Johdatus L A TEXiin. 6. Omat komennot ja lauseympäristöt Markus Harju. Matemaattiset tieteet

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Johdatus L A TEXiin. 6. Omat komennot ja lauseympäristöt Markus Harju. Matemaattiset tieteet"

Transkriptio

1 Johdtus L A TEXiin 6. Omt komennot j luseympäristöt Mrkus Hrju Mtemttiset tieteet

2 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (2/10) Omt komennot I L A TEXin vlmiiden komentojen lisäksi kirjoittj voi itse määritellä omi komentojn.

3 Omt komennot I L A TEXin vlmiiden komentojen lisäksi kirjoittj voi itse määritellä omi komentojn. Tämä tehdään esittelyosss \newcommnd komennoll, jonk perusmuoto on \newcommnd{\kom}{mr} missä \kom on uusi, määriteltävä komento j mr sen määrittely. 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (2/10)

4 Omt komennot I L A TEXin vlmiiden komentojen lisäksi kirjoittj voi itse määritellä omi komentojn. Tämä tehdään esittelyosss \newcommnd komennoll, jonk perusmuoto on \newcommnd{\kom}{mr} missä \kom on uusi, määriteltävä komento j mr sen määrittely. Esim. (huom välistys tulostettess) \newcommnd{\kom}{mun komento} \begin{document} \kom\kom\kom Mun komentomun komentomun komento 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (2/10)

5 Omt komennot I L A TEXin vlmiiden komentojen lisäksi kirjoittj voi itse määritellä omi komentojn. Tämä tehdään esittelyosss \newcommnd komennoll, jonk perusmuoto on \newcommnd{\kom}{mr} missä \kom on uusi, määriteltävä komento j mr sen määrittely. Esim. (huom välistys tulostettess) \newcommnd{\kom}{mun komento} \begin{document} \kom\kom\kom Mun komentomun komentomun komento Mhdollist lyhennysmerkinnät j ns. prmetrisoinnit 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (2/10)

6 . Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (3/10) Omt komennot II Komennon määrittely voi sisältää myös mtemtiikk. Esim. \newcommnd{\z}{\mthbb{z}} \begin{document} $k\in\z$ k Z

7 Omt komennot II Komennon määrittely voi sisältää myös mtemtiikk. Esim. \newcommnd{\z}{\mthbb{z}} \begin{document} $k\in\z$ k Z Huom, että yo. komento pitää käyttää mtemtiikktilss.. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (3/10)

8 Omt komennot II Komennon määrittely voi sisältää myös mtemtiikk. Esim. \newcommnd{\z}{\mthbb{z}} \begin{document} $k\in\z$ k Z Huom, että yo. komento pitää käyttää mtemtiikktilss. Komento \ensuremth vrmist, että sen rgumentti käsitellään mtemtiikktilss. Esim. \newcommnd{\z}{\ensuremth{\mthbb{z}}} \begin{document} Sekä $\Z$ että \Z{} toimivt. Sekä Z että Z toimivt.. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (3/10)

9 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (4/10) Omt komennot III Omtkin komennot voivt vstnott rgumenttej. Tätä vrten komento pitää määritellä muodoss \newcommnd{\kom}[n]{mr} missä n ilmoitt rgumenttien lukumäärän (1-9).

10 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (4/10) Omt komennot III Omtkin komennot voivt vstnott rgumenttej. Tätä vrten komento pitää määritellä muodoss \newcommnd{\kom}[n]{mr} missä n ilmoitt rgumenttien lukumäärän (1-9). Argumentteihin viittn määrittelyssä merkinnällä #k, missä k= 1, 2,..., n.

11 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (4/10) Omt komennot III Omtkin komennot voivt vstnott rgumenttej. Tätä vrten komento pitää määritellä muodoss \newcommnd{\kom}[n]{mr} missä n ilmoitt rgumenttien lukumäärän (1-9). Argumentteihin viittn määrittelyssä merkinnällä #k, missä k= 1, 2,..., n. Esim. komento normille yhdellä rgumentill: \newcommnd{\norm}[1]{\left\ #1\right\ } \begin{document} $\norm{f+g}\leq\norm{f}+\norm{g}$ f + g f + g

12 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (4/10) Omt komennot III Omtkin komennot voivt vstnott rgumenttej. Tätä vrten komento pitää määritellä muodoss \newcommnd{\kom}[n]{mr} missä n ilmoitt rgumenttien lukumäärän (1-9). Argumentteihin viittn määrittelyssä merkinnällä #k, missä k= 1, 2,..., n. Esim. komento normille yhdellä rgumentill: \newcommnd{\norm}[1]{\left\ #1\right\ } \begin{document} $\norm{f+g}\leq\norm{f}+\norm{g}$ f + g f + g Mhdollisille vlinnisille rgumenteille voi nt oletusrvon muodoll: \newcommnd{\kom}[n][oletusrvo]{mr}

13 Omt komennot III Omtkin komennot voivt vstnott rgumenttej. Tätä vrten komento pitää määritellä muodoss \newcommnd{\kom}[n]{mr} missä n ilmoitt rgumenttien lukumäärän (1-9). Argumentteihin viittn määrittelyssä merkinnällä #k, missä k= 1, 2,..., n. Esim. komento normille yhdellä rgumentill: \newcommnd{\norm}[1]{\left\ #1\right\ } \begin{document} $\norm{f+g}\leq\norm{f}+\norm{g}$ f + g f + g Mhdollisille vlinnisille rgumenteille voi nt oletusrvon muodoll: \newcommnd{\kom}[n][oletusrvo]{mr} Jo olemss olevn komennon uudelleen määrittely tphtuu \renewcommnd komennoll vstvll tvll. 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (4/10)

14 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (5/10) Lskureist I L A TEX pitää kirj lukujen, osioiden, yhtälöiden, sivujen yms. numeroinnist ns. lskureiden vull

15 Lskureist I L A TEX pitää kirj lukujen, osioiden, yhtälöiden, sivujen yms. numeroinnist ns. lskureiden vull Keskeisimmät näistä lskureist ovt: prt pge enumi chpter eqution enumii section figure enumiii subsection tble enumiv subsubsection 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (5/10)

16 Lskureist I L A TEX pitää kirj lukujen, osioiden, yhtälöiden, sivujen yms. numeroinnist ns. lskureiden vull Keskeisimmät näistä lskureist ovt: prt pge enumi chpter eqution enumii section figure enumiii subsection tble enumiv subsubsection Näistä enumx pitävät kirj numeroidun listn (enumerte) neljästä eri tsost. Muut lskurit ovt itsestäänselviä. 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (5/10)

17 Lskureist I L A TEX pitää kirj lukujen, osioiden, yhtälöiden, sivujen yms. numeroinnist ns. lskureiden vull Keskeisimmät näistä lskureist ovt: prt pge enumi chpter eqution enumii section figure enumiii subsection tble enumiv subsubsection Näistä enumx pitävät kirj numeroidun listn (enumerte) neljästä eri tsost. Muut lskurit ovt itsestäänselviä. Lskurin (sen hetkisen) rvon voi tulost näkyviin komennoill: \rbic{lskuri} 1,2,3,... \lph{lskuri},b,c,... \romn{lskuri} i,ii,iii,... \Alph{lskuri} A,B,C,... \Romn{lskuri} I,II,III,... \lskuri 1,2,3, Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (5/10)

18 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (6/10) Lskureist II Lskurin rvon voi sett komennoll \setcounter{lskuri}{num} jok sett lskurin rvoksi kokonisluvun num.

19 Lskureist II Lskurin rvon voi sett komennoll \setcounter{lskuri}{num} jok sett lskurin rvoksi kokonisluvun num. Lskurin rvo voi siirtää ylös ti lspäin komennoll \ddtocounter{lskuri}{num} jok ksvtt (vähentää) lskurin rvo kokonisluvull num, jos num on positiivinen (negtiivinen). 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (6/10)

20 Lskureist II Lskurin rvon voi sett komennoll \setcounter{lskuri}{num} jok sett lskurin rvoksi kokonisluvun num. Lskurin rvo voi siirtää ylös ti lspäin komennoll \ddtocounter{lskuri}{num} jok ksvtt (vähentää) lskurin rvo kokonisluvull num, jos num on positiivinen (negtiivinen). Uusi lskureit voi tehdä komennoll \newcounter{lskuri} 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (6/10)

21 Luseympäristöt I Luseiden, lemmojen, yms. ltomist vrten knntt luod omi ns. luseympäristöjä. 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (7/10)

22 Luseympäristöt I Luseiden, lemmojen, yms. ltomist vrten knntt luod omi ns. luseympäristöjä. Tämä tehdään esittelyosss msthm pketin komennoll \newtheorem{nimi}{otsikko}. 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (7/10)

23 Luseympäristöt I Luseiden, lemmojen, yms. ltomist vrten knntt luod omi ns. luseympäristöjä. Tämä tehdään esittelyosss msthm pketin komennoll \newtheorem{nimi}{otsikko}. Esim. omn luseympäristön luominen j käyttö tphtuu komennoill: (hksulkujen käyttö vlinnist) \usepckge{msthm} \newtheorem{luse}{luse} \begin{document} \begin{luse}[alkulukuluse] Alkulukuj on äärettömän mont. \end{luse} Luse 1 (Alkulukuluse). Alkulukuj on äärettömän mont. 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (7/10)

24 Luseympäristöt I Luseiden, lemmojen, yms. ltomist vrten knntt luod omi ns. luseympäristöjä. Tämä tehdään esittelyosss msthm pketin komennoll \newtheorem{nimi}{otsikko}. Esim. omn luseympäristön luominen j käyttö tphtuu komennoill: (hksulkujen käyttö vlinnist) \usepckge{msthm} \newtheorem{luse}{luse} \begin{document} \begin{luse}[alkulukuluse] Alkulukuj on äärettömän mont. \end{luse} Luse 1 (Alkulukuluse). Alkulukuj on äärettömän mont. Tässä luodn ympäristö nimeltään luse, jonk otsikko on in "Luse" j jok numeroidn utomttisesti. Huom, että luseen tekstios tulostuu kursiivill. 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (7/10)

25 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (8/10) Luseympäristöt II Numerointi voi säädellä ntmll määrittelyssä lskurin vlinnisen rgumenttin. Esim. \newtheorem{luse}{luse}[section] luo luseympäristön, jok numeroi luseet 1.1, 1.2, 1.3,... osion (section) 1 sisällä.

26 Luseympäristöt II Numerointi voi säädellä ntmll määrittelyssä lskurin vlinnisen rgumenttin. Esim. \newtheorem{luse}{luse}[section] luo luseympäristön, jok numeroi luseet 1.1, 1.2, 1.3,... osion (section) 1 sisällä. Muodoll \newtheorem{lemm}[luse]{lemm} puolestn luodn lemm niminen ympäristö, jok käyttää sm lskuri kuin luse ympäristö. Tällöin \begin{luse}...\end{luse} \begin{lemm}...\end{lemm} \begin{luse}...\end{luse} tekee: Luse 1.1, Lemm 1.2, Luse Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (8/10)

27 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (9/10) Luseympäristöt III Komennoll \theoremstyle{tyyli} setetn sen jälkeen määriteltävien luseympäristöjen tyyli, missä tyyli on joko plin, definition ti remrk.

28 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (9/10) Luseympäristöt III Komennoll \theoremstyle{tyyli} setetn sen jälkeen määriteltävien luseympäristöjen tyyli, missä tyyli on joko plin, definition ti remrk. Esim. (ääkköset eivät sllittuj ympäristön nimissä) \theoremstyle{definition} \newtheorem{mr}{määritelmä} tekee määritelmille mr nimisen ympäristön, joss tekstios ei ole kursiivill (vrt. plin tyyli luseille).

29 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (9/10) Luseympäristöt III Komennoll \theoremstyle{tyyli} setetn sen jälkeen määriteltävien luseympäristöjen tyyli, missä tyyli on joko plin, definition ti remrk. Esim. (ääkköset eivät sllittuj ympäristön nimissä) \theoremstyle{definition} \newtheorem{mr}{määritelmä} tekee määritelmille mr nimisen ympäristön, joss tekstios ei ole kursiivill (vrt. plin tyyli luseille). Vstvsti \theoremstyle{remrk} \newtheorem{huom}{huomutus} tekee huom ympäristön, jonk otsikko ("Huomutus") tulee kursiivill.

30 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (9/10) Luseympäristöt III Komennoll \theoremstyle{tyyli} setetn sen jälkeen määriteltävien luseympäristöjen tyyli, missä tyyli on joko plin, definition ti remrk. Esim. (ääkköset eivät sllittuj ympäristön nimissä) \theoremstyle{definition} \newtheorem{mr}{määritelmä} tekee määritelmille mr nimisen ympäristön, joss tekstios ei ole kursiivill (vrt. plin tyyli luseille). Vstvsti \theoremstyle{remrk} \newtheorem{huom}{huomutus} tekee huom ympäristön, jonk otsikko ("Huomutus") tulee kursiivill. Todistuksille on msthm pketiss vlmiiksi proof ympäristö. Niinpä sitä ei trvitse itse määritellä.

31 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (10/10) Luseympäristöt IV Kuten muihinkin kirjoitelmn osiin, myös luseisiin yms. voi viitt \lbel{} j \ref{} komentoj käyttäen.

32 Luseympäristöt IV Kuten muihinkin kirjoitelmn osiin, myös luseisiin yms. voi viitt \lbel{} j \ref{} komentoj käyttäen. Esim. \begin{luse}\lbel{luse_1}... \end{luse} \begin{proof}... \end{proof} Luseen \ref{luse_1} mukn... Luseen 1.2 mukn Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (10/10)

33 Luseympäristöt IV Kuten muihinkin kirjoitelmn osiin, myös luseisiin yms. voi viitt \lbel{} j \ref{} komentoj käyttäen. Esim. \begin{luse}\lbel{luse_1}... \end{luse} \begin{proof}... \end{proof} Luseen \ref{luse_1} mukn... Luseen 1.2 mukn... Numeroimttomn ympäristön s luotu komennoll \newtheorem*{}{} 6. Omt komennot j luseympäristöt Johdtus LTeXiin (10/10)

Johdatus L A TEXiin. 6. Omat komennot ja lauseympäristöt Markus Harju. Matemaattiset tieteet

Johdatus L A TEXiin. 6. Omat komennot ja lauseympäristöt Markus Harju. Matemaattiset tieteet Johdatus L A TEXiin 6. Omat komennot ja lauseympäristöt Markus Harju Matemaattiset tieteet Omat komennot I a L A TEXin valmiiden komentojen lisäksi kirjoittaja voi itse määritellä omia komentojaan. Tämä

Lisätiedot

Johdatus L A TEXiin. 2. Dokumentin rakenne Markus Harju. Matemaattiset tieteet

Johdatus L A TEXiin. 2. Dokumentin rakenne Markus Harju. Matemaattiset tieteet Johdtus L A TEXiin 2. Dokumentin rkenne Mrkus Hrju Mtemttiset tieteet 2. Dokumentin rkenne Johdtus LTeXiin (2/10) Dokumenttiluokist L A TEXin perusdokumenttiluokt ovt rticle, report j book. Ne otetn käyttöön

Lisätiedot

Johdatus L A TEXiin. 2. Dokumentin rakenne Markus Harju. Matemaattiset tieteet

Johdatus L A TEXiin. 2. Dokumentin rakenne Markus Harju. Matemaattiset tieteet Johdtus L A TEXiin 2. Dokumentin rkenne Mrkus Hrju Mtemttiset tieteet 2. Dokumentin rkenne Johdtus LTeXiin (2/10) Dokumenttiluokist L A TEXin perusdokumenttiluokt ovt rticle, report j book. Dokumenttiluokist

Lisätiedot

Johdatus L A TEXiin. 5. Ristiviittauksista, monirivisistä kaavoista ja vähän muustakin Markus Harju. Matemaattiset tieteet

Johdatus L A TEXiin. 5. Ristiviittauksista, monirivisistä kaavoista ja vähän muustakin Markus Harju. Matemaattiset tieteet Johdtus L A TEXiin 5. Ristiviittuksist, monirivisistä kvoist j vähän muustkin Mrkus Hrju Mtemttiset tieteet Ristiviittuksist I Jos johonkin kirjoitelmn osioon, yhtälöön ti kvn hlutn viitt, niin se tulee

Lisätiedot

Johdatus L A TEXiin. 7. Taulukot ja kuvat Markus Harju. Matemaattiset tieteet

Johdatus L A TEXiin. 7. Taulukot ja kuvat Markus Harju. Matemaattiset tieteet Johdtus L A TEXiin 7. Tulukot j kuvt Mrkus Hrju Mtemttiset tieteet 7. Tulukot j kuvt Johdtus LTeXiin (2/) Tulukot I Tulukkomiset rkenteet tehdään ympäristöllä tbulr Ympäristön rgumentiksi nnetn srkemäärittely,

Lisätiedot

Johdatus L A TEXiin. 7. Taulukot ja kuvat Markus Harju. Matemaattiset tieteet

Johdatus L A TEXiin. 7. Taulukot ja kuvat Markus Harju. Matemaattiset tieteet Johdtus L A TEXiin 7. Tulukot j kuvt Mrkus Hrju Mtemttiset tieteet 7. Tulukot j kuvt Johdtus LTeXiin (2/11) Tulukot I Tulukkomiset rkenteet tehdään ympäristöllä tbulr Tulukot I Tulukkomiset rkenteet tehdään

Lisätiedot

Johdatus L A TEXiin. 4. Matematiikkaa II Markus Harju. Matemaattiset tieteet

Johdatus L A TEXiin. 4. Matematiikkaa II Markus Harju. Matemaattiset tieteet Johdtus L A TEXiin 4. Mtemtiikk II Mrkus Hrju Mtemttiset tieteet Näyttömtemtiikktilst I Numerointi trvitsevt, pljon til vtivt ti muust syystä tärkeät kvt j lusekkeet tulee sijoitt omlle rivilleen ns. näyttömtemtiikktiln.

Lisätiedot

Johdatus L A TEXiin. 4. Matematiikkaa II Markus Harju. Matemaattiset tieteet

Johdatus L A TEXiin. 4. Matematiikkaa II Markus Harju. Matemaattiset tieteet Johdtus L A TEXiin 4. Mtemtiikk II Mrkus Hrju Mtemttiset tieteet Näyttömtemtiikktilst I Numerointi trvitsevt, pljon til vtivt ti muust syystä tärkeät kvt j lusekkeet tulee sijoitt omlle rivilleen ns. näyttömtemtiikktiln.

Lisätiedot

Fysiikan laboratoriotyöt 1: Johdatus L A TEXiin

Fysiikan laboratoriotyöt 1: Johdatus L A TEXiin Fysiikn lbortoriotyöt 1: Johdtus L A TEXiin Mrkus Hrju Mtemttiset tieteet L A TEXist L A TEX[ lteh] on ldontohjelm, joll voidn helposti tuott (ldukkit) mtemttisi merkintöjä sisältäviä dokumenttej (esim.

Lisätiedot

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut . Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

Johdatus L A TEXiin. 3. Matematiikkaa I Markus Harju. Matemaattiset tieteet

Johdatus L A TEXiin. 3. Matematiikkaa I Markus Harju. Matemaattiset tieteet Johdtus L A TEXiin 3. Mtemtiikk I Mrkus Hrju Mtemttiset tieteet 3. Mtemtiikk I Johdtus LTeXiin (2/12) Mtemtiikktiloist Mtemttiset symbolit, lusekkeet, lskut yms. tulee sijoitt ns. mtemtiikktiloihin (ympäristöihin)

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2016 Kierros 5, 8. 12. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D1: Hhmolusekkeet ovt esimerkiksi UN*X-järjestelmien tekstityökluiss käytetty säännöllisten lusekkeiden

Lisätiedot

Käydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.

Käydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja. DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

Johdatus L A TEXiin. 3. Matematiikkaa I Markus Harju. Matemaattiset tieteet

Johdatus L A TEXiin. 3. Matematiikkaa I Markus Harju. Matemaattiset tieteet Johdtus L A TEXiin 3. Mtemtiikk I Mrkus Hrju Mtemttiset tieteet 3. Mtemtiikk I Johdtus LTeXiin (2/12) Mtemtiikktiloist Mtemttiset symbolit, lusekkeet, lskut yms. tulee sijoitt ns. mtemtiikktiloihin (ympäristöihin)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

7.lk matematiikka. Geometria 1

7.lk matematiikka. Geometria 1 7.lk mtemtiikk 1 Htnpään koulu 7B j 7C Kevät 2017 2 Sisällys 1. Koordintisto... 4 2. Kulmien nimeäminen j luokittelu... 8 3. Kulmien mittminen j piirtäminen... 10 4. Ristikulmt j vieruskulmt... 14 5. Suort,

Lisätiedot

Johdatus L A TEXiin. 7. Taulukot ja kuvat. Dept. of Mathematical Sciences

Johdatus L A TEXiin. 7. Taulukot ja kuvat. Dept. of Mathematical Sciences Johdatus L A TEXiin 7. Taulukot ja kuvat Dept. of Mathematical Sciences Taulukot I Taulukkomaiset rakenteet tehdään ympäristöllä tabular Ympäristön argumentiksi annetaan sarakemäärittely, joka on kirjaimista

Lisätiedot

Johdatus L A TEXiin. 8. Taulukot ja kuvat. Matemaattisten tieteiden laitos

Johdatus L A TEXiin. 8. Taulukot ja kuvat. Matemaattisten tieteiden laitos Johdatus L A TEXiin 8. Taulukot ja kuvat Matemaattisten tieteiden laitos Taulukot I Taulukkomaiset rakenteet tehdään ympäristöllä tabular Ympäristön argumentiksi annetaan sarakemäärittely, joka on kirjaimista

Lisätiedot

Vakioiden variointi kolmannen kertaluvun yhtälölle

Vakioiden variointi kolmannen kertaluvun yhtälölle Vkioiden vriointi kolmnnen kertluvun yhtälölle Olkoon trksteltvn kolmnnen kertluvun linerinen epähomogeeninen differentiliyhtälö > diffyht:= (-1)*diff(y(), $3)-*diff(y(), $2)+diff(y(), )=ep(^2); diffyht

Lisätiedot

Johdatus L A TEXiin. 8. Taulukot ja kuvat. Matemaattisten tieteiden laitos

Johdatus L A TEXiin. 8. Taulukot ja kuvat. Matemaattisten tieteiden laitos Johdatus L A TEXiin 8. Taulukot ja kuvat Matemaattisten tieteiden laitos Taulukot I Taulukkomaiset rakenteet tehdään ympäristöllä tabular Taulukot I Taulukkomaiset rakenteet tehdään ympäristöllä tabular

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

Riemannin integraali

Riemannin integraali LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu

Lisätiedot

S Fysiikka III (EST), Tentti

S Fysiikka III (EST), Tentti S-114.137 Fysiikk III (ES), entti 30.8.006 1. Lämpövoimkone toteutt oheisen kuvn Crnotin prosessi. Koneess on työineen yksi mooli ideliksu. Lske yksitomisen ksun kierroksen ikn tekemän työn suhde kksitomisen

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()

Lisätiedot

Johdatus L A TEXiin. 9. Sivun mitat, ulkoasu ja kalvot. Matemaattisten tieteiden laitos

Johdatus L A TEXiin. 9. Sivun mitat, ulkoasu ja kalvot. Matemaattisten tieteiden laitos Johdatus L A TEXiin 9. Sivun mitat, ulkoasu ja kalvot Matemaattisten tieteiden laitos Sivun mitoista I L A TEXissa kaikki sivuasetukset (marginaalit, tekstin leveys, jne.) ovat mittoja Keskeisimmät mitat

Lisätiedot

Johdatus L A TEXiin. 5. Ristiviittauksista, monirivisistä kaavoista ja vähän muustakin Markus Harju. Matemaattiset tieteet

Johdatus L A TEXiin. 5. Ristiviittauksista, monirivisistä kaavoista ja vähän muustakin Markus Harju. Matemaattiset tieteet Johdatus L A TEXiin 5. Ristiviittauksista, monirivisistä kaavoista ja vähän muustakin Markus Harju Matemaattiset tieteet a Ristiviittauksista I Jos johonkin kirjoitelman osioon, yhtälöön tai kaavaan halutaan

Lisätiedot

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT Lyhyt mtemtiikk YO-vlmennus 8. mliskuut 00 LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE RATKAISUT. Trkstelln yhtälöpri, polynomin sievennöstä j lusekkeeseen sijoittmist. ) Rtkistn jälkimmäisestä yhtälöstä x, jolle

Lisätiedot

Asennus- ja käyttöohje ROBA -liukunavoille Koot 0 12 (B.1.0.FIN)

Asennus- ja käyttöohje ROBA -liukunavoille Koot 0 12 (B.1.0.FIN) Pyydämme lukemn käyttöohjeen huolellisesti läpi j noudttmn sitä! Ohjeiden liminlyönti voi joht kytkimen toiminthäiriöihin j siitä johtuviin vurioihin. Nämä käyttöohjeet (B.1.0.FIN) ovt os kytkintoimitust.

Lisätiedot

Kertausta ja täydennystä

Kertausta ja täydennystä LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin

Lisätiedot

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Annik Heinonen Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Helmikuu 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Newtonin integrli 2 2.1

Lisätiedot

Johdatus L A TEXiin. 9. Sivun mitat, ulkoasu ja kalvot. Matemaattisten tieteiden laitos

Johdatus L A TEXiin. 9. Sivun mitat, ulkoasu ja kalvot. Matemaattisten tieteiden laitos Johdatus L A TEXiin 9. Sivun mitat, ulkoasu ja kalvot Matemaattisten tieteiden laitos Sivun mitoista I L A TEXissa kaikki sivuasetukset (marginaalit, tekstin leveys, jne.) ovat mittoja Sivun mitoista I

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Johdatus L A TEXiin. 7. Taulukot ja kuvat. Dept. of Mathematical Sciences

Johdatus L A TEXiin. 7. Taulukot ja kuvat. Dept. of Mathematical Sciences Johdatus L A TEXiin 7. Taulukot ja kuvat Dept. of Mathematical Sciences Taulukot I Taulukkomaiset rakenteet tehdään ympäristöllä tabular Ympäristön argumentiksi annetaan sarakemäärittely, joka on kirjaimista

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

Asennusopas. Daikin Altherma - Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi

Asennusopas. Daikin Altherma - Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi Dikin Altherm - Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Suomi Sisällysluettelo Sisällysluettelo Tietoj sikirjst. Tieto tästä sikirjst... Tietoj pkkuksest. Vrlämmitin..... Vrusteiden poistminen

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa. Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä

Lisätiedot

OUML6421B3004. 3-tilaohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT

OUML6421B3004. 3-tilaohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT OUML6421B3004 3-tilohjttu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET i Lämmityksen säätö i Ilmnvihtojärjestelmät TUOTETIEDOT OMINAISUUDET Helppo j nope sent Ei trvitse erillistä sennustelinettä Ei trvitse liikepituuden

Lisätiedot

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta. MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op Johdtus relifunktioihin 802161P, 5op Os 3 Pekk Slmi 19. lokkuut 2015 Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 1 / 48 Integrlit 1 Määrätty integrli = oike integrli: esim. 1 0 x 2 dx = reliluku 2 Määräämätön integrli

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

Integraalilaskenta. Määrätty integraali

Integraalilaskenta. Määrätty integraali 9..08 Integrlilskent Määräämätön Etsitään funktiot Derivoinnille käänteistoimenpide integroiminen Integrlifunktio F(x), jolle F x = f x, lisäksi integrlifunktioille G x = F x + C. Vkion C lisäys (merkitys),

Lisätiedot

Mitä ovat blogit? Mitä blogit ovat. Mahdollisuuksia Verkostoitumista Viestintää Todistusta

Mitä ovat blogit? Mitä blogit ovat. Mahdollisuuksia Verkostoitumista Viestintää Todistusta Kirsi Myllyniemi, Blogikurssi teologeille mlikuuss 2006 Mitä blogit ovt Mhdollisuuksi Verkostoitumist Mitä ovt blogit? Mhdollisuuksi Verkostoitumist Sn blogi tulee englnnin snoist web log. Se sisältää

Lisätiedot

OUML7421B3003. Jänniteohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT. i OUV5049 i OUV5050

OUML7421B3003. Jänniteohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT. i OUV5049 i OUV5050 OUML7421B3003 Jänniteohjttu venttiilimoottori TUOTETIEDOT OMINAISUUDET Helppo j nope sent Ei trvitse erillistä sennustelinettä Ei trvitse liikepituuden säätöä Momenttirjkytkimet Käsikäyttömhdollisuus Mikroprosessorin

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),

Lisätiedot

4 Pinta-alasovelluksia

4 Pinta-alasovelluksia Pint-lsovelluksi. Kuvjn lle jäävä pint-l voidn määrittää, jos kuvj on -kselin yläpuolell. Välillä [, 5] funktion f kuvj on -kselin lpuolell. Peiltn funktion f kuvj -kselin suhteen, jolloin sdn funktion

Lisätiedot

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään. S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

Johdanto Mikä L A TEX on? Suomenkielinen L A TEX-tiedostopohja. Perusteet Tekstin kirjoittaminen Matematiikkatila

Johdanto Mikä L A TEX on? Suomenkielinen L A TEX-tiedostopohja. Perusteet Tekstin kirjoittaminen Matematiikkatila L A TEX-kurssi Johdanto Mikä L A TEX on? Suomenkielinen L A TEX-tiedostopohja Perusteet Tekstin kirjoittaminen Matematiikkatila Matemaattinen teksti Määritelmät, lauseet,... Viittaaminen Muita ympäristöjä

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

2 Epäoleellinen integraali

2 Epäoleellinen integraali ANALYYSI C, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, SYKSY 8 Epäoleellinen integrli Integrointivihje: Hyödynnä yhdistetyn funktion integrointisääntöä.. Määritä 9 9 (c) ( ). Tutki, millä vkion p rvoill epäoleellinen integrli

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

Pinta-alan laskeminen

Pinta-alan laskeminen Pint-ln lskeminen Esimerkki Välillä, jtkuvn, einegtiivisen funktion f määrätt integrli nt suorn pint-ln, eli f = A. INTEGRAALILASKENTA, MAA9 A = f Toislt, jos f on välillä,, eipositiivinen, eli f R, niin

Lisätiedot

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi! MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske

Lisätiedot

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

5 Riemann-integraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Ala- ja yläintegraali

5 Riemann-integraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Ala- ja yläintegraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 9 5 Riemnn-integrli 5. Al- j yläintegrli Voit olett tunnetuksi ll esitetyt supremumin j infimumin ominisuudet (joukot A j B ovt rjoitettuj sekä epätyhjiä j λ R). Jos

Lisätiedot

Kustaankartanon vanhustenkeskus Vanhainkoti Päivätoiminta Palvelukeskus

Kustaankartanon vanhustenkeskus Vanhainkoti Päivätoiminta Palvelukeskus Kustnkrtnon vnhustenkeskus Vnhinkoti Päivätoimint Plvelukeskus 1 Kustnkrtnoss tärkeinä pidettyjä sioit: sukkn hyvä olo hyvä elämä hyvä yhteistyö omisten knss gerontologisen hoidon osminen työntekijöiden

Lisätiedot

HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN

HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN ilumuoto st ksvtu luun ou perusk Tuntikehyksen os-lue: HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN A2 Aivomyrsky j unelmien leikkipuisto Kesto: 1 kksoistunti, 45 min + 45 min Aihe: Syvennetään jtuksi ympäristöstä liittyvästä

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

Harjoitus 1 -- Ratkaisut

Harjoitus 1 -- Ratkaisut Kun teet harjoitustyöselostuksia Mathematicalla, voit luoda selkkariin otsikon (ja mahdollisia alaotsikoita...) määräämällä soluille erilaisia tyylejä. Uuden solun tyyli määrätään painamalla ALT ja jokin

Lisätiedot

Johdatus L A TEXiin. 8. Sekalaisia asioita. Matemaattinen teksti. Markus Harju. Matemaattiset tieteet

Johdatus L A TEXiin. 8. Sekalaisia asioita. Matemaattinen teksti. Markus Harju. Matemaattiset tieteet Johdatus L A TEXiin 8. Sekalaisia asioita. Matemaattinen teksti. Markus Harju Matemaattiset tieteet Kirjasintyypit a Leipätekstin kirjasimen tyyppiä voi muuttaa seuraavilla komennoilla: \textrm{} antiikva

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

Gillespie A.: Foundations of Economics., 2011, luvut 6-8, 17, 21 ja 29. ISBN 978-0-19-958654-7. Oxford University Press.

Gillespie A.: Foundations of Economics., 2011, luvut 6-8, 17, 21 ja 29. ISBN 978-0-19-958654-7. Oxford University Press. Vltiotieteellinen tiedekunt Tloustieteen vlintkoe Arvosteluperusteet Kesä 0 Vlintkoekirjt Gillespie A.: Foundtions of Economics., 0, luvut 6-8, 7, j 9. ISBN 978-0-9-958654-7. Oxford University Press. sekä

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()

Lisätiedot

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita. T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä

Lisätiedot

Asennusopas. Daikin Altherma Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi

Asennusopas. Daikin Altherma Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi Dikin Altherm Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Dikin Altherm Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin Suomi Sisällysluettelo Sisällysluettelo Tietoj sikirjst. Tieto tästä sikirjst...

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä

Lisätiedot

3.5 Kosinilause. h a c. D m C b A

3.5 Kosinilause. h a c. D m C b A 3.5 Kosiniluse Jos kolmiost tunnetn kksi sivu j näien välinen kulm, sinilusett on sngen vike sovelt kolmion rtkisemiseen. Luse on työklun vuton myös kolmion kulmien rtkisemiseen tpuksess, jolloin kolmion

Lisätiedot

Kasvihuonekaasupäästöjen kehitys pääkaupunkiseudulla

Kasvihuonekaasupäästöjen kehitys pääkaupunkiseudulla YTV MUISTIO 1 Asi 7 / Liite 1 PÄÄKAUPUNKISEUDUN ILMASTOSTRATEGIA 2030 YTV:n hllitus on kokouksessn 14.12.2006 hyväksynyt Pääkupunkiseudun ilmstostrtegiluonnoksen 2030 lusuntojen j knnnottojen pyytämistä

Lisätiedot

Runkovesijohtoputket

Runkovesijohtoputket Runkovesijohtoputket PUTKET JA PUTKEN OSAT SSAB:n vlmistmi pinnoitettuj putki j putken osi käytetään lähinnä runkovesijohtolinjoihin, joiden hlkisij on DN 400-1200. Ost vlmistetn teräksisistä pineputkist

Lisätiedot

Vuokrahuoneistojen välitystä tukeva tietojärjestelmä.

Vuokrahuoneistojen välitystä tukeva tietojärjestelmä. Kertusesimerkki: Vuokrhuoneistojen välitystä tukev tietojärjestelmä. Esimerkin trkoituksen on on hvinnollist mllinnustekniikoiden käyttöä j suunnitteluprosessin etenemistä tietojärjestelmän kehityksessä.

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Harri Lehtinen. Kongruenssista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Harri Lehtinen. Kongruenssista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Hrri Lehtinen Kongruenssist Mtemtiikn, tilstotieteen j filosofin litos Mtemtiikk Helmikuu 006 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn, tilstotieteen j filosofin litos LEHTINEN,

Lisätiedot

Korkotuettuja osaomistusasuntoja

Korkotuettuja osaomistusasuntoja Korkotuettuj osomistussuntoj Hvinnekuv suunnitelmst. Titeilijn näkemys Asunto Oy Espoon Stulmkri Stulmkrintie 1, 02780 ESOO Asunto Oy Espoon Stulmkri Kerv Kuklhti Iso Mntie 2 Espoo Vihdintie Keh III Hämeenlinnnväylä

Lisätiedot

2.2 Automaattien minimointi

2.2 Automaattien minimointi 24 2.2 Automttien minimointi Kksi utomtti, jotk tunnistvt täsmälleen smn kielen ovt keskenään ekvivlenttej Äärellinen utomtti on minimlinen jos se on tilmäärältään pienin ekvivlenttien utomttien joukoss

Lisätiedot

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää Solmu 3/2008 Mtemtiikkolympiliset 2008 kuusi vike tehtävää Mtti Lehtinen Mnpuolustuskorkekoulu 49. Knsinväliset mtemtiikkolympiliset pidettiin Mdridiss 4. 22. heinäkuut 2008. Kilpilijoit oli 535 j he edustivt

Lisätiedot

VESIPATTERIN ASENNUS TBLA Thermo Guard-jäätymissuojalla GOLD koko 11-32, versio B

VESIPATTERIN ASENNUS TBLA Thermo Guard-jäätymissuojalla GOLD koko 11-32, versio B VESIPATTERIN ASENNUS TBLA -jäätymissuojll GOLD koko 11-32, versio B ASENNUS 1. Knvliitäntä on tehtävä seurvsti: ) TBLA 000-031 j 000-040 Vesiptteri voidn sent suorn kierresumttuun knvn. Ptteri on vrustettu

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot