Venymämitat kontinuumimekaniikassa Hillin-Sethin mukaan
|
|
- Lasse Halonen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Rakenteiden Mekaniikka Vol. 50 Nro 07 s c Kirjoittajat 07. Vapaasti saatavilla CC BY-SA 4.0 lisensioitu. Venymämitat kontinuumimekaniikassa Hillin-Sethin mukaan Martti Mikkola Tiivistelmä. Suhteellinen muodonmuutos kontinuumimekaniikassa voidaan määrittää usealla tavalla. R.Hill ja B.R.Seth ovat esittäneet yleisen kaavan jonka mukaan useat suhteellisen muodonmuutoksen mitat voidaan määrittää. Artikkelissa kyseistä kaavaa sovelletaan tavallisimpiin venymämäärittelyihin mukaan lukien H.Henckyn esittämä logaritminen venymä. Myös venymänopeuksien lausekkeet esitetään. Kuhunkin venymämittaan liittyvä jännitys johdetaan. Sovelluksina tarkastellaan vedettyä sauvaa ja yksinkertaista leikkausta. Avainsanat: muodonmuutos yleinen venymämitta venymänopeus logaritminen venymä jännitysmitta. Vastaanotettu Hyväksytty Julkaistu verkossa Johdanto Tässä esityksessä vektoreita merkitään vinoilla lihavoiduilla kirjaimilla x = x k g k = x k g k ja niiden dyadituloa x y. Toisen kertaluvun tensoreita merkitään pystyillä lihavoiduilla kirjaimilla T = T g k g l = T g k g l. Kovariantti kantajärjestelmä on { g k } ja kontravariantti vastaavasti { g k }. Käytetään myös suorakulmaista yksikkökantajärjestelmää { e K } tai { e k } jonka kovariantit ja kontravariantit kantavektorit tietenkin yhtyvät. Esitystapa noudattaa melko tarkasti G.A. Holzapfelin kirjaa [6. Tarkastellaan kontinuumikappaletta joka sijaitsee kolmiulotteisessa euidisessa avaruudessa. Ainepisteen paikkavektori kiinteässä suorakulmaisessa koordinaatistossa on alkutilassa X = X K e K ja deformoituneessa lopputilassa x = x k (X t)e k. Koordinaattiakselien suuntaiset yksikkökantavektorit ovat { e K = e k }. Alku- ja lopputila referoidaan siis samaan karteesiseen koordinaatistoon mutta alkutilaan viittaavana indeksinä käytetään isoa kirjainta ja lopputilaan viittaavana pientä kirjainta. Deformaatiossa alkutilan koordinaatit X K joita nimitetään materiaalikoordinaateiksi muodostavat käyräviivaisen koordinaatiston ks. kuva. Koordinaatit x k ovat nimeltään spatiaalikoordinaatteja. Pisteen P t jonka määrittelevät koordinaatit (X X X 3 ) kautta kulkevan koordinaattiviivan yhtälö on muotoa (esim. koordinaattiviiva X ) x = x k (sx X X 3 t)e k jossa s saa reaalisia arvoja. Käyräviivaisen koordinaatiston koordinaattiviivojen tangenttivektorit g K = xm X K e m ()
2 muodostavat kovariantin kantajärjestelmän { g K }. Niissä käytetään indeksinä isoa kirjainta osoittamaan että ne ovat materiaalisiin koordinaatteihin kuuluvia vektoreita. Ne eivät tietenkään yleensä ole yksikkövektoreita eivätkä välttämättä myöskään ortogonaalisia. Niitä vastaava resiprookkikanta on g K = XK x m e m. () Näiden kantavektorien välinen yhteys on g K g M = δ K M. (3) Deformaatiossa alkutilan viiva-alkio dx kuvautuu viiva-alkioksi dx = FdX deformaatiogradientin F avulla ks. kuva F = xk X M e k e M = g M e M. (4) Deformoituneen viiva-alkion pituuden neliö on ds = dx dx = dx F T FdX = dx CdX. (5) Muodonmuutostensori C on Cauchyn-Greenin oikeanpuoleinen muodonmuutostensori C = F T F = xk x k X M X e M e N. (6) N Vastaavalla tavalla deformoituneen tilan koordinaattiviivat x k esittävät niitä materiaalipartikkeleita jotka ovat peräisin alkutilan pisteistä X = X K (x x x 3 )e K. (Tämä käänteinen yhtälö voidaan muodostaa sillä det(f) > 0). Ne muodostavat alkutilassa käyräviivaiset koordinaatit joiden tangenttivektorit ovat Vastaava resiprookkikanta on G k = XM x k e M. (7) G k = xk X K e K. (8) Nämä kantavektorit toteuttavat yhtälöt Deformaatiogradientin käänteistensori on G k G m = δ k m. (9) F = XK x m e K e m = e K g K = G m e m. (0) Deformaatiogradientin käänteistensori kuvaa deformoituneen tilan viiva-alkion dx alkutilan viiva-alkioksi dx = F dx. Alkutilan viiva-alkion pituuden neliö on ds = dx dx = dx F T F dx = dx b dx. () Muodonmuutostensori b on Cauchyn-Greenin vasemmanpuoleinen muodonmuutostensori b = FF T = xm x n X K X e K m e n. () Huomataan vielä seuraavien yhtälöiden pätevän Fe K = g K F T e K = g K F e k = G k F T e k = G k. (3)
3 Yleistettyjä muodonmuutoksen mittoja Muodonmuutostensorit C = F T F U = C ja v = RUR T ovat positiivisesti definiittejä symmetrisiä tensoreita joten niiden ominaisarvot ovat positiivisia. R on rotaatiotensori. Merkitään C:n ominaisarvoja (päävenymien neliöitä) λ k :lla ja vastaavia ortonormeerattuja ominaisvektoreita (pääsuuntia) ˆN k :lla. Yllä olevan perusteella voidaan päätellä että U:n ja v:n ominaisarvot (päävenymät) ovat samat λ k. Lisäksi nähdään että U:lla on samat ominaisvektorit kuin C:llä ja että v:n ominaisvektorit ovat ˆn k = R ˆN k. Seth [8 ja Hill [3 ovat esittäneet yleiseksi venymämitan muodoksi E = f(u) = e = f(v) = f(λ k ) ˆN k ˆN k (4) K= f(λ k ) ˆn k ˆn k. (5) Venytystensorit U ja v ovat Lagrangen ja Eulerin esitystapojen mukaiset venymät. Funktiota f nimitetään skaalausfunktioksi joka on monotonisesti kasvava ja toteuttaa ehdot f() = 0 f () =. Seth ja Hill ovat esittäneet skaalausfunktioksi f(λ) = m (λm ) m 0 f(λ) = ln λ m = 0. (6) Tätä skaalausfunktiota käyttäen kaavat ( 4 ) ja (5) johtavat muotoihin E (m) = m (Um I) (7) e (m) = m (vm i). (8) Alkutilan identiteettitensori on I = ˆN k ˆN k ja deformoituneen tilan i = ˆn k ˆn k. Lagrangen esitystavan mukaiset venymämitat ovat silloin Greenin-Lagrangen venymä: E () = (U I) = (FT F I) Almansin-Eulerin venymä: E ( ) = (I U ) = R T (i F T F )R (9) Biot n venymä: U B = E () = U I = Henckyn venymä: E (0) = ln U = (λ k ) ˆN k ˆN k K= (ln λ k ) ˆN k ˆN k. Uusi venymämitta Henckyn venymä E (0) [ on siis logaritminen vastaten yksidimensioista muotoa e log = ln(l/l 0 ). K= 3
4 X x X -viiva g C t dx C 0 dx P t g X -viiva P 0 e O X x e Kuva. Koordinaatisto ja alkutila C 0 sekä lopputila C t. Eulerin esitystavassa edellä esitetyt venymät ovat Greenin-Lagrangen venymä: e () = RE () R T = (v i) Almansin-Eulerin venymä: e ( ) = RE ( ) R T = (i v ) (0) Biot n venymä: v B = e () = v i = RE () R T Henckyn venymä: e (0) = ln v = (ln λ k ) ˆn k ˆn k = RE (0) R T. Logaritmista venymää kutsutaan myös luonnolliseksi tai todelliseksi venymäksi. Tämä johtunee siitä että vetokokeessa todellisen jännityksen σ ja venymänopeuden ė log tulo σė log on jännityksen teho. Logaritminen muodonmuutostensori on käyttökelpoinen konstitutiivisten mallien yhteydessä sillä se voidaan jakaa helposti additiivisesti tilavuudenmuutosja deviatoriseen osaan [6. Polaarihajoitelma ja nopeusgradientti Deformaatiogradientti ja sen käänteisoperaattori voidaan esittää polaarihajoitelman avulla F = RU = vr = λ k ˆn k ˆN k F = U R T = ˆN K ˆn k. () Rotaatiotensori R ja sen nopeus ovat muotoa λ k R = ˆn k ˆN k Ω (R) = ṘR T. () 4
5 Antisymmetrinen tensori Ω (L) joka määrittää ominaisvektorien ˆN k muutosnopeuden saadaan seuraavasti. Ominaisvektori on muotoa ˆN k = R (L) e k jossa { e k } on kiinteä kantajärjestelmä ja R (L) rotaatiomatriisi niin että (R (L) ) = (R (L) ) T. Ominaisvektorin aikaderivaatta on silloin ˆN k = Ṙ (L) e k = Ṙ (L) (R (L) ) ˆN k = Ω (L) ˆN k Ω (L) = Ṙ (L) (R (L) ) = Ṙ (L) (R (L) ) T. (3) Vastaavasti ominaisvektorin ˆn k = R ˆN k aikaderivaatta on ˆn k = R ˆN k + Ṙ ˆN k = RΩ (L) R Tˆn k + Ω (R)ˆn k = Ω (E)ˆn k. (4) Rotaationopeuksien välinen riippuvuus on kiertyneessä ominaisvektorikannassa { ˆn k } Ω (E) = Ω (R) + RΩ (L) R (T). (5) Deformaatiogradientin aikaderivaatta on Ḟ = λ k ˆn k ˆN k + Ω (E) F FΩ (L). Nopeusgradientti saa silloin muodon L = ḞF = λ k λ k ˆn k ˆn k + Ω (E) FΩ (L) F = λ k λ k ˆn k ˆn k + Ω (E) v(ω (E) Ω (R) )v. (6) Venymänopeuden D lausekkeeksi tulee tällöin D = (L + LT ) = λ k λ k ˆn k ˆn k (FΩ(L) F F T Ω (L) F T ). (7) Kiertymänopeus W on vastaavasti W = (L LT ) = Ω (E) (FΩ(L) F + F T Ω (L) F T ). (8) Näiden komponentit {ˆn k }-kannassa ovat D kk = λ k λ k D ik = (Ω (E) ik W kk = 0 W ik = Ω (E) ik (Ω(E) ik Ω(R) ik )λ k λ i λ k λ i Ω(R) ik )λ k + λ i λ k λ i = Ω (L) λ k λ i ik (kl =3 ei summ.) (9) λ k λ i = Ω (E) ik λ Ω(L) k + λ i ik (kl =3 ei summ.). λ k λ i 5
6 Venymänopeuden lausekkeet Venymän muodoista (4) ja (5) venymänopeuksien lausekkeiksi saadaan Ė = f (λ k ) λ k ˆN k ˆN k + Ω (L) E EΩ (L) (30) ja ė = f (λ k ) λ k ˆn k ˆn k + Ω (E) e eω (E). (3) Vertaamalla edellä olevien lausekkeiden summatermejä nähdään helposti että ė Ω (E) e + eω (E) = R[Ė Ω (L) E + EΩ (L) R T. (3) Lagrangen esitystavan mukaiset venymänopeudet ovat Green-Lagrange: Ė () = Almansi-Euler: Ė ( ) = λ k λk ˆN k ˆN k + Ω (L) E () E () Ω (L) Biot: U = Ė () = λ 3 k λ k ˆN k ˆN k + Ω (L) E ( ) E ( ) Ω (L) (33) λ k ˆN k ˆN k + Ω (L) E () E () Ω (L) Hencky: Ė (0) = (ln U) = λ k λ k ˆN k ˆN k + Ω (L) E (0) E (0) Ω (L). Eulerin esitystavan mukaiset venymänopeudet ovat vastaavasti Green-Lagrange: ė () = Almansi-Euler: ė ( ) = Biot: ė () = λ k λk ˆn k ˆn k + Ω (E) e () e () Ω (E) λ 3 k λ k ˆn k ˆn k + Ω (E) e ( ) e ( ) Ω (E) (34) λ k ˆn k ˆn k + Ω (E) e () e () Ω (E) Hencky: ė (0) = (ln v) = Jännitysten ja venymien vastaavuus λ k λ k ˆn k ˆn k + Ω (E) e (0) e (0) Ω (E). Seuraavassa johdetaan jännitysmittojen lausekkeet Kirchhoffin (tai Cauchyn) jännityksen funktioina. Jännitysten ja venymien vastaavuus seuraa jännitysten tehon yhtäsuuruudesta T (n) : E (n) = Jσ : D = Σ : D = Σ D. (35) Edellä Σ = Jσ on Kirchhoffin jännitystensori. Komponentit ovat kannan { ˆn k } suhteen. 6
7 Kaavan (33) mukaan saadaan aluksi Ω (L) E () = kl= minkä jälkeen saadaan Ω (L) (λ l ) ˆN k ˆN l ja E () Ω (L) = kl= Ω (L) (λ k ) ˆN k ˆN l Ė () = f (λ k ) λ k ˆN k ˆN k + kl= Ω (L) (λ l λ k) ˆN k ˆN l. Sen jälkeen muodostetaan kaavan (35) mukaan lauseke T () : Ė () = T () kk λ k λ k + kl=k l T () Ω (L) (λ l λ k). (36) Jännitystensori T () on Piolan-Kirchhoffin toinen jännitys. Vertaamalla tätä kaavoihin (9) ja (35) nähdään että T () = Σ /(λ k λ l ) (kl=3 ei summausta). (37) Sama tulos seuraa myös yhteydestä T () = F ΣF T. Jännityskomponentit T () kannan { ˆN k } suhteen. Almansin-Eulerin venymää vastaava jännitys seuraa yhtälöstä ovat T ( ) : Ė ( ) = T ( ) kk λ 3 λ k k + kl=k l T ( ) Ω (L) (λ k λ l ) (38) joka antaa yhteyden T ( ) = Σ λ k λ l (kl=3 ei summausta). (39) Sama tulos saadaan yhteydestä T ( ) = F T ΣF. Jännityskomponentit T ( ) ovat kannan { ˆN k } suhteen. Biot n jännityksen symmetrisen osan ja vastaavan venymän välinen yhteys seuraa yhtälöstä T () : Ė () = T () kk λ k + kl=k l T () Ω (L) (λ l λ k ) (40) Vertaamalla taas kaavoihin (9) ja (35) nähdään Biot n ja Kirchhoffin jännitysten välinen yhteys T () kk = Σ kk/λ k T () = Σ (/λ k + /λ l ) (kl=3 ei summausta). (4) Sama tulos saadaan myös Biot n jännityksen symmetrisen osan ja Piolan-Kirchhoffin toisen jännityksen välisestä yhteydestä T () = (UT() + T () U). Piolan-Kirchhoffin ensimmäisen jännityksen P ja Cauchyn jännityksen välinen yhteys saadaan helposti käyttämällä yhtälöä P = FT () P = λ k T () = Σ /λ l = Jσ /λ l (kl=3 ei summausta). (4) 7
8 X x K e K a 0 O e X x a 0 Kuva. Vedetty sauva. Tässä ensimmäinen alaindeksi viittaa kantaan { ˆn k } ja jälkimmäinen kantaan { ˆN k }. Logaritmista venymää vastaava jännitys saadaan muodostamalla kaavaa (35) käyttäen lauseke T (0) : Ė (0) = T (0) kk λ k λ k + kl=k l Vertaamalla kaavoihin (9) ja (35) nähdään että T (0) Ω (L) (ln λ l ln λ k ). (43) T (0) kk = Σ kk T (0) = Σ (λ l λ k)/[λ k λ l ln(λ l /λ k ) (k l λ k λ l ) (kl=3 ei summausta). (44) Tässä on käsitelty vain tapausta jossa ominaisarvot ovat eri suuria. Mm. Macvean [7 Hoger [4 [5 ja Gurtin [ ovat tarkastelleet myös muita tapauksia. Esimerkki. Vedetty sauva Otaksutaan että karteesisen koordinaatiston X -akseli yhtyy sauvan akseliin. Kantavektoreita merkitään {e k }. Deformaatio on muotoa x = λ X x = λx x 3 = λx 3 jossa positiiviset luvut λ ja λ kuvaavat venytyksiä koordinaattiakselien suunnissa. Silloin deformaatiogradientti on F = λ e e + λe e + λe 3 e 3. Polaarihajoitelman rotaatiotensori on yksikkötensori joten F = U = v. Muodonmuutoksen pääsuunnat yhtyvät koordinaattiakselien suuntiin joten ˆN k = ˆn k = e k (kuva ). Muodonmuutostensorit ovat E () = (λ )e e + (λ )(e e + e 3 e 3 ) E ( ) = e ( ) = ( λ )e e + ( λ )(e e + e 3 e 3 ) E () = (λ )e e + (λ )(e e + e 3 e 3 ) E (0) = ln λ e e + ln λ(e e + e 3 e 3 ). 8
9 X x X kx ˆN ˆN ˆn ˆn e = g g O e X x = g g Kuva 3. Yksinkertainen leikkaus k = /3 θ = 8 4. Venymänopeudet ovat Ė () = λ λ e e + λ λ(e e + e 3 e 3 ) ė ( ) = λ 3 λ e e + λ 3 λ(e e + e 3 e 3 ) Ė () = λ e e + λ(e e + e 3 e 3 ) Ė (0) = λ λ e e + λ λ(e e + e 3 e 3 ) D = (L + LT ) = λ λ e e + λ λ(e e + e 3 e 3 ). Otaksutaan että poikittaiset jännityskomponentit σ ja σ 33 ovat nollia. (Karteesisessa koordinaatistossa kovarianteilla ja kontravarianteilla komponenteilla ei ole eroa joten kirjoitetaan jännityskomponenttien indeksitalaindekseinä). Tällöin eri venymämittoja vastaavat aksiaaliset jännitykset ovat T () : Ė () = T () λ λ = Σ λ λ joten T () = Σ /λ T ( ) : Ė ( ) = T ( ) λ 3 λ = Σ λ λ joten T ( ) = Σ λ T () : Ė () = T () λ = Σ λ λ joten T () = Σ /λ T (0) : Ė (0) = T (0) λ λ = Σ λ λ joten T (0) = Σ. Piolan-Kirchhoffin ensimmäinen jännitys saadaan vastaavasti P : Ḟ = P λ = Σ λ λ joten P = Σ /λ = σ λ. Sauvan deformoitunut poikkipinta on A = λ A 0 joten P on nimellisjännitys ts. aksiaalinen voima jaettuna alkuperäisellä poikkipinta-alalla kuten myös Biot n jännitys T (). Esimerkki. Yksinkertainen leikkaus Tarkastellaan muodonmuutosta jota kuvaa yhtälö x = x e + x e + x 3 e 3 = (X + kx )e + X e + X 3 e 3 9
10 jossa k on positiivinen vakio. Kysymyksessä on X X -tasossa tapahtuva deformaatio joten käsitellään sitä kaksidimensioisena. Suorakulmainen karteesinen koordinaatisto ja siihen kuuluva ortonormeerattu kanta { e k } valitaan sekä alku- että lopputilan kannaksi (kuva 3). Deformaatiogradientin lauseke on F = e e + ke e + e e (45) Konvektiivisen koordinaatiston kovariantit kantavektorit ovat g = e g = ke + e. Kontravariantit vektorit ratkaistaan helposti yhtälöstä [ 0 (g g ) = (g g ) T = k josta nähdään että ne ovat g = e ke g = e. Määritetään aluksi tavanomaiset muodonmuutosmitat jotka saadaan suoraan deformaatiogradientin (45) avulla. Käytetään tensorien asemesta x-matriiseja joiden alkiot referoidaan ortonormeeratun kannan { e k } suhteen. Deformaatiogradientin matriisi sen käänteismatriisi ja nopeusgradientin matriisi ovat F = [ k 0 F = [ k 0 [ 0 k L = 0 0. (46) Cauchyn-Greenin oikeanpuoleinen muodonmuutos ja Greenin-Lagrangen venymä ovat [ k C = F T F = k + k E = [ 0 k/ (C I) = k/ k. (47) / Cauchyn-Greenin vasemmanpuoleinen muodonmuutos ja Almansin-Eulerin venymä ovat [ + k b = FF T k = e = [ 0 k/ k (I b ) = k/ k. (48) / Tasotapauksessa rotaatiotensorin matriisi on [ cos θ sin θ R = sin θ cos θ (49) jolloin venytystensori U on [ cos θ k cos θ + sin θ U = R T F = sin θ cos θ k sin θ. U:n tulee olla symmetrinen joten k cos θ +sin θ = sin θ. Siitä seuraa tan θ = k/. U:n lauseke saa silloin muodon [ cos θ sin θ U = sin θ ( + sin. (50) θ)/ cos θ 0
11 Trigonometristen suureiden paikalle voidaan sijoittaa niiden lausekkeet k:n avulla lausuttuna sin θ = (k/)/ + (k/) cos θ = / + (k/). (5) Vastaavalla tavalla saadaan venytystensori v [ ( + sin v = FR T θ)/ cos θ sin θ = sin θ cos θ. (5) Tarkastellaan sitten venymämittoja määrittelyjen (7) ja (8) mukaan. Aluksi on laskettava muodonmuutostensorin C ominaisarvot ja ominaisvektorit. Lausekkeen (47) avulla saadaan yhtälö josta seuraa [ λ k k + k λ [ [ ˆN 0 = ˆN 0 (53) ja edelleen λ 4 ( + λ ) + = 0 josta λ = + k ± k + (k/) (54) λ = + (k/) + k/ = λ λ = + (k/) k/ = λ. (55) Ominaisvektoreiksi saadaan yhtälöstä (53) jossa lyhenteet a ja b ovat ˆN = ae + be ˆN = be + ae (56) a = (k/)/ + (k/) b = + (k/)/ + (k/). (57) Vastaavasti Eulerin mukaiset (kiertyneet) ominaisvektorit ovat ˆn = R ˆN = be + ae ˆn = R ˆN = ae + be. (58) Jos ominaisarvot ja ominaisvektorit lausutaan kulman θ funktioina saadaan sin θ + sin θ λ = + sin θ λ = sin θ = λ a = + sin θ b = sin θ. Kirjoitetaan sitten muodonmuutosmittojen lausekkeet joissa matriisien alkiot ovat kannan { e k } suhteen E () = [(λ ) ˆN ˆN + (λ ) ˆN ˆN [ [E () = b a 0 ab (b a )/ab
12 E ( ) = [( λ ) ˆN ˆN + ( λ ) ˆN ˆN [ [E ( ) = b a (a b )/ab ab 0 [ e ( ) = RE ( ) R T [e ( ) = b a 0 ab (a b )/ab E () = [(λ ) ˆN ˆN + (λ ) ˆN ˆN [ a b a + b [E () = (b a) a + b (b a)( + ab)/ab (59) e () = [(λ )ˆn ˆn + (λ )ˆn ˆn [ (b a)( + ab)/ab a + b [e () = (b a) a + b a b [ ln U = ln λ ˆN ˆN ln λ ˆN ˆN a [ln U = ln λ b ab ab b a [ b ln v = ln λ ˆn ˆn ln λ ˆn ˆn [ln v = ln λ a ab ab a b. Ominaisvektorit antavat päävenymien suunnat. Lagrangen mukaiset suunnat X -akselin suhteen ovat cos ψ L = ˆN e = + sin θ cos ψ L = ˆN e = sin θ. (60) Vastaavasti Eulerin mukaiset päävenymäsuunnat ovat cos ψ E = ˆn e = sin θ cos ψ E = ˆn e = + sin θ. (6) Venymänopeudet saadaan kaavoista (47) (48) (46) (50) ja (5) derivoimalla ajan suhteen [ [ [ 0 k/ 0 k/ 0 k/ Ė = k/ k k ė = k/ k k D = (6) k/ 0 [ [ U = θ sin θ cos θ cos θ sin θ( + / cos v = θ) θ sin θ( + / cos θ) cos θ (63) cos θ sin θ (ln U) = λ [ sin θ cos θ λ cos θ sin θ (ln v) = λ [ sin θ cos θ λ cos θ sin θ [ + θ cos θ sin θ ln λ sin θ cos θ [ + θ cos θ sin θ ln λ sin θ cos θ Kiertymänopeudet kaavojen () (3) ja (5) mukaan ovat [ [ [Ω (R) = [Ṙ[R T = θ sin θ cos θ cos θ sin θ cos θ sin θ sin θ cos θ [ [ ȧ [Ω (L) = [Ṙ (L) [R (L) T ḃ a b = = θ [ 0 ḃ ȧ b a 0 [Ω (E) = [Ω (R) + [R[Ω (L) [R T = θ [ 0. 0 (64). (65) [ = θ 0 0 (66)
13 Muodostetaan sitten venymänopeuksien lausekkeet käyttäen esitystapaa (7) ja (8). Yhtälöistä (59) seuraa Ė () = θ 4a 3 b 3 [ b4 ˆN ˆN + a 4 ˆN ˆN + ab(a b )( ˆN ˆN + ˆN ˆN ) Ė ( ) = θ 4a 3 b 3 [ a4 ˆN ˆN + b 4 ˆN ˆN + ab(a b )( ˆN ˆN + ˆN ˆN ) ė ( ) = θ 4a 3 b 3 [ a4 ˆn ˆn + b 4 ˆn ˆn ab(a b )( ˆn ˆn + ˆn ˆn ) U = Ė () = θ a b [ b ˆN ˆN + a ˆN ˆN + ab(a b )( ˆN ˆN + ˆN ˆN ) v = ė () = θ a b [ b ˆn ˆn + a ˆn ˆn ab(a b )( ˆn ˆn + ˆn ˆn ). Kun näihin sijoitetaan ominaisvektorien lausekkeet (56) ja (58) saadaan venymänopeudet (6) ja (63). Venymänopeus D on kaavan (7) mukaan D = θ 4a b [ab( ˆn ˆn + ˆn ˆn ) + (a b )( ˆn ˆn + ˆn ˆn ) (67) mikä taas sijoittamalla ominaisvektorit ˆn k saa muodon (6) 3. Logaritmiset venymänopeudet saadaan kaavoista (59) 6 ja (59) 7 (ln U) = θ[ ab ( ˆN ˆN + ˆN ˆN ) ln b a ( ˆN ˆN + ˆN ˆN ) (68) (ln v) = θ[ ab ( ˆn ˆn + ˆn ˆn ) + ln b a ( ˆn ˆn + ˆn ˆn ). (69) Sijoittamalla näihin ominaisvektorien lausekkeet saadaan taas venymänopeuksien kaavat (64) ja (65). Matriisimuodossa edellä olevat lausekkeet ovat [Ė() = [Ė( ) = θ [ 0 ab 4a 3 b 3 ab (a b ) θ [ (b a ) ab 4a 3 b 3 ab 0 [ 0 ab [ė ( ) = θ 4a 3 b 3 ab (b a ) [ [ U = [Ė() = θ (b a ) ab ab (a b )( + a b )/a b [ [ v = [ė () = θ (a b )( + a b )/a b ab ab (a b ) [D = θ [ 0 4a b 0 [(ln U) = θ { [ b a ab ab ab a b + ln b [ ab b a a b a ab (70) } 3
14 [(ln v) = θ { [ a b ab ab ab b a + ln b [ ab b a } a b a. ab Muodostetaan vielä alkutilassa lausuttujen jännitysten lausekkeet Kirchhoffin (tai Cauchyn) jännitysten funktioina. Kirjoitetaan jännitysten indeksit alaindekseinä koska ne referoidaan suorakulmaiseen karteesiseen kantajärjestelmään. Käytetään hyväksi kaavoja (37)(39)(4)(44) ja (4). Piolan-Kirchhoffin toiselle jännitykselle saadaan lausekkeet T () = a b Σ T () = b a Σ T () = Σ = T () = Σ. Määritetään Piolan-Kirchhoffin jännityskomponentit kiinteän kannan { e k } suhteen. Jännitystensori on ˆN k ˆN l = S rs () e r e s T () Komponenttien välinen muunnos seuraa ominaisvektorien kaavoista (56) [ S () S () [ [ [ a b T () S () S () T () T a b = b a T () T (). b a Samantapainen muunnos tehdään Kirchhoffin jännitykselle Σ ˆn k ˆn l = Jσ rs e r e s. Ominaisvektorien (58) avulla saadaan komponenttien muunnoskaava [ [ T [ [ Σ Σ b a σ σ = J b a Σ Σ a b σ σ a b Muunnoksien jälkeen saadaan ottaen huomioon että tässä tapauksessa J = = σ + a b (σ + σ ) + (a b ) σ ab a b S () = σ + a b ab S () S () = σ + a b σ S () = σ. ab Vastaavasti menettelemällä saadaan Almansin jännitykselle aluksi ja sen jälkeen T ( ) = b a Σ T ( ) = a b Σ S ( ) = σ S ( ) = σ + b a ab T ( ) = Σ = T ( ) = Σ S ( ) = σ + b a σ S ( ) = σ + b a (σ + σ ) + (a b ) σ ab ab a b. Biot n jännityksen symmetriselle osalle saadaan vastaavasti menettelemällä T () = a b Σ T () = b a Σ T () = ab Σ = T () = ab Σ σ σ 4
15 S () = abσ + 3(a b ) (σ + σ ) + (a b ) σ ab = b a σ + abσ (a b ) σ + 3(a b ) σ ab S () S () = b a S () σ (a b ) ab = abσ + b a (σ + σ ). σ + abσ + 3(a b ) σ Lopuksi Henckyn jännitys saa melkoisen komplisoidut lausekkeet T (0) = Σ T (0) = Σ T (0) = a b 4a b ln(a/b) Σ = T (0) = a b 4a b ln(a/b) Σ S (0) = [ + S (0) = [ + S (0) = [ + a b 4a b ln(a/b) [a b (σ σ ) + ab(a b )(σ + σ ) + σ a b 4a b ln(a/b) [ab(a b )(σ σ ) + a b (σ + σ ) σ + σ a b 4a b ln(a/b) [ab(a b )(σ σ ) + a b (σ + σ ) σ + σ S (0) a b = [ + 4a b ln(a/b) [a b (σ σ ) ab(a b )(σ + σ ) + σ. Kirjoitetaan vielä Piolan-Kirchhoffin ensimmäisen jännityksen vastaavat lausekkeet P () = = ab kl= P () ˆn k ˆN l [ P () P () P () P () [ a b σ + a 3 b(σ + σ ) + a 4 σ ab 3 (σ σ ) + b 4 σ a b σ a 3 b(σ σ ) a 4 σ + a b σ a b σ ab 3 (σ + σ ) + b 4 σ Kun matriisin alkiot ovat kannan { e k } suhteen edellä olevasta saadaan [ P P P P = [ abσ + (a b )σ σ ab (a b )σ + abσ abσ = ja [Ḟ = θ [ 0 a b 0 0. (7) Edellä esitetyistä jännitysten ja venymänopeuksien lausekkeista lasketut teholausekkeet ovat tietenkin yhtäsuuret ts. niillä on arvo Ẇ = σ d = σ k joka oli niiden määritysehto. Yhteenveto Artikkelissa on tarkasteltu kontinuumimekaniikan tavallisimpia venymämittoja R.Hillin ja B.R.Sethin esittämän yleisen kaavan perusteella mukaan lukien H.Henckyn logaritminen venymä. On johdettu venymänopeuksien kaavat ja määritetty venymämittoja vastaavat jännitysmitat. Esimerkkeinä on käsitelty vedettyä sauvaa ja yksinkertaista leikkausta. Eri jännitysmittojen lausekkeet Cauchyn jännityksen funktioina on johdettu.. 5
16 Viitteet [ M.E. Gurtin and K. Spear. On the relationship between the logarithmic strain rate and the stretching tensor. International Journal of Solids and Structures 9: doi:0.06/ (83) [ H. Hencky. Über die Form des Elastizitätsgesetzes bei ideal elastischen Stoffen. Zeitschrift für Technische Physik 9: [3 R. Hill. Aspects of invariance in solid mechanics. Advances in Applied Mechanics Vol. 8: doi:0.06/s (08) [4 A. Hoger. The material time derivative of logarithmic strain. International Journal of Solids and Structures (9): doi:0.06/ (86)90034-x. [5 A. Hoger. The stress conjugate to logarithmic strain. International Journal of Solids and Structures 3(): doi:0.06/ (87) [6 G.A. Holzapfel. Nonlinear Solid Mechanics - A Continuum Approach for Engineering. John Wiley & Sons 000. [7 D.B. Macvean. Elementararbeit in einem Kontinuum und die Zuordnung von Spannungs- und Verzerrungstensoren. Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik 9: doi:0.007/bf [8 B.R. Seth. Generalized strain measure with applications to physical problems. In M. Reiner and D. Abir editors Second-Order Effects in Elasticity Plasticity and Fluid DynamicsIUTAM Symposium Haifa Israel Martti Mikkola Aalto-yliopisto Rakennustekniikan laitos PL Aalto martti.mikkola@aalto.fi 6
Jännitysten ja venymien vastaavuus kontinuumimekaniikassa
Rakenteiden Mekaniikka (Journal of Structural Mechanics) Vol. 49 Nro 1 016 s. 14 4 rmseura.tkk.fi/rmlehti/ c Kirjoittajat 015. Vapaasti saatavilla CC BY-SA 4.0 lisensioitu. Jännitysten ja venymien vastaavuus
LisätiedotVenymämitat kontinuumimekaniikassa Fingerin ja Piolan mukaan
Rakenteiden Mekaniikka Vol. 50, Nro 4, 2017, s. 451 462 http://rakenteidenmekaniikka.journal.fi/index https://doi.org/10.23998/rm.66414 c Kirjoittajat 2017. Vapaasti saatavilla CC BY-SA 4.0 lisensioitu.
LisätiedotMuodonmuutoksen mitat kontinuumimekaniikassa
Tampere University of Technology Muodonmuutoksen mitat kontinuumimekaniikassa Citation Hartikainen, J., Kouhia, R., Mikkola, M., & Mäkinen, J. (016). Muodonmuutoksen mitat kontinuumimekaniikassa. Rakenteiden
LisätiedotMEI Kontinuumimekaniikka
MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 1 MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 6. harjoitus jännitysmitat Ratkaisut T 1: Ohuen suoran sauvan pituus referenssitilassa on 0 ja poikkipinta-ala on A 0. Sauvan akselin suuntaisen
LisätiedotMEI Kontinuumimekaniikka
MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 1 MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 3. harjoitus matemaattiset peruskäsitteet, kinematiikkaa Ratkaisut T 1: Olkoon x 1, x 2, x 3 (tai x, y, z) suorakulmainen karteesinen koordinaatisto
LisätiedotMuodonmuutostila hum 30.8.13
Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan
LisätiedotEi-inertiaaliset koordinaatistot
orstai 25.9.2014 1/17 Ei-inertiaaliset koordinaatistot Tarkastellaan seuraavaa koordinaatistomuunnosta: {x} = (x 1, x 2, x 3 ) {y} = (y 1, y 2, y 3 ) joille valitaan kantavektorit: {x} : (î, ĵ, ˆk) {y}
LisätiedotKJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, tentti
KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, tentti 13.12.2017 1. Jos r θ on paikkavektori, niin mitä ovat r θ, esitksiä r θ ja r θ? Kätä Karteesisen koordinaatiston T θ θ r < j < j zθ θ k k z ja / θ < j
LisätiedotOrtogonaaliset matriisit, määritelmä 1
, määritelmä 1 Määritelmä (a). Neliömatriisi Q on ortogonaalinen, jos Q T Q = I. Määritelmästä voidaan antaa samaa tarkoittavat, mutta erilaiselta näyttävät muodot: Määritelmä (b). n n neliömatriisi Q,
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
LisätiedotLuento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa 1 / 31 Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut 4.1-4.6) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino
LisätiedotRatkaisuehdotukset LH 7 / vko 47
MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [
LisätiedotMateriaalien mekaniikka
Materiaalien mekaniikka 3. harjoitus jännitys ja tasapainoyhtälöt 1. Onko seuraava jännityskenttä tasapainossa kun tilavuusvoimia ei ole: σ x = σ 0 ( 3x L + 4xy 8y ), σ y = σ 0 ( x L xy + 3y ), τ xy =
Lisätiedot6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI
6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
LisätiedotViikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi
Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen
LisätiedotLuento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
LisätiedotTeknillinen korkeakoulu Mat-5.187 Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet (Mikkola/Ärölä) 4. harjoituksen ratkaisut
Teknillinen korkeakoulu Mat-5.187 Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet Mikkola/Ärölä 4. harjoituksen ratkaisut Teht. 1 Jacobin determinantin J det F materiaalisen aikaderivaatan laskemiseksi lasketaan
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotSuurten siirtymien teorian opetuksesta
Rakenteiden Mekaniikka Vol. 50, Nro 1, 2017, s. 17-24 http://rakenteidenmekaniikka.journal.fi/index https:/doi.org/10.23998/rm.63420 Kirjoittajat 2017. Vapaasti saatavilla CC BY-SA 4.0 lisensoitu. Suurten
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotRatkaisut 2. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa a) ja b) sekä laske c) kohdan tehtävä.
Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotLUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto
LUKU 7 Perusmuodot 7 Ensimmäinen perusmuoto Määritelmä 7 Olkoon ϕ: U R 3 tilkku Määritellään funktiot E, F, G: U R asettamalla (7) E := ϕ ϕ, F := ϕ, G := ϕ u u u u Funktiot E, F G ovat tilkun ϕ ensimmäisen
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 29.3.2016 Susanna Hurme Yleisen tasoliikkeen kinematiikka: absoluuttinen ja suhteellinen liike, rajoitettu liike (Kirjan luvut 16.4-16.7) Osaamistavoitteet Ymmärtää,
LisätiedotNeliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja
7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien
LisätiedotLaskuharjoitus 2 Ratkaisut
Vastaukset palautetaan yhtenä PDF-tiedostona MyCourses:iin ke 7.3. klo 14 mennessä. Mahdolliset asia- ja laskuvirheet ja voi ilmoittaa osoitteeseen serge.skorin@aalto.fi. Laskuharjoitus 2 Ratkaisut 1.
LisätiedotMatemaattinen Analyysi / kertaus
Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
Lisätiedotkaikki ( r, θ )-avaruuden pisteet (0, θ ) - oli θ
58 VEKTORIANALYYSI Luento 9 Ortogonaaliset käyräviivaiset koordinaatistot Olemme jo monta kertaa esittäneet karteesiset x, y ja z koordinaatit uusia koordinaatteja käyttäen: x= xuvw (,, ), y= yuvw (,,
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää
LisätiedotA B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1
Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!
Lisätiedot0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
Lisätiedot3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h
HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 2 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 2 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertaus edelliseltä luennolta sekä ristituloista. Mekaniikan koordinaatistot: pallokoordinaatisto. Vakiovektorin muutosnopeus (kantavektorin
Lisätiedot3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)
Lisätiedot1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen
LisätiedotNäihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8,
TKK, Matematiikan laitos Gripenberg/Harhanen Mat-1.432 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 4, (A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä ) 12 16.2.2007, viikko
LisätiedotSisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006
Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä
LisätiedotJäykän kappaleen mekaniikkaa
Jäykän kappaleen mekaniikkaa 29. joulukuuta 2005 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Jäykän kappaleen mekaniikka 2 2.1 Pyörivä koordinaatisto...................... 2 2.2 Vakio Ω.............................. 3 2.3
LisätiedotLineaarikuvaukset. 12. joulukuuta F (A r ) = F (A r ) r .(3) F (s) = s. (4) Skalaareille kannattaa määritellä lisäksi seuraavat tulot:
Lineaarikuvaukset 12. joulukuuta 2005 1 Yleistys multivektoreille Olkoon F lineaarikuvaus vektoriavaruudessa. Yleistetään F luonnollisella tavalla terille F (a 1 a n ) = F (a 1 ) F (a n ), (1) sekä terien
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 22.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Rotaatioliikkeen kinematiikka: kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.7, 16.3) Osaamistavoitteet Osata analysoida jäykän
LisätiedotJohdatus materiaalimalleihin
Johdatus materiaalimalleihin 2 kotitehtäväsarja - kimmoisat materiaalimallit Tehtävä Erään epälineaarisen kimmoisen isotrooppisen aineen konstitutiivinen yhtälö on σ = f(i ε )I + Ge () jossa venymätensorin
Lisätiedot12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa
12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa 12.1. Gradientti, divergenssi ja roottori 328. Laske u, kun u on vektorikenttä a) (z y)i + (x z)j + (y x)k, b) e xyz (i + xlnyj + x 2 zk), c) (x
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotMS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42 Tehtävät 1-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ryhmissä, ja ryhmien ratkaisut esitetään harjoitustilaisuudessa (merkitty kirjaimella L = Lasketaan).
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
LisätiedotKJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet
KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 25.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Tämän päivän luento Aiemmin ollaan johdettu palkin voimatasapainoyhtälöt differentiaaligeometrisella tavalla
LisätiedotJatkoa lineaarialgebrasta
Jatkoa lineaarialgebrasta 16. tammikuuta 2006 Sisältö 1 Singulaariarvohajotelma 1 2 Tensorit ja lineaarikuvausten komponentit 2 2.1 Karteesiset tensorit........................ 3 2.2 Determinantti, osa
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.
MS-A25/MS-A26 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotVärähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima.
Torstai 18.9.2014 1/17 Värähdysliikkeet Värähdysliikkeet ovat tyypillisiä fysiikassa: Häiriö oskillaatio Jaksollinen liike oskillaatio Yleisesti värähdysliikettä voidaan kuvata yhtälöllä q + f (q, q, t)
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotSISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa
SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa 1 SISÄLTÖ 1. Siirtymä 2 1 2.1 MUODONMUUTOS Muodonmuutos (deformaatio) Tapahtuu, kun kappaleeseen vaikuttaa voima/voimia
Lisätiedot2. harjoitus - malliratkaisut Tehtävä 3. Tasojännitystilassa olevan kappaleen kaksiakselista rasitustilaa käytetään usein materiaalimalleissa esiintyv
2. harjoitus - malliratkaisut Tehtävä 3. Tasojännitystilassa olevan kappaleen kaksiakselista rasitustilaa käytetään usein materiaalimalleissa esiintyvien vakioiden määrittämiseen. Jännitystila on siten
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
LisätiedotBM20A0700, Matematiikka KoTiB2
BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ
76336A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät 217 1. Koordinaatiston muunnosmatriisi (a) y' P r α φ ' Tarkastellaan, mitä annettu muunnos = cos φ + y sin φ, y = sin φ + y cos φ, (1a) (1b) tekee
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
LisätiedotOsittaisdifferentiaaliyhtälöt
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoituskokoelmat 4 ja 5, kevät 2011 Palautus Eemeli Blåstenille to 23.6. klo 16.00 mennessä 1. Ratkaise Dirichlet ongelma u(x, y) = 0, x 2 + y 2 < 1, u(x, y) = y + x 2,
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
LisätiedotKJR-C1001: Statiikka L2 Luento : voiman momentti ja voimasysteemit
KJR-C1001: Statiikka L2 Luento 21.2.2018: voiman momentti ja voimasysteemit Apulaisprofessori Konetekniikan laitos Luennon osaamistavoitteet Tämän päiväisen luennon jälkeen opiskelija Pystyy muodostamaan,
LisätiedotKoordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut
Koordinaatistot 1/6 Sisältö Koordinaatiston ja koordinaattien käsite Geometrisissa tehtävissä ja siten mös monissa kätännön ongelmissa on usein tarpeen ilmoittaa pisteiden sijainti jonkin kiinteän vertailussteemin
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 4 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 4 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta: jäykkä kappale, kulma-asema, Eulerin kulmat, kulmanopeus. Suhteellinen liike: Vektorin muutosnopeudet eri koordinaatistoissa.
Lisätiedot(ks. kuva) ja sen jälkeen x:n ja y:n suhteen yli xy-tasossa olevan alueen projektion G:
7 VEKTORIANALYYSI Luento 11 7. Tilavuusintegraalit A 14.5 Funktion f( xyz,, ) tilavuusintegraali yli kolmiulotteisen alueen V on raja-arvo summasta V f( xyz,, ) V kun tilavuusalkiot V =. Tarkastellaan
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 10.3.2016 Susanna Hurme Statiikan välikoe 14.3.2016 Ajankohta ma 14.3.2016 klo 14:15 17:15 Salijako Aalto-Sali: A-Q (sukunimen alkukirjaimen mukaan) Ilmoittautuminen
LisätiedotMatriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?
Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi
LisätiedotDifferentiaalimuodot
LUKU 2 Differentiaalimuodot Olkoot A R n ja p A. Vektori pisteessä p on pari (p; v), missä v R n. Pisteeseen p kiinnitetyn vektorin v p := (p; v) ensimmäinen komponentti p on vektorin v p paikkaosa ja
Lisätiedot(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi
Tehtävä 1 Tornadon virtauskenttää voidaan approksimoida kaksiulotteisen nielun ja pyörteen summana Oleta, että nielun voimakkuus on m < ja pyörteen voimakkuus on > (a Määritä tornadon potentiaali- ja virtafunktiot
LisätiedotEsimerkki 19. Esimerkissä 16 miniminormiratkaisu on (ˆx 1, ˆx 2 ) = (1, 0).
Esimerkki 9 Esimerkissä 6 miniminormiratkaisu on (ˆx, ˆx (, 0 Seuraavaksi näytetään, että miniminormiratkaisuun siirtyminen poistaa likimääräisongelman epäyksikäsitteisyyden (mutta lisääntyvän ratkaisun
Lisätiedot(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).
NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi
LisätiedotDerivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r
Vuka HT 4 Tehtävä. Lyhyenä alustuksena tehtävään johdetaan keskeiskiihtyvyys tasaisessa pyörimisessä. Meillä on ympyräradalla liikkuva kappale joka pyörii vakiokulmanopeudella ω dϕ säteellä r origosta.
LisätiedotIteratiiviset ratkaisumenetelmät
Iteratiiviset ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Yleinen iteraatio Lineaarisen yhtälöryhmän iteratiivinen ratkaisumenetelmä voidaan esittää muodossa: Anna alkuarvaus: x 0 R n
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotInsinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 406 6 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Ratkaistaan differentiaaliyhtälö y = y () Tässä = d dy eli kyseessä on lineaarinen kertaluvun differentiaaliyhtälö: Yhtälön () homogenisoidulle
LisätiedotHarjoitus 7: vastausvihjeet
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 31C01100 Kevät 2017 Topi Hokkanen topi.hokkanen@aalto.fi Harjoitus 7: vastausvihjeet 1. (Epäyhtälörajoitteet) Olkoon f (x, y) = 6x + 4y ja g (x, y) = x 2 + y 2 2.
LisätiedotVektorit, suorat ja tasot
, suorat ja tasot 1 / 22 Koulussa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä (x 1, x 2 ). Jos vektorin
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L
Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L Tehtävät 1-3 ovat kotitehtäviä, jotka on tarkoitus laskea ennen loppuviikon harjoitusta. Tehtävät 4-6 palautetaan kirjallisena A4-paperilla
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
LisätiedotVektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa
Viikon aiheet Pistetulo (skalaaritulo Vektorien tulot Pistetulo Ristitulo Skalaari- ja vektorikolmitulo Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integrointi, yhdistetyn funktion derivaatan integrointi Vektoreiden
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Lisätiedot