Keskipisteen lisääminen 2 k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6)
|
|
- Ari Kinnunen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit kevät Keskipisteen lisääminen k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6) Esim (Montg. ex. 9-, 6-): Tutkitaan kemiallisen prosessin saannon Y riippuvuutta faktoreista A = reaktioaika ja B = lämpötila. Faktoreille annetaan seuraavat arvot: A B alataso (-) 3 min o C ylätaso (+) min 6 o C Koesuunnitelmaan kuuluu siis = koetta (jos ei ole toistoja), ja tuloksista voidaan (yleiskeskiarvon µ lisäksi) estimoida parametrit α, β ja αβ, ts. päävaikutukset A ja B sekä yhdysvaikutus AB. Merkitsevyyden testausta ei voida tehdä, koska koevirheelle ei saada estimaattia. Lisätään koesuunnitelmaan n = koetta keskipisteessä (A=3 min, B= o C). Tällöin i) Keskipisteessä mitatuista arvoista y,,..., y, n saadaan varianssiestimaatti, ii) Merkitään Suuri poikkeama y y = keskipistearvojen y,,..., y, n keskiarvo, y = nurkkapistearvojen y(), ya, y b, y ab keskiarvo. y on merkki siitä, että Y:n riippuvuus faktoreista on epälineaarista (esiintyy kaarevuutta = curvature). Tulokset: A B Y () a -.9 b -. ab Keskipistearvoista saadaan n =, y =. 6 ja (poikkeamaneliösumma) ss =.7. Nurkkapistearvoista saadaan y =. sekä $α = Eff A / =.77 ja vastaavasti β $ =.3, ( αβ $ ) = -.. Olkoon y = kaikkien havaintojen keskiarvo. Kaikista havainnoista laskettu SS Tot = (y i - y ) hajoaa summaksi SS Tot = SS Mod + SS Err, missä SS Mod = = SS A + SS B + SS AB, ja SS Err hajoaa edelleen muotoon SS Err = SSE LoF +SSE pe, missä
2 Saadaan ANOVA-taulu SSE pe = ss = ss(keskipistearvot) (pe = pure error) SSE LoF = * y y ) + (vrt. kohta ii) yllä). df SS MS F A..87 erittän merkitsevä B merkitsevä AB..6 ei merkitsevä LoF.7.6 ei merkitsevä pe.7.3 Tot 8 3. Huom:. Keskipistehavainnoilla ei ole vaikutusta estimaattien $α, eikä SS Mod :n komponenttien laskemiseen (esim. SS A = *(Eff A /) jne).. Yo. tarkastelu yleistyy ilman oleellisia muutoksia tilanteeseen, jossa faktoreita on useampia. SS LoF :n yleinen lauseke on SS LoF = n n n + n (y y ), missä n = k n = nurkkapisteissä tehtyjen kokeiden lkm (k = faktorien lkm, n = nurkkapisteissä tehtyjen replikaattien lkm (tässä n = )). 3. Symbolin LoF sijasta käytetään tässä yhteydessä joskus symbolia pq (pure quadratic), siis esim. SS pq jne. Tämä viittaa. asteen regressiopolynomin puhtaasti neliöllisiin termeihin jotka ovat muotoa β ii x i (erotukseksi sekatermeistä β ij x i x j ); ks. jäljempää. Vastepintamenetelmä (RSM = response surface method) Siirrytään merkintöjen A, B, AB,, µ, α, β,... sijasta käyttämään merkintöjä x, x,, β, β, β, β,. Oletetaan, että vaste Y riippuu faktoreista x, x k, kaavan Y = f(x, x k ) + ε mukaisesti, missä ε on -keskiarvoinen satunnaissuure (siis f(x, x k ) = Y:n odotusarvo kohdassa (x, x k )). Pinta (oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi k = ) on vastepinta. y = f(x, x )
3 Riittävän pienessä alueessa x x -tason origon ympärillä pintaa voidaan approksimoida. asteen polynomilla () y = f(x, x ) β + β x + β x tai, jos kaarevuus halutaan huomioida,. asteen polynomilla () y = f(x, x ) β + β x + β x + β x x + β x + β x. Esim. yllä olevassa esimerkissä saatiin. asteen polynomiapproksimaatio y =. +.77x +.3x, missä ξ 3 =, x ξ =, x ξ = reaktioaika, ξ = lämpötila.. asteen malli osoittautui riittäväksi pisteen (ξ, ξ ) = (3, ) läheisyydessä. Oletetaan, että halutaan maksimoida Y:n (odotus)arvo, ts. löytää funktion f maksimikohta. Voidaan käyttää seuraavanlaista strategiaa (vastaavasti tietenkin jos halutaan minimoida f):. Tehdään keskipisteellinen k -faktorikoe (keskipisteessä faktorien nykyiset arvot tai arvattu max-kohta tms.). kaarevuus ei merkitsevää. kaarevuus on merkitsevää 3.. f:ää approksimoidaan lineaarisella mallilla (). Maksimikohdan lähelle pääsemiseksi lähdetään vektorin ( β ˆ,..., ˆ βk ) (joka on estimaatti grad(f):lle) suuntaan. Edetään sopivaa askelpituutta käyttäen tehden joka askeleella yksi mittaus vasteesta Y. Kun Y lakkaa kasvamasta ja alkaa taas vähetä, palataan kohtaan. (keskipisteenä se piste josta saatiin suurin havainto). (Tämä on itse asiassa aivan tavanomainen gradienttimenetelmä.) 3. Ollaan lähellä maksimikohtaa. Tehdään lisää mittauksia (ks. jäljempää) ja sovitetaan. asteen malli () saadaan estimoitua maksimikohta. Esim: vaihe. esitetty edellä vaihe. (Seurataan edelleen Montgomeryn esimerkkiä) Lähtien pisteestä (ξ, ξ ) = = (3, ) siirrytään askeleittain s.e. askel = ( ξ, ξ ) = ( min, o C), ts. (likimain) vektorin ( β ˆ ˆ ) ( ˆ, β = α, βˆ) = (.77,.3) suuntaan. Mitataan Y joka askeleella; oletetaan, että saadaan 3
4 askel ξ ξ y 3. (=keskiarvo) 7. M M M M max! ξ 8 ξ 7 Asetetaan nyt x = ja x = sekä palataan kohtaan. ; oletetaan, että saadaan seuraavat tulokset: x x y asteen malli y = x +.x sekä ANOVA : 79. df SS 79.9 Mod. 8.3 AB. 8. LoF=pq pe Tot 8 kaarevuus (LoF) on merkitsevää (F-arvo =.) siirrytään kohtaan 3.. asteen polynomin sovitus (vaihe 3.) Täydennetään edellä esitettyä koesarjaa mittaamalla Y vielä pisteissä (x, x ) = = (±α, ) ja (, ± α), missä α > on sopivasti valittu; tavanomaisia arvoja ovat α = : uudet pisteet ovat alkuperäisten k koepisteen muodostaman k-ulotteisen kuution (tässä: neliö) tahkojen keskipisteet, α = n (ns. Box in koesuunnitelma): Voidaan osoittaa, että tällä α:n valinnalla (ja valitsemalla vielä keskipistekokeiden lkm n sopivasti) saadaan kiertosymmetrinen (rotatable) koesuunnitelma, mikä merkitsee, että Var( ŷ ) on vakio origokeskisillä pallopinnoilla. Valitaan Box in koe, ts. α = ; oletetaan että lisämittausten tulokset ovat x x y (siis pisteessä (8, 7) ja sen ympärillä on nyt tehty kaikkiaan + + = 3 mittausta).. asteen regressiomallin () sovittaminen dataan antaa polynomin
5 y = x +.x +.x x -.377x -.x ja ANOVA-taulun df SS MS F Mod LoF pe..3 Tot 8.73 LoF on selvästi ei-merkitsevä, joten malli näyttää kuvaavan hyvin Y:n riippuvuutta faktoreista. (Huomaa, että kun nyt on sovitettu. asteen polynomi, LoF ei enää liity kaarevuuteen; malli selittää nyt kaarevuuden. Koska mittauspisteitä on 9 ja mallissa on 6 kerroinparametria, jää yksinkertaisesti 3 vapausastetta LoF:lle.) f f Estimoidaan maksimikohta (ehto = = ) : x x x +.x =. +.x -. x =, mistä saadaan x =.389, x =.36 eli ξ = 86.9 (min), ξ = 76.3 ( o C). Yleensä stationaarinen piste (grad(f):n -kohta) voi olla maksimi- tai minimikohta tai ei kumpaakaan (satulapiste); stationaarisen pisteen luonne voidaan usein selvittää tutkimalla funktion f Hessin matriisia (jonka elementit ovat f:n. kertaluvun osittaisderivaatat laskettuina asianomaisessa pisteessä); tässä esimerkissä H f =. 7.,.. jonka ominaisarvot ovat λ = -.93 ja λ = Koska ominaisarvot ovat <, matriisi H f on negatiivisesti definiitti, joten löydetty piste on todella (lokaali) maksimikohta (tehtyjen mittausten valossa).
Vastepintamenetelmä. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Vastepintamenetelmä Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Varianssianalyysissa tutkitaan tekijöiden vaikutusta vasteeseen siten, että tekijöiden tasot on ennalta valittu. - Esim. tutkitaan kemiallisen prosessin
LisätiedotVastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1
Vastepintamenetelmä Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä pyritään vasteen riippuvuutta siihen vaikuttavista tekijöistä approksimoimaan tekijöiden polynomimuotoisella funktiolla,
LisätiedotVastepintamenetelmä. Heliövaara 1
Vastepintamenetelmä Kurssipalautteen antamisesta saa hyvityksenä yhden tenttipisteen. Palautelomakkeeseen tulee lähiaikoina linkki kurssin kotisivuille. Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016
LisätiedotKoesuunnittelu Vastepintamenetelmä. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Koesuunnittelu Vastepintamenetelmä TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmä: Johdanto 2 k -faktorikokeet Vastefunktion kaarevuuden testaaminen 1. asteen vastepintamallin varianssianalyysihajotelma
Lisätiedot12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa
179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä
Lisätiedot4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?
Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Lineaarinen regressiomalli ja suurimman uskottavuuden menetelmä Minimin löytäminen
LisätiedotOletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen
Yhden faktorin malli: n kpl sijoituskohteita, joiden tuotot ovat r i, i =, 2,..., n. Olkoon f satunnaismuuttuja ja oletetaan, että tuotot voidaan selittää yhtälön r i = a i + b i f + e i avulla, missä
Lisätiedotf(x 1, x 2 ) = x x 1 k 1 k 2 k 1, k 2 x 2 1, 0 1 f(1, 1)h 1 = h = h 2 1, 1 12 f(1, 1)h 1 h 2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 7 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset 6.. Olkoon f : G R, G = {(x, x ) R x > }, f(x, x ) = x x. Etsi differentiaalit d k f(, ), k =,,. Ratkaisu:
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.14 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 7 7. luento: Tarina yhden selittään lineaarisesta regressiomallista atkuu Kai Virtanen 1 Luennolla 6 opittua Kuvataan havainnot (y, x ) yhden selittään
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotRegressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen
Lisätiedot2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1
2 k -faktorikokeet Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 2 k -faktorikoe on k-suuntaisen varianssianalyysin erikoistapaus, jossa kaikilla tekijöillä on vain kaksi tasoa, matala (-) ja korkea (+). 2 k -faktorikoetta
LisätiedotRegressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1
Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin
LisätiedotHarha mallin arvioinnissa
Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 1/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Harha mallin arvioinnissa Antti Toppila 13.10.2010 Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 2/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Sisältö
LisätiedotMaksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
Lisätiedot(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).
NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Kevät 2012 1 Lineaarinen inversio-ongelma Määritelmä 1.1. Yleinen (reaaliarvoinen) lineaarinen inversio-ongelma voidaan esittää muodossa m = Ax +
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1
Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän
LisätiedotLuento 10: Optimointitehtävien numeerinen ratkaiseminen; optimointi ilman rajoitusehtoja
Luento 10: Optimointitehtävien numeerinen ratkaiseminen; optimointi ilman rajoitusehtoja Seuraavassa esitetään optimointitehtävien numeerisia ratkaisumenetelmiä, eli optimointialgoritmeja, keittokirjamaisesti.
LisätiedotTaustatietoja ja perusteita
Taustatietoja ja perusteita Vektorit: x R n pystyvektoreita, transpoosi x T Sisätulo: x T y = n i=1 x i y i Normi: x = x T x = ni=1 x 2 i Etäisyys: Kahden R n :n vektorin välinen etäisyys x y 1 Avoin pallo:
LisätiedotTilastollinen vastepintamallinnus: kokeiden suunnittelu, regressiomallin analyysi, ja vasteen optimointi. Esimerkit laskettu JMP:llä
Tilastollinen vastepintamallinnus: kokeiden suunnittelu, regressiomallin analyysi, ja vasteen optimointi Esimerkit laskettu JMP:llä Antti Hyttinen Tampereen teknillinen yliopisto 29.12.2003 ii Ohjelmien
LisätiedotLohkoasetelmat. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Lohkoasetelmat Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 1/3 Kaksisuuntaisella varianssianalyysilla voidaan tutkia kahden tekijän A ja B vaikutusta sekä niiden yhdysvaikutusta tutkimuksen kohteeseen Kaksisuuntaisessa
Lisätiedot2. Teoriaharjoitukset
2. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 2.1 Todista Gauss-Markovin lause. Ratkaisu. Oletetaan että luentokalvojen standardioletukset (i)-(v) ovat voimassa. Huomaa että Gauss-Markovin lause ei vaadi virhetermien
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
1 LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustulokset ovat aina todellisten luonnonvakioiden ja tutkimuskohdetta kuvaavien suureiden likiarvoja, vaikka mittauslaite olisi miten
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila
LisätiedotDynaamiset regressiomallit
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Tilastolliset aikasarjat voidaan jakaa kahteen
Lisätiedot. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että
LisätiedotKoesuunnittelu 2 k -faktorikokeet. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Koesuunnittelu 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 k -faktorikokeet 2 2 -faktorikokeet 2 3 -faktorikokeet 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 2 k -faktorikokeet: Mitä opimme?
LisätiedotDiskriminanttianalyysi I
Diskriminanttianalyysi I 12.4-12.5 Aira Hast 24.11.2010 Sisältö LDA:n kertaus LDA:n yleistäminen FDA FDA:n ja muiden menetelmien vertaaminen Estimaattien laskeminen Johdanto Lineaarinen diskriminanttianalyysi
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
LisätiedotKaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisessa malli voidaan esittää seuraavassa muodossa:
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalsi Aritmeettinen keskiarvo, Estimointi, F-testi,
LisätiedotLatinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt
TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,
LisätiedotOsafaktorikokeet. Heliövaara 1
Osafaktorikokeet Heliövaara 1 Osafaktorikokeet Kun faktorien määrä 2 k -faktorikokeessa kasvaa, tarvittavien havaintojen määrä voi ylittää kokeentekijän resurssit. Myös estimoitavien korkean asteen yhdysvaikutustermien
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu Luennolla 6 Tarkastelimme yhden muuttujan funktion f(x) rajoittamatonta optimointia
Lisätiedot3.2.2 Tikhonovin regularisaatio
3 Tikhonovin regularisaatio Olkoon x 0 R n tuntematon, M R m n teoriamatriisi ja y Mx + ε R m (316 annettu data Häiriöherkässä ongelmassa pienimmän neliösumman miniminormiratkaisu x M + y Q N (M x + M
LisätiedotYhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia. Heliövaara 1
Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia Heliövaara 1 Regressiokertoimien PNS-estimaattorit Määritellään havaintojen x j ja y j, j = 1, 2,...,n
LisätiedotIdentifiointiprosessi
Alustavia kokeita Identifiointiprosessi Koesuunnittelu, identifiointikoe Mittaustulosten / datan esikäsittely Ei-parametriset menetelmät: - Transientti-, korrelaatio-, taajuus-, Fourier- ja spektraalianalyysi
LisätiedotAntti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotMatematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to
Matematiikan peruskurssi (MATY00) Harjoitus 10 to 6.3.009 1. Määrää funktion f(x, y) = x 3 y (x + 1) kaikki ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Ratkaisu. Koska f(x, y) = x 3 y x x 1, niin
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
Lisätiedot2 Osittaisderivaattojen sovelluksia
2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 5 Ti 20.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 5 Ti 20.9.2011 p. 1/40 p. 1/40 Choleskyn menetelmä Positiivisesti definiiteillä matriiseilla kolmiohajotelma
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 1 LIITE 1 VIRHEEN RVIOINNIST Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Lokaalit ääriarvot Yhden muuttujan funktion f (x) lokaali maksimi on piste x 0, jossa f (x) on suurempi kuin muualle pisteen x 0 ympäristössä, eli kun f (x 0 )
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
LisätiedotLuento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa
Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon
LisätiedotEnnustaminen ARMA malleilla ja Kalmanin suodin
Ennustaminen ARMA malleilla ja Kalmanin suodin MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2017
Lisätiedot6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.
1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 8. luento: Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Kai Virtanen 1 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Selitettävän muuttujan havaittujen
LisätiedotDerivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.
Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista
Lisätiedotf(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.
Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
Lisätiedot13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
Lisätiedot17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.
99 17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Differentiaaliyhtälön x'(t) = f(x(t),t), x(t) n määrittelemän systeemin sanotaan olevan autonominen, jos oikea puoli ei eksplisiittisesti riipu
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden
Lisätiedotl (φ; y) = l(θ(φ); y) Toinen derivaatta saadaan tulon derivaatan laskusäännöllä Uudelleenparametroidun mallin Fisherin informaatio on
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 018 Harjoitus B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1 (Monisteen tehtävä 14) Olkoon f Y (y; θ) tilastollinen malli, jonka
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille
LisätiedotOsafaktorikokeet. Kurssipalautetta voi antaa Oodissa Kuusinen/Heliövaara 1
Osafaktorikokeet Kurssipalautetta voi antaa Oodissa 27.4.-25.5. Kuusinen/Heliövaara 1 Osafaktorikokeet Kun faktorien määrä 2 k -faktorikokeessa kasvaa, tarvittavien havaintojen määrä voi ylittää kokeen
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen vaihtelun avulla.
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 15. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 15 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden rajoittamatonta optimointia:
Lisätiedot1 Rajoittamaton optimointi
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y
LisätiedotDI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30
DI matematiikan opettajaksi: Tädennskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle : ti 6 klo :-5: Kädään läpi: funktioita f : D f R n R m ja integrointia R n :ssä Oletetaan, että, R n ovat mielivaltaisia
Lisätiedot1. Tilastollinen malli??
1. Tilastollinen malli?? https://fi.wikipedia.org/wiki/tilastollinen_malli https://en.wikipedia.org/wiki/statistical_model http://projecteuclid.org/euclid.aos/1035844977 Tilastollinen malli?? Numeerinen
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
Lisätiedot9. Tila-avaruusmallit
9. Tila-avaruusmallit Aikasarjan stokastinen malli ja aikasarjasta tehdyt havainnot voidaan esittää joustavassa ja monipuolisessa muodossa ns. tila-avaruusmallina. Useat aikasarjat edustavat dynaamisia
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotDynaamisten systeemien teoriaa. Systeemianalyysilaboratorio II
Dynaamisten systeemien teoriaa Systeemianalyysilaboratorio II 15.11.2017 Vakiot, sisäänmenot, ulostulot ja häiriöt Mallin vakiot Systeemiparametrit annettuja vakioita, joita ei muuteta; esim. painovoiman
LisätiedotIdentifiointiprosessi
Alustavia kokeita Identifiointiprosessi Koesuunnittelu, identifiointikoe Mittaustulosten / datan esikäsittely Ei-parametriset menetelmät: - Transientti-, korrelaatio-, taajuus-, Fourier- ja spektraalianalyysi
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotKuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
Lisätiedot4 (x 1)(y 3) (y 3) (x 1)(y 3)3 5 3
. Taylorin polynomi; funktion ääriarvot.1. Taylorin polynomi 94. Kehitä funktio f (x,y) = x 2 y Taylorin polynomiksi kehityskeskuksena piste ( 1,2) a) laskemalla osittaisderivaatat, b) kirjoittamalla muuttujat
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
LisätiedotHarjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox
Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 1. (a) Tunnemme vektorit a = [ 5 1 1 ] ja b = [ 2 0 1 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 3 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotLause 4.2. Lineearinen pienimmän keskineliövirheen estimaattoi on lineaarinen projektio.
Määritelmä 4.3. Estimaattoria X(Y ) nimitetään lineaariseksi projektioksi, jos X on lineaarinen kuvaus ja E[(X X(Y )) Y] 0 }{{} virhetermi Lause 4.2. Lineearinen pienimmän keskineliövirheen estimaattoi
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 7 Ti 27.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti 27.9.2011 p. 1/39 p. 1/39 Interpolointi Ei tunneta funktion f : R R lauseketta, mutta tiedetään funktion
Lisätiedot805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 4 (2016)
805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 4 (2016) Tavoitteet (teoria): Hallita autokovarianssifunktion ominaisuuksien tarkastelu. Osata laskea autokovarianssifunktion spektriiheysfunktio. Tavoitteet
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: lineaarinen lineaarinen Sisältö lineaarinen lineaarinen lineaarinen Lineaarinen Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )..., (x n, y n
LisätiedotMatriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 41
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta, I/06 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 4 Tehtävä 5 (L): a) Oletetaan, että λ 0 on kääntyvän matriisin A ominaisarvo. Osoita, että /λ on matriisin A
Lisätiedot