Koodausteoria, Kesä 2014
|
|
- Jari Hiltunen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos
2 4.7 Syklisen koodin jälkiesitys Olkoon F = F q ja K = F q m kunnan F laajennuskunta. Määritelmä Kuntalaajennuksen K/F jälkifunktioksi (trace function) sanotaan kuvausta Tr K F : K F, Tr K F (x) = x qi = x + x q + x q2 + + x q. Kuvaa Tr K F (x) sanotaan alkion x K jäljeksi kunnan F suhteen. Jos kunnat ovat selvät, niin jälkifunktiota merkitään Tr. Jos q = p on alkuluku, niin kuvausta Tr K F p sanotaan absoluuttiseksi jälkifunktioksi ja jälkeä Tr K F p (x) alkion x K absoluuttiseksi jäljeksi. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 2 / 14
3 Jälki todella on kuvaus kuntaan F: Kun x K = F q m, niin Tr(x) q = ( ) q x qi = x qi+1 = x q + + x q + x qm. Koska x qm = x, niin Tr(x) q = Tr(x) ja Tr(x) F q (ks. kertausmonisteen Lause 32). Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3 / 14
4 Lause Olkoon Tr laajennuksen K/F jälkifunktio. Tällöin a) Tr on F-lineaarinen kuvaus eli kaikilla x, y K ja a F pätee Tr(x + y) = Tr(x) + Tr(y) ja Tr(ax) = a Tr(x). b) Tr on surjektio K F ja saa jokaisen arvonsa yhtä monesti. c) Tr(a) = ma kaikilla a F. d) Tr(x q ) = Tr(x) kaikilla x K. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 4 / 14
5 Todistus: a) Oletetaan, että x, y K ja a F. Tällöin Tr(x + y) = (x + y) qi = (x qi + y qi ) = = Tr(x) + Tr(y). x qi + y qi Kaikilla a F q pätee a q = a, joten a qi = a kaikilla i 0. Siten Tr(ax) = (ax) qi = a qi x qi = ax qi = a x qi = a Tr(x). Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 5 / 14
6 b) Polynomilla x + x q + + x q on korkeintaan q nollakohtaa kunnassa K. Tästä johtuen on olemassa sellainen β K, että Tr(β) 0. Siis b = Tr(β) F q = F q \ {0}. Jos nyt a F, niin myös ab 1 F ja a-kohdan mukaan Näin ollen Tr on surjektio. Tr(ab 1 β) = ab 1 Tr(β) = ab 1 b = a. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 6 / 14
7 Jos ξ Ker Tr = {α K Tr(α) = 0}, niin Tr(a + ξ) = Tr(a) + Tr(ξ) = Tr(a) + 0 = Tr(a) kaikilla a K. Koska a + ξ 1 a + ξ 2, kun ξ 1 ξ 2, niin jokaisella b F on vähintään Ker Tr eri alkukuvaa ja K Ker Tr F. Toisaalta homomorfismien peruslauseen (Lukuteoria ja ryhmät) nojalla K/ Ker Tr = Im Tr = F. Kaikki tässä esiintyvät ryhmät ovat äärellisiä, joten K = Ker Tr F ja jokaisella b F on oltava täsmälleen Ker Tr alkukuvaa. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 7 / 14
8 c) Kuten edellä todettiin, on a qi = a kaikilla i 0, kun a F. Siten Tr(a) = a qi = a = ma. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 8 / 14
9 c) Kuten edellä todettiin, on a qi = a kaikilla i 0, kun a F. Siten Tr(a) = a qi = d) Kun x K, niin x qm = x ja saadaan Tr(x q ) = (x q ) qi = x qi+1 = x q + + x q + x qm a = ma. = x + x q + + x q = Tr(x). Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 8 / 14
10 Huomautus Jos K = F q m ja alkion α K minimipolynomin (kunnan F q suhteen) m α (x) aste on m, niin (ks. Lauseen c-kohta) m α (x) = (x α)(x α q ) (x α q ) = x m (α + α q + + α q )x + = x m Tr K F (α)x +..., joten Tr K F (α) = (termin x kerroin). Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 9 / 14
11 Määritelmä Olkoon F = F q, K = F q m, γ kunnan K primitiivialkio ja P renkaan K[x] additiivinen aliryhmä, joka on suljettu kunnan F alkioilla kertomisen suhteen (ts. ap(x) P aina, kun a F ja p(x) P). Olkoon edelleen n Z + ja Tr jälkikuvaus Tr K F. Muotoa C(P) = { c(f ) = ( Tr(f (1)), Tr(f (γ)),..., Tr(f (γ n 1 )) ) f P } olevaa lineaarista koodia kutsutaan pituutta n olevaksi jälkikoodiksi kunnan F suhteen. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 10 / 14
12 Huomaa, että koodi C(P) todella on lineaarinen, sillä jos c 1 = c(f 1 ), c 2 = c(f 2 ) C(P) ja a F, niin c 1 + c 2 = ( Tr(f 1 (1)),..., Tr(f 1 (γ n 1 )) ) + ( Tr(f 2 (1)),..., Tr(f 2 (γ n 1 )) ) = ( Tr(f 1 (1)) + Tr(f 2 (1)),..., Tr(f 1 (γ n 1 )) + Tr(f 2 (γ n 1 )) ) = ( Tr(f 1 (1) + f 2 (1)),..., Tr(f 1 (γ n 1 ) + f 2 (γ n 1 )) ) = ( Tr((f 1 + f 2 )(1)),..., Tr((f 1 + f 2 )(γ n 1 )) ) = c(f 1 + f 2 ) C(P) ja ac 1 = a ( Tr(f 1 (1)),..., Tr(f 1 (γ n 1 )) ) = ( a Tr(f 1 (1)),..., a Tr(f 1 (γ n 1 )) ) = ( Tr(af 1 (1)),..., Tr(af 1 (γ n 1 )) ) = c(af 1 ) C(P) eli C(P) on avaruuden F n aliavaruus. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 11 / 14
13 Lause Olkoot F, K ja γ kuten Määritelmässä Oletetaan, että n (q m 1) ja q m 1 = nn, N Z +. Olkoon B syklinen n-pituinen koodi kunnan F suhteen, jonka nollakohdat ovat γ Ns 1,..., γ Nsu. Tällöin koodin B duaalikoodi B on jälkikoodi C(P), missä { u } P = a i x Ns i a i K. i=1 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 12 / 14
14 Todistus: Huomaa, että γ N on primitiivinen n:s ykkösen juuri (vrt. harjoituksen 5 tehtävä 3), joten syklisen koodin B nollakohdat todellakin ovat alkion γ N potensseja. Lisäksi jos a, b P, niin a b = u u a i x Ns i b i x Ns i = i=1 i=1 u (a i b i )x Ns i P, i=1 joten P on renkaan K[x] aliryhmä yhteenlaskun suhteen. Lisäksi ap(x) P kaikilla a F ja p(x) P. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 13 / 14
15 Todistus: Huomaa, että γ N on primitiivinen n:s ykkösen juuri (vrt. harjoituksen 5 tehtävä 3), joten syklisen koodin B nollakohdat todellakin ovat alkion γ N potensseja. Lisäksi jos a, b P, niin a b = u u a i x Ns i b i x Ns i = i=1 i=1 u (a i b i )x Ns i P, i=1 joten P on renkaan K[x] aliryhmä yhteenlaskun suhteen. Lisäksi ap(x) P kaikilla a F ja p(x) P. Olkoon b = (b 0,..., b n 1 ) F n ja c = c(f ) C(P), missä f (x) = u i=1 a ix Ns i. Merkitään b(x) = n 1 j=0 b jx j ja lasketaan vektoreiden b ja c pistetulo: Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 13 / 14
16 ( n 1 n 1 u ) b c = b j Tr(f (γ j )) = b j Tr a i γ Ns i j j=0 n 1 = = b j j=0 i=1 n 1 (a i u Tr i=1 j=0 u Tr(a i γ Ns i j ) = ) b j γ Ns i j = j=0 n 1 i=1 j=0 i=1 u Tr(b j a i γ Ns i j ) u Tr(a i b(γ Ns i )). i=1 Jos nyt b B, niin b(γ Ns i ) = 0 kaikilla i = 1,..., u, joten b c = 0 kaikilla c C(P). Näin ollen B C(P). Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 14 / 14
17 Olkoon nyt b C(P), jolloin b c = 0 kaikilla c C(P). Valitaan c = c(f ), missä f (x) = ax Ns j, j {1,..., u} ja a K. Tällöin Tr(ab(γ Ns j )) = b c = 0. Jos b(γ Ns j ) 0, niin koska a K voitiin valita vapaasti, pätee {ab(γ Ns j ) a K} Ker(Tr). Näin ollen homomorfismien peruslauseen nojalla K = {ab(γ Ns j ) a K} Ker(Tr) = K F < K, mikä on ristiriita. Siispä b(γ Ns j ) = 0. Tämä pätee kaikilla j = 1,..., u, joten b B eli C(P) B. Siispä C(P) = B eli B = C(P). Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 15 / 14
18 Koska jokainen syklinen koodi on jonkin syklisen koodin duaalikoodi, niin jokaisella syklisellä koodilla on esitys jälkikoodina. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 16 / 14
19 Koska jokainen syklinen koodi on jonkin syklisen koodin duaalikoodi, niin jokaisella syklisellä koodilla on esitys jälkikoodina. Huomautus Jos α = γ N (primitiivinen n:s ykkösen juuri), niin edellä riittää ottaa mukaan sellainen nollakohtien α s i = γ Ns i joukko, missä on yksi edustaja s i jokaisesta joukkoon {s 1,..., s u } kuuluvasta syklotomisesta sivuluokasta modulo n. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 16 / 14
20 4.8 Mattsonin-Solomonin polynomit Oletetaan, että F = F q ja syt(n, q) = 1. Olkoon α primitiivinen n:s ykkösen juuri eräässä kunnan F laajennuskunnassa F q m. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 17 / 14
21 4.8 Mattsonin-Solomonin polynomit Oletetaan, että F = F q ja syt(n, q) = 1. Olkoon α primitiivinen n:s ykkösen juuri eräässä kunnan F laajennuskunnassa F q m. Määritelmä Vektorin a = (a 0, a 1,..., a n 1 ) F n q m (eli polynomin a(x) = a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 ) Mattsonin Solomonin polynomiksi, tai MS-polynomiksi, kutsutaan polynomia A(z) = A a (z) = missä A j = a(α j ) = n 1 n A j z n j F q m[z], j=1 a i α ij kaikilla j = 1,..., n. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 17 / 14
22 Lause Kun a ja A(z) ovat kuten edellä, niin a i = 1 n A(αi ) kaikilla i = 0, 1,..., n 1. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 18 / 14
23 Lause Kun a ja A(z) ovat kuten edellä, niin a i = 1 n A(αi ) kaikilla i = 0, 1,..., n 1. Todistus: Koska α n = 1, saadaan A(α i ) = = n n A j α (n j)i = A j α ji = j=1 j=1 n n 1 n 1 a k α (k i)j = a k j=1 k=0 k=0 j=1 n α ij( n 1 j=1 k=0 n α (k i)j. a k α kj) Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 18 / 14
24 Kun k = i, niin tässä n j=1 α(k i)j = n j=1 1 = n. Kun k i, niin n < k i < n ja k i 0. Merkitsemällä l = k i saadaan α l 1, kun l 0, ja n j=1 α lj = α l (1 + α l + + α (n 1)l ) = α l 1 αnl 1 α l = 0. Koska syt(n, q) = 1, niin n 0 kunnan F alkioksi tulkittuna ja yhtälö A(α i ) = na i voidaan jakaa puolittain alkiolla n F (eli kertoa alkion n käänteisalkiolla n 1 ). Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 19 / 14
25 Kun k = i, niin tässä n j=1 α(k i)j = n j=1 1 = n. Kun k i, niin n < k i < n ja k i 0. Merkitsemällä l = k i saadaan α l 1, kun l 0, ja n j=1 α lj = α l (1 + α l + + α (n 1)l ) = α l 1 αnl 1 α l = 0. Koska syt(n, q) = 1, niin n 0 kunnan F alkioksi tulkittuna ja yhtälö A(α i ) = na i voidaan jakaa puolittain alkiolla n F (eli kertoa alkion n käänteisalkiolla n 1 ). Seuraus wt(a) = n r, missä r on niiden n:nsien ykkösen juurten lukumäärä, jotka ovat polynomin A a (z) nollakohtia; erityisesti wt(a) n deg A a (z). Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 19 / 14
26 Lause (BCH-raja) Olkoon α F q m primitiivinen n:s ykkösen juuri, b N ja d Z +, d 2. Olkoon g(x) F[x] polynomi, jonka nollakohtia ovat (ainakin) α b, α b+1,..., α b+d 2, ja olkoon C polynomin g generoima n-pituinen syklinen koodi. Tällöin d min C d. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 20 / 14
27 Lause (BCH-raja) Olkoon α F q m primitiivinen n:s ykkösen juuri, b N ja d Z +, d 2. Olkoon g(x) F[x] polynomi, jonka nollakohtia ovat (ainakin) α b, α b+1,..., α b+d 2, ja olkoon C polynomin g generoima n-pituinen syklinen koodi. Tällöin d min C d. Todistus: Olkoon c(x) C, c(x) 0. Koska g(x) c(x) renkaassa R n, niin c(x) = f (x)g(x) renkaassa R n ja c(x) = f (x)g(x) + a(x)(x n 1) renkaassa F[x]. Täten c(α j ) = 0 kaikilla b j b + d 2, ja A(z) = A c (z) = n c(α j )z n j j=1 = c(α)z n c(α b 1 )z n b+1 + c(α b+d 1 )z n b d c(α n ). Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 20 / 14
28 Olkoon A (z) = z b 1 A(z) (z n 1) ( c(α)z b 2 + c(α 2 )z b 3 + c(α b 1 ) ) = c(α)z b+n c(α b 1 )z n + c(α b+d 1 )z n d + + c(α n )z b 1 c(α)z b+n 2 c(α b 1 )z n + c(α)z b c(α b 1 ) = c(α b+d 1 )z n d + + c(α n )z b 1 + c(α)z b c(α b 1 ). Jokainen n:s ykkösen juuri, joka on polynomin A(z) nollakohta, on myös polynomin A (z) nollakohta. Tällaisten ykkösen juurten määrä on korkeintaan deg A n d, joten myös deg A(z) n d. Seurauksen nojalla wt c n (n d) = d, joten d min C d. Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 21 / 14
Koodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 5.2 BCH-koodin dekoodaus Tarkastellaan t virhettä korjaavaa n-pituista BCH-koodia. Olkoon α primitiivinen n:s ykkösen juuri, c = c(x)
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 5 BCH-, RS- ja Goppa-koodit Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 2 / 15 5.1 BCH-koodien määrittely Olkoon jälleen F = F q, syt(n,
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos Koodausteoria 10 op Kontaktiopetusta 50 h, 26.5. - 26.6. ma 10-14, ti 10-13, to 10-13 Aloitusviikolla poikkeuksellisesti ke 10-13 torstain
Lisätiedotei ole muita välikuntia.
ALGEBRA II 41 Lause 4.15. F q m on polynomin x qm x hajoamiskunta kunnan F q suhteen. Todistus. Olkoon α kunnan F q m primitiivialkio. Nyt F qm =< α > muodostuu täsmälleen polynomin x qm 1 1nollakohdistajatäten
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3.5 Reedin-Mullerin koodit Olkoon tässä kappaleessa F = F2 = Z2 ja n = 2 m. Määritellään avaruuteen F n kertolasku koordinaateittain:
Lisätiedot[E : F ]=[E : K][K : F ].
ALGEBRA II 35 Lause 4.4 (Astelukulause). Olkoot E/K/Fäärellisiä kuntalaajennuksia. Silloin [E : F ]=[E : K][K : F ]. Todistus. Olkoon {α 1,...,α n } kanta laajennukselle E/K ja {β 1,...,β m } kanta laajennukselle
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3. Lineaariset koodit Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 2 / 22 3.1 Lineaarisen koodin määrittely Olkoon F äärellinen kunta.
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 5.6 Alternanttikoodin dekoodaus, kun esiintyy pyyhkiytymiä ja virheitä Joissakin tilanteissa vastaanotetun sanan kirjainta ei saa tulkittua
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 6. Ryöppyvirheitä korjaavat koodit Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 2 / 34 6.1 Peruskäsitteitä Aiemmin on implisiittisesti
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
Lisätiedot802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013
802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Kertausta kurssilta Lukuteoria ja ryhmät
Lisätiedotg : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.
ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
Lisätiedotkaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja
Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,
Lisätiedot2 Renkaat ja kunnat. toteutuvat: 1. pari (K, +) on Abelin ryhmä, jonka neutraalialkio on 0 K,
1 Ryhmät Olkoot S on joukko ja X S. Jos kuvaus : S S S, (x, y) x y toteuttaa ehdon x y X kaikilla x, y X, niin sanotaan, että binäärinen operaatio on suljettu joukon X suhteen. Määritelmä 1. Olkoot G joukko
Lisätiedot7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3.3 Lineaarisen koodin dekoodaus Oletetaan, että lähetettäessä kanavaan sana c saadaan sana r = c + e, missä e on häiriön aiheuttama
Lisätiedota b 1 c b n c n
Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =
LisätiedotEsimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.
Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotTodistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset alhaaltaylöspäin.
18 ALGEBRA II missä r n (x) =syt(f(x),g(x)). Lause 2.7. Olkoot f(x),g(x) K[x]. Silloin syt(f(x),g(x)) = a(x)f(x)+b(x)g(x), joillakin a(x),b(x) K[x]. Todistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset
LisätiedotPolynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi
Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi Pro gradu -tutkielma Outi Aksela 2117470 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Renkaat 3 1.1 Rengas...............................
LisätiedotMitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.
Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 25 Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotTOOLS. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO TOOLS 1 / 28
TOOLS Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 2018 TOOLS 1 / 28 Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. TOOLS
LisätiedotAlgebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen
Algebra II Syksy 2004 Pentti Haukkanen 1 Sisällys 1 Ryhmäteoriaa 3 1.1 Ryhmän määritelmä.... 3 1.2 Aliryhmä... 3 1.3 Sivuluokat...... 4 1.4 Sykliset ryhmät... 7 1.5 Ryhmäisomorfismi..... 11 2 Polynomeista
LisätiedotOminaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170
Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170 Seuraavissa luvuissa matriisit ja vektori ajatellaan kompleksisiksi, ts. kertojakuntana oletetaan olevan aina kompleksilukujoukko C Huomaa, että reaalilukujoukko
LisätiedotRollen lause polynomeille
Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
LisätiedotDihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013
Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo
Lisätiedot802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen
802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................
LisätiedotLUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että
LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,
Lisätiedotk=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0
1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota
LisätiedotLineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016
Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang 2187044 Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Esitietoja 3 1.1 Ryhmät.............................. 3 1.1.1 Ryhmä ja aliryhmä....................
LisätiedotReedin ja Solomonin koodit Katariina Huttunen
Pro Gradu Reedin ja Solomonin koodit Katariina Huttunen Jyväskylän yliopisto Matematiikan laitos Lokakuu 2016 Tiivistelmä Huttunen Katariina, Reedin ja Solomonin koodit, matematiikan pro gradututkielma,
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 8,
Algebra I, harjoitus 8, 4.-5.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H sen normaali aliryhmä. Todista, että tällöin G/H on ryhmä, kun määritellään laskutoimitus joukossa G/H asettamalla aina, kun x, y G (lauseen
Lisätiedotkoska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan
4. Äärellisten kuntien yleisiä ominaisuuksia 4.1. Laajenuskunnat. Tarkastellaan aluksi yleistä kuntaparia F ja K, missä F on kunnan K alikunta. Tällöin sanotaan, että kunta K on kunnan F laajennuskunta
Lisätiedot{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja
5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.
Lisätiedotominaisvektorit. Nyt 2 3 6
Esimerkki 2 6 8 Olkoon A = 40 0 6 5. Etsitäänmatriisinominaisarvotja 0 0 2 ominaisvektorit. Nyt 2 0 2 6 8 2 6 8 I A = 40 05 40 0 6 5 = 4 0 6 5 0 0 0 0 2 0 0 2 15 / 172 Täten c A ( )=det( I A) =( ) ( 2)
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
LisätiedotSeurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa
Seurauksia Seuraus Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa P(x) = a n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ). Seuraus Astetta n olevalla polynomilla voi olla enintään
Lisätiedot1 Algebralliset perusteet
1 Algebralliset perusteet 1.1 Renkaat Tämän luvun jälkeen opiskelijoiden odotetaan muistavan, mitä ovat renkaat, vaihdannaiset renkaat, alirenkaat, homomorfismit, ideaalit, tekijärenkaat, maksimaaliset
LisätiedotTehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla
LisätiedotKanta ja dimensio 1 / 23
1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
LisätiedotLiite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet
Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja
Lisätiedot6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio
6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.
Lisätiedota 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle.
Harjoitus 10 (7 sivua) Ratkaisuehdotuksia/Martina Aaltonen Tehtävä 1. Mitkä seuraavista yhtälöistä pätevät mielivaltaisen renkaan alkioille a ja b? a) a 2 ba = (a b)a b) (a + b + 1)(a b) = a 2 b 2 + a
LisätiedotHN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8, 23.27.3.2009 5 sivua Rami Luisto 1. Osoita, että kullakin n N + lukujen n 5 ja n viimeiset numerot kymmenkantaisessa
Lisätiedot(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R.
11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi φ: R R on erityisesti ryhmähomomorfismi φ: (R, +) (R, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin φ
LisätiedotToispuoleiset raja-arvot
Toispuoleiset raja-arvot Määritelmä Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 < x < x 0 + δ; ja vasemmanpuoleinen
LisätiedotPäättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1
Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
Lisätiedot802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2017 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................
Lisätiedotd Z + 17 Viimeksi muutettu
5. Diffien ja Hellmanin avaintenvaihto Miten on mahdollista välittää salatun viestin avaamiseen tarkoitettu avain Internetin kaltaisen avoimen liikennöintiväylän kautta? Kuka tahansahan voi (ainakin periaatteessa)
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan
LisätiedotMAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen Tämä tiedosto sisältää kurssin kaikki laskuharjoitukset. viikottain uusia tehtäviä. Tiedostoon lisätään To 05.02.09 pidetyt harjoitukset.
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
Lisätiedot(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0
11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi : R! R 0 on erityisesti ryhmähomomorfismi :(R, +)! (R 0, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
8038A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 016 Sisältö 1 Irrationaaliluvuista Antiikin lukuja 6.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut...................
LisätiedotLaajennetut Preparata-koodit
Laajennetut Preparata-koodit Pro gradu -tutkielma Petri Eklund 1512717 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016 Sisältö 1 Esitietoja 1.1 Yleistä.................................. 1.2
LisätiedotAlgebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen
Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä Versio 1.0 (27.1.2006) Turun yliopisto Lukuteoria 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen joukolla: a) C D
Lisätiedotja jäännösluokkien joukkoa
3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotBijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
LisätiedotMatriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?
Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi
LisätiedotMAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen
LisätiedotH = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.
10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
Lisätiedotrenkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x
8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta
Lisätiedot1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
Lisätiedot2017 = = = = = = 26 1
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu
LisätiedotLukuteorian kertausta
Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +
LisätiedotAlgebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut
Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut Versio 1.0 (27.1.2006 Turun yliopisto Lukuteoria 1. a Tarkistetaan ekvivalenssirelaation ehdot. on refleksiivinen, sillä identiteettikuvaus, id : C
LisätiedotMääritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
LisätiedotÄärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause
Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.
LisätiedotFunktioista. Esimerkki 1
Funktio eli kuvaus on matematiikan keskeisimpiä käsitteitä. Seuraavaksi tarkastellaan funktioita ja todistetaan niiden ominaisuuksia. Määritelmä 1 Olkoot A ja B. Kuvaus eli funktio f : A B on sääntö, joka
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotEsko Turunen Luku 3. Ryhmät
3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,
Lisätiedot14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo.
14. Juurikunnat Mielivaltaisella polynomilla ei välttämättä ole juuria tarkasteltavassa kunnassa. Tässä luvussa tutkitaan sellaisia algebrallisia laajennoksia, jotka saadaan lisäämällä polynomeille juuria.
LisätiedotTeema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32
1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki
LisätiedotTrooppista geometriaa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Joona Hirvonen Trooppista geometriaa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Toukokuu 2013 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö HIRVONEN, JOONA: Trooppista
LisätiedotRatkaisuehdotus 2. kurssikoe
Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotFunktioiden approksimointi ja interpolointi
Funktioiden approksimointi ja interpolointi Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics interpolaatio-ongelma 8 Eksponenttifunktion exp(x) interpolointi 3.5 Funktion e^{0.25x} \sin(x) interpolointi 7 3
LisätiedotÄärelliset kunnat ja polynomien jako alkutekijöihin
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Heidi Kananoja Äärelliset kunnat ja polynomien jako alkutekijöihin Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Syyskuu 2007 Tampereen yliopisto
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille
Lisätiedot