Onteloresonaattorit. Onteloresonaattori saadaan aikaan, kun metallisen aaltop utken molemmat suljetaan metalliseinällä ja sen

Transkriptio

1 Onteloresonaattori saadaan aikaan, kun metallisen aaltop utken molemmat suljetaan metalliseinällä ja sen sisään sy ötetään teh oa. a b d syöttö Oikealle etenev ä aalto h eijastuu p utken lop p up äästä, jolloin sy nty y z-suuntaan etenev ä aalto. T ämä aalto taas h eijastuu p utken alkup äästä. J os resonaattorin mitat ov at sop iv at, sen sisälle sy nty y seisov a aalto, joka jää v äräh telemään resonaattorin sisälle, v aikka sy öttö katkaistaisiin. K y seessä on resonanssitila, jossa energ ia v äräh telee säh kö- ja mag neettikentän v älillä.

2 Resonaattoreita käytetään korkeilla taajuuksilla piirikomponentteina, taajuusmittauksiin, suodatukseen ja kuorman sovittamiseen. Tarkastellaan poikkileikkaukseltaan mielivaltaista d:n mittaista suljetun aaltoputken pätkää. P utken päädyt on metallia, jolloin oletamme, että E t z=0 = E t z=d = 0. (1 2 1 ) Koska väliaine on lineaarista voidaan jokaisen moodin etenemistä tarkastella erikseen.

3 Tarkastellaan siten tilannetta, jossa aaltoputkessa etenee vain yksi moodi. Tällöin moodin sähkökentän poikittaiskomponentti voidaan kirjoittaa muodossa E t (x, y, z) = A + E t (x, y)e jβ z + A E t (x, y)e jβ z, (122) jossa E t (x, y) on putken moodin poikittaiskomponentin kenttäjakauma poikkitasossa. Reunaehdoista saadaan E t (x, y)(a + + A ) = 0, A + = A = A (123 ) AE t (x, y)(e jβ d e jβ d ) = 2jAE t (x, y) sin(βd) = 0. (124 ) S iten sin(βd) = 0, eli β = p π d, p = 0, 1, 2,.... (125 )

4 Aaltoputken teoriasta tiedetään, että β 2 = k 2 kc, 2 jossa k c on moodin katkotaajuutta vastaava aaltoluku. Kun tähän sijoittaa edellisen yhtälön tuloksen, saadaan ( pπ ) 2. k = kc 2 + (126 ) d Tätä vastaava taajuus on f cp = 1 2π ɛµ k 2 c + ( pπ d ) 2. (127 ) Taajuutta kutsutaan resonanssitaaju u d ek si. Resonaattorissa voi syntyä seisova aalto tässä resonaattorin moodissa vain tällä yhdellä taajuudella. Tämä on onteloresonaattorin ominaistaajuus, jolla tietty moodi resonoi.

5 Resonaattorin moodeja indeksoidaan kolmella indeksillä, joista kaksi ensimmäistä on kyseisen aaltoputkimoodin indeksit ja kolmas on putken pituussuuntaisten puolijaksojen määrä p. E simerkiksi aikaisemmassa kuvassa olleen suorakulmaisen resonaattorin tapauksessa ( m π ) 2 ( n π ) 2 kc 2 = +, (128 ) a b jolloin resonanssitaajuuksiksi saadaan 1 (m π ) 2 ( n π ) 2 ( pπ f m n p = 2π + + ɛµ a b d ) 2. (129 )

6 Kukin indeksi m, n ja p kertoo moodin puolijaksojen määrän x-, y- ja z-suuntaan. Edellä esitetyt pätevät riippumatta siitä onko kyseessä aaltoputken TM -, TE- tai yleisemmässä tapauksessa hyb ridimoodi. M oodeja, joilla on sama resonanssitaajuus, kutsutaan regeneroituneiksi moodeiksi. Eri moodeja suorakulmaisessa resonaattorissa merkitään TM mnp :llä ja TE mnp :llä. Indeksien järjestys ei ole täysin yksikäsitteinen, koska myös x- tai y-suunta voisi olla resonaattoriin liittyvän aaltoputken pituussuunta. Kenttien muoto pysyy kuitenkin kaikissa tilanteissa samana, ainoastaan moodien nimeäminen muuttuu.

7 Suorakulmaisessa resonaattorissa kenttien z-komponentit x y-tasossa ovat samat kuin aaltoputkessa, eli (69) ja (70): TM mnp : TE mnp : E z (x, y) = E 0 sin( mπ a x) sin(nπ y) (130) b H z (x, y) = H 0 cos( mπ a x) cos(nπ y) (131) b L oput komponentit saadaan vastaavasti kuten yhtälöissä (47) ja (48): TM mnp : H(x, y, z) = jω ɛ kc 2 ẑ TM mnp : E(x, y, z) = H j ω ɛ te z (x, y) cos pπz d (132) (133)

8 TE mnp : TE mnp : E(x, y, z) = jωµ k 2 c ẑ t H z (x, y) sin pπz d (134) H(x, y, z) = E jωµ. (135) H uomataan, että TM-moodeissa on mahdollista, että p = 0. TE-moodeilla tämä johtaisi nollaratkaisuun. Alimmat m:n ja n:n arvot määräytyvät samoin kuin aaltoputkessa. Alimmat moodit resonaattorissa ovat siten TM 1 1 0, TE 1 01 ja TE Jos oletetaan, että a > b samoin kuin aaltoputkilla, alin moodin määräytyy sen b:n ja L:n suhteellisista mitoista.

9 Jos L > b, alin moodi on TE 101. Jos taas L < b, alin moodi on TM 110. Jos taas esimerkiksi a = b = L, kaikilla kolmella alimmalla moodilla on sama resonanssitaajuus, eli ne ovat regeroituneita. Tavallisesti halutaan toimia alimmalla moodilla ja seuraavaksi alimman moodin resonanssitaajuus halutaan olevan mahdollisimman kaukana. Y htälöistä (132)-(135) myös huomataan, että sekä TMettä TE-moodeilla sähkö- ja magneettikentät ovat 90 vaihesiirrossa. Siksi Poyntingin vektori on pelkästään imaginaarinen, eli paikasta toiseen siirtyvän tehon aikakeskiarvo on nolla.

10 Tehoa ei siis siirry minnekään, se vain värähtelee paikallaan. Koska E:llä ja H:lla on 90 vaihesiirto, ne ovat vuoronperään maksimissaan. Silloin kuin E on maksimissaan, H on nolla ja sama toisinpäin. Siten energia on vuoronperään varastoitunut sähkökenttään ja magneettikenttään. Jos resonaattori olisi häviötön, eli reunojen materiaalilla olisi ääretön johtavuus ja putken sisällä oleva materiaali häviötöntä, resonaattoriin syötetty teho värähtelisi äärettömiin vaimenematta.

11 Todellisuudessa tehoa kuluu häviöihin, lähinnä metalliseinien äärellisen johtavuuden vuoksi. Häviöiden suuruutta resonaattorissa kuvaa Q-arvo. Q-arvo ilmaiseen aikaa, jossa häviöllisen resonaattorin energia W pienenee 1 e -osaansa: W (t) = W (0)e ωt Q (136) Tästä derivoimalla saadaan, että resonaattorista häviöihin poistuva teho P on P = dw dt = ω W. (137) Q

12 Tästä saadaan Q-arvolle lauseke Q = ω W P, (138) eli resonaattoriin varastoitunut energia (W ) jaettuna jakson aikana kuluneella energialla/2π (P/ω). Mitä vähemmän häviöitä resonaattorissa ilmenee, sitä suurempi Q-arvo on. Ideaalisten johteiden tapauksessa Q on ääretön.

13 Häviöllisellä resonaattorilla resonanssi ei ilmene pelkästään yhdellä taajuudella, kuten häviöttömässä tapauksessa, vaan leveämmällä taajuusalueella häviöttömän tapauksen resonanssitaajuuden ympärillä. Taajuusalueen leveys on verrannollinen 1/Q:hun. Toinen suosittu resonaattorimuoto suorakulmaisen lisäksi on sy linteriresonaattori. L a pyöreän putken katkoaaltoluvut. Se saadaan aikaiseksi pyöreän aaltoputken pätkästä, joten sen resonanssitaajuudet saadaan kaavasta (127) sijoittamalla k c :n paikalle

14 Moodien ortogonaalisuus Resonaattorin moodien tuottamisen kannalta on tarpeellista tietää, ovatko eri resonaattorin moodit ortogonaalisia. Ortogonaalisuus määritellään seuraavasti: Moodeihin, joiden resonanssikulmataajuudet ovat ω i ja ω j, liitty vät resonanssikentät E i ja E j ovat ortogonaaliset, jos ɛe i E j dv = 0, (139) V jossa V on resonaattorin tilavuus. Samaan tapaan voidaan tarkastella myös magneettikenttien ortogonaalisuutta.

15 Moodien ortogonaalisuus Olkoon (ω i, E i, H i ) ja (ω j, E j, H j ) kaksi moodia siten, että ω i ω j. Moodien kentät toteuttavat F aradayn lain: E i = jω i µh i, E j = jω j µh j. (140) Kerrotaan ensimmäinen yhtälö puolittain H j :llä ja toinen H i :llä: H j E i = jω i µh i H j (141) Sijoitetaan näihin tulos H i E j = jω j µh i H j. (142) (E i H j ) = H j E i E i H j (143)

16 Moodien ortogonaalisuus (ja identtinen yhtälö E j :lle ja H i :lle), jolloin saadaan (E i H j ) + E i H j = jω i µh i H j (144) (E j H i ) + E j H i = jω j µh i H j. (145) Käytetään edellisiin Ampèren lakia H i,j = jω i,j ɛe i,j, jolloin saadaan (E i H j ) + jω j ɛe i E j = jω i µh i H j (146) (E j H i ) + jω i ɛe i E j = jω j µh i H j. (147)

17 Moodien ortogonaalisuus Integroidaan nämä yhtälöt resonaattorin tilavuuden yli. Käytetään divergenssitermeihin G aussin lakia, jolloin esimerkiksi ensimmäisestä saadaan S E i H j ˆn ds, joka menee nollaksi reunaehdosta E t S = 0 johtuen, samoin toinen divergenssitermi häviää. Tulokseksi saadaan ω j ɛe i E j dv = ω i µh i H j dv (148) V V ω i ɛe i E j dv = ω j µh i H j dv. (149) V Koska yhtälöryhmän determinantti ωj 2 ω2 i 0, ainoa ratkaisu on ɛe i E j dv = 0, ɛh i H j dv = 0. (150) V V V

18 Moodien ortogonaalisuus Eri resonanssitaajuuksiin liittyvät moodit ovat siten ortogonaalisia. Jos samalla taajuudella on monta moodia, ne voidaan ortogonalisoida. Siten kaikki moodit ovat ortogonaalisia keskenään.

19 Kenttien herättäm inen resonaattoriin Ratkaistaan Faradayn laista H = 1 jωµ E ja sijoitetaan tämä Ampèren lakiin, jolloin saadaan ( ) 1 jωµ E jωɛe = J ( ) 1 µ E ω 2 ɛe = jωj (151) V oidaan osoittaa, että eri resonanssimoodien kentät E i :t muodostavat täydellisen funktiojoukon, jolloin E voidaan kirjoittaa muodossa E = i A i E i, (152)

20 Kenttien herättäminen resonaattoriin joista jokaisen moodin kenttä toteuttaa ( ) 1 µ E i ωi 2 ɛe i = 0. (153) Sijoitetaan (152) ja (153) yhtälöön (151), jolloin saadaan ( ) ] 1 A i [ µ E i ω 2 ɛe i i = A i ɛ(ωi 2 ω2 )E i = jωj. (154) i Kerrotaan tämä puolittain E j :llä, integroidaan resonaattorin tilavuuden yli ja käytetään ortogonaalisuusehtoa (150): A j ɛ(ωj 2 ω 2 ) E j 2 dv = jω J E j dv. (155) V V

21 Kenttien herättäminen resonaattoriin Tästä saadaan ratkaistua A j -kertoimet: A j = jω ɛ(ω 2 j ω2 ) V J E j dv V E j 2 dv (156) Jos siis kaikki resonanssitaajuudet ω j ja vastaavat resonanssikentät E j tunnetaan, mielivaltaisen lähteen J aiheuttama kenttä voidaan määrätä edellisestä yhtälöstä. Käytännössä riittää, jo tunnetaan käyttötaajuutta ω lähellä olevia resonanssitaajuuksia vastaavat kentät, sillä niitä vastaavat A j -kertoimet ovat suurimmat.

22 Kenttien herättäminen resonaattoriin Jos jotain tiettyä moodia ei haluta synnyttää, J on valittava moodin resonanssikentälle ortogonaaliseksi, V J E k dv = 0. Jos taas erityisesti halutaan tuottaa joku moodi, valitaan ω lähelle moodin resonanssitaajuutta ja virran muoto siten, että V J E k dv on mahdollisimman suuri. Jos kentät herätetään virtasilmukalla tai resonaattorin seinässä olevan aukon kautta aaltoputkella, tälle tilanteelle voidaan johtaa samantyyppiset yhtälöt kuin edellä magneettivirtojen avulla.