Rademacherin lause. Anssi Niitti. Matematiikan Pro Gradu -tutkielma

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Rademacherin lause. Anssi Niitti. Matematiikan Pro Gradu -tutkielma"

Transkriptio

1 Rademacherin lause Anssi Niitti Matematiikan Pro Gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2008

2 Sisältö 1. Johdanto 2 2. Esitietoja. Hausdorff-mitat ja dimensiot 7.1. Carathéodoryn konstruktio 7.2. Hausdorff-mitat 9.. Hausdorff-dimensio Rademacherin lause Stepanovin lause 27 Viitteet 28 1

3 1. Johdanto Tässä tutkielmassa esitellään saksalaisen matemaatikon Hans Adolph Rademacherin ( ) nimeä kantava lause. Lauseen mukaan Lipschitz-kuvaukset R m R n ovat Lebesguen mitan mielessä melkein kaikkialla differentioituvia. Lause on Lipschitz-analyysin perustuloksia. Ennen päätulosta esitellään Hausdorff-mitat ja joitakin niiden perusominaisuuksia. Hausdorff-mitat eroavat Lebesgue-mitoista siinä, että niiden dimensio ei ole sidottu avaruuden dimensioon, eikä se välttämättä ole kokonaisluku. Lisäksi ne voidaan määritellä muuallakin kuin euklidisissa avaruuksissa. Esimerkkinä lasketaan Cantorin 1 -joukon dimensiota vastaava Hausdorff-mitta. Lopuksi esitellään joitakin Lipschitz-kuvausten ja Hausdorff-mittojen ominaisuuksia sekä Rademacherin lausetta hieman yleistävä Stepanovin lause. 2

4 2. Esitietoja Tässä luvussa esitellään luettelonomaisesti joitakin jatkossa tarvittavia määritelmiä ja lauseita. Määritelmä 2.1. Olkoon X metrinen avaruus. Kuvaus µ : P(X) [0, ] on ulkomitta (joskus lyhyemmin vain mitta), jos se toteuttaa seuraavat ehdot: (1) µ( ) = 0 (2) µ on monotoninen: A B µ(a) µ(b) kaikilla A, B X () µ on subadditiivinen: µ( A i ) µ(a i ) kaikilla A i X, i = 1, 2,.... Määritelmä 2.2. Olkoon µ ulkomitta. Joukko A X on µ-mitallinen, jos kaikilla E X pätee µ(e) = µ(e A) + µ(e \ A). Seuraavia mitallisten joukkojen perusominaisuuksia tullaan jatkossa käyttämään usein erikseen mainitsematta. Todistuksia ei esitetä tässä (ks. [2, s ]). Lause 2.. Olkoon µ : X [0, ] ulkomitta ja olkoon M kaikkien µ-mitallisten joukkojen A X perhe. (1) Mitan µ : X [0, ] suhteen mitallisten joukkojen kokoelma M on σ-algebra, ts. (a) M ja X M (b) jos A M, niin X \ A M (c) jos A 1, A 2, A,... M, niin A i M (2) Jos µ(a) = 0, niin A M () Jos A 1, A 2, A,... M ovat erillisiä, niin µ( A i ) = µ(a i ). (4) Jos A 1, A 2, A,... M ja A 1 A 2 A..., niin µ( A i ) = lim µ(a i ). i (5) Jos A 1, A 2, A,... M, A 1 A 2 A... ja µ(a 1 ) <, niin µ( A i ) = lim µ(a i ). i Määritelmä 2.4. Ulkomitta µ : P(X) [0, ] on Borel-mitta, jos kaikki X:n Borel-joukot ovat µ-mitallisia. Borel-mitta µ : P(X) [0, ] on Borel-säännöllinen, jos jokaiselle joukolle A X on olemassa Borel-joukko B siten, että A B ja µ(a) = µ(b).

5 Edelleen, Borel-mitta µ on Radon-mitta, jos (1) µ(k) < kaikilla kompakteilla joukoilla K X (2) µ(a) = sup{µ(k) : K on kompakti ja K A} avoimilla A X () µ(a) = inf{µ(u) : U on avoin ja A U} kaikilla A X Metrisen avaruuden X ulkomitta µ : P(X) [0, ] on metrinen ulkomitta, jos kaikilla A, B X, joille d(a, B) > 0, pätee µ(a B) = µ(a) + µ(b). Todistetaan esimerkkinä seuraava tulos. Myös käänteinen tulos pätee: metrisen avaruuden Borel-mitat ovat metrisiä mittoja. Lause 2.5. Olkoon X metrinen avaruus ja olkoon µ metrinen ulkomitta avaruudessa X. Tällöin µ on Borel-mitta. Todistus. Osoitetaan ensin, että ehdoista A 1 A 2 A..., A = A i ja d(a i, A \ A i+1 ) > 0 kaikilla i seuraa lim µ(a i ) = µ(a). Voidaan olettaa, että lim µ(a i ) < ; olkoon M > 0 i i sellainen, että µ(a i ) M kaikilla i. Merkitään B i = A i \ A i 1, i = 2,, 4,..., jolloin d(b i, B j ) > 0 aina kun i j 2. Koska µ on metrinen ulkomitta, saadaan kaikilla m = 1, 2,,... m m µ(b 2i ) = µ( B 2i ) µ(a 2m ) M, ja vastaavasti Tästä seuraa, että m µ(b 2i+1 ) M. lim m i=m Koska subadditiivisuuden nojalla saadaan µ(b i ) = 0. µ(a) µ(a m i=m B i ) µ(a m ) + µ( i=m B i ) µ(a m ) + µ(b i ), i=m lim i µ(a i) µ(a). 4

6 Epäyhtälö lim µ(a i) µ(a). i seuraa suoraan monotonisuudesta. Todistetaan nyt edellisen havainnon avulla, että suljetut joukot F X ovat µ- mitallisia. Mitan µ Borel-ominaisuus seuraa tästä. Olkoon E X ja olkoon F X suljettu. Asetetaan kaikilla i = 1, 2,,... A i = {x E \ F : d(x, F ) 1/i}. Koska µ on metrinen ja d(a i, E F ) 1/i, pätee kaikilla i µ(a i ) + µ(e F ) = µ(a i (E F )) µ(e). Koska F on suljettu, on A i = E \ F. Nyt A 1 A 2 A... ja d(a i, (E \ F ) \ A i+1 ) > 0 kaikilla i, joten Siten ja lause on todistettu. µ(e \ F ) = lim i µ(a i ). µ(e) µ(e \ F ) + µ(e F ) = lim µ(a i ) + µ(e F ) i µ(e), Seuraavien mittateorian perustulosten todistukset sivuutetaan. Fatoun lemman ja Lebesguen dominoidun konvergenssin todistus on esitetty yleisemmässä muodossa lähteessä [2, Thm 12.2, Thm 12.24]. Fubinin lause löytyy todistuksineen teoksesta [1, Thm 1.14] myöskin hieman yleisemmässä muodossa. Lause 2.6. (Fatoun lemma) Olkoon A R n mitallinen joukko ja olkoot f k : A [0, ] L n -mitallisia funktioita. Tällöin lim inf f k dl n lim inf f k dl n. k k A Lause 2.7. (Lebesguen dominoidun konvergenssin lause) Olkoon A R n mitallinen joukko ja olkoot f 1, f 2, f,... : A [, ] L n -mitallisia funktioita siten, että lim f k (x) on olemassa melkein kaikilla x A. Jos on olemassa integroituva k funktio g : A [0, ] siten, että kaikilla k = 1, 2,,... pätee f k (x) g(x) melkein kaikilla x A, niin lim f k(x)dl n = lim f k (x)dl n. k k A 5 A A

7 Lause 2.8. (Fubini) Olkoon f : R n [0, ] L n -mitallinen funktio. Jos luvuille p, q N pätee p + q = n, niin f(x, y) dl n (x, y) = R n R q f(x, y) dl p (x) dl q (y) = R p R p R q f(x, y) dl q (y) dl p (x) Vitalin peitelauseeseen tullaan viittaamaan suoraan muutaman kerran. Epäsuorasti sitä tarvitaan ainakin Rademacherin lauseen todistuksessa rajoitetusti heilahtelevien funktioiden differentioituvuuden kohdalla (ks. [2, Thm 17.11, Thm 17.17]). Lause 2.9. (Vitalin peitelause) Olkoon µ Radon-mitta R n :ssä ja olkoon A R n. Olkoon B kokoelma suljettuja palloja siten, että kaikille x A, ε > 0 on olemassa pallo B(x, r) B, jolle r < ε. Tällöin on olemassa erilliset pallot B 1, B 2, B,... B siten, että µ(a \ B i ) = 0. 6

8 . Hausdorff-mitat ja dimensiot Seuraavaksi esiteltävä Carathéodoryn konstruktio on eräs keino rakentaa ulkomitta ns.peiteluokan (alla merkitään F :llä) ja esimitan (merkitään τ:lla) avulla. Ennen Carathéodoryn konstruktion esittelyä määritellään muutama jatkossa esiintyvä käsite. Määritelmä.1. Metrisen avaruuden X joukon A X halkaisijaa merkitään diam(a):lla ja se määritellään asettamalla diam(a) = sup{d(x, y) : x, y A}, missä d on avaruuden X metriikka. Merkintä d(x, A) tai d(a, x), missä A on metrisen avaruuden X osajoukko ja x X, tarkoittaa pisteen x etäisyyttä joukosta A ja se määritellään asettamalla d(x, A) = d(a, x) = inf{d(x, a) : a A}. Joukkojen A ja B etäisyys d(a, B) määritellään asettamalla d(a, B) = inf {d(a, b) : a A ja b B} Joukkoperhe E P(X) on joukon A peite, jos A E. Peite E on avoin (suljettu), jos kaikki siihen kuuluvat joukot E E ovat avoimia (suljettuja). Joukon A-peite E on sen δ-peite, jos kaikille E E pätee diam(e) δ..1. Carathéodoryn konstruktio. Olkoon X metrinen avaruus, F kokoelma X:n osajoukkoja ja τ : F [0, ] funktio siten, että (1) jokaiselle δ > 0 on olemassa X:n numeroituva δ-peite {E 1, E 2, E,...} F. (2) jokaiselle δ > 0 on joukko E F, jolle τ(e) δ ja diam(e) δ. Määritellään kaikilla δ ]0, ] kuvaukset ψ δ : P(X) [0, ] asettamalla { } ψ δ (A) = inf τ(e i ) : A E i, d(e i ) δ, E i F. Ehto (2) takaa, että ψ δ ( ) = 0. Kuvausten ψ δ monotonisuus seuraa suoraan määritelmästä. Subadditiivisuus voidaan osoittaa valitsemalla kullakin ε > 0 mitattaville joukoille A i peitteet {E k,i : k = 1, 2,,...}, joille τ(e k,i ) ψ δ (A i ) + 2 i ε. k=1 Yhdistämällä nämä peitteet saadaan yhdisteen A i peite {E k,i : k = 1, 2,,..., i = 1, 2,,...}. 7

9 Lisäksi ψ δ ( A i ) τ(e k,i ) k=1 ψ δ (A i ) + 2 i ε = ε + ψ δ (A i ). Kuvaukset ψ δ ovat siis ulkomittoja. Lisäksi ψ δ ψ ε aina, kun ε < δ, joten voidaan määritellä kuvaus ψ : P(X) [0, ] asettamalla ψ(a) = lim ψ δ (A) = sup ψ δ (A). δ 0 Kuvaus ψ on ulkomitta: ψ( ) = 0 ja monotonisuus periytyy mitoilta ψ δ. Subadditiivisuus toteutuu myös, sillä joukoille A 1, A 2, A,... X pätee ψ( A i ) = lim ψ δ ( A i ) δ 0 lim ψ δ (A i ) δ 0 lim ψ(a i ) δ>0 δ 0 = ψ(a i ) Näin saatua ulkomittaa ψ sanotaan esimitasta τ Carathéodoryn konstruktiolla saaduksi ulkomitaksi. Tällainen mitta ψ on varsin hyvin käyttäytyvä: Lause.2. (1) ψ on Borel-mitta. (2) Jos kaikki joukot E F ovat Borel-joukkoja, niin ψ on Borel-säännöllinen. Todistus. (1) Osoitetaan, että ψ on ns. metrinen ulkomitta; Borel-ominaisuus seuraa tästä [1, Thm 1.7]. Olkoon A, B X joukkoja, joille d(a, B) > 0. Metrisyys saadaan kun osoitetaan, että ψ(a B) = ψ(a) + ψ(b). Olkoon δ ]0, d(a, B)/2[ ja E 1, E 2,... F joukon A B δ-peite. Tällöin jokaiselle joukolle E i pätee E i A = tai E i B =. Peite voidaan siis jakaa niihin alkiohin, jotka leikkaavat joukkoa A, niihin jotka leikkaavat joukkoa B ja niihin, jotka eivät leikkaa kumpaakaan. Siten τ(e i ) = τ(e i ) + τ(e i ) + τ(e i ) A E i B E i E i (A B)= τ(e i ) + τ(e i ) A E i ψ δ (A) + ψ δ (B). B E i Koska δ-peite {E i } oli mielivaltainen, on ψ δ (A B) ψ δ (A) + ψ δ (B). 8

10 Kuvausten ψ δ subadditiivisuus antaa vastakkaisen epäyhtälön, joten ψ δ (A B) = ψ δ (A) + ψ δ (B). Väite seuraa tästä antamalla δ 0. (2) Olkoon A X. Pitää siis löytää Borel-joukko B X siten, että A B ja ψ(a) = ψ(b). Jos ψ(a) =, voidaan valita B = X. Voidaan siis olettaa, että ψ(a) <. Tällöin myös ψ δ (A) < kaikilla δ > 0. Valitaan jokaiselle k = 1, 2,... Borel-joukot A k,1, A k,2,... siten, että diam(a k,i ) 1, k A A k,i ja τ(a k,i ) ψ 1 (A) + 1. k k Asettamalla B = k=1 A k,i saadaan Borel-joukko B A, jolle monotonisuuden nojalla pätee ψ 1 k (A) ψ 1 (B). k Toisaalta jokaisella k pätee B A k,i, joten ψ 1 (B) k τ(a k,i ) ψ 1 (A) + 1 k k. Antamalla k saadaan ψ(a) = ψ(b), joten ψ on Borel-säännöllinen..2. Hausdorff-mitat. Olkoon X separoituva metrinen avaruus 1. Kun valitaan Carathéodoryn konstruktiossa edellisten merkintöjen mukaan ja F = P(X) τ(e) = diam(e) s kun s 0, saadaan sopimalla erikoistapaukset 0 0 = 1 ja d( ) s = 0 ulkomitta ψ, jota sanotaan s-ulotteiseksi Hausdorff-mitaksi. Sitä merkitään symbolilla H s. Konstruktiossa saatua mittaa ψ δ merkitään vastaavasti Hδ s. Toisin sanoen H s = lim δ 0 H s δ(a), 1 Voitaisiin määritellä ei-separoituvissakin. 9

11 missä { } Hδ(A) s = inf (diam(e i )) s : E i X, diam(e i ) δ ja A E i. Seuraavassa lauseessa todetaan, että Hausdorff-mitan konstruktiossa voidaan hyvin rajoittaa peiteluokkaa F muuttamatta itse mittaa. Avaruuden R n joukko on konveksi, jos se sisältää kaikki pistepariensa väliset janat. Joukon A R n konveksi verho on konveksi joukko V R n, jolle pätee V K kaikilla konvekseilla K R n, joille A K. Lause.. Valinnoilla (1) F = {F X : F on suljettu}, (2) X = R n ja F = {F X : F on konveksi} tai () F = {F X : F on avoin} Carathéodoryn konstruktio antaa saman mitan ψ = H s. Todistus. Kohta (1): Olkoon A X ja s > 0. Olkoon ψ δ kuten Hδ s mutta määritelty siten, että peitejoukkoina käytetään vain suljettuja joukkoja. Merkitään ψ = lim ψ δ. Pitää δ 0 osoittaa, että ψ(a) = H s (A). Olkoon ε > 0 ja olkoon {E 1, E 2, E,...} joukon A δ-peite, jolle pätee diam(e i ) s Hδ(A) s + ε. Sulkemalla joukot E i saadaan A:lle suljettu δ-peite E 1, E 2, E,.... Joukkojen sulkeminen ei muuta halkaisijaa, joten infimumin määritelmän nojalla pätee ψ δ (A) H s δ(a) + ε. Koska ε on mielivaltainen, saadaan epäyhtälö ψ(a) H s (A). Epäyhtälö ψ(a) H s (A) puolestaan seuraa suoraan infimumin määritelmästä. Kohta (2) saadaan samaan tapaan tarkastelemalla peitejoukkojen sulkeumien sijaan niiden konvekseja verhoja. Kohta (): Olkoon A X ja s > 0. Olkoot ψ δ ja ψ kuten edellä, mutta avoimien peitejoukkojen kautta määriteltynä. Osoitetaan, että ψ(a) = H s (A). Jokaiselle A:n δ-peitteelle E 1, E 2, E,... saadaan määriteltyä kaikilla t > 1 avoin tδ-peite U 1, U 2, U,... pullistamalla joukkoja E i sopivasti: U i = {x : d(x, E i ) < 1 2 (t 1)diam(E i)}. 10

12 Kun joukot U i ovat näin määritelty, saadaan diam(u i ) s = t s diam(e i ) s. Olkoon ε > 0 ja olkoon {E 1, E 2, E,...} sellainen joukon A δ-peite, jolle pätee diam(e i ) s Hδ(A) s + ε. Nyt edellisen nojalla kaikilla t > 1 saadaan ψ tδ (A) t s (H s δ(a) + ε). Koska ε > 0 on mielivaltainen, saadaan tästä viemällä δ 0 edelleen siis kaikilla t > 1, joten ψ(a) t s H s (A), ψ(a) H s (A). Epäyhtälö ψ(a) H s (A) saadaan suoraan määritelmästä. Lause.4. (1) H s on Borel-säännöllinen mitta. (2) H s (A) = 0 Hδ s(a) = 0 kaikilla δ > 0 Hs δ (A) = 0 jollakin δ > 0. () H s (A + x) = H s (A) ja H s (ta) = t s H s (A) kun A R n, A + x := {a + x : a A} ja ta := {ta : a A}. Todistus. Kohta (1) seuraa suoraan lauseista. ja.2. Kohta (2): Todistetaan ensin, että H s (A) = 0 H s δ(a) = 0 kaikilla δ > 0. Olkoon A joukko, jolle H s (A) = 0. Tällöin kaikilla ε > 0 on Hδ s (A) < ε kun δ on riittävän pieni. Infimumin määritelmän nojalla Hδ s (A) on δ:n suhteen vähenevä, joten edellinen pätee kaikille δ. Koska ε on mielivaltainen, on oltava Hδ s(a) = 0 kaikilla δ. Osoitetaan sitten, että H s δ(a) = 0 jollakin δ > 0 H s (A) = 0. Olkoon ε > 0. Olkoon δ > 0 sellainen, että Hδ s (A) = 0. Tällöin on olemassa joukon A δ-peite {E 1, E 2, E,...}, jolle pätee diam(e i ) s < ε. Tästä seuraa, että diam(e i ) < ε 1/s kaikilla i = 1, 2,,... ja siten H s ε 1/s (A) ε. Koska ε 1/s 0 kun ε 0, pätee H s (A) = 0. 11

13 Kohta (): Tapaus H s (A + x) = H s (A) on selvä: tämä nähdään siirtämällä peitejoukkoja samalla vektorilla x. Joukon halkaisija ei muutu siirrettäessä. Yhtälö H s (ta) = t s H s (A) vaatii pienen perustelun. Olkoon ε > 0 ja olkoon {E 1, E 2, E,...} joukon A epsilon-optimaalinen δ-peite: diam(e i ) s Hδ(A) s + ε. Tällöin {te i : i = 1, 2,,...} on ta:n tδ-peite. Niinpä Htδ s (ta) (diam(te i )) s = t s (diam(e i )) s t s H s δ (A) + ts ε. Koska ε voidaan valita miten pieneksi hyvänsä, pätee kaikilla δ ja tästä saadaan epäyhtälö H s tδ(ta) t s H s δ(a), H s (ta) t s H s (A). Käänteinen epäyhtälö saadaan edellistä epäyhtälöä soveltamalla: t s H s (A) = t s H s (t 1 (ta)) t s t s H s (ta) = H s (ta). Esimerkki.5. Cantorin 1-joukko C 1 saadaan kun välistä [0, 1] poistetaan keskimmäinen avoin kolmannes ja toistetaan tätä menettelyä jäljellejääville väleille rekur- siivisesti. Täsmällisemmin sanoen C 1 on leikkaus kaikista näin syntyvistä välivaiheista I i, i = 0, 1, 2,..., joista kukin koostuu i :n mittaisista väleistä I i,j, j = 1, 2,..., 2 i. Ensimmäiset välivaiheet ovat I 0 = [0, 1], I 1 = I 1,1 I 1,2 = [0, 1] [ 2, 1], I 2 = I 2,1 I 2,2 I 2, I 2,4 = [0, 1] [ 2, ] [ 6, 7] [ 8, 1] Kuva 1. Cantorin 1 -joukon ensimmäiset konstruktiovaiheet 12

14 Osoitetaan, että H s (C 1 ) = 1 kun s = log 2. Epäyhtälö log Hs (C 1 ) 1 saadaan helposti valitsemalla aina δ-peitteeksi sellaisen konstruktiovaiheen I i osavälit I i,j, j = 1, 2,..., 2 i, jotka toteuttavat ehdon diam(i i,j ) < δ kaikilla j. Tällainen vaihe i löytyy kaikilla δ > 0, sillä välivaiheen I i osavälien pituudet ovat i. Tälle peitteelle saadaan nyt 2 i j=1 diam(i i,j ) s = 2 i ( i ) s = 1. Yhtälön toinen suunta on hieman mutkikkaampi. Lauseen. ja C 1 :n kompaktiuden nojalla riittää tarkastella äärellisiä suljetuista väleistä koostuvia peit- teitä. Lisäksi voidaan olettaa, että peitevälien päissä ei ole ylimääräistä; ts. välien päätepisteet osuvat päällekkäin joidenkin Cantorin joukon konstruktiovälien päiden kanssa siten, että jokaisen peitevälin [a, b] alkupiste a osuu jonkin konstruktiovälin alkupisteeseen ja loppupiste b jonkin konstruktiovälin loppupisteeseen. Olkoot V 1, V 2, V,..., V k tällainen suljetuista väleistä koostuva C 1 :n peite. Pitää osoittaa, että (.1) k diam(v i ) s 1 Jokainen peiteväli V i alkaa siis jonkin konstuktiovälin alkupisteestä. Olkoon a i pienin konstruktiovaihe l, josta löytyy tällainen väli siten, että tämä väli sisältyy kokonaan peiteväliin V i. Olkoon b i vastaavasti pienin konstruktiovaihe, josta löytyy sellainen väli, jolla on yhteinen päätepiste V i :n kanssa ja joka sisältyy väliin V i. Valitaan sitten suurin näistä kaikista asettamalla ja l i = max {a i, b i }, l = max{l i : i = 1, 2,..., k}. Kun l on näin valittu, jokainen peiteväli V i alkaa jostakin vaiheen l konstruktiovälin alkupisteestä ja myös päättyy johonkin vaiheen l konstruktiovälin loppupisteeseen. Ajatuksena on nyt hajoittaa kukin peiteväli V i vaiheittain pienempiin osiin siten, että lopulta jäljelle jäävään peitteeseen kuuluu enää täsmälleen C 1 :n konstruktiovaiheen l välit. Tämä täytyy tietysti tehdä niin, että yhtälön.1 vasem- man puolen summa ei kasva. Ensimmäisessä vaiheessa kukin peiteväli V i, joka sisältää keskimmäisen kolmanneksen ( 1, 2) jaetaan osiin U 1 ja U 2 siten, että U 1 = V i [0, 1] ja U 2 = V i [ 2, 1]. Seuraavassa vaiheessa poistetaan peiteväleistä vastaavasti C 1 :n komplementin välit ( 1, 2) ja ( 7, 8 ). Näin jatketaan, kunnes kaikki komplementtivälit Cantorin joukon konstruktiovaiheista 1, 2,..., l on poistettu. Joka vaiheessa välikokoelman 1

15 peiteominaisuus säilyy ja lopulta jäljelle jäävät välit V 1, V 2,..., V n peittävät kukin täsmälleen yhden konstruktiovälin I l,j, joten n diam(v i ) s 2 l j=1 diam(i l,j ) s = 1. Kuva 2. Peitevälin jako Riittää siis osoittaa, että k (.2) diam(v i ) s n diam(v i ) s, missä välit V i ovat muodostettu alkuperäisistä peiteväleistä V i edellämainitulla tavalla. Tarkastellaan yksittäistä peiteväliä V ja sen jakamista. Olkoon K suurin väliin V sisältyvä avoin komplementtiväli edellä esitetyssä hajoittamistavassahan poistetaan väleistä aina suurin niihin kuuluva komplementtiväli. Nyt V jakautuu peräkkäisiin väleihin I, K ja J, joista vain suljetut välit I ja J leikkaavat joukkoa C 1. Pitää siis osoittaa, että diam(v ) s diam(i) s + diam(j) s. Cantorin joukon konstruktiota tarkastelemalla (ks. kuva 2) huomataan, että koska peiteväli V alkaa Cantorin joukon pisteestä ja myös loppuu sellaiseen, eikä V sisällä K:ta suurempia komplementtivälejä, on oltava diam(i), diam(j) diam(k). Koska s < 1, kuvaus x x s on konkaavi 2. Kun vielä huomataan, että s = 2, saadaan arvio diam(v ) s (diam(i) + diam(k) + diam(j)) s 2( 1 (diam(i) + diam(j)))s 2 2( 1 2 diam(i)s diam(j))s ) = diam(i) s + diam(j) s, ja siten yhtälö.2 pätee. Osoitetaan seuraavaksi, että R n :ssä H n on Radon-mitta. Todistusta varten tarvitaan seuraava Borel-säännöllisten mittojen arviointilause, jonka todistus ohitetaan tässä (ks. [1, Thm 1.10]). 2 Kuvaus f : R R on konkaavi, jos f(a)+f(b) 2 f(a+b) 2 kaikilla a, b R 14

16 Lause.6. Olkoon X metrinen avaruus, µ Borel-säännöllinen mitta, A X µ-mitallinen joukko ja ε > 0. Tällöin (1) Jos µ(a) <, on olemassa suljettu joukko F A siten, että µ(a \ F ) < ε. (2) Jos on olemassa avoimet joukot V 1, V 2, V,... siten, että A ja V i µ(v i ) < kaikille i, niin silloin on olemassa avoin joukko V siten, että A V ja µ(v \ A) < ε. Edellisen lauseen epäyhtälö µ(a \ F ) < ε voidaan myös kirjoittaa muodossa µ(f ) > µ(a) ε, sillä joukot A ja F ovat µ-mitallisia ja µ(f ) <. Lause.7. H n on Radon-mitta R n :ssä. Todistus. Näytetään ensin rajoitettujen joukkojen äärellismittaisuus. δ-halkaisijaisen tasasivuisen n-välin sivun pituus on δ n ja siten n-välin [0, 1] n peittämiseen riittää n n kappaletta δ-halkaisijaisia n-välejä. Koska δ n ( δ + 1)n δ n = ( n + δ) n n n 2 <, lauseen.4 ja monotonisuuden nojalla rajoitettujen joukkojen mitat ovat äärellisiä. Näytetään sitten, että H n täyttää Radon-mitan arviointiehdot. Olkoon A R n avoin joukko ja olkoon ε > 0. Jos H n (A) <, lause.6 antaa suljetun F A, jolle H n (F ) > H n (A) ε. Asettamalla kaikille i = 1, 2,,... K i = B(0, i) F saadaan kompaktit joukot K i. Koska joukot K 1, K 2, K,... ovat H n -mitallisia, lim i Hn (K i ) = H n ( K i ) = H n (F ), ja siten jollakin K i pätee H n (K i ) > H n (A) ε. Yhtälö H n (A) = sup {H n (K) : K on kompakti ja K A} pätee siis kaikille A, joille H n (A) <. Jos taas H n (A) =, voidaan joukko A esittää yhdisteenä äärellismittaisista joukoista A k, k = 1, 2,,..., A k = A B(0, k). Joukot A 1 A 2... ovat Borel-joukkoina H n -mitallisia ja siten lim k Hn (A k ) = H n ( A k ) = H n (A) =. Merkinnällä x, x R tarkoitetaan lähintä x:ää suurempaa kokonaislukua: k=1 x = min {k : k Z ja x k} 15

17 Siten kaikille M > 0 on M < H n (A k ) < jollakin k, ja soveltamalla lausetta.6 joukkoon A k saadaan kompakti K A, jolle H n (K) > M. Yhtälö H n (A) = sup {H n (K) : K on kompakti ja K A} pätee siis kaikille avoimille A R n. Olkoon sitten A R n mielivaltainen joukko, jolle H n (A) <, ja olkoon ε > 0. Koska H n on Borel-säännöllinen, on olemassa Borel-joukko B siten, että A B ja H n (A) = H n (B). Asettamalla V k = B(0, k), k = 1, 2,,... saadaan avoimet joukot, joille pätee B V k ja H n (V k ) < kaikilla k. Lauseen.6 nojalla on k=1 olemassa avoin joukko V R n siten, että B V ja H n (V ) H n (B) + ε. Siis yhtälö pätee ja lause on todistettu. H n (A) = inf {H n (U) : U on avoin ja A U} Lause.8. Olkoon A R n. Tällöin missä L(n) = L n (B(0, 1)). H n (A) 2 n L(n) 1 L n (A), Todistus. Olkoon A R n ja olkoon ε > 0. Olkoon I 1, I 2, I,... kokoelma avoimia n-välejä, jotka peittävät A:n, ja joille L n (I i ) < L n (A) + ε. Vitalin peitelauseesta 2.9 saadaan kullekin n-välille I i kokoelma erillisiä palloja {B i,j : j = 1, 2,,...}, B i,j I i, joille diam(b i,j ) < δ ja H n (I i \ B i,j ) = 0. j=1 Lauseen.4 nojalla kaikille δ > 0 pätee myös H n δ (I i \ B i,j ) = 0. j=1 Koska L n on Borel-mitta ja pallot B i,j ovat erillisiä, on L n (B i,j ) = L n ( B i,j ) L n (I i ). j=1 j=1 16

18 Koska Hδ n on ulkomitta, saadaan Hδ n(a) Hδ n(i i) Hδ n(b i,j) + Hδ n(i i \ B i,j ) = j=1 j=1 j=1 2n L(n) < 2n josta väite seuraa taas kun ε 0. diam(b i,j ) n 2 n L n (B i,j ) L(n) L n (I i ) L(n) (Ln (A) + ε), j=1 Huomautus.9. Itse asiassa pätee H n (A) = 2 n L(n) 1 L n (A), mutta tämän todistus on paljon mutkikkaampi. Jos Hausdorff-mitan tarkastelussa voitaisiin rajoittua palloihin, tulos saataisiin helposti yhtälöstä diam(b) n = 2n L n (B). L(n) Tämä ei kuitenkaan käy päinsä: kulmikkaan joukon peittäminen voi vaatia halkaisijaltaan joukkoa itseään paljon suuremman pallon. Esimerkiksi R 2 :n tasasivuisen kolmion halkaisija on yhtä kuin sen sivun pituus. Pienin pallo, jolla kolmion voi peittää on kuitenkin halkaisijaltaan kolmioon verrattuna 2 -kertainen. Yhtälön todistus esitetään lähteessä [4, Thm 1.12] ns. isodiametrisen epäyhtälön avulla... Hausdorff-dimensio. Hausdorff-mittojen eräs ominaisuus on se, että mielivaltaisen joukon A X mitta H s (A) on positiivinen ja äärellinen korkeintaan yhdellä s. Tätä rajapistettä s 0 suuremmilla s on H s (A) = 0 ja kun 0 s < s 0, pätee H s (A) =. Itse rajapisteessä s 0 kaikki arvot [0, ] ovat mahdollisia. Lemma.10. Olkoon X metrinen metrinen avaruus ja A X. Tällöin kaikilla s pätee (1) Jos H s (A) <, niin H t (A) = 0 kun t > s. (2) Jos H s (A) > 0, niin H t (A) = kun t < s. Todistus. Kohta 1: Olkoon H s (A) < ja olkoon t > s. Olkoon δ > 0 ja olkoon {E 1, E 2, E,...} sellainen joukon A δ-peite, että 17

19 Tällöin diam(e i ) s Hδ(A) s + 1. Hδ t(a) diam(e i ) t = diam(e i ) s diam(e i ) t s δ t s diam(e i ) s δ t s (Hδ s (A) + 1). Koska tämä pätee kaikille δ > 0, ja lisäksi t s > 0 sekä H s δ(a) + 1 H s (A) + 1 <, pätee H t (A) = 0. Kohta 2 on yhtäpitävä kohdan 1 kanssa (kontrapositio). Määritelmä.11. Joukon A X Hausdorff-dimensio on luku dim H (A) = sup{t 0 : H t (A) = } = sup{t 0 : H t (A) > 0} = inf{t 0 : H t (A) = 0} = inf{t 0 : H t (A) < }. Hausdorff-dimensio perii monotonisuuden Hausdorff-mitoilta H s : jos A B ja s < dim H (A), niin H s (B) H s (A) =, joten dim H (B) s. Sileille k- ulotteisille R n :n pinnoille Hausdorff- dimensio on k ja R n :n osajoukoille A on dim H (A) n. Esimerkki.12. Esimerkissä.5 näytettiin, että Cantorin 1-joukolle C 1 pätee H s (C 1 ) = 1 kun s = log 2. Tästä tiedetään, että dim log H(C 1 ) = log 2. Dimension log laskemiseen riittää kuitenkin osoittaa pelkästään 0 < H s (C 1 ) <. Tämä on paljon helpompaa kuin mitan tarkka laskeminen. 18

20 4. Rademacherin lause Määritelmä 4.1. Olkoon A R m. Kuvaus f : A R n on Lipschitz-kuvaus, jos jollakin vakiolla L < f(x) f(y) L x y kaikilla x, y A. Pienintä tällaista vakiota sanotaan f:n Lipschitz-vakioksi. Esitetään seuraavaksi pieni aputulos, jota tarvitaan Rademacherin lauseen (lause 4.5) todistuksessa. Esitellään ensin joitakin merkintöjä. Määritelmä 4.2. Merkinnällä e f(x) tarkoitetaan vektorin e suuntaista funktion f osittaisderivaattaa pisteessä x. Koordinaattiakseleiden suuntaisia yksikkövektoreita merkitään e i :llä: e 1 = (1, 0, 0,..., 0) e 2 = (0, 1, 0,..., 0)... e m = (0, 0, 0,..., 1). Joukko S n R n+1 on origokeskisen yksikköpallon pinta: S n = {x R n+1 : x = 1} Kuvauksen f : R m R, gradienttia pisteessä x merkitään symbolilla f(x) ja se määritellään asettamalla f(x) = ( e1 f(x), e2 f(x), e f(x),..., em f(x)) Määritelmä 4.. Olkoon ϕ : R m R kuvaus. Kuvauksen ϕ kantaja on joukko {x R m : ϕ(x) 0}. Kuvausluokka C 0 (R m ) on kaikkien niiden kompaktikantajaisten kuvausten R m R joukko, joilla on kaikkien kertalukujen derivaatat. Lemman todistuksessa käytetään hyväksi sitä tietoa, että Lipschitz-kuvaukset R R ovat rajoitetusti heilahtelevina L 1 -melkein kaikkialla differentioituvia (ks. [2, Thm 17.17]). Tätä tietoa hyödynnetään myös Rademacherin lauseen todistuksessa. Lemma 4.4. Olkoon f : R m R Lipschitz-kuvaus ja olkoon e m-ulotteinen yksikkövektori, e R m, e = 1. Jos osittaisderivaatta e f(x) on olemassa melkein kaikilla x R m, niin e f(x) = (e f(x)) melkein kaikilla x R m. Todistus. Olkoon ϕ C0 (R m ). Kaikille h > 0 saadaan muuttujanvaihdolla f(x + he) f(x) ϕ(x) ϕ(x he) ϕ(x) dx = f(x) dx. h h R m 19 R m

21 Koska f on Lipschitz-kuvaus, pätee kaikilla h > 0 f(x + he) f(x) h L, missä L on f:n Lipschitz-vakio. Toisaalta on olemassa M > 0 siten, että ϕ(x) ϕ(x he) h M kaikilla h > 0, sillä kuvaus ϕ on rajoitettu. Koska lisäksi f on melkein kaikkialla e:n suuntaan derivoituva, Lebesguen dominoidun konvergenssin lausetta voidaan soveltaa yhtälön molempiin puoliin, jolloin saadaan e f(x)ϕ(x)dx = e ϕ(x)f(x)dx. R m Jakamalla yhtälön oikean puolen integraali ja osittaisintegroinnilla saadaan e ϕ(x)f(x) dx = (e ϕ(x))f(x) dx R m R m m = (e e j ) f(x) j ϕ(x) dx = = R m j=1 m (e e j ) j=1 R m Siten kaikilla ϕ C0 (R m ) pätee e f(x)ϕ(x)dx = R m R m R m R m ϕ(x) j f(x) dx ϕ(x)(e f(x)) dx, ϕ(x)(e f(x)) dx Väite seuraa tästä Rieszin esityslauseen yksikäsitteisyyden kautta (ks. [1, Thm 1.16] Lause 4.5. (Rademacherin lause) Lipschitz-kuvaus f : R m R n on differentioituva L m -melkein kaikkialla R m :ssä. Todistus. Kuvaus f on differentioituva kussakin pisteessä täsmälleen silloin kuin sen jokainen komponenttifunktio on differentioituva ko. pisteessä. Niinpä riittää tarkastella tapausta n = 1. Lipschitz-kuvaukset R R ovat L 1 -melkein kaikkialla differentitoituvia ([2, Thm 17.17]), joten tapaus m = 1 on selvä. 20

22 Merkitään e f(x):llä funktion f derivaattaa pisteessä x suuntaan e S m 1 = {x R m : x = 1} silloin kun derivaatta on olemassa. Jokaisella e merkitään B e :llä niiden pisteiden x R m muodostamaa joukkoa, joissa f ei ole e:n suuntaan derivoituva. Koska f on L m - mitallinen, on myös B e L m -mitallinen. Tarkastelemalla kussakin pisteessä x R m kuvausta f yhteen suuntaan e kerrallaan 4 voidaan soveltaa tapausta m = 1. Näin saadaan kaikilla x R m L 1 (B e {x + te : t R}) = 0. Tästä seuraa Fubinin lauseella L m (B e ) = 0, joten kaikilla e S m 1 kuvaus f on derivoituva e:n suuntaan L m -melkein kaikkialla R m :ssä. Olkoon {v 1, v 2, v,...} joukon S m 1 tiheä osa. Merkitään jokaisella i = 1, 2,,... A i :lla joukkoa, joka koostuu niistä pisteistä x R m, joille f(x) sekä vi f(x) ovat määritelty ja vi f(x) = (v i f(x)). Merkitään A = A i. Lemman 4.4 nojalla L m (R m \ A) = 0. Nyt lauseen todistamiseksi riittää osoittaa, että f on differentioituva joukossa A. Merkitään kaikilla x A, e S m 1 ja h > 0 f(x + he) f(x) Q(x, e, h) = (e f(x)). h Riittää osoittaa, että Q(x, e, h) suppenee kohti nollaa kun h 0 kaikilla x A ja että suppeneminen on tasaista e:n suhteen. Olkoon L f:n Lipschitz-vakio. Huomataan, että kaikille e, e S m 1 pätee Q(x, e, h) Q(x, e, h) (m + 1)L e e. Olkoon ε > 0. Joukon S m 1 kompaktiuden ja v i :den valinnan nojalla on olemassa N N siten, että kaikille e S m 1 voidaan valita i N, jolle e v i < ε/(2(m + 1)L). Joukon A määritelmän mukaan lim Q(x, v i, h) = 0 h 0 kaikille i, joten on olemassa δ > 0 siten, että Q(x, v i, h) < ε/2 kun h < δ ja i N. Niinpä kaikille e S m 1 ja h < δ saadaan sopivalla i {1,..., N} Q(x, e, h) Q(x, e, h) Q(x, v i, h) + Q(x, v i, h) < (m + 1)L e v i + ε/2 < ε. Lause 4.6. Olkoot f : R m R n Lipschitz kuvaus, 0 s m ja A R m. Tällöin H s (f(a)) L s H s (A), 4 Kuvausten g(t) = x + te ja f g avulla 21

23 missä L on f:n Lipschitz-vakio. Erityisesti dim H (f(a)) dim H (A) Todistus. Olkoot ε > 0 ja δ > 0. Hausdorffin mitan määritelmästä saadaan joukon A δ-peite U 1, U 2,..., jolle diam(u i ) s Hδ(A) s + L s ε. Tällöin f(a) f(u i ) ja diamf(u i ) Lδ kaikilla i, joten joukot f(u 1 ), f(u 2 ),... i muodostavat f(a):n Lδ-peitteen. Taas Hausdorff-mitan määritelmän nojalla saadaan HLδ(f(A)) s (diamf(u i )) s L s (diamu i ) s L s (H s δ(a) + L s ε) = L s H s δ(a) + ε. Väite seuraa tästä kun δ 0 epäyhtälön molemmin puolin, sillä kiinteällä L pätee H s (f(a)) = lim Hδ s (f(a)) = lim δ 0 δ 0 Hs Lδ (f(a)). Esimerkki 4.7. Olkoon V R m n-ulotteinen taso, 0 < n < m. Projektiokuvaus p V : R m V on tarkalleen 1-Lipschitz-kuvaus: se ei kasvata etäisyyksiä, mutta säilyttää projektiotason suuntaisten vektoreiden pituuden. Lauseen 4.6 nojalla minkään joukon A R m Hausdorff-mitta ja -dimensio eivät kasva projektiossa. Joukon surkastuminen sen sijaan on toki mahdollista: kun A on V :n ortogonaalikomplementti, H m n (A) =, mutta H m n (p V (A)) = 0. Dimensio putoaa tässä tapauksessa (m n):stä nollaan. Esimerkki 4.8. Jordan-käyrä on jatkuvan injektion [a, b] R n kuvajoukko. Tässä [a, b] R on siis jokin suljettu väli. Käyrän Γ = ϕ([a, b]) pituus L(Γ) määritellään asettamalla k L(Γ) = sup ϕ(t i ) ϕ(t i 1 ), missä supremum otetaan yli kaikkien välin [a, b] jakojen a = t 0 < t 1 < t 2 <... < t k = b. Osoitetaan lauseen 4.6 avulla, että Jordan-käyrälle Γ pätee H 1 (Γ) = L(Γ). Olkoon Γ = ϕ([a, b]), u = ϕ(a) ja v = ϕ(b). Olkoon p : R n R n projektio suoralle, joka kulkee käyrän Γ päätepisteiden u ja v kautta. Projektio on 1-Lipschitz-kuvaus ja [u, v] p(γ), joten H 1 (Γ) H 1 (p(γ)) H 1 ([u, v]) = L 1 ([u, v]) = u v. 22

24 Olkoon a = t 0 < t 1 < t 2 <... < t k = b välin [a, b] jako. Soveltamalla edellistä havaintoa käyrän Γ osiin saadaan k ϕ(t i ) ϕ(t i 1 ) k H 1 (ϕ([t i 1, t i ])) = H 1 (Γ), sillä käyrän osat ϕ([t i, t i 1 ]) leikkaavat toisiaan vain päätepisteissä. Käyrän pituuden määritelmästä saadaan L(Γ) H 1 (Γ). Oletetaan yhtälön toista suuntaa varten, että L(Γ) <. Olkoon ϕ käyrän Γ parametrisointi käyrän pituuden suhteen eli jatkuva bijektio [0, L(Γ)] Γ siten, että kaikille t [0, L(Γ)] pätee L(ϕ([0, t])) = t. Äärellispituinen käyrä voidaan aina parametrisoida pituutensa suhteen. Käyrän parametrisointi ϕ on 1-Lipschitz-kuvaus, sillä kaikille s, t [0, L(Γ)], s < t, pätee ϕ(s) ϕ(t) L(ϕ([s, t])) = L(ϕ([0, t])) L(ϕ([0, s])) = t s. Lause 4.6 antaa siis toisenkin suunnan: H 1 (Γ) H 1 ([0, L(Γ)]) = L(Γ). Seuraavassa lauseessa merkitään Df(x):llä f:n derivaattaa pisteessä x R m ja Df(x)(R m ):llä vastaavasti tämän derivaatan kuvajoukkoa. Lause sanoo, että Lipschitz-kuvaukselle R m R n niiden pisteiden, joissa määritelty derivaatta lineaarikuvaksena pienentää dimensiota, kuvajoukko on m-ulotteisen Hausdorffmitan mielessä nollamittainen. Erityisesti siis tämän joukon Hausdorff-dimensio on korkeintaan m. Lineaarialgebran dimensiolauseen mukaan pisteeseen x muodostettu derivaatta säilyttää lineaarikuvauksena lähtöjoukon R m dimension täsmälleen silloin kun se on injektio Hausdorff-dimensio on hypertasojen tapauksessa yhtenevä lineaarialgebrallisen dimension kanssa. Tapaus n, m = 1 on helppo ymmärtää: Lipschitz-kuvauksen melkein jokainen kuvapiste f(x) on sellainen, että sen alkukuvapisteissä x derivaatta on nollasta eroava. Moniulotteisessa tapauksessa (n > 1) derivaatta voi olla nollasta eroava ja silti pienentää dimensiota vaikkapa kuvaamalla nollaan vain yhden yksikkövektorin v ja sen vastavektorin v eli litistämällä yhden suunnan. Lause 4.9. Olkoon f : R m R n Lipschitz-kuvaus. Tällöin Todistus. Olkoon 0 < R < ja H m ({f(x) : dim H (Df(x)(R m )) < m}) = 0. A = {x R m : x < R, dim H (Df(x)(R m )) < m}. Olkoot x A, r > 0 ja L kuvauksen f Lipschitz-vakio. Tällöin f:n Lipschitzominaisuuden nojalla f(b(x, r)) B(f(x), Lr). 2

25 Merkitään W x = {Df(x)y +f(x) : y R m }. Koska x A, on dim W x m 1. Nyt derivaatan määritelmää soveltaen kaikille y B(x, r) pätee f(y) (Df(x)(y x) + f(x)) rδ(y x), missä δ(y x) 0 kun y x. Siten kaikille ε > 0 pätee pienillä r > 0 f(b(x, r)) B(f(x)), Lr) {y : d(y, W x ) εr}. Kuva. Esimerkki tilanteesta n = 2 Nyt f(b(x, r)):n mittaa voidaan arvoida n-ulotteisen sylinterin mitan avulla. Jollakin vain m:stä ja n:stä riippuvalla vakiolla c pätee H m (f(b(x, r)) cεr(lr) m 1. Vitalin peitelauseen 2.9 avulla saadaan erilliset pallot B i = B(x i, r i ), joille ja L m (A \ B i ) = 0 L m (B i ) < L m (A) + ε. 24

26 Lauseen 4.6 nojalla H m (f(a \ B i )) = 0. Koska lisäksi saadaan f(a) ( f(b i ) f(a ( B i )), H m (f(a)) H (f(b m i )) cl m 1 ε (r i ) m cl m 1 L(m) 1 ε L m (B i ) cl m 1 L(m) 1 ε(l m (A) + ε), missä L(m) on se vakio, jolle L m (B i ) = L(m)(r i ) m. Lause seuraa tästä kun ε 0 soveltamalla lemmaa.4. Seuraavassa lauseessa esiintyvä yläintegraali Lebesguen mitan L m suhteen määritellään asettamalla ylä f(x)dl m x = inf g(x)dl m x : f g ja g on L m -mitallinen, A A kun f on (ei-l m -mitallinen) funktio, f : X [0, ], A X R m. Lause Olkoon A R n ja f : A R m Lipschitz-kuvaus. Tällöin kaikille s [m, n] pätee ylä H s m (A {x : f(x) = y})dl m y α(m)l(f) m H s (A), R m missä L on kuvauksen f Lipschitz-vakio ja α(m) on m:stä riippuva vakio. Todistus. Jokaisella k = 1, 2,,... on olemassa A:n 1/k-peite E k,1, E k,2, E k,,..., joka on 1/k-optimaalinen Hausdorffin 1/k-mitan suhteen: diam(e k,i ) H1/k(A) s + 1/k. Määritellään kuvapuolelle vastinjoukot F k,i asettamalla F k,i = { y R m : E k,i f 1 (y) }. 25

27 Olkoon L f:n Lipschitz-vakio. Koska diam(f k,i ) LdiamE k,i, pätee L m (F k,i ) L(m)(Ldiam(E k,i )) m. Fatoun lemmaa soveltamalla saadaan ylä H s m (A {x : f(x) = y})dl m y R m = ylä lim H s m R m k 1/k (A {x : f(x) = y})dlm y lim inf diam(e k,i {x : f(x) = y}) s m dl m y R m k lim inf k lim inf k diam(e k,i {x : f(x) = y}) s m dl m y F k,i diam(e k,i {x : f(x) = y}) s m L m (F k,i ) diam(e k,i ) s L(m)L m lim inf k L(m)L m lim inf k (Hs 1/k L(m)L m H s (A). (A) + 1/k) 26

28 5. Stepanovin lause Rademacherin lausetta voidaan hieman yleistää. Kuvauksen ei tarvitse Lipschitzkuvaus, jos rajoitetaan tarkastelu vain niihin pisteisiin, joissa sillä on lokaali Lipschitz-ominaisuus. Se riittää differentioituvuuteen. Määritelmä 5.1. Olkoon A R m ja f : A R n kuvaus. Määritellään kuvauksen f lokaali Lipschitz-vakio pisteessä x A asettamalla Lip(f, x) = lim sup y x f(y) f(x). y x Lause 5.2. Olkoon A R n avoin joukko, f : A R ja S(f) niiden pisteiden x A joukko, joissa f on lokaalisti Lipschitz-kuvaus, ts. S(f) = {x A : Lip(f, x) < }. Tällöin kuvaus f on differentioituva L n -melkein kaikkialla joukossa S(f). Todistus. Olkoot B 1, B 2, B,... kaikki ne avoimet pallot, joiden keskipiste ja säde ovat rationaalisia, ja joissa f on rajoitettu. Jokaisessa pallossa B j kuvausta f voidaan approksimoida ylhäältä ja alhaalta j-lipschitz -kuvauksilla u, v. Määritellään kuvaukset u j ja v j näiden Lipschitz-kuvausten pisteittäisinä ylä- ja alarajoina: u j (x) = inf {u(x) : u f ja u on j-lipschitz}, v j (x) = sup {v(x) : v f ja v on j-lipschitz}. Tällöin u j ja v j ovat myös j-lipschitz -kuvauksia, joten kun merkitään N = {x B j : u j tai v j ei differentioituva x:ssä}, j=1 saadaan Rademacherin lauseen nojalla L n (N) = 0. Olkoot x S(f) \ N ja L = Lip(f, x) <. Tällöin on olemassa r > 0 siten, että f(y) f(x) L y x kaikilla y B(x, r). Huomataan, että on olemassa äärettömän monta palloa B j siten, että B(x, r/2) B j B(x, r), ja niinpä voidaan valita indeksi j L, jolla ylläoleva pätee. Tällöin f(y) f(x) j y x kaikilla y B j. Tästä seuraa u j :n ja v j :n määritelmän nojalla f(x) = u j (x) = v j (x). Koska u j ja v j ovat differentioituvia x:ssä ja v j f u j kaikkialla pallossa B j, on myös f differentioituva x:ssä. 27

29 Viitteet [1] Pertti Mattila: Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces. Cambridge University Press (1995) [2] E. Hewitt & K. Stromberg: Real and Abstract Analysis. Springer-Verlag (1965) [] Kenneth Falconer: Fractal Geometry. John Wiley & Sons Ltd (1990) [4] Kenneth Falconer: The Geometry of Fractal Sets. Cambridge University Press (1985) 28

Tiheyspistelauseita. Petteri Salovaara. Pro Gradu tutkielma

Tiheyspistelauseita. Petteri Salovaara. Pro Gradu tutkielma Tiheyspistelauseita Petteri Salovaara Pro Gradu tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesä 2006 1 2 Sisältö 1. LUKU: Esitietoja 3 2. LUKU: Mittojen derivointia ja tiheyspistelause

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

Analyysin peruslause

Analyysin peruslause LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta

Lisätiedot

Reaalianalyysin perusteita

Reaalianalyysin perusteita Reaalianalyysin perusteita Heikki Orelma 16. marraskuuta 2008 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Mitallisuus 3 3 Yksinkertaiset funktiot 6 4 Mitat ja integrointi 7 5 Kompleksisten funktioiden integrointi 10 6 Nolla-mittaisten

Lisätiedot

d ) m d (I n ) = 2 d n d. Koska tämä pätee kaikilla

d ) m d (I n ) = 2 d n d. Koska tämä pätee kaikilla MAT21007 Mitta ja integraali Harjoitus 2 viikko 25.3-29.3 2019) Palauta mieleen: monisteen luku 0; Topologia I) avaruuden d euklidinen etäisyys, avoimet kuulat ja joukot. Ohjausta laskuharjoitusten tekoon:

Lisätiedot

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna

Lisätiedot

Joukot metrisissä avaruuksissa

Joukot metrisissä avaruuksissa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia

Lisätiedot

Täydellisyysaksiooman kertaus

Täydellisyysaksiooman kertaus Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Mitta- ja integraaliteoria 2 Harjoitus 1, Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja m(a) < 1. Näytä, että josonp>1javakio M<1, joille

Mitta- ja integraaliteoria 2 Harjoitus 1, Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja m(a) < 1. Näytä, että josonp>1javakio M<1, joille Harjoitus 1, 30.10.2015 1. Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja ma) < 1. Näytä, että josonp>1javakio Mt} apple M 2. Olkoon f 2 L 1 A). Näytä, että 2 kaikilla

Lisätiedot

Ville Suomala MITTA JA INTEGRAALI

Ville Suomala MITTA JA INTEGRAALI Ville Suomala MITT J INTEGRLI Luentotiivistelmä kevät 2017 1 Johdanto bstraktin mittateorian voidaan katsoa syntyneen vuoden 1900 tienoilla, kun Henry Lebesgue esitteli uuden integrointiteorian. Mitta-

Lisätiedot

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden

Lisätiedot

REAALIANALYYSI. Pekka Koskela. Syksy 2015

REAALIANALYYSI. Pekka Koskela. Syksy 2015 REAALIANALYYSI Pekka Koskela Syksy 2015 Luennot: Ti 1012, To 1416, MaD 380. Demot: To 1012, MaD 355, Changyu Guo.. Demohyvitys: 80%6 p., 70%5, 60%4, 50%3, 30%2, 20%1. Pertti Mattila: Geometry of sets and

Lisätiedot

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko. Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,

Lisätiedot

Jordanin sisältö ja Lebesguen ulkomitta

Jordanin sisältö ja Lebesguen ulkomitta Jordanin sisältö ja Lebesguen ulkomitta Jennika Ojalehto Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2016 Tiivistelmä: Jennika Ojalehto, Jordanin sisältö ja

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

Derivaatasta ja derivoituvuudesta

Derivaatasta ja derivoituvuudesta Derivaatasta ja derivoituvuudesta Piia Lehtola Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2018 Tiivistelmä: Piia Lehtola, Derivaatasta ja derivoituvuudesta,

Lisätiedot

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 5. Olkoon f : [0, 1] R kasvava. Osoita, että joukko. {x [0, 1] f ei ole jatkuva pisteessä x} on numeroituva. [Vihje: Lause 1.2.

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 5. Olkoon f : [0, 1] R kasvava. Osoita, että joukko. {x [0, 1] f ei ole jatkuva pisteessä x} on numeroituva. [Vihje: Lause 1.2. Harjoitukset 1 16.9.25 1. Merkitään Z + = {x Z x > }. Osoita, että f : Z + Z + Z +, f(x, y) = 2 x 1 (2y 1), on bijektio. Piirrä kuva. Perinteisempi kuvaus Z + Z + Z + on (x, y) (x + y 1)(x + y)/2 (x 1).

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Ville Suomala MITTA- JA INTEGROINTITEORIAA

Ville Suomala MITTA- JA INTEGROINTITEORIAA Ville Suomala MITT- J INTEGROINTITEORI Luentotiivistelmä kevät 2015 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Lebesguen ulkomitta 2 2.1 Merkintöjä............................... 2 2.2 Ulkomitta L..............................

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Milloin joukon Lebesguen ja Hausdorffin mitat ovat yhtä suuria?

Milloin joukon Lebesguen ja Hausdorffin mitat ovat yhtä suuria? Milloin joukon Lebesguen ja Hausdorffin mitat ovat yhtä suuria? Juha Väätäinen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesä 2012 Sisältö Johdanto 1 Luku 1. Gammafunktio

Lisätiedot

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali 4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,

Lisätiedot

Cantorin joukko LUKU 8

Cantorin joukko LUKU 8 LUKU 8 Cantorin joukko 8.. Cantorin 3 -joukko Merkitään J = J 0, = [0, ]. Poistetaan välin J keskeltä avoin väli I,, jonka pituus on /3; siis I, = (, 2). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 3 3, ja

Lisätiedot

Itsesimilaarit joukot

Itsesimilaarit joukot Itsesimilaarit joukot Henni Nikkilä Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2013 Tiivistelmä: Henni Nikkilä, Itsesimilaarit joukot (engl. Self-similar sets),

Lisätiedot

1 Supremum ja infimum

1 Supremum ja infimum Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,

Lisätiedot

Ville Suomala MITTA JA INTEGRAALI

Ville Suomala MITTA JA INTEGRAALI Ville Suomala MITT J INTEGRLI Luentomoniste syksy 2018 1 Johdanto Lukijalle Nämä muistiinpanot muodostavat rungon Oulun yliopistossa luennoitavalle kurssille Mitta ja integraali. Luentomuistiinpanot ovat

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Derivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.

Derivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella. Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U

Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II 802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen

Lisätiedot

saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?

saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä? ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 4 Funktion raja-arvo 4 Määritelmä Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: fx) A < ε aina, kun 0 < x a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a i > 0kaikillai 2 I, niin P i2i a i = 1.

2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a i > 0kaikillai 2 I, niin P i2i a i = 1. Harjoitus 1, 11.9.2015 1. Näytä, että joukossax on äärettömän monta alkiota jos ja vain jos on joukko X, 6= X, jokaonyhtämahtavakuinx. 2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Kompaktisuus ja filtterit

Kompaktisuus ja filtterit Kompaktisuus ja filtterit Joukkoperheellä L on äärellinen leikkausominaisuus, mikäli jokaisella äärellisellä L L on voimassa L. Nähdään helposti, että perheellä L on äärellinen leikkausominaisuus ja L

Lisätiedot

Mitta ja integraali 1

Mitta ja integraali 1 Mitta ja integraali 1 Ilkka Holopainen 2 March 22, 2004 1 Perustuvat pääosin luentomonisteisiin Tylli: Mitta ja integraali (2000 ja Väisälä: Diff. Int. III (1985 2 Ilmoita painovirheistä esim. sähköpostitse

Lisätiedot

, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).

, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1). HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Topologisten avaruuksien metristyvyys. Toni Annala

Topologisten avaruuksien metristyvyys. Toni Annala Topologisten avaruuksien metristyvyys Toni Annala Sisältö 1 Johdanto 2 2 Topologiset avaruudet 3 3 Erotteluaksioomat 8 4 Metristyvät avaruudet 13 5 Metristyvyys 17 1 Luku 1 Johdanto Topologia on matematiikan

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

LUKU 4. Pinnat. (u 1, u 2 ) ja E ϕ 2 (u 1, u 2 ) := ϕ u 2

LUKU 4. Pinnat. (u 1, u 2 ) ja E ϕ 2 (u 1, u 2 ) := ϕ u 2 LUKU 4 Pinnat 4.. Määritelmiä ja esimerkkejä Määritelmä 4.. Epätyhjä osajoukko M R 3 on sileä (kaksiulotteinen) pinta, jos jokaiselle pisteelle p M on olemassa ympäristö V p R 3, avoin joukko U p R 2 ja

Lisätiedot

1.1. Joukon Jordanin sisältö. Reaaliakselin kompaktin välin [t 0, t m ] jako on

1.1. Joukon Jordanin sisältö. Reaaliakselin kompaktin välin [t 0, t m ] jako on 1. Jordan-joukot Yksinkertaisuuden (ja havainnollisuuden vuoksi) seuraavassa tarkastellaan vain tason osajoukkoja, vaikka päättelyt voitaisiin helposti siirtää yleiseen n-ulotteiseen euklidiseen avaruuteen

Lisätiedot

Määritelmä 2.5. Lause 2.6.

Määritelmä 2.5. Lause 2.6. Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan

Lisätiedot

MITTA- JA INTEGRAALITEORIA 2015

MITTA- JA INTEGRAALITEORIA 2015 MITT- J INTEGRLITEORI 2015 HELI TUOMINEN Sisältö Johdantoa 2 Mitta 2 Integraali 2 nalyysin peruslause 2 Riemann-integraalista 2 1. Valmistelua, kertausta ja merkintöjä 4 Infimum ja supremum 4 Laajennettu

Lisätiedot

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a

Lisätiedot

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)

Lisätiedot

Taustatietoja ja perusteita

Taustatietoja ja perusteita Taustatietoja ja perusteita Vektorit: x R n pystyvektoreita, transpoosi x T Sisätulo: x T y = n i=1 x i y i Normi: x = x T x = ni=1 x 2 i Etäisyys: Kahden R n :n vektorin välinen etäisyys x y 1 Avoin pallo:

Lisätiedot

4.3.7 Epäoleellinen integraali

4.3.7 Epäoleellinen integraali Esimerkki 4.3.16. (Lineaarinen muuttujien vaihto) Olkoot A R m sellainen kompakti joukko, että A on nollajoukko. Olkoon M R m m säännöllinen matriisi (eli det(m) 0) ja f : R m R jatkuva funktio. Tehdään

Lisätiedot

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää

Lisätiedot

Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset

Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tuomas Hentunen Matematiikan pro gradu tutkielma Kesäkuu 2014 Tiivistelmä: Tuomas Hentunen, Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset (engl. Uniform convergence

Lisätiedot

Moderni reaalianalyysi

Moderni reaalianalyysi JUHA KINNUNEN Moderni reaalianalyysi F ( ) := f (ξ)e i ξ dξ 2π Juha Kinnusen laatiman luentomateriaalin pohjalta toimittaneet Mikael Lindström, Olli Hyvärinen ja Tuomas Pöyhtäri Sisältö LEBESGUEN ULKOMITTA

Lisätiedot

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Kalle

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Ratkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,...

Ratkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,... HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset 11 Osoita, että vektorifunktio f = (f 1,, f m ): R n R m, on jatkuva, jos ja vain jos jokainen komponenttifunktio

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?

saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä? ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 209 4 Funktion raja-arvo 4. Määritelmä. Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: f) A < ε aina, kun 0 < a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 10. Kurssikerta Petrus Mikkola 22.11.2016 Tämän kerran asiat Globaali ääriarvo Konveksisuus Käännepiste L Hôpitalin sääntö Newtonin menetelmä Derivaatta ja monotonisuus

Lisätiedot

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste, Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010

Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 4.1. Viime kerralta. Esimerkki lokaalikonveksin avaruuden osajoukosta, joka

Lisätiedot

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.

Lisätiedot

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,

Lisätiedot

KÄYRÄN PITUUS METRISESSÄ AVARUUDESSA

KÄYRÄN PITUUS METRISESSÄ AVARUUDESSA KÄYRÄN PITUUS METRISESSÄ AVARUUDESSA Hanna Männistö Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2014 Sisältö Johdanto 1 Luku 1. Metrisistä avaruuksista 4 Luku

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus

Lisätiedot

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause 3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause Tässä luvussa käsitellään kahta keskeistä vektorianalyysin lausetta. Esitellään aluksi kyseiset lauseet ja tutustutaan niiden käyttötapoihin. Lause 3.4.1

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)

Lisätiedot

Metriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00

Metriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1 Metriset avaruudet Erno Kauranen 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1. Sisätulo ja normiavaruus................................................. 3 2. Metrinen avaruus........................................................

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on? Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki

Lisätiedot

LUKU 6. Mitalliset funktiot

LUKU 6. Mitalliset funktiot LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,

Lisätiedot

HUOKOISET JOUKOT TUOMAS SAHLSTEN. Kandidaatintutkielma Opiskelijanumero: 013310787

HUOKOISET JOUKOT TUOMAS SAHLSTEN. Kandidaatintutkielma Opiskelijanumero: 013310787 HUOKOISET JOUKOT TUOMAS SAHLSTEN Kandidaatintutkielma Opiskelijanumero: 013310787 1 2 TUOMAS SAHLSTEN Sisällysluettelo Johdanto....................................................... 2 1. Huokoiset joukot.............................................

Lisätiedot

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1 1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y

Lisätiedot

1 Reaaliset lukujonot

1 Reaaliset lukujonot Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot

Lisätiedot

2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo

2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo 2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo Ratkaisun olemassaolon tutkimiseen tarvitaan perustietoja konvekseista joukoista ja lineaarialgebrasta. Niitä tarvitaan myös ratkaisualgoritmin ymmärtämiseen. Tutkitaan

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

f(tx + (1 t)y) tf(x) + (1 t)f(y) jokaisella x, y A ja t [0, 1].

f(tx + (1 t)y) tf(x) + (1 t)f(y) jokaisella x, y A ja t [0, 1]. Tässä luvussa näytetään divergenssilause konveksin joukon tapauksessa. Määritelmä 4.5.1. 1. Joukko R m on konveksi, jos kaikilla x, y pisteet tx + (1 t)y jokaisella t [0, 1]. 2. Olkoon R m konveksi. Funktio

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 2, malliratkaisut

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 2, malliratkaisut Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus, malliratkaisut 1.-5.9.009 1. Muodosta joukot A B, A B ja A\B sekä laske niiden alkioiden lukumäärät (mikäli kyseessä on äärellinen

Lisätiedot

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo

Lisätiedot

MS-C1540 Euklidiset avaruudet

MS-C1540 Euklidiset avaruudet MS-C1540 Euklidiset avaruudet MS-C1540 Euklidiset avaruudet III-periodi, kevät 2016 Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu 1 / 30 Euklidiset

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

L p -keskiarvoalueista

L p -keskiarvoalueista L p -keskiarvoalueista Jenni Alamehtä Matematiikan pro gradu Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesäkuu 4 HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFOS UNIVESITET UNIVESITY OF HELSINKI TiedekuntaOsasto

Lisätiedot

Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus

Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus 1. (5:7) Olkoon E normiavaruus, I = [0, 1] ja f, g : I E jatkuvia. Osoita, että yhtälön h(s, t) = (1 t)f(s) + tg(s) määrittelemä kuvaus h : I 2 E on

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 Kevät 2012 1 Tilastolliset inversio-ongelmat Tilastollinen ionversio perustuu seuraaviin periaatteisiin: 1. Kaikki mallissa olevat muuttujat mallinnetaan

Lisätiedot

Oletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät

Oletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 18 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että sileille Jordan-poluille on voimassa : I R n ja : J R n (I) = (J) jos ja vain

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin

Lisätiedot