Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1"

Transkriptio

1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

2 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen binomijakauma Hypergeometrinen jakauma Poisson-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 2

3 Diskreetti tasainen jakauma Diskreetti tasainen jakauma ja sen pistetodennäköisyysfunktio 1/2 Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka mahdolliset arvot ovat x 1, x 2,, x n Oletetaan, että satunnaismuuttujan X mahdollisiin arvoihin x 1, x 2,, x n liittyvät todennäköisyydet ovat yhtä suuria: 1 Pr( X = xk ) =, k = 1,2,, n n Huomautus: Diskreetti tasainen jakauma liittyy sellaisiin äärellisiin otosavaruuksiin, joissa alkeistapaukset ovat symmetrisiä. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 3

4 Diskreetti tasainen jakauma Diskreetti tasainen jakauma ja sen pistetodennäköisyysfunktio 2/2 Satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio on 1 f( x) = Pr( X = x) =, x= x k n k = 1, 2,, n Sanomme, että satunnaismuuttuja X noudattaa diskreettiä tasaista jakaumaa. Huomautus: Funktio f(x) määrittelee todennäköisyysjakauman, koska n 1 f( xk ) = n = 1 n k= 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 4

5 Diskreetti tasainen jakauma Odotusarvo, varianssi ja standardipoikkeama Diskreetin tasaisen jakauman odotusarvo: n 1 E( X) = µ X = x = xk n k= 1 Diskreetin tasaisen jakauman varianssi: n Var( X) = D ( X) = σ X = ( xk x) n k= 1 Diskreetin tasaisen jakauman standardipoikkeama: n 1 2 D( X) = σ X = ( xk x) n k= 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 5

6 Diskreetti tasainen jakauma Odotusarvon ja varianssin johto Suoraan diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvon ja varianssin määritelmistä saadaan: E( X ) = µ = n k k= 1 n x f( x ) 1 = x = x n Var( X) = D ( X) = σ k k k= n 2 ( xk µ ) f( xk) k= 1 n 1 2 ( xk x) n k= 1 = = TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 6

7 Diskreetti tasainen jakauma Odotusarvon ominaisuuksia Diskreetin tasaisen jakauman odotusarvo n 1 E( X) = µ X = xk = x n k = 1 on satunnaismuuttujan X mahdollisten arvojen x 1, x 2,, x n aritmeettinen keskiarvo. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 7

8 Diskreetti tasainen jakauma Odotusarvon ja varianssin laskeminen: Esimerkki Olkoon satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio f(k) = Pr(X= k) = p k = 1/6, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Odotusarvo: E( X) = kf( k) = k k= 1 6 k= 1 1 = ( ) = Varianssi: D( X) = ( k E()) x f() k = ( k E()) x k= 1 6 k= = (1 3.5) (2 3.5) (6 3.5) = 12 Standardipoikkeama: D( X ) = TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 8

9 Diskreetti tasainen jakauma Pistetodennäköisyysfunktion kuvaaja Kuva oikealla esittää diskreetin tasaisen jakauman 1 f( x) =, x= 1,2,3,4,5,6 6 pistetodennäköisyysfunktiota. Jakauman odotusarvo: 6 1 E( X) = k = k = Diskreetti tasainen jakauma E(X) = 3.5 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 9

10 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma >> Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen binomijakauma Hypergeometrinen jakauma Poisson-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 10

11 Bernoulli-jakauma Bernoulli-jakauma ja sen pistetodennäköisyysfunktio 1/2 Olkoon A otosavaruuden S tapahtuma ja olkoon Pr(A) = p. Tällöin tapahtuman A komplementtitapahtuman A c todennäköisyys on Pr(A c ) = 1 Pr(A) = 1 p = q Määritellään diskreetti satunnaismuuttuja X: 1, jos tapahtuma A sattuu X = 0, jos tapahtuma A ei satu Tällöin satunnaismuuttujan X jakauma on Pr( X = 1) = p Pr( X = 0) = 1 p = q TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 11

12 Bernoulli-jakauma Bernoulli-jakauma ja sen pistetodennäköisyysfunktio 2/2 Satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio on x 1 x f( x) = Pr( X = x) = p q,0< p< 1, q= 1 p x = 0,1 Sanomme, että satunnaismuuttuja X noudattaa Bernoulli-jakaumaa parametrinaan p. Merkintä: X Bernoulli(p) Huomautus: Funktio f(x) määrittelee todennäköisyysjakauman, koska f(0) + f(1) = q+ p= 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 12

13 Bernoulli-jakauma Komplementtitapahtuman todennäköisyys Olkoon Pr(A) = p Tällöin Pr(A c ) = 1 P(A) = 1 p = q A A c S TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 13

14 Bernoulli-jakauma Odotusarvo, varianssi ja standardipoikkeama Olkoon X Bernoulli(p) Odotusarvo: E(X) = p Varianssi ja standardipoikkeama: 2 Var( X) = D ( X) = pq D( X) = pq TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 14

15 Bernoulli-jakauma Odotusarvon ja varianssin johto Suoraan diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvon ja varianssin määritelmistä saadaan: E( X ) = 1 Pr( X = 1) + 0 Pr( X = 0) = 1 p+ 0 q = p X = X = + X = = 1 p+ 0 q = p E( ) 1 Pr( 1) 0 Pr( 0) Var( X) = E( X ) [E( X)] = p p = p(1 p) = pq TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 15

16 Bernoulli-jakauma Odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia Olkoon X Bernoulli(p) Bernoulli-jakauman odotusarvo E(X) = p yhtyy tapahtuman A todennäköisyyteen Pr(A) = p. Bernoulli-jakauman varianssi Var(X) = pq = p(1 p) = p p 2 saavuttaa maksiminsa 1/4 kun p = q = 1/2. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 16

17 Bernoulli-jakauma Pistetodennäköisyysfunktion kuvaaja Kuva oikealla esittää Bernoullijakauman Bernoulli(0.8) pistetodennäköisyysfunktiota x 1 x f( x) = p q p= 0.8, q= 1 p pisteissä x = 0, 1 Jakauman odotusarvo: E( X ) = p = Bernoulli(0.8) 0 1 E(X) = 0.8 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 17

18 Bernoulli-jakauma Bernoulli-jakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma 1/2 Olkoot X 1, X 2,, X n riippumattomia satunnaismuuttujia, jotka noudattavat samaa Bernoulli-jakaumaa parametrinaan p: X 1, X 2,, X n X i ~ Bernoulli(p), i = 1, 2,, n Tällöin satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X n summa Y = X 1 + X X n noudattaa binomijakaumaa parametrein n ja p: Y ~ Bin(n, p) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 18

19 Bernoulli-jakauma Bernoulli-jakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma 2/2 Tulos perustellaan luvussa Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat. Huomautuksia: Kaikilla Bernoulli-jakaumilla on oltava sama tapahtuman A todennäköisyyttä kuvaava parametri p. Tarkoitamme satunnaismuuttujien riippumattomuudella sitä, että yhdenkään satunnaismuuttujan saamat arvot eivät riipu siitä, mitä arvoja muut satunnaismuuttujat saavat; käsite täsmennetään luvussa Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 19

20 Bernoulli-jakauma Bernoulli-kokeet ja diskreetit todennäköisyysjakaumat 1/2 Toistetaan toisistaan riippumatta samaa Bernoulli-koetta ja tarkastellaan tapahtuman A sattumista toistojen aikana: (i) Binomijakauma saadaan määräämällä todennäköisyys sille, että tapahtuma A sattuu x kertaa, kun koetta toistetaan n kertaa, jossa n on kiinteä, etukäteen päätetty luku. (ii) Geometrinen jakauma saadaan määräämällä todennäköisyys sille, että tapahtuma A sattuu ensimmäisen kerran x. koetoistossa. (iii) Negatiivinen binomijakauma saadaan määräämällä todennäköisyys sille, että tapahtuma A sattuu r. kerran x. koetoistossa. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 20

21 Bernoulli-jakauma Bernoulli-kokeet ja diskreetit todennäköisyysjakaumat 2/2 Poisson-jakauma voidaan johtaa binomijakauman rajaarvona, kun koetoistojen lukumäärän annetaan tiettyjen ehtojen vallitessa kasvaa rajatta. Poisson-jakauma kuvaa harvinaisten tapahtumien todennäköisyyksiä pitkissä toistokoesarjoissa. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 21

22 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma >> Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen binomijakauma Hypergeometrinen jakauma Poisson-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 22

23 Binomijakauma Binomijakauma ja sen pistetodennäköisyysfunktio 1/3 Toistetaan samaa Bernoulli-koetta n kertaa, jossa n on kiinteä, etukäteen päätetty luku. Oletetaan, että koetoistot ovat riippumattomia. Tarkastellaan otosavaruuden S tapahtuman A sattumista koetoistojen aikana. Oletetaan, että Pr(A) = p Pr(A c ) = 1 Pr(A) = 1 p = q Määritellään diskreetti satunnaismuuttuja X: X = Tapahtuman A esiintymisten lukumäärä n-kertaisessa Bernoulli-kokeessa TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 23

24 Binomijakauma Binomijakauma ja sen pistetodennäköisyysfunktio 2/3 Satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio on n x n x f( x) = Pr( X = x) = p q,0 p 1, q 1 p x < < = x= 0,1,2,, n Sanomme, että satunnaismuuttuja X noudattaa binomijakaumaa parametrein n ja p. Merkintä: X Bin(n, p) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 24

25 Binomijakauma Binomijakauma ja sen pistetodennäköisyysfunktio 3/3 Huomautus: Funktio f(x) määrittelee todennäköisyysjakauman, koska binomikaavan mukaan n n n x n x n n f( x) = p q ( p q) 1 1 x 0 x 0 x = + = = = = Siten binomijakauman pistetodennäköisyydet n x n x px = f( x) = p q, x= 0,1,2,, n x toteuttavat yhtälön n n x n x p0 + p1+ p2 + + pn = p q = 1 x= 0 x TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 25

26 Binomijakauma Pistetodennäköisyysfunktion johto 1/2 Toistetaan samaa Bernoulli-koetta n kertaa. Oletetaan, että koetoistot ovat riippumattomia ja tarkastellaan tapahtuman A sattumista koetoistojen aikana. Oletetaan, että toistokoesarjan tuloksena saadaan tapahtumajono c c A AA AA A jossa on x kpl tapahtumia A ja (n x) kpl tapahtumia A c. Koska Pr(A) = p Pr(A c ) = 1 Pr(A) = 1 p = q tarkasteltavan tapahtumajonon todennäköisyydeksi saadaan riippumattomien tapahtumien tulosäännön nojalla x n x ppqpq p = p q TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 26

27 Binomijakauma Pistetodennäköisyysfunktion johto 2/2 Erilaisia jonoja, joissa on x kpl tapahtumia A ja (n x) kpl tapahtumia A c, on n kpl x Erilaiset tapahtumajonot ovat toisensa poissulkevia. Toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön mukaan todennäköisyys saada sellainen jono, jossa on x kpl tapahtumia A ja (n x) kpl tapahtumia A c saadaan laskemalla erilaisten tällaisten jonojen todennäköisyydet yhteen. Siten kysytyksi todennäköisyydeksi saadaan n x n x f( x) = p q, q= 1 p x x= 0,1,2,, n TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 27

28 Binomijakauma Odotusarvo, varianssi ja standardipoikkeama Olkoon X Bin(n, p) Odotusarvo: E( X) = np Varianssi ja standardipoikkeama: 2 Var( ) D ( ) D( X ) = X = X = npq npq TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 28

29 Binomijakauma Odotusarvon johto 1/2 Olkoon X Bin(n, p) Tällöin n n n! x n x E( X) = xf( x) = x p (1 p) x= 0 x= 0 x!( n x)! n n! x n x = x p (1 p) x= 1 x!( n x)! n n! x = p (1 p) ( x 1)!( n x)! n x x= 1 n ( n 1)! x 1 np p p x= 1 ( x 1)!( n x)! = (1 ) = np n x TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 29

30 Binomijakauma Odotusarvon johto 2/2 Kalvon 1/2 yhtälöketjun viimeinen yhtälö perustuu siihen, että n ( n 1)! x 1 n x p (1 p) x= 1 ( x 1)!( n x)! n 1 ( n 1)! x n 1 x = p (1 p) = 1 x= 0 x!( n 1 x)! Tämä seuraa siitä, että jälkimmäisessä summassa lasketaan yhteen kaikki binomijakauman Bin(n 1, p) pistetodennäköisyydet ( n 1)! x n 1 x f( x) = p (1 p), x= 0,1,2,, n 1 x!( n 1 x)! TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 30

31 Binomijakauma Odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia Olkoon X Bin(n, p) Binomijakauman odotusarvo E( X) = np on suoraan verrannollinen sekä toistokeiden lukumäärään n että tapahtuman A todennäköisyyteen Pr(A) = p. Binomijakauman varianssi Var(X) = npq = np(1 p) saavuttaa maksiminsa n/4 kun p = q = 1/2. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 31

32 Binomijakauma Pistetodennäköisyysfunktion kuvaaja Kuva oikealla esittää Binomijakauman 0.4 Bin(12, 1/3) 0.3 pistetodennäköisyysfunktiota n x n x 0.2 f( x) = p q x 0.1 n= 12, p= 1/ 3, q= 1 p pisteissä 0 x = 0, 1, 2,, 12 Jakauman odotusarvo: E( X ) = np = 4 E(X) = 4 Bin(12, 1/3) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 32

33 Binomijakauma Pistetodennäköisyysfunktion kuvaaja: Tapaukset p < 1/2, p = 1/2, p > 1/2 0.3 Bin(12, 1/4) Bin(12, 1/2) Bin(12, 3/4) p < 1/2: Binomijakauma on vino oikealle. p = 1/2: Binomijakauma on symmetrinen. p > 1/2: Binomijakauma on vino vasemmalle. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 33

34 Binomijakauma Binomijakauma ja Bernoulli-jakauma 1/3 Toistetaan samaa Bernoulli-koetta n kertaa, jossa n on kiinteä, etukäteen päätetty luku. Oletetaan, että koetoistot ovat riippumattomia ja tarkastellaan tapahtuman A sattumista koetoistojen aikana. Oletetaan, että Pr(A) = p Pr(A c ) = 1 p = q TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 34

35 Binomijakauma Binomijakauma ja Bernoulli-jakauma 2/3 Määritellään diskreetit satunnaismuuttujat X i, i = 1, 2,, n : 1, jos A tapahtuu kokeessa i X i = 0, jos A ei tapahdu kokeessa i Tällöin X i Bernoulli(p), i = 1, 2,, n. Määritellään diskreetti satunnaismuuttuja X : X = Tapahtuman A esiintymisten lukumäärä n-kertaisessa Bernoulli-kokeessa Tällöin X Bin(n, p) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 35

36 Binomijakauma Binomijakauma ja Bernoulli-jakauma 3/3 Selvästi X n = X i= 1 i koska luku 1 esiintyy summassa X i täsmälleen yhtä monta kertaa kuin tapahtuma A sattuu n:n koetoiston aikana. Tämä merkitsee sitä, että binomijakautunut satunnaismuuttuja voidaan aina esittää riippumattomien Bernoullijakautuneiden satunnaismuuttujien summana. Huomautus: Binomi- ja Bernoulli-jakauman yhteyttä voidaan käyttää apuna binomijakauman odotusarvon ja varianssin määräämisessä; ks. >. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 36

37 Binomijakauma Binomijakauman odotusarvon ja varianssin johto sekä Bernoulli-jakauma 1/2 Olkoot X i, i = 1,2,, n riippumattomia satunnaismuuttujia, jotka noudattavat samaa Bernoulli-jakaumaa parametrinaan p: X 1, X 2,, X n X i Bernoulli(p), i = 1,2,, n Olkoon n X = X i i= 1 Tällöin X Bin(n, p) Huomautus: Tarkoitamme satunnaismuuttujien riippumattomuudella sitä, että yhdenkään satunnaismuuttujan saamat arvot eivät riipu siitä, mitä arvoja muut satunnaismuuttujat saavat; käsite täsmennetään luvussa Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 37

38 Binomijakauma Binomijakauman odotusarvon ja varianssin johto sekä Bernoulli-jakauma 2/2 Satunnaismuuttujan X = X i odotusarvo on n n n E( X ) = E Xi = E( Xi) = p= np i= 1 i= 1 i= 1 koska satunnaismuuttujien summan odotusarvo on satunnaismuuttujien odotusarvojen summa. Satunnaismuuttujan X = X i varianssi on n n n D( X ) = D X i = D( X i) = pq = npq i= 1 i= 1 i= 1 koska riippumattomien satunnaismuuttujien summan varianssi on satunnaismuuttujien varianssien summa. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 38

39 Binomijakauma Binomijakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma 1/2 Olkoot X 1, X 2,, X k riippumattomia satunnaismuuttujia, jotka noudattavat binomijakaumia parametrein (n 1, p), (n 2, p),, (n k, p): X 1, X 2,, X k X i ~ Bin(n i, p), i = 1, 2,, k Tällöin satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X k summa Y = X 1 + X X k noudattaa binomijakaumaa parametrein n 1 + n n k ja p: Y ~ Bin(n 1 + n n k, p) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 39

40 Binomijakauma Binomijakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma 2/2 Tulos perustellaan luvussa Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat. Huomautuksia: Kaikilla binomijakaumilla on oltava sama tapahtuman A todennäköisyyttä kuvaava parametri p, mutta sen sijaan toistokokeiden lukumäärää kuvaava parametri saa vaihdella jakaumasta toiseen. Tarkoitamme satunnaismuuttujien riippumattomuudella sitä, että yhdenkään satunnaismuuttujan saamat arvot eivät riipu siitä, mitä arvoja muut satunnaismuuttujat saavat; käsite täsmennetään luvussa Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 40

41 Binomijakauma Binomijakauma ja otanta takaisinpanolla 1/5 Olkoon perusjoukon S alkioiden lukumäärä n(s) = N Poimitaan perusjoukosta S satunnaisesti osajoukko B, jonka alkioiden lukumäärä on n(b) = n käyttämällä poiminnassa otantaa takaisinpanolla. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 41

42 Binomijakauma Binomijakauma ja otanta takaisinpanolla 2/5 Otanta takaisinpanolla: (i) Poimitaan alkiot perusjoukosta S osajoukkoon B yksi kerrallaan arpomalla. (ii) Jokainen poimittu alkio palautetaan ennen seuraavan alkion arpomista takaisin perusjoukkoon S. (iii) Jokaisella perusjoukon S alkiolla on jokaisessa arvonnassa sama todennäköisyys 1/N tulla poimituksi osajoukkoon B. Osajoukko B muodostaa yksinkertaisen satunnaisotoksen perusjoukosta S. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 42

43 Binomijakauma Binomijakauma ja otanta takaisinpanolla 3/5 Otannassa takaisinpanolla arvonta voidaan toteuttaa seuraavalla tavalla: (1) Pannaan uurnaan jokaista perusjoukon S alkiota vastaava arpalippu. (2) Sekoitetaan arvat huolellisesti. (3) Nostetaan uurnasta arpalippu, jota vastaava alkio valitaan otokseen B. (4) Palautetaan nostettu arpalippu uurnaan. (5) Palataan vaiheeseen (2), kunnes haluttu otoskoko n on saavutettu. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 43

44 Binomijakauma Binomijakauma ja otanta takaisinpanolla 4/5 Huomautuksia otannasta takaisinpanolla: (i) Jokaisen perusjoukon S alkion todennäköisyys tulla valituksi otokseen säilyy samana koko poiminnan ajan. (ii) Jokaisella perusjoukon S samankokoisella osajoukolla on sama todennäköisyys tulla valituksi otokseksi. (iii) Sama perusjoukon S alkio voi tulla valituksi useita kertoja otokseen. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 44

45 Binomijakauma Binomijakauma ja otanta takaisinpanolla 5/5 Olkoon A perusjoukon osajoukko, jonka alkioiden lukumäärä on n(a) = r Tällöin todennäköisyys poimia alkio joukosta A on r Pr( A) = p = N Otannassa takaisinpanolla otokseen poimittujen A- tyyppisten alkioiden lukumäärä X on diskreetti satunnaismuuttuja, joka noudattaa binomijakaumaa parametrein n ja p: X Bin(n, p) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 45

46 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma >> Geometrinen jakauma Negatiivinen binomijakauma Hypergeometrinen jakauma Poisson-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 46

47 Geometrinen jakauma Geometrinen jakauma ja sen pistetodennäköisyysfunktio 1/2 Toistetaan samaa Bernoulli-koetta. Oletetaan, että koetoistot ovat riippumattomia. Tarkastellaan otosavaruuden S tapahtuman A sattumista koetoistojen aikana. Oletetaan, että Pr(A) = p Pr(A c ) = 1 Pr(A) = 1 p = q Määritellään diskreetti satunnaismuuttuja X: X = Tehtyjen Bernoulli-kokeiden lukumäärä, kun A sattuu ensimmäisen kerran TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 47

48 Geometrinen jakauma Geometrinen jakauma ja sen pistetodennäköisyysfunktio 2/2 Satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio on x 1 f( x) = Pr( X = x) = q p,0< p< 1, q= 1 p x = 1, 2,3, Sanomme, että satunnaismuuttuja X noudattaa geometrista jakaumaa parametrinaan p. Merkintä: X Geom(p) Huomautus: Funktio f(x) määrittelee todennäköisyysjakauman, koska geometrisen sarjan summan kaavan mukaan x 1 x 1 1 f( x) = q p= p q = p = p = 1 1 q p x= 1 x= 1 x= 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 48

49 Geometrinen jakauma Pistetodennäköisyysfunktion johto 1/2 Toistetaan samaa Bernoulli-koetta. Oletetaan, että koetoistot ovat riippumattomia ja tarkastellaan tapahtuman A sattumista koetoistojen aikana. Tarkastellaan toistokoesarjaa, jossa tapahtuma A sattuu ensimmäisen kerran x:nnessä kokeessa. Toistokoesarjan tuloksena on tällöin ollut tapahtumajono c c c c A A A A A jossa on (x 1) kpl tapahtumia A c ja jossa tapahtuma A on viimeisenä. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 49

50 Geometrinen jakauma Pistetodennäköisyysfunktion johto 2/2 Koska Pr(A) = p Pr(A c ) = 1 Pr(A) = 1 p = q tarkasteltavan tapahtumajonon todennäköisyydeksi saadaan riippumattomien tapahtumien tulosäännön nojalla x 1 qqq qp = q p x = 1, 2,3, mikä on kysytty todennäköisyys. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 50

51 Geometrinen jakauma Odotusarvo, varianssi ja standardipoikkeama Olkoon X Geom(p) Odotusarvo: 1 E( X ) = p Varianssi ja standardipoikkeama: 2 q Var( X) = D ( X) = 2 p D( X ) = q p TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 51

52 Geometrinen jakauma Odotusarvon johto 1/4 Olkoon X Geom(p) Satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio on x 1 f( x) = q p, q= 1 p x = 1, 2,3, Pistetodennäköisyyksien f(x), x = 1, 2, 3, summa on x 1 ( ) = ( ) = (1 ) = 1 x= 1 x= 1 S p f x p p Satunnaismuuttujan X odotusarvo on 1 X = xf x = x p p x= 1 x= 1 E( ) ( ) (1 ) x TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 52

53 Geometrinen jakauma Odotusarvon johto 2/4 Summan S(p) derivaatta muuttujan p suhteen on S( p) p = ( x 1)(1 p) p+ (1 p) x= 1 = x= 1 x 2 x(1 p) p x 2 x 1 x 2 x 1 + (1 p) p+ (1 p) x= 1 x= 1 x 1 1 = x(1 p) p 1 p x= (1 ) + (1 ) 1 p p x 1 x 1 p p p p x= 1 x= 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 53

54 Geometrinen jakauma Odotusarvon johto 3/4 Ottamalla huomioon yhtälöt x= 1 x= 1 x 1 (1 p) p= S( p) = 1 x p p X x 1 (1 ) = E( ) saadaan yhtälö S( p) = E( X ) + + p 1 p 1 p p 1 1 = E( X ) + 1 p p(1 p) = 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 54

55 Geometrinen jakauma Odotusarvon johto 4/4 Geometrisen jakauman odotusarvo E(x) toteuttaa siis yhtälön 1 1 E( X ) 0 1 p + p(1 p) = Siten geometrisen jakauman odotusarvo on E( X ) = 1 p TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 55

56 Geometrinen jakauma Odotusarvon ominaisuuksia Olkoon X Geom(p) Geometrisen jakauman odotusarvo 1 E( X ) = p on kääntäen verrannollinen tapahtuman A todennäköisyyteen Pr(A) = p. Siten tapahtumaa A saa odottaa keskimäärin sitä kauemmin mitä pienempi on tapahtuman A todennäköisyys. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 56

57 Geometrinen jakauma Pistetodennäköisyysfunktion kuvaaja Kuva oikealla esittää geometrisen jakauman Geom(1/3) pistetodennäköisyysfunktiota x 1 f( x) = q p p= 1/3, q= 1 p pisteissä x = 1, 2,, 12 Jakauman odotusarvo: 1 E( X ) = = 3 p E(X) = 3 Geom(1/3) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 57

58 Geometrinen jakauma Geometrisen jakauman unohtamisominaisuus Olkoon X Geom(p) Tällöin Pr(X a + b X a) = Pr(X 1 + b) Siten geometrisella jakaumalla on seuraava unohtamisominaisuus: Se, että tapahtuman A sattumista on jouduttu odottamaan a koetoistoa, ei vaikuta todennäköisyyteen joutua odottamaan b koetoistoa lisää. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 58

59 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma >> Negatiivinen binomijakauma Hypergeometrinen jakauma Poisson-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 59

60 Negatiivinen binomijakauma Negatiivinen binomijakauma ja sen pistetodennäköisyysfunktio 1/2 Toistetaan samaa Bernoulli-koetta. Oletetaan, että koetoistot ovat riippumattomia. Tarkastellaan otosavaruuden S tapahtuman A sattumista koetoistojen aikana. Oletetaan, että Pr(A) = p Pr(A c ) = 1 Pr(A) = 1 p = q Määritellään diskreetti satunnaismuuttuja X: X = Tehtyjen Bernoulli-kokeiden lukumäärä, kun A sattuu r. kerran TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 60

61 Negatiivinen binomijakauma Negatiivinen binomijakauma ja sen pistetodennäköisyysfunktio 2/2 Satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio on x 1 x r r f( x) = Pr( X = x) = q p,0 p 1, q 1 p r 1 < < = r = 1, 2,3, ; x= r, r+ 1, r+ 2, Sanomme, että satunnaismuuttuja X noudattaa negatiivista binomijakaumaa parametrein r ja p. Merkintä: X NegBin(r, p) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 61

62 Negatiivinen binomijakauma Pistetodennäköisyysfunktion johto 1/3 Toistetaan samaa Bernoulli-koetta. Oletetaan, että koetoistot ovat riippumattomia ja tarkastellaan tapahtuman A sattumista koetoistojen aikana. Tarkastellaan toistokoesarjaa, jossa tapahtuma A sattuu r. kerran x. kokeessa. Olkoon toistokoesarjan tuloksena ollut tapahtumajono c c c A AAAA AA jossa on r kpl tapahtumia A ja (x r) kpl tapahtumia A c ja jossa tapahtuma A on viimeisenä. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 62

63 Negatiivinen binomijakauma Pistetodennäköisyysfunktion johto 2/3 Koska Pr(A) = p Pr(A c ) = 1 Pr(A) = 1 p = q tarkasteltavan tapahtumajonon todennäköisyydeksi saadaan riippumattomien tapahtumien tulosäännön nojalla x r r ppqpq qp = q p Erilaisten sellaisten jonojen, joissa on r kpl tapahtumia A ja (x r) kpl tapahtumia A c ja joissa A on viimeisenä, lukumäärä on x 1 r 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 63

64 Negatiivinen binomijakauma Pistetodennäköisyysfunktion johto 3/3 Erilaiset tapahtumajonot ovat toisensa poissulkevia. Toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön mukaan todennäköisyys saada sellainen jono, jossa on r kpl tapahtumia A ja (x r) kpl tapahtumia A c ja jossa tapahtuma A on viimeisenä, saadaan laskemalla erilaisten tällaisten jonojen todennäköisyydet yhteen. Koska ko. jonojen lukumäärä on x 1 r 1 saadaan kysytyksi todennäköisyydeksi x 1 x r r f( x) = q p, q 1 p r 1 = r = 1, 2,3, ; x= r, r+ 1, r+ 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 64

65 Negatiivinen binomijakauma Odotusarvo, varianssi ja standardipoikkeama Olkoon X NegBin(r, p) Odotusarvo: r E( X ) = p Varianssi ja standardipoikkeama: 2 rq Var( X) = D ( X) = 2 p rq D( X ) = p TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 65

66 Negatiivinen binomijakauma Odotusarvon johto 1/4 Olkoon X NegBin(r, p) Satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio on x 1 x r r f( x) = q p, q 1 p r 1 = x= r, r+ 1, r+ 2, Pistetodennäköisyyksien f(x), x = r, r + 1, r + 2, summa on x 1 x r r S( p) = f( x) = (1 p) p = 1 x= r x= r r 1 Satunnaismuuttujan X odotusarvo on x 1 x r r E( X ) = xf ( x) = x (1 p) p x= r x= r r 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 66

67 Negatiivinen binomijakauma Odotusarvon johto 2/4 Summan S(p) derivaatta muuttujan p suhteen on ( x ) ( ) ( ) S( p) = ( x r) x 1 (1 p) p r x 1 + (1 p) p p r 1 r 1 x= r = 1 (1 ) r 1 x= r x r 1 r x p p ( ) x 1 ( x 1 ) ( x ) x r 1 r x r r 1 + r (1 p) p + r (1 p) p r 1 r 1 x= r x= r 1 1 (1 ) x r = x p p 1 p r 1 x= r x r 1 r x r r 1 ( 1) x x 1 r r (1 p) p x 1 ( ) (1 p ) r p r 1 x= r r p x= r r 1 x r p r TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 67

68 Negatiivinen binomijakauma Odotusarvon johto 3/4 Ottamalla huomioon yhtälöt x= r x= r ( x ) 1 (1 ) x r r p p = S ( p ) = 1 r 1 ( x ) 1 (1 ) x r r x p p = E( X ) r 1 saadaan yhtälö S( p) 1 r r = E( X ) + + p 1 p 1 p p 1 r = E( X ) + 1 p p(1 p) = 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 68

69 Negatiivinen binomijakauma Odotusarvon johto 4/4 Negatiivisen binomijakauman odotusarvo E(x) toteuttaa siis yhtälön 1 r E( X ) 0 1 p + p(1 p) = Siten negatiivisen binomijakauman odotusarvo on r E( X ) = p TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 69

70 Negatiivinen binomijakauma Odotusarvon ominaisuuksia Olkoon X NegBin(r, p) Negatiivisen binomijakauman odotusarvo r E( X ) = p on suoraan verrannollinen lukuun r ja kääntäen verrannollinen tapahtuman A todennäköisyyteen Pr(A) = p. Siten r. tapahtumaa A saa odottaa keskimäärin sitä kauemmin mitä suurempi on r ja mitä pienempi on tapahtuman A todennäköisyys. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 70

71 Negatiivinen binomijakauma Pistetodennäköisyysfunktion kuvaaja Kuva oikealla esittää negatiivisen binomijakauman NegBin(3, 1/3) pistetodennäköisyysfunktiota x 1 x r r f( x) = q p r 1 r = 3, p= 1/3, q= 1 p pisteissä x = 3, 4,, 16 Jakauman odotusarvo: E( X ) = r = 9 p NegBin(3, 1/3) E(X) = 9 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 71

72 Negatiivinen binomijakauma Negatiivinen binomijakauma ja geometrinen jakauma Olkoon X NegBin(r, p) Jos r =1, niin satunnaismuuttuja X noudattaa geometrista jakaumaa Geom(p): X Geom(p) Geometrinen jakauma on siten negatiivisen binomijakauman erikoistapaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 72

73 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen binomijakauma >> Hypergeometrinen jakauma Poisson-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 73

74 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma ja sen pistetodennäköisyysfunktio 1/3 Olkoon perusjoukon S alkioiden lukumäärä n(s) = N Tarkastellaan perusjoukon S ositusta joukkoihin A ja A c. Oletetaan, että joukossa A S on n(a) = r alkiota. Tällöin joukon A komplementissa A c on n(a c ) = N r alkiota. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 74

75 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma ja sen pistetodennäköisyysfunktio 2/3 Poimitaan perusjoukosta S satunnaisesti osajoukko B, jonka alkioiden lukumäärä on n(b) = n käyttämällä poiminnassa otantaa ilman takaisinpanoa. Määritellään diskreetti satunnaismuuttuja X: X = Osajoukkoon B tulleiden A:n alkioiden lukumäärä TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 75

76 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma ja sen pistetodennäköisyysfunktio 2/2 Satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio on r N r x n x f( x) = Pr( X = x) = N n max[0, n ( N r)] x min( n, r) Sanomme, että satunnaismuuttuja X noudattaa hypergeometrista jakaumaa parametrein N, r ja n. Merkintä: X HyperGeom(N, r, n) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 76

77 Hypergeometrinen jakauma Pistetodennäköisyysfunktion johto 1/4 Olkoon S otosavaruus ja n(s) = N A Olkoon A S Tällöin {A, A c } on otosavaruuden S ositus. B A Olkoon n(a) = r ja n(a c ) = N r Olkoon B S ja n(b) = n Otosavaruuden S ositus {A, A c } indusoi osituksen joukkoon B: B = (B A) (B A c ) Olkoon B B A c A c n(b A) = x S n(b A c ) = n x TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 77

78 Hypergeometrinen jakauma Pistetodennäköisyysfunktion johto 2/4 N:n alkion joukosta S voidaan poimia n:n alkion osajoukko B N n eri tavalla. r:n alkion joukosta A voidaan poimia x alkiota r x eri tavalla. (N r):n alkion joukosta A c voidaan poimia n x alkiota A B B A B A c A c N r n x eri tavalla. S TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 78

79 Hypergeometrinen jakauma Pistetodennäköisyysfunktion johto 3/4 r:n alkion joukosta A voidaan poimia x alkiota riippumatta siitä, mitkä n x alkiota poimitaan (N r):n alkion joukosta A c. Kertolaskuperiaatteen nojalla n alkiota voidaan poimia joukosta S niin, että saadaan r alkiota joukosta A ja (N r) alkiota joukosta A c r N r x n x eri tavalla. A B B A B A c A c S TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 79

80 Hypergeometrinen jakauma Pistetodennäköisyysfunktion johto 4/4 Soveltamalla klassisen todennäköisyyden määritelmää saadaan: r N r x n x Pr( X = x) = N n A B A B A c B A c S TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 80

81 Hypergeometrinen jakauma Odotusarvo, varianssi ja standardipoikkeama Olkoon X HyperGeom(N, r, n) Odotusarvo: r E( X) = n N Varianssi ja standardipoikkeama: r r N n X = X = n N N N 1 2 Var( ) D ( ) 1 r r N n D( X) = n 1 N N N 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 81

82 Hypergeometrinen jakauma Odotusarvon johto 1/3 Olkoon X HyperGeom(N, r, n) Koska r r! ( r 1)! r 1 x x r r x = = = x!( r x)! ( x 1)!( r x)! x 1 niin r N r r 1 N r n n n x n x x 1 n x E( X) = xf( x) = x = r x= 0 x= 0 N x= 1 N n n TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 82

83 Hypergeometrinen jakauma Odotusarvon johto 2/3 Koska N N! N ( N 1)! N N 1 n = = = n!( N n)! n ( n 1)!( N n)! n n 1 niin r 1 N r r 1 N r n n x 1 n x nr x 1 n x E( X) = r = = x= 1 N N 1 N x= 1 N 1 n n 1 n 1 nr N TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 83

84 Hypergeometrinen jakauma Odotusarvon johto 3/3 Kalvon 2/3 yhtälöketjun viimeinen yhtälö perustuu siihen, että r 1 N r r 1 N r n n 1 x 1 n x x n 1 x = = 1 x= 1 N 1 x= 0 N 1 n 1 n 1 Tämä seuraa siitä, että jälkimmäisessä summassa lasketaan yhteen kaikki hypergeometrisen jakauman HyperGeom(N 1, r 1, n 1) pistetodennäköisyydet r 1 N r x n 1 x f( x) =, x= 0,1,2,, n 1 N 1 n 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 84

85 Hypergeometrinen jakauma Odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia 1/3 Olkoon X HyperGeom(N, r, n). Hypergeometrisen jakauman odotusarvo on r E( X) = n N Odotusarvo on suoraan verrannollinen sekä perusjoukon S osajoukon B (= otos) alkioiden lukumäärään (= n) että tyypin A alkioiden lukumäärään perusjoukossa S (= r). Odotusarvo on kääntäen verrannollinen perusjoukon S alkioiden lukumäärään (= N). TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 85

86 Hypergeometrinen jakauma Odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia 2/3 Olkoon perusjoukon S alkioiden lukumäärä n(s) = N Olkoon joukon A S alkioiden lukumäärä n(a) = r Poimitaan perusjoukosta S otannalla ilman takaisinpanoa osajoukko B, jonka alkioiden lukumäärä on n(b) = n Tällöin diskreetti satunnaismuuttuja X = Osajoukkoon B tulleiden A:n alkioiden lukumäärä noudattaa hypergeometrista jakaumaa parametrein N, r, n: X HyperGeom(N, r, n) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 86

87 Hypergeometrinen jakauma Odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia 3/3 Todennäköisyys poimia yksi alkio joukosta A on na ( ) r Pr( A) = p ns ( ) = N = Hypergeometrisen jakauman odotusarvo voidaan kirjoittaa todennäköisyyden p avulla muotoon E( X) = np Hypergeometrisen jakauman varianssi voidaan kirjoittaa todennäköisyyden p avulla muotoon N n X = np( p ) N 1 2 D( ) 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 87

88 Hypergeometrinen jakauma Pistetodennäköisyysfunktion kuvaaja Kuva oikealla esittää hypergeometrisen jakauman HyperGeom(100, 12, 20) pistetodennäköisyysfunktiota r N r x n x f( x) = N n N = 100, r = 12, n= 20 pisteissä x = 0, 1, 2,, 12 Jakauman odotusarvo: r E( X) = n = 2.4 N HyperGeom(100, 12, 20) E(X) = 2.4 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 88

89 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma ja otanta ilman takaisinpanoa 1/5 Olkoon perusjoukon S alkioiden lukumäärä n(s) = N Poimitaan perusjoukosta S satunnaisesti osajoukko B, jonka alkioiden lukumäärä on n(b) = n käyttämällä poiminnassa otantaa ilman takaisinpanoa. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 89

90 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma ja otanta ilman takaisinpanoa 2/5 Otanta ilman takaisinpanoa: (i) Poimitaan alkiot perusjoukosta S osajoukkoon B yksi kerrallaan arpomalla. (ii) Poimittuja alkioita ei palauteta takaisin perusjoukkoon S. (iii) Kun otokseen poimitaan alkiota k, k = 1, 2,, n jokaisella perusjoukossa S jäljellä olevalla alkiolla on sama todennäköisyys 1/(N k + 1) tulla poimituksi osajoukkoon B. Osajoukko B muodostaa yksinkertaisen satunnaisotoksen perusjoukosta S. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 90

91 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma ja otanta ilman takaisinpanoa 3/5 Otannassa ilman takaisinpanoa arvonta voidaan toteuttaa seuraavalla tavalla: (1) Pannaan uurnaan jokaista perusjoukon S alkiota vastaava arpalippu. (2) Sekoitetaan arvat huolellisesti. (3) Nostetaan uurnasta arpalippu, jota vastaava alkio valitaan otokseen B. (4) Ei palauteta nostettua arpalippua uurnaan. (5) Palataan vaiheeseen (3), kunnes haluttu otoskoko n on saavutettu. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 91

92 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma ja otanta ilman takaisinpanoa 4/5 Huomautuksia otannasta ilman takaisinpanoa: (i) Perusjoukon S alkion todennäköisyys tulla valituksi otokseen muuttuu poiminnan aikana. (ii) Jokaisella perusjoukon S samankokoisella osajoukolla on kuitenkin sama todennäköisyys tulla valituksi otokseksi. (iii) Sama perusjoukon S alkio voi tulla valituksi vain kerran otokseen. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 92

93 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma ja otanta ilman takaisinpanoa 5/5 Olkoon A perusjoukon S osajoukko, jonka alkioiden lukumäärä on n(a) = r Todennäköisyys poimia yksi alkio joukosta A on na ( ) r Pr( A) = p ns ( ) = N = Otannassa takaisinpanolla otokseen, jonka koko on n, poimittujen A-tyyppisten alkioiden lukumäärä X on diskreetti satunnaismuuttuja, joka noudattaa hypergeometristä jakaumaa parametrein N, r, n: X HyperGeom(N, r, n) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 93

94 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma vs binomijakauma 1/3 Hypergeometrisen jakauman todennäköisyydet ovat lähellä binomitodennäköisyyksiä, jos otantasuhde n 0 N Otantasuhde 0, jos otoskoko n on pieni perusjoukon kokoon N nähden. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 94

95 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma vs binomijakauma 2/3 Olkoon X HyperGeom(N, r, n) Merkitään p = r/n, jolloin r = Np. Siten X HyperGeom(N, Np, n) Annetaan N +. Tällöin hypergeometrisen jakauman HyperGeom(N, Np, n) pistetodennäköisyydet lähestyvät binomijakauman Bin(n, p) pistetodennäköisyyksiä: lim f ( x) = f ( x), x= 0,1,2,, n N + HyperGeom( NNpn,, ) Bin ( np, ) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 95

96 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma vs binomijakauma 3/3 Hypergeometrisen jakauman ja binomijakauman yhteys näkyy myös siinä, että jakaumilla on sama odotusarvo ja varianssit eroavat vain multiplikatiivisella tekijällä N n N 1 jota sanotaan äärellisen perusjoukon korjaustekijäksi. Korjaustekijä vaikuttaa hypergeometrisen jakauman varianssiin sitä vähemmän mitä pienempi on otantasuhde n/n: N n n 1, jos 0 N 1 N TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 96

97 Hypergeometrinen jakauma Otanta takaisinpanolla vs otanta ilman takaisinpanoa Binomijakauma muodostaa todennäköisyysmallin otannalle takaisinpanolla. Hypergeometrinen jakauma muodostaa todennäköisyysmallin otannalle ilman takaisinpanoa. Ero otannan takaisinpanolla ja otannan ilman takaisinpanoa välillä on merkityksetön, jos otantasuhde n/n on pieni tai perusjoukko on ääretön. Käytännössä otanta tehdään lähes aina ilman takaisinpanoa, mutta laskutoimituksissa käytetään silti usein kaavoja, jotka perustuvat otantaan takaisinpanolla. Edellä esitetyn mukaan tästä johtuva virhe on kuitenkin yleensä merkityksetön. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 97

98 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen binomijakauma Hypergeometrinen jakauma >> Poisson-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 98

99 Poisson-jakauma Poisson-jakauma ja sen pistetodennäköisyysfunktio 1/3 Toistetaan samaa satunnaiskoetta. Oletetaan, että toistot ovat toisistaan riippumattomia. Tarkastellaan jonkin tapahtuman A sattumista toistojen aikana. Oletetaan, että A-tapahtumien keskimääräinen lukumäärä aika- tai tilavuusyksikköä kohden on λ. Määritellään diskreetti satunnaismuuttuja X: X = Tapahtuman A esiintymisten lukumäärä aika- tai tilavuusyksikköä kohden TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 99

100 Poisson-jakauma Poisson-jakauma ja sen pistetodennäköisyysfunktio 2/3 Jos tietyt oletukset pätevät (ks. >), satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio on muotoa x e λ λ f( x) = Pr( X = x) =, λ > 0 x! x = 0,1, 2, Sanomme, että satunnaismuuttuja X noudattaa Poisson-jakaumaa parametrinaan λ. Merkintä: X Poisson(λ) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 100

101 Poisson-jakauma Poisson-jakauma ja sen pistetodennäköisyysfunktio 3/3 Huomautus: Funktio f(x) määrittelee todennäköisyysjakauman, koska eksponenttifunktion määritelmän mukaan λ x x e λ λ λ λ λ f( x) = = e = e e = 1 x! x! x= 0 x= 0 x= 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 101

102 Poisson-jakauma Pistetodennäköisyysfunktion johto 1/3 Tarkastellaan jonkin tapahtuman A sattumista saman satunnaiskokeen toistojen aikana. Oletukset: (1) Toistot ovat toisistaan riippumattomia. (2) Pr(Yksi tapahtuma A lyhyellä aikavälillä dt) = νdt (3) Aikaväli on dt on niin lyhyt, että todennäköisyys Pr(k kpl tapahtumia A aikavälillä dt, k > 1) on häviävän pieni eli kertaluokkaa o(t). Merkitään: f(x; t) = Pr(x kpl tapahtumia A aikavälillä [0, t]) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 102

103 Poisson-jakauma Pistetodennäköisyysfunktion johto 2/3 Oletusten (1)-(3) pätiessä aikavälillä [0, t + dt] voi sattua x kpl tapahtumia A kahdella toisensa poissulkevalla tavalla (tn = todennäköisyys): (1) x kpl tapahtumia A ajanhetkeen t mennessä; tn = f(x; t) Ei tapahtumia A aikavälillä dt; tn = 1 νdt Lisäksi nämä ovat tapahtumina toisistaan riippumattomia. (2) (x 1) kpl tapahtumia A ajanhetkeen t mennessä; tn = f(x 1; t) Yksi tapahtuma A aikavälillä dt; tn = νdt Lisäksi nämä ovat tapahtumina toisistaan riippumattomia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 103

104 Poisson-jakauma Pistetodennäköisyysfunktion johto 3/3 Riippumattomien tapahtumien tulosäännön ja toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön mukaan f(x; t + dt) = f(x; t)(1 νdt) + f(x 1; t)νdt Järjestämällä termit uudelleen saadaan erotusosamäärä f( x; t+ dt) f( x; t) = ν [ f( x 1; t) f( x; t) ] dt Antamalla dt 0, saadaan (x:n suhteen) differenssiyhtälö df ( x; t) = ν [ f( x 1; t) f( x; t) ] dt Voidaan osoittaa, että tämän differenssiyhtälön ratkaisu on muotoa t x e ν ( νt) f( x) =, x= 0,1,2, x! Merkitsemällä νt = λ saadaan Poisson-jakauman pistetodennäköisyysfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 104

105 Poisson-jakauma Odotusarvo, varianssi ja standardipoikkeama Olkoon X Poisson(λ) Odotusarvo: E( X ) = λ Varianssi ja standardipoikkeama: 2 Var( X) = D ( X) = λ D( X ) = λ TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 105

106 Poisson-jakauma Odotusarvon johto Olkoon X Poisson(λ) Siten e E( X) = xf( x) = x x= 0 x= 0 = e = λe = λe = λ λ x= 1 λ x= 1 e λ λ x λ x! x λ x x! λ x 1 λ ( x 1)! TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 106

107 Poisson-jakauma Pistetodennäköisyysfunktion kuvaaja Kuva oikealla esittää Poissonjakauman Poisson(5) pistetodennäköisyysfunktiota e f( x) = x! λ = 5 λ x λ pisteissä x = 0, 1, 2,, 12 Jakauman odotusarvo: E( x) = λ = Poisson(5) E(X) = 5 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 107

108 Poisson-jakauma Poisson-jakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma 1/2 Olkoot X 1, X 2,, X k riippumattomia satunnaismuuttujia, jotka noudattavat Poisson-jakaumia parametrein λ 1, λ 2,, λ k : X 1, X 2,, X k X i ~ Poisson(λ i ), i = 1, 2,, k Tällöin satunnaismuuttujien X 1, X 2,, X k summa Y = X 1 + X X k noudattaa Poisson-jakaumaa parametrinaan λ 1 + λ λ k : Y ~ Poisson(λ 1 + λ λ k ) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 108

109 Poisson-jakauma Poisson-jakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma 2/2 Tulos perustellaan luvussa Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat. Huomautuksia: Jokaisella Poisson-jakaumalla saa olla eri parametri. Tarkoitamme satunnaismuuttujien riippumattomuudella sitä, että yhdenkään satunnaismuuttujan saamat arvot eivät riipu siitä, mitä arvoja muut satunnaismuuttujat saavat; käsite täsmennetään luvussa Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 109

110 Poisson-jakauma Binomijakauma ja Poisson-jakauma 1/3 Binomitodennäköisyydet ovat lähellä Poissontodennäköisyyksiä, jos n on suuri ja p on pieni. Siten Poisson-jakauma kuvaa harvinaisten tapahtumien todennäköisyyksiä pitkissä toistokoesarjoissa. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 110

111 Poisson-jakauma Binomijakauma ja Poisson-jakauma 2/3 Olkoon X Bin(n, p) Olkoon p = λ/n, jolloin λ = np. Annetaan n + ja p 0 niin, että np = λ. Tällöin binomijakauman Bin(n, p) pistetodennäköisyydet lähestyvät Poisson-jakauman Poisson(λ) pistetodennäköisyyksiä: lim fbin( np, )( x) = fpoisson( λ )( x), x= 0,1,2, 0 = n p np λ Huomautus: Ehto np = λ voidaan korvata lievemmällä ehdolla np λ. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 111

112 Poisson-jakauma Binomijakauma ja Poisson-jakauma 3/3 Poisson-jakauman ja binomijakauman välinen yhteys näkyy myös siinä, että jakaumien odotusarvot ovat lähellä toisiaan, jos n on suuri ja p on pieni: E( X) = µ = λ np Tällöin myös jakaumien varianssit ovat lähellä toisiaan: 2 D( X ) = µ = λ = np npq koska p 0 q = 1 p 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 112

113 Poisson-jakauma Binomijakauma ja Poisson-jakauma: Todistus 1/3 Olkoon X Bin(n, p). Tällöin n x n x fx ( x) = p q, q 1 p, x 0,1,2,, n x = = Oletetaan, että n + ja samaan aikaan p 0 niin, että np = λ jossa λ > 0 on vakio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 113

114 Poisson-jakauma Binomijakauma ja Poisson-jakauma: Todistus 2/3 Ottamalla huomioon, että np = λ ja q = 1 p, voimme kirjoittaa n x n x fx ( x) = p q x nn ( 1)( n 2) ( n x+ 1) ( ) x (1 ) n x = np p x nx! x n nn ( 1)( n 2) ( n x+ 1) λ (1 p) = x x n x! (1 p) x 1 2 x 1 λ (1 p) = n n n x! (1 p) n x TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 114

115 Poisson-jakauma Binomijakauma ja Poisson-jakauma: Todistus 3/3 Kirjoitetaan n 1/ p np 1/ p (1 p) = [(1 p) ] = [(1 p) ] Luvun e määritelmän mukaan 1/ p λ λ (1) lim[(1 p) ] = e p 0 λ Lisäksi pätee: (2) 1 2 x 1 lim = 1 n n n n (3) x lim(1 p) = 1 p 0 Yhdistämällä tulokset (1), (2) ja (3) saadaan haluttu lopputulos: f x lim X ( ) = n p 0 np = λ e λ x λ x! TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 115

116 Poisson-jakauma Poisson-prosessi Tarkastellaan jonkin tapahtuman A sattumista jatkuvalla aikavälillä, jonka pituus on t aikayksikköä. Määritellään diskreetti satunnaismuuttuja X: X = Niiden tapahtumien lukumäärä, jotka sattuvat aikavälillä [0, t] Sopivin oletuksin (ks. edellä) satunnaismuuttuja X noudattaa Poisson-jakaumaa parametrinaan νt: X Poisson(νt) Parametri νt kuvaa tapahtumaintensiteettiä eli tapahtumien keskimääräistä lukumäärää aikavälillä, jonka pituus on t aikayksikköä. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 116

117 Poisson-jakauma Poisson-prosessi ja eksponenttijakauma Olkoon X Poisson(νt) Määritellään jatkuva satunnaismuuttuja Y: Y = Ensimmäisen tapahtuman sattumisaika = Tapahtumien väliaika Satunnaismuuttuja Y noudattaa eksponenttijakaumaa parametrinaan ν. Ks. tarkemmin lukua Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 117

118 Poisson-jakauma Poisson-prosessi: Esimerkki Tarkastellaan radioaktiivista hajoamista. Olkoon satunnaismuuttuja X = aikavälillä [0, t] hajoavien atomien lukumäärä Tällöin X Poisson(νt) jossa ν on alkuainekohtainen parametri, joka kuvaa keskimäärin aikayksikköä kohden hajoavien atomien lukumäärää. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 118

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen

Lisätiedot

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma

Lisätiedot

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )] Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

D ( ) E( ) E( ) 2.917

D ( ) E( ) E( ) 2.917 Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut 4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 4 (vko 41/2003) (Aihe: diskreettejä satunnaismuuttujia ja jakaumia, Laininen luvut 4.1 4.7) 1. Kone tekee

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Jatkuvia jakaumia >> Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 27. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 27. syyskuuta 2007 1 / 15 1 Diskreetit jakaumat Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen

Lisätiedot

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio KE (2014) 1 Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 28. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 28. syyskuuta 2007 1 / 20 1 Jatkoa diskreeteille jakaumille Negatiivinen binomijakauma Poisson-jakauma Diskreettien

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Unioni, Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys,

Lisätiedot

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Jakaumien

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumia

Todennäköisyysjakaumia 8.9.26 Kimmo Vattulainen Todennäköisyysjakaumia Seuraavassa esitellään kurssilla MAT-25 Todennäköisyyslaskenta esille tulleita diskreettejä todennäköisyysjakaumia Diskreetti tasajakauma Bernoullijakauma

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien

Lisätiedot

Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit

Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit >> Puutodennäköisyydet

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle

Lisätiedot

B. Siten A B, jos ja vain jos x A x

B. Siten A B, jos ja vain jos x A x Mat-1.2600 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Johdanto Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma,

Lisätiedot

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,

Lisätiedot

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit Puutodennäköisyydet Todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Jakaumien tunnusluvut >> Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin

Lisätiedot

tilastotieteen kertaus

tilastotieteen kertaus tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut

5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut Mat-.09 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät -05 5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut D. Eräässä maata kiertävällä radalla olevassa satelliitissa on ilmaisin, jonka elinikä X yksikkönä vuosi noudattaa

Lisätiedot

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut D. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa

Lisätiedot

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Esitiedot

Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Esitiedot TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit iite: Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Mitä opimme? Verkkoteoria

Lisätiedot

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A Tilastollinen päättely II, kevät 207 Harjoitus A Heikki Korpela 23. tammikuuta 207 Tehtävä. Kertausta todennäköisyyslaskennasta. Ilmoita satunnaismuuttujan Y jakauman nimi ja pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti

Lisätiedot

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden aksioomat

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden aksioomat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyden aksioomat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyden aksioomat >> Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I G. Gripenberg 1 Todennäköisyys Satunnaismuuttujat Keskeinen raja-arvolause Aalto-yliopisto. tammikuuta 015 Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 2. tammikuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Johdanto Kokonaistodennäköisyyden

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava >> Kokonaistodennäköisyys

Lisätiedot

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio. Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 14. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 14. syyskuuta 2007 1 / 21 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Otosavaruuden ositus Kokonaistodennäköisyyden

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyden aksioomat Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 2. tammikuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta: Todennäköisyysjakaumia

Todennäköisyyslaskenta: Todennäköisyysjakaumia Todeäköisyysjakaumia Todeäköisyyslasketa: Todeäköisyysjakaumia 6. Diskreettejä jakaumia 7. Jatkuvia jakaumia 8. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia 9. Moiulotteisia jakaumia Ilkka Melli 35 Todeäköisyysjakaumia

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat Mat-2.09 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Jatkuvat jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Eksponenttijakauma, Jatkuva tasainen jakauma, Kertymäfunktio, Mediaani, Normaaliapproksimaatio, Normaalijakauma,

Lisätiedot

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: 8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat: Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 3 (vko 4/3) (Aihe: tasainen todennäköisyysmalli, pistetodennäköisyysfunktio, tiheysfunktio, kertymäfunktio,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jakaumien tunnusluvut Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Momentit Vinous ja huipukkuus Kvantiilit

Lisätiedot

4. Todennäköisyyslaskennan kertausta

4. Todennäköisyyslaskennan kertausta luento04.ppt S-38.1145 - Liikenneteorian perusteet - Kevät 2006 1 Sisältö eruskäsitteet Diskreetit satunnaismuuttujat Diskreetit jakaumat lkm-jakaumat Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat jakaumat aikajakaumat

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisslaskenta B 1. välikoe 08.03.2011 / Kibble Kirjoita selvästi jokaiseen koepaperiin seuraavat tiedot: Mat-1.2620 SovTnB 1. vk 08.03.2011 opiskelijanumero + kirjain TEKSTATEN

Lisätiedot

(x, y) 2. heiton tulos y

(x, y) 2. heiton tulos y Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 2, 4, 6, 8, 11 Pistetehtävät: 3, 5, 9, 12 Ylimääräiset tehtävät: 7, 10, 13 Aiheet: Joukko-oppi Todennäköisyys ja sen määritteleminen

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden peruslaskusäännöt

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden peruslaskusäännöt Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyden peruslaskusäännöt TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyden peruslaskusäännöt >> Uusien tapahtumien muodostaminen

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila Kalvoissa käytetään materiaalia P. Palon vuoden 2005 kurssista. 07.09.2007 Antti Rasila () SovTodB 07.09.2007 07.09.2007 1 / 24 1 Todennäköisyyslaskennan

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 1

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 1 MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 1 Aiheet: Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Klassinen

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:

Lisätiedot

Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan:

Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan: Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköissjakaumat Moniulotteisia jakaumia Avainsanat: Diskreetti

Lisätiedot

DISKREETIT JAKAUMAT Generoiva funktio (z-muunnos)

DISKREETIT JAKAUMAT Generoiva funktio (z-muunnos) J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 1 DISKREETIT JAKAUMAT Generoiva funktio (z-muunnos) Määritelmä Olkoon X diskreetti sm, jonka arvot ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja, X {0, 1, 2,...}.

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1

Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet

Lisätiedot

Tilastollinen aineisto Luottamusväli

Tilastollinen aineisto Luottamusväli Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Verkot ja todennäköisyyslaskenta

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Verkot ja todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Verkot ja todennäköisyyslaskenta TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Verkot ja todennäköisyyslaskenta >> Puudiagrammit todennäköisyyslaskennassa:

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 4. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta 2007 1 / 17 1 Moniulotteiset todennäköisyysjakaumat Johdanto Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Kaksiulotteisen

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi

Lisätiedot