53 ELEKTRONIN SUHTEELLISUUSTEOREETTINEN LIIKE- MÄÄRÄ

Transkriptio

1 53 LKTRONIN SUHTLLISUUSTORTTINN LIIK- MÄÄRÄ 53. Lorentz-uunnos instein esitti. 95 erikoisen suhteellisuusteorian eruseriaatteen, jonka ukaan kaikkien luonnonlakien tulee olla saoja haainnoitsijoille, jotka liikkuat akionoeudella toistensa suhteen. Yksi joukko näistä luonnonlaeista on sähköagnetisi, jonka keskeisiä suureita on sähköagneettisen aallon eteneisnoeus tyhjiössä,. Siten suhteellisuusteorian ukaan alon noeuden tulee olla saa kaikille haainnoitsijoille. Tarkastellaan kahta koordinaatistoa O(x,y,z,t) ja O (x,y,z,t ), jotka liikkuat toistensa suhteen noeudella siten, että niiden x-akselit yhtyät, ja y- ja z-akselit oat keskenään saansuuntaiset (kua ). Kua : Toistensa suhteen liikkuat koordinaatistot O ja O Oletetaan, että hetkellä tt koordinaatistojen origot yhtyät, ja saalla hetkellä lähetetään atkaan alonsäde. Koordinaatistossa O olea haaitsija näkee alonsäteen ajanhetkellä t isteessä A, ja kirjoittaa isteen A etäisyydelle r yhtälön r x + y + z t. () Koordinaatistossa O olea haaitsija näkee alonsäteen saassa isteessä A ajanhetkellä t. Koska alon noeus on kuallekin haaitsijalle saa, isteen A etäisyydelle r saadaan koordinaatistossa O r,,,,, x + y + z t. () tsitään yhteys koordinaatistojen O ja O koordinaattien älille. Koska liike taahtuu koordinaatistojen x-akselien suuntaan, oidaan asettaa yy ja zz. Koordinaatistojen äliatka on haaitsijan O ielestä OO t. Oletetaan, että x-koordinaattien älinen uunnos on uotoa x, k( x t), (3) ja aikakoordinaattien älinen uunnos uotoa

2 t, a( t bx), () issä a, b ja k oat akioita. Kun uunnoskaaat (3) ja () sijoitetaan yhtälöön (), ja aaditaan, että saatu yhtälö on identtinen yhtälön () kanssa, saadaan akioiksi k a ja b. (5) Yhtälöitä, jotka saadaan sijoittaalla akiot (5) uunnoskaaoihin (3) ja (), kutsutaan Lorentz-uunnokseksi. Taallisessa eläässä aan innalla noeudet oat niin ieniä alon noeuteen errattuna, että ka ja b. Tää astaa klassisen ekaniikan taausta, jolloin uunnoskaaoja (3) ja () kutsutaan Galilein koordinaattiuunnoksiksi. Kun noeudet kasaat lähelle alon noeuden suuruusluokkaa, akion k aro kasaa, ja on alettaa soeltaa suhteellisuusteoriaa. Tällaisiin tilanteisiin joudutaan esi. suurenergiafysiikan käyttäissä hiukkaskiihdyttiissä. 53. Relatiistisen hiukkasen liikeäärä ja energia Lorentz-uunnoksesta seuraa että kaaleelle, joka liikkuu haaitsijan suhteen noeudella, liikeäärä on k, (6) issä akio k on ääritelty kaaassa (5). Yhtälö (6) oidaan tulkita yös siten, että noeudella liikkuan kaaleen assa on noeuden funktio:, (7) jolloin suuretta kutsutaan hiukkasen leoassaksi. Leosta noeuteen kiihdytetyn hiukkasen liike-energia lasketaan integraalina k F dr. (8) Kun uistetaan, että Fd/dt ja dr/dt, ja liikeäärä otetaan yhtälöstä (6), saadaan k d dt dr d. (9)

3 Yhtälö (9) oidaan osittaisintegroida ottaalla huoioon, että d d, jolloin sieennyksen jälkeen saadaan k, () joka on haaitsijan ittaaa kineettinen energia hiukkaselle, joka liikkuu noeudella haaitsijan suhteen. Yhtälössä esiintyää suuretta kutsutaan hiukkasen leoenergiaksi, ja siten hiukkasen kokonaisenergia on k +, () Tää on sousoinnussa yhtälön (7) tulkinnalle assan uuttuisesta noeuden funktiona. Vertaaalla kokonaisenergiaa yhtälön (6) liikeäärään, haaitaan, että, () ja kokonaisenergia oidaan kirjoittaa uotoon +. (3) 53.3 Kantin siroainen elektronista Laboratoriotyössä tuotetaan suurienergisiä elektroneja antaalla radioaktiiisessa hajoaisessa saataan gaasäteilyn sirota kiinteän aineen elektroneista (Cotonin sironta). Kantin siroainen elektronista noudattaa liikeäärän säilyislakia, kun kanttia käsitellään hiukkasena, jonka leoassa on nolla. Yhtälöstä (3) nähdään, että kantin liikeäärä on tällöin γ hυ. () γ Sijoittaalla tää liikeäärä yhtälöön () nähdään, että leoassaton hiukkanen oi edetä ainoastaan alon noeudella. Tarkastellaan suhteellisuusteorian ukaan tulean kantin (energia, liikeäärä /) siroaista leossa oleasta elektronista (, ). Sironneen kantin energia on 3 ja liikeäärä 3 3 /, ja elektronin kokonaisenergia sironnan jälkeen on + ja liikeäärä (kua ).

4 Kua : Kantin siroainen leossa oleasta elektronista Liikeäärän säilyislaista (5) saadaan elektronin liikeääräksi sironnan jälkeen - 3, joka neliöön korotettuna on. (6) nergian säilyislaki uolestaan antaa + +, (7) 3 + josta elektronin liikeääräksi sironnan jälkeen saadaan ( + 3). (8) Kun yhtälöt (6) ja (8) asetetaan yhtäsuuriksi, saadaan tulean ja sironneen kantin energioille yhteys 3 ( osθ ), (9) issä θ on sirontakula (ektorien ja 3 älinen kula). Yhtälöstä (9) oidaan ratkaista :n aulla 3 ja siten saada selille kantin kokea energianenetys sironnassa. Toisaalta, ertaaalla yhtälöitä () ja (7) haaitaan, että energiaero 3 - on saa kuin elektronin saaa kineettinen energia. Yhdistäällä nää tulokset saadaan 3, + kin. () ( osθ ) Laboratoriotyössä ääritetään tuloksista Cotonin elektronien saaa suurin ahdollinen liike-energia. Yhtälöstä () haaitaan, että tää energia on aksiissaan, kun sirontakula θ8, eli kantti siroaa takaisin tulosuuntaansa. Sirontakulan ienentyessä elektronin saaa energia ienenee, kunnes se enee nollan sirontakulan ollessa θ.

5 53. Koejärjestely Laboratoriotyössä gaalähteestä saataa säteily osuu aloonistinutken tuikeaineeseen (natriujodidi). Tuikekide toiii saanaikaisesti kolessa tehtäässä: ) ilaisee tulean gaasäteilyn energian, ) uoroaikuttaa säteilyn kanssa Coton-sironnassa ja tuottaa siten noeita elektroneja ja 3) ilaisee Coton-sironnassa syntyneiden elektronien energian. Valoonistinutken tuottaat energiaan errannolliset jänniteulssit johdetaan onikanaa-analysaattorille sektriksi. Cotonin iliö on tärkein gaasäteilyn ja kiinteän aineen älinen uoroaikutusekanisi energiaälillä kev 3 MeV (rt. työ 5). Tällä energia-alueella säteilyn uoliintuisaksuus on taallisiissa ilaisinkiteissä. lektronit uolestaan hidastuat törääällä kiottoasti ilaisinkiteen atoeihin, jolloin niiden kantaa on ain sadasosan luokkaa gaakanttien kantaasta. Koska tyyillisen ilaisinkiteen koko on tuuan suuruusluokkaa, kiteessä kerran Coton-sironnut kantti karkaa kiteestä suurella todennäköisyydellä. Sironnassa syntynyt aaa elektroni sen sijaan jää kiteeseen ja haaitaan kineettiseen energiaan errannollisena jänniteulssina. Työssä ääritetään näiden elektronien suurin ahdollinen energia, joka sektrissä on Coton-sironnan tuottaan rakenteen aksiienergia. Huoattakoon, että yhtälön (9) ukaan kantin energia sironnan jälkeen ei oi olla nolla, joten aaa hiukkanen ei oi kokonaan absorboida siihen osuan kantin energiaa. Tähän erustuu se, että sektristä oidaan erottaa tulean gaasäteilyn energiaa astaaa iikki Cotonin sironnan aiheuttaasta rakenteesta. Gaasektristä ja sen ittaaisesta on kerrottu yksityiskohtaisein liitteessä A. Työssä ääritetään Cotonin elektronien aksiienergia käyttäen uutaaa erilaista gaakantin energiaa. Tarkoituksena on tutkia, onko elektronin liikeäärän ja liike-energian riiuuus klassisen ekaniikan aiko suhteellisuusteorian ukainen. Klassisen ekaniikan ukaan tää riiuuus on kin, () kun taas suhteellisuusteorian ukaan (yhtälöistä () ja (3)) kin. () + Yhtälö () oidaan kirjoittaa suureen / funktiona uotoon kin +. (3) kin Jos siis iirretään suure / araetrin kin funktiona, saadaan klassisen ekaniikan ukaan suora ja suhteellisuusteorian ukaan araabeli. Kokeellinen riiuuus liikeäärän ja kineettisen energian älille saadaan liikeäärän säilyislaista (yhtälö (5)). Kun sirontakula θ8, niin elektronin liikeäärä on +. () 3

6 Kun uistetaan, että yhtälön () ukaan kantin liikeäärän ja energian älinen riiuuus on γ γ /, niin yhtälö () oidaan kirjoittaa uotoon +. (5) Kun ielä lausutaan sironneen kantin energia 3 tulean kantin energian ja elektronin kineettisen energian aulla (yhtälö ()), saadaan elektronin liikeäärän ja kineettisen energian äliseksi kokeelliseksi riiuuudeksi (, ). (6) kin Kun suure / iirretään suureen,kin funktiona saaan kuaan yhtälöiden () ja (3) kuaajien kanssa, oidaan äätellä, noudattaako Cotonin elektronien liike suhteellisuusteoriaa aiko klassista ekaniikkaa.