PHYS-C0210 Kvanttimekaniikka Exercise 2, extra challenges, week 45

Transkriptio

1 PHYS-C0210 Kvanttimekaniikka Exercise 2, extra challenges, week Dirac delta-function is an eigenstate of the position operator. I.e. you get such a wavefunction from an infinitely precise measurement of position (peak position of the Dirac delta-function is the measurement outcome). Dirac distribution can be represented in terms of a normal distribution whose width is pushed to zero (x) = lim!0 + Ce x 2 /(4 ). (1) Using the property R 11 (x)dx = 1, determine C. If wavefunction would be (x) = (x), explore if it is correctly normalized. How should we inteprete (x) 2 here? What does this have to do with the probability of finding particle at x = 0? What about planewave solution(which is an eigenstate of momentum operator) (x) = exp(ikx)/ p 2? What does (x) 2 then have to do with the probability of finding a particle in some region of space? 2. Convince yourself why time-dependent Schrödinger equation is first order in time and why there is an imaginary term in front of the time-derivative. (Liboff page 87 Ex and 3.21) Time-dependent Schödinger equation is of = Ĥ (2) where a is some constant. Assume a system with two independent parts so that H(x 1, x 2 )= H 1 (x 1 )+H 2 (x 2 ), 1 (x 1, t) and 2 (x 2, t) are states of systems 1 and 2 respectively. a) Show that the states of the combined system that have the form (x 1, x 2 )= 1 (x 1, t) 2 (x 2, t) solve the Schrödinger equation b) Show that this would not be true if Schrödinger equation would be of 2 = Ĥ. (3) c) Based on Born posulate argue that the wavefunction of the system made from independent parts must have the product form (i.e. argue for first order time-derivative in the Schrödinger equation). d) Show that the equation = Ĥ implies oskillating solutions only if a is purely imaginary. You can assume one particle so that H = H 1 (x 1 ) and explore the time-evolution of the energy eigenstates. (Note: if a is imaginary, then also the wavefunction must be complex in general)

2 3. Schrödinger equation emerges from the Hamiltonian H = T + V of classical mechanics. We enter quantum mechanics with substitutions x! ˆx, H! Ĥ = i p! ˆp = i and multiplying with the wavefunction (x, t). Let us do the same from a relativistic starting point. a) Derive the relativistic relation between energy and momentum E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4. b) Turn this into quantum mechanical expression. c) From the same starting point, is it possible to form two expressions, one with firstorder time derivative and another with second order time-derivative? Tip: H = E = mc 2 = m 0 c 2, where m is the particle mass, m 0 is the rest mass, and q =1/ 1 v 2 c 2 Lorentz factor. Not to be returned and these will not be graded. Intended for those aiming a bit deeper than usual in this course.

3

4

5

6 mukaan se, ettei se saa ehtiä ulos ytimestä edes liikkuessaan valonnopeudella. Tällöin hän sai epätarkkuusperiaatteesta hiukkasen energian ja pystyi suhteellisuusteorian avulla laskemaan sen massan. Vastaavan massainen hiukkanen löytyi ennenpitkää kokeellisesti, joten oliko vahva vuorovaikutus nyt selitetty? Malliratkaisu Ei välttämättä, sillä epätarkkuusperiaatehan on epäyhtälö, joka voi antaa korkeintaan ylärajan hiukkasen massalle. Voi olla myös sattumaa että menetelmällä ennustettu massa ylipäätään vastaa minkään hiukkasen massaa. Lisätietoa: tehtävä perustuu itse asiassa tositapahtumiin, ja kyseisen hiukkasen on sittemin todettu olevan jotain aivan muuta kuin vahvan vuorovaikutuksen välittäjä. Nykyisessä standardimallissa vahva vuorovaikutus selitetäänkin massattomaksi teoretisoidulla gluonilla ja lyhyelle kantamalle on keksitty aivan muita selityksiä kuin epätarkkuusperiaatteesta johtuva elinikärajoite. 3 Relativistinen kvanttimekaniikka Schrödingerin yhtälö edustaa klassisen mekaniikan lauseketta H = T + V, eli yksinkertaistettuna kokonaisenergia on liike-energian ja potentiaalienergian summa. Lausekkeesta tehdään sitten kvanttia sijoittamalla siihen x! ˆx, H! Ĥ ja p! ˆp sekä kertomalla se aaltofunktiolla (x, t). Tehdään nyt sama temppu suhteellisuusteoreettisista lähtökohdista. a) Johda relativistinen liikemäärän ja energian relaatio E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4. b) Tee johtamastasi relaatiosta kvanttimekaaninen lauseke. c) Onko samasta lähtökohdasta mahdollista muodostaa kaksi lauseketta, joista toinen on ensimmäistä ja toinen toista kertalukua ajan derivaatan suhteen? Vinkki: zh = E = mc 2 = m 0 c 2,missämon hiukkasen liikemassa, m 0 lepo- q massa ja = 1/ Malliratkaisu a) 1 v 2 c 2 Lorentzin kerroin. E = m 0 c 2 () 2 E 2 = 2 m 2 0c 4 E 2 = (1 v 2 /c 2 )E 2 = m 2 0c v 2 /c 2 m2 0c 4 E 2 E 2 v 2 /c 2 = m 2 0c 4 E = mc 2 E 2 m 2 v 2 c 2 = m 2 0c 4 mv = p 2 E 2 = p 2 c 2 + m 2 0c 4 b) Tarkastellaan vain 1-D ongelmaa p = p x ja tehdään tavanomaiset sijoitukset p x! ˆp ja E! Ĥ sekä kertomalla puolittain oikealta 4

7 aaltofunktiolla (x, t) (operaattoreidenhan täytyy aina operoida johonkin tai lausekkeessa ei ole järkeä!), jolloin (a) -kohdan tuloksesta 2 (x, t) = 2 c 2 (x, t)+m 0c 4 (x, t) (x, t) 2 c2 (x, t)+m 2 0c 4 (x, t) c 2 2 (x, t) 0c 2 =m2 (x, t) ~ 2 Tämä yhtälö on toista kertalukua ajan derivaatan suhteen ja tunnetaan Klein- Gordonin yhtälönä. c) Jos tarkastellaan 3-D jolloin 2 i c 2 r2 = + i mikäli A, B, C ovat matriiseja, joille pätee ja A 2 = B 2 = C 2 = I [A, B] =0, [A, C] =0, [B,C] =0. Nyt Klein-Gordonin yhtälö saadaankin muotoon mistä voidaan päätellä (x, t) = m2 0c 2 (x, ~ (x, t) = m 0c ~ (x, t). Tämä tulos tunnetaan Diracin yhtälönä, joskin tämä muoto on varsin vanhanaikainen ja useimmiten yhtälöä käsitellään relativistisille tarkasteluille tavanomaiseen tapaan tensorinotaatiolla, jolloin se yksinkertaistuu muotoon (i~ µ mc) = 0. 5

8 Lisätietoa: relativistisessa kvanttimekaniikassa on kolme Schrödingerin yhtälöä vastaavaa liikeyhtälöä: Klein-Gordon, Dirac ja Proca. Se, mitä näistä kulloinkin tulee käyttää, riippuu kyseisen hiukkasen spin-kvanttiluvusta. Aina niin mystiseltä vaikuttava spin taitaa siis liittyä jotenkin perustavanlaatuisesti hiukkasen luonteeseen, hmm... 6