Johdatus L A TEXiin. 6. Omat komennot ja lauseympäristöt Markus Harju. Matemaattiset tieteet
|
|
- Arto Sala
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Johdtus L A TEXiin 6. Omt komennot j luseympäristöt Mrkus Hrju Mtemttiset tieteet
2 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (2/10) Omt komennot I L A TEXin vlmiiden komentojen lisäksi kirjoittj voi itse määritellä omi komentojn.
3 Omt komennot I L A TEXin vlmiiden komentojen lisäksi kirjoittj voi itse määritellä omi komentojn. Tämä tehdään esittelyosss \newcommnd komennoll, jonk perusmuoto on \newcommnd{\kom}{mr} missä \kom on uusi, määriteltävä komento j mr sen määrittely. 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (2/10)
4 Omt komennot I L A TEXin vlmiiden komentojen lisäksi kirjoittj voi itse määritellä omi komentojn. Tämä tehdään esittelyosss \newcommnd komennoll, jonk perusmuoto on \newcommnd{\kom}{mr} missä \kom on uusi, määriteltävä komento j mr sen määrittely. Esim. (huom välistys tulostettess) \newcommnd{\kom}{mun komento} \begin{document} \kom\kom\kom Mun komentomun komentomun komento 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (2/10)
5 Omt komennot I L A TEXin vlmiiden komentojen lisäksi kirjoittj voi itse määritellä omi komentojn. Tämä tehdään esittelyosss \newcommnd komennoll, jonk perusmuoto on \newcommnd{\kom}{mr} missä \kom on uusi, määriteltävä komento j mr sen määrittely. Esim. (huom välistys tulostettess) \newcommnd{\kom}{mun komento} \begin{document} \kom\kom\kom Mun komentomun komentomun komento Mhdollist lyhennysmerkinnät j ns. prmetrisoinnit 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (2/10)
6 . Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (3/10) Omt komennot II Komennon määrittely voi sisältää myös mtemtiikk. Esim. \newcommnd{\z}{\mthbb{z}} \begin{document} $k\in\z$ k Z
7 Omt komennot II Komennon määrittely voi sisältää myös mtemtiikk. Esim. \newcommnd{\z}{\mthbb{z}} \begin{document} $k\in\z$ k Z Huom, että yo. komento pitää käyttää mtemtiikktilss.. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (3/10)
8 Omt komennot II Komennon määrittely voi sisältää myös mtemtiikk. Esim. \newcommnd{\z}{\mthbb{z}} \begin{document} $k\in\z$ k Z Huom, että yo. komento pitää käyttää mtemtiikktilss. Komento \ensuremth vrmist, että sen rgumentti käsitellään mtemtiikktilss. Esim. \newcommnd{\z}{\ensuremth{\mthbb{z}}} \begin{document} Sekä $\Z$ että \Z{} toimivt. Sekä Z että Z toimivt.. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (3/10)
9 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (4/10) Omt komennot III Omtkin komennot voivt vstnott rgumenttej. Tätä vrten komento pitää määritellä muodoss \newcommnd{\kom}[n]{mr} missä n ilmoitt rgumenttien lukumäärän (1-9).
10 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (4/10) Omt komennot III Omtkin komennot voivt vstnott rgumenttej. Tätä vrten komento pitää määritellä muodoss \newcommnd{\kom}[n]{mr} missä n ilmoitt rgumenttien lukumäärän (1-9). Argumentteihin viittn määrittelyssä merkinnällä #k, missä k= 1, 2,..., n.
11 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (4/10) Omt komennot III Omtkin komennot voivt vstnott rgumenttej. Tätä vrten komento pitää määritellä muodoss \newcommnd{\kom}[n]{mr} missä n ilmoitt rgumenttien lukumäärän (1-9). Argumentteihin viittn määrittelyssä merkinnällä #k, missä k= 1, 2,..., n. Esim. komento normille yhdellä rgumentill: \newcommnd{\norm}[1]{\left\ #1\right\ } \begin{document} $\norm{f+g}\leq\norm{f}+\norm{g}$ f + g f + g
12 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (4/10) Omt komennot III Omtkin komennot voivt vstnott rgumenttej. Tätä vrten komento pitää määritellä muodoss \newcommnd{\kom}[n]{mr} missä n ilmoitt rgumenttien lukumäärän (1-9). Argumentteihin viittn määrittelyssä merkinnällä #k, missä k= 1, 2,..., n. Esim. komento normille yhdellä rgumentill: \newcommnd{\norm}[1]{\left\ #1\right\ } \begin{document} $\norm{f+g}\leq\norm{f}+\norm{g}$ f + g f + g Mhdollisille vlinnisille rgumenteille voi nt oletusrvon muodoll: \newcommnd{\kom}[n][oletusrvo]{mr}
13 Omt komennot III Omtkin komennot voivt vstnott rgumenttej. Tätä vrten komento pitää määritellä muodoss \newcommnd{\kom}[n]{mr} missä n ilmoitt rgumenttien lukumäärän (1-9). Argumentteihin viittn määrittelyssä merkinnällä #k, missä k= 1, 2,..., n. Esim. komento normille yhdellä rgumentill: \newcommnd{\norm}[1]{\left\ #1\right\ } \begin{document} $\norm{f+g}\leq\norm{f}+\norm{g}$ f + g f + g Mhdollisille vlinnisille rgumenteille voi nt oletusrvon muodoll: \newcommnd{\kom}[n][oletusrvo]{mr} Jo olemss olevn komennon uudelleen määrittely tphtuu \renewcommnd komennoll vstvll tvll. 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (4/10)
14 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (5/10) Lskureist I L A TEX pitää kirj lukujen, osioiden, yhtälöiden, sivujen yms. numeroinnist ns. lskureiden vull
15 Lskureist I L A TEX pitää kirj lukujen, osioiden, yhtälöiden, sivujen yms. numeroinnist ns. lskureiden vull Keskeisimmät näistä lskureist ovt: prt pge enumi chpter eqution enumii section figure enumiii subsection tble enumiv subsubsection 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (5/10)
16 Lskureist I L A TEX pitää kirj lukujen, osioiden, yhtälöiden, sivujen yms. numeroinnist ns. lskureiden vull Keskeisimmät näistä lskureist ovt: prt pge enumi chpter eqution enumii section figure enumiii subsection tble enumiv subsubsection Näistä enumx pitävät kirj numeroidun listn (enumerte) neljästä eri tsost. Muut lskurit ovt itsestäänselviä. 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (5/10)
17 Lskureist I L A TEX pitää kirj lukujen, osioiden, yhtälöiden, sivujen yms. numeroinnist ns. lskureiden vull Keskeisimmät näistä lskureist ovt: prt pge enumi chpter eqution enumii section figure enumiii subsection tble enumiv subsubsection Näistä enumx pitävät kirj numeroidun listn (enumerte) neljästä eri tsost. Muut lskurit ovt itsestäänselviä. Lskurin (sen hetkisen) rvon voi tulost näkyviin komennoill: \rbic{lskuri} 1,2,3,... \lph{lskuri},b,c,... \romn{lskuri} i,ii,iii,... \Alph{lskuri} A,B,C,... \Romn{lskuri} I,II,III,... \lskuri 1,2,3, Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (5/10)
18 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (6/10) Lskureist II Lskurin rvon voi sett komennoll \setcounter{lskuri}{num} jok sett lskurin rvoksi kokonisluvun num.
19 Lskureist II Lskurin rvon voi sett komennoll \setcounter{lskuri}{num} jok sett lskurin rvoksi kokonisluvun num. Lskurin rvo voi siirtää ylös ti lspäin komennoll \ddtocounter{lskuri}{num} jok ksvtt (vähentää) lskurin rvo kokonisluvull num, jos num on positiivinen (negtiivinen). 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (6/10)
20 Lskureist II Lskurin rvon voi sett komennoll \setcounter{lskuri}{num} jok sett lskurin rvoksi kokonisluvun num. Lskurin rvo voi siirtää ylös ti lspäin komennoll \ddtocounter{lskuri}{num} jok ksvtt (vähentää) lskurin rvo kokonisluvull num, jos num on positiivinen (negtiivinen). Uusi lskureit voi tehdä komennoll \newcounter{lskuri} 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (6/10)
21 Luseympäristöt I Luseiden, lemmojen, yms. ltomist vrten knntt luod omi ns. luseympäristöjä. 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (7/10)
22 Luseympäristöt I Luseiden, lemmojen, yms. ltomist vrten knntt luod omi ns. luseympäristöjä. Tämä tehdään esittelyosss msthm pketin komennoll \newtheorem{nimi}{otsikko}. 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (7/10)
23 Luseympäristöt I Luseiden, lemmojen, yms. ltomist vrten knntt luod omi ns. luseympäristöjä. Tämä tehdään esittelyosss msthm pketin komennoll \newtheorem{nimi}{otsikko}. Esim. omn luseympäristön luominen j käyttö tphtuu komennoill: (hksulkujen käyttö vlinnist) \usepckge{msthm} \newtheorem{luse}{luse} \begin{document} \begin{luse}[alkulukuluse] Alkulukuj on äärettömän mont. \end{luse} Luse 1 (Alkulukuluse). Alkulukuj on äärettömän mont. 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (7/10)
24 Luseympäristöt I Luseiden, lemmojen, yms. ltomist vrten knntt luod omi ns. luseympäristöjä. Tämä tehdään esittelyosss msthm pketin komennoll \newtheorem{nimi}{otsikko}. Esim. omn luseympäristön luominen j käyttö tphtuu komennoill: (hksulkujen käyttö vlinnist) \usepckge{msthm} \newtheorem{luse}{luse} \begin{document} \begin{luse}[alkulukuluse] Alkulukuj on äärettömän mont. \end{luse} Luse 1 (Alkulukuluse). Alkulukuj on äärettömän mont. Tässä luodn ympäristö nimeltään luse, jonk otsikko on in "Luse" j jok numeroidn utomttisesti. Huom, että luseen tekstios tulostuu kursiivill. 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (7/10)
25 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (8/10) Luseympäristöt II Numerointi voi säädellä ntmll määrittelyssä lskurin vlinnisen rgumenttin. Esim. \newtheorem{luse}{luse}[section] luo luseympäristön, jok numeroi luseet 1.1, 1.2, 1.3,... osion (section) 1 sisällä.
26 Luseympäristöt II Numerointi voi säädellä ntmll määrittelyssä lskurin vlinnisen rgumenttin. Esim. \newtheorem{luse}{luse}[section] luo luseympäristön, jok numeroi luseet 1.1, 1.2, 1.3,... osion (section) 1 sisällä. Muodoll \newtheorem{lemm}[luse]{lemm} puolestn luodn lemm niminen ympäristö, jok käyttää sm lskuri kuin luse ympäristö. Tällöin \begin{luse}...\end{luse} \begin{lemm}...\end{lemm} \begin{luse}...\end{luse} tekee: Luse 1.1, Lemm 1.2, Luse Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (8/10)
27 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (9/10) Luseympäristöt III Komennoll \theoremstyle{tyyli} setetn sen jälkeen määriteltävien luseympäristöjen tyyli, missä tyyli on joko plin, definition ti remrk.
28 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (9/10) Luseympäristöt III Komennoll \theoremstyle{tyyli} setetn sen jälkeen määriteltävien luseympäristöjen tyyli, missä tyyli on joko plin, definition ti remrk. Esim. (ääkköset eivät sllittuj ympäristön nimissä) \theoremstyle{definition} \newtheorem{mr}{määritelmä} tekee määritelmille mr nimisen ympäristön, joss tekstios ei ole kursiivill (vrt. plin tyyli luseille).
29 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (9/10) Luseympäristöt III Komennoll \theoremstyle{tyyli} setetn sen jälkeen määriteltävien luseympäristöjen tyyli, missä tyyli on joko plin, definition ti remrk. Esim. (ääkköset eivät sllittuj ympäristön nimissä) \theoremstyle{definition} \newtheorem{mr}{määritelmä} tekee määritelmille mr nimisen ympäristön, joss tekstios ei ole kursiivill (vrt. plin tyyli luseille). Vstvsti \theoremstyle{remrk} \newtheorem{huom}{huomutus} tekee huom ympäristön, jonk otsikko ("Huomutus") tulee kursiivill.
30 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (9/10) Luseympäristöt III Komennoll \theoremstyle{tyyli} setetn sen jälkeen määriteltävien luseympäristöjen tyyli, missä tyyli on joko plin, definition ti remrk. Esim. (ääkköset eivät sllittuj ympäristön nimissä) \theoremstyle{definition} \newtheorem{mr}{määritelmä} tekee määritelmille mr nimisen ympäristön, joss tekstios ei ole kursiivill (vrt. plin tyyli luseille). Vstvsti \theoremstyle{remrk} \newtheorem{huom}{huomutus} tekee huom ympäristön, jonk otsikko ("Huomutus") tulee kursiivill. Todistuksille on msthm pketiss vlmiiksi proof ympäristö. Niinpä sitä ei trvitse itse määritellä.
31 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (10/10) Luseympäristöt IV Kuten muihinkin kirjoitelmn osiin, myös luseisiin yms. voi viitt \lbel{} j \ref{} komentoj käyttäen.
32 Luseympäristöt IV Kuten muihinkin kirjoitelmn osiin, myös luseisiin yms. voi viitt \lbel{} j \ref{} komentoj käyttäen. Esim. \begin{luse}\lbel{luse_1}... \end{luse} \begin{proof}... \end{proof} Luseen \ref{luse_1} mukn... Luseen 1.2 mukn Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (10/10)
33 Luseympäristöt IV Kuten muihinkin kirjoitelmn osiin, myös luseisiin yms. voi viitt \lbel{} j \ref{} komentoj käyttäen. Esim. \begin{luse}\lbel{luse_1}... \end{luse} \begin{proof}... \end{proof} Luseen \ref{luse_1} mukn... Luseen 1.2 mukn... Numeroimttomn ympäristön s luotu komennoll \newtheorem*{}{} 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (10/10)
Johdatus L A TEXiin. 6. Omat komennot ja lauseympäristöt Markus Harju. Matemaattiset tieteet
Johdatus L A TEXiin 6. Omat komennot ja lauseympäristöt Markus Harju Matemaattiset tieteet Omat komennot I a L A TEXin valmiiden komentojen lisäksi kirjoittaja voi itse määritellä omia komentojaan. Tämä
Johdatus L A TEXiin. 2. Dokumentin rakenne Markus Harju. Matemaattiset tieteet
Johdtus L A TEXiin 2. Dokumentin rkenne Mrkus Hrju Mtemttiset tieteet 2. Dokumentin rkenne Johdtus LTeXiin (2/10) Dokumenttiluokist L A TEXin perusdokumenttiluokt ovt rticle, report j book. Ne otetn käyttöön
Johdatus L A TEXiin. 2. Dokumentin rakenne Markus Harju. Matemaattiset tieteet
Johdtus L A TEXiin 2. Dokumentin rkenne Mrkus Hrju Mtemttiset tieteet 2. Dokumentin rkenne Johdtus LTeXiin (2/10) Dokumenttiluokist L A TEXin perusdokumenttiluokt ovt rticle, report j book. Dokumenttiluokist
Johdatus L A TEXiin. 5. Ristiviittauksista, monirivisistä kaavoista ja vähän muustakin Markus Harju. Matemaattiset tieteet
Johdtus L A TEXiin 5. Ristiviittuksist, monirivisistä kvoist j vähän muustkin Mrkus Hrju Mtemttiset tieteet Ristiviittuksist I Jos johonkin kirjoitelmn osioon, yhtälöön ti kvn hlutn viitt, niin se tulee
Johdatus L A TEXiin. 7. Taulukot ja kuvat Markus Harju. Matemaattiset tieteet
Johdtus L A TEXiin 7. Tulukot j kuvt Mrkus Hrju Mtemttiset tieteet 7. Tulukot j kuvt Johdtus LTeXiin (2/) Tulukot I Tulukkomiset rkenteet tehdään ympäristöllä tbulr Ympäristön rgumentiksi nnetn srkemäärittely,
Johdatus L A TEXiin. 7. Taulukot ja kuvat Markus Harju. Matemaattiset tieteet
Johdtus L A TEXiin 7. Tulukot j kuvt Mrkus Hrju Mtemttiset tieteet 7. Tulukot j kuvt Johdtus LTeXiin (2/11) Tulukot I Tulukkomiset rkenteet tehdään ympäristöllä tbulr Tulukot I Tulukkomiset rkenteet tehdään
Johdatus L A TEXiin. 4. Matematiikkaa II Markus Harju. Matemaattiset tieteet
Johdtus L A TEXiin 4. Mtemtiikk II Mrkus Hrju Mtemttiset tieteet Näyttömtemtiikktilst I Numerointi trvitsevt, pljon til vtivt ti muust syystä tärkeät kvt j lusekkeet tulee sijoitt omlle rivilleen ns. näyttömtemtiikktiln.
Johdatus L A TEXiin. 4. Matematiikkaa II Markus Harju. Matemaattiset tieteet
Johdtus L A TEXiin 4. Mtemtiikk II Mrkus Hrju Mtemttiset tieteet Näyttömtemtiikktilst I Numerointi trvitsevt, pljon til vtivt ti muust syystä tärkeät kvt j lusekkeet tulee sijoitt omlle rivilleen ns. näyttömtemtiikktiln.
Fysiikan laboratoriotyöt 1: Johdatus L A TEXiin
Fysiikn lbortoriotyöt 1: Johdtus L A TEXiin Mrkus Hrju Mtemttiset tieteet L A TEXist L A TEX[ lteh] on ldontohjelm, joll voidn helposti tuott (ldukkit) mtemttisi merkintöjä sisältäviä dokumenttej (esim.
Sarjaratkaisun etsiminen Maplella
Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.
5 Epäoleellinen integraali
5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss
Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.
Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että
Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A
R4 Harjoitustehtävien ratkaisut
. Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x
II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku
II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä
Johdatus L A TEXiin. 3. Matematiikkaa I Markus Harju. Matemaattiset tieteet
Johdtus L A TEXiin 3. Mtemtiikk I Mrkus Hrju Mtemttiset tieteet 3. Mtemtiikk I Johdtus LTeXiin (2/12) Mtemtiikktiloist Mtemttiset symbolit, lusekkeet, lskut yms. tulee sijoitt ns. mtemtiikktiloihin (ympäristöihin)
ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016
ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2016 Kierros 5, 8. 12. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D1: Hhmolusekkeet ovt esimerkiksi UN*X-järjestelmien tekstityökluiss käytetty säännöllisten lusekkeiden
Käydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.
DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen
1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [
1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x
1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot
. Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts
Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?
Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.
Riemannin integraalista
Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:
Johdatus L A TEXiin. 3. Matematiikkaa I Markus Harju. Matemaattiset tieteet
Johdtus L A TEXiin 3. Mtemtiikk I Mrkus Hrju Mtemttiset tieteet 3. Mtemtiikk I Johdtus LTeXiin (2/12) Mtemtiikktiloist Mtemttiset symbolit, lusekkeet, lskut yms. tulee sijoitt ns. mtemtiikktiloihin (ympäristöihin)
Matematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv
7.lk matematiikka. Geometria 1
7.lk mtemtiikk 1 Htnpään koulu 7B j 7C Kevät 2017 2 Sisällys 1. Koordintisto... 4 2. Kulmien nimeäminen j luokittelu... 8 3. Kulmien mittminen j piirtäminen... 10 4. Ristikulmt j vieruskulmt... 14 5. Suort,
Johdatus L A TEXiin. 7. Taulukot ja kuvat. Dept. of Mathematical Sciences
Johdatus L A TEXiin 7. Taulukot ja kuvat Dept. of Mathematical Sciences Taulukot I Taulukkomaiset rakenteet tehdään ympäristöllä tabular Ympäristön argumentiksi annetaan sarakemäärittely, joka on kirjaimista
Johdatus L A TEXiin. 8. Taulukot ja kuvat. Matemaattisten tieteiden laitos
Johdatus L A TEXiin 8. Taulukot ja kuvat Matemaattisten tieteiden laitos Taulukot I Taulukkomaiset rakenteet tehdään ympäristöllä tabular Ympäristön argumentiksi annetaan sarakemäärittely, joka on kirjaimista
Vakioiden variointi kolmannen kertaluvun yhtälölle
Vkioiden vriointi kolmnnen kertluvun yhtälölle Olkoon trksteltvn kolmnnen kertluvun linerinen epähomogeeninen differentiliyhtälö > diffyht:= (-1)*diff(y(), $3)-*diff(y(), $2)+diff(y(), )=ep(^2); diffyht
Johdatus L A TEXiin. 8. Taulukot ja kuvat. Matemaattisten tieteiden laitos
Johdatus L A TEXiin 8. Taulukot ja kuvat Matemaattisten tieteiden laitos Taulukot I Taulukkomaiset rakenteet tehdään ympäristöllä tabular Taulukot I Taulukkomaiset rakenteet tehdään ympäristöllä tabular
Matematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss
Ristitulo ja skalaarikolmitulo
Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden
Sinilause ja kosinilause
Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,
Riemannin integraali
LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu
S Fysiikka III (EST), Tentti
S-114.137 Fysiikk III (ES), entti 30.8.006 1. Lämpövoimkone toteutt oheisen kuvn Crnotin prosessi. Koneess on työineen yksi mooli ideliksu. Lske yksitomisen ksun kierroksen ikn tekemän työn suhde kksitomisen
Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()
Johdatus L A TEXiin. 9. Sivun mitat, ulkoasu ja kalvot. Matemaattisten tieteiden laitos
Johdatus L A TEXiin 9. Sivun mitat, ulkoasu ja kalvot Matemaattisten tieteiden laitos Sivun mitoista I L A TEXissa kaikki sivuasetukset (marginaalit, tekstin leveys, jne.) ovat mittoja Keskeisimmät mitat
Johdatus L A TEXiin. 5. Ristiviittauksista, monirivisistä kaavoista ja vähän muustakin Markus Harju. Matemaattiset tieteet
Johdatus L A TEXiin 5. Ristiviittauksista, monirivisistä kaavoista ja vähän muustakin Markus Harju Matemaattiset tieteet a Ristiviittauksista I Jos johonkin kirjoitelman osioon, yhtälöön tai kaavaan halutaan
LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT
Lyhyt mtemtiikk YO-vlmennus 8. mliskuut 00 LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE RATKAISUT. Trkstelln yhtälöpri, polynomin sievennöstä j lusekkeeseen sijoittmist. ) Rtkistn jälkimmäisestä yhtälöstä x, jolle
Asennus- ja käyttöohje ROBA -liukunavoille Koot 0 12 (B.1.0.FIN)
Pyydämme lukemn käyttöohjeen huolellisesti läpi j noudttmn sitä! Ohjeiden liminlyönti voi joht kytkimen toiminthäiriöihin j siitä johtuviin vurioihin. Nämä käyttöohjeet (B.1.0.FIN) ovt os kytkintoimitust.
Kertausta ja täydennystä
LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin
Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Annik Heinonen Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Helmikuu 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Newtonin integrli 2 2.1
Johdatus L A TEXiin. 9. Sivun mitat, ulkoasu ja kalvot. Matemaattisten tieteiden laitos
Johdatus L A TEXiin 9. Sivun mitat, ulkoasu ja kalvot Matemaattisten tieteiden laitos Sivun mitoista I L A TEXissa kaikki sivuasetukset (marginaalit, tekstin leveys, jne.) ovat mittoja Sivun mitoista I
11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS
11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.
Johdatus L A TEXiin. 7. Taulukot ja kuvat. Dept. of Mathematical Sciences
Johdatus L A TEXiin 7. Taulukot ja kuvat Dept. of Mathematical Sciences Taulukot I Taulukkomaiset rakenteet tehdään ympäristöllä tabular Ympäristön argumentiksi annetaan sarakemäärittely, joka on kirjaimista
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,
Asennusopas. Daikin Altherma - Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi
Dikin Altherm - Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Suomi Sisällysluettelo Sisällysluettelo Tietoj sikirjst. Tieto tästä sikirjst... Tietoj pkkuksest. Vrlämmitin..... Vrusteiden poistminen
Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.
Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä
OUML6421B3004. 3-tilaohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT
OUML6421B3004 3-tilohjttu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET i Lämmityksen säätö i Ilmnvihtojärjestelmät TUOTETIEDOT OMINAISUUDET Helppo j nope sent Ei trvitse erillistä sennustelinettä Ei trvitse liikepituuden
A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.
MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin
Numeerinen integrointi
Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)
Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.
MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November
sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.
Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin
Johdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdtus relifunktioihin 802161P, 5op Os 3 Pekk Slmi 19. lokkuut 2015 Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 1 / 48 Integrlit 1 Määrätty integrli = oike integrli: esim. 1 0 x 2 dx = reliluku 2 Määräämätön integrli
OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA
OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij
Integraalilaskenta. Määrätty integraali
9..08 Integrlilskent Määräämätön Etsitään funktiot Derivoinnille käänteistoimenpide integroiminen Integrlifunktio F(x), jolle F x = f x, lisäksi integrlifunktioille G x = F x + C. Vkion C lisäys (merkitys),
Mitä ovat blogit? Mitä blogit ovat. Mahdollisuuksia Verkostoitumista Viestintää Todistusta
Kirsi Myllyniemi, Blogikurssi teologeille mlikuuss 2006 Mitä blogit ovt Mhdollisuuksi Verkostoitumist Mitä ovt blogit? Mhdollisuuksi Verkostoitumist Sn blogi tulee englnnin snoist web log. Se sisältää
OUML7421B3003. Jänniteohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT. i OUV5049 i OUV5050
OUML7421B3003 Jänniteohjttu venttiilimoottori TUOTETIEDOT OMINAISUUDET Helppo j nope sent Ei trvitse erillistä sennustelinettä Ei trvitse liikepituuden säätöä Momenttirjkytkimet Käsikäyttömhdollisuus Mikroprosessorin
lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.
Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös
Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista
Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),
4 Pinta-alasovelluksia
Pint-lsovelluksi. Kuvjn lle jäävä pint-l voidn määrittää, jos kuvj on -kselin yläpuolell. Välillä [, 5] funktion f kuvj on -kselin lpuolell. Peiltn funktion f kuvj -kselin suhteen, jolloin sdn funktion
Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.
S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn
Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.
Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,
Johdanto Mikä L A TEX on? Suomenkielinen L A TEX-tiedostopohja. Perusteet Tekstin kirjoittaminen Matematiikkatila
L A TEX-kurssi Johdanto Mikä L A TEX on? Suomenkielinen L A TEX-tiedostopohja Perusteet Tekstin kirjoittaminen Matematiikkatila Matemaattinen teksti Määritelmät, lauseet,... Viittaaminen Muita ympäristöjä
2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä
2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn
3 Integraali ja derivaatta
3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,
Matematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.
2 Epäoleellinen integraali
ANALYYSI C, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, SYKSY 8 Epäoleellinen integrli Integrointivihje: Hyödynnä yhdistetyn funktion integrointisääntöä.. Määritä 9 9 (c) ( ). Tutki, millä vkion p rvoill epäoleellinen integrli
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen
Pinta-alan laskeminen
Pint-ln lskeminen Esimerkki Välillä, jtkuvn, einegtiivisen funktion f määrätt integrli nt suorn pint-ln, eli f = A. INTEGRAALILASKENTA, MAA9 A = f Toislt, jos f on välillä,, eipositiivinen, eli f R, niin
Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!
MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske
7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen
7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn
5 Riemann-integraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Ala- ja yläintegraali
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 9 5 Riemnn-integrli 5. Al- j yläintegrli Voit olett tunnetuksi ll esitetyt supremumin j infimumin ominisuudet (joukot A j B ovt rjoitettuj sekä epätyhjiä j λ R). Jos
Kustaankartanon vanhustenkeskus Vanhainkoti Päivätoiminta Palvelukeskus
Kustnkrtnon vnhustenkeskus Vnhinkoti Päivätoimint Plvelukeskus 1 Kustnkrtnoss tärkeinä pidettyjä sioit: sukkn hyvä olo hyvä elämä hyvä yhteistyö omisten knss gerontologisen hoidon osminen työntekijöiden
HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN
ilumuoto st ksvtu luun ou perusk Tuntikehyksen os-lue: HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN A2 Aivomyrsky j unelmien leikkipuisto Kesto: 1 kksoistunti, 45 min + 45 min Aihe: Syvennetään jtuksi ympäristöstä liittyvästä
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013
Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)
Harjoitus 1 -- Ratkaisut
Kun teet harjoitustyöselostuksia Mathematicalla, voit luoda selkkariin otsikon (ja mahdollisia alaotsikoita...) määräämällä soluille erilaisia tyylejä. Uuden solun tyyli määrätään painamalla ALT ja jokin
Johdatus L A TEXiin. 8. Sekalaisia asioita. Matemaattinen teksti. Markus Harju. Matemaattiset tieteet
Johdatus L A TEXiin 8. Sekalaisia asioita. Matemaattinen teksti. Markus Harju Matemaattiset tieteet Kirjasintyypit a Leipätekstin kirjasimen tyyppiä voi muuttaa seuraavilla komennoilla: \textrm{} antiikva
10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA
MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion
ANALYYSI I, kevät 2009
ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4
VEKTOREILLA LASKEMINEN
..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin
Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on
4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void
Gillespie A.: Foundations of Economics., 2011, luvut 6-8, 17, 21 ja 29. ISBN 978-0-19-958654-7. Oxford University Press.
Vltiotieteellinen tiedekunt Tloustieteen vlintkoe Arvosteluperusteet Kesä 0 Vlintkoekirjt Gillespie A.: Foundtions of Economics., 0, luvut 6-8, 7, j 9. ISBN 978-0-9-958654-7. Oxford University Press. sekä
ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016
ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()
T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.
T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä
Asennusopas. Daikin Altherma Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi
Dikin Altherm Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Dikin Altherm Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin Suomi Sisällysluettelo Sisällysluettelo Tietoj sikirjst. Tieto tästä sikirjst...
θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö
22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2
Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja
Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä
3.5 Kosinilause. h a c. D m C b A
3.5 Kosiniluse Jos kolmiost tunnetn kksi sivu j näien välinen kulm, sinilusett on sngen vike sovelt kolmion rtkisemiseen. Luse on työklun vuton myös kolmion kulmien rtkisemiseen tpuksess, jolloin kolmion
Kasvihuonekaasupäästöjen kehitys pääkaupunkiseudulla
YTV MUISTIO 1 Asi 7 / Liite 1 PÄÄKAUPUNKISEUDUN ILMASTOSTRATEGIA 2030 YTV:n hllitus on kokouksessn 14.12.2006 hyväksynyt Pääkupunkiseudun ilmstostrtegiluonnoksen 2030 lusuntojen j knnnottojen pyytämistä
Runkovesijohtoputket
Runkovesijohtoputket PUTKET JA PUTKEN OSAT SSAB:n vlmistmi pinnoitettuj putki j putken osi käytetään lähinnä runkovesijohtolinjoihin, joiden hlkisij on DN 400-1200. Ost vlmistetn teräksisistä pineputkist
Vuokrahuoneistojen välitystä tukeva tietojärjestelmä.
Kertusesimerkki: Vuokrhuoneistojen välitystä tukev tietojärjestelmä. Esimerkin trkoituksen on on hvinnollist mllinnustekniikoiden käyttöä j suunnitteluprosessin etenemistä tietojärjestelmän kehityksessä.
6 Integraalilaskentaa
6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Harri Lehtinen. Kongruenssista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Hrri Lehtinen Kongruenssist Mtemtiikn, tilstotieteen j filosofin litos Mtemtiikk Helmikuu 006 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn, tilstotieteen j filosofin litos LEHTINEN,
Korkotuettuja osaomistusasuntoja
Korkotuettuj osomistussuntoj Hvinnekuv suunnitelmst. Titeilijn näkemys Asunto Oy Espoon Stulmkri Stulmkrintie 1, 02780 ESOO Asunto Oy Espoon Stulmkri Kerv Kuklhti Iso Mntie 2 Espoo Vihdintie Keh III Hämeenlinnnväylä
2.2 Automaattien minimointi
24 2.2 Automttien minimointi Kksi utomtti, jotk tunnistvt täsmälleen smn kielen ovt keskenään ekvivlenttej Äärellinen utomtti on minimlinen jos se on tilmäärältään pienin ekvivlenttien utomttien joukoss
Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää
Solmu 3/2008 Mtemtiikkolympiliset 2008 kuusi vike tehtävää Mtti Lehtinen Mnpuolustuskorkekoulu 49. Knsinväliset mtemtiikkolympiliset pidettiin Mdridiss 4. 22. heinäkuut 2008. Kilpilijoit oli 535 j he edustivt
VESIPATTERIN ASENNUS TBLA Thermo Guard-jäätymissuojalla GOLD koko 11-32, versio B
VESIPATTERIN ASENNUS TBLA -jäätymissuojll GOLD koko 11-32, versio B ASENNUS 1. Knvliitäntä on tehtävä seurvsti: ) TBLA 000-031 j 000-040 Vesiptteri voidn sent suorn kierresumttuun knvn. Ptteri on vrustettu
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017