Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
|
|
- Teuvo Niko Oksanen
- 2 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
2 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2
3 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme? 1/2 Tutustumme tässä luvussa seuraaviin normaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihin jakaumiin: χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma Tarkastelun kohteena ovat seuraavat χ 2 -, F-ja t-jakaumien ominaisuudet: (i) Jakauman määrittely (ii) Odotusarvo, varianssi ja standardipoikkeama (iii) Tiheysfunktion kuvaaja TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 3
4 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme? 2/2 Lisäksi tarkastelemme todennäköisyyksien määräämistä χ 2 -, F-ja t- jakaumista. Koska χ 2 -, F-ja t-jakaumien tiheysfunktioiden integraalifunktioita ei tunneta, χ 2 -, F-ja t-jakaumiin liittyvien todennäköisyyksien määräämisessä on käytettävä jotakin numeerista menetelmää. Siksi useimmissa tilastotieteen ja todennäköisyyslaskennan oppikirjoissa on valmiit taulukot, joissa on taulukoituna χ 2 -, F-ja t- jakaumien kertymäfunktioiden arvoja ja niihin liittyviä todennäköisyyksiä. χ 2 -, F-ja t-jakaumien tiheysfunktioiden lausekkeet johdetaan luvussa Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 4
5 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Esitiedot Esitiedot: ks. seuraavia lukuja: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Jakaumien tunnusluvut Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 5
6 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Lisätiedot χ 2 -, F-ja t-jakaumien tiheysfunktioiden lausekkeiden johtaminen vaatii satunnaismuuttujan 2. potenssin sekä riippumattomien satunnaismuuttujien summan ja osamäärän jakaumien määräämistä; ks. lisätietoja luvusta Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Huomautus: Tarkoitamme satunnaismuuttujien riippumattomuudella sitä, että yhdenkään satunnaismuuttujan saamat arvot eivät riipu siitä, mitä arvoja muut satunnaismuuttujat saavat; käsite täsmennetään luvussa Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 6
7 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 7
8 Johdanto Avainsanat χ 2 -jakauma F-jakauma Jakaumien määritteleminen t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 8
9 Johdanto Jakaumien määritteleminen normaalijakauman avulla Useat tilastotieteen keskeiset todennäköisyysjakaumat voidaan määritellä normaalijakauman avulla. Tällaisia ovat esimerkiksi χ 2 -, F-ja t-jakaumat, joilla on keskeinen rooli otosjakaumien teoriassa, estimoinnissa ja testauksessa (ks. esim. lukuja Otos ja otosjakaumat, Estimointi ja Tilastollisten hypoteesien testaus). Tarkastelemme seuraavien jakaumien määrittelemistä ja ominaisuuksia: χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 9
10 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto >> χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 10
11 χ 2 -jakauma Avainsanat χ 2 -jakauma Normaalijakauma Odotusarvo Standardipoikkeama Standardoitu normaalijakauma Tiheysfunktio Todennäköisyyksien määrääminen χ 2 -jakaumasta Vapausasteet Varianssi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 11
12 χ 2 -jakauma χ 2 -jakauman määritelmä 1/2 Olkoot X i, i = 1, 2,, n riippumattomia, standardoitua normaalijakaumaa N(0,1) (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) noudattavia satunnaismuuttujia. Tällöin X i ~ N(0,1), i = 1,2,, n X, X,, X 1 2 n TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 12
13 χ 2 -jakauma χ 2 -jakauman määritelmä 2/2 Olkoon X n = X i= 1 2 i N(0,1)-jakautuneiden, riippumattomien satunnaismuuttujien X i, i = 1, 2,, nneliösumma. Tällöin satunnaismuuttuja X noudattaa χ 2 -jakaumaa (Khiin neliö -jakaumaa) n:llä vapausasteella. Merkintä: X χ 2 (n) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 13
14 χ 2 -jakauma χ 2 -jakauman vapausasteet χ 2 -jakauman vapausasteiden lukumäärä n viittaa yhteenlaskettavien lukumäärään χ 2 -jakauman määrittelevässä neliösummassa. Vapausasteiden lukumäärä n on χ 2 -jakauman muodon määräävä parametri. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 14
15 χ 2 -jakauma Odotusarvo, varianssi ja standardipoikkeama Olkoon X χ 2 (n). Odotusarvo: E( X ) = n Varianssi ja standardipoikkeama: 2 Var( X ) = D ( X) = 2n D( X) = 2n TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 15
16 χ 2 -jakauma Tiheysfunktion kuvaaja Kuva oikealla esittää χ 2 -jakauman χ 2 (n) tiheysfunktiota välillä [0, 10], kun vapausasteiden lukumäärällä n on seuraavat arvot: (i) n = 1 (ii) n = 2 (iii) n = 5 Jakauman odotusarvo: E( X ) = n χ 2 (n) χ 2 (1) χ 2 (2) χ 2 (5) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 16
17 χ 2 -jakauma Tiheysfunktion ja sen kuvaajan ominaisuuksia χ 2 -jakauman tiheysfunktio f(x) on positiivinen kaikille positiivisille argumentin arvoille: f(x) > 0, x > 0 Jos vapausasteiden lukumäärä n = 1, 2 niin tiheysfunktio on monotonisesti laskeva kaikille x 0. Jos vapausasteiden lukumäärä n 3 niin tiheysfunktio on yksihuippuinen ja sillä on maksimi jossakin pisteessä x > 0. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 17
18 χ 2 -jakauma Todennäköisyyksien määrääminen χ 2 -jakaumasta 1/2 Todennäköisyydet voidaan määrätä χ 2 -jakaumasta jakauman kertymäfunktion avulla. Olkoon X χ 2 (n). Olkoon satunnaismuuttujan X kertymäfunktio F Chi (x ; n) = Pr(X x) Huomautus 1: Merkinnällä F Chi (x ; n) on haluttu korostaa χ 2 -jakauman riippuvuutta sen vapausasteiden lukumäärästä n. Huomautus 2: χ 2 -jakauman tiheysfunktion integraalifunktiota ei tunneta, joten χ 2 -jakauman kertymäfunktion määräämiseen on käytettävä jotakin numeerista menetelmää. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 18
19 χ 2 -jakauma Todennäköisyyksien määrääminen χ 2 -jakaumasta 2/2 Kaikkien χ 2 -jakaumaan liittyvien tapahtumien todennäköisyydet saadaan todennäköisyyksistä Pr(X x) = F Chi (x ; n) todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen avulla. Esimerkiksi Pr( a X b) = F ( b) F ( a) Chi Chi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 19
20 χ 2 -jakauma Todennäköisyyksien määrääminen χ 2 -jakaumasta: Taulukot 1/2 χ 2 -jakauman taulukot sisältävät tavallisesti argumentin x arvoja taulukoituna useille vapausasteiden lukumäärille n, mutta vain muutamille kertymäfunktion F Chi arvoille. Siten taulukot mahdollistavat seuraavan tehtävän ratkaisemisen (taulukkokohtaisin rajoituksin): Määrää x, kun todennäköisyys Pr(X x) = F Chi (x ; n) on annettu. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 20
21 χ 2 -jakauma Todennäköisyyksien määrääminen χ 2 -jakaumasta: Taulukot 2/2 Koska χ 2 -jakaumaa käytetään tavallisesti väliestimoinnin tai testauksen yhteydessä, χ 2 -jakauman taulukoihin on yleensä taulukoitu sellaisia argumentin x arvoja, jotka vastaavat todennäköisyyden Pr(X x) = F Chi (x ; n) komplementtitodennäköisyyttä p = Pr(X x) = 1 F Chi (x ; n) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 21
22 χ 2 -jakauma Todennäköisyyksien määrääminen χ 2 -jakaumasta: Esimerkki Kuva oikealla esittää χ 2 -jakauman χ 2 (10) tiheysfunktiota välillä [0, 35]. χ 2 -jakauman taulukoista saadaan: Alueen A pinta-ala = Pr(3.940 X ) = FChi (18.307;10) FChi (3.940;10) = = χ 2 (10) 0.05 A = TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 22
23 χ 2 -jakauma Todennäköisyyksien määrääminen χ 2 -jakaumasta: Ohjelmat Olkoon X χ 2 (n). Monet tietokoneohjelmat mahdollistavat seuraavien tehtävien ratkaisemisen ilman χ 2 -jakauman taulukoiden asettamia rajoituksia: (i) Määrää todennäköisyys Pr(X x) = F Chi (x ; n) kun x on annettu. (ii) Määrää x, kun todennäköisyys Pr(X x) = F Chi (x ; n) on annettu. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 23
24 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma >> F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 24
25 F-jakauma Avainsanat χ 2 -jakauma F-jakauma Normaalijakauma Odotusarvo Standardipoikkeama Standardoitu normaalijakauma Tiheysfunktio Todennäköisyyksien määrääminen F-jakaumasta Vapausasteet Varianssi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 25
26 F-jakauma F-jakauman määritelmä 1/2 Olkoot Y i, i = 1, 2,, m ja X i, i = 1, 2,, n riippumattomia, standardoitua normaalijakaumaa N(0,1) (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) noudattavia satunnaismuuttujia. Tällöin Yi ~ N(0,1), i = 1,2,, m, Xi ~ N(0,1), i = 1,2,, n Y1, Y2,, Ym, X1, X2,, Xn ja edelleen m n i χ i χ i= 1 i= 1 Y = Y ~ ( m), X = X ~ ( n) Y X TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 26
27 F-jakauma F-jakauman määritelmä 2/2 Olkoon 1 Y n Y F = m = 1 X m X n jossa 2 2 Y ~ χ ( m), X ~ χ ( n), Y X Tällöin satunnaismuuttuja F noudattaa Fisherin F- jakaumaa m:llä ja n:llä vapausasteella. Merkintä: F F(m, n) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 27
28 F-jakauma F-jakauman vapausasteet F-jakauman vapausasteiden lukumääristä ensimmäinen (m) viittaa yhteenlaskettavien lukumäärään F-jakauman määrittelevän lausekkeen osoittajassa. F-jakauman vapausasteiden lukumääristä toinen (n) viittaa yhteenlaskettavien lukumäärään F-jakauman määrittelevän lausekkeen nimittäjässä. Vapausasteiden lukumäärät m ja n ovat F-jakauman muodon määrääviä parametreja. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 28
29 F-jakauma Odotusarvo, varianssi ja standardipoikkeama Olkoon F F(m, n). Odotusarvo: n E( F) =, n> 2 n 2 Varianssi ja standardipoikkeama: n ( m+ n 2) Var( F) = D ( F) =, n> 4 2 mn ( 2) ( n 4) 2 2 n ( m+ n 2) 2 D( F) =, n> 4 mn ( 2) ( n 4) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 29
30 F-jakauma F-jakauman ominaisuuksia Olkoon F F(m, n). Tällöin myös 1/F on F-jakautunut, mutta vapausastein n ja m: 1 ~ (, ) Fnm F TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 30
31 F-jakauma Tiheysfunktion kuvaaja Kuva oikealla esittää F-jakauman F(m, n) tiheysfunktiota välillä [0, 5], kun vapausasteiden lukumäärillä m ja n on seuraavat arvot: (i) m = 10, n = 40 (ii) m = 40, n = 10 (iii) m = 40, n = 40 Jakauman odotusarvo: n E( F) =, n> 2 n F(m, n) F(40, 40) F(10, 40) F(40, 10) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 31
32 F-jakauma Tiheysfunktion ja sen kuvaajan ominaisuuksia F-jakauman tiheysfunktio f(x) on positiivinen kaikille positiivisille argumentin arvoille: f(x) > 0, x > 0 Jos osoittajan vapausasteiden lukumäärä m = 1, 2 niin tiheysfunktio on monotonisesti laskeva kaikille x 0. Jos osoittajan vapausasteiden lukumäärä m 3 niin tiheysfunktio on yksihuippuinen ja sillä on maksimi jossakin pisteessä x > 0. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 32
33 F-jakauma Todennäköisyyksien määrääminen F-jakaumasta 1/2 Todennäköisyydet voidaan määrätä F-jakaumasta jakauman kertymäfunktion avulla. Olkoon F F(m, n). Olkoon satunnaismuuttujan F kertymäfunktio F F (x ; m, n)= Pr(F x) Huomautus 1: Merkinnällä F F (x ; m, n) on haluttu korostaa F-jakauman riippuvuutta sen vapausasteiden lukumääristä m ja n. Huomautus 2: F-jakauman tiheysfunktion integraalifunktiota ei tunneta, joten F-jakauman kertymäfunktion määräämiseen on käytettävä jotakin numeerista menetelmää. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 33
34 F-jakauma Todennäköisyyksien määrääminen F-jakaumasta 2/2 Kaikkien F-jakaumaan liittyvien tapahtumien todennäköisyydet saadaan todennäköisyyksistä Pr(F x) = F F (x ; m, n) todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen avulla. Esimerkiksi Pr( a F b) = F ( b) F ( a) F F TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 34
35 F-jakauma Todennäköisyyksien määrääminen F-jakaumasta: Taulukot 1/4 F-jakauman taulukot sisältävät tavallisesti argumentin xarvojataulukoituina useille vapausasteiden lukumäärille m ja n, mutta vain muutamille kertymäfunktion F F arvoille. Siten taulukot mahdollistavat seuraavan tehtävän ratkaisemisen (taulukkokohtaisin rajoituksin): Määrää x, kun todennäköisyys Pr(F x) = F F (x ; m, n) on annettu. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 35
36 F-jakauma Todennäköisyyksien määrääminen F-jakaumasta: Taulukot 2/4 Koska F-jakaumaa käytetään tavallisesti väliestimoinnin tai testauksen yhteydessä, F-jakauman taulukoihin on yleensä taulukoitu sellaisia argumentin x arvoja, jotka vastaavat todennäköisyyden Pr(F x) = F F (x ; m, n) komplementtitodennäköisyyttä p = Pr(F x) = 1 F F (x ; m, n). TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 36
37 F-jakauma Todennäköisyyksien määrääminen F-jakaumasta: Taulukot 3/4 Monet F-jakauman taulukot sisältävät todennäköisyyksiä p = Pr(F x) = 1 F F (x ; m, n) vastaavia argumentin arvoja vain, kun p on pieni. Suuriin p:n arvoihin liittyvät argumentin x arvot saadaan tällöin käyttämällä hyväksi sitä, että 1/F ~ F(n, m). Olkoon F m,n F(m, n) ja p = Pr(F m,n a) F n,m F(n, m) ja p = Pr(F n,m b) Tällöin 1 a = b TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 37
38 F-jakauma Todennäköisyyksien määrääminen F-jakaumasta: Taulukot 4/4 Oletukset: F m,n F(m, n) F n,m F(n, m) p = Pr(F m,n a) = Pr(F n,m b) Tällöin: 1 a = b Perustelu: Todetaan ensin, että p= Pr( F a) mn, = Pr(1/ F 1/ a) mn, = Pr( Fnm, 1/ a) Koska oletuksen mukaan p = Pr( F b) niin b= 1/ a nm, TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 38
39 F-jakauma Todennäköisyyksien määrääminen F-jakaumasta: Esimerkki Kuva oikealla esittää F-jakauman F(10, 60) tiheysfunktiota välillä [0, 4]. F-jakauman taulukoista saadaan: Alueen A pinta-ala = Pr( F 1.993) = FF (1.993;10,60) FF (0.3815;10,60) = = F(10, 60) 0.05 A = TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 39
40 F-jakauma Todennäköisyyksien määrääminen F-jakaumasta: Ohjelmat Olkoon F F(m, n). Useat tietokoneohjelmat mahdollistavat seuraavien tehtävien ratkaisemisen ilman F-jakauman taulukoiden asettamia rajoituksia: (i) Määrää todennäköisyys Pr(F x) = F F (x ; m, n) kun x on annettu. (ii) Määrää x, kun todennäköisyys Pr(F x) = F F (x ; m, n) on annettu. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 40
41 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma >> t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 41
42 t-jakauma Avainsanat χ 2 -jakauma F-jakauma Normaalijakauma Odotusarvo Standardipoikkeama Standardoitu normaalijakauma t-jakauma Tiheysfunktio Todennäköisyyksien määrääminen t-jakaumasta Vapausasteet Varianssi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 42
43 t-jakauma t-jakauman määritelmä 1/2 Olkoot Y ja X i, i = 1, 2,, n riippumattomia, standardoitua normaalijakaumaa N(0,1) (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) noudattavia satunnaismuuttujia. Tällöin Y ~N(0,1), Xi ~N(0,1), i= 1,2,, n Y, X1, X2,, Xn ja edelleen n X = X ~ χ ( n) Y i= 1 X 2 2 i TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 43
44 t-jakauma t-jakauman määritelmä 2/2 Olkoon Y t = 1 X n jossa 2 Y ~N(0,1), X ~ χ ( n), Y X Tällöin satunnaismuuttuja t noudattaa Studentin t- jakaumaa n:llä vapausasteella. Merkintä: t t(n) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 44
45 t-jakauma t-jakauman vapausasteet t-jakauman vapausasteiden lukumäärä n viittaa yhteenlaskettavien lukumäärään t-jakauman määrittelevän lausekkeen nimittäjässä. Vapausasteiden lukumäärä n on t-jakauman muodon määräävä parametri. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 45
46 t-jakauma Odotusarvo, varianssi ja standardipoikkeama Olkoon t t(n). Odotusarvo: E( t) = 0, n> 1 Varianssi ja standardipoikkeama: n t = t = n> n 2 n D( t) =, n> 2 n 2 2 Var( ) D ( ), 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 46
47 t-jakauma Tiheysfunktion kuvaaja Kuva oikealla esittää t-jakauman t(n) tiheysfunktiota välillä [ 4, +4], kun vapausasteiden lukumäärällä n on seuraavat arvot: (i) n = 1 (ii) n = 3 (iii) n = 100 Jakauman odotusarvo: E( t) = 0, n> 1 Kuvaan on piirretty myös standardoidun normaalijakauman N(0,1) tiheysfunktion kuvaaja t(n) ja N(0,1) t(3) t(1) t(100) N(0,1) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 47
48 t-jakauma Tiheysfunktion ja sen kuvaajan ominaisuuksia 1/2 t-jakauman tiheysfunktio f(x) on kaikkialla positiivinen: f(x) > 0 kaikille x Tiheysfunktio on yksihuippuinen. Tiheysfunktio saa maksimiarvonsa pisteessä 0. Tiheysfunktio on symmetrinen suoran x = 0 suhteen: f( x) = f(+ x) kaikille x TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 48
49 t-jakauma Tiheysfunktion ja sen kuvaajan ominaisuuksia 2/2 t-jakauman tiheysfunktio muistuttaa standardoidun normaalijakauman N(0,1) tiheysfunktiota, mutta on sitä paksuhäntäisempi. t-jakauman tiheysfunktio muistuttaa standardoidun normaalijakauman N(0,1) tiheysfunktiota sitä voimakkaammin mitä suurempi on vapausasteiden lukumäärä n (ks. tarkemmin >). TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 49
50 t-jakauma t-jakauma ja F-jakauma Olkoon t t(n). Tällöin t 2 ~ F(1, n) Olkoon F ~ F(1, n). Tällöin F tn ( ) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 50
51 t-jakauma t-jakauma ja normaalijakauma 1/2 t-jakauma lähestyy standardoitua normaalijakaumaa, kun vapausasteiden lukumäärä n kasvaa. Olkoon t t(n). Tällöin lim Pr( t z) =Φ( z) n + missä Φ on standardoidun normaalijakauman N(0,1) kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 51
52 t-jakauma t-jakauma ja normaalijakauma 2/2 Koska t-jakauma lähestyy vapausasteiden lukumäärän n kasvaessa standardoitua normaalijakaumaa N(0,1), voidaan t-jakaumaan liittyvät todennäköisyydet määrätä suurilla vapausasteiden luvuilla standardoidun normaalijakauman avulla. Normaalijakauma-approksimaatio t-jakaumalle on kohtuullinen jo, kun n = 30, ja riittävä useimpiin tarkoituksiin, kun n > 100. Esimerkki: Edellä esitetyssä kuvassa ei t(100)- ja N(0,1)-jakaumien tiheysfunktioiden kuvaajia pysty erottamaan toisistaan (ks. <). TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 52
53 t-jakauma Todennäköisyyksien määrääminen t-jakaumasta 1/2 Todennäköisyyksien määrääminen t-jakaumasta voidaan tehdä jakauman kertymäfunktion avulla. Olkoon t t(n). Olkoon satunnaismuuttujan t kertymäfunktio F t (x ; n) = Pr(t x) Huomautus 1: Merkinnällä F t (x ; n) on haluttu korostaa t-jakauman riippuvuutta sen vapausasteiden lukumäärästä n. Huomautus 2: t-jakauman tiheysfunktion integraalifunktiota ei tunneta, joten t-jakauman kertymäfunktion määräämiseen on käytettävä jotakin numeerista menetelmää. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 53
54 t-jakauma Todennäköisyyksien määrääminen t-jakaumasta 2/2 Kaikkien tapahtumien todennäköisyydet saadaan todennäköisyyksistä Pr(t x) = F t (x ; n) todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen avulla. Esimerkiksi Pr( a t b) = F( b) F( a) t t TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 54
55 t-jakauma Todennäköisyyksien määrääminen t-jakaumasta: Taulukot 1/3 t-jakauman taulukot sisältävät tavallisesti argumentin xarvojataulukoituna useille vapausasteiden lukumäärille n, mutta vain muutamalle kertymäfunktion F t arvolle. Siten taulukot mahdollistavat seuraavan tehtävän ratkaisemisen (taulukkokohtaisin rajoituksin): Määrää x, kun todennäköisyys Pr(t x) = F t (x ; n) on annettu. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 55
56 t-jakauma Todennäköisyyksien määrääminen t-jakaumasta: Taulukot 2/3 Koska t-jakaumaa käytetään tavallisesti väliestimoinnin tai testauksen yhteydessä, t-jakauman taulukoihin on yleensä taulukoitu sellaisia argumentin x arvoja, jotka vastaavat todennäköisyyden Pr(t x) = F t (x ; n) komplementtitodennäköisyyttä p = Pr(t x) = 1 F t (x ; n) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 56
57 t-jakauma Todennäköisyyksien määrääminen t-jakaumasta: Taulukot 3/3 Monissa t-jakauman taulukoissa on taulukoitu todennäköisyyksiä p = Pr( t x) = 1 Ft ( x; n) vain, kun x 0. Tällöin todennäköisyydet Pr(t x) saadaan soveltamalla t-jakauman tiheysfunktion symmetrisyyttä pisteen x = 0 suhteen: ( ) Pr t x = 1 Pr( t x) = 1 Pr( t x) = Pr( t x) = p TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 57
58 t-jakauma Todennäköisyyksien määrääminen t-jakaumasta: Esimerkki Kuva oikealla esittää t-jakauman t(10) tiheysfunktiota välillä [0, 4]. t-jakauman taulukoista saadaan: Alueen A pinta-ala = Pr( t ) = Ft ( ;10) Ft ( 1.812;10) = = t(10) 0.05 A = TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 58
59 t-jakauma Todennäköisyyksien määrääminen t-jakaumasta: Ohjelmat Olkoon t t(n). Monet tietokoneohjelmat mahdollistavat seuraavien tehtävien ratkaisemisen: (i) Määrää todennäköisyys Pr(t x) = F t (x ; n) kun x on annettu. (ii) Määrää x, kun todennäköisyys Pr(t x) = F t (x ; n) on annettu. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 59
Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma
Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma
Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)
Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Jatkuvia jakaumia >> Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien
Testejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat
Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä
Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Testit järjestysasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten
Testit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
tilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1
Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet
Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:
8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)
Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Jakaumien tunnusluvut >> Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin
Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastolliset testit Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet testauksessa
6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)
6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287
Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio
Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio KE (2014) 1 Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat
Tilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (4) : Mitä opimme? 1/5 Tilastollisessa tutkimuksessa tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään tavallisesti väitteitä
TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut
Tilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
Todennäköisyysjakaumia
8.9.26 Kimmo Vattulainen Todennäköisyysjakaumia Seuraavassa esitellään kurssilla MAT-25 Todennäköisyyslaskenta esille tulleita diskreettejä todennäköisyysjakaumia Diskreetti tasajakauma Bernoullijakauma
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen
3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut D. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat
Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma
5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,
χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox
Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa
Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Jakaumien
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jakaumien tunnusluvut Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Momentit Vinous ja huipukkuus Kvantiilit
Jatkuvat satunnaismuuttujat
Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään
Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva
2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet
Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 28. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 28. syyskuuta 2007 1 / 20 1 Jatkoa diskreeteille jakaumille Negatiivinen binomijakauma Poisson-jakauma Diskreettien
Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden
1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit Puutodennäköisyydet Todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma
OPETUSSUUNNITELMALOMAKE
OPETUSSUUNNITELMALOMAKE Tällä lomakkeella dokumentoit opintojaksoasi koskevaa opetussuunnitelmatyötä. Lomake on suunniteltu niin, että se palvelisi myös Oodia varten tehtävää tiedonkeruuta. Voit siis dokumentoida
ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä
Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat
Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat KE (2014) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteiset
Todennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan
OPETUSSUUNNITELMALOMAKE
OPETUSSUUNNITELMALOMAKE Tällä lomakkeella dokumentoit opintojaksoasi koskevaa opetussuunnitelmatyötä. Lomake on suunniteltu niin, että se palvelisi myös Oodia varten tehtävää tiedonkeruuta. Voit siis dokumentoida
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen 1 Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ 2 -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen
Johdatus tilastotieteeseen Testit järjestysasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille Järjestysasteikollisten muuttujien testit Merkkitesti Wilcoxonin
Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa
Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa Teemassa 6 tutustuttiin todennäköisyyden ja satunnaisuuden käsitteisiin sekä todennäköisyyslaskennan perusteisiin. Seuraavaksi tätä aihepiiriä syvennetään perehtymällä
Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen vertaaminen
Tilastolliset menetelmät. Osa 1: Johdanto. Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1
Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä ja malleja, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan
4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut
4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.
(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.
Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.
Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto
Matemaattinen tilastotiede Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Alkusanat Tämä moniste perustuu vuosina 2002-2004 pitämiini matemaattisen tilastotieteen luentoihin
Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A
Tilastollinen päättely II, kevät 207 Harjoitus A Heikki Korpela 23. tammikuuta 207 Tehtävä. Kertausta todennäköisyyslaskennasta. Ilmoita satunnaismuuttujan Y jakauman nimi ja pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio
Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo
Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo 1/13 Kevät 2003 Tilastollisia
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain
Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi
Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo hannu.toivonen, marko.salmenkivi, inkeri.verkamo@cs.helsinki.fi Helsingin yliopisto Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi,
D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]
Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6B
Tilastollinen päättömyys, kevät 7 Harjoitus 6B Heikki Korpela 8. helmikuuta 7 Tehtävä. Monisteen teht. 6... Olkoot Y,..., Y 5 Nµ, σ, ja merkitään S 5 i Y i Y /4. Näytä, että S/σ on saranasuure eli sen
Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat Johdatus todennäköisyyslaskentaan todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat: Mitä opimme? /5 hden satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumat
Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta
MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,
Tilastollinen päättely. 5. Väliestimointi Johdanto Luottamusvälien konstruointi Luottamusvälien vertailu
ilastollinen päättely 5.. Johdanto Estimointi, Joukkoestimointi, Kriittinen alue, uottamusjoukko, uottamustaso, uottamusväli, Otos, Parametri, Peittotodennäköisyys, Piste-estimointi, Väliestimaatti, Väliestimaattori,
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat
Mat-2.09 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Jatkuvat jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Eksponenttijakauma, Jatkuva tasainen jakauma, Kertymäfunktio, Mediaani, Normaaliapproksimaatio, Normaalijakauma,
Maximum likelihood-estimointi Alkeet
Maximum likelihood-estimointi Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Maximum likelihood-estimointi p.1/20 Maximum Likelihood-estimointi satunnaismuuttujan X
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset
Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen
MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen 1. Laitosneuvostoon valitaan 2 professoria, 4 muuta henkilökuntaan kuuluvaa jäsentä sekä 4 opiskelijaa. Laitosneuvostoon
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Frekventistiset vs. bayeslaiset menetelmät Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit iite: Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Mitä opimme? Verkkoteoria
Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,
Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan
ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai
MTTTP5, luento Kahden jakauman sijainnin vertailu (jatkoa) Tutkimustilanteita y = neliöhinta x = sijainti (2 aluetta)
MTTTP5, luento 7.12.2017 7.12.2017/1 6.1.3 Kahden jakauman sijainnin vertailu (jatkoa) Tutkimustilanteita y = neliöhinta x = sijainti (2 aluetta) y = lepopulssi x = sukupuoli y = musikaalisuus x = sukupuoli
MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op)
MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) Aalto-yliopisto 2017 Todennäköisyyslaskennan kertaus Satunnaismuuttujat ja tn-jakaumat Tunnusluvut χ 2 -, F- ja t-jakauma Riippumattomuus Tilastotieteen
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 4
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Tilastollinen aineisto Tilastolliset menetelmät ovat eräs keino tutkia numeerista havaintoaineistoa todennäköisyyslaskentaa
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 11. helmikuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen
Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Väliestimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli
MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-200 Todennäköisyyslaskenta Tentti 29.04.20 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu.. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi kuutosen. A aloittaa