Todista, että on ekvivalenssirelaatio. Tehtävä 14. Määritellään joukossa N N laskutoimitus ehdolla (m, n) (p, q) = (mp + nq, mq + np). Todista, että saatu laskutoimitus on yhteensopiva tehtävän 13 relaation kanssa. Tehtävä 15. Olkoon kuvaus i : N Z sellainen, että i(n) = [(n, 0)] aina, kun n on luonnollinen luku. Todista, että (a) i on injektio ja (b) aina, kun m, n N on i(m + n) = i(m) + i(n) ja i(mn) = i(m)i(n). 2
3 Tehtävä 16. Olkoon kuvaus i : N Z kuten tehtävä 15. Todista, että jokainen kokonaisluku on muotoa i(n) tai i(n) jollakin n N. Tehtävä 17. Osoita, että joukon Z Z ekvivalenssirelaatio on yhteensopiva laskutoimitusten (a, b) (c, d) jos, ja vain jos ad = bc (a, b) (c, d) = (ad + bc, bd) ja (a, b)(c, d) = (ac, bd) kanssa, jolloin voidaan määritellä ekvivalenssiluokkien joukossa operaatiot ja kaavoilla Tehtävä 18. [(a, b)] [(c, d)] = [(ad + bc, bd)] ja [(a, b)] [(c, d)] = [(ac, bd)] Todista, että rationaalilukujen kertolasku on distributiivinen yhteenlaskun suhteen. Tehtävä 19. Todista, että SL 2 R varustettuna matriisien kertolaskulla on ryhmä. Tehtävä 20. Todista, että jos h : E E on surjektiivinen homomorfismi ja E : llä on neutraalialkio e, niin h(e) on E :n neutraalialkio. Tehtävä 21. Etsi vastaesimerkki tilanteesta, jossa edellinen tulos ei ole voimassa, kun oletuksesta h : E E on surjektiivinen luovutaan ja oletetaan vain h : E E on homomorfismi. Tehtävä 22. Olkoot G ja G ryhmiä ja h : G G homomorfismi. Todista, että h(e) on G :n neutraalialkio, kun e on G:n neutraalialkio. Tehtävä 23. Onko edellinen väite voimassa, jos luovutaan oletuksesta G on ryhmä? 3
4 Tehtävä 24. Olkoon G ryhmä. Todista, että aina, kun a, b, c G on voimassa Tehtävä 25. jos ab = ac, niin b = c, ja jos ba = ca, niin b = c. Olkoon A joukko, jossa on assosiatiivinen laskutoimitus sekä neutraalialkio e A tämän laskutoimituksen suhteen. Todista: Jokaisella yhtälöllä ax = b ja ya = b on ratkaisu joss A on ryhmä. Tehtävä 26. Todista Lemman 3.4 laskusäännöt kertolaskun tapauksessa. Tehtävä 27. Olkoon G ryhmä ja Aut(G) G:n automorfismien joukko varustettuna laskutoimituksella (kuvausten yhdistäminen). Osoita, että Aut(G) on ryhmä. Tehtävä 28. Reaalifunktio f : R R on tunnetusti kasvava jos f(x) f(y) aina, kun x y. Muodostavatko kasvavat bijektiot ryhmän, kun laskutoimituksena on (kuvausten yhdistäminen)? Entä muodostavatko bijektiiviset, vähenevät funktiot ryhmän, laskutoimituksena? Monotonisten funktioiden joukko on kasvavien funktioiden joukon ja vähenevien funktioiden joukon unioni. Muodostavatko monotoniset bijektiot ryhmän, laskutoimituksena? Tehtävä 29. Oletetaan, että X, Y ja olkoon f : X Y bijektio. Todista, että permutaatioryhmät S(X) ja S(Y ) ovat isomorfiset. Tehtävä 30. Olkoot G ja G isomorfisia ryhmiä. Todista: jos G on kommutatiivinen, niin G on kommutatiivinen. Tehtävä 31. Muodostukoot joukon H 3 alkiot muotoa 1 x z 0 1 y olevista reaalimatriiseista. Todista, että saadaan ryhmä, kun laskutoimituksena on matriisien kertolasku. 4
5 Tehtävä 32. Olkoon G reaalisten, kolmipaikkaisten vektorien ryhmä ja laskutoimituksena vektorien yhteenlasku. Onko kuvaus h : G H 3, 1 x z h(x, y, z) = 0 1 y ryhmäisomorfismi, kun H 3 :n laskuoperaationa on matriisien kertolasku? Tehtävä 33. Olkoon G äärellinen ryhmä. Todista, että G:n laskutaulun jokainen alkio esiintyy jokaisella vaakarivillä täsmälleen yhden kerran. Miten on pystyriven laita? Tehtävä 34. Olkoon G ryhmä. Määritellään relaatio R joukossa G siten, että Onko R ekvivalenssirelaatio?. Tehtävä 35. arb joss a = gbg 1 jollakin g G. Määritellään reaalilukujen R joukossa laskutoimitus kaavalla x y = 3 x 3 + y 3. Todista, että (a) (R, ) on ryhmä, (b) (R, ) ja (R, +) ovat ryhminä isomorfiset. Tehtävä 36. Määritä kaikki ryhmien Z 6 ja Z 7 aliryhmät. Tehtävä 37. Osoita, että ryhmät Z 4 ja Z 2 Z 2 eivät ole isomorfisia (vihje: osoita, että toinen niistä on syklinen, mutta toinen ei ole). Tehtävä 38. Osoita, että ryhmät Z 6 ja Z 2 Z 3 ovat isomorfisia (vihje: osoita, että molemmat ovat syklisiä, ja muodosta sitten isomorfinen kuvaus). Tehtävä 39. Osoita, että aliryhmien leikkaus on aliryhmä eli jos G on ryhmä ja H i G, i Γ, niin i Γ H i G. Tehtävä 40. Todista Proposition 4.8 jälkimmäinen osa. 5
6 Tehtävä 41. Määritä matriisien A, B, C SL 2 Z kertaluvut, kun ( ) ( ) ( A =, B = ja C = Tehtävä 42. Olkoon G ryhmä ja H sen aito aliryhmä. Määritellään kaksi relaatiota G:ssä s.e. x v y x 1 y H ja x y yx 1 H. Todista, että relaatiot ovat ekvivalenssirelaatioita. Tehtävä 43. Olkoon G ryhmä ja H sen aito aliryhmä. Osoita, että tekijäjoukkojen välinen kuvaus ψ : G/H H\G siten, että ψ(ah) = Ha 1 on bijektio. Tehtävä 46. Ryhmän G keskus on G:n osajoukko Z = {z G; zg = gz aina, kun g G} varustettuna indusoidulla laskutoimituksella. Todista, että Z on kommutatiivinen normaali aliryhmä. Tehtävä 47. Todista Proposition 4.17 osa (2). Tehtävä 48. Todista Propositio Tehtävä 49. Luennolla tutkimme yleistä lineaarista ryhmää GL n R s.o. reaalisia n n matriiseja, joiden determinatti ei ole = 0; se on ryhmä laskutoimituksena matriisien kertolasku. Asetataan O(n) = {A GL n R; AA T = I}. Saadaanko aito aliryhmä? Tehtävä 50. Todista, että jokainen syklinen ryhmä on isomorfinen joko ryhmän Z tai jonkin jakojäännösryhmän Z n, n Z kanssa. Tehtävä 51. Olkoon G äärellinen ryhmä. Olkoot K < H < G. Osoita, että indekseille pätee: [G : K] = [G : H][H : K]. ). 6
7 Tehtävä 52. Olkoon G ryhmä. Olkoot K < H < G siten, että [G : H] <, [H : K] <. Osoita, että indekseille pätee: [G : K] = [G : H][H : K]. Tehtävä 54. Todista, että jokaisen syklisen ryhmän tekijäryhmä on syklinen. Tehtävä 55. Olkoon G ryhmä, ja olkoon ekvivalenssirelaatio, joka on yhteensopiva ryhmän G laskutoimituksen kanssa. Osoita, että neutraalialkion e G määräämä ekvivalenssiluokka [e] on ryhmän G normaali aliryhmä. Tehtävä 56. Muodostukoon joukko G = {e, a, b, c, d, f} seuraavista 2 2 matriiseista ( ) ( ) ( ) e =, a =, b =, ( ) ( ) ( ) c =, d =, f = Muodosta laskutaulu ja (a) totea, että saadaan ryhmä. (b) Luettele kaikki ne aliryhmät, jotka ovat isomorfisia ryhmän Z 2 kanssa. (c) Onko G kommutatiivinen? Tehtävä 58. Osoita, että kokonaislukujen kertolasku on yhteensopiva kongruenssin (mod p) kanssa. Osoita, että jakojäännösryhmä Z p varustettuna kokonaislukujen yhteenja kertolaskujen tekijälaskutoimituksilla on kommutatiivinen rengas. Tehtävä 59. Olkoon X joukko. Määritellään joukkojen A, B P(X) symmetrinen erotus asettamalla A B = (A \ B) (B \ A). Operaatio voidaan osoittaa assosiatiiviseksi. Todista, että (P(X),, ) on rengas. Onko se kommutatiivinen? Tehtävä 60. Olkoon R rengas. Osoita, että (1) x( y) = ( x)y = (xy) aina, kun x, y R, (2) x(y z) = xy xz ja (y z)x = yx zx aina, kun x, y, z R, (3) jos joukossa R on ainakin kaksi eri alkiota, niin
8 Tehtävä 61. Olkoon (A, +) kommutatiivinen ryhmä, ja olkoon Hom(A, A) = {φ : A A : φ on homomorfismi}. Todista, että joukon Hom(A, A) laskutoimitus, joka määritellään asettamalla on assosiatiivinen ja kommutatiivinen. Tehtävä 62. Todista Propositio 5.5. Tehtävä 63. (φ + φ )(a) = φ(a) + φ (a), Olkoon R kommutatiivisen renkaan R yksiköiden joukko. Osoita, että R varustettuna kertolaskun indusoimalla laskutoimituksella on ryhmä. Tehtävä 64. Määritellään joukossa Z 3 yhteenlasku komponenteittain ja kertolasku asettamalla (a, b, c)(x, y, z) = (ax, bx + cy, cz) aina, kun (a, b, c), (x, y, z) Z 3. Onko kertolaskuoperaatio kommutatiivinen? Onko Z 3 varustettuna näillä laskutoimituksilla rengas? Tehtävä 65. Olkoot R = {f : [0, 1] R} S = {g : [0, 2] R} varustettu kuvausrenkaiden laskutoimituksilla. Ovatko renkaat R ja S isomorfisia? Tehtävä 66. Olkoon R rengas, ja olkoon S R ja olkoon joukossa S ainakin 2 eri alkiota. Osoita, että S on renkaan R alirengas, jos ja vain jos (i) x + y S ja xy S aina, kun x, y S, ja (ii) 1 S. Tehtävä 67. Olkoon φ : R R rengashomomorfismi. Olkoon S renkaan R alirengas. Osoita, että φ 1 (S ) on renkaan R alirengas. Tehtävä 68. Olkoon K kunta, ja olkoon K sen alikunta. Osoita, että alikunnan K yhteenlaskun ja kertolaskun neutraalialkiot ovat samat kuin kunnan K. 8
9 Tehtävä 69. Osoita, että kunnan K osajoukko K on K:n ei-triviaali alikunta, jos ja vain jos (i) joukossa K on ainakin 2 eri alkiota, (ii) a b K aina, kun a, b K, ja (iii) ab 1 K aina, kun a, b K, b 0. Tehtävä 70. Osoita, että alkulukuja on äärettömän monta. Tehtävä 71. Osoita, että jokainen luonnollinen luku n 2 voidaan esittää alkulukujen tulona. Tehtävä 72. Todista, että luku n N, n 2 ei ole alkuluku jos, ja vain jos on olemassa alkuluku p, jolle p 2 n, ja joka jakaa n:n. Tehtävä 73. Todista: alkio [a] Z n, 0 < a < n, on nollan jakaja, jos ja vain jos syt(a, n) 1. Tehtävä 74. Määritä renkaiden Z 6 ja Z 8 ja Z 101 yksiköt. Tehtävä 75. Olkoon p N. Olkoon a Z. Millä ehdolla [a] on ryhmän Z p virittäjä? Tehtävä 76. (a) Mitkä alkiot ovat nollan jakajia renkaassa Z 9? (b) Mitkä alkiot ovat yksiköitä renkaassa Z 9? (c) Onko renkaan Z 9 yksiköiden ryhmä (tulo-operaation suhteen) syklinen? (Vihje: kirjoita auki kertolaskutaulu!) Tehtävä 77. Olkoon R rengas, ja olkoon I R. Osoita, että (1) I on vasen ideaali jos, ja vain jos xa + x a I kaikilla x, x R ja a, a I. (2) I on kaksipuolinen ideaali, jos, ja vain jos se on vasen ideaali ja oikea ideaali. Tehtävä 78. Olkoon φ : R S rengashomomorfismi. Olkoon I renkaan R vasen ideaali. Osoita, että φ(i) on renkaan φ(r) vasen ideaali. 9
10 Tehtävä 79. Olkoon R rengas. Olkoot a 1, a 2,, a n R. Osoita, että (a 1, a 2,, a n ) = {x 1 a 1 + x 2 a x n a n x 1, x 2,, x n R} on renkaan R vasen ideaali. Tehtävä 80. Olkoot L ja M renkaan R vasempia ideaaleja. Olkoot ja LM = {x 1 y 1 + x 2 y x n y n x i L, y i M, n N} L + M = {x + y x L, y M}, Osoita, että LM ja L + M ovat renkaan R vasempia ideaaleja. Tehtävä 81. Olkoot L ja M renkaan R vasempia ideaaleja. (1) Osoita, että L M on renkaan R vasen ideaali. (2) Osoita, että jos I i, i Γ on renkaan R vasen ideaali (Γ jokin ideksijoukko), niin i Γ I i on renkaan R vasen ideaali. (3) Osoita, että LM L M, jos R on kommutatiivinen. Tehtävä 82. Olkoon R rengas, ja olkoon I sen kaksipuolinen ideaali. Osoita, että R/I on rengas. Tehtävä 83. Olkoon p alkuluku. Olkoon Olkoon edelleen R = { m n syt(m, n) = 1 ja n ei ole jaollinen luvulla p} I = { m n R m on jaollinen luvulla p} Osoita, että R on kommutatiivinen rengas, ja että I on renkaan R ideaali. (Rationaaliluku m n on supistetussa muodossa, jos syt(m, n) = 1.) Tehtävä 84. Todista renkaiden isomorfismilause. 10
11 Tehtävä 85. Olkoot K ja K kuntia. Olkoon φ : K K kuntahomomorfismi. Osoita, että φ on injektio. Tehtävä 101. Osoita, että polynomi P (X) = 1 2X on yksikkö renkaassa Z 16 [X]. (Vihje: Etsi Z 16 [X]:n polynomi Q(X) jolle P (X)Q(X) = 1.) Tehtävä 102. Olkoon p alkuluku. Montako juurta polynomilla X p X Z p [X] on? (Vihje: Tutki - vaikka verkosta - mitä sanoo Fermat n pieni lause.) Tehtävä 103. Olkoon K kokonaisalue. Olkoot P (X), Q(X) K[X]. Osoita: Jos P (X) Q(X) ja Q(X) P (X), niin on olemassa kokonaisalueen K nollasta poikkeva alkio u jolle P (X) = uq(x). Tehtävä 104. Olkoon R kommutatiivinen rengas. Olkoot A(X), B(X) R[X] siten, että B(X) 0 ja B(X):n korkeimman asteen termin kerroin on yksikkö. Osoita, että tällöin on olemassa polynomit P (X), J(X) R[X], joille A(X) = Q(X)B(X) + J(X) ja degj(x) < degb(x). Tehtävä 105. Olkoon K kunta. Olkoon P (X) K[X] polynomi, ja olkoot c 1,, c k K polynomin P (X) juuria. Osoita, että on olemassa polynomi Q(X) K[X], jolle P (X) = (X c 1 )(X c 2 ) (X c k )Q(X). Tehtävä 106. Olkoot P (X), Q(X) Z 8 [X], P (X) = 3 + 2X + 4X 2 + 2X 3 ja Q(X) = 4 + 4X + 4X 2 + 4X 3 + 4X 4. (a) Kerro Q(X) polynomilla P (X) ja (b) jaa Q(X) polynomilla P (X). Tehtävä 107. Olkoon K kunta. Polynomi P (X) K[X] on jaoton, jos ei ole olemassa polynomeja A(X), B(X) K[X], joille dega(x), degb(x) > 0 siten, että P (X) = A(X)B(X). Osoita, että toisen asteen polynomi P (X) K[X] on jaoton jos, ja vain jos sillä ei ole juurta kunnassa K. 11
12 Tehtävä 108. Onko polynomirenkaan Z 5 [X] polynomi (a) X 2 2 (b) X jaoton? Tehtävä 109. Jaa polynomi P (X) = X 3 + 2X 2 + 3X + 2 polynomilla Q(X) = 2X 2 + 3X + 1 (a) polynomirenkaassa Q[X] ja (b) polynomirenkaassa Z 7 [X]. Tehtävä 110. Todista, että (a) joukon A esijärjestys R generoi ekvivalenssin joukkoon A, kun asetataan x y joss xry ja yrx ja että (b) tekijäjoukkoon A/ generoituu järjestysrelaatio ehdolla Tehtävä 111. [x] [y] joss xry. Todista, että hilan L hilaoperaatiot ja toteuttavat seuraavat ehdot aina, kun x, y, z L: x x = x x x = x x y = y x x y = y x x (y z) = (x y) z x (y z) = (x y) z x = x (x y) = x (x y) x y joss x y = x joss x y = y. Tehtävä 112. Todista: hilassa L ehdot (i) a (b c) = (a b) (a c) ja (ii) a (b c) = (a b) (a c) implikoivat toinen toisensa eli jos (i) on voimassa kaikilla a, b, c L, niin myös (ii) on voimassa ja kääntäen. Tehtävä 113. Osoita totuustaulujen avulla, että kaikki logiikan aksioomat ovat tautologioita. Tehtävä 114. Jos kaikkien logiikan lauseiden joukossa F määritellään relaatio R s.e. αrβ joss (αimpβ), on R refleksiivinen. Todista, että se on myös transitiivinen. 12
13 Tehtävä 115. Todista, että Lindenbaum-Tarski algebrassa (F/,,, ) luokka [αjaβ] on luokkaparin {[α], [β]} suurin alaraja. 13
MAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen Tämä tiedosto sisältää kurssin kaikki laskuharjoitukset. viikottain uusia tehtäviä. Tiedostoon lisätään To 05.02.09 pidetyt harjoitukset.
Lisätiedota b 1 c b n c n
Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =
Lisätiedot[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko
3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin
Lisätiedotrenkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x
8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta
Lisätiedotkaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja
Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,
LisätiedotALGEBRA KEVÄT 2013 JOUNI PARKKONEN
ALGEBRA KEVÄT 2013 JOUNI PARKKONEN Algebra käsittelee laskemista. Osin tämä tarkoittaa numeroilla laskemista lukualueissa N, Z, Q, R, C laskutoimituksilla + ja ja niiden käänteisoperaatioilla ja / siinä
Lisätiedotjonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä
4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko
LisätiedotEsko Turunen Luku 3. Ryhmät
3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,
Lisätiedotk=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0
1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota
LisätiedotMAT Algebra 1(s)
8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen
LisätiedotH = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.
10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas
LisätiedotAlgebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen
Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä Versio 1.0 (27.1.2006) Turun yliopisto Lukuteoria 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen joukolla: a) C D
Lisätiedot(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R.
11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi φ: R R on erityisesti ryhmähomomorfismi φ: (R, +) (R, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin φ
Lisätiedot{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja
5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.
LisätiedotEsko Turunen MAT Algebra1(s)
Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H
Lisätiedot1 Algebralliset perusteet
1 Algebralliset perusteet 1.1 Renkaat Tämän luvun jälkeen opiskelijoiden odotetaan muistavan, mitä ovat renkaat, vaihdannaiset renkaat, alirenkaat, homomorfismit, ideaalit, tekijärenkaat, maksimaaliset
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 25 Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset
LisätiedotH = H(12) = {id, (12)},
7. Normaali aliryhmä ja tekijäryhmä Tarkastelemme luvun aluksi ryhmän ja sen aliryhmien suhdetta. Olkoon G ryhmä ja olkoon H G. Alkiong G vasen sivuluokka (aliryhmän H suhteen) on gh = {gh : h H} ja sen
Lisätiedot(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0
11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi : R! R 0 on erityisesti ryhmähomomorfismi :(R, +)! (R 0, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin
Lisätiedot802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013
802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Kertausta kurssilta Lukuteoria ja ryhmät
LisätiedotAlgebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia
Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa,
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
LisätiedotAlgebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen
Algebra II Syksy 2004 Pentti Haukkanen 1 Sisällys 1 Ryhmäteoriaa 3 1.1 Ryhmän määritelmä.... 3 1.2 Aliryhmä... 3 1.3 Sivuluokat...... 4 1.4 Sykliset ryhmät... 7 1.5 Ryhmäisomorfismi..... 11 2 Polynomeista
LisätiedotMitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.
Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden
LisätiedotLuonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
LisätiedotAlgebra 1. Jouni Parkkonen Luentoja Jyväskylän yliopistossa talvella 2019
Algebra 1 Jouni Parkkonen Luentoja Jyväskylän yliopistossa talvella 2019 Sisältö I Renkaat ja kunnat 1 1 Laskutoimitukset 3 1.1 Laskutoimitus.................................. 3 1.2 Indusoitu laskutoimitus.............................
LisätiedotAlgebra kl Tapani Kuusalo
Algebra kl. 2010 Tapani Kuusalo Sisältö Luku 1. Luonnolliset luvut 1 Luku 2. Laskutoimitukset 4 1. Laskutoimitusten yleiset ominaisuudet 4 2. Neutraali- ja käänteisalkiot 6 3. Indusoidut laskutoimitukset,
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jukka Vilen. Polynomirenkaista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jukka Vilen Polynomirenkaista Informaatiotieteiden tiedekunta Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Kesäkuu 2005 Tampereen yliopisto Matematiikan,
LisätiedotTehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.
Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y
LisätiedotAlgebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut
Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut Versio 1.0 (27.1.2006 Turun yliopisto Lukuteoria 1. a Tarkistetaan ekvivalenssirelaation ehdot. on refleksiivinen, sillä identiteettikuvaus, id : C
LisätiedotKuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara
Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen
Lisätiedot802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen
802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................
LisätiedotKurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.
Lisätiedotja jäännösluokkien joukkoa
3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi
LisätiedotJohdanto 2. 2 Osamääräkunnan muodostaminen 7. 3 Osamääräkunnan isomorfismit 16. Lähdeluettelo 20
Osamääräkunta LuK-tutkielma Lauri Aalto Opiskelijanumero: 2379263 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Käsitteitä ja merkintöjä 3 2 Osamääräkunnan muodostaminen
LisätiedotRenkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit
Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen
Lisätiedot3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi
3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,
LisätiedotPolynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi
Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi Pro gradu -tutkielma Outi Aksela 2117470 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Renkaat 3 1.1 Rengas...............................
LisätiedotEsimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.
Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4
LisätiedotIdeaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Esko Turunen Luku 7. Ideaalit ja tekijärenkaat
Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Rengashomomorfismi ψ :
LisätiedotLukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin
Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin Pro gradu -tutkielma Esa Pulkka 517378 Itä-Suomen Yliopisto Fysiikan ja matematiikan laitos 26. maaliskuuta 2012 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Luonnolliset luvut
LisätiedotAlgebra. Jouni Parkkonen. Lukijalle
Algebra Jouni Parkkonen Lukijalle Tämä moniste perustuu kevään 2007 Algebran kurssiin. Koko materiaali on mahdollista käydä 12 viikon kurssilla, mahdollisesti algebran peruslauseen todistusta lukuunottamatta.
Lisätiedota k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx
x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa
Lisätiedota) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon
Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 3, ratkaisuista. Kokonaisluvut määriteltiin luonnollisten lukujen avulla ekvivalenssiluokkina [a, b], jotka määrää (jo demoissa ekvivalenssirelaatioksi osoitettu)
LisätiedotLiite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet
Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 2: Relaatiot 4.2 Relaatiot Relaatioilla mallinnetaan joukkojen alkioiden välisiä suhteita Joukkojen S ja T välinen binaarirelaatio
Lisätiedotkoska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan
4. Äärellisten kuntien yleisiä ominaisuuksia 4.1. Laajenuskunnat. Tarkastellaan aluksi yleistä kuntaparia F ja K, missä F on kunnan K alikunta. Tällöin sanotaan, että kunta K on kunnan F laajennuskunta
Lisätiedot1 Jakajat ja jäännökset. on hyvinjärjestetty, eli jokaisessa epätyhjässä joukossa J N on pienin alkio. Otetaan käyttöön merkintä
LUKUTEORIAA 1 Jakajat ja jäännökset Luonnollisten lukujen joukko N = { 0, 1, 2, 3,... } on hyvinjärjestetty, eli jokaisessa epätyhjässä joukossa J N on pienin alkio. Otetaan käyttöön merkintä Z + = {1,
Lisätiedotrm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.
9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat
Lisätiedotx > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.
ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).
LisätiedotLuupit Pro gradu Anni Keränen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014
Luupit Pro gradu Anni Keränen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Perusteita 3 1.1 Kuvauksista............................ 3 1.2 Relaatioista............................
Lisätiedot800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä
800333A Algebra I Luentorunko Kevät 2010 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä Sisältö 1 Lukuteorian alkeita 3 1.1 Kongruenssiin liittyviä perustuloksia.............. 7 2 Ekvivalenssirelaatio
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä
LisätiedotPERUSASIOITA ALGEBRASTA
PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen
LisätiedotAlgebra, 1. demot, 18.1.2012
Algebra, 1. demot, 18.1.2012 1. Mielivaltaisen joukon X potenssijoukko eli kaikkien osajoukkojen joukko P(X) määritellään asettamalla P(X) = {A A X}. Päteekö ehto X P(X) a) aina, b) ei koskaan tai c) joskus?
LisätiedotDISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA.
Heikki Junnila DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset..... 3 2. Luonnolliset luvut. Induktio.... 9 3. Äärelliset joukot.... 14 4. Joukon ositukset.
LisätiedotHeikki Junnila VERKOT JOUKOISTA JA RELAATIOISTA
Heikki Junnila VERKOT LUKU I JOUKOISTA JA RELAATIOISTA 1. Joukkojen symmetrinen erotus.....................................1 2. Relaation sisältämät kuvaukset.................................... 7 Harjoitustehtäviä................................................
LisätiedotKurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua)
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin ( sivua).... Nämä ovat kurssin Algebra I harjoitustehtävien ratkaisuehdoituksia. Ratkaisut koostuvat kahdesta osiosta,
LisätiedotRelaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.
Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.
LisätiedotValitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.
Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä
Lisätiedot110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3
4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2018-2019 Kertausta toiseen välikokeeseen Yhteenveto Kurssin sisältö 1. Algoritmin käsite 2. Lukujärjestelmät ja niiden muunnokset; lukujen esittäminen tietokoneessa 3. Logiikka
LisätiedotCauchyn ja Sylowin lauseista
Cauchyn ja Sylowin lauseista Pro gradu-tutkielma Jukka Kuru Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Peruskäsitteet 4 1.1 Funktion käsitteitä........................ 4
LisätiedotÄärellisten mallien teoria
Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 2 ratkaisut Tehtävä 1 Olkoon X = {a, b, c} kolmen alkion joukko. a) Mikä on joukon X eri laskutoimitusten lukumäärä? b) Kuinka moni näistä laskutoimituksista on
LisätiedotTOOLS. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO TOOLS 1 / 28
TOOLS Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 2018 TOOLS 1 / 28 Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. TOOLS
Lisätiedot(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotALGEBRA KEVÄT 2011 JOUNI PARKKONEN
ALGEBRA KEVÄT 2011 JOUNI PARKKONEN Sisältö 1. Laskutoimitukset 1 2. Kompleksiluvut 8 3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut 15 4. Ryhmät 20 5. Aliryhmät 26 6. Aärelliset permutaatioryhmät
LisätiedotEsko Turunen Luku 9. Logiikan algebralisointi
Logiikan algebralisointi Tässä viimeisessä luvussa osoitamme, miten algebran peruskäsitteitä käytetään logiikan tutkimuksessa. Käsittelemme vain klassista lauselogiikkaa ja sen suhdetta Boolen algebraan,
Lisätiedot6. Tekijäryhmät ja aliryhmät
6. Tekijäryhmät ja aliryhmät Tämän luvun tavoitteena on esitellä konstruktio, jota kutsutaan tekijäryhmän muodostamiseksi. Konstruktiossa lähdetään liikkeelle jostakin isosta ryhmästä, samastetaan alkioita,
LisätiedotMatematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden
LisätiedotLineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016
Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang 2187044 Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Esitietoja 3 1.1 Ryhmät.............................. 3 1.1.1 Ryhmä ja aliryhmä....................
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
Lisätiedot802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä
802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät 2014 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Ekvivalenssirelaatio 3 2 Lukuteoriaa 4 2.1 Lukuteorian
LisätiedotTeema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32
1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki
Lisätiedota 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle.
Harjoitus 10 (7 sivua) Ratkaisuehdotuksia/Martina Aaltonen Tehtävä 1. Mitkä seuraavista yhtälöistä pätevät mielivaltaisen renkaan alkioille a ja b? a) a 2 ba = (a b)a b) (a + b + 1)(a b) = a 2 b 2 + a
LisätiedotR 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l,
2. Laajennettu Eukleideen algoritmi Määritelmä 2.1. Olkoot F kunta ja A, B, C, D F [x]. Sanotaan, että C jakaa A:n (tai C on A:n jakaja), jos on olemassa K F [x] siten, että A = K C; tällöin merkitään
Lisätiedot(ψ + ζ)φ(a) = ψφ(a) + ζφ(a) = (ψφ + ζφ)(a), φ(ψ + ζ)(a) = φ(ψ(a) + ζ(a)) = φψ(a) + φζ(a) = (φψ + φζ)(a).
ALGEBRA 2007 15 Todistus. Mieti, miksi kuvaus on hyvin määritelty! Surjektiivisuus on selvää. Lisäksi φ(xkyk) = φ(xyk) = xyh = xhyh = φ(xk)φ(yk), joten kuvaus on homomorfismi. Jos y H, niin φ(yk) = yh
Lisätiedotg : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.
ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot
Lisätiedot802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2017 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Tommi Kuusisto
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Tommi Kuusisto Äärellisistä kunnista Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 2008 Tampereen yliopisto Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian
LisätiedotKOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT
Heikki Junnila KOMBINATORIIKKA LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset....3 2. Luonnolliset luvut. Äärelliset joukot...9 3. Joukon ositukset. Ekvivalenssirelaatiot......
LisätiedotJohdatus p-adisiin lukuihin
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Anne Keskinen Johdatus p-adisiin lukuihin Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Maaliskuu 2010 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
LisätiedotJarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori
Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 94 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Kertoma/Factorial Määritellään
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
Lisätiedot1. Tekijärakenteet. 1. R on refleksiivinen, eli xrx. 2.R on symmetrinen, eli josxry, niinyrx. 3.R on transitiivinen, eli josxry jayrz, niinxrz.
1. Tekijärakenteet Tässä osassa tarkastellaan tekijärakenteita, kuten tekijäryhmiä ja tekijärenkaita, lähtien liikkeelle mahdollisimman yleisistä periaatteista. Tekijärakenteiden ajatuksena on päästä tarkastelemasta
LisätiedotEräitä ratkeavuustarkasteluja
Eräitä ratkeavuustarkasteluja Pro gradu-tutkielma Milla Jantunen 2124227 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2014 Sisältö 1 Ryhmät ja aliryhmät 3 1.1 Ryhmä...............................
LisätiedotKokonaislukuoptimointi
Kokonaislukuoptimointi Algebrallisen geometrian sovelluksia Sisältö Taustaa algebrallisesta geometriasta Gröbnerin kanta Buchbergerin algoritmi Kokonaislukuoptimointi Käypyysongelma Algoritmi ratkaisun
Lisätiedot802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2018 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotToisin sanoen kyseessä on reaalitason vektoreiden relaatio. v w v =k w jollakink R\{0}.
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Harjoitus 7 Ratkaisuehdotus (5 sivua) JR 1. Määritellään reaalilukuparien relaatio seuraavasti: (x,y) (x,y ) x =kx jay=ky jollakink R\{0}. Toisin sanoen
LisätiedotSalausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai
LisätiedotLukualueet Matemaattiset tieteet Oulun yliopisto 2017
Lukualueet Matemaattiset tieteet Oulun yliopisto 2017 Sisältö 1 Johdanto 5 1.1 Joukko-opin kertausta...................... 6 1.2 Funktioiden kertausta....................... 7 1.3 Relaatioista............................
LisätiedotALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA
ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA MINNA TUONONEN Versio: 12. heinäkuuta 2011. 1 2 MINNA TUONONEN Sisältö 1. Johdanto 3 2. Tutkielmassa tarvittavia määritelmiä ja apulauseita 4 3. Mersennen alkuluvut ja
Lisätiedot{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja
5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.
Lisätiedot