Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Transkriptio

1 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19

2 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja mitä vielä oppimatta., 2/19

3 Kertausta: Matriisit a 11 a a 1n a 21 a a 2n A =... a m1 a m2... a mn Matriisi A on m n -matriisi eli sen tyyppi on m n. Rivillä i sarakkeessa j olevaa alkiota merkitään A(i, j). Kaikkien reaalikertoimisten m n -matriisien joukkoa merkitään R m n., 3/19

4 Kertausta: Matriisien laskutoimitukset Matriiseja voidaan laskea yhteen ja kertoa skalaareilla. Matriisikertolasku on hieman monimutkaisempi operaatio. Matriisipotenssi määritellään matriisikertolaskun avulla. Kaikissa laskutoimituksissa (skalaarikertolaskua lukuunottamatta) on tarkistettava, että matriisit ovat sopivaa tyyppiä., 4/19

5 Kertausta: Matriisien laskusääntöjä Lause 1 Seuraavat säännöt pätevät matriiseille A, B ja C sekä reaaliluvulle a, jos laskutoimitukset on määritelty: (a) A + B = B + A (b) A + (B + C) = (A + B) + C (c) A(BC) = (AB)C (d) A(B + C) = AB + AC (e) (A + B)C = AC + BC (f) a(ab) = (aa)b = A(aB) Huomaa, että yleisessä tapauksessa AB BA!, 5/19

6 Kertausta: Ykkösmatriisi Ykkösmatriisi: I n =. R n n Ykkösmatriiseja on eri kokoisia. Usein koko jätetään merkitsemättä: I n = I. Ykkösmatriisi on aina neliömatriisi. Ykkösmatriisi käyttäytyy matriisien kertolaskussa kuin luku 1: I m A = A ja AI n = A, 6/19

7 Transpoosi Määritelmä Oletetaan, että A on m n -matriisi. Sen transpoosi A on n m -matriisi, joka saadaan vaihtamalla matriisin A rivit ja sarakkeet keskenään. Esimerkiksi matriisin transpoosi on A = [ 1 3 ] A 1 5 = Matriisin A sanotaan olevan symmetrinen, jos A = A., 7/19

8 Käänteismatriisi Määritelmä Olkoon A neliömatriisi. Jos on olemassa matriisi B, jolle pätee AB = I ja BA = I, sanotaan, että A on kääntyvä ja B on matriisin A käänteismatriisi., 8/19

9 Esimerkki Matriisin A = käänteismatriisi on B = 1 0 1, sillä AB = = ja BA = = , 9/19

10 Tehtävä Onko jokin seuraavista matriiseista matriisin A = käänteismatriisi? [ ] B =, C = , D = , 10/19

11 Käänteismatriisien ominaisuuksia Jos matriisi A on kääntyvä, sen käänteismatriisille käytetään merkintää A 1. Käänteismatriisit vastaavat käänteislukuja. Kaikki ominaisuudet eivät kuitenkaan ole samoja! Lause 2 Matriisilla on korkeintaan yksi käänteismatriisi., 11/19

12 Käänteismatriisien ominaisuuksia Lause 3 Oletetaan, että matriisit A ja B ovat kääntyviä. Tällöin myös matriisit A 1 ja AB ovat kääntyviä. Niiden käänteismatriisit ovat seuraavat: (a) (A 1 ) 1 = A (b) (AB) 1 = B 1 A 1, 12/19

13 Luentotehtävä 1 Osoite: m.socrative.com Huone: Mikä seuraavista joukoista on eräs R 3 :n aliavaruus? (Tässä oli vahingossa kaksi oikeaa ratkaisua.) A {(1, 0, 1) + s( 1, 0, 1) + t(2, 4, 5) s, t R} B {(s + t, 2s t) s, t R} C {(v 1, v 2, v 3 ) R 3 v 1 = v 2 + v 3 } D {(v 1, v 2, v 3 ) R 3 v 1 = v 2 + v 3 + 1}, 13/19

14 Luentotehtävä 2 Mikä seuraavista ei kävisi vapauden määritelmäksi? A Yhtälöstä c 1 v c k v k = 0 saatavan yhtälöryhmän ratkaisu on yksikäsitteinen. B Yhtälö c 1 v c k v k = 0 pätee, jos c 1 = 0,..., c k = 0. C Jokainen w span( v 1,..., v k ) voidaan esittää vain yhdellä tavalla vektorien v 1,..., v k lineaarikombinaationa. D Nollavektori voidaan esittää vain yhdellä tavalla vektorien v 1,..., v k lineaarikombinaationa. E Yhtälöstä c 1 v c k v k = 0 saatavassa matriisissa on kerroinsarakkeiden määrä k korkeintaan yhtä suuri kuin rivien määrä n ja nollarivien määrä yhtä suuri kuin n k., 14/19

15 Sarakevektorit Avaruuden R n vektori (v 1, v 2,..., v n ) voidaan samastaa matriisin v 1 v 2. Rn 1 v n kanssa. Joukon R n 1 alkioita kutsutaan sarakevektoreiksi., 15/19

16 Esimerkki Vektoria v R n voidaan kertoa matriisilla A R m n. Lasketaan matriisin 2 4 A = ja vektorin v = ( 5, 3) tulo., 16/19

17 Matriisikertolasku ja lineaariset yhtälöryhmät Tutkitaan yhtälöryhmää a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Merkitään a 11 a 11 a 1n x 1 a 21 a 22 a 2n A =.., x = x 2. ja b = a m1 a m2 a mn x n b 1 b 2.. b m, 17/19

18 Matriisikertolasku ja lineaariset yhtälöryhmät Nähdään, että a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n A x =.. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n Yhtälöryhmä voidaan näin ollen kirjoittaa muodossa A x = b., 18/19

19 Kääntyvyyden vaikutus yhtälöryhmään Lause 4 Jos matriisi A on kääntyvä, yhtälöllä on A x = b täsmälleen yksi ratkaisu. Jos yhtälöryhmälle halutaan täsmälleen yksi ratkaisu, riittää tutkia kerroinmatriisia A., 19/19