Aatofunktiot ja epätarkkuus

Transkriptio

1 Aatofunktiot ja epätarkkuus Aaltofunktio sisältää tiedon siitä, millä todennäköisyydellä hiukkanen on missäkin avaruuden pisteessä. Tämä tunnelointimikroskoopilla grafiitista otettu kuva näyttää elektronin todennäköisyysjakautuman. Luennon tavoite: Paneudutaan aineen kuvaamiseen aaltofunktion avulla ja opitaan tulkitsemaan aaltofunktioita. Luento 6

2 Aatofunktiot ja epätarkkuus Aiheet: Aallot, hiukkaset ja kaksoisrakokoe Yhteys fotoni- ja aaltokuvan välillä Aaltofunktio Normalisaatio Aaltopaketit Heisenbergin epätarkkuusperiaate

3 Oletko lukenut läksyt?

4 What basic experiment is used in this chapter to suggest a common description for both photons and electrons? A. Cosmic ray spectrum B. Electron interference C. Neutron beta decay D. Muon gyromagnetic ratio E. Lunar laser ranging

5 What basic experiment is used in this chapter to suggest a common description for both photons and electrons? A. Cosmic ray spectrum B. Electron interference C. Neutron beta decay D. Muon gyromagnetic ratio E. Lunar laser ranging

6 What is the quantity called? A. Probability density B. Angular field C. Wave function D. Potential energy function E. Schrödinger function

7 What is the quantity called? A. Probability density B. Angular field C. Wave function D. Potential energy function E. Schrödinger function

8 The quantity is called the A. wave function. B. probability. C. probability density. D. amplitude density. E. Schrödinger function.

9 The quantity is called the A. wave function. B. probability. C. probability density. D. amplitude density. E. Schrödinger function.

10 Requiring the sum of all probabilities to be equal to one is called A. equalization. B. unification. C. normalization. D. quantization.

11 Requiring the sum of all probabilities to be equal to one is called A. equalization. B. unification. C. normalization. D. quantization.

12 Perusasiat ja esimerkkejä

13 Kaksoisrakokoe (Thomas Young 1800)

14 Kaksoisrakokokeen aalto-opillinen analyysi Raoista lähtevien aaltojen poikkeamat varjostimelle tullessa: a on kummankin aallon amplitudi (suurin poikkeama), k = 2π/λ on aaltoluku, ja r 1 ja r 2 ovat varjostimen pisteen etäisyydet kahdesta raosta. Kokonaispoikkeaman amplitudi on Säteilyn intensiteetti on verrannollinen lausekkeeseen A 2 :

15

16 Fotoni- ja aaltokuvan yhdistäminen Sähkömagneettisen aallon intensiteetti jossakin pisteessä on suorassa suhteessa fotonin löytymisen todennäköisyyteen siinä pisteessä. Fotoni on todennäköisimmin siellä, missä intensiteetti on suurin. Todennäköisyys löytää fotoni pisteen x kohdalta pieneltä väliltä δx on

17 Todennäköisyystiheys Todennäköisyysteiheys P(x) määritellään niin, että Yksidimensioisessa tapauksessa tn-tiheyden yksikkö on m 1. Kun tn-tiheys kerrotaan pituudella saadaan dimensioton luku, todennäköisyys. Huomaa siis: P(x) ei itsessään ole todennäköisyys vaan se on kerrottava pituudella. Fotonin tn-tiheys on verrannollinen amplitudin itseisarvon neliöön

18 Tn-tiheyttä voi verrata tangon pituustiheyteen.

19 QUESTION: Esimerkki: Tn-tiheyden laskeminen

20 Esimerkki: Tn-tiheyden laskeminen

21 Kaksoisrakokoe elektroneilla. Aineaaltoja. Samanlainen interferenssikuvio kuin valolla.

22 Aaltofunktio Todennäköisyystiheys.

23 Normalisaation Fotoni tai elektroni osuvat aina varmasti johonkin kohtaa ilmaisinta. Täten todennäköisyys havaita fotoni tai elektroni ilmaisimessa on 100%. Matemaattisesti ilmaistuna: jos tn-tiheys integroidaan yli koko avaruuden (yksiulotteisessa tapauksessa - :stä + :ään), tuloksen pitää olla = 1. Jokaisen aaltofunktion tulee toteuttaa tämä normitusehto.

24 Tn-tiheyden kuvaajan alle jäävä pinta-ala on todennäköisyys. Koko pinnan ala = 1.

25 Sekä elektronia että fotonia voidaan kuvata aaltopaketilla.

26 Aaltopaketti on monen eritaajuisen aallon interferenssiaalto.

27 Aaltopaketit Oletetaan, että aaltopaketti (kesto Δt) koostuu hyvin monesta aallosta, joiden taajuudet ovat jollain taajuusvälillä Δf. Fourierin analyysi osoittaa, että kaikille aaltopaketeille on voimassa Miten Δt ja Δf määritellään yleiselle aaltopaketille? Kesto Δt sanoo, miten kauan aaltopaketin ohitus kestää about ja Δf kertoo mikä on suunnilleen niiden aaltojen taajuuksien haarukka, joista paketti muodostuu,

28 Kaksi aaltopakettia, joilla on erilainen kesto.

29 Heisenbergin epätarkkuusperiaate Aaltopaketin pituus on Δx. Jossain tämän pituisella matkalla aaltopaketin kuvaama hiukkanen on. Δp x on matalinta ja korkeinta aaltoon sisältyvää taajuutta vastaava hiukkasen liikemääräväli. Kaikille aineaaltopaketeille pätee Heisenbergin epätarkkuusperiaate: Tämän hiukkasen paikkaa ja liikemäärä koskevan ehdon esitti Werner Heisenberg vuonna Ehto on periaatteellinen, eikä se liity mittaustarkkuuteen.

30 Kuva liikkuvasta aaltopaketista jollakin hetkellä.

31 Heisenbergin epätarkkuusperiaate Jos haluamme tietää, missä hiukkanen on, mittaamme sen paikan x jollakin tarkkuudella Δx. Jos haluamme tietää, millä nopeudella v x hiukkanen liikkuu eli mikä sen liikemäärä p x on, mittaamme p x :n jollakin tarkkuudella Δp x. Emme voi tehdä molempia mittauksia samalla hetkellä mielivaltaisen tarkasti, vaikka mittalaitteemme olisivat kuinka hyviä tahansa. Kaikkia näitä mittauksia rajoittaa ehto ΔxΔp x h/2. Tietomme hiukkasesta on lähtökohtaisesti epätarkka.

32 Esimerkki: Epätarkkuus pölyhiukkasen tapauksessa QUESTION:

33 Esimerkki: Epätarkkuus pölyhiukkasen tapauksessa

34 Esimerkki: Epätarkkuus pölyhiukkasen tapauksessa

35 Esimerkki: Epätarkkuus pölyhiukkasen tapauksessa

36 Esimerkki: Epätarkkuus pölyhiukkasen tapauksessa

37 QUESTION: Esimerkki: Epätarkkuus elektronin tapauksessa

38 Esimerkki: Epätarkkuus elektronin tapauksessa

39 Esimerkki: Epätarkkuus elektronin tapauksessa

40 Esimerkki: Epätarkkuus elektronin tapauksessa

41 Yhteenveto

42 Yleisen periaatteet

43 Yleiset periaatteet

44 Tärkeät käsitteet

45 Tärkeät käsitteet

46 Testikysymyksiä

47 Suppose you roll a die 30 times. What is the expected numbers of 1 s and 6 s? A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 E. 4

48 Suppose you roll a die 30 times. What is the expected numbers of 1 s and 6 s? A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 E. 4

49 The figure shows the detection of photons in an optical experiment. Rank in order, from largest to smallest, the square of the amplitude function of the electromagnetic wave at positions A, B, C, and D. A. D > C > B > A B. A > B > C > D C. A > B = D > C D. C > B = D > A

50 The figure shows the detection of photons in an optical experiment. Rank in order, from largest to smallest, the square of the amplitude function of the electromagnetic wave at positions A, B, C, and D. A. D > C > B > A B. A > B > C > D C. A > B = D > C D. C > B = D > A

51 This is the wave function of a neutron. At what value of x is the neutron most likely to be found? A. x = 0 B. x = x A C. x = x B D. x = x C

52 This is the wave function of a neutron. At what value of x is the neutron most likely to be found? A. x = 0 B. x = x A C. x = x B D. x = x C

53 The value of the constant a is A. a = 0.5 mm 1/2. B. a = 1.0 mm 1/2. C. a = 2.0 mm 1/2. D. a = 1.0 mm 1. E. a = 2.0 mm 1.

54 The value of the constant a is A. a = 0.5 mm 1/2. B. a = 1.0 mm 1/2. C. a = 2.0 mm 1/2. D. a = 1.0 mm 1. E. a = 2.0 mm 1.

55 What minimum bandwidth must a medium have to transmit a 100-ns-long pulse? A. 100 MHz B. 0.1 MHz C. 1 MHz D. 10 MHz E MHz

56 What minimum bandwidth must a medium have to transmit a 100-ns-long pulse? A. 100 MHz B. 0.1 MHz C. 1 MHz D. 10 MHz E MHz

57 Which of these particles, A or B, can you locate more precisely? A. A B. B C. Both can be located with same precision.

58 Which of these particles, A or B, can you locate more precisely? A. A B. B C. Both can be located with same precision.