Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Esko Turunen Luku 7. Ideaalit ja tekijärenkaat
|
|
|
- Pauli Korpela
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä.
2 Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Rengashomomorfismi ψ : R R on ryhmähomomorfismi additiivisten ryhmien (R, +) ja (R, +) välillä, joten rengashomomorfismin ψ ydin kerψ = {x R : ψ(x) = 0} on additiivisen ryhmän (R, +) normaali aliryhmä. Kertolaskun suhteen homomorfisuus antaa ytimelle lisää rakennetta.
3 Määritelmä (7.1.) Olkoon R rengas, ja olkoon I R siten, että (I, +) on ryhmän (R, +) aliryhmä. 1 I on vasen ideaali, jos xa I kaikilla x R ja a I.
4 Määritelmä (7.1.) Olkoon R rengas, ja olkoon I R siten, että (I, +) on ryhmän (R, +) aliryhmä. 1 I on vasen ideaali, jos xa I kaikilla x R ja a I. 2 I on oikea ideaali, jos ay I kaikilla y R ja a I.
5 Määritelmä (7.1.) Olkoon R rengas, ja olkoon I R siten, että (I, +) on ryhmän (R, +) aliryhmä. 1 I on vasen ideaali, jos xa I kaikilla x R ja a I. 2 I on oikea ideaali, jos ay I kaikilla y R ja a I. 3 I on kaksipuoleinen ideaali, jos xay I kaikilla x, y R ja a I.
6 Määritelmä (7.1.) Olkoon R rengas, ja olkoon I R siten, että (I, +) on ryhmän (R, +) aliryhmä. 1 I on vasen ideaali, jos xa I kaikilla x R ja a I. 2 I on oikea ideaali, jos ay I kaikilla y R ja a I. 3 I on kaksipuoleinen ideaali, jos xay I kaikilla x, y R ja a I. HUOMAA: Jos R on kommutatiivinen rengas, niin Määritelmän 7.1 kohdissa (1)-(3) määritellyt käsitteet ovat kaikki samoja. Tällöin I :tä sanotaan ideaaliksi.
7 Määritelmä (7.1.) Olkoon R rengas, ja olkoon I R siten, että (I, +) on ryhmän (R, +) aliryhmä. 1 I on vasen ideaali, jos xa I kaikilla x R ja a I. 2 I on oikea ideaali, jos ay I kaikilla y R ja a I. 3 I on kaksipuoleinen ideaali, jos xay I kaikilla x, y R ja a I. HUOMAA: Jos R on kommutatiivinen rengas, niin Määritelmän 7.1 kohdissa (1)-(3) määritellyt käsitteet ovat kaikki samoja. Tällöin I :tä sanotaan ideaaliksi. Kaikki vasemmat, oikeat, kaksipuoliset ideaalit ovat siis annetun renkaan aliryhmiä, mutta kaikki renkaan aliryhmät eivät välttämättä ole mitään ideaaleja.
8 Lemma (7.2.) 1 I on vasen ideaali jos, ja vain jos xa + x a I kaikilla x, x R ja a, a I.
9 Lemma (7.2.) 1 I on vasen ideaali jos, ja vain jos xa + x a I kaikilla x, x R ja a, a I. 2 I on oikea ideaali jos, ja vain jos ay + a y I kaikilla y, y R ja a, a I.
10 Lemma (7.2.) 1 I on vasen ideaali jos, ja vain jos xa + x a I kaikilla x, x R ja a, a I. 2 I on oikea ideaali jos, ja vain jos ay + a y I kaikilla y, y R ja a, a I. 3 I on kaksipuolinen ideaali, jos ja vain jos se on vasen ideaali ja oikea ideaali.
11 Lemma (7.2.) 1 I on vasen ideaali jos, ja vain jos xa + x a I kaikilla x, x R ja a, a I. 2 I on oikea ideaali jos, ja vain jos ay + a y I kaikilla y, y R ja a, a I. 3 I on kaksipuolinen ideaali, jos ja vain jos se on vasen ideaali ja oikea ideaali. Todistus. (1) ja (3) harjoitustehtävässä 77.
12 Esimerkki (7.3.) 1 R ja {0} ovat renkaan R kaksipuolisia ideaaleja.
13 Esimerkki (7.3.) 1 R ja {0} ovat renkaan R kaksipuolisia ideaaleja. 2 nz on renkaan Z ideaali.
14 Esimerkki (7.3.) 1 R ja {0} ovat renkaan R kaksipuolisia ideaaleja. 2 nz on renkaan Z ideaali. 3 Olkoot A X ja R rengas. Olkoon N(A) = {f F (X, R) : f (a) = 0 kaikilla a A}. Tällöin N(A) on kuvausrenkaan F (X, R) kaksipuolinen ideaali.
15 Esimerkki (7.3.) 1 R ja {0} ovat renkaan R kaksipuolisia ideaaleja. 2 nz on renkaan Z ideaali. 3 Olkoot A X ja R rengas. Olkoon N(A) = {f F (X, R) : f (a) = 0 kaikilla a A}. Tällöin N(A) on kuvausrenkaan F (X, R) kaksipuolinen ideaali. Samalla tavalla saadaan kaksipuoleisia ideaaleja monille renkaan F (X, R) alirenkaille, esimerkiksi on renkaan C (R) ideaali. {f C (R) : f (0) = 0}
16 Propositio (7.4.) Olkoon φ : R S rengashomomorfismi. 1 Jos I R on vasen/oikea/kaksipuolinen ideali, niin φ(i ) on renkaan φ(r) vasen/oikea/kaksipuolinen ideaali.
17 Propositio (7.4.) Olkoon φ : R S rengashomomorfismi. 1 Jos I R on vasen/oikea/kaksipuolinen ideali, niin φ(i ) on renkaan φ(r) vasen/oikea/kaksipuolinen ideaali. 2 Jos I S on vasen/oikea/kaksipuolinen ideaali, niin φ 1 (I ) on renkaan R vasen/oikea/kaksipuolinen ideaali.
18 Propositio (7.4.) Olkoon φ : R S rengashomomorfismi. 1 Jos I R on vasen/oikea/kaksipuolinen ideali, niin φ(i ) on renkaan φ(r) vasen/oikea/kaksipuolinen ideaali. 2 Jos I S on vasen/oikea/kaksipuolinen ideaali, niin φ 1 (I ) on renkaan R vasen/oikea/kaksipuolinen ideaali. 3 Rengashomomorfismin ydin kerφ = {x R : φ(x) = 0} on määrittelyrenkaan R kaksipuolinen ideaali.
19 Propositio (7.4.) Olkoon φ : R S rengashomomorfismi. 1 Jos I R on vasen/oikea/kaksipuolinen ideali, niin φ(i ) on renkaan φ(r) vasen/oikea/kaksipuolinen ideaali. 2 Jos I S on vasen/oikea/kaksipuolinen ideaali, niin φ 1 (I ) on renkaan R vasen/oikea/kaksipuolinen ideaali. 3 Rengashomomorfismin ydin kerφ = {x R : φ(x) = 0} on määrittelyrenkaan R kaksipuolinen ideaali. Todistus. (1) Harjoitustehtävä 78.
20 Propositio (7.4.) Olkoon φ : R S rengashomomorfismi. 1 Jos I R on vasen/oikea/kaksipuolinen ideali, niin φ(i ) on renkaan φ(r) vasen/oikea/kaksipuolinen ideaali. 2 Jos I S on vasen/oikea/kaksipuolinen ideaali, niin φ 1 (I ) on renkaan R vasen/oikea/kaksipuolinen ideaali. 3 Rengashomomorfismin ydin kerφ = {x R : φ(x) = 0} on määrittelyrenkaan R kaksipuolinen ideaali. Todistus. (1) Harjoitustehtävä 78. (2) Tarkastelemme vain tapausta, jossa I on vasen ideaali. Muut tapauset todistetaan vastaavasti. Prop. 4.8 nojalla (φ 1 (I ), +) on ryhmän (R, +) aliryhmä.
21 Propositio (7.4.) Olkoon φ : R S rengashomomorfismi. 1 Jos I R on vasen/oikea/kaksipuolinen ideali, niin φ(i ) on renkaan φ(r) vasen/oikea/kaksipuolinen ideaali. 2 Jos I S on vasen/oikea/kaksipuolinen ideaali, niin φ 1 (I ) on renkaan R vasen/oikea/kaksipuolinen ideaali. 3 Rengashomomorfismin ydin kerφ = {x R : φ(x) = 0} on määrittelyrenkaan R kaksipuolinen ideaali. Todistus. (1) Harjoitustehtävä 78. (2) Tarkastelemme vain tapausta, jossa I on vasen ideaali. Muut tapauset todistetaan vastaavasti. Prop. 4.8 nojalla (φ 1 (I ), +) on ryhmän (R, +) aliryhmä. Olk. a φ 1 (I ) = {x R; φ(x) I } ja r R eli φ(a) I, φ(r) S.
22 Propositio (7.4.) Olkoon φ : R S rengashomomorfismi. 1 Jos I R on vasen/oikea/kaksipuolinen ideali, niin φ(i ) on renkaan φ(r) vasen/oikea/kaksipuolinen ideaali. 2 Jos I S on vasen/oikea/kaksipuolinen ideaali, niin φ 1 (I ) on renkaan R vasen/oikea/kaksipuolinen ideaali. 3 Rengashomomorfismin ydin kerφ = {x R : φ(x) = 0} on määrittelyrenkaan R kaksipuolinen ideaali. Todistus. (1) Harjoitustehtävä 78. (2) Tarkastelemme vain tapausta, jossa I on vasen ideaali. Muut tapauset todistetaan vastaavasti. Prop. 4.8 nojalla (φ 1 (I ), +) on ryhmän (R, +) aliryhmä. Olk. a φ 1 (I ) = {x R; φ(x) I } ja r R eli φ(a) I, φ(r) S. Tällöin φ(ra) = φ(r)φ(a) I, koska I on vasen ideaali. Siis ra φ 1 (I ), eli väite todistettu.
23 Propositio (7.4.) Olkoon φ : R S rengashomomorfismi. 1 Jos I R on vasen/oikea/kaksipuolinen ideali, niin φ(i ) on renkaan φ(r) vasen/oikea/kaksipuolinen ideaali. 2 Jos I S on vasen/oikea/kaksipuolinen ideaali, niin φ 1 (I ) on renkaan R vasen/oikea/kaksipuolinen ideaali. 3 Rengashomomorfismin ydin kerφ = {x R : φ(x) = 0} on määrittelyrenkaan R kaksipuolinen ideaali. Todistus. (1) Harjoitustehtävä 78. (2) Tarkastelemme vain tapausta, jossa I on vasen ideaali. Muut tapauset todistetaan vastaavasti. Prop. 4.8 nojalla (φ 1 (I ), +) on ryhmän (R, +) aliryhmä. Olk. a φ 1 (I ) = {x R; φ(x) I } ja r R eli φ(a) I, φ(r) S. Tällöin φ(ra) = φ(r)φ(a) I, koska I on vasen ideaali. Siis ra φ 1 (I ), eli väite todistettu. Kohta (3) seuraa kohdasta (2).
24 Esimerkki (7.5.) Luonnollinen kuvaus Z Z p on surjektiivinen rengashomomorfismi, joten renkaan Z p ideaalit ovat täsmälleen renkaan Z ideaalien kuvat. Siis kaikki renkaan Z p aliryhmät ovat ideaaleja.
25 Esimerkki (7.5.) Luonnollinen kuvaus Z Z p on surjektiivinen rengashomomorfismi, joten renkaan Z p ideaalit ovat täsmälleen renkaan Z ideaalien kuvat. Siis kaikki renkaan Z p aliryhmät ovat ideaaleja. Tämä nähdään myös seuraavasti: jos (A, +) (Z p, +), niin aina, kun [a] A, [n] Z p, on [a][n] = [n][a] = [na] = n[a] A.
26 Esimerkki (7.5.) Luonnollinen kuvaus Z Z p on surjektiivinen rengashomomorfismi, joten renkaan Z p ideaalit ovat täsmälleen renkaan Z ideaalien kuvat. Siis kaikki renkaan Z p aliryhmät ovat ideaaleja. Tämä nähdään myös seuraavasti: jos (A, +) (Z p, +), niin aina, kun [a] A, [n] Z p, on [a][n] = [n][a] = [na] = n[a] A. Propositio (7.6.) 1 Jos renkaan R vasen/oikea/kaksipuolinen ideaali I on alirengas, niin I = R.
27 Esimerkki (7.5.) Luonnollinen kuvaus Z Z p on surjektiivinen rengashomomorfismi, joten renkaan Z p ideaalit ovat täsmälleen renkaan Z ideaalien kuvat. Siis kaikki renkaan Z p aliryhmät ovat ideaaleja. Tämä nähdään myös seuraavasti: jos (A, +) (Z p, +), niin aina, kun [a] A, [n] Z p, on [a][n] = [n][a] = [na] = n[a] A. Propositio (7.6.) 1 Jos renkaan R vasen/oikea/kaksipuolinen ideaali I on alirengas, niin I = R. 2 Olkoon R jakorengas, ja olkoon I sen vasen/oikea/ kaksipuolinen ideaali. Silloin I = R tai I = {0}.
28 Esimerkki (7.5.) Luonnollinen kuvaus Z Z p on surjektiivinen rengashomomorfismi, joten renkaan Z p ideaalit ovat täsmälleen renkaan Z ideaalien kuvat. Siis kaikki renkaan Z p aliryhmät ovat ideaaleja. Tämä nähdään myös seuraavasti: jos (A, +) (Z p, +), niin aina, kun [a] A, [n] Z p, on [a][n] = [n][a] = [na] = n[a] A. Propositio (7.6.) 1 Jos renkaan R vasen/oikea/kaksipuolinen ideaali I on alirengas, niin I = R. 2 Olkoon R jakorengas, ja olkoon I sen vasen/oikea/ kaksipuolinen ideaali. Silloin I = R tai I = {0}. Erityisesti kunnan R ainoat ideaalit ovat {0} ja R.
29 Todistus. Tarkastelemme ainoastaan vasempia ideaaleja. Oikeat ideaalit tarkastellaan samalla tavalla.
30 Todistus. Tarkastelemme ainoastaan vasempia ideaaleja. Oikeat ideaalit tarkastellaan samalla tavalla. (1) Olkoon I on renkaan R vasen ideaali myös R:n alirengas. Silloin 1 = 1 R I, joten kaikilla x R pätee x = x1 I eli I = R.
31 Todistus. Tarkastelemme ainoastaan vasempia ideaaleja. Oikeat ideaalit tarkastellaan samalla tavalla. (1) Olkoon I on renkaan R vasen ideaali myös R:n alirengas. Silloin 1 = 1 R I, joten kaikilla x R pätee x = x1 I eli I = R. (2) Jos I {0} on jakorenkaan R vasen ideaali ja a I, a 0, niin a:lla on käänteisalkio a 1 R.
32 Todistus. Tarkastelemme ainoastaan vasempia ideaaleja. Oikeat ideaalit tarkastellaan samalla tavalla. (1) Olkoon I on renkaan R vasen ideaali myös R:n alirengas. Silloin 1 = 1 R I, joten kaikilla x R pätee x = x1 I eli I = R. (2) Jos I {0} on jakorenkaan R vasen ideaali ja a I, a 0, niin a:lla on käänteisalkio a 1 R. Silloin 1 = a 1 a I. Väite seuraa nyt kohdasta (1).
33 Todistus. Tarkastelemme ainoastaan vasempia ideaaleja. Oikeat ideaalit tarkastellaan samalla tavalla. (1) Olkoon I on renkaan R vasen ideaali myös R:n alirengas. Silloin 1 = 1 R I, joten kaikilla x R pätee x = x1 I eli I = R. (2) Jos I {0} on jakorenkaan R vasen ideaali ja a I, a 0, niin a:lla on käänteisalkio a 1 R. Silloin 1 = a 1 a I. Väite seuraa nyt kohdasta (1). Harjoitustehtävänä 80 ja 81 todistetaan Propositio (7.7.) Olkoot I i, i I, I 1 ja I 2 renkaan R vasempia /oikeita /kaksipuolisia ideaaleja. Tällöin I ja I 1 + I 2 = {x 1 + x 2 : x j I j } i I ovat renkaan R vasempia/oikeita/kaksipuolisia ideaaleja.
34 Jos S R, S, niin joukon S virittämä vasen /oikea /kaksipuolinen ideaali on joukon S sisältävien ideaalien leikkaus.
35 Jos S R, S, niin joukon S virittämä vasen /oikea /kaksipuolinen ideaali on joukon S sisältävien ideaalien leikkaus. Kaksipuolinen ideaali vastaa Proposition 7.4 mukaan rengasteoriassa ryhmäteorian normaalia aliryhmää. Huomaa, että renkaan R additiivinen ryhmä on kommutatiivinen, joten ideaali (ajateltuna kommutatiivisena additiivisena ryhmänä) on siis R:n normaali aliryhmä. Käyttämällä samaa ekvivalenssirelaatiota kuin luvussa 3 muodostamme renkaan R ideaalia I vastaavan tekijäjoukon R/I, ja varustamme sen tekijälaskutoimituksella. Näin saamme tekijärenkaan eli jäännösluokkarenkaan.
36 Jos S R, S, niin joukon S virittämä vasen /oikea /kaksipuolinen ideaali on joukon S sisältävien ideaalien leikkaus. Kaksipuolinen ideaali vastaa Proposition 7.4 mukaan rengasteoriassa ryhmäteorian normaalia aliryhmää. Huomaa, että renkaan R additiivinen ryhmä on kommutatiivinen, joten ideaali (ajateltuna kommutatiivisena additiivisena ryhmänä) on siis R:n normaali aliryhmä. Käyttämällä samaa ekvivalenssirelaatiota kuin luvussa 3 muodostamme renkaan R ideaalia I vastaavan tekijäjoukon R/I, ja varustamme sen tekijälaskutoimituksella. Näin saamme tekijärenkaan eli jäännösluokkarenkaan. Ideaalia I vastaavia sivuluokkia merkitään additiivisesti x + I :llä. Olkoon x R. Alkion x virittämää vasenta ideaalia, joka koostuu x:n monikerroista xr, r R merkitään usein xr:llä, vastaavaa oikeaa ideaalia merkitään Rx.
37 Propositio (7.8.) Olkoon R rengas, ja olkoon I sen kaksipuolinen ideaali. Tällöin tekijäjoukko R/I on rengas.
38 Propositio (7.8.) Olkoon R rengas, ja olkoon I sen kaksipuolinen ideaali. Tällöin tekijäjoukko R/I on rengas. Todistus. Osoitamme ensin, että kertolasku on yhteensopiva ekvivalenssirelaation kanssa: a b jos, ja vain jos a b I
39 Propositio (7.8.) Olkoon R rengas, ja olkoon I sen kaksipuolinen ideaali. Tällöin tekijäjoukko R/I on rengas. Todistus. Osoitamme ensin, että kertolasku on yhteensopiva ekvivalenssirelaation a b jos, ja vain jos a b I kanssa: Olkoot a, a, b, b R, a a ja b b. Siis a a I ja b b I,
40 Propositio (7.8.) Olkoon R rengas, ja olkoon I sen kaksipuolinen ideaali. Tällöin tekijäjoukko R/I on rengas. Todistus. Osoitamme ensin, että kertolasku on yhteensopiva ekvivalenssirelaation a b jos, ja vain jos a b I kanssa: Olkoot a, a, b, b R, a a ja b b. Siis a a I ja b b I, joten ab a b = ab ab + ab a b = a(b b ) + (a a )b I, koska I on kaksipuolinen ideaali.
41 Propositio (7.8.) Olkoon R rengas, ja olkoon I sen kaksipuolinen ideaali. Tällöin tekijäjoukko R/I on rengas. Todistus. Osoitamme ensin, että kertolasku on yhteensopiva ekvivalenssirelaation a b jos, ja vain jos a b I kanssa: Olkoot a, a, b, b R, a a ja b b. Siis a a I ja b b I, joten ab a b = ab ab + ab a b = a(b b ) + (a a )b I, koska I on kaksipuolinen ideaali. Loput harjoitustehtävässä 82.
42 Propositio (7.8.) Olkoon R rengas, ja olkoon I sen kaksipuolinen ideaali. Tällöin tekijäjoukko R/I on rengas. Todistus. Osoitamme ensin, että kertolasku on yhteensopiva ekvivalenssirelaation a b jos, ja vain jos a b I kanssa: Olkoot a, a, b, b R, a a ja b b. Siis a a I ja b b I, joten ab a b = ab ab + ab a b = a(b b ) + (a a )b I, koska I on kaksipuolinen ideaali. Loput harjoitustehtävässä 82. Propositio 1.12 antaa seurauksena
43 Propositio (7.9.) 1 Tekijärengas on kommutatiivinen, jos alkuperäinen rengas on kommutatiivinen. 2 Luonnollinen kuvaus R R/I on rengashomomorfismi. Todistus. Lemma 1.12 ja Esimerkki HUOMAA: Tekijärengas R/I voi olla kommutatiivinen vaikka R ei olisikaan: R/R on yhden alkion rengas!
44 Lause (7.10. Renkaiden isomorfismilause) Olkoon ψ : R S rengashomomorfismi. Tällöin tekijärengas R/ker ψ on isomorfinen renkaan ψ(r) kanssa. Todistus. Lause todistetaan kuten ryhmien isomorfismilause Harjoitustehtävä 84.
45 Lause (7.10. Renkaiden isomorfismilause) Olkoon ψ : R S rengashomomorfismi. Tällöin tekijärengas R/ker ψ on isomorfinen renkaan ψ(r) kanssa. Todistus. Lause todistetaan kuten ryhmien isomorfismilause Harjoitustehtävä 84. Esimerkki (7.11.) 1 R/R = {0}, R/ {0} = R. 2 Reaaliluvut voidaan konstruoida rationaalilukujen Cauchyn jonojen renkaan nollaan suppenevien jonojen ideaalia vastaavana tekijärenkaana, mutta tätä emme valitettavasti ehdi tällä kurssilla tehdä!
(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R.
11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi φ: R R on erityisesti ryhmähomomorfismi φ: (R, +) (R, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin φ
(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0
11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi : R! R 0 on erityisesti ryhmähomomorfismi :(R, +)! (R 0, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin
(ψ + ζ)φ(a) = ψφ(a) + ζφ(a) = (ψφ + ζφ)(a), φ(ψ + ζ)(a) = φ(ψ(a) + ζ(a)) = φψ(a) + φζ(a) = (φψ + φζ)(a).
ALGEBRA 2007 15 Todistus. Mieti, miksi kuvaus on hyvin määritelty! Surjektiivisuus on selvää. Lisäksi φ(xkyk) = φ(xyk) = xyh = xhyh = φ(xk)φ(yk), joten kuvaus on homomorfismi. Jos y H, niin φ(yk) = yh
Esko Turunen MAT Algebra1(s)
Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H
{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja
5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.
Esko Turunen Luku 3. Ryhmät
3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,
1 Algebralliset perusteet
1 Algebralliset perusteet 1.1 Renkaat Tämän luvun jälkeen opiskelijoiden odotetaan muistavan, mitä ovat renkaat, vaihdannaiset renkaat, alirenkaat, homomorfismit, ideaalit, tekijärenkaat, maksimaaliset
g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.
ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot
MAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen Tämä tiedosto sisältää kurssin kaikki laskuharjoitukset. viikottain uusia tehtäviä. Tiedostoon lisätään To 05.02.09 pidetyt harjoitukset.
renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x
8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta
kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja
Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,
a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle.
Harjoitus 10 (7 sivua) Ratkaisuehdotuksia/Martina Aaltonen Tehtävä 1. Mitkä seuraavista yhtälöistä pätevät mielivaltaisen renkaan alkioille a ja b? a) a 2 ba = (a b)a b) (a + b + 1)(a b) = a 2 b 2 + a
H = H(12) = {id, (12)},
7. Normaali aliryhmä ja tekijäryhmä Tarkastelemme luvun aluksi ryhmän ja sen aliryhmien suhdetta. Olkoon G ryhmä ja olkoon H G. Alkiong G vasen sivuluokka (aliryhmän H suhteen) on gh = {gh : h H} ja sen
802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen
802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................
[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko
![[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko](/thumbs/59/42897527.jpg "[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko")
3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,
Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32
1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki
MAT Algebra 1(s)
8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen
MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen
Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit
Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen
ALGEBRA KEVÄT 2013 JOUNI PARKKONEN
ALGEBRA KEVÄT 2013 JOUNI PARKKONEN Algebra käsittelee laskemista. Osin tämä tarkoittaa numeroilla laskemista lukualueissa N, Z, Q, R, C laskutoimituksilla + ja ja niiden käänteisoperaatioilla ja / siinä
jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä
4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko
rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.
9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat
ja jäännösluokkien joukkoa
3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi
k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0
1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota
Algebra 1. Jouni Parkkonen Luentoja Jyväskylän yliopistossa talvella 2019
Algebra 1 Jouni Parkkonen Luentoja Jyväskylän yliopistossa talvella 2019 Sisältö I Renkaat ja kunnat 1 1 Laskutoimitukset 3 1.1 Laskutoimitus.................................. 3 1.2 Indusoitu laskutoimitus.............................
(Monisteen Esimerkki 2.6.8) Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään
![(Monisteen Esimerkki 2.6.8) Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään](/thumbs/17/137666.jpg "(Monisteen Esimerkki 2.6.8) Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään")
Monisteen Esimerkki 2.6.8 Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään I c = {px R pc = 0}. Osoitetaan, että I c on renkaan R ihanne. Ratkaisu: Vakiofunktio 0 R I c joten I c.
H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.
10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas
{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja
5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.
koska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan
4. Äärellisten kuntien yleisiä ominaisuuksia 4.1. Laajenuskunnat. Tarkastellaan aluksi yleistä kuntaparia F ja K, missä F on kunnan K alikunta. Tällöin sanotaan, että kunta K on kunnan F laajennuskunta
Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi
Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi Pro gradu -tutkielma Outi Aksela 2117470 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Renkaat 3 1.1 Rengas...............................
on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
HN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8, 23.27.3.2009 5 sivua Rami Luisto 1. Osoita, että kullakin n N + lukujen n 5 ja n viimeiset numerot kymmenkantaisessa
Pääideaalialueen yli määriteltyjen äärellisviritteisten modulien rakennelause
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jyri Hiltunen Pääideaalialueen yli määriteltyjen äärellisviritteisten modulien rakennelause Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Helmikuu 2014 Tampereen yliopisto
Algebra I, harjoitus 8,
Algebra I, harjoitus 8, 4.-5.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H sen normaali aliryhmä. Todista, että tällöin G/H on ryhmä, kun määritellään laskutoimitus joukossa G/H asettamalla aina, kun x, y G (lauseen
Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen
Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä Versio 1.0 (27.1.2006) Turun yliopisto Lukuteoria 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen joukolla: a) C D
Luupit Pro gradu Anni Keränen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014
Luupit Pro gradu Anni Keränen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Perusteita 3 1.1 Kuvauksista............................ 3 1.2 Relaatioista............................
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua)
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin ( sivua).... Nämä ovat kurssin Algebra I harjoitustehtävien ratkaisuehdoituksia. Ratkaisut koostuvat kahdesta osiosta,
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 25 Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset
Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen
Algebra II Syksy 2004 Pentti Haukkanen 1 Sisällys 1 Ryhmäteoriaa 3 1.1 Ryhmän määritelmä.... 3 1.2 Aliryhmä... 3 1.3 Sivuluokat...... 4 1.4 Sykliset ryhmät... 7 1.5 Ryhmäisomorfismi..... 11 2 Polynomeista
a b 1 c b n c n
Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =
Trooppista geometriaa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Joona Hirvonen Trooppista geometriaa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Toukokuu 2013 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö HIRVONEN, JOONA: Trooppista
Avainsanat Nyckelord Keywords Nullstellensatz, Hilbertin nollajoukkolause, algebrallinen geometria
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Sampo
Tekijäryhmät ja homomorsmit
Tekijäryhmät ja homomorsmit LuK-tutkielma Henna Isokääntä 1953004 henna.isokaanta@gmail.com Matemaattiset tieteet Oulun yliopisto Kevät 2019 Sisältö Johdanto 1 1 Tekijäryhmät 1 2 Homomorsmit 3 Lähdeluettelo
Täydellistymät ja Henselin lemma
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Markus Klemetti Täydellistymät ja Henselin lemma Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Toukokuu 2013 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö KLEMETTI,
Johdatus p-adisiin lukuihin
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Anne Keskinen Johdatus p-adisiin lukuihin Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Maaliskuu 2010 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
Algebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia
Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa,
Aritmetiikan peruslause algebrallisten kokonaislukujen renkaissa
Aritmetiikan peruslause algebrallisten kokonaislukujen renkaissa Pro gradu -tutkielma Itä-Suomen yliopisto Yliopistonkatu 2, 80101 Joensuu Fysiikan ja matematiikan laitos Tuomas Manninen, 243034 11. joulukuuta
Miten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013
802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Kertausta kurssilta Lukuteoria ja ryhmät
Algebra kl Tapani Kuusalo
Algebra kl. 2010 Tapani Kuusalo Sisältö Luku 1. Luonnolliset luvut 1 Luku 2. Laskutoimitukset 4 1. Laskutoimitusten yleiset ominaisuudet 4 2. Neutraali- ja käänteisalkiot 6 3. Indusoidut laskutoimitukset,
Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.
Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden
Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006
Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Sisältö 1 Luupeista 2 1.1 Luupit ja niiden kertolaskuryhmät................. 2 2 Transversaalit 5 3
800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä
800333A Algebra I Luentorunko Kevät 2010 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä Sisältö 1 Lukuteorian alkeita 3 1.1 Kongruenssiin liittyviä perustuloksia.............. 7 2 Ekvivalenssirelaatio
Johdanto 2. 2 Osamääräkunnan muodostaminen 7. 3 Osamääräkunnan isomorfismit 16. Lähdeluettelo 20
Osamääräkunta LuK-tutkielma Lauri Aalto Opiskelijanumero: 2379263 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Käsitteitä ja merkintöjä 3 2 Osamääräkunnan muodostaminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Olkoot n, d 1 ja d n. Osoita, että (k, n) d jos ja vain jos k ad, missä (a, n/d) 1. (ii) Osoita, että jos (m j, m k ) 1 kun
Transversaalit ja hajoamisaliryhmät
Transversaalit ja hajoamisaliryhmät Graduseminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Motivointi Esimerkki 1 (Ryhmäteorian kurssin harjoitustehtävä). Jos G on ryhmä,
3 Ryhmäteorian peruskäsitteet ja pienet ryhmät, C 2
3 Ryhmäteorian peruskäsitteet ja pienet ryhmät, C 2 Olen valinnut kunkin luvun teemaksi yhden ryhmän. Ensimmäisen luvun teema on pienin epätriviaali ryhmä, eli ryhmä, jossa on kaksi alkiota. Merkitsen
Peruskäsitteet. 0. Kertausta
Peruskäsitteet 0. Kertausta Tässä luvussa käydään läpi sellaiset peruskäsitteet ja merkinnät, joiden oletetaan olevan tuttuja aiemmalta algebran kurssilta. 0.1. Laskutoimitukset. Olkoon X joukko. Joukon
1 Kertausta algebran kurssilta 1. 4 Kuntalaajennukset Kuntalaajennuksen aste Harppi-viivoitin-konstruktiot Hajoituskunnat 88
Sisältö 1 Kertausta algebran kurssilta 1 2 Lisää polynomeista 10 3 Kertausta Q:n konstruktiosta; jakokunta 20 4 Kuntalaajennukset 27 5 Kuntalaajennuksen aste 49 6 Harppi-viivoitin-konstruktiot 64 7 Galois
6. Tekijäryhmät ja aliryhmät
6. Tekijäryhmät ja aliryhmät Tämän luvun tavoitteena on esitellä konstruktio, jota kutsutaan tekijäryhmän muodostamiseksi. Konstruktiossa lähdetään liikkeelle jostakin isosta ryhmästä, samastetaan alkioita,
11. Jaollisuudesta. Lemma Oletetaan, että a, b R.
11. Jaollisuudesta Edellisen luvun esimerkissä tarvittiin tietoa erään polynomin jaottomuudesta. Tämä on hyvin tavallista kuntalaajennosten yhteydessä. Seuraavassa tarkastellaan hieman jaollisuuskäsitettä
4. Ryhmien sisäinen rakenne
4. Ryhmien sisäinen rakenne Tässä luvussa tarkastellaan joitakin tapoja päästä käsiksi ryhmien sisäiseen rakenteeseen. Useimmat tuloksista ovat erityisen käyttökelpoisia äärellisten ryhmien tapauksessa.
Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet
Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja
Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori
Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja
Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.
Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.
R 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l,
2. Laajennettu Eukleideen algoritmi Määritelmä 2.1. Olkoot F kunta ja A, B, C, D F [x]. Sanotaan, että C jakaa A:n (tai C on A:n jakaja), jos on olemassa K F [x] siten, että A = K C; tällöin merkitään
Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
Eräitä ratkeavuustarkasteluja
Eräitä ratkeavuustarkasteluja Pro gradu-tutkielma Milla Jantunen 2124227 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2014 Sisältö 1 Ryhmät ja aliryhmät 3 1.1 Ryhmä...............................
Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.
Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4
Ryhmäteoriaa. 2. Ryhmän toiminta
Ryhmäteoriaa 2. Ryhmän toiminta Permutaatiot kuvaavat jonkin perusjoukon alkioita toisikseen. Eräät permutaatiot jättävät joitain alkioita paikalleen, toiset liikuttavat kaikkia joukon alkioita. Kaikki
Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
Ortogonaalit latinalaiset neliöt
Ortogonaalit latinalaiset neliöt M Tamminen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2013 Tiivistelmä: M Tamminen, Ortogonaalit latinalaiset neliöt (engl
Jäännösluokat. Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan
Jäännösluokat LUKUTEORIA JA TODIS- TAMINEN, MAA Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan lukujoukkoja 3k k Z =, 6, 3, 0, 3, 6, 3k + k Z =,,,,, 7, 3k + k Z =,,,,, 8, Osoita,
Tekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät.
3 Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa osiin. Ideana on, että voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin kokonaisuuksina, ja jättää
Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa. väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,...
Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,.... Tässä väite P(n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
Ratkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta).
Matematiikan laitos Johdatus Diskreettiin Matematiikaan Harjoitus 1 03.11.2010 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Nuija 1. Tarkastellaan joukkoja A = {1,3,4}, B = {2,3,7,9} ja C = {2, 5, 7}. Määritä joukot (a)
Matemaattisten työvälineiden täydentäviä muistiinpanoja
Matemaattisten työvälineiden täydentäviä muistiinpanoja Antti-Juhani Kaijanaho 7 maaliskuuta 0 Deduktiivinen ja induktiivinen päättely Deduktiivisessa päättelyssä johtopäätös seuraa aukottomasti premisseistä
a k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx
x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa
Yhtäpitävyys. Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite).
Yhtäpitävyys Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite). Toisaalta ollaan osoitettu, että n 2 on parillinen (oletus) n on parillinen (väite). Nämä kaksi väitelausetta
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
ALGEBRA KEVÄT 2011 JOUNI PARKKONEN
ALGEBRA KEVÄT 2011 JOUNI PARKKONEN Sisältö 1. Laskutoimitukset 1 2. Kompleksiluvut 8 3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut 15 4. Ryhmät 20 5. Aliryhmät 26 6. Aärelliset permutaatioryhmät
R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on
0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset
9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia
9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä
3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
Avaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
[E : F ]=[E : K][K : F ].
![[E : F ]=[E : K][K : F ].](/thumbs/61/46040569.jpg "[E : F ]=[E : K][K : F ].")
ALGEBRA II 35 Lause 4.4 (Astelukulause). Olkoot E/K/Fäärellisiä kuntalaajennuksia. Silloin [E : F ]=[E : K][K : F ]. Todistus. Olkoon {α 1,...,α n } kanta laajennukselle E/K ja {β 1,...,β m } kanta laajennukselle
Fermat n pieni lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan kandidaatintutkielma
Fermat n pieni lause Heikki Pitkänen Matematiikan kandidaatintutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2009 Sisältö Johdanto 3 1. Fermat n pieni lause 3 2. Pseudoalkuluvut
LUKUTEORIA johdantoa
LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,
Tekijäryhmän määrittelemistä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät. gh = {gh h H}.
Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa suuriin, helpommin käsiteltäviin osiin. Tämän jälkeen voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin
Noetherin sekä Artinin renkaat ja modulit
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Maarit Harsu Noetherin sekä Artinin renkaat ja modulit Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Syyskuu 2012 ii Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö
1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
Paulin spinorit ja spinorioperaattorit
Paulin spinorit ja spinorioperaattorit Spinoreita on useita erilaisia. Esimerkiksi Paulin, Dirackin ja Weyelin spinorit. Yhteisenä piirteenä eri spinoreilla on se, että kukin liittyy tavallisesti johonkin
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Tommi Kuusisto
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Tommi Kuusisto Äärellisistä kunnista Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 2008 Tampereen yliopisto Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian