802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita"

Transkriptio

1 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 25

2 Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. LUKUTEORIA 2 / 25

3 Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. P = {2, 3, 5, 7, 11,...} = {alkuluvut}. LUKUTEORIA 2 / 25

4 Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. P = {2, 3, 5, 7, 11,...} = {alkuluvut}. Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} = {kokonaisluvut}. LUKUTEORIA 2 / 25

5 Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. P = {2, 3, 5, 7, 11,...} = {alkuluvut}. Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} = {kokonaisluvut}. Z + = {1, 2, 3,...} = N\{0} = {positiiviset kokonaisluvut}. LUKUTEORIA 2 / 25

6 Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. P = {2, 3, 5, 7, 11,...} = {alkuluvut}. Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} = {kokonaisluvut}. Z + = {1, 2, 3,...} = N\{0} = {positiiviset kokonaisluvut}. Z = { 1, 2, 3,...} = Z\N = {negatiiviset kokonaisluvut}. LUKUTEORIA 2 / 25

7 Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. P = {2, 3, 5, 7, 11,...} = {alkuluvut}. Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} = {kokonaisluvut}. Z + = {1, 2, 3,...} = N\{0} = {positiiviset kokonaisluvut}. Z = { 1, 2, 3,...} = Z\N = {negatiiviset kokonaisluvut}. Q = { m n m Z, n Z+ } = {rationaaliluvut}. LUKUTEORIA 2 / 25

8 Lukujoukkoja R = {x x = k=l a k10 k, l Z; a k {0,..., 9}} = {reaaliluvut }. LUKUTEORIA 3 / 25

9 Lukujoukkoja R = {x x = k=l a k10 k, l Z; a k {0,..., 9}} = {reaaliluvut }. C = R(i) = {a + ib a, b R, i 2 = 1} = { kompleksiluvut} LUKUTEORIA 3 / 25

10 Lukujoukkoja R = {x x = k=l a k10 k, l Z; a k {0,..., 9}} = {reaaliluvut }. C = R(i) = {a + ib a, b R, i 2 = 1} = { kompleksiluvut} C \ Q = { Irrationaaliluvut }. LUKUTEORIA 3 / 25

11 Lukujoukkoja R = {x x = k=l a k10 k, l Z; a k {0,..., 9}} = {reaaliluvut }. C = R(i) = {a + ib a, b R, i 2 = 1} = { kompleksiluvut} C \ Q = { Irrationaaliluvut }. Z m = {k Z k m}. LUKUTEORIA 3 / 25

12 Lukujoukkoja R = {x x = k=l a k10 k, l Z; a k {0,..., 9}} = {reaaliluvut }. C = R(i) = {a + ib a, b R, i 2 = 1} = { kompleksiluvut} C \ Q = { Irrationaaliluvut }. Z m = {k Z k m}. R 0 = {r R r 0},... LUKUTEORIA 3 / 25

13 Lukujoukkoja R = {x x = k=l a k10 k, l Z; a k {0,..., 9}} = {reaaliluvut }. C = R(i) = {a + ib a, b R, i 2 = 1} = { kompleksiluvut} C \ Q = { Irrationaaliluvut }. Z m = {k Z k m}. R 0 = {r R r 0},... Q = Q \ {0}, R = R \ {0}, C = C \ {0}, LUKUTEORIA 3 / 25

14 ! täsmälleen yksi. Sekalaisia merkintöjä LUKUTEORIA 4 / 25

15 ! täsmälleen yksi. Sekalaisia merkintöjä #A = A = Joukon A alkioiden lukumäärä. LUKUTEORIA 4 / 25

16 ! täsmälleen yksi. Sekalaisia merkintöjä #A = A = Joukon A alkioiden lukumäärä. Olkoot a, b lukuja sekä A, J lukujoukkoja: aj + b = {aj + b j J} a J = {a j j J} A J = {a j a A, j J} LUKUTEORIA 4 / 25

17 ! täsmälleen yksi. Sekalaisia merkintöjä #A = A = Joukon A alkioiden lukumäärä. Olkoot a, b lukuja sekä A, J lukujoukkoja: aj + b = {aj + b j J} a J = {a j j J} A J = {a j a A, j J} Esimerkki 1 J = Z, b Z, n Z +, tällöin merkitään b = nz + b, joka on jakojäännösluokka (mod n) ja Z/nZ = {b b {0, 1,..., n 1}}, LUKUTEORIA 4 / 25

18 Sekalaisia merkintöjä Olkoon A = {a 1,..., a m }, tällöin f (a) = f (a 1 ) f (a m ), a A f (a) = f (a 1 ) f (a m ). a A Tyhjä summa ja tulo: Jos A =, niin f (a) = 0, f (a) = 1 a A a A LUKUTEORIA 5 / 25

19 Tulo n. alkutekijöiden yli LUKUTEORIA 5 / 25 Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita Sekalaisia merkintöjä Olkoon A = {a 1,..., a m }, tällöin f (a) = f (a 1 ) f (a m ), a A f (a) = f (a 1 ) f (a m ). a A Tyhjä summa ja tulo: Jos A =, niin f (a) = 0, f (a) = 1 a A a A Edelleen Summaus n. tekijöiden yli f (d) = f (d 1 ) f (d k ), d n missä d i Z + ovat n:n erilliset tekijät. Summaus n. alkutekijöiden yli f (p) = f (p). p n p n,p P

20 RENGAS/RING Olkoon R epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa R on määritelty laskutoimitus + eli kuvaus + : R R R, (a, b) a + b, missä a + b R, kun a R ja b R sekä LUKUTEORIA 6 / 25

21 RENGAS/RING Olkoon R epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa R on määritelty laskutoimitus + eli kuvaus + : R R R, (a, b) a + b, missä a + b R, kun a R ja b R sekä laskutoimitus eli kuvaus : R R R, (a, b) a b, missä a b R, kun a R ja b R. Tällä kurssilla rengas on (jos ei toisin mainita) kommutatiivinen ja ykkösellinen. LUKUTEORIA 6 / 25

22 RENGAS/RING Kommutatiivinen, ykkösellinen rengas Määritelmä 1 Kolmikko (R, +, ) on kommutatiivinen, ykkösellinen rengas, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: LUKUTEORIA 7 / 25

23 RENGAS/RING Kommutatiivinen, ykkösellinen rengas Määritelmä 1 Kolmikko (R, +, ) on kommutatiivinen, ykkösellinen rengas, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun aksiomit: LUKUTEORIA 7 / 25

24 RENGAS/RING Kommutatiivinen, ykkösellinen rengas Määritelmä 1 Kolmikko (R, +, ) on kommutatiivinen, ykkösellinen rengas, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun aksiomit: (a) a + (b + c) = (a + b) + c kaikilla a, b, c R (liitännäisyys). LUKUTEORIA 7 / 25

25 RENGAS/RING Kommutatiivinen, ykkösellinen rengas Määritelmä 1 Kolmikko (R, +, ) on kommutatiivinen, ykkösellinen rengas, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun aksiomit: (a) a + (b + c) = (a + b) + c kaikilla a, b, c R (liitännäisyys). (b) a + b = b + a kaikilla a, b R (vaihdannaisuus). LUKUTEORIA 7 / 25

26 RENGAS/RING Kommutatiivinen, ykkösellinen rengas Määritelmä 1 Kolmikko (R, +, ) on kommutatiivinen, ykkösellinen rengas, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun aksiomit: (a) a + (b + c) = (a + b) + c kaikilla a, b, c R (liitännäisyys). (b) a + b = b + a kaikilla a, b R (vaihdannaisuus). (c) On olemassa nolla-alkio 0 R, jolle 0 + a = a kaikilla a R. LUKUTEORIA 7 / 25

27 RENGAS/RING Kommutatiivinen, ykkösellinen rengas Määritelmä 1 Kolmikko (R, +, ) on kommutatiivinen, ykkösellinen rengas, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun aksiomit: (a) a + (b + c) = (a + b) + c kaikilla a, b, c R (liitännäisyys). (b) a + b = b + a kaikilla a, b R (vaihdannaisuus). (c) On olemassa nolla-alkio 0 R, jolle 0 + a = a kaikilla a R. (d) Kaikilla a R on olemassa vasta-alkio a R, jolle a + ( a) = 0. LUKUTEORIA 7 / 25

28 RENGAS/RING Kommutatiivinen, ykkösellinen rengas 2. Kertolaskun aksiomit: LUKUTEORIA 8 / 25

29 RENGAS/RING Kommutatiivinen, ykkösellinen rengas 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c R (liitännäisyys). LUKUTEORIA 8 / 25

30 RENGAS/RING Kommutatiivinen, ykkösellinen rengas 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c R (liitännäisyys). (b) a b = b a kaikilla a, b R (vaihdannaisuus). LUKUTEORIA 8 / 25

31 RENGAS/RING Kommutatiivinen, ykkösellinen rengas 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c R (liitännäisyys). (b) a b = b a kaikilla a, b R (vaihdannaisuus). (c) On olemassa ykkösalkio 1 R, jolle 1 a = a kaikilla a R. LUKUTEORIA 8 / 25

32 RENGAS/RING Kommutatiivinen, ykkösellinen rengas 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c R (liitännäisyys). (b) a b = b a kaikilla a, b R (vaihdannaisuus). (c) On olemassa ykkösalkio 1 R, jolle 1 a = a kaikilla a R. 3. Osittelulaki: LUKUTEORIA 8 / 25

33 RENGAS/RING Kommutatiivinen, ykkösellinen rengas 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c R (liitännäisyys). (b) a b = b a kaikilla a, b R (vaihdannaisuus). (c) On olemassa ykkösalkio 1 R, jolle 1 a = a kaikilla a R. 3. Osittelulaki: (a) a (b + c) = a b + a c kaikilla a, b, c R. LUKUTEORIA 8 / 25

34 RENGAS/RING Määritelmän 1 mukaista joukkoa R kutsutaan (kommutatiiviseksi, ykköselliseksi) renkaaksi LUKUTEORIA 9 / 25

35 RENGAS/RING Määritelmän 1 mukaista joukkoa R kutsutaan (kommutatiiviseksi, ykköselliseksi) renkaaksi ja annettuja ehtoja sanotaan rengas-aksiomeiksi. LUKUTEORIA 9 / 25

36 RENGAS/RING Määritelmän 1 mukaista joukkoa R kutsutaan (kommutatiiviseksi, ykköselliseksi) renkaaksi ja annettuja ehtoja sanotaan rengas-aksiomeiksi. Aksiomit 1a d sanovat, että (R, +) on Abelin ryhmä, jonka laskutoimitusta + kutsutaan yhteenlaskuksi. LUKUTEORIA 9 / 25

37 RENGAS/RING Määritelmän 1 mukaista joukkoa R kutsutaan (kommutatiiviseksi, ykköselliseksi) renkaaksi ja annettuja ehtoja sanotaan rengas-aksiomeiksi. Aksiomit 1a d sanovat, että (R, +) on Abelin ryhmä, jonka laskutoimitusta + kutsutaan yhteenlaskuksi. Voidaankin sanoa, että (R, +) on renkaan R yhteenlaskuryhmä, jonka neutraalialkio on nolla-alkio 0. LUKUTEORIA 9 / 25

38 RENGAS/RING Määritelmän 1 mukaista joukkoa R kutsutaan (kommutatiiviseksi, ykköselliseksi) renkaaksi ja annettuja ehtoja sanotaan rengas-aksiomeiksi. Aksiomit 1a d sanovat, että (R, +) on Abelin ryhmä, jonka laskutoimitusta + kutsutaan yhteenlaskuksi. Voidaankin sanoa, että (R, +) on renkaan R yhteenlaskuryhmä, jonka neutraalialkio on nolla-alkio 0. Edelleen, aksiomit 2a c sanovat, että (R, ) on kommutatiivinen monoidi, jonka laskutoimitusta kutsutaan kertolaskuksi ja LUKUTEORIA 9 / 25

39 RENGAS/RING Määritelmän 1 mukaista joukkoa R kutsutaan (kommutatiiviseksi, ykköselliseksi) renkaaksi ja annettuja ehtoja sanotaan rengas-aksiomeiksi. Aksiomit 1a d sanovat, että (R, +) on Abelin ryhmä, jonka laskutoimitusta + kutsutaan yhteenlaskuksi. Voidaankin sanoa, että (R, +) on renkaan R yhteenlaskuryhmä, jonka neutraalialkio on nolla-alkio 0. Edelleen, aksiomit 2a c sanovat, että (R, ) on kommutatiivinen monoidi, jonka laskutoimitusta kutsutaan kertolaskuksi ja jonka neutraalialkio on ykkös-alkio 1. LUKUTEORIA 9 / 25

40 RENGAS/RING Merkintä 1 Yleensä kertolasku jätetään merkitsemättä eli tehdään samaistus: a b = ab. LUKUTEORIA 10 / 25

41 KUNTA/FIELD Olkoon K joukko, jossa on ainakin kaksi alkiota. Oletetaan, että joukossa K on määritelty laskutoimitus + eli kuvaus + : K K K, (a, b) a + b, missä a + b K, kun a K ja b K sekä LUKUTEORIA 11 / 25

42 KUNTA/FIELD Olkoon K joukko, jossa on ainakin kaksi alkiota. Oletetaan, että joukossa K on määritelty laskutoimitus + eli kuvaus + : K K K, (a, b) a + b, missä a + b K, kun a K ja b K sekä laskutoimitus eli kuvaus : K K K, (a, b) a b, missä a b K, kun a K ja b K. LUKUTEORIA 11 / 25

43 KUNTA/FIELD Kunta Määritelmä 2 Kolmikk (K, +, ) on kunta, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: LUKUTEORIA 12 / 25

44 KUNTA/FIELD Kunta Määritelmä 2 Kolmikk (K, +, ) on kunta, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun aksiomit: LUKUTEORIA 12 / 25

45 KUNTA/FIELD Kunta Määritelmä 2 Kolmikk (K, +, ) on kunta, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun aksiomit: (a) a + (b + c) = (a + b) + c kaikilla a, b, c K (liitännäisyys). LUKUTEORIA 12 / 25

46 KUNTA/FIELD Kunta Määritelmä 2 Kolmikk (K, +, ) on kunta, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun aksiomit: (a) a + (b + c) = (a + b) + c kaikilla a, b, c K (liitännäisyys). (b) a + b = b + a kaikilla a, b K (vaihdannaisuus). LUKUTEORIA 12 / 25

47 KUNTA/FIELD Kunta Määritelmä 2 Kolmikk (K, +, ) on kunta, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun aksiomit: (a) a + (b + c) = (a + b) + c kaikilla a, b, c K (liitännäisyys). (b) a + b = b + a kaikilla a, b K (vaihdannaisuus). (c) On olemassa nolla-alkio 0 K, jolle 0 + a = a kaikilla a K. LUKUTEORIA 12 / 25

48 KUNTA/FIELD Kunta Määritelmä 2 Kolmikk (K, +, ) on kunta, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun aksiomit: (a) a + (b + c) = (a + b) + c kaikilla a, b, c K (liitännäisyys). (b) a + b = b + a kaikilla a, b K (vaihdannaisuus). (c) On olemassa nolla-alkio 0 K, jolle 0 + a = a kaikilla a K. (d) Kaikilla a K on olemassa vasta-alkio a K, jolle a + ( a) = 0. LUKUTEORIA 12 / 25

49 KUNTA/FIELD Kunta 2. Kertolaskun aksiomit: LUKUTEORIA 13 / 25

50 KUNTA/FIELD Kunta 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c K (liitännäisyys). LUKUTEORIA 13 / 25

51 KUNTA/FIELD Kunta 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c K (liitännäisyys). (b) a b = b a kaikilla a, b K (vaihdannaisuus). LUKUTEORIA 13 / 25

52 KUNTA/FIELD Kunta 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c K (liitännäisyys). (b) a b = b a kaikilla a, b K (vaihdannaisuus). (c) On olemassa ykkösalkio 1 K, jolle 1 a = a kaikilla a K. LUKUTEORIA 13 / 25

53 KUNTA/FIELD Kunta 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c K (liitännäisyys). (b) a b = b a kaikilla a, b K (vaihdannaisuus). (c) On olemassa ykkösalkio 1 K, jolle 1 a = a kaikilla a K. (d) Kaikilla a K = K \ {0} on olemassa käänteisalkio a 1 K, jolle a a 1 = 1. LUKUTEORIA 13 / 25

54 KUNTA/FIELD Kunta 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c K (liitännäisyys). (b) a b = b a kaikilla a, b K (vaihdannaisuus). (c) On olemassa ykkösalkio 1 K, jolle 1 a = a kaikilla a K. (d) Kaikilla a K = K \ {0} on olemassa käänteisalkio a 1 K, jolle a a 1 = Osittelulaki: LUKUTEORIA 13 / 25

55 KUNTA/FIELD Kunta 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c K (liitännäisyys). (b) a b = b a kaikilla a, b K (vaihdannaisuus). (c) On olemassa ykkösalkio 1 K, jolle 1 a = a kaikilla a K. (d) Kaikilla a K = K \ {0} on olemassa käänteisalkio a 1 K, jolle a a 1 = Osittelulaki: (a) a (b + c) = a b + a c kaikilla a, b, c K. LUKUTEORIA 13 / 25

56 KUNTA/FIELD Määritelmän 2 mukaista joukkoa K kutsutaan kunnaksi LUKUTEORIA 14 / 25

57 KUNTA/FIELD Määritelmän 2 mukaista joukkoa K kutsutaan kunnaksi ja annettuja ehtoja sanotaan kunta-aksiomeiksi. LUKUTEORIA 14 / 25

58 KUNTA/FIELD Määritelmän 2 mukaista joukkoa K kutsutaan kunnaksi ja annettuja ehtoja sanotaan kunta-aksiomeiksi. Aksiomit 1a d sanovat, että (K, +) on Abelin ryhmä, jonka laskutoimitusta + kutsutaan yhteenlaskuksi. LUKUTEORIA 14 / 25

59 KUNTA/FIELD Määritelmän 2 mukaista joukkoa K kutsutaan kunnaksi ja annettuja ehtoja sanotaan kunta-aksiomeiksi. Aksiomit 1a d sanovat, että (K, +) on Abelin ryhmä, jonka laskutoimitusta + kutsutaan yhteenlaskuksi. Voidaankin sanoa, että (K, +) on kunnan K yhteenlaskuryhmä, jonka neutraalialkio on nolla-alkio 0. LUKUTEORIA 14 / 25

60 KUNTA/FIELD Määritelmän 2 mukaista joukkoa K kutsutaan kunnaksi ja annettuja ehtoja sanotaan kunta-aksiomeiksi. Aksiomit 1a d sanovat, että (K, +) on Abelin ryhmä, jonka laskutoimitusta + kutsutaan yhteenlaskuksi. Voidaankin sanoa, että (K, +) on kunnan K yhteenlaskuryhmä, jonka neutraalialkio on nolla-alkio 0. Edelleen, aksiomit 2a d sanovat, että (K, ) on Abelin ryhmä, jonka laskutoimitusta kutsutaan kertolaskuksi. LUKUTEORIA 14 / 25

61 KUNTA/FIELD Määritelmän 2 mukaista joukkoa K kutsutaan kunnaksi ja annettuja ehtoja sanotaan kunta-aksiomeiksi. Aksiomit 1a d sanovat, että (K, +) on Abelin ryhmä, jonka laskutoimitusta + kutsutaan yhteenlaskuksi. Voidaankin sanoa, että (K, +) on kunnan K yhteenlaskuryhmä, jonka neutraalialkio on nolla-alkio 0. Edelleen, aksiomit 2a d sanovat, että (K, ) on Abelin ryhmä, jonka laskutoimitusta kutsutaan kertolaskuksi. Sanotaan siis, että (K, ) on kunnan K kertolaskuryhmä, jonka neutraalialkio on ykkös-alkio 1. LUKUTEORIA 14 / 25

62 KUNTA/FIELD Merkintä 2 Yleensä kertolasku jätetään merkitsemättä eli tehdään samaistus: Erikoistapauksia: Esimerkki 2 Reaalilukujen kunta R. a b = ab. LUKUTEORIA 15 / 25

63 KUNTA/FIELD Esimerkki 3 Kompleksilukujen kunta C. Luvun z = a + ib kompleksikonjugaatti on luku z = a ib ja pituus z = a 2 + b 2. z = z, zw = z w, zz = z 2. (1) z = z z R. (2) a = z + z 2, b = z z. (3) 2i z + z 2 z, z z 2 z. (4) z + z 2 z. (5) LUKUTEORIA 16 / 25

64 KUNTA/FIELD Huomautus 1 Identiteetin a = b molemmille puolin saa lisätä saman alkion c, jolloin Huomautus 2 Identiteetin a + c = b + c. a = b molemmat puolet saa kertoa samalla alkiolla c, jolloin ca = cb. LUKUTEORIA 17 / 25

65 Funktioista Kurssilta Johdatus matemaattiseen päättelyyn löytyy peruskäsitteet, kuten injektio, surjektio ja bijektio. LUKUTEORIA 18 / 25

66 Funktioista Kurssilta Johdatus matemaattiseen päättelyyn löytyy peruskäsitteet, kuten injektio, surjektio ja bijektio. Kuvaus f : A B on LUKUTEORIA 18 / 25

67 Funktioista Kurssilta Johdatus matemaattiseen päättelyyn löytyy peruskäsitteet, kuten injektio, surjektio ja bijektio. Kuvaus f : A B on INJEKTIO: f (a 1 ) = f (a 2 ) a 1 = a 2 ; LUKUTEORIA 18 / 25

68 Funktioista Kurssilta Johdatus matemaattiseen päättelyyn löytyy peruskäsitteet, kuten injektio, surjektio ja bijektio. Kuvaus f : A B on INJEKTIO: f (a 1 ) = f (a 2 ) a 1 = a 2 ; SURJEKTIO: f (A) = B; LUKUTEORIA 18 / 25

69 Funktioista Kurssilta Johdatus matemaattiseen päättelyyn löytyy peruskäsitteet, kuten injektio, surjektio ja bijektio. Kuvaus f : A B on INJEKTIO: f (a 1 ) = f (a 2 ) a 1 = a 2 ; SURJEKTIO: f (A) = B; BIJEKTIO=INJEKTIO+SURJEKTIO. LUKUTEORIA 18 / 25

70 Funktioista Lemma 1 Olkoon ja injektio. #A = #B < f : A B LUKUTEORIA 19 / 25

71 Funktioista Lemma 1 Olkoon ja injektio. #A = #B < f : A B Tällöin f : A B on bijektio. LUKUTEORIA 19 / 25

72 Polynomialgebraa Polynomirengas Polynomijoukko Olkoon R ykkösellinen rengas. Tällöin R-kertoimisten polynomien joukolle käytetään merkintää Polynomia R[x] = {P(x) P(x) = n p k x k ; p k R, n N}. k=0 kutsutaan nollapolynomiksi ja polynomia 0(x) = x + 0 x (6) 1(x) = x + 0 x (7) ykköspolynomiksi. Ne ovat erikoistapauksia vakiopolynomista c(x) = c + 0 x + 0 x , c R. (8) LUKUTEORIA 20 / 25

73 Polynomialgebraa Polynomirengas Laskutoimitukset Määritelmä 3 Olkoot P(x) = n k=0 p kx k, Q(x) = n k=0 q kx k R[x], jolloin asetetaan P(x) = Q(x) k(p k = q k ); P(x) + Q(x) = k + q k )x k 0(p k ; P(x) Q(x) = r k x k, k 0 joka on Cauchyn kertosääntö. k r k = p i q k i = p i q j, (9) i=0 i+j=k LUKUTEORIA 21 / 25

74 Polynomialgebraa Polynomirengas Polynomial ring/degree Lause 1 Tällöin (R[x], +, ) on rengas, missä 0(x) on yhteenlaskun nolla-alkio ja 1(x) on kertolaskun ykkösalkio. Määritelmä 4 Jos p n 0, niin polynomin P(x) = n k=0 p kx k aste on deg P(x) = n, (10) lisäksi asetetaan deg 0(x) =. (11) LUKUTEORIA 22 / 25

75 Polynomialgebraa Polynomirengas Jakoalgoritmi Lause 2 Olkoon K kunta ja P(x), Q(x) K[x]. Tällöin deg P(x)Q(x) = deg P(x) + deg Q(x). (12) Lause 3 Jakoalgoritmi. Olkoon a(x), b(x) K[x], a(x)b(x) 0(x) ja deg b(x) deg a(x). Tällöin q(x), r(x) K[x] s.e. [J.A.] a(x) = q(x)b(x) + r(x), deg r(x) < deg b(x). (13) LUKUTEORIA 23 / 25

76 Polynomialgebraa Polynomien nollakohdista Määritelmä 5 Jos α K ja (x α) m p(x), m Z +, niin m = m(α) on polynomin p(x) nollakohdan α kertaluku/order of the zero. Nollakohtien lukumäärä/number of zeros n p on summa kertaluvuista/is sum of orders eli n p = #{α p(α) = 0} := p(α i )=0 m(α i ). Lause 4 Olkoon K kunta ja p(x) K[x], p(x) 0(x). Tällöin n p deg p(x). LUKUTEORIA 24 / 25

77 Polynomialgebraa Polynomien nollakohdista Esimerkki 4 a) Olkoon p(x) = (x 1) 3 (x + 1/2) 5. Polynomin p(x) nollakohdat ovat α 1 = 1 ja α 2 = 1/2. Nollakohtien kertaluvut ovat m(α 1 ) = 3 ja m(α 2 ) = 5, ja nollakohtien lukumäärä n p = = 8. b) Olkoon (x 2 + 1)(x 2 1) R[x]. Nyt nollakohtien lukumäärä n p = m( 1) + m(1) = 2 < 4 = deg(p(x)). LUKUTEORIA 25 / 25

TOOLS. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO TOOLS 1 / 28

TOOLS. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO TOOLS 1 / 28 TOOLS Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 2018 TOOLS 1 / 28 Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. TOOLS

Lisätiedot

802656S ALGEBRALLISET LUVUT OSA I ALGEBRAIC NUMBERS PART I

802656S ALGEBRALLISET LUVUT OSA I ALGEBRAIC NUMBERS PART I 802656S ALGEBRALLISET LUVUT OSA I ALGEBRAIC NUMBERS PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802656S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden

Lisätiedot

Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi

Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi Pro gradu -tutkielma Outi Aksela 2117470 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Renkaat 3 1.1 Rengas...............................

Lisätiedot

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä...

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä... pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN 0-2 2 Merkintöjä 0-3 2.1 Lukujoukot................... 0-3 2.2 Sekalaisia merkintöjä.............. 0-4 2.3 Tärkeitä kaavoja................

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

ja jäännösluokkien joukkoa

ja jäännösluokkien joukkoa 3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 94 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Kertoma/Factorial Määritellään

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Kertausta kurssilta Lukuteoria ja ryhmät

Lisätiedot

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b. 10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas

Lisätiedot

800323A KUNTALAAJENNUKSET OSA I FIELD EXTENSIONS PART I

800323A KUNTALAAJENNUKSET OSA I FIELD EXTENSIONS PART I 800323A KUNTALAAJENNUKSET OSA I FIELD EXTENSIONS PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2018 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA

Lisätiedot

MAT Algebra 1(s)

MAT Algebra 1(s) 8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen

Lisätiedot

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

a b 1 c b n c n

a b 1 c b n c n Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =

Lisätiedot

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta. ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot

Lisätiedot

1 Algebralliset perusteet

1 Algebralliset perusteet 1 Algebralliset perusteet 1.1 Renkaat Tämän luvun jälkeen opiskelijoiden odotetaan muistavan, mitä ovat renkaat, vaihdannaiset renkaat, alirenkaat, homomorfismit, ideaalit, tekijärenkaat, maksimaaliset

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

802656S ALGEBRALLISET LUVUT ALGEBRAIC NUMBERS. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO

802656S ALGEBRALLISET LUVUT ALGEBRAIC NUMBERS. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 802656S ALGEBRALLISET LUVUT ALGEBRAIC NUMBERS Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Sisältö 1 ABSTRACT 4 2 INTRODUCTION/JOHDANTO 4 2.1 Kurssikuvaus.............................

Lisätiedot

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä 4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko

Lisätiedot

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen Algebra II Syksy 2004 Pentti Haukkanen 1 Sisällys 1 Ryhmäteoriaa 3 1.1 Ryhmän määritelmä.... 3 1.2 Aliryhmä... 3 1.3 Sivuluokat...... 4 1.4 Sykliset ryhmät... 7 1.5 Ryhmäisomorfismi..... 11 2 Polynomeista

Lisätiedot

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen 802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko 3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin

Lisätiedot

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

Tekijäryhmät ja homomorsmit

Tekijäryhmät ja homomorsmit Tekijäryhmät ja homomorsmit LuK-tutkielma Henna Isokääntä 1953004 henna.isokaanta@gmail.com Matemaattiset tieteet Oulun yliopisto Kevät 2019 Sisältö Johdanto 1 1 Tekijäryhmät 1 2 Homomorsmit 3 Lähdeluettelo

Lisätiedot

MAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen

MAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen Tämä tiedosto sisältää kurssin kaikki laskuharjoitukset. viikottain uusia tehtäviä. Tiedostoon lisätään To 05.02.09 pidetyt harjoitukset.

Lisätiedot

(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R.

(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R. 11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi φ: R R on erityisesti ryhmähomomorfismi φ: (R, +) (R, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin φ

Lisätiedot

800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä

800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä 800333A Algebra I Luentorunko Kevät 2010 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä Sisältö 1 Lukuteorian alkeita 3 1.1 Kongruenssiin liittyviä perustuloksia.............. 7 2 Ekvivalenssirelaatio

Lisätiedot

2 Renkaat ja kunnat. toteutuvat: 1. pari (K, +) on Abelin ryhmä, jonka neutraalialkio on 0 K,

2 Renkaat ja kunnat. toteutuvat: 1. pari (K, +) on Abelin ryhmä, jonka neutraalialkio on 0 K, 1 Ryhmät Olkoot S on joukko ja X S. Jos kuvaus : S S S, (x, y) x y toteuttaa ehdon x y X kaikilla x, y X, niin sanotaan, että binäärinen operaatio on suljettu joukon X suhteen. Määritelmä 1. Olkoot G joukko

Lisätiedot

ALGEBRA KEVÄT 2013 JOUNI PARKKONEN

ALGEBRA KEVÄT 2013 JOUNI PARKKONEN ALGEBRA KEVÄT 2013 JOUNI PARKKONEN Algebra käsittelee laskemista. Osin tämä tarkoittaa numeroilla laskemista lukualueissa N, Z, Q, R, C laskutoimituksilla + ja ja niiden käänteisoperaatioilla ja / siinä

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua)

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua) Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin ( sivua).... Nämä ovat kurssin Algebra I harjoitustehtävien ratkaisuehdoituksia. Ratkaisut koostuvat kahdesta osiosta,

Lisätiedot

Johdatus p-adisiin lukuihin

Johdatus p-adisiin lukuihin TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Anne Keskinen Johdatus p-adisiin lukuihin Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Maaliskuu 2010 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Johdanto 2. 2 Osamääräkunnan muodostaminen 7. 3 Osamääräkunnan isomorfismit 16. Lähdeluettelo 20

Johdanto 2. 2 Osamääräkunnan muodostaminen 7. 3 Osamääräkunnan isomorfismit 16. Lähdeluettelo 20 Osamääräkunta LuK-tutkielma Lauri Aalto Opiskelijanumero: 2379263 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Käsitteitä ja merkintöjä 3 2 Osamääräkunnan muodostaminen

Lisätiedot

LUKUTEORIA I. Tapani Matala-aho

LUKUTEORIA I. Tapani Matala-aho LUKUTEORIA I Tapani Matala-aho 19. helmikuuta 2009 Sisältö 1 Johdanto 5 2 Merkintöjä 6 2.1 Lukujoukot.............................. 6 2.2 Porrasfunktiot............................. 8 3 Kokonaislukurengas

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku

Lisätiedot

Lukuteorian kertausta

Lukuteorian kertausta Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +

Lisätiedot

Funktiot ja raja-arvo P, 5op

Funktiot ja raja-arvo P, 5op Funktiot ja raja-arvo 800119P, 5op Pekka Salmi 15. syyskuuta 2017 Pekka Salmi FUNK 15. syyskuuta 2017 1 / 122 Yleistä Luennot: ke 810, to 1214 (ensi viikosta lähtien) Luennoitsija: Pekka Salmi, MA327 Laskupäivä:

Lisätiedot

Jäännösluokat. Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan

Jäännösluokat. Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan Jäännösluokat LUKUTEORIA JA TODIS- TAMINEN, MAA Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan lukujoukkoja 3k k Z =, 6, 3, 0, 3, 6, 3k + k Z =,,,,, 7, 3k + k Z =,,,,, 8, Osoita,

Lisätiedot

Lineaarialgebra Kerroinrenkaat. Kevät Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto

Lineaarialgebra Kerroinrenkaat. Kevät Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto Lineaarialgebra 2 Kevät 2014 Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto Á Ë Ð Ö Ø Ú ØÓÖ Ø 1. Kerroinrenkaat 1.1. Määritelmä. Yhden laskutoimituksen rakenne(g, + on Abelin ryhmä, jos

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n.

Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n. Matriisipotenssi Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: Määritelmä Oletetaan, että A on n n -matriisi (siis neliömatriisi) ja k

Lisätiedot

Lukualueet Matemaattiset tieteet Oulun yliopisto 2017

Lukualueet Matemaattiset tieteet Oulun yliopisto 2017 Lukualueet Matemaattiset tieteet Oulun yliopisto 2017 Sisältö 1 Johdanto 5 1.1 Joukko-opin kertausta...................... 6 1.2 Funktioiden kertausta....................... 7 1.3 Relaatioista............................

Lisätiedot

2 1/ /2 ; (a) Todista, että deg P (x)q(x) = deg P (x) + deg Q(x). (b) Osoita, että jos nolla-polynomille pätisi. deg 0(x) Z, Z 10 ; Z 10 [x];

2 1/ /2 ; (a) Todista, että deg P (x)q(x) = deg P (x) + deg Q(x). (b) Osoita, että jos nolla-polynomille pätisi. deg 0(x) Z, Z 10 ; Z 10 [x]; 802656S ALGEBRALLISET LUVUT Harjoituksia 2017 1. Näytä, että (a) (b) (c) (d) (e) 2 1/2, 3 1/2, 2 1/3 ; 2 1/2 + 3 1/2 ; 2 1/3 + 3 1/2 ; e iπ/m, m Z \ {0}; sin(π/m), cos(π/m), tan(π/m), m Z \ {0}; ovat algebrallisia

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 4.7 Syklisen koodin jälkiesitys Olkoon F = F q ja K = F q m kunnan F laajennuskunta. Määritelmä 4.7.1. Kuntalaajennuksen K/F jälkifunktioksi

Lisätiedot

2017 = = = = = = 26 1

2017 = = = = = = 26 1 JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu

Lisätiedot

1 Johdanto Algebralliset luvut Perusteita Renkaat ja kunnat Kokonaisalue, Integral Domain...

1 Johdanto Algebralliset luvut Perusteita Renkaat ja kunnat Kokonaisalue, Integral Domain... Sisältö 1 Johdanto 0-4 1.1 Algebralliset luvut............... 0-6 2 Perusteita 0-9 3 Renkaat ja kunnat 0-11 3.1 Kokonaisalue, Integral Domain......... 0-12 3.2 Kunta, Field.................. 0-13 4 Jaollisuus

Lisätiedot

1 Johdanto Algebralliset luvut Perusteita 5. 3 Renkaat ja kunnat Kokonaisalue, Integral Domain Kunta, Field...

1 Johdanto Algebralliset luvut Perusteita 5. 3 Renkaat ja kunnat Kokonaisalue, Integral Domain Kunta, Field... Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Algebralliset luvut.......................... 4 2 Perusteita 5 3 Renkaat ja kunnat 6 3.1 Kokonaisalue, Integral Domain................... 7 3.2 Kunta, Field.............................

Lisätiedot

Algebra 1. Jouni Parkkonen Luentoja Jyväskylän yliopistossa talvella 2019

Algebra 1. Jouni Parkkonen Luentoja Jyväskylän yliopistossa talvella 2019 Algebra 1 Jouni Parkkonen Luentoja Jyväskylän yliopistossa talvella 2019 Sisältö I Renkaat ja kunnat 1 1 Laskutoimitukset 3 1.1 Laskutoimitus.................................. 3 1.2 Indusoitu laskutoimitus.............................

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 8 Mikko Salo 13.9.2017 Sisältö 1. Kertausta Kurssin suorittaminen Kurssi suoritetaan lopputentillä (20.9. tai 4.10.). Arvostelu hyväksytty/hylätty. Tentissä on aikaa 4 h,

Lisätiedot

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

Avainsanat Nyckelord Keywords Nullstellensatz, Hilbertin nollajoukkolause, algebrallinen geometria

Avainsanat Nyckelord Keywords Nullstellensatz, Hilbertin nollajoukkolause, algebrallinen geometria HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Sampo

Lisätiedot

802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho

802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho 802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho 25. lokakuuta 2015 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Valittuja kaavoja 4 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia 4 4 Renkaan yksikköryhmä 6 5 Eulerin funktio 7 6 Euler-Fermat

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä

Lisätiedot

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja 5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.

Lisätiedot

800323A KUNTALAAJENNUKSET OSA I FIELD EXTENSIONS PART I

800323A KUNTALAAJENNUKSET OSA I FIELD EXTENSIONS PART I 800323A KUNTALAAJENNUKSET OSA I FIELD EXTENSIONS PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2018 1 Contents 1 ABSTRACT 4 2 INTRODUCTION/JOHDANTO 4 2.1 Kurssikuvaus/Course overview..................

Lisätiedot

Analyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004

Analyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004 Analyysi I Visa Latvala 3. joulukuuta 004 95 Sisältö 6 Kompleksiluvut 96 6.1 Yhteen- ja kertolasku.............................. 96 6. Napakoordinaattiesitys............................. 10 96 6 Kompleksiluvut

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Kompleksilukujen kunnan konstruointi

Kompleksilukujen kunnan konstruointi Kompleksilukujen kunnan konstruointi Seuraava esitys osoittaa, miten kompleksilukujoukko voidaan määritellä tunnetuista reaalisista käsitteistä lähtien. Määrittelyjen jälkeen on helppoa osoittaa Mathematican

Lisätiedot

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on 0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset

Lisätiedot

Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016

Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016 Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang 2187044 Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Esitietoja 3 1.1 Ryhmät.............................. 3 1.1.1 Ryhmä ja aliryhmä....................

Lisätiedot

VII. KOMPLEKSILUVUT. VII.1. Laskutoimitukset

VII. KOMPLEKSILUVUT. VII.1. Laskutoimitukset VII. KOMPLEKSILUVUT Kompleksilukujen joukko on VII.1. Laskutoimitukset C = {(x, y x R ja y R} ; siis joukkona C = taso R 2. Kun z = (x, y C, niin x R on z:n reaaliosa ja y R imaginaariosa, merkitään x

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jukka Vilen. Polynomirenkaista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jukka Vilen. Polynomirenkaista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jukka Vilen Polynomirenkaista Informaatiotieteiden tiedekunta Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Kesäkuu 2005 Tampereen yliopisto Matematiikan,

Lisätiedot

Abstraktin algebran rakenteista sekä näiden välisistä morfismeista

Abstraktin algebran rakenteista sekä näiden välisistä morfismeista Abstraktin algebran rakenteista sekä näiden välisistä morfismeista Pro gradu -tutkielma Kari Kostama Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Kahden alkion laskutoimitus

Lisätiedot

802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho

802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho 802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho 27. helmikuuta 2013 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Merkintöjä 4 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia 5 4 Renkaan yksikköryhmä 6 5 Eulerin funktio 7 6 Euler-Fermat 10 7

Lisätiedot

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut Versio 1.0 (27.1.2006 Turun yliopisto Lukuteoria 1. a Tarkistetaan ekvivalenssirelaation ehdot. on refleksiivinen, sillä identiteettikuvaus, id : C

Lisätiedot

Vastaavasti, jos vektori kerrotaan positiivisella reaaliluvulla λ, niin

Vastaavasti, jos vektori kerrotaan positiivisella reaaliluvulla λ, niin 1 / 14 Lukiossa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Tarkastellaan aluksi tason vektoreita (R 2 ). Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 8,

Algebra I, harjoitus 8, Algebra I, harjoitus 8, 4.-5.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H sen normaali aliryhmä. Todista, että tällöin G/H on ryhmä, kun määritellään laskutoimitus joukossa G/H asettamalla aina, kun x, y G (lauseen

Lisätiedot

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,

Lisätiedot

Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:

Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta: MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus

Lisätiedot

Algebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia

Algebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa,

Lisätiedot

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä Versio 1.0 (27.1.2006) Turun yliopisto Lukuteoria 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen joukolla: a) C D

Lisätiedot

Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Esko Turunen Luku 7. Ideaalit ja tekijärenkaat

Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Esko Turunen Luku 7. Ideaalit ja tekijärenkaat Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Rengashomomorfismi ψ :

Lisätiedot

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia Renkaan yksikköryhmä Eräs kongruenssiryhmä 0-17

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia Renkaan yksikköryhmä Eräs kongruenssiryhmä 0-17 pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 Johdanto 0-3 2 Valittuja kaavoja 0-5 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia 0-7 4 Renkaan yksikköryhmä 0-9 5 Eulerin funktio 0-11 6 Euler-Fermat 0-16 7 Eräs kongruenssiryhmä

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET. Tapani Matala-aho

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET. Tapani Matala-aho 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Tapani Matala-aho 12. joulukuuta 2012 Sisältö 1 Johdanto 4 2 Merkintöjä 5 2.1 Lukujoukot.............................. 5 2.2 Sekalaisia merkintöjä.........................

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella

Lisätiedot

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 1 Pekka Salmi 18. syyskuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta 2015 1 / 65 Yleistä Luennot: ma 1214, pe 1012 Luennoitsija: Pekka Salmi, M229 (kahden viikon

Lisätiedot

Rationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta

Rationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Liisa Lampinen Rationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Kesäkuu 2016 Tampereen

Lisätiedot

a) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon

a) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 3, ratkaisuista. Kokonaisluvut määriteltiin luonnollisten lukujen avulla ekvivalenssiluokkina [a, b], jotka määrää (jo demoissa ekvivalenssirelaatioksi osoitettu)

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

6. Tekijäryhmät ja aliryhmät

6. Tekijäryhmät ja aliryhmät 6. Tekijäryhmät ja aliryhmät Tämän luvun tavoitteena on esitellä konstruktio, jota kutsutaan tekijäryhmän muodostamiseksi. Konstruktiossa lähdetään liikkeelle jostakin isosta ryhmästä, samastetaan alkioita,

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

ALGEBRALLISET LUVUT S. Tapani Matala-aho

ALGEBRALLISET LUVUT S. Tapani Matala-aho ALGEBRALLISET LUVUT 802656S Tapani Matala-aho 24. huhtikuuta 2014 Sisältö 1 Johdanto 4 1.1 Algebralliset luvut........................ 5 2 Perusteita 6 3 Renkaat ja kunnat 7 3.1 Kokonaisalue, Integral

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /

Lisätiedot

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa Seurauksia Seuraus Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa P(x) = a n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ). Seuraus Astetta n olevalla polynomilla voi olla enintään

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot