Kvanttimekaniikka I A/S. Jani Tuorila Fysiikan laitos Oulun yliopisto
|
|
- Sofia Lahti
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Kvanttimekaniikka I A/S Jani Tuorila Fysiikan laitos Oulun yliopisto 2. syyskuuta 2014
2 Sisältö 1 Johdanto Taustaa Aallot ja hiukkaset Kaksoisrakokoe hiukkasilla Kaksoisrakokoe aalloilla Valon hiukkas- ja aaltoluonteet Todennäköisyystulkinta Hiukkasten aaltoluonne Elektroneja vahtimassa Heisenbergin epätarkkkusperiaate Aaltofunktio Schrödingerin yhtälö Todennäköisyystulkinta ja normalisaatio Liikemäärä Ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö Stationaariset tilat Ääretön potentiaalikuoppa Harmooninen värähtelijä Vapaa hiukkanen Sidotut ja sirontatilat Delta-potentiaali Äärellinen potentiaalikuoppa Kvanttimekaniikan teoreettinen muotoilu Hilbertin avaruus Mitattavat suureet Määrätyt tilat Hermiittisen operaattorin ominaisfunktiot Diskreetti spektri Jatkuva spektri Yleistetty statistinen tulkinta Kahden suureen yhtäaikainen mittaus ja epätarkkuusperiaate Kommutoivat operaattorit Yleistetty epätarkkuusperiaate Minimi-epätarkkuuden aaltopaketti Energian ja ajan epätarkkuus Diracin merkinnät Kolmiulotteista kvanttimekaniikkaa Muuttujien erottelu Kulmayhtälö Radiaaliyhtälö i
3 5.4 Vetyatomi Radiaaliyhtälö Vetyatomin spektri Kulmaliikemäärä Kulmaliikemäärän ominaisfunktiot Spin-kulmaliikemäärä Identtiset hiukkaset, jaksollinen järjestelmä ja aineen rakenne Kahden hiukkasen systeemi Bosonit ja fermionit Vaihto-voima Spinin vaikutus Atomit Helium Jaksollinen järjestelmä Kiinteät aineet Vapaa elektronikaasu Vyörakenne Kvanttistatistiikkaa Yleinen konfiguraatio ii
4 Kirjallisuutta: Griffiths: Introduction to Quantum Mechanics, (Pearson Prentice Hall), 2005 Saarela: Kvanttimekaniikka I Johdatus alkuaineiden jaksolliseen järjestelmään (luentomoniste), 2012 Shankar: Principles of Quantum Mechanics, 1994 Cohen-Tannoudji, Diu ja Laloë: Quantum Mechanics (volume one), 1977 Powell & Crasemann: Quantum Mechanics (Addison-Wesley), 1965 Feynman: Lectures on Physics III (Addison-Wesley) iii
5 1 Johdanto 1.1 Taustaa Aina silloin tällöin fyysikot ovat varomattoman tyytyväisiä teorioihinsa. Kaikki kokeet ovat sopusoinnussa teorian antamien ennustusten kanssa ja vaikuttaa siltä kuin fysiikka olisi valmis. Näin tapahtui esimerkiksi 1900-luvun vaihtessa, kun Newtonin mekaniikka, termofysiikka ja Maxwellin sähkömagnetismi näyttivät antavan selityksen kaikille havaituille luonnonilmiöille. The more important fundamental laws and facts of physical science have all been discovered, and these are now so firmly established that the possibility of their ever being supplanted in consequence of new discoveries is exceedingly remote... Our future discoveries must be looked for in the sixth place of decimals. Albert. A. Michelson, There is nothing new to be discovered in physics now. All that remains is more and more precise measurement Lord Kelvin, Kuitenkin samaan aikaan kokeelliset havainnot, kuten esimerkiksi Mustan kappaleen säteily Atomien spektriviivat Valosähköinen ilmiö alkoivat olla ristiriidassa klassisten fysiikan teorioiden kanssa. Vuonna 1900 Max Planck ratkaisi mustan kappaleen säteilyn ongelman vaatimalla, että säteilyn energia muodostuu lukemattomista pienistä yksiköistä, kvanteista. Vuonna 1905 Einstein käytti Planckin oletusta valosähköisen ilmiö selittämiseen 2. 1 Lainatut fyysikot vaikuttivat suuresti tieteen kehitykseen. Sen vuoksi onkin parempi, että heidät muistettaisiin ansioistaan enemmin kuin näistä onnettomista lausahduksista. 2 Einstein sai Nobel-palkintonsa valosähköisen ilmiön teoriasta vuonna Planckin oletus sai aikaan kehityskulun, joka johti ns. vanhan kvanttimekaniikan syntyyn. Tässä työssä olivat vahvasti mukana suurin osa 1900-luvun alun merkittävistä fyysikoista, kuten Planck, Einstein, Bohr, Sommerfeld, ja monet muut. Vanha kvanttimekaniikka oli ilmiöihin perustuva (fenomenologinen) teoria. Muodollisen matemattisen muotonsa kvanttimekaniikka sai vuosina (de Broglie, Heisenberg, Born, Jordan, Schrödinger, Pauli, Dirac, von Neumann, ja monet muut). Kvanttimekaniikkaa pidetään yhtenä nykytieteen merkittävimmistä saavutuksista. Se on lähes kaiken modernin tutkimuksen perusta niin hiukkasfysiikassa, atomifysiikassa, molekyylifysiikassa, kiinteän olomuodon fysiikassa, kemiassa, jne. Kvanttimekaniikka antaa selityksen aineen rakenteelle ja kuvaa sen vuorovaikutuksen valon kanssa tarkkuudella, joka poikkeaa kokeellisista arvoista kahdeksannessa desimaalissa. Kvanttimekaniikka onkin yksi tarkimmista ja eniten testatuista tieteellisistä teorioistamme. Ehkä suurimman muutoksen kvanttimekaniikka tuo kuitenkin tapaamme ajatella. Kvanttimekaniikka on erityisesti pienen mittakaavan (atomin kokoluokan) ilmiöiden teoria. Mielemme ja kielemme ovat kehittyneet ympäristössä, jossa kvantti-ilmiöt eivät ole läsnä. Osoittautuu, että atomin mittakaavassa, asiat käyttäytyvät täysin eri tavalla kuin mihin olemme tottuneet. Sen vuoksi atomaariset ilmiöt tuntuvat oudoilta sekä vasta-alkajasta että kokeneesta fyysikosta. Tämä on luonnollista, koska kaikki välitön inhimillinen kokemus ja intuitio perustuu aineen makroskooppiseen käyttäytymiseen. Tämän kurssin tarkoituksena on kertoa niistä muutoksista, joita kvanttimekaniikka tuo klassiseen maailmankuvaan. Kvanttimekaniikan ymmärtäminen, jos sellainen ylipäätään on mahdollista, vaatii uudellaisen sanavaraston, ajattelutavan ja intuition opettelemista. Tavoitteena onkin ennen kaikkea oppia kvanttimekaniikan teorian muodollinen rakenne ja oppia käyttämään sen antamaa koneistoa yksinkertaisten esimerkkiongelmien ratkaisemisessa. If you think you understand quantum mechanics, you don t understand quantum mechanics. Richard Feynman 1
6 1.2 Aallot ja hiukkaset Nature isn t classical, dammit, and if you want to make a simulation of nature, you d better make it quantum mechanical. Richard Feynman Tykki 1 2 Liikkuva detektori x I 1 x I 12 I 2 x Ennen kuin aloitamme kvanttimekaniikan matemaattisen koneiston käsittelyn, käymme läpi yksinkertaisen kahden raon kokeen avulla ne olelliset muutokset jotka klassiseen fysiikkaan täytyy tehdä Kaksoisrakokoe hiukkasilla Klassisessa fysiikassa hiukkasilla on hyvin määritellyt paikka x ja liikemäärä p, ja ne yhdessä määrittävät hiukkasen tilan. 3 Hiukkasten liikkeitä kuvataan Newtonin yhtälöillä, jotka voidaan kirjoittaa yleisempään ja matemaattisesti elegantimpaan muotoon käyttäen Analyytisen mekaniikan kurssissa esitettyjä menetelmiä. Tuloksena saadaan Hamiltonin (tai vastaavat Lagrangen) liikeyhtälöt: dx dt dp dt = H p (1) = H x, (2) missä H on tarkasteltavan systeemin Hamiltonin funktio. Toisin sanoen, jos hiukkasen paikka ja liikemäärä tunnetaan jollakin ajan hetkellä, sen myöhempi tila saadaan laskettua täsmällisesti liikeyhtälöistä. Tarkastelemme klassisten hiukkasten, esim. luotien, käyttäytymistä kuvan 1 mukaisessa laitteessa. Siinä on vasemmalla konekivääri, joka ampuu luotisuihkun. Ase ei ole erityisen tarkka ja niinpä luodit lähtevät satunnaisesti tiettyyn avaruuskulmaan. Määritellään intensiteetti I(x) pisteeseen x saapuvien luotien lukumääräksi sekunnissa. Tämän koejärjestelyn avulla voimme määrätä intensiteetin I 12 (x) sille, että luoti, joka kulkee raon 1 tai 2 läpi, 3 Tämän kurssin ensimmäisessä puolikkaassa tarkastellaan vain yksiulotteisia ongelmia, jotta vältytään korkeampien ulottuvuuksien tuomilta (tässä tarpeettomilta) haasteilta. Seinä Takaseinä I 12 =I 1 +I 2 (a) (b) (c) Kuva 1: Kaksoisrakokoe luodeilla iskee seinään kohdassa x. Mittaus voidaan suorittaa seinään kiinnitetyllä detektorilla, joka laskee aikayksikössä tulevien luotien lukumäärän. Käyrä (c) I 12 antaa intensiteetin sille, että luoti kulkee joko raosta 1 tai 2. Saadun käyrän muodon ymmärtämiseksi teemme toisen kokeen (b), jossa vuorotellen peitetään raot 2 ja 1, jolloin saadaan intensiteetit I 1 ja I 2. Vertaamalla mittaustuloksia todetaan: I 12 = I 1 + I 2, ts. intensiteetti on osaintensiteettien summa Kaksoisrakokoe aalloilla Ero hiukkasten ja aaltojen välillä on selkeä. Siinä missä hiukkaset (klassisen fysiikan mukaan) ovat hyvin paikallistettavissa olevia energia- ja liikemäärä yksiköitä, ovat aallot eräänlaisia häiriöitä, jotka ovat jakautuneet hyvinkin laajalle alueelle. Tästä johtuen aallot voivat, toisin kuin hiukkaset, taipua ja interferoida. Nämä ilmiöt havaitaan jokapäiväisessä elämässä hiloissa, linsseissä ja peileissä. Yleistä aalloille (niin sähkömagneettisille kuin esim. veden pinta-aalloille, ääniaalloille jne.) on, että niitä voidaan kuvata aalto-funktiolla ψ(x, t), joka kuvaa jotain oleellista häiriötä 4 pisteessä x ajan hetkellä t. 4 Sähkömagneettisille aalloille ψ voi olla mikä tahansa sähkö-tai magneettikentän komponentti, ääniaalloille se voi kuvata paineen vaihteluita, veden pinta-aalloille ψ on poikkeama tasapainosta, jne. 2
7 Vastaavaan tapaan kuin hiukkasilla, aallon riippuvuus paikasta ja ajasta saadaan liikeyhtälöstä: 2 ψ x 2 = 1 2 ψ c 2 t 2, (3) missä c on aallon etenemisnopeus ko. väliaineessa. Tätä kutsutaan aaltoyhtälöksi. Kun aalto tunnetaan jollakin ajan hetkellä, voidaan sen myöhempi tila ratkaista aaltoyhtälöstä. Tarkastellaan tässä aaltoyhtälön yksinkertaista ratkaisua, tasoaaltoa 5 [ ψ(x, t) = A exp i ( 2π λ x 2π ] T t), (4) joka kuvaa sekä paikassa että ajassa jaksollista aaltoa. Yllä λ on aallonpituus (jakso paikassa), T jaksonaika. Usein käytetään johdannaissuureita k = 2π/λ (aaltoluku) ja ω = 2π/T (kulmataajuus). Aallonnopeus on c = ω/k, (reaalinen) amplitudi on A ja aallon intensiteetti I = ψ 2. 6 Tarkastelemme seuraavaksi esim. veden aaltoilua kuvan 2 mukaisella laitteella. Aaltojen lähteessä vasemmalla synnytetään ympyrämäisiä aaltoja pienen moottorin avulla, joka liikuttaa esinettä veden pinnalla ylös ja alas. Lähteestä oikealla on seinämä, jossa on jälleen kaksi aukkoa ja siitä oikealle seinämä, jossa on detektori. Detektori on laite, joka mittaa aaltoliikkeen intensiteetin seinämän kohdalla. Tämä taas saadaan mittaamalla aaltoliikkeen amplitudin (so. korkeuden) neliö kohdassa y. Toisaalta intensiteetti on verrannollinen aikayksikössä kohtaan y saapuvaan energiaan. Mittaustulokseksi saamme kohdan c mukaisen interferenssikuvion I 12. Tämän kuvion ymmärtämiseksi teemme jälleen kokeen, jossa raot 1 ja 2 vuorotellen peitetään, jolloin saadaan kohdan b mukaiset käyrät I 1 ja I 2. Nyt kysymme: Mikä on näiden kolmen käyrän välinen yhteys? Erikoisesti näemme, että I 12 I 1 + I 2. 5 Aaltoyhtälön ratkaisut ovat yleisesti ottaen kompleksisia ja fysikaaliset ratkaisut kompleksisten ratkaisujen reaaliosia. 6 Jos nämä käsitteet tuntuvat vierailta, kertaa ne Aaltoliike ja optiikka -kurssista. Aaltolähde 1 2 Seinä Detektori Absorboija x 2 I = ψ 1 1 I = ψ (a) (b) (c) Kuva 2: Kaksoisrakokoe aalloilla I 1 I 2 x I 12 2 I = ψ +ψ Tämän inteterferenssin matemaattinen esitys tapahtuu seuraavasti: Oletetaan, että rakojen kohdalla tulevat aallot ovat tasoaaltoja ψ = Ae i(ky ωt). Huygenssin periaate sanoo, että jokainen piste on tasoaallon keskus ja aallon eteneminen noudattaa tasoaaltojen rintaman etenemistä. Valitaan kohta x (pystysuora poikkeama vaakasuoralta akselilta kuvassa 2). Rakojen 1 ja 2 aiheuttamat aallot ovat kulkeneet matkat d 1 ja d 2, jotka yleisesti ottaen ovat erisuuret. Merkitään aaltojen amplitudeja kohdassa x seuraavasti: ψ 1 = Ae iφ1 φ 1 = 2πd 1 /λ ψ 2 = Ae i(φ1+δ) δ = 2π(d 2 d 1 )/λ. Kun aukot ovat vuorotellen suljettuja saamme intensiteetit 7 I1 = ψ1 2 = A 2 I 2 = ψ 2 2 = A 2. Molempien aukkojen ollessa avoimina saamme aaltoliikkeen amplitudiksi summan (superpositioperiaate) ψ = ψ 1 + ψ 2 = Ae iφ1 (1 + e iδ ). Intensiteetti on siten I 12 = ψ 2 = ψ 1 + ψ Huomaa, että yleisesti ottaen raolla on toinenkin ulottuvuus, jolloin tasoaallon sijaan tulisi käyttää palloa-aaltoa e ikr /r. Palloaaltojen intensiteetti pienenee kuljetun matkan r kasvaessa kuin 1/r 2. 3
8 = (ψ 1 + ψ 2)(ψ 1 + ψ 2 ) = A 2 e iφ1 (1 + e iδ )(1 + e iδ )e iφ1 = A 2 (2 + (e iδ + e iδ ) = 2A 2 (1 + cos δ) = ψ ψ ψ 1 ψ 2 cos δ Tässä vaihe-ero δ määrää interferenssin muodon. Voimme kirjoittaa tuloksen myös intensiteettien avulla I 12 = I 1 + I I 1 I 2 cos δ Aukoista 1 ja 2 lähteneiden aaltojen vaihe-ero varjostimella pisteessä x on δ = 2π(d 2 d 1 ) λ missä d 2 d 1 on kuljettujen matkojen ero ja λ on valon aallonpituus. Jos oletetaan, että rakojen välinen ero a ja matka x varjostimella (kuvapisteen ja rakojen välisen keskipisteen etäisyys) ovat pieniä verrattuna varjostimen ja raon väliseen etäisyyteen d, niin voidaan osoittaa (harjoitus), että vierekkäiset intensiteettimaksimit ovat etäisyydellä x = λd a toisistaan. Näin klassinen fysiikka ennustaa miten hiukkaset ja aallot käyttäytyvät kaksoisrakokokeeessa. 1.3 Valon hiukkas- ja aaltoluonteet Valon eteneminen poikkeaa muun aaltoliikkeen, kuten ääniaaltojen tai vaikkapa veden laineiden etenemisestä siinä, ettei se tarvitse värähtelevää väliainetta. Kuitenkin matemaattisesti se käsitellään klassisessa fysiikassa samanlaisen aaltoyhtälön avulla. Oletetaan, että lähetämme monokromaattista, palloaaltomuotoista valoa kohti kuvan 2 mukaista kaksoisrakoa 8. Oletetaan, että rakojen takana pys- 8 Aaltoliike ja Optiikan kurssissa tätä kutsuttiin Youngin kaksoisrakokokeeksi. Se on yksi perusesimerkki valon aaltoluonteesta., tymme mittaamaan läpimenneen säteilyn intensiteettiä. Kun molemmat raot ovat auki havaitsemme interferenssikuvion I 12, ja kun rako 1 on suljettu havaitaan käyrä I 2 (vastaavasti raon 2 ollessa suljettu nähdään I 1 ). Valo näyttäisi käyttäytyvän samaan tapaan kuin vesiaalto, mikä on täydellisessä sopusoinnussa klassisen fysiikan (Maxwellin yhtälöt) kanssa. Pienennetään sitten valon intensiteettiä 9 mitataan I 1. Jotain kummallista tapahtuu. Havaitaan, että energia ei saavu jatkuvana virtana vaan purkauksina siellä täällä. Oletetaan, että voimme pienentää intensiteetin niin matalaksi, että havaitsemme vain yhden tällaisen purkauksen kerrallaan. Jos odotamme riittävän kauan ja piirrämme saapuneista purkauksista histogrammin, saamme tulokseksi saman käyrän I 1 kuin suuremmalla intensiteetillä. Havaitsemme, että valo ei koostukkaan jatkuvasta aallosta vaan on muodostunut hiukkasista, joita kutsutaan fotoneiksi. Tutkimalla fotoneita enemmän, havaitaan että Jokaisella fotonilla on sama energia E. Jokaisella fotonilla on sama liikemäärä p. E = pc. Koska E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4, fotonien lepomassa on nolla. Säteilylähteen taajuutta muuttamalla nähdään, että E = hω (5) p = hk, (6) missä h = h/2π on vakio. Luonnonvakiota h = Js sanotaan Planckin vakioksi. Kuten aikaisemmin mainittiin, ajatuksen valon hiukkasluonteesta, ns. kvantittumisesta, esitti ensimmäisenä Planck johtaessaan mustan kappaleen säteilyä koskevan yhtälönsä. Samaan kvanttiajatukseen perustui myös Einsteinin fotosähköiselle ilmiölle antama selitys. Vaikka valon kvanttituminen sinänsä on jo yllättävää klassisen fysiikan näkökulmasta, tapahtuu jotain vieläkin mullistavampaa kun tutkitaan intensiteettiä 9 Esimerkiksi viemällä valonlähde kauemmas. Muista, että palloaaltojen intesiteetti pienenee kuin 1/r 2! 4
9 I 12. Jos fotoneita saapuu edelleen yksi kerrallaan, ja taulukoidaan saapuneiden fotonien lukumäärää, havaitaan samanlainen interferenssikuvio kuin (c) kuvassa 2! Tämä kertoo, että klassisessa fysiikassa on jotain pielessä. Koska fotonit ovat hiukkasia, niillä tulisi olla hyvin määrätyt paikka ja liikemäärä. Tällöin tuntuu mahdottomalta, että fotoni joka on menossa raon 1 läpi pystyisi jotenkin aistimaan onko rako 2 auki vai kiinni. Interferenssikuvion havaitseminen tarkoittaa kuitenkin väistämättä sitä, että näin käy. Kokeen perusteella on ilmeistä, että ei ole totta, että fotonit menevät joko raon 1 tai raon 2 kautta. Mitä muita mahdollisia reittejä fotoneilla on kulkea lähteestä varjostimelle? Voisi ajatella seuraavia: Mennessään rakojen läpi fotoni jakautuu kahteen osaan. Tämä kaatuu siihen, että fotonit saapuvat varjostimelle kokonaisina Fotoni kulkee monimutkaisempia teitä (sisään raosta 1, ulos raosta 2 ja uudelleen sisään raosta 2 jne.) Tämä ei voi toteutua, koska molempien rakojen ollessa avoimia, vain hyvin vähän fotoneja osuu määrättyihin kohtiin x. Kun toinen rako suljetaan, fotonien määrä tällaisen I 12 - käyrän minimin kohdalla lisääntyy. Vastaavasti voidaan todeta maksimien kohdalla toisen reiän sulkemisen vähentävän fotonien lukumäärää, joten molempien selittäminen monimutkaisella reitillä tuntuu mahdottomalta. Todetaan, että kokeen perusteella emme pysty sanomaan, miten fotonit siirtyvät lähteestä detektoriin. Toisin sanoen, fotonit eivät voi kulkea pitkin hyvin määrättyjä liikeratoja. 1.4 Todennäköisyystulkinta Edellä esitettyjen tosiasioiden perusteella Born teki seuraavan johtopäätöksen: Jokaiseen fotoniin liittyy kompleksinen aalto ψ(x), jota kutsutaan todennäköisyysamplitudiksi. Amplitudin itseisarvon neliö ψ(x) 2 antaa todenäköisyyden sille, että fotoni löytyy pisteestä x. 10 Tätä kutsutaan aaltofunktion statistiseksi tulkinnaksi. Valon kaksoisrakokoe voidaan ymmärtää nyt kokonaan edellisen oletuksen avulla. Jokaista fotonia (energia E ja liikemäärä p) kuvaa aaltofunktio ψ(x), joka on tasoaalto jonka ω = E/ h ja k = p/ h. Tämä aalto interferoi itsensä kanssa ja muodostaa oskilloivan käyrän x-akselille. Mikä tahansa yksittäinen fotoni saapuu johonkin tiettyyn pisteeseen x eikä pysty paljastamaan todennäköisyysjakaumaa. Jos odotamme kauan, muodostavat jakauman ψ(x) 2 mukaisesti saapuneet fotonit histogrammin joka muistuttaa intensiteettiä I 12. Vastaava kuvio saadaan luonnolilsesti kasvattamalla sisääntulevien fotonien intensiteettiä. Tällöin oletetaan, että samalla hetkellä saapuu yhden sijaan monta fotonia, joilla kaikilla on sama aaltofunktio ja siten sama todennäköisyys osua pisteeseen x. Tällöin mitattu intensiteetti näyttää välittömästi jakaumalta ψ(x) 2 ja energiavirta jatkuvalta, sopusoinnussa klassisen sähkömagnetismin teorian kanssa. Korostetaan vielä, että interferenssi ei siis synny siitä, että yksi fotoni menee raosta 1 ja toinen raosta 2, koska ne eivät voi interferoida keskenään. Interferenssi tapahtuu jokaiselle fotonille, jonka todennäköisyysamplitudi muodostuu useammasta kuin yhdestä komponentista. (Kaksoisrakokokeen tapauksessa molemmat reiät ovat auki.) Tätä kutsutaan valon aalto-hiukkas -dualismiksi. Selvästi myös kokeiden lopputulokset eivät ole täysin ennustettavissa: parasta mitä voimme laskea on millä todennäköisyydellä mitäkin tapahtuu. 1.5 Hiukkasten aaltoluonne Vuonna 1924 de Broglie esitti hypoteesin, että kaikkia hiukkasia (elektronit, protonit, neutronit, jne.), joilla on energia E ja liikemäärä p voidaan kuvata fotonin tapaan tasoaallolla, ψ = Ae i(kx ωt) 10 Täsmällisesti: koska x on jatkuva muuttuja, ψ(x) 2 on todennäköisyystiheys ja todennäköisyys löytää fotoni pieneltä väliltä [x, x + dx] on ψ(x) 2 dx. 5
10 missä ω = Ē h k =. (7) p h Davisson ja Germer havaitsivat vuonna 1925 että elektronit taipuivat nikkelikiteessä kuten Röntgensäteet ja määrittivät interferenssikuviosta elektronien aallonpituudeksi de Broglien ennustaman arvon. Nykyisin on yleisesti hyväksyttyä, että kaikkia hiukkasia voidaan kuvata todennäköisyysamplitudilla ψ, ja että niille ei voida määrittää täsmällistä liikerataa. Tämän jälkeen voidaan vielä kysyä, miksi luotikokeessa (tai esimerkiksi jalkapalloilla, ihmisillä tai vaikkapa elefanteilla) ei havaita interferenssiä? Miksi niiden paikat ja liikemäärät vaikuttavat olevan hyvin määrättyjä? 1.6 Elektroneja vahtimassa 1 2 Elektronitykki Valolähde A (a) (b) (c) Kuva 3: Kaksoisrakokoe aalloilla x I 1 ' I 2 ' x I 12 '=I 1 '+I 2 ' Seuraavaksi järjestämme uuden kokeen kuvan 3 mukaan 11. Siinä pyritään vakoilemaan, kumman raon kautta kukin elektroni kulkee ja näemme, että elektroni muuttaa tämän koejärjestelyn johdosta käytäytymistään. Sen johdosta, että elektroneilla on varaus, tiedämme, että ne sirottavat valoa. Lisäämme koejärjestelyyn valolähteen, jonka avulla voimme testata kumman 11 Tällä kertaa elektroneilla, koska niiden liikkeitä on helpompi havaita. I 12 ' raon kautta elektroni kulkee. Jos esim. se kulkee raon 2 kautta, näemme väläyksen kohdassa A (kuva 3). Koetulos on seuraava: joka kerta, kun havaitsemme elektronin mittalaitteellamme, näemme valon välähtävän joko raolla 1 tai 2, mutta ei koskaan yhtä aikaa molemmissa. Selvästi elektroni siis kulkee jommankumman raon kautta. Tämän jälkeen merkitsemme eri sarakkeisiin (kullekin kohdalle x) rakojen 1 ja 2 kautta kulkeneet elektronit ja saamme käyrät I 1 ja I 2. Tulos on sama kuin rakojen ollessa vuorotellen peitettyinä. Tämä todistaa, että elektronit eivät kulje monimutkaisia teitä. Toisaalta, koska tässä kokeessa molemmat raot olivat avoinna, saamme kokonaistodennäköisyydet laskemalla yhteen I 1 ja I 2 ts. I 12 = I 1 + I 2. Tulosta tarkasteltaessa toteamme, että emme saakaan interferenssiä: Elektronit interferoivat vain silloin, kun niitä ei havaita aukkojen kohdalla. On siis ilmeistä, että valolähde häiritsee elektronien kulkua ja hävittää interferenssikuvion. Nyt voisi kuvitella, että himmentämällä valolähdettä häiritsemme elektroneja vähemmän. Pidämme valon aallonpituuden samana, mutta vähennämme intensiteettiä ja suoritamme kokeen uudestaan. Koska valo on muodostunut fotoneista, elektronien häiriö aiheutuu elektronin ja fotonin törmäyksestä (Compton sironta). Intensiteetin (=fotonien luku/pinta-ala/aikayks.) pienetessä sironnan todennäköisyys pienenee ja osa elektroneista pääsee huomaamatta läpi. Jokaista kohtaa x varten teemme kolmannen sarakkeen niitä elektroneja varten, jotka menevät näkemättä läpi detektoriin (mittalaite rekisteröi elektronin, mutta ei näy väläystä!). Tulos on seuraava: raon 1 kautta kulkeneille saadaan jakautuma I 1 ja 2:n kautta kulkeneille I 2 (kuva 3b)). Sen sijaan niille, joita ei nähty kummallakaan raolla saadaan jakautuma P 12 (kuva 2c)). Jälleen siis vain ne elektronit, joita ei nähdä raoilla, antavat interferenssi-kuvion. 6
11 Seuraavaksi teemme vielä yhden kokeen pidentämällä valon aallonpituutta. Tiedämme, että kunkin fotonin liikemäärä on kääntäen verrannollinen aallonpituuteen. p = h λ (h= Planckin vakio) Näin ollen on otaksuttavissa, että fotonien vaikutus kuhunkin elektroniin on sitä pienempi mitä suurempi on aallonpituus. Pidennämme aallonpituutta ja mitään erikoista ei tapahdu, kunnes tulemme rajalle, jossa λ rakojen välimatka; tämän jälkeen emme enää pysty sanomaan kummalta raolta väläys tulee. Olemme tulleet laitteen erotuskyvyn rajalle 12. Näemme väläyksen, joka osoittaa, että elektroni on kulkenut jostain, mutta emme pysty sanomaan, kumman raon kautta se kulki. Samalla todetaan, että aallonpituuden kasvaessa jakaantuma P 12 alkaa yhä enemmän muistuttaa interferenssitapausta P 12. Kokeen syvällinen selitys pohjautuu ns. Heisenbergin epätarkkuusperiaatteesta, jonka johdamme tarkasti myöhemmin. Todetaan tässä vain, että epätarkkuusperiaatteen mukaan paikan ja liikemäärän standardipoikkeamat σ x ja σ p noudattavat epäyhtälöä σ x σ p h 2. (8) Tämä tarkoittaa sitä, että jos mittauksella määritetään tarkasti kumman raon kautta elektroni kulki (σ x = 0), emme voi sanoa sen mittauksen jälkeisestä liikemäärästä varmuudella yhtään mitään (σ p ) Heisenbergin epätarkkkusperiaate Yllä oleva ajatuskoe tulkitaan tavallisesti seuraavasti. Ennen tutkimista valonlähteellä, elektroneilla on kiinnitetty liikemäärä p = hk ja ne ovat tasoaaltoja (tasaisesti jakautuneet avaruuteen). Toisin sanoen ennen mittausta elektroneilla ei ole hyvin määriteltyä paikkaa, ne löytyvät samalla todennäköisyydellä mistä tahansa avaruuden pisteestä ja muistuttavat siten hyvin paljon klassisen fysiikan aaltoja. Mittauksen jälkeen tiedämme missä elektroni on: joko raolla 1 tai raolla 2. Välittömästi mittauksen jälkeen suoritettu uusi mittaus tulee antaa luonnollisesti sama tulos. Sen vuoksi vedämme johtopäätöksen, että mittaus muuttaa peruuttamattomasti elektronin tilan. Tätä kutsutaan aaltofunktion romahtamiseksi. Koska elektroni mittauksen jälkeen on suurella varmuudella jommalla kummalla raolla, täytyy sen aaltofunktion olla piikkittynyt raon kohdalla ja sen vuoksi elektroni ei voi interferoida itsensä kanssa. Tämän vuoksi interferenssikuvio häviää, kun elektronien kulkema reitti määritetään tarkasti. 12 Yleisesti ottaen, kvanttimekaaninen tarkastelu tulee oleelliseksi, jos tutkittavan systeemin de Broglie -aallonpituus on isompi kuin systeemin koko. 7
12 2 Aaltofunktio Tässä kappaleessa, kuten myös koko kurssin ensimmäisessä puolikkaassa, tarkastellaan yksiulotteista kvanttimekaniikkaa. Useampi ulotteinen teoria on usein suoraviivainen yleistys yksiulotteisesta, ja sen käsittely jätetään kurssin jälkimmäiseen osaan. Kertausta hiukkasmekaniikasta Palataan liikeyhtälöön (2). Kun muistetaan, että hiukkasen Hamiltonin funktio on muotoa saadaan Newtonin toinen laki H = p2 + V (x), (9) 2m m d2 x dt 2 = V x F, (10) missä V on hiukkasen kokema ulkoinen potentiaali. Yhdessä alkuarvojen x(0) ja p(0) tämä määrittää hiukkasen koko tulevan aikakehityksen, x(t) ja p(t). Siten klassisessa fysiikassa tietämys systeemin paikasta, liikemäärästä ja Hamiltonin funktiosta riittää sen täydelliseen kuvaamiseen (ainakin periaatteessa) nyt ja tulevaisuudessa. 2.1 Schrödingerin yhtälö Kvanttimekaniikan mukaan paikka ja liikemäärä eivät sovi mikrohiukkasten liikkeiden kuvaamiseen, koska ne tunnetaan vain tietyllä todennäköisyydellä tarkasti määrätyn radan sijasta 13. Sen vuoksi Newtonin lakien sijaan hiukkasen tilan, aaltofunktion Ψ(x, t), aikakehityksen kuvaamiseen käytetään Schrödingerin yhtälöä: i h Ψ t = h2 2 Ψ + V Ψ. (11) 2m x2 Schrödingerin yhtälö on analoginen Newtonin 2. lain kanssa: alkuarvo (tyypillisesti Ψ(x, 0) määrää yhdessä Schrödingerin yhtälön kanssa tulevan aikakehityksen Ψ(x, t). On myös syytä huomata, että samaan 13 Muista, että hiukkanen löytyy paikasta x todennäköisyydellä Ψ(x, t) 2 dx! tapaan kuin Newtonin 2. laki, Schrödingerin yhtälö on postulaatti. Sitä ei voi johtaa muusta kvanttimekaniikan teoriasta, vaan sen ainoana oikeutuksena on yhtäpitävyys sen antamien ennustusten ja kokeiden välillä. 2.2 Todennäköisyystulkinta ja normalisaatio Ennen kuin aletaan tarkastelemaan lähemmin mitä seurauksia aaltofunktion käsitteellä ja Schrödingerin yhtälöllä on, palautetaan mieleen aaltofunktion todennäköisyystulkinnan käsite. Johdannon perusteella hiukkasen paikka on suure, jolla ei ole fysikaalista sisältöä ennen kuin se mitataan. Mittaustulos ei ole ennaltamäärättävissä vaan mahdolliset arvot noudattavat aaltofunktion itseisarvon neliön määrittämää todennäköisyysjakaumaa ρ(x, t) = Ψ(x, t) 2. Tätä kutsuttiin aaltofunktion statistiseksi tulkinnaksi. Mitkä funktiot sitten kelpaavat aaltofunktioiksi? Periaatteessa kaikki kompleksiarvoiset funktiot, jotka ovat sopusoinnussa todennäköisyystulkinnan kanssa. Oletetaan, että Ψ(x, t) on Schrödingerin yhtälön eräs ratkaisu. Koska Schrödingerin yhtälö (11) on lineaarinen differentiaaliyhtälö, on myös AΨ sen ratkaisu kaikilla kompleksisilla vakioilla A. Osoittautuu, että kaikki funktiot AΨ(x, t) kuvaavat samaa fysikaalista tilaa, ts. kompleksitasossa vain suunnalla on fysikaalista merkitystä. Tämän vuoksi voimme valita yhden funktioista AΨ(x, t) edustamaan ääretöntä joukkoa fysikaalisesti ekvivalentteja tiloja. Tässä käytetään hyväksi aaltofunktion todennäköisyystulkintaa. Jotta statistinen tulkinta olisi voimassa, täytyy hiukkasen löytyä varmuudella jostain päin avaruutta. Täytyy siis olla Ψ(x, t) 2 dt = 1. (12) Tätä vaatimusta kutsutaan aaltofunktion normalisoinniksi, ja se kiinnittää luvun A. Normalisaation aikakehitys Yksi Schrödingerin yhtälön tärkeistä ominaisuuksista on, että se säilyttää aaltofunktion normalisaation. 8
13 Tämä voidaan osoittaa tarkastelemalla aikaderivaattaa d dt Ψ(x, t) 2 dx = t Ψ(x, t) 2 dx. (13) Koska t Ψ 2 = Ψ Ψ t + Ψ Ψ, (14) t niin Schrödingerin yhtälöstä seuraa, että t Ψ 2 = [ ( i h Ψ Ψ )] x 2m x Ψ x Ψ. (15) Huomaa, että jos tulkitaan S = i h(ψ Ψ x Ψ x Ψ)/2m todennäköisyysvirtatiheydeksi, tulee ylläoleva jatkuvuusyhtälön muotoon: x S + ρ = 0. (16) t Todennäköisyystiheyden integraalin aikaderivaatta on nyt d Ψ(x, t) 2 dx = i h ( dt 2m Ψ Ψ ) x Ψ x Ψ. (17) Jotta aaltofunktio olisi normalisoituva, täytyy sen hävitä äärettömyyksissä. Sen vuoksi sijoitus häviää molemmilla rajoilla: d dt Ψ(x, t) 2 dx = 0. (18) Integraali on siis riippumaton ajasta, ja jos aaltofunktio on normalisoitu sen normalisointi säilyy myös tulevaisuudessa. 2.3 Liikemäärä Tarkastellaan hiukkasta tilassa Ψ. Jos mitatataan hiukkasen paikka x, noudattaa saadut mittaustulokset todennäköisyysjakaumaa Ψ 2. Erityisesti, mittaustulosten odotusarvo 14 saadaan laskemalla x = x Ψ(x, t) 2 dx. (19) 14 Muista, että kvanttimekaniikassa keskiarvoa kutsutaan odotusarvoksi! Tässä vaiheessa on syytä muistaa, että mittauksen jälkeen hiukkasen paikka on täsmälleen se mitä mittalaite sanoo. Toisin sanoen, jos mittaus toistetaan välittömästi ensimmäisen mittauksen jälkeen, saadaan sama tulos. Paikan odotusarvo ei siis tarkoita yhden hiukkasen peräkkäisten paikan mittausten keskiarvoa! Odotusarvo tuleekin ymmärtää samassa tilassa Ψ olevien identtisten hiukkasten joukon (ensemble) samanaikaisten paikanmittausten keskiarvona. Koska aaltofunktio on yleisesti ottaen ajasta riippuva, muuttuu myös x ajan funktiona: d i h x = dt 2m = i h m x ( Ψ Ψ ) x x Ψ x Ψ (20) Ψ Ψ dx, (21) x missä ensimmäinen yhtäsuuruus on saatu jatkuvuusyhtälöstä ja jälkimmäinen seuraa osittaisintegroinnista. Klassisen fysiikan tietämyksemme pohjalta postuloimme, että liikemäärän odotusarvo p = m d x dt = i h Ψ Ψ dx. (22) x Tämä on yksi ns. Ehrenfestin teoreeman realisaatio; kvanttimekaaniset odotusarvot noudattavat klassisia liikeyhtälöitä (harjoituksissa tarkastelemme liikemäärän odotusarvon aikakehitystä). Palaamme tähän tarkemmin, kun käsittelemme kvanttimekaniikan teoriaa muodollisemmin. Kirjoitetaan sitten paikan ja liikemäärän odotusarvot hieman vihjailevasti x = Ψ xψdx (23) p = Ψ ( h i ) Ψdx. (24) x Tämä tulkitaan siten, että paikkaa ja liikemäärää (ja kaikkia muita mitattavia suureita) kuvataan kvanttimekaniikassa operaattoreilla 15. Odotusarvot ovat 15 Operaattorit ovat käskyjä tehdä jotakin operaattorin oikealla puolella olevalle funktiolle. Paikkaoperaattori kertoo muuttujalla x, liikemääräoperaattori derivoi muuttujan x suhteen. 9
14 tilan ominaisuuksia. Operaattorin odotusarvo saadaan kuten yllä, asettamalla operaattori funktioiden Ψ ja Ψ väliin ja integroimalla. Kaikki klassisen fysiikan dynaamiset suureet saadaan paikan ja liikemäärän avulla. Esim. kineettinen energia ja kulmaliikemäärä T = p2 2m (25) L = r p. (26) Yleisesti ottaen, mikä tahansa paikan ja liikemäärän funktio Q(x, p) voidaan muuntaa kvanttimekaaniseen operaattorimuotoon korvaamalla muuttujat x ja p vastaavilla operaattoreilla: x ˆx = x (27) p ˆp = h i x. (28) Tätä kutsutaan korrespondenssiperiaatteeksi. Yllä ja jatkossa on merkitty operaattoreita hatulla(ˆ), jotta ne erottuisivat vastaavista klassisista muuttujista. Odotusarvo saadaan vastaavaan tapaan laskemalla Esimerkiksi, ˆQ(ˆx, ˆp) = ˆT = h2 2m ( Ψ ˆQ ˆx, h i ) Ψdx. (29) x Ψ 2 Ψ dx, (30) x2 antaa kineettisen energian odotusarvon tilassa Ψ. 3 Ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö Edellisessä kappaleessa tarkasteltiin mikä on aaltofunktio ja miten voimme käyttää sitä kiinostavien suureiden laskemisessa. Seuraavaksi tutkimme miten aaltofunktio ylipäätään saadaan määritettyä. Tiedämme, että fysikaalisesti tärkeitä aaltofunktioita ovat Schrödingerin yhtälön i h Ψ t = h2 2 Ψ 2m x 2 + ˆV Ψ. (31) normalisoidut ratkaisut. Yleisesti ottaen ˆV (ˆx, t) on paikan ja ajan funktio, mutta tässä kurssissa tutkitaan (jos muuta ei sanota) ajasta riippumattomia potentiaaleja. Tällöin Schrödingerin yhtälö ratkaistaan yleisesti erottamalla muuttujat. Menetelmän mukaisesti etsitään tulomuotoista ratkaisua Ψ(x, t) = ψ(x)ϕ(t). (32) Näin tullaan saamaan vain pieni osajoukko kaikkien ratkaisujen joukosta. Myöhemmin kuitenkin nähdään, että tämä osajoukko osoittautuu erittäin tärkeäksi. Sijoittamalla tulomuotoinen yrite Schrödingerin yhtälöön ja jakamalla yhtälö yritteellä, saadaan h2 1 d 2 ψ 2m ψ dx 2 + ˆV = i h ϕ ϕ. (33) Koska ψ on vain paikan funktio ja ϕ vain ajan funktio, täytyy yllä olevan yhtälön molempien puolien olla riippumattomia sekä ajasta että paikasta. Toisin sanoen molempien yhtälöiden ovat vakioita. Merkitään jatkossa tätä vakiota symbolilla E (syy tähän selviää hetken päästä). Näin olemme saaneet muunnettua osittaisdifferentiaaliyhtälön kahdeksi tavalliseksi differentiaaliyhtälöksi dϕ dt = iē h ϕ (34) h2 d 2 ψ 2m dx 2 + ˆV ψ = Eψ. (35) Nähdään, että ajasta riippuva osa ϕ aaltofunktiosta ratkeaa helposti: φ(t) = e iet/ h, (36) 10
15 missä mahdollinen integrointivakio on ajeteltu sisällytetyksi funktioon ψ. Yhtälöä (35) kutsutaan ajasta riippumattomaksi Schrödingerin yhtälöksi. Jatkossa tullaan huomaamaan, että ajasta riippumattomalla Schrödingerin yhtälöllä on ääretön määrä ratkaisuja (ψ 1 (x), ψ 2 (x),...) ja jokaisella ratkaisulla on oma symboli E (E 1, E 2,...). Aina kun potentiaali on ajasta riippumaton päädytään siis tähän tilanteeseen; aikariippuvuus ratkeaa yksinkertaisesti yllä esitetyllä tavalla, ja paikkariippuvuus joudutaan etsimään tapauskohtaisesti, potentiaalista riippuen, ajasta riippumattomasta Schrödingerin yhtälöstä. Tässä kurssissa ratkaistaan vain ongelmia, joissa potentiaali ei riipu ajasta. 3.1 Stationaariset tilat Mitä näissä tulomuotoisissa tiloissa (32) on sitten niin erikoista? Osoitetaan seuraavassa ensin, että ne ovat ns. stationaarisia tiloja. Tarkastellaan siis Schrödingerin yhtälön ratkaisuja Ψ(x, t) = ψ(x)e iet/ h. (37) Tästä laskettu todennäköisyystiheys on Ψ(x, t) 2 = ψ(x) 2, (38) mikä ei riipu ajasta. Sama tapahtuu, kun lasketaan mitä tahansa dynaamista muuttujaa vastaavan operaattorin ˆQ(ˆx, ˆp) odotusarvo: ˆQ(ˆx, ˆp) = ( ψ ˆQ x, h ) d ψdx. (39) i dx Erityisesti, ˆx on ajasta riippumaton ja siten ˆp = 0. Tiloissa (37) ei siis tapahdu mitään, ne ovat stationaarisia. Stationaaristen tilojen energia Osoittautuu myös, että stationaarisilla tiloilla on tarkasti määrätty kokonaisenergia. Klassisessa fysiikassa systeemin kokonaisenergia saadaan Hamiltonin funktiosta H(x, p) = p2 + V (x). (40) 2m Korrespondessiperiaatteen mukaisesti systeemin kvanttimekaaninen Hamiltonin operaattori saadaan korvaamalla x ja p vastaavilla operaattoreilla: 2 Ĥ = h2 2m x 2 + ˆV (x). (41) Siten ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon 16 Tämän avulla voidaan laskea Ĥψ = Eψ. (42) Ĥ = E, (43) Ĥ2 = E 2. (44) Siten Hamiltonin operaattorin varianssi stationaarisessa tilassa on σ H = H 2 H = 0. (45) Tämä tarkoittaa sitä, että jakauman leveys on nolla, eli toisin sanoen jokainen energian mittaus antaa saman tuloksen E (siksi myöskin valittiin nimenomaan E kuvaamaan vakiota, joka esiteltiin muutujien erottamisen yhteydessä). Yleinen ratkaisu Voidaan osoittaa, että ajasta riippuvan Schrödingerin yhtälön yleinen ratkaisu Ψ(x, t) voidaan esittää stationaaristen tilojen (37) lineaarikombinaationa Ψ(x, t) = c n ψ n (x)e ient/ h. (46) n=1 Yllä olevan tulos perustuu siihen että Schrödingerin yhtälö on lineaarinen differentiaaliyhtälö. Ajasta riippuvan Schrödingerin yhtälön ratkaisemiseksi riittää siis ratkaista stationaariset tilat ψ n ja niitä vastaavat energiat E n ajasta riippumattomasta Schrödingerin yhtälöstä, sekä etsiä sellaiset kertoimet c n, jotka toteuttavat tarkasteltavan ongelman alkuehdot: Ψ(x, 0) = c n ψ n (x). (47) n=1 16 Tätä kutsutaan operaattorin Ĥ ns. ominaisarvoyhtälöksi. Ominaisarvoyhtälöt ovat tärkeässä osassa kvanttimekaniikassa, ja niihin palataan myöhemmin myös tässä kurssissa. 11
16 on voimassa. Yllä oleva on (toivon mukaan) tuttu harmoonisen värähtelijän differentiaaliyhtälö, jonka yleinen ratkaisu on muotoa 17 ψ(x) = A sin kx + B cos kx, (50) missä A ja B ovat mielivaltaisia vakioita, jotka tavallisesti määräytyvät ongelman reuna-arvoista. Tavallisesti sekä ψ että dψ/dx ovat jatkuvia, mutta äärettömän potentiaalin tapauksessa on derivaatan jatkuvuudesta luovuttava 18. Joka tapauksessa aaltofunktion ψ jatkuvuudesta seuraa, että Kuva 4: Ääretön potentiaalikuoppa Huomaa, että vaikka yleinen ratkaisu on kehitetty stationaaristen tilojen avulla, ei se itsessään välttämättä ole stationaarinen (harjoitus). 3.2 Ääretön potentiaalikuoppa Harjoitellaan Schrödingerin yhtälön ratkaisemista yksinkertaisilla, idealisoiduilla potentiaaleilla. Kaikkein intuitiivisin ensimmäinen valinta olisi V = 0, eli tilanne jossa hiukkanen ei vuorovaikuta minkään ulkopuolisen systeemin kanssa. Valitaan kuitenkin yksinkertaisuuden vuoksi ensimmäiseksi esimerkiksi tilanne, jossa hiukkanen on vapaa, mutta vain rajoitetulla avaruuden alueella. Sanotaan, että hiukkanen on äärettömässä potentiaalikuopassa, jonka potentiaalienergia on muotoa { 0, jos 0 x a V (x) = (48), muulloin Yllä a on potentiaalikuopan leveys. Selkeästi potentiaali on ajasta riippumaton, joten edellisen kappaleen nojalla riittää tutkia ajasta riippumatonta Schrödingerin yhtälöä. Kuopan ulkopuolella täytyy selkeästi olla ψ(x) = 0, koska potentiaali siellä on ääretön. Kuopan sisällä V (x) = 0, joten Schrödingerin yhtälö (35) voidaan kirjoittaa muotoon d 2 ψ dx 2 = k2 ψ, (49) missä k = 2mE/ h. Harjoituksissa osoitetaan, että yleisesti E minv (x), joten yllä tehty oletus E 0 ψ(0) = ψ(a) = 0. (51) Ensimmäisestä reuna-arvosta seuraa, että B = 0 ja ψ(x) = A sin kx. (52) Toisella reunalla täytyy siis olla ψ(a) = A sin ka. Nyt ei kuitenkaan voi olla A = 0, sillä silloin saadaan triviaali ratkaisu ψ(x) = 0, joka ei ole edes normalisoituva. Täytyy siis olla sin ka = 0, eli toisin sanoen 19 Nähdään siis, että vain arvot ka = π, 2π, 3π,... (53) k n = nπ, missä n = 1, 2, 3,... (54) a ovat sallittuja. Eli, reuna-arvo ei määrääkään vakiota A vaan sallitut vakion k arvot! Luvun k määritelmästä seuraa, että myöskään energia E ei voi saada mielivaltaisia arvoja. Sallitut energiat ovat muotoa E n = n2 π 2 h 2 2ma 2, (55) eli energia on kvantittunut. Amplitudi A määräytyy normalisoinnista 20 : a 0 A 2 sin 2 (kx)dx = A 2 a 2 = 1 A 2 = 2 a. (56) 17 Palauta differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmät mieleen, joko harjoituksesta 1, tai differentiaalilaskennan kurssista. 18 Toivottavasti ehdimme perustella tämän yleisen ominaisuuden myöhemmin. 19 Mieti miksi voimme hylätä ratkaisut k 0! 20 Huomaa, että voimme määrätä vain suuruden emme vaihetta. Yleensä valitaan A positiiviseksi reaaliluvuksi. Näin voidaan tehdä, koska vaiheella ei ole fysikaalista merkitystä. 12
17 ψ n (x) n=1 n=2 0 a n=3 x esittää niiden lineaarikombinaationa 21 f(x) = c n ψ n (x) = n=1 2 a n=1 ( ) nπ c n sin a x. (60) Kertoimet c n saadaan laskemalla c n = ψn(x)f(x)dx. (61) Kuva 5: Kolme alinta äärettömän potentiaalikuopan stationaarista tilaa Potentiaalikuopan sisällä Schrödingerin yhtälön ratkaisut ovat siis 2 ψ n (x) = a sin ( nπ a x). (57) Saimme siis äärettömän määrän ratkaisuja, jotka muistuttavat kitaran kieleen muodostuvia seisovia aaltoja, ja joilla jokaisella on oma energiansa. Energiat kasvavat kuin n 2. Alinta energiatilaa kutsutaan perustilaksi (ground state) ja ylempiä tiloja viritystiloiksi (excited states). Äärettömän potentiaalikuopan kaikkien stationaaristen tilojen joukolla {ψ n (x) n = 1, 2,...} on monta tärkeää ominaisuutta: Tilat ovat joko parillisia (ψ 2n+1 ) tai parittomia (ψ 2n ) kuopan keskipisteen suhteen. Tilan ψ n järjestysluku kertoo aaltofunktion nollakohtien määrän (= n 1). Tilat ovat ortogonaalisia, eli ψ m(x)ψ n (x)dx = δ nm, (58) missä δ nm = { 0, jos m n, 1, jos m = 0 (59) on symboli, jota kutsutaan Kroneckerin deltaksi (harjoitus). Stationaaristen tilojen joukko on täydellinen, eli mikä tahansa muu funktio f(x) voidaan Nämä neljä ominaisuutta eivät rajoitu pelkästään äärettömän potentiaalikuopan ratkaisuihin, vaan pätevät hyvin yleiselle joukolle potentiaaleja. Ensimmäinen ominaisuus on voimassa aina kun potentiaali on symmetrinen funktio (harjoitus). Toinen ominaisuus on voimassa kaikille potentiaaleille. Ortogonaalisuusehtoon palataan myöhemmin. Stationaaristen tilojen täydellisyys oletetaan käytännössä aina, mutta todistukset ovat usein työläitä. Stationaaristen tilojen aikakehitys on muotoa ( ) 2 nπ Ψ n (x, t) = a sin a x e i(n2 π 2 h/2ma 2 )t. (62) Siten ajasta riippuvan Schrödingerin yhtälön yleinen ratkaisu on muotoa Ψ(x, t) = ( 2 nπ c n )e a sin a x i(n2 π 2 h/2ma 2 )t. n=1 Kertoimet c n määräytyvät alkuehdosta laskemalla c n = Ψ(x, 0) = 2 a a 0 (63) c n ψ n (x) (64) n=1 ( ) nπ sin a x Ψ(x, 0)dx. (65) Esimerkki: Oletetaan, että hiukkanen on hetkellä t = 0 äärettömässä potentiaalikuopassa tilassa Ψ(x, 0) = Ax(a x), (66) 21 Tämä ei ole mitään muuta kuin mielivaltaisen funktion f(x) Fourier-sarja. Tulosta kutsutaan Dirichlet n teoreemaksi. 13
18 missä A on vakio. Etsitään seuraavassa Ψ(x, t). Ensin täytyy etsiä A normalisoimalla Ψ(x, 0): a 1 = Ψ(x, 0) 2 dx = A 2 a A = a 5. (67) 0 Sitten lasketaan kertoimet c n osittaisintegroimalla: 2 a ( ) nπ 30 c n = sin a a x x(a x)dx (68) a5 Siten Ψ(x, t) = 0 { =... = 30 a 0, n parillinen, 8 15/(nπ) 3 n pariton. (69) ( ) 3 2 (70) π i=1,3,5,... ( ) 1 nπ n 3 sin a x e in2 π 2 ht/2a 2. Luku c n 2 antaa todennäköisyyden sille, että energian mittaus antaa tuloksen E n. Aaltofunktion normalisointiehdosta seuraa luonnollinen tulos: c n 2 = 1. (71) n=1 Vastaavasti voidaan osoittaa, että Ĥ = c n 2 E n. (72) n=1 Toisin sanoen, kokonaisenergian odotusarvo ei riipu ajasta. Tämä on kvanttimekaninen versio energian säilymislaista Harmooninen värähtelijä Fysikaalisesti erittäin tärkeä esimerkki yksiulotteisesta potentiaalista on harmooninen värähtelijä. Tyyppiesimerkki koostuu massasta m joka on kiinnitetty jouseen, jonka jousivakio on k. Tällöin tasapainosta matkan x verran poikkeutettu massa-jousi - systeemi kokee palauttavan voiman, joka on Hooken 22 Huomaa, että energia on ennalta määrätty vain stationaarisessa tilassa. Yleisen superposition energiamittaus voidaan ennustaa vain todennäköisyyksien c n 2 avulla. lain muotoa: m d2 x = kx. (73) dt2 Kuten aikaisemmin totesimme (ja harjoituksissa osoitamme), tämän differentiaaliyhtälön ratkaisut ovat muotoa x(t) = A sin(ωt) + B cos(ωt), (74) missä ω = k/m on värähtelijän luonnollinen (kulma-) värähtelytaajuus. Koska F = dv/dx, niin potentiaalienergian V (x) täytyy olla muotoa V (x) = 1 2 kx2. (75) Harmoonisen värähtelijän potentiaalin käytännöllisyys ei rajoitu pelkästään jousiin. Tasapainossa minkä tahansa hiukkasen potentiaalienergia on (paikallisessa) minimissä 23. Jos hiukkasta poikkeutetaan vähän tasapaino pisteestään x 0, matkan x x 0 verran, sen potentiaalienergiaa voidaan approksimoida Taylorin kehitelmällä: V (x) = V (x 0 )+V (x 0 )(x x 0 )+ 1 2 V (x 0 )(x x 0 ) 2 +. (76) Yllä hylkäämme vakion V (x 0 ), koska se asettaa vain energian vertailutason. Myöskin V (x 0 ) = 0, sillä x 0 on potentiaalin minimikohta. Siten, jos poikkeamat (x x 0 ) ovat pieniä, voimme hylätä toista kertalukua korkeammat termit ja saamme V (x) 1 2 V (x 0 )(x x 0 ) 2. (77) Siten, jos merkitään k = V (x 0 ), näemme että käytännössä mikä tahansa pieniamplitudista värähtelyä potentiaalin minimin ympäristössä voidaan approksimoida yksinkertaisella harmoonisen värähtelijän potentiaalilla. Kvanttimekaniikkaan siirryttäessä kirjoitetaan yleensä V (x) = 1 2 mω2 x 2, (78) 23 Tarkasti ottaen hiukkanen asettuu sellaiseen paikkaan x 0, jossa dv/dx = 0, eli potentiaalienergian ääriarvokohtaan. Toisin sanoen, potentiaalin maksimikohdassakin voi olla tasapainopiste, mutta sellainen on hyvin epästabiili. 14
19 eli korvataan jousivakio värähtelytaajuudella. Siten saadaan ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö muotoon h2 d 2 ψ 2m dx mω2 x 2 = Eψ. (79) Tämän yhtälön ratkaisemiseksi on kaksi usein käytettyä vaihtoehtoa: algebrallinen ja Frobeniuksen menetelmät. Algebrallinen ratkaisu on yksinkertainen mutta erittäin abstrakti, jonka vuoksi sen käsittely jätetään Kvanttimekaniikka II -kurssiin. Käydään tässä läpi Frobeniuksen menetelmä, joka käyttää hyväksi potenssisarjoja 24. Frobeniuksen menetelmä Kirjoitetaan ensin Schrödingerin yhtälö yksiköttömään muotoon valitsemalla uudeksi paikkamuuttujaksi (harjoitus) ξ = mω x. (80) h Tällöin Schrödingerin yhtälö on muotoa d 2 ψ dξ 2 = (ξ2 K)ψ, (81) missä K on energia yksiköissä hω/2: K = 2E hω. (82) Tarkastellaan ensin asymptoottista rajaa (x todella suuri). Tällöin ξ 2 on paljon isompi kuin K, ja Schrödingerin yhtälöä voidaan approksimoida d 2 ψ dξ 2 = ξ2 ψ. (83) Tällä on approksimativiinen ratkaisu: ψ(ξ) = Ae ξ2 /2 + Be ξ2 /2. (84) 24 Tämä menetelmä on matemaattisesti hieman työläs. Ei kannata kuitenkaan antaa sen lannistaa, tärkeintä tässä vaiheessa on oppia Frobeniuksen menetelmän perusidea, ja erityisesti lopputulokset ja mitä ne merkitsevät. Jälkimmäinen termi ei ole fysikaalinen, koska se ei ole normalisoituva. Siten nähdään, että kaukana tasapainosta, aaltofunktio on verrannollinen funktioon e ξ2 /2. Tehdään sitten sellainen yrite Schrödingerin yhtälön yleiselle ratkaisulle, jolla on tämä asymptoottinen ominaisuus 25 ψ(ξ) = h(ξ)e ξ2 /2. (85) Sijoittamalla tämä Schrödingerin yhtälöön, saadaan differentiaaliyhtälö funktiolle h(ξ): d 2 h dh 2ξ + (K 1)h = 0. (86) dξ2 dξ Tätä yhtälöä kutsutaan Hermiten yhtälöksi ja sen ratkaisuja Hermiten polynomeiksi 26. Käydään seuraavassa läpi miten ratkaisu saadaan aikaiseksi. Jos voidaan olettaa, että h(ξ) on riittävän hyvin käyttäytyvä funktio, niin tällöin se voidaan kirjoittaa potenssisarjamuotoon h(ξ) = a 0 + a 1 ξ + a 2 ξ 2 + = a j ξ j. (87) j=0 Potenssisarjamuotoisen yritteen käyttämistä differentiaaliyhtälön ratkaisemisessa kutsutaan Frobeniuksen menetelmäksi. Derivoimalla yllä olevaa potenssisarjaa voidaan Hermiten yhtälö kirjoittaa muotoon [ ] (j+1)(j+2)aj+2 2ja j +(K+1)a j ξ j = 0. (88) j=0 Jotta tämä olisi voimassa kaikilla muuttujan ξ arvoilla, täytyy jokaisen potenssin ξ j kertoimen olla identtisesti nolla: (j + 1)(j + 2)a j+2 2ja j + (K + 1)a j = 0, (89) 25 Huomaa, että vaikka asymptoottinen käyttäytyminen kaivettiin vain approksimatiivisesti, tästä eteenpäin ratkaisu etenee eksaktisti. Toive on, että asymptoottisen osan erottaminen helpottaa jäljelle jäävän osan ratkaisemista. Tämä on yleinen tapa, kun etsitään potenssisarjamuotoista ratkaisua differentiaaliyhtälölle. 26 On erittäin hämmästyttävää, että Hermiten 1800-luvulla matemaattisesti tutkimat yhtälöt löytävät sovelluksia luvun kvanttimekaniikasta. 15
20 ja siten a j+2 = (2j + 1 K) (j + 1)(j + 2) a j. (90) Nähdään siis, että potenssisarjaesityksessä Schrödingerin yhtälö muuntuu rekursioyhtälöksi. Lisäksi kaikki parilliset termit a 2n voidaan lausua kertoimen a 0 avulla, ja vastaavasti parittomat termit kertoimen a 1 avulla. Siten koko ratkaisu voidaan kirjoittaa parillisten (even) ja parittomien (odd) funktioiden summana: missä funktiot h(ξ) = h e (ξ) + h o (ξ), (91) h e (ξ) = a 0 + a 2 ξ 2 + a 4 ξ 4 + (92) h o (ξ) = a 1 ξ + a 3 ξ 3 + a 5 ξ 5 + (93) ovat yksikäsitteisesti määriteltyjä, kun a 0 ja a 1 tunnetaan 27. Näin saadut ratkaisut eivät kuitenkaan kaikki ole normalisoituvia. Nimittäin, suurilla indeksin j arvoilla saadaan a j+2 2 j a j a j = C (j/2)!, (94) missä C on jokin vakio. Siten suurilla muuttujan ξ arvoilla h e/o (ξ) C 1 (j/2)! ξj C ξ 2j = Ce ξ2, j! j=e tai o j (95) missä ensimmäisessä summauksessa summataan joko yli parillisten tai parittomien indeksin j arvojen. Siten ψ(ξ) e ξ2 /2 kun ξ, (96) mikä on juuri se muoto jota emme ratkaisulta halunneet! 28 Ainoa keino kiertää tämä ongelma on, että vaaditaan, että funktion h potenssisarjaesitys katkeaa jollain indeksin j arvolla (merkitään sitä luvulla n) siten, että a n+2 = 0. Jos n on parillinen niin 27 Vastaavasti, toisen kertaluvun differentiaaliyhtälön (mitä Schrödingerin yhtälöllä yleisesti tarkoitetaan) ratkaisut ovat yksikäsitteisiä, jos meillä on esim. kaksi alkuarvoa. 28 Luonnollisesti Frobeniuksen menetelmä tuottaa myös ei-fysikaaliset ratkaisut, sillä normalisointiehto ei sisälly Schrödingerin yhtälöön. sarja h e katkeaa, ja jos n on pariton niin sarja h o katkeaa. Lisäksi täytyy vaatia, että a 1 = 0, jos n on parillinen ja a 0 = 0 jos n on pariton. Fysikaalisesti hyväksyttävät (siis normalisoituvat) ratkaisut ovat siis äärellisiä (joko parillisia tai parittomia) potenssisarjoja, eli polynomeja. Lisäksi katkaisuehdosta (a n+2 = 0) seuraa, että ( K = 2n + 1 E n = n + 1 ) hω, (97) 2 missä n = 1, 2,.... Yleisesti ottaen harmoonisen värähtelijän Schrödingerin yhtälöllä on kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua mielivaltaisella energian E arvolla. Vaatimus aaltofunktion normalisoituvuudesta rajoittaa siis fysikaalisesti sallittujen ratkaisujen määrää huimasti! Yllä saimme siis, että harmoonisen värähtelijän aaltofunktiot ovat joko parillisia tai parittomia polynomeja. Muodostetaan näistä pari ensimmäistä. Jos n = 0, niin täytyy valita a 1 = 0: h 0 (ξ) = a 0 ψ 0 (ξ) = a 0 e ξ2 /2. (98) Kun n = 1 ja a 0 = 0 (huomaa että jokaiselle luvun n arvolle on oma kertoimien a i joukko), niin saadaan: h 1 (ξ) = a 1 ξ ψ 1 (ξ) = a 1 ξe ξ2 /2. (99) Kun n = 2, saadaan a 2 = 2a 0 ja a 4 = 0, joten h 2 (ξ) = a 0 (1 2ξ 2 ) ψ 2 (ξ) = a 0 (1 2ξ 2 )e ξ2 /2, (100) ja niin edelleen. Funktiot h n (ξ) ovat siis kertalukua n olevia polynomeja, jotka sisältävät vain joko pelkästään parillisia (n parillinen) tai parittomia (n pariton) muuttujan ξ potensseja. Tavallisesti kerroin a 0 määritellään siten, että korkeimman potenssin kerroin on 2 n, jolloin polynomeja voidaan kutsua Hermiten polynomeksi, ja merkitä h n (ξ) = H n (ξ). Tämä valinta kiinnittää myös stationaaristen tilojen normalisoinnin: ψ n (ξ) = ( mω π h ) 1/4 1 2n n! H n(ξ)e ξ2 /2. (101) Listataan vielä lopuksi kuusi ensimmäistä Hermiten polynomia: H 0 = 1, (102) 16
Aikariippuva Schrödingerin yhtälö
Aineaaltodynamiikka Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit Aikariippuva Schrödingerin
LisätiedotVapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen)
Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen Vapaaseen hiukkaseen ei vaikuta voimia, joten U(x = 0. Vapaan hiukkasen energia on sen liike-energia eli E=p /m. Koska hiukkasella on määrätty energia,
LisätiedotTilat ja observaabelit
Tilat ja observaabelit Maksimaalinen informaatio systeemistä tietyllä ajanhetkellä sisältyy tilaan ψ (ket). Tila = vektori Hilbertin avaruudessa sisätulo ψ ψ C ψ c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 = c 1 ψ ψ 1 + c 2 ψ ψ
LisätiedotAineaaltodynamiikkaa
Aineaaltodynamiikkaa Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit = kuinka hiukkasen fysikaaliset
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5
Kvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5 February 4, 07 Tehtävä Oletetaan energian ominaisfunktiot φ n ortonormitetuiksi, dxφ nφ m = δ nm, jossa δ nm on Kroneckerin delta. Määritetään ensin superpositiotilan
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
Lisätiedotja KVANTTITEORIA MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA
ja KVANTTITEORIA 1 MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA Fysiikka WYP2005 ja KVANTTITEORIA 24.1.2006 WYP 2005
LisätiedotFysiikka 8. Aine ja säteily
Fysiikka 8 Aine ja säteily Sähkömagneettinen säteily James Clerk Maxwell esitti v. 1864 sähkövarauksen ja sähkövirran sekä sähkö- ja magneettikentän välisiä riippuvuuksia kuvaavan teorian. Maxwellin teorian
Lisätiedot3.6 Feynman s formulation of quantum mechanics
3.6 Feynman s formulation of quantum mechanics Course MAT-66000: Quantum mechanics and the particles of nature Ilkka Kylänpää Tampere University of Technology 14.10.2010 Sisältö Johdattelua Klassinen action
LisätiedotPotentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa
Potentiaalikuoppa Luento 9 Potentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa U( x ) = U U( x ) = 0 0 kun x < 0 tai x > L, kun 0 x L. Kuopan kohdalla hiukkanen on vapaa,
Lisätiedot5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA
5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA eli miten reunaehdot ja normitus vaikuttavat aaltofunktioihin Yleensä Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen matemaattisesti on hyvin työlästä ja edellyttää vahvaa matemaattista
LisätiedotKVANTTITEORIA MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA
KVANTTITEORIA 1 MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA Fysiikka KVANTTITEORIA Metso Tampere 13.11.2005 MODERNI
LisätiedotCh7 Kvanttimekaniikan alkeita. Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset.
Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset. Spinnittömät hiukkaset Hiukkasta kuvaa aineaaltokenttä eli aaltofunktio. Aaltofunktio riippuu
LisätiedotS Fysiikka III (EST) (6 op) 1. välikoe
S-114.1327 Fysiikka III (EST) (6 op) 1. välikoe 1.3.21 Ilkka Tittonen 1. Vastaa seuraaviin kysymyksiin perustellusti, mutta ytimekkäästi (esim. 5-1 lausetta) (2p per kohta). a) Mikä on sidottu tila? Anna
LisätiedotOsallistumislomakkeen viimeinen palautuspäivä on maanantai
Jakso : Materiaalihiukkasten aaltoluonne. Teoriaa näihin tehtäviin löytyy Beiserin kirjasta kappaleesta 3 ja hyvin myös peruskurssitasoisista kirjoista. Seuraavat videot demonstroivat vaihe- ja ryhmänopeutta:
Lisätiedotψ(x) = A cos(kx) + B sin(kx). (2) k = nπ a. (3) E = n 2 π2 2 2ma 2 n2 E 0. (4)
76A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 4 Kevät 214 1. Tehtävä: Yksinkertainen malli kovalenttiselle sidokselle: a) Äärimmäisen yksinkertaistettuna mallina elektronille atomissa voidaan pitää syvää potentiaalikuoppaa
LisätiedotAineen aaltoluonne. Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala. Kevät Harris luku 4. Mikro- ja nanotekniikan laitos
Aineen aaltoluonne Harris luku 4 Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Aineaallot Heisenbergin epätarkkuusperiaate Fourier-muunnos ja epätarkkuusperiaate Aineaaltojen
LisätiedotLisävaatimuksia aaltofunktiolle
Lisävaatimuksia aaltofunktiolle (1) Koska Ψ*Ψ on äärellinen => Ψ on äärellinen. () Koska P = Ψ*Ψdτ => Ψ on yksiselitteinen. (3) Ψ on jatkuva. (4) dψ/dτ on jatkuva. Esimerkki Epäkelpoja aaltofunktioita
LisätiedotKuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus
Kuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus värähtelytiheyden. 1 Funktiot ja aallot Aiemmin käsiteltiin funktioita ja miten niiden avulla voidaan kuvata fysiikan
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 7 Harjoitus 3: ratkaisut Tehtävä Tarkastellaan äärettömän syvässä laatikossa (väli [, L) olevaa hiukkasta. Kirjoita energiatiloja E n vastaavat aaltofunktiot muodossa ψ n (x,
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan
LisätiedotJ 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z.
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. Tarkastellaan pyörimismääräoperaattoria J, jonka komponentit toteuttavat kommutaatiorelaatiot [J x, J y ] = i hj z, [J y, J z ] = i hj x,
LisätiedotLuento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r
Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä θ F t m g F r 1 / 27 Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä 2 / 27 Johdanto Tarkastellaan jaksollista liikettä (periodic
Lisätiedot1. (a) (2p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B 7.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. a) p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori T ɛ) = iɛ h P. Osoita tämän avulla, että äärellistä siirtoa
LisätiedotKvanttimekaniikan perusteet
Kvanttimekaniikan perusteet Schrödingerin yhtälö Sironta potentiaaliaskeleesta Elektronitilat potentiaalikuopassa Harmoninen oskillaattori Tilatiheys lisää sirontailmiöistä Aineaaltokenttä ja todennäköisyystiheys
LisätiedotFYSA2031 Potentiaalikuoppa
FYSA2031 Potentiaalikuoppa Työselostus Laura Laulumaa JYFL YK216 laura.e.laulumaa@student.jyu.fi 16.10-2.11. 2017 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely ( 30 min) Harjoitellaan ohjelman käyttöä Harmoninen potentiaali
LisätiedotKvanttimekaniikka: Luento 2. Mar$kainen Jani- Petri
Kvanttimekaniikka: Luento 2 Mar$kainen Jani- Petri Assarointimainos Fyssa tarvitsee assareita Noin 30 euroa tun$+ lisiä tyypillises$ n. 4h/viikko, muba voi olla enemmän/vähemmän Opintosuoritukset+ lyhyt
Lisätiedot780392A/782631S Fysikaalinen kemia II, 5 op / 4 op
78392A/782631S Fysikaalinen kemia II, 5 op / 4 op Luennot: 5.9.-15.11.216 Ma klo 8-1 PR12 Ti klo 12-14 PR12 Risto Laitinen (22.2.-14.3.) Epäorgaanisen kemian tutkimusyksikkö (KE 313) PL 3 914 Oulun yliopisto
Lisätiedot1 WKB-approksimaatio. Yleisiä ohjeita. S Harjoitus
S-114.1427 Harjoitus 3 29 Yleisiä ohjeita Ratkaise tehtävät MATLABia käyttäen. Kirjoita ratkaisut.m-tiedostoihin. Tee tuloksistasi lyhyt seloste, jossa esität laskemasi arvot sekä piirtämäsi kuvat (sekä
LisätiedotS Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta
S-437 Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta 65007 Välikoeuusinnassa vastataan vain kolmeen tehtävään Kokeesta saatu pistemäärä kerrotaan tekijällä 5/3 Merkitse paperiin uusitko jommankumman välikokeen,
LisätiedotVärähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima.
Torstai 18.9.2014 1/17 Värähdysliikkeet Värähdysliikkeet ovat tyypillisiä fysiikassa: Häiriö oskillaatio Jaksollinen liike oskillaatio Yleisesti värähdysliikettä voidaan kuvata yhtälöllä q + f (q, q, t)
LisätiedotKlassisen fysiikan ja kvanttimekaniikan yhteys
Klassise fysiika ja kvattimekaiika yhteys Scrödigeri yhtälö ei statioäärisistä tiloista muodostuvie aaltopakettie aikakäyttäytymie oudattaa Newtoi lakeja. Newtoi mekaiikka voidaa johtaa Schrödigeri yhtälöstä.
LisätiedotSidotut tilat. Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala. Kevät Harris luku 5. Mikro- ja nanotekniikan laitos
Sidotut tilat Harris luku 5 Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Johdanto Tähän asti tutkittu aineaaltojen ominaisuuksia Seuraavaksi ryhdytään käyttämään aineaaltoja
LisätiedotFYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti
FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella
LisätiedotKVANTTIMEKANIIKKA I Johdatus alkuaineiden jaksolliseen järjestelmään A/S
KVANTTIMEKANIIKKA I Johdatus alkuaineiden jaksolliseen järjestelmään 76331A/S Mikko Saarela 13. elokuuta 013 Oppimateriaali Cohen-Tannoudji, Diu ja Laloë: Quantum Mechanics (volume one), 1977 Powell &
Lisätiedot3. MATERIALISTISTEN HIUKKASTEN AALTOLUONNE
3. MATERIALISTISTEN HIUKKASTEN AALTOLUONNE 3.1. DE BROGLIE AALLOT 1905: Aaltojen hiukkasominaisuudet 1924: Hiukkasten aalto-ominaisuudet: de Broglien hypoteesi Liikkuvat hiukkaset käyttäytyvät aaltojen
LisätiedotTodennäköisyys ja epämääräisyysperiaate
Todennäköisyys ja epämääräisyysperiaate Luento 7 Hiukkas-aaltodualismi vaatii uudenlaisen kielenkäytön omaksumista kuvaamaan iukkasten liikettä ja paikkaa. Newtonin mekaniikassa iukkanen on aina jossain
LisätiedotVoima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen
Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen Mene osoitteeseen presemo.helsinki.fi/kontro ja vastaa kysymyksiin Tavoitteena tällä luennolla Miten määritetään voima kun potentiaalienergia U(x,y,z)
LisätiedotKvantittuminen. E = hf f on säteilyn taajuus h on Planckin vakio h = 6, Js = 4, evs. Planckin kvanttihypoteesi
Kvantittuminen Planckin kvanttihypoteesi Kappale vastaanottaa ja luovuttaa säteilyä vain tietyn suuruisina energia-annoksina eli kvantteina Kappaleen emittoima säteily ei ole jatkuvaa (kvantittuminen)
Lisätiedot1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria
Kvanttimekaniikka I, tentti 6.. 015 4 tehtävää, 4 tuntia 1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria ( { ( ( } E iδ H =, E, δ R, kannassa B = 1 =, =. iδ E 0 1 (a (p.
LisätiedotH7 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan
LisätiedotFYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö
FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö Jari Partanen, Jani Komppula JYFL FL246, S118 japapepa@jyu.fi, jani.komppula@jyu.fi 13. lokakuuta 2014 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely (15-30 min) Harjoitellaan
Lisätiedot1240eV nm. 410nm. Kun kappaleet saatetaan kontaktiin jännite-ero on yhtä suuri kuin työfunktioiden erotus ΔV =
S-47 ysiikka III (ST) Tentti 88 Maksimiaallonpituus joka irroittaa elektroneja metallista on 4 nm ja vastaava aallonpituus metallille on 8 nm Mikä on näiden metallien välinen jännite-ero? Metallin työfunktio
LisätiedotTfy Fysiikka IIB Mallivastaukset
Tfy-.14 Fysiikka B Mallivastaukset 14.5.8 Tehtävä 1 a) Lenin laki: Muuttuvassa magneettikentässä olevaan virtasilmukkaan inusoitunut sähkömotorinen voima on sellainen, että siihen liittyvän virran aiheuttama
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
LisätiedotFYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö
FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö Jari Partanen, Jani Komppula JYFL FL246, S118 japapepa@jyu.fi, jani.komppula@jyu.fi 16. lokakuuta 2013 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely (15-30 min) Harjoitellaan
LisätiedotBM30A0240, Fysiikka L osa 4
BM30A0240, Fysiikka L osa 4 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Young & Freedman: University Physics Luku 14 - Periodic motion Luku 15 - Mechanical waves Luku 16 - Sound and hearing Muuta - Diffraktio,
Lisätiedot1 Aaltofunktio, todennäköisyystulkinta ja normitus
KEMA5 syksy 16 Kertausta keskeisistä asioista 1 Aaltofunktio, todennäköisyystulkinta ja normitus Kvanttimekaniikassa tarkasteltavaa systeemiä kuvaa aaltofunktio ψ. Aaltofunktio on puhtaan matemaattinen
Lisätiedotinfoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1
infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.
LisätiedotBraggin ehdon mukaan hilatasojen etäisyys (111)-tasoille on
763343A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 2 Kevät 2018 1. Tehtävä: Kuparin kiderakenne on pkk. Käyttäen säteilyä, jonka aallonpituus on 0.1537 nm, havaittiin kuparin (111-heijastus sirontakulman θ arvolla
LisätiedotZ 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2
766328A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 24). Klassisen ideaalikaasun partitiofunktio on luentojen mukaan Z N! [Z (T, V )] N, (9.) missä yksihiukkaspartitiofunktio Z (T, V ) r e βɛr.
LisätiedotMustan kappaleen säteily
Mustan kappaleen säteily Musta kappale on ideaalisen säteilijän malli, joka absorboi (imee itseensä) kaiken siihen osuvan säteilyn. Se ei lainkaan heijasta eikä sirota siihen osuvaa säteilyä, vaan emittoi
LisätiedotNyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot
S-1146 Fysiikka V (ES) Tentti 165005 1 välikokeen alue 1 a) Rubiinilaserin emittoiman valon aallonpituus on 694, nm Olettaen että fotonin emissioon tällä aallonpituudella liittyy äärettömän potentiaalikuopan
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
LisätiedotShrödingerin yhtälön johto
Shrödingerin yhtälön johto Tomi Parviainen 4. maaliskuuta 2018 Sisältö 1 Schrödingerin yhtälön johto tasaisessa liikkeessä olevalle elektronille 1 2 Schrödingerin yhtälöstä aaltoyhtälöön kiihtyvässä liikkeessä
LisätiedotKvanttimekaniikan tulkinta
Kvanttimekaniikan tulkinta 20.1.2011 1 Klassisen ja kvanttimekaniikan tilastolliset formuloinnit 1.1 Klassinen mekaniikka Klassisen mekaniikan systeemin tilaa kuvaavat kappaleiden koordinaatit ja liikemäärät
LisätiedotBM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Lisätiedot(1) (2) Normalisointiehdoksi saadaan nytkin yhtälö (2). Ratkaisemalla (2)+(3) saamme
S-446 Fysiikka IV (Sf) Tentti 3934 Oletetaan, että φ ja φ ovat ajasta riippumattoman Scrödingerin yhtälön samaan ominaisarvoon E liittyviä ominaisfunktioita Nämä funktiot ovat normitettuja, mutta eivät
LisätiedotTILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta)
TILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta) Kvanttimekaniikassa yhden hiukkasen systeemin täydellisen kuvauksen antaa tilavektori, joka on
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys12 Kevät 21 Jukka Maalampi LUENTO 11 Mekaaninen aaltoliike alto = avaruudessa etenevä järjestäytynyt häiriö. alto altoja on kahdenlaisia: Poikittainen aalto - poikkeamat kohtisuorassa
LisätiedotYdin- ja hiukkasfysiikka 2014: Harjoitus 5 Ratkaisut 1
Ydin- ja hiukkasfysiikka 04: Harjoitus 5 Ratkaisut Tehtävä a) Vapautunut energia saadaan laskemalla massan muutos reaktiossa: E = mc = [4(M( H) m e ) (M( 4 He) m e ) m e ]c = [4M( H) M( 4 He) 4m e ]c =
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotLuku 9: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin:
Luku 9: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin: Translaatioliike (hiukkanen laatikossa) Rotaatio eli pyörimisliike Vibraatio eli värähdysliike 1 Vapaan hiukkasen (V =0) Schrödingerin yhtälön
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotLiikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima
Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima Tämän luennon tavoitteet Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat ja binomiapproksimaatio gravitaatio jatkuu viime viikolta Jousivoima: mikä se on ja miten
LisätiedotAatofunktiot ja epätarkkuus
Aatofunktiot ja epätarkkuus Aaltofunktio sisältää tiedon siitä, millä todennäköisyydellä hiukkanen on missäkin avaruuden pisteessä. Tämä tunnelointimikroskoopilla grafiitista otettu kuva näyttää elektronin
Lisätiedotkolminkertaisesti tehtäviä tavallisiin harjoituksiin verrattuna, voi sen kokonaan tekemällä saada suunnilleen kolmen tavallisen harjoituksen edestä
Matematiikkaa kemisteille, kevät 2013 Ylimääräisiä laskuharjoituksia Tällä laskuharjoituksella voi korottaa laskuharjoituspisteitään, mikäli niitä ei ole riittävästi kurssin läpäisemiseen, tai vaihtoehtoisesti
Lisätiedot4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
Lisätiedot766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka
1 76633A Ydin- ja hiukkasfysiikka Luentomonistetta täydentävää materiaalia: 3 5-3 Kuorimalli Juhani Lounila Oulun yliopisto, Fysiikan laitos, 011 Kuva 7-13 esittää, miten parillis-parillisten ydinten ensimmäisen
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. d! df(x) $ dx " # dx % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-
LisätiedotJatko-opintoseminaari Kevyttä johdattelua kvanttimekaniikkaan: Tila-avaruus. Petteri Laakkonen
Jatko-opintoseminaari 21-211 Kevyttä johdattelua kvanttimekaniikkaan: Tila-avaruus Petteri Laakkonen 23.9.21 Tämä teksti on tiivistelmä kirjan [1] luvun 2 tekstistä. Pyrkimyksenä on esittää perustellusti
LisätiedotLuento 15: Mekaaniset aallot. Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus väliaineessa Energia Aallon heijastuminen Seisovat aallot
Luento 15: Mekaaniset aallot Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus väliaineessa Energia Aallon heijastuminen Seisovat aallot 1 / 40 Luennon sisältö Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus väliaineessa
Lisätiedot25 INTERFEROMETRI 25.1 Johdanto
5 INTERFEROMETRI 5.1 Johdanto Interferometrin toiminta perustuu valon interferenssiin. Interferenssillä tarkoitetaan kahden tai useamman aallon yhdistymistä yhdeksi resultanttiaalloksi. Kuvassa 1 tarkastellaan
LisätiedotAINEAALTODYNAMIIKKA...105
AINEAALTODYNAMIIKKA...105 3.1 Aikariippuva Schrödingerin yhtälö... 105 3.1.1 Stationääriset tilat... 108 3.1.. Ei-stationääriset tilat... 109 3.1.3 Aaltofunktioon liittyvä todennäköisyysvirta... 113 3.1.4
LisätiedotLuku 8. Mekaanisen energian säilyminen. Konservatiiviset ja eikonservatiiviset. Potentiaalienergia Voima ja potentiaalienergia.
Luku 8 Mekaanisen energian säilyminen Konservatiiviset ja eikonservatiiviset voimat Potentiaalienergia Voima ja potentiaalienergia Mekaanisen energian säilyminen Teho Tavoitteet: Erottaa konservatiivinen
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan
LisätiedotPHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA
PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 206 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 2: BE- ja FD-jakaumat, kvanttikaasut Pe 5.4.206 AIHEET. Kvanttimekaanisesta vaihtosymmetriasta
LisätiedotJakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina
Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina 31.5.2012. T 6.1 (pakollinen): Massa on kiinnitetty pystysuoran jouseen. Massaa poikkeutetaan niin, että se alkaa värähdellä.
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotAtomimallit. Tapio Hansson
Atomimallit Tapio Hansson Atomin käsite Atomin käsite on peräisin antiikin Kreikasta. Filosofi Demokritos päätteli (n. 400 eaa.), että äärellisen maailman tulee koostua äärellisistä, jakamattomista hiukkasista
Lisätiedot17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.
99 17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Differentiaaliyhtälön x'(t) = f(x(t),t), x(t) n määrittelemän systeemin sanotaan olevan autonominen, jos oikea puoli ei eksplisiittisesti riipu
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden
Lisätiedot766326A Atomifysiikka 1 - Syksy 2013
766326A Atomifysiikka 1 - Syksy 2013 Luennot n. 46 tuntia Torstaisin 8-10 sali IT116 Perjantaisin 8-10 sali L6 Poikkeuksia: to 19.9. luento vain 8-9 to 17.10. luento vain 8-9 to 14.11. luento vain 8-9
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
LisätiedotLuento 11: Periodinen liike
Luento 11: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä θ F t m g F r Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä Johdanto Tarkastellaan
Lisätiedotx 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1
LisätiedotLuento 13: Periodinen liike
Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä ~F t m~g ~F r ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos Ajankohtaista
Lisätiedot766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka
1 766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka Luentomonistetta täydentävää materiaalia: 4 Juhani Lounila Oulun yliopisto, Fysiikan laitos, 01 6 Radioaktiivisuus Kuva 1 esittää radioaktiivisen aineen ydinten lukumäärää
LisätiedotVEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4
VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 Jokaisen tehtävän jälkeen on pieni kommentti tehtävään liittyen Nämä eivät sisällä mitään kovin kriittistä tietoa tehtävään liittyen, joten niistä ei tarvitse välittää
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
Lisätiedot6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.
1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun
LisätiedotMikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1
76628A Termofysiikka Harjoitus no. 4, ratkaisut (syyslukukausi 204). (a) Systeemi koostuu neljästä identtisestä spin- -hiukkasesta. Merkitään ylöspäin olevien spinien lukumäärää n:llä. Systeemin mahdolliset
LisätiedotBohr Einstein -väittelyt. Petteri Mäntymäki Timo Kärkkäinen
Bohr Einstein -väittelyt Petteri Mäntymäki Timo Kärkkäinen Esityksen sisältö Kvanttivallankumous Epätarkkuusperiaate Väittelyt Yhteenveto 24.4.2013 2 Kvanttivallankumous Alkoi 1900-luvulla (Einstein, Planck,
LisätiedotKvanttimekaniikka. Tapio Hansson
Kvanttimekaniikka Tapio Hansson Kummallinen teoria Kvanttimekaniikka on teoria, jota ei ehkä edes kannata yrittää "käsittää". Arkijärjellä ei tee kvanttimaailmassa juuri mitään. Luonto toimii kuten toimii,
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / 16. 18.5. Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x
LisätiedotInfrapunaspektroskopia
ultravioletti näkyvä valo Infrapunaspektroskopia IHMISEN JA ELINYMPÄ- RISTÖN KEMIAA, KE2 Kertausta sähkömagneettisesta säteilystä Sekä IR-spektroskopia että NMR-spektroskopia käyttävät sähkömagneettista
LisätiedotLuento 11: Periodinen liike
Luento 11: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä ~F t m~g ~F r Konseptitesti 1 Tehtävänanto Kuvassa on jouseen kytketyn massan sijainti ajan funktiona. Kuvaile
LisätiedotYhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014
Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
Lisätiedot