Maksimaalifunktio ja L p -avaruudet
|
|
- Saija Ketonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Maksimaalifunktio ja L p -avaruudet PRO GRADU -TUTKIELMA Matti Teerikangas Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka 23. toukokuuta 27
2 Sisältö Johdanto 2 Hardy, Littlewood, Wiener 2 3 Maksimaaliongelma 6 4 L p -avaruudet 4. Mitallisuus L - ja L -avaruudet L p -avaruudet, p < Tärkeitä epäyhtälöitä r-peitelause 22 6 Hardy-Littlewood-maksimaalifunktio Integraalin esityslause Maksimaalifunktio
3 Johdanto Tämän työn tärkein tarkoitus on esittää Hardy-Littlewood-maksimaalifunktion määritelmä sekä todistaa sen perusominaisuuksia. Nykyisessä muodossaan olevan maksimaalifunktion esitys löytyy vasta työn loppupuolelta kappaleesta 6. Maksimaalifunktion käsittely aloitetaan tavallaan historiallisesta näkökulmasta. Lähdetään kulkemaan Hardyn ja Littlewoodin jalanjälkiä ja esitetään aluksi yksinkertainen maksimaaliongelma, jossa tarkastellaan erästä äärellisten summien ominaisuutta. Sovelletaan tämä samainen ongelma integraaleihin avaruudessa R ja päästään hyvin nopeasti käsiksi itse pääteemaan, maksimaalifunktioon θ(x). Tämän kappaleen merkinnät ovat hyvin pitkälti identtiset alkuperäislähteen [3] merkintöjen kanssa, mutta eivät eroa merkittävästi nykyisistä merkinnöistä. Kappaleissa 4 ja 5 esitetään välttämättömiä pohjatietoja, joita tarvitaan maksimaalifunktion tarkastelussa. Kappaleesta 3 poiketen nyt tarkastellaan R:n sijaan n-ulotteista reaaliavaruutta. Ensin käydään nopeasti läpi mitallisuuden käsite ja määritellään L -, L - ja lopulta L p -avaruudet. Lause 4.4.., Hölderin epäyhtälö, on kappaleen 4 tärkein yksittäinen lause. Sen avulla todistetaan Minkowskin epäyhtälö ja saadaan todistettua, että L p on normiavaruus. Kappaleessa 5 esitetään ja todistetaan 5r-peitelause eli peruspeitelause. Tämä kappale eroaa hieman matemaattiselta luonteeltaan tämän työn muista kappaleista, mutta on välttämätön maksimaalifunktion ominaisuuksia todistettaessa. Tässä yhteydessä olisi voitu valita muukin peitelause, esimerkiksi Vitalin peitelause, mutta yksinkertaisuuden vuoksi valittiin 5r-peitelause. Kappaleen 6 alussa todistetaan Lebesguen määritelemän mukainen integraalin esityslause. Tämä lause osoittautuu erittäin tarpeelliseksi. Vielä ennen maksimaalifunktion määrittelyä esitetään Lebesguen differentioituvuuslause, jota hieman muokkaamalla päädytään itse maksimaalifunktioon. Ainoana erona kappaleen 3 maksimaalifunktioon on, että nyt operoidaan avaruudessa R n. Lauseen todistus on alunperin Wienerin käsialaa ja se sopii todistukseksi myös Lauseeseen Wiener siis laajensi maksimaalifunktion tarkastelun R:stä R n :ään. Esitetään heti konkreettinen käyttö Lauseelle ja todistetaan sen avulla jo aiemmin esitetty Lebesguen differentioituvuuslause. Kappaleen lopussa tarkastellaan vielä maksimaalifunktion integroituvuutta rajoitetussa pallossa. Aloitetaan kuitenkin lyhyellä historiallisella katsauksella Hardyn, Littlewoodin ja Wienerin elämään.
4 2 Hardy, Littlewood, Wiener Maksimaalifunktiota käsittelevän teorian kehittänyt kolmikko Hardy, Littlewood ja Wiener olivat kaikki 9-luvun alun suuria matemaatikkoja. He olivat ihmisinä täysin toisistaan poikkeavia, ja jopa heidän matemaattinen lahjakkuutensa poikkesi toisistaan huomattavasti. Siitä huolimatta, tai ehkä juuri siksi, he saivat yhdessä valtavasti aikaan. Heistä englantilaiset Hardy ja Littlewood työskentelivät yhdessä vuosikymmeniä ja kolmikosta nuorin Yhdysvalloissa syntynyt Norbert Wiener vieraili Cambridgessä usein ja pitkään. Godfrey Harold Hardy syntyi Englannissa 877 melko köyhään perheeseen. Hänen molempia vanhempiaan pidettiin älykkäinä ja matemaattisesti lahjakkaina, mutta heillä ei ollut ollut taloudellisia mahdollisuuksia yliopistokoulutukseen. Hardy, jota tuon ajan tapaan puhuteltiin lähes poikkeuksetta sukunimellä, oli koulussa hyvä kaikessa. Jälkeenpäin katsoen on varsin mielenkiintoinen yksityiskohta se, ettei hän ollut kouluaikana mitenkään erityisen kiinnostunut matematiikasta. Hän sai joka tapauksessa stipendin Wincherter Collegeen, Englannin parhaana pidettyyn matematiikan opinahjoon, jo vuonna 889. Seitsemän vuotta myöhemmin Hardy siirtyi Wincherteristä Cambridgeen. Siellä hän oli jo vähällä vaihtaa pääaineensa historiaan, koska ei ollut tyytyväinen opetuksen tasoon. Löydettyään itselleen sopivan ohjaavan opettajan jatkuivat opinnot uudella innolla. Matematiikan ohella Hardy oli erityisen kiinnostunut kriketistä, mikä tulee ilmi tässäkin työssä kappaleessa 3. Hän ei kuitenkaan koskaan pelannut joukkueessa, mutta saattoi seurata pelejä päivittäin. Tennistä hän tosin pelasi itsekin. Yksi omituisuus, mistä Hardy tunnetaan, oli hänen valokuvakammonsa. Koko hänen elämänsä aikana hänestä saatiin otettua tiettävästi vain viisi valokuvaa. Vuonna 98 Hardy julkaisi ensimmäisen merkittävän teoksen: A course of pure mathematics. Tämän teoksen vaikutus matematiikan tutkimukselle on hyvin merkittävä, sillä se mullisti matematiikan opetuksen yliopistoissa. Pari vuotta tämän jälkeen Hardy aloitti tiiviin yhteistyön niin ikään englantilaisen John Edenson Littlewoodin kanssa. Tämä matemaatikon poika eli suuren osan lapsuudestaan Etelä-Afrikassa. Isä Eward ei ollut lainkaan tyytyväinen poikansa saamaan opetukseen etenkään matematiikan osalta. Koulumenestys oli joka tapauksesa hyvää ja poika pääsikin Kapkaupungin yliopistoon. Opetuksen laatu ei edelleenkään tyydyttänyt isää ja niin 5- vuotias poika lähetettiin takaisin Englantiin. Jo tuohon aikaan nuori Littlewood kärsi masennuksesta, jota tuskin paransivat huonot olot Etelä-Afrikassa ja yksin muutto takaisin Englantiin. Pari vuotta Littlewood vietti St Paulin koulussa Lontoossa, kunnes vuonna 93 hän pääsi Cambridgeen. Hän kävi välillä luennoimassa Manchesterin yliopistossa usean vuoden ajan palaten takaisin Cambridgeen 9. Näihin aikoihin alkoi jo mainittu yhteistyö Har- 2
5 dyn kanssa. Tässä yhteydessä on hyvä mainita myös kaksikon yhteistyö intialaisen matemaatikon Ramanujanin kanssa. Tämä vuonna 93 alkanut yhteistyö oli hyvin merkittävä ja tuottoisa, vaikka Ramanujan viettikin suurimman osan ajastaan Intiassa. Vierailujen lisäksi yhteistyö toimi lähinnä kirjeenvaihdon välityksellä. Norbet Wiener syntyi 894 Missourissa Yhdysvalloissa juutalaiseen perheeseen. Hänen venäläissyntyinen isänsä Leo opetti Harvardin yliopistossa slaavilaisia kieliä ja oli valtavan kiinnostunut matematiikasta. Hän ei ollut koskaan opiskellut matematiikkaa yliopistossa, eikä tarvinnut matemaattisia taitoja omassa työssään, mutta hänen matemaattinen lahjakkuutensa oli kiistämätön. Hän pystyi opettamaan pojalleen matematiikkaa vielä yliopistotasolla, joka on itseoppineelta varsin kunnioitettava saavutus. Jos oli isä Leo lahjakas, niin sitä oli poikakin. Kouluun seitsemänvuotias poika laitettiin suoraan kolmannelle luokalle, mutta siirrettiin lähes saman tien neljännelle. Edelleen Norbetin ajatuksenjuoksu oli paljon luokkatovereitaan edellä, joten isä päätti ottaa poikansa opetuksen omalle vastuulleen. Näihin aikoihin lääkärit määräsivät kömpelön pojan lukukieltoon ylirasittuneiden silmien vuoksi. Puolen vuoden ajan hän opettelikin päässälaskua isänsä kanssa, kunnes lopulta vuonna 93 yhdeksänvuotiaana Norbert Wiener pääsi takaisin kouluun. Hänet laitettiin seitsemän vuotta itseään vanhempien oppilaiden kanssa samalle luokalle. Kolmen vuoden kuluttua ollessaan vasta yhdentoista vuoden ikäinen hänestä tuli jo ylioppilas. Samana vuonna Wiener pääsi Tufts Collegeen, missä hän opiskeli pääaineenaan matematiikkaa. Valmistuttuaan Tuft Collegesta 99 hän meni Harvardiin jatkoopiskelijaksi, ja vastoin kaikkien odotuksia alkoikin opiskella eläintiedettä, mutta vaihtoi pääaineensa filosofiaan jo samana vuonna. Wiener suuntautui matemaattiseen filosofiaan ja teki väitöskirjansa matemaattisesta logiikasta valmistuen Harvardista tohtoriksi ollessaan vasta 8-vuotias. Seuraavaksi Wiener muuttikin jo Englantiin, Cambridgeen ja meni Hardyn luennoimille kursseille. Vuonna 94 Wiener jatkoi matkaa toisen suuruuden saksalaisen Hilbertin oppiin Göttingeniin. Ensimmäisen maailmasodan syttyminen johti Wienerin, Hardyn ja Littlewoodin omille teilleen. Wienerin ja Littlewoodin älykkyys valjastettiin hetkeksi sotakoneistojen tarpeisiin. Wiener tutki ballistiikkaa ja sähköistä tietoliikennettä, mistä jälkimmäinen johti hänen mielenkiintonsa Fourier-sarjoihin ja Fourier-integraaleihin. Littlewood oli myös tykistön palveluksessa. Hän kehitti Englannin ilmapuolustuksen tarkkuuden ja vihollisen havainnoinnin täysin uudelle tasolle. Samaan aikaan Hardy jatkoi tutkimuksiaan Cambridgessä, sillä terveydellisistä syistä häntä ei kelpuutettu asevoimien palvelukseen. Seuraavat vuodet olivat Hardylle erityisen raskaita. Hän oli suuri Saksan ja erityisesti saksalaisen tiedeyhteisön ihailija, mikä jätti hänet ajatuksi- 3
6 neen sodanaikaisessa Englannissa varsin yksin. Sekä sodan syttymiseen että työtovereiden mielipiteisiin syvästi pettynyt Hardy siirtyi vuonna 99 professoriksi Oxfordiin. Siellä hän tunsi itsensä huomattavasti onnellisemmaksi, mutta asetti vuonna 93 matemaattiset syyt etusijalle ja lähti takaisin Cambridgeen. Vuodet, jolloin Hardy oli Oxfordissa ja Littlewood Cambridgessä, olivat välimatkasta huolimatta heidän yhteistyönsä parasta aikaa. Tuota aikaa Hardy kuvasi myöhemmin elämänsä onnellisimmaksi ajaksi. Myös maksimaalifunktion tutkimus ajoittuu juuri tälle ajalle. Näihin aikoihin Wiener matkusteli Yhdysvaltojen ja Euroopan väliä vieraillen etenkin Saksassa ja Englannissa. Wienerin tuolloisilla tutkimuksilla oli yhteyksiä varsin useisiin tieteenaloihin. Matematiikan ja sähkötekniikan lisäksi muun muassa kvanttimekaniikan tutkimus hyötyi hänen aikaansaannoksistaan. Wiener avioitui vuonna 926 ja vietti tämän jälkeen pitkiä aikoja Yhdysvalloissa. Matematiikan tutkimuksen kannalta Wienerin parhaat vuodet osuivat 93-luvun alkuun. On tuskin sattumaa, että juuri tuolloin hän vietti suurimman osan ajastaan Hardyn vieraana Cambridgessä. Hardy, Littlewood ja Wiener olivat matemaattisilta taidoiltaan hyvin erilaisia, vaikka tutkivatkin usein samoja ongelmia mm. Riemannin zetafunktiota ja Fourier-sarjoja. Matemaattinen oivalluskyky oli Hardyn ja Wienerin vahvuuksia, kun taas Littlewoodilla lasku- ja todistustekniikat olivat hallussa paremmin kuin ehkä kenelläkään muulla. Ehkä juuri yhdistelmä teknistä taitoa ja matemaattista luovuutta johti eritoten Hardyn ja Littlewoodin hedelmälliseen yhteistyöhön. Jos Hardya ja Wieneriä yhdisti luovuus, niin paljon muuta yhteistä heillä ei ollutkaan. Siinä missä Hardy pystyi esittämään monimutkaisetkin ongelmat hämmästyttävän selkeästi, oli Wienerille yksinkertaistenkin asioiden selittäminen välillä lähes ylivoimaista. Hän saattoi pyöritellä triviaalin ongelman todistusta sivukaupalla ja seuraavaksi ohitti vaikean ongelman todistuksen kokonaan pitäen sitä itsestäänselvyytenä. Hänen töidensä epäselvyyttä lisäsi lukemattomat matemaattiset virheet ja kirjoitusvirheet. Lisäksi Wiener oli surkea keskustelija, sillä hän ei osannut kuunnella muita ja kuten Freudenthalin kerrotaan sanoneen: Hän puhui useita kieliä, mutta ei ollut helposti ymmärrettävissä yhdelläkään niistä. [8] Ei siis ole yllätys, että hän oli kuuluisa surkeista luennoistaan. Hardya taas vastaavasti pidettiin huippuluennoitsijana. Toisen maailmansodan syttyminen oli Hardylle kova isku. Sodan syttyminen romahdutti sekä Hardyn fyysisen että psyykkisen kunnon. Hän teki matematiikalle kuitenkin vielä yhden palveluksen: A mathematicians apology (94). Siinä Hardy kertoo matemaatikon ajattelutavasta ja siitä mistä matemaatikko saa tyydytyksensä. Kirja oli toisaalta myös Hardyn matemaattinen testamentti, sillä rehellisenä miehenä hän myönsi menettäneensä sen kyvyn, mikä oli tehnyt hänestä yhden aikansa suurimmista matemaatikoista. 4
7 Sodan jo loputtua vuonna 947 Hardy yritti lopettaa maalliset kärsimyksensä oman käden kautta siinä kuitenkaan onnistumatta. Hän ei yrittänyt uudestaan, koska ei selvästikään ollut hyvä siinä. Kauaa ei Hardyn tarvinnut kuolemaa kuitenkaan odottaa, sillä vielä samana vuonna tämä vannoutunut ateisti siirtyi vehreämmille niityille. Toisin kuin Hardyn Littlewoodin matemaattiset taidot eivät iän myötä ruostuneet. Vielä yli 9 vuoden iässä hänellä riitti uusia ajatuksia. Edes paha masennus, josta hän kärsi koko pitkän elämänsä, ei tuhonnut hänen matemaattisia taitojaan sosiaalisen elämän kylläkin. Kuolinpaikaksi näille molemmille suuruuksille merkittiin sama: Cambridge, Cambridgeshire, England. Wienerin kohdalla papereissa taas lukee Tukholma 964. Kolmikko keräsi valtavasti erilaisia palkintoja ja huomionosoituksia. Suurin osa näistä tuli tietysti Englannista, mutta erityisesti pitkään elänyt Littlewood sai huomattavan määrän huomionosoituksia arvostetuista yliopistoista ympäri maailmaa.[8] 5
8 3 Maksimaaliongelma Englantilaiset raskaan sarjan matemaatikot G. H. Hardy ja J. E. Littlewood julkaisivat vuonna 93 matemaattisessa aikakausilehti Acta Mathematicassa 36-sivuisen artikkelin A maximal theorem with function-theoretic application. Tässä artikkelissa maksimaaliongelmaa lähestyttiin englantilaisittain kriketti-pelin termistöllä. Onkin luonnollista lähestyä tätä ongelmaa suomalaisittain käyttäen esimerkkinä pesäpalloa. Tarkemmin sanoen käytän esimerkkinä jokeripelaajan lyömiä juoksuja. Kauden aikana käytyjen otteluiden lyötyjä juoksuja kuvaa ei-negatiivisia lukuja sisältävä lukujoukko a, a 2,..., a n. () Asetetaan nyt α v kuvaamaan lyötyjen juoksujen keskiarvoa v:nnen ottelun jälkeen α v = A v v = a + a a v. (2) v Olkoon s(x) positiivinen kasvava funktio kaikilla x. Oletetaan vielä, että jokerinpelaajan tyytyväisyytteen vaikuttaa ainoastaan tuotujen juoksujen lukumäärä, ja että tuo tyytyväisyys v:nnen pelin jälkeen voidaan laskea funktiosta s, s v = s(α v ). (3) Kauden jälkeinen kokonaityytyväisyys S lasketaan yksittäisten pelien jälkeisten tyytyväisyystilanteiden summana: S = s v = s(α v ). (4) Lause 3... Jos a, a 2,..., a n ovat ei-negatiivisia satunnaisessa järjestyksessä olavia lukuja, s(x) on mikä tahansa kasvava funktio ja α v, s v ja S ovat määriteltyjä kuten edellä (2),(3),(4), niin S saavuttaa maksimin, kun a v :t on järjestetty vähenevään järjestykseen. Todistus ohitetaan, mutta helposti nähdään, että aina kun a µ < a v ja µ < v, niin vaihtamalla termit a µ ja a v päittäin, termit s µ, s µ+,..., s v kasvavat ja loput pysyvät muuttumattomina, joten myös S kasvaa. Kun tätä jatketaan niin kauan, että a a 2 a v, niin tällöin S saavuttaa maksimin. 6
9 Tehdään pieni muutos keskiarvojen α v määrittelyyn. Oletetaan, että α v ei olekaan lyöjän koko kauden keskiarvo, vaan hänen keskiarvomaksiminsa v:hen päättyvistä yhtäjaksoisista peleistä: α v = a v + a v a v v v + = max µ v a µ + a µ+ + + a v. (5) v µ + Sovitaan vielä, että jos v ei ole yksikäsitteinen, niin valitaan aina pienin vaihtoehto. Muiden termien määrittelyt olkoot samat kuin Lauseessa. Muutoksista huolimatta itse maksimaaliongelma säilyy muuttumattomana, joskin sen todistus on nyt huomattavasti monimutkaisempi. Lause Jos a, a 2,..., a n ovat ei-negatiivisia satunnaisessa järjestyksessä olevia lukuja, s(x) on mikä tahansa kasvava funktio ja α v määritelty kuten edellä (5) ja s v ja S kuten jo aiemmin (3),(4), niin S saavuttaa maksimin, kun a v :t on järjestetty vähenevään järjestykseen. Tässä yhteydessä Lauseen 3..2 todistus sivuutetaan. Alkuperäinen todistus (ks. [3] s. 84-9) on melko pitkällinen mutta selkeä. Lyhyemmän todistuksen on esittänyt mm. R. M. Gabriel (Journal of the London Mathematical Society, 6 (93)). Hardy ja Littlewood laajensivat maksimaaliongelmaa koskevien epäyhtälöiden tarkastelun äärellisistä summista integraaleihin. Tällöin yksittäisten juoksujen a v tilalle asetetaan jatkuva, positiivinen ja rajoitettu funktio f(x). Keskiarvojen α v tilalle taas määritellään integraalikeskiarvo A(x, ξ) = x ξ x ξ f(t) dt, ( ξ x); A(x, x) = f(x). (6) Lopullinen summan S = α v vastine on integraali yli jonkin välin [, a], missä a:n voidaan kuvitella vastaavan termien s v määrää eli indeksiä v. Kun määritellään vielä maksimaalifunktio θ seuraavasti θ(x) = θ(x, f) = max A(x, ξ), (7) ξ niin saadaan Lauseiden 3... ja kanssa ekvivalentit lauseet: 7
10 Lause Jos s(x) on jatkuva ja kasvava funktio ja A kuten edellä (6), niin ja a s ( A(x,, f) ) dx a s ( θ(x, f) ) dx a a s ( A(x,, f ) ) dx s ( θ(x, f ) ) dx, missä f on vähenevä ns. uudelleen järjestetty funktio f, jolle pätee ν(f) dx = ν(f ) dx. Tämä on voimassa mille tahansa positiiviselle funktiolle ν, kunhan integraali on olemassa. Valitsemalla s(x) = x k, missä k >, saadaan konstruoitua perustavanlaatuisia epäyhtälöitä. Viimeisenä viittauksena alkuperäiseen maksimaaliongelmaan tarkastellaan seuraavaa epäyhtälöä: S = n ( a + a a ) k ( v k ) k n a k v k v. v= v= Ja vastaava epäyhtälö integraaleihin sovellettuna: a ( x x ) k ( k ) k a f(t) dt dx k f k (x) dx. Lause Jos θ on määritelty kuten edellä (7) ja f on ei-negatiivinen ja jatkuva, niin tällöin a θ k (x) dx ( k ) k a k missä a voi olla joko ääretön tai äärellinen. f k (x) dx, Lause Jos θ on määritelty kuten edellä (7) ja f on ei-negatiivinen ja jatkuva, niin tällöin b a ( k ) k b θ k (x) dx 2 k a f k (x) dx, missä a ja b voivat olla joko äärettömiä tai äärellisiä. Todistus sivuutetaan tässä vaiheessa, koska se on sama kuin Lauseen (c) todistus, kun integroidaan yli R:n. 8
11 Jos k =, ei edellisten lauseiden konstruointi ole järkevä ja seuraava esimerkki todistaa, ettei ole olemassa vakiota, jolla niistä saataisiin järkeviä ja tosia. Esimerkki 3.. Olkoon f(x) = x (log x ) 2. Merkitään g(x) = log x, jolloin g (x) = x ja f(x) = g (x) ( g(x) ) 2. Saadaan a a f(x) dx = g (x) ( g(x) ) a/ 2 ( ) a/ ( ) dx = lim g(x) = lim log x b b = lim b b a/ ( log x = lim b log a ) log b }{{} = log a <, kun a ], [, eli integraali suppenee. Toisaalta a ( x ) a ( f dt dx = ) dx = x x log x Sijoitetaan y = log x ts. x = e y. Tällöin dx = e y dy ja a x log x dx = lim b log a log b e y e y y dy = lim b log a log b = lim( log log a + log log b ) =, b }{{} joten se hajaantuu, mikä johtaa ristiriitaan. y a Tarkastellaan seuraavaksi funktiota f(x), jolla integraali b a f log + f dx b x log x dx. dy = lim on olemassa äärellisellä välillä [a, b]. Merkintä log + f tarkoittaa: log + f = log f, kun f ja muulloin log + f =. log / a b log b log y Lause Jos θ on määritelty kuten edellä (7) ja f on ei-negatiivinen ja jatkuva, niin tällöin b a θ dx B b a f log + f dx + B, missä B = B(a, b) on riippuvainen ainoastaan a:sta ja b:stä. Hardyn ja Littlewoodin oppilas ja työtoveri Norbert Wiener laajensi myöhemmin maksimaalifunktion tarkastelun R:stä R n :ään. Maksimaalifunktioon palataan tarkemmin kappaleessa 6. Sitä ennen käydään läpi maksimaalifunktion tarkastelussa välttämättömät L p -avaruudet sekä hyödyllinen 5rpeitelause. 9
12 4 L p -avaruudet 4. Mitallisuus Määritelmä 4... Olkoon Γ joukon σ-algebra eli. Γ 2. A Γ A Γ 3. A i Γ, i N i= A i Γ. Nyt funktio µ : Γ [, + ] on mitta joukossa Γ, jos (a) µ( ) = (b) µ on numeroituvasti additiivinen, eli ( ) µ A i = i= µ(a i ) i= aina, kun A i Γ, i N ja A i A j = aina, kun i j. Kolmikkoa (, Γ, µ) sanotaan mitta-avaruudeksi ja Γ:aa µ-mitallisten joukkojen perheeksi. Määritelmä Olkoon P() kaikkien :n osajoukkojen joukko. Funktiota µ : P() [, ] sanotaan ulkomitaksi joukossa, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:. µ ( ) = 2. µ on monotoninen, eli µ (A) µ (B) aina, kun A B 3. µ on numeroituvasti subadditiivinen, eli ( ) µ A i i= µ (A i ). i= Määritelmä Olkoon µ ulkomitta joukossa. Joukkoa E sanotaan mitalliseksi ulkomitan µ suhteen, eli µ -mitalliseksi, jos seuraava ns. Carathéodoryn ehto, on voimassa: µ (A) = µ ( A E ) ( ) + µ A E aina, kun A. (8)
13 Ulkomitalle µ nollamittaiset joukot ovat aina µ -mitallisia, mutta mittaavaruudessa (, Γ, µ) Γ ei välttämättä sisälläkään kaikkia µ-nollamittaisten joukkojen osajoukkoja. Jos tätä epäkohtaa ei ole, sanotaan mittaa µ täydelliseksi. Tällöin E Γ, µ(e) =, F E F Γ. Myös µ(f ) =, sillä µ on monotoninen. Nollamittaisten joukkojen osajoukot ovat siis aina nollamittaisia. Kaikki epätäydelliset mitat voidaan täydentää täydellisiksi ja esimerkiksi Lebesguen mitta on valmiiksi täydellinen. Ulkomitan rajoittuma mitallisia joukkoja sisältävään σ-algebraan antaa aina mitta-avaruuden (, Γ, µ Γ ). Määritelmä Olkoon A µ-mitallinen joukko (µ täydellinen). Funktio f : A R on mitallinen, jos f (± ) Γ ja f (U) Γ U R, missä U on avoin.
14 4.2 L - ja L -avaruudet Muistutus funktioiden integroituvuudesta: Mitallinen funktio f : R on integroituva, jos f + dµ < ja f dµ <. Merkitään: L () = {f : R f mitallinen ja f dµ < } eli f L f : R on integroituva. Jos f, g L ja a, b R, niin af + bg L, joten L on vektoriavaruus. Merkitään vielä: f = f dµ Nyt f on seminormi, sillä f = f = melkein kaikialla. Esimerkki 4.. Olkoon = R, µ = m (Lebesguen mitta) ja f = χ Q. f =, mutta f. Seuraava määritelmä on ensiarvoisen tärkeä L p -avaruuksia käsiteltäessä! Määritelmä Funktiot f, g L ovat ekvivalentit, merkitään f g, jos f = g melkein kaikkialla. Merkitään: [f] = f = {g L g f} = f:n ekvivalenssiluokka L = { f f L } Nyt L on vektoriavaruus ja f := f on sen normi. Tämä on hyvin määritelty, sillä se ei riipu edustajasta f. Jatkossa puhutaan vain L - tai L p -avaruuksista ja pelkistä funktioista, koska funktiot, jotka yhtyvät melkein kaikkialla on samaistettu. Nyt, jos [f] = [g] ja f(x) g(x), kun x A µ(a) =. 2
15 Määritelmä Olkoon (, Γ, µ) täydellinen mitta-avaruus ja f : R mitallinen. Määritellään L -normi oleellisena supremumina: Nyt ja f f. f := ess sup f(x). x f = inf{α µ ( {x : f(x) > α} ) = } = inf{α : f(x) α, m.k. x } L -avaruus määritellään normin f avulla: L = L () = {f : R f mitallinen ja f < } Samaistetaan f, g L, jos f = g melkein kaikkialla. Lause L on normiavaruus ja on sen normi. Todistus. i) L on vektoriavaruus (ks. iv) ii) f ja f = f = m.k. iii) λf = λ f λ R iv) Kolmioepäyhtälö: } f f m.k. f + g f + g f + g m.k. g g m.k. µ ( {x : f(x) + g(x) > f + g } ) = f + g f + g f + g L. 3
16 4.3 L p -avaruudet, p < Olkoon (, Γ, µ) mitta-avaruus, missä µ on täydellinen. Määritelmä Olkoon p < ja f : A R mitallinen. Määritellään L p -normi seuraavasti: f p = ( f p dµ ) /p. Nyt L p () = {f : R f mitall. ja f p dµ < }. Samaistukset kuten edellä. Lause Jos µ() < ja q p, niin L p () L q (). Inkluusio on aito, jos < µ() < ja p > q. Todistus. Olkoon p =. Jos f L, niin f q dµ f q dµ = f q µ(). Näin ollen f L q. Tapaus p < ohitetaan, mutta se on helppo todistaa esimerkiksi Hölderin epäyhtälön ja konjugoitujen eksponenttien avulla. Esimerkki 4.2. Olkoon =], [, µ = m [,] Lebesguen mitta. Jos f on mitallinen ja rajoitettu, niin f L p p. Olkoon f(x) = x = x /2. Silloin f p dµ = lim a + a x p/2 dµ = lim a + p 2 lim a + p 2 / a / a x p/2 = p 2 <, jos p < 2 x p/2 =, jos p > 2 / lim a + a =, jos p = 2 f L p p < 2. Eksponentilla p on siis suuri vaikutus siihen, mitkä funktiot kuuluvat avaruuteen L p (). 4
17 4.4 Tärkeitä epäyhtälöitä Tavoitteena on todistaa, että L p on normiavaruus. Tavoitteen saavuttamiseen tarvitsemme Hölderin ja Minkowskin perustavanlaatuiset epäyhtälöt. Todistetaan kuitenkin ensin yksinkertainen Youngin epäyhtälö, joka liittyy L p - avaruuksissa hyvin käyttökelpoisiin konjugoituihin eksponentteihin. Lemma 4.4. (Youngin epäyhtälö). Jos a, b [, ] ja p, q > siten, että + =, niin p q Todistus. Konstruoidaan funktio f seuraavasti: ab ap p + bq q. (9) Tällöin f(x) = xp p + bq q xb. f(b p ) = f (b p ) =. Nyt = (b p ) p + bq p q b p b (b p a) Lisäämällä ab molemmille puolille saadaan a p p + bq q ab. ab ap p + bq q. Lause 4.4. (Hölderin epäyhtälö). Jos p, q >, p + q = ja f Lp, g L q, niin fg L ja fg f p g q. () Todistus. Jos f p =, niin f = m.k. ja fg =, joten asia on selvä ja g q = samoin. Voidaan olettaa f p, g q >. Oletetaan myös, että f(x), g(x) R x. Olkoon α = ( f p dµ ) /p ja β = ( g q dµ ) /q () 5
18 sekä Nyt αβ fg dµ = = p a {}}{ f(x) α a = f(x) α b {}}{ g(x) β f(x)p dµ α p ja Young dµ + q b = g(x) β. ( p (f(x) α ) p + q g(x)q dµ β q () = p + q =. Kertomalla molemmat puolet termillä αβ saadaan fg dµ ( f p dµ ) /p( g q dµ ) /q, eli fg f p g q. (g(x)) ) q dµ β Lause (Minkowskin epäyhtälö). Jos f, g L p, niin f + g L p ja f + g p f p + g q. (2) Todistus. Helposti nähdään, että f + g p L q. Todistuksen loppuosassa käytetään Hölderin epäyhtälön lisäksi vanhaa tuttua kolmioepäyhtälöä: f + g p p = f + g p e.y. f f + g p + g f + g p Hölder f p ( ( f + g p ) q ) /q + g q ( ( f + g p ) q ) /q = f p ( f + g p ) /q + g q ( f + g p ) /q = ( f p + g q ) f + g p/q (=p ) p. : p + g p p Täten f + g p f p + g q. Nyt on todistettu, että L p on normiavaruus normina p. Itse asiassa L p on täydellinen normiavaruus eli Banach-avaruus. Määritelmä Olkoon (, Γ, µ) täydellinen mitta-avaruus. Sanomme, että funktiojono (f i ) suppenee L p :ssä funktioon f, jos f }{{} i f }{{} p =, kun i. L p L p 6
19 Lause Jos (f i ) on Cauchy-jono L p :ssä, p, niin lyötyy osajono (f ik ), joka suppenee m.k. Todistus. Jokaista k N kohti on olemassa i k siten, että ) f i f j p < 2 k, kun i, j i k 2) i < i 2 Voidaan olettaa, että f(x), f i (x) R. Asetetaan g k = f i + f i2 f i + + f ik+ f ik. Koska (g k ) on kasvava jono, on olemassa g = lim k g k. Toisaalta kaikilla k g k p = f i + Minkowski f i p + f i p + k v= k f iv+ f iv p v= k f iv+ f iv p v= 2 v f i p +. Monotonisen konvergenssin lauseen nojalla g p MKL = lim g p k = lim g k k p p ( f i + ) p <, k joten g(x) < m.k. Nyt sarja f i (x) + v= ( fiv+ (x) f iv (x) ) suppenee melkein kaikilla x. Merkitään summaa f(x):llä. Saadaan f ik+ = f i + k (f iv+ f iv ) f m.k. v+ Huomautus. L 2 on peräti Hilbert-avaruus, sillä sen normi tulee sisätulosta < f, g >= fg dµ, kun f, g L 2 (). 7
20 Lause Jatkuvat funktiot ovat tiheässä L p :ssä. Olkoon f L p (R n ), p <. Tällöin on olemassa jatkuva funktio h L p (R n ) siten, että lim k h k = h ja lim f h k p =. k Todistus. Olkoon g k : R n [, [ jono jatkuvia funktioita, joiden kantajat ovat kompaktissa pallossa B(, /k). Olkoon lisäksi R n g k =. Määritellään funktiojono h k funktioiden f ja g k konvoluutiona eli olkoon h k (x) = f(x y)g k (y) dy. R n Selvästi h k on myös jatkuva kaikilla k. Nyt saadaan f(x) h k (x) = f(x) g k (y) dy f(x y)g k (y) dy R n R n = f(x)g k (y) dy f(x y)g k (y) dy R n R n = (f(x) f(x y))g k (y) dy, R n joten f(x) h k (x) f(x) f(x y) g k (y) dy. R n Olkoon p >, jolloin ( ) p f(x) h k (x) p (f(x) f(x y))g k (y) dy R ( n ) p = (f(x) f(x y) g k (y) /p g k (y) /q dy R n ( ( ) q ) p/q Hölder f(x) f(x y) p g k (y) dy g k (y) /q dy R n R n = f(x) f(x y) p g k (y) dy. R n 8
21 Tällöin p f h k p p = f(x) h k (x) p dx R n ( ) f(x) f(x y) p g k (y) dy dx R n R n ( ) Fubini = g k (y) f(x) f(x y) p dx dy. R n R n Koska g k :n kantaja on pallossa B(, /k), voidaan olettaa, että sisemmässä integraalissa y /k. Osoitetaan seuraavaksi, että R n f(x) f(x y) p dx, kun k. (3) Olkoon ɛ >. Todistetaan, että on olemassa η > siten, että jos y < η, niin f(x) f(x y) p dx < ɛ. R Merkitään I y (A) = f(x) f(x y) p dx, A R n, A B i = B(, i) = {x R n : x < i}, i >. Olkoon y B(, ). Tällöin x > i, joten x y i. Dominoidun konvergenssin lauseen nojalla f(x) f(x y) p dx R n \B i 2 p( f(x) p + f(x y) p) dx R n \B i ( ) 2 R p f(x) p dx + f(x) p dx n \B i R n \B i Täten on olemassa i siten, että I y ( R n \ B i ) < ɛ 4. DKL, kun i. 9
22 Samoin I y (A) 2 p ( A+h f(x) p dx + A ) f(x) p dx, kun A R n ja A + h = {a + h : a A}. Integraali on absoluuttisesti jatkuva mitan suhteen, joten on olemassa δ < siten, että I y (A) ɛ, kun µ(a) < δ. 4 Lusinin lauseen nojalla on olemassa kompakti F B i+ siten, että µ(b i+ \ F) < δ ja f F on tasaisesti jatkuva. Tällöin on olemassa η ], [ siten, että f(x) f(x y) p < Olkoon y B(, η) mielivaltainen. Merkitään ɛ, kun y < η ja x, x y F. 4µ(F) A = {x F : x y F}, A 2 = {x : x y B i+ \ F}, A 3 = B i+ \ F Nyt A 2 = A 3 y, joten µ(a 2 ) = µ(a 3 ) = µ(b i+ \ F) < δ. Tällöin, jos x B i, niin x y B i+, joten Nyt B i F {x F : x y B i+ } {x F : x y F} {x F : x y B }{{} i+ \ F} A }{{} A 2. =A A 2 B i = (B i \ F) (B }{{} i F) A }{{} A 2 A 3 A 3 A A 2 ja R n = A A 2 A 3 (R n \ B i ), mistä seuraa, että I y (R n ) I y (A ) + I y (A 2 ) + I y (A 3 ) + I y (R n \ B i ). 2
23 Approksimoidaan oikean puolen termejä: i) I y (A ) = f(x) f(x y) p dx < ɛ A }{{} 4 < ɛ 4µ(F) ii) I y (A 2 ) < ɛ 4 iii) I y (A 3 ) < ɛ 4 iv) I y (R n \ B i ) < ɛ 4. Yhdistämällä kohdat i), ii), iii) ja iv) saadaan I y (R n ) = f(x) f(x y) p dx < ɛ (3). R n Nyt f h p = lim k f h k p lim k f h k p p =. Määritelmä Sanotaan, että funktio f on lokaalisti integroituva eli f L loc (Rn ), jos f : R n R on mitallinen ja f < kompaktilla K R n. K Huomautus. Olkoon f L loc. Merkitään B i = B(, i), i N, jolloin B i on pallo R n :ssä. Tällöin f = B i fχ Bi. R n (4) Tarkasteltaessa funktion f ominaisuuksia pisteen x R n ympäristössä ei ole merkitystä tarkastellaanko funktiota f vai funktiota fχ B(,i), missä i > 2 x. Tällaisissa tapauksissa voidaan huoletta olettaa, että f L. 2
24 5 5r-peitelause Tässä kappaleessa esitetään ja todistetaan 5r-peitelause, jota joissain lähteissä kutsutaan myös peruspeitelauseeksi. Lausetta tullaan tarvitsemaan myöhemmin todistettaessa maksimaalifunktion keskeisiä ominaisuuksia. Lause 5..5 (5r-peitelause). Olkoon F mielivaltainen perhe R n :n kuulia siten, että D = sup{d(b) : B F} <, missä d(b) on B:n halkaisija. Tällöin on olemassa numeroituva perhe G F siten, että B i B j = B i, B j G, B i B j, (ts. G:n kuulat erill.), ja 5B. B F B B G Todistus. Suoritetaan todistus kolmessa osassa. Osa I: Merkitään jolloin F = j= F j. F j = {B F : D/2 j < d(b) D/2 j }, j N, Määritellään perheet G j F j induktiivisesti: (a) Olkoon G mikä tahansa maksimaalinen perhe F :n erillisiä kuulia, ts. B F B G siten, että B B. (b) Oletetaan, että G,..., G k on valittu. Olkoon G k mikä tahansa maksimaalinen kokoelma F k :n erillisiä kuulia B siten, että B B = B k j= G j. Merkitään G = G j, j= jolloin G on perhe erillisiä kuulia. 22
25 Osa II: Osoitetaan seuraavaksi, että G j on numeroituva j. Tällöin myös G on numeroituva. Mekitään G j = G j,i, missä G j,i = {B G j : B B (, i)}, i= ja osoitetaan, että G j,i on äärellinen, jolloin G j :t ovat numeroituvia. B G j,i d(b) > D/2 j ja B B } (, i) B (, i) kompakti G j,i äärellinen. Osa III: Osoitetaan, että jokaista B F kohti on olemassa B G siten, että B B ja B 5B, jolloin 5B. B F B B G Jos B F, niin B F k jollakin k N. Jos G k on maksimaalinen, niin on olemassa B k j= G j siten, että B B. Toisaalta d(b ) > D/2 k ja d(b) D/2 k d(b) < 2d(B } ) B B B 5B. 23
26 6 Hardy-Littlewood-maksimaalifunktio 6. Integraalin esityslause Aloitetaan tarkastelemalla hyödyllistä Lebesguen määrittelemää integraalin esityslausetta. Siirrytään samalla käyttämään yleisen mitan sijaan kyseisen miehen omaa mittaa, Lebesguen mittaa. 2 Käytetään yksinkertaisuuden vuoksi myös Lebesguen mitasta symbolia µ. (Voimassa vain kappaleessa 6.) Lause 6.. (Integraalin esityslause). Olkoon f : [, ] mitallinen, M µ. Tällöin f dµ = µ ( {x : f(x) > t} ) dt, missä M µ on kaikkien µ-mitallisten joukkojen kokoelma. Funktiota λ(t) = µ ( {x : f(x) > t} ), t >, sanotaan f:n distribuutiofunktioksi. Se on vähenevä ja näin ollen Riemann-integroituva suljetuilla [, [:n osaväleillä. Todistus. Olkoon u positiivinen, yksinkertainen funktio, jolle u(x) = k c j χ j (x), j= missä j M µ ovat pareittain pistevieraita ja = c < c < c 2 < < c k. Induktiolla saadaan µ ( {x :u(x) > t} ) dt = = = = = k j= cj ck µ ( {x : u(x) > t} ) dt c j µ ( {x : u(x) > t} ) dt k k (c j c j )µ( A i A) j= k (c j c j ) j= k µ(a i A) i=j k µ(a i A) j= i= 2 Lebesguen mitan määritelmä löytyy mm. Brucknerin [] kirjasta. i=j j (c j c j ) 24
27 = k c j µ(a i A) j= = u dµ. Valitaan sitten u i :t siten, että lim j u j (x) = f(x). Tällöin myös u j :den distribuutiofunktiot muodostavat nousevan jonon siten, että λ j (t) = µ ( {x : u j (x) > t} ) ja lim λ j(t) = λ(t) = µ ( {x : f(x) > t} ). j Monotonisen konvergenssin lauseen nojalla µ ( {x :f(x) > t} ) dt = lim = lim u j dµ = j j f dµ. µ ( {x : u j (x) > t} ) dt Lause Olkoon < p < ja f : [, ] mitallinen. Tällöin f p dµ = p t p µ ( {x : f(x) > t} ) dt. (5) Todistus. Käytetään todistuksessa sijoitusta s = t p, jolloin ds = (pt p ) dt. Saadaan f p dµ = µ ( {x : f p (x) > s} ) ds = sij. µ ( {x : f p (x) > t p } ) (pt p ) dt }{{} f(x)>t = p t p µ ( {x : f(x) > t} ) dt. Distribuutiofunktiolle löydetään heti myös käytännön sovellus. Lause 5..3 (Chebyshevin epäyhtälö). Jos f L (R n ), niin λ(t) A t, missä A = R n f(y) dy. (6) 25
28 Todistus. Helposti nähdään, että f(y) dy R n mikä todistaakin lauseen. 6.2 Maksimaalifunktio f >t Lebesguen differentioituvuuslauseen mukaan Lause Jos f L loc (Rn ), niin lim r µ ( B(x, r) ) melkein kaikilla x R n. B(x,r) f(y) dy tλ(t), Lauseen todistukseen palataan kappaleen lopussa. f(y) dy = f(x) (7) Tehdään pieniä muutoksia yllä olevan lauseen vasempaan puoleen. Otetaan rajankäynnin lim r sijaan supremum yli f(y):n integraalikeskiarvon. Koska tässä yhteydessä kiinnostuksen kohde on lähinnä funktion f suhteellinen koko, niin vaihdetaan f:n tilalle f, jolloin pääsemme eroon integraalien kannalta hiukan kiusallisista negatiivisista arvoista. Näin meillä on kaikki eväät maksimaalifunktion määrittelyyn. Määritelmä Kun f L loc (Rn ) ja x R n, asetetaan M(f)(x) = sup r> µ ( B(x, r) ) f(y) dy. (8) Funktio Mf on maksimaalifunktio. 3 B(x,r) Huomautus. M f on ns. keskitetty maksimaalifunktio. Esim Holopaisen luentomonisteessa [4] supremum otetaan yli minkä tahansa kuulan B x, joka sisältää x:n siten, että M (f)(x) = sup x B x µ(b x ) x R n, on yleensä saman- Koska M(f)(x) M (f)(x) 2 n M(f)(x) tekevää kumpaa käytetään. B x f(y) dy. Alustavien lauseiden ja määritelmien pohjalta päästään ensimmäiseen maksimaalifunktiota koskevaan lauseeseen. Se onkin tämän työn tärkein yksittäinen lause ja sen todistus tämän työn ydintavoite. 3 Vertaa kappaleessa 3 esiteltyyn alkuperäiseen maksimaalifunktioon θ(x). 26
29 Lause Olkoon f : R n R. (a) Jos f L p (R n ), p, niin funktio Mf on äärellinen melkein kaikkialla. (b) Jos f L (R n ), niin jokaiselle t > µ ( {x : M(f)(x) > t} ) A t R n f dx, missä A on ainostaan ulottuvuudesta n riippuva vakio (A = 5 n kelpaa). (c) Jos f L p (R n ) ja < p <, niin Mf L p (R n ) ja Mf p A p f p, missä A p on ainoastaan potenssista p ja ulottuvuudesta n riipuva vakio. Ennen lauseen todistusta todistetaan, että kohdassa (c) M f on integroituva eli Mf L (R n ) vain, jos f = m.k. Tällöin triviaalisti f =. R n Esitietona: µ ( B(x, r) ) = c n r n, missä c n on ulottuvuudesta n riipuva vakio. Olkoon f(y) dy >. B(x,r) }{{} I Jos x R n \ B(x, R), niin B(x, R) B(x, 2 x ) ja Mf µ ( B(x, r) ) f(y) dy sillä = R n \B(,R) B(x,2 x ) M(f)(x) dx I R n c n (2 x ) n dx = i= c n (2 x ) n R n \B(,R) B(,R) f(y) dy } {{ } =I> c n (2 x ) n dx =, c n B(,2 i+ R)\B(,2 i R) µ ( B(, 2 i+ R) \ B(, 2 i R) ) c n (2 i+2 R) n }{{} i= =c n((2 i+ R) n (2 i R) n ) 2 n = c =. 4 n i= }{{} i= =c> 27 (2 x ) n }{{} c n (2 i+2 R) n
30 Todistus. Aloitetaan todistus kohdasta (b). Kiinnitetään t > ja merkitään M t = {x R n : M(f)(x) > t}. Tällöin x M t on olemassa kuula B x siten, että f(y) dy > t. µ(b x ) B t Toisin sanoen µ(b t ) < t B t f(y) dy ( f ). (9) t Olkoon F = {B x : x M t }, jolloin triviaalisti M t B F B. Koska µ(b x ) = c n ( d(bx )/2 ) n, niin (7):sta saadaan ( f ) /n sup{d(b x ) : B x F} 2 <. c n t 4 5r-peitelauseen nojalla on olemassa numeroituva osaperhe G = {B, B 2,... } F erillisiä avoimia kuulia siten, että M t B 5B i. B F B i G Siten µ(m t ) µ( i 5B i ) numer.yhd. (7) 5 n i 5n t µ(5b i ) = 5 n i i f(y) dy Bi:t erill. = 5n t B i t R n f(y) dy. (b) µ(b i ) i B i f(y) dy Seuraavaksi todistetaan rinnakkain kohdat (a) ja (c). Suoraan normin f Määritelmästä , sekä M f:n Määritelmästä saadaan triviaalisti Mf = f, kun f L (R n ). 4 Tässä yhteydessä voitaisiin käyttää myös ns. Vitalin peitelausetta, joka löytyy mm. Brucknerin [] kirjasta. 28
31 Jatketaan todistusta olettaen, että < p <. Jaetaan funktio f kahteen palaa seuraavasti: f (x) = f(x), kun f(x) t/2 ja f (x) = muulloin. Näin ollen saadaan f(x) f (x) + t/2, joten M(f)(x) M(f )(x) + t/2. Nyt ja lopulta {x : M(f)(x) > t} {x : M(f )(x) > t}, µ{e t } = µ ( {x : M(f)(x) > t} ) (b) 2A t f. Toisin sanoen µ{e t } 2A t f >t/2 f dx. (2) Käytimme yllä juuri todistettua kohtaa (b), joka on mahdollista, sillä f L aina, kun f L p. Asetetaan g = Mf ja olkoon λ g:n distribuutiofunktio. Koska f on mitallinen ja < p <, voimme käyttää tässä todistuksessa Lausetta Nyt R n (Mf) p dx = p (8):sta saadaan Mf p p p t p µ(e t ) dt p = 2Ap = 2Ap = 2Ap Fubini = 2Ap = 2Ap t p ( 2A t f >t/2 ) f(x) dx dt ( 2A t p t f >t/2 ( ) t p 2 dx dt f >t/2 f(x) t p 2 ( ) f(x) dx dt. ) χ {x: f(x) >t/2} f(x) dx dt t p 2 χ {x: f(x) >t/2} f(x) dx dt t p 2 χ {x: f(x) >t/2} f(x) dt dx ( f(x) ) t p 2 χ {x: f(x) >t/2} dt dx. 29
32 Fubinin lauseen nojalla vaihdoimme integroinnin järjestystä. Seuraavaksi ratkaistaan sisempi integraali erikseen: t p 2 χ {x: f(x) >t/2} dt = = ( p 2 f(x) 2 f(x) / t p 2 dt = p tp ) (2 f(x) ) p, kun p >. Sijoitetaan tämä tulos alkuperäiseen ulompaan integraaliin: Nyt siis ( 2Ap f(x) p ( =2Ap f(x) R p n = 2Ap p = 2p Ap p ) (2 f(x) ) p dx ) (2 f(x) ) p dx f(x) 2 p f(x) p dx R n Kun asetetaan vielä A = 5 n, saadaan R n f(x) p dx, kun < p <. Mf p p A p p f p p. ( 5 n p ) /p. Mf p A p f p, missä A p = 2 p Palataan kappaleen alussa esitetyn Lauseen todistukseen, jossa käytämme Lausetta (b). Todistus. Riittää osoittaa, että funktion f r (x) = µ ( B(x, r) ) f(y) dy, > r >, (2) B(x,r) raja-arvo lim r f r (x) = f(x) kaikilla x, kun f L (R n ), sillä jokaisella i huomautus (3) pätee m.k. x B(, i). Lisäksi Lauseen perusteella on olemassa f i :n osajono f ik, joka suppenee m.k. Olkoon f r = f /i f L :ssä, jolloin on olemassa f rk siten, että f rk f m.k., kun jono (r k ). 3
33 Todistettavaksi jää, että raja-arvo lim r f r (x) on olemassa m.k. Tätä varten olkoon g L jatkuva funktio ja x R n. Nyt triviaalisti f = f g+g. Olkoon t < µ ( B(x, r) ) f(y) f(x) dy f(y) f(x) dy B(x,r) B(x,r) = f(y) g(y) + g(x) f(x) + g(y) g(x) dy B(x,r) f(y) g(y) dy + g(x) f(x) dy + g(y) g(x) dy. B(x,r) B(x,r) B(x,r) Nyt g(x) f(x) voidaan olettaa vakioksi integroitaessa y:n suhteen ja integraalikeskiarvo vakiosta on vakio itse. Todistetaan lisäksi, että lim r g(y) g(x) =. Kiinnitetään B(x,r) x R n ja olkoon ɛ > mielivaltainen. Koska g on jatkuva, on olemassa δ > siten, että g(y) g(x) < ɛ y B(x, δ). Siten g(y) g(x) < B(x,r) }{{} µ ( B(x, r) ) ɛ dy = ɛ. B(x,r) <ɛ Nyt lim r g(y) g(x) =, sillä ɛ oli mielivaltainen. Saadaan B(x,r) t < f(y) g(y) dy + g(x) f(x) B(x,r) M( f g )(x) + g(x) f(x). Nyt M( f g )(x) > t/2 tai g(x) f(x) > t/2, joten {x R n : lim sup f(y) f(x) dy > t} r B(x,r) {x R n : M( f g )(x) > t/2} {x R n : g(x) f(x) > t/2}. Yhtäpitävästi µ ( {x R n : lim sup f(y) f(x) dy > t} ) r B(x,r) µ ( {x R n : M( f g )(x) > t/2} ) + µ ( {x R n : g(x) f(x) > t/2} ) ( ) 2 5n f g + 2 f g t t 2(5n + ) f g. t ( )Seuraa suoraan Lauseiden ja (b) epäyhtälöistä. 3
34 Lauseen mukaan jatkuvat funktiot ovat tiheässä L p -avaruudessa eli kun f L, niin kaikilla ɛ > on olemassa jatkuva funktio g siten, että f g < ɛ. Asettamalla ɛ saadaan lim sup r f(y) f(x) dy = m.k. x R n. Täten lim inf r B(x,r) B(x,r) f(y) f(x) dy lim sup f(y) f(x) dy = m.k. x R n r B(x,r) ja siis lim f(y) f(x) dy = r B(x,r) m.k. x R n, mikä todistaa raja-arvon lim r f r (x) olemassaolon. Lause Olkoon funktiolla f kantaja pallossa B R n. Tällöin M(f)(x) L (B), jos f log(2 + f ) on integroituva yli B:n. Todistus. Nyt Mf dx = B = µ(b) + µ ( {x B : M(f)(x) > t} ) dt µ ( {x B : M(f)(x) > t} ) dt + µ ( {x B : M(f)(x) > t} ) dt, missä µ(b) <. Funktio Mf on siten integroituva yli B:n, jos µ ( {x B : M(f)(x) > t} ) dt <. µ ( {x B : M(f)(x) > t} ) dt Epäyhtälön (9) mukaan µ ( {x B : M(f)(x) > t} ) 2A t f >t/2 χ B (x) f dx, 32
35 joten µ ( {x B : M(f)(x) > t} ) 2A dt χ B (x) f dx dt t f >t/2 χ {t:t>} = 2A χ B (x)χ {x: f >t/2} f dx dt t R n Fubini = 2A R n t χ B(x)χ {x: f >t/2>/2} f dt dx = 2A χ B (x) f R n t χ {x: f >t/2>/2} dt dx 2 f = 2A f dt dx B t = 2A f ( ) log + (2 f ) log dx }{{} B = = 2A f log + (2 f ) dx. Nyt B B f log + (2 f ) dx = B f log(2 f ) dx, kun 2 f > eli f > /2. Näin ollen f log + (2 f ) dx ( f + /2) log ( 2( f + /2) ) dx B B = ( f + /2) ( log 2 + log( f + /2) ) dx B = f log 2 + /2 log 2 + f log( f + /2) + /2 log( f + /2) dx B = f log 2 dx + /2 log 2 dx B B + f log( f + /2) dx + /2 log( f + /2) dx < aina, kun B B B f log(2 + f ) dx <. Edellinen lause päteen myös toisinpäin, eli jos Mf L (B), niin f log(2 + f ) L (B). 33
36 Tämän todistus on hieman monimutkaisempi ja vaatii lisää esitietoja, joten se ohitetaan. Tarvittavat tiedot ja vinkit todistuksen tekemiseen löytyvät Steinin [9] kirjasta. Asiasta ollaan kuitenkin saatu jo pientä viitettä sivulla 9 Esimerkissä 3.. Siinä funktio f(x) = x (log x ) 2 on integroituva suljetulla välillä [, a], x f dt / L ([, a]). mutta M(f)(x) x Tästä seuraa, että f log(2 + f ) / L ([, a]), mikä on oleellisesti sama asia kuin f log f / L ([, a]). Nyt ( ) log f = log x(log x ) 2 ( = log x + log ) (log x ) 2 = log x 2 log log x, missä x > ja log x > eli x <. Toisaalta log log x, kun log x eli < x /e. Saadaan log f log x, kun < x e. Siten f ( log f ) λ ( ) log x λ ( ) = log x λ 2, x(log x ) 2 x ja lopulta a f ( log f ) a λ 2 dx x (log x ) λ 2 dx = = ( ( ) λ ( ) ) λ log /a log / λ }{{} = a/ λ (log x ) λ <, kun < λ <. Esimerkin 3.. funktion f maksimaalikunktio Mf / L ([, /e]), mutta f log λ f L ([, /e]), kun < λ <. 34
37 Viitteet [] Bruckner A. M., Bruckner J. B. and Thomson B. S. Real Analysis, Prentice-Hall, Inc. New Jersey, 997. [2] Friedman A. Foundation of Modern Analysis, Dover Publications Inc. USA, 982. [3] Hardy G. H. and Littlewood J. E. A Maximal Theorem with Function- Theoretic Application, Acta Mathematica, 54, 8-6, 93. [4] Holopainen I. Reaalianalyysi I, Helsingin yliopisto, May 5, 24. [5] Kilpeläinen T. Mitta- ja integraaliteoria, Jyväskylän yliopisto, [6] Mattila P. Geometry sets and measures in Euclidean spaces, Cambridge University Press, 995. [7] Nurmela M. L p (, A, m)-avaruudet, Jyväskylän yliopisto, 98. [8] O Connor J. J. and Robertson E. F. Godfrey Harold Hardy, John Edenson Littlewood, Norbert Wiener, URL: [9] Stein E. M. Singular Integrals and Differentiability Properties of Function, Princeton University Press, New Jersey,
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotLebesguen mitta ja integraali
Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta
LisätiedotReaalianalyysin perusteita
Reaalianalyysin perusteita Heikki Orelma 16. marraskuuta 2008 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Mitallisuus 3 3 Yksinkertaiset funktiot 6 4 Mitat ja integrointi 7 5 Kompleksisten funktioiden integrointi 10 6 Nolla-mittaisten
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotModerni reaalianalyysi
JUHA KINNUNEN Moderni reaalianalyysi F ( ) := f (ξ)e i ξ dξ 2π Juha Kinnusen laatiman luentomateriaalin pohjalta toimittaneet Mikael Lindström, Olli Hyvärinen ja Tuomas Pöyhtäri Sisältö LEBESGUEN ULKOMITTA
LisätiedotAnalyysin peruslause
LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta
LisätiedotTiheyspistelauseita. Petteri Salovaara. Pro Gradu tutkielma
Tiheyspistelauseita Petteri Salovaara Pro Gradu tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesä 2006 1 2 Sisältö 1. LUKU: Esitietoja 3 2. LUKU: Mittojen derivointia ja tiheyspistelause
LisätiedotDerivaattaluvut ja Dini derivaatat
Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo
LisätiedotMitta- ja integraaliteoria 2 Harjoitus 1, Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja m(a) < 1. Näytä, että josonp>1javakio M<1, joille
Harjoitus 1, 30.10.2015 1. Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja ma) < 1. Näytä, että josonp>1javakio Mt} apple M 2. Olkoon f 2 L 1 A). Näytä, että 2 kaikilla
LisätiedotCantorin joukon suoristuvuus tasossa
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotREAALIANALYYSI. Pekka Koskela. Syksy 2015
REAALIANALYYSI Pekka Koskela Syksy 2015 Luennot: Ti 1012, To 1416, MaD 380. Demot: To 1012, MaD 355, Changyu Guo.. Demohyvitys: 80%6 p., 70%5, 60%4, 50%3, 30%2, 20%1. Pertti Mattila: Geometry of sets and
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna
Lisätiedot1 Määrittelyjä ja aputuloksia
1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia
LisätiedotSeuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
Lisätiedot4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali
4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,
Lisätiedotd ) m d (I n ) = 2 d n d. Koska tämä pätee kaikilla
MAT21007 Mitta ja integraali Harjoitus 2 viikko 25.3-29.3 2019) Palauta mieleen: monisteen luku 0; Topologia I) avaruuden d euklidinen etäisyys, avoimet kuulat ja joukot. Ohjausta laskuharjoitusten tekoon:
Lisätiedot1 Reaaliset lukujonot
Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
Lisätiedotpeitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.
Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,
LisätiedotJoukot metrisissä avaruuksissa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
LisätiedotLUKU 6. Mitalliset funktiot
LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.
LisätiedotLuku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
LisätiedotJordanin sisältö ja Lebesguen ulkomitta
Jordanin sisältö ja Lebesguen ulkomitta Jennika Ojalehto Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2016 Tiivistelmä: Jennika Ojalehto, Jordanin sisältö ja
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotMS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset
MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,
LisätiedotMITTA JA INTEGRAALI TUOMAS HYTÖNEN
MITTA JA INTEGRAALI TUOMAS HYTÖNEN 1. Johdanto: Riemann vs. Lebesgue Useimmat integroimisteoriat perustuvat siihen, että on jokin joukko helppoja funktioita, jotka ilman muuta osataan integroida, ts. on
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 5. Olkoon f : [0, 1] R kasvava. Osoita, että joukko. {x [0, 1] f ei ole jatkuva pisteessä x} on numeroituva. [Vihje: Lause 1.2.
Harjoitukset 1 16.9.25 1. Merkitään Z + = {x Z x > }. Osoita, että f : Z + Z + Z +, f(x, y) = 2 x 1 (2y 1), on bijektio. Piirrä kuva. Perinteisempi kuvaus Z + Z + Z + on (x, y) (x + y 1)(x + y)/2 (x 1).
LisätiedotSarjojen suppenemisesta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
LisätiedotMääritelmä 2.5. Lause 2.6.
Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
LisätiedotRatkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
Lisätiedot1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 Kevät 2012 1 Tilastolliset inversio-ongelmat Tilastollinen ionversio perustuu seuraaviin periaatteisiin: 1. Kaikki mallissa olevat muuttujat mallinnetaan
LisätiedotSarjat ja integraalit
Sarjat ja integraalit Peter Hästö 1. huhtikuuta 2015 Matemaattisten tieteiden laitos Eteneminen pvm luku v 11 2.1, 2.2 v 12 2.3, 2.4 v 13 3.0, 3.1 v 14 3.2 v 15 4 v 16 5.1 v 17 5.2 v 18 6.1 v 19 6.2 Peter
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotU missä U A := {U R n : U avoin ja U A}; intuitiivisesti suurin avoin joukko, joka sisältyy A:han. Määritellään A:n sulkeuma A := F F A
Mitta a integraali Kesä 2 4. tehtävät Malliratkaisut (LS). Olkoon a i R i =, 2,... ono. Sanotaan, että i a i = os kaikille M R on olemassa i, olle kaikille i i pätee a i M. Sanotaan, että i a i = os i
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
Lisätiedotf(x) sin k x dx, c k = 1
f ( n) n 3. Fourier n sarjoista I [1, 8.16, luku 11], [, luku 15], [3, luku IX, 8 9]. [5, luku I], [6, luku XII, 3], [7, luku 8], [8, luku 4], [9, luku 8] Trigonometrinen polynomi on muotoa a + ( ak cos
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotPoistumislause Kandidaatintutkielma
Poistumislause Kandidaatintutkielma Mikko Nikkilä 013618832 26. helmikuuta 2011 Sisältö 1 Johdanto................................... 2 2 Olemassaolon ja yksikäsitteisyyden historiaa............ 3 3 Esitietoja..................................
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan
Lisätiedotx > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.
ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotMitta ja integraali 1
Mitta ja integraali 1 Ilkka Holopainen 2 March 22, 2004 1 Perustuvat pääosin luentomonisteisiin Tylli: Mitta ja integraali (2000 ja Väisälä: Diff. Int. III (1985 2 Ilmoita painovirheistä esim. sähköpostitse
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
LisätiedotPositiivitermisten sarjojen suppeneminen
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotHILBERTIN AVARUUDET 802652S MIKAEL LINDSTRÖM KEVÄÄN 2010 ANALYYSI 3 -LUENTOJEN PERUSTEELLA TOIMITTANEET TOMI ALASTE JA LAURI BERKOVITS
HILBRTIN AVARUUDT 802652S MIKAL LINDSTRÖM KVÄÄN 2010 ANALYYSI 3 -LUNTOJN PRUSTLLA TOIMITTANT TOMI ALAST JA LAURI BRKOVITS Sisältö 1 Hilbertin Avaruudet 3 1.1 Normi- ja L p -avaruudet........................
LisätiedotToispuoleiset raja-arvot
Toispuoleiset raja-arvot Määritelmä Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 < x < x 0 + δ; ja vasemmanpuoleinen
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
Lisätiedot2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a i > 0kaikillai 2 I, niin P i2i a i = 1.
Harjoitus 1, 11.9.2015 1. Näytä, että joukossax on äärettömän monta alkiota jos ja vain jos on joukko X, 6= X, jokaonyhtämahtavakuinx. 2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a
Lisätiedot(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
LisätiedotReaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13
Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen
LisätiedotOnko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?
Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
Lisätiedot1.1. Joukon Jordanin sisältö. Reaaliakselin kompaktin välin [t 0, t m ] jako on
1. Jordan-joukot Yksinkertaisuuden (ja havainnollisuuden vuoksi) seuraavassa tarkastellaan vain tason osajoukkoja, vaikka päättelyt voitaisiin helposti siirtää yleiseen n-ulotteiseen euklidiseen avaruuteen
LisätiedotTodistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 1
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon
Lisätiedote int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
LisätiedotReaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011
Neljännen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuun 2.1. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Funktion y = f (x) on intuitiivisesti
LisätiedotSisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17
Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
LisätiedotMetriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00
1 Metriset avaruudet Erno Kauranen 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1. Sisätulo ja normiavaruus................................................. 3 2. Metrinen avaruus........................................................
Lisätiedot7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
LisätiedotVille Suomala MITTA JA INTEGRAALI
Ville Suomala MITT J INTEGRLI Luentotiivistelmä kevät 2017 1 Johdanto bstraktin mittateorian voidaan katsoa syntyneen vuoden 1900 tienoilla, kun Henry Lebesgue esitteli uuden integrointiteorian. Mitta-
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää
LisätiedotVille Suomala MITTA- JA INTEGROINTITEORIAA
Ville Suomala MITT- J INTEGROINTITEORI Luentotiivistelmä kevät 2015 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Lebesguen ulkomitta 2 2.1 Merkintöjä............................... 2 2.2 Ulkomitta L..............................
LisätiedotDerivaatasta ja derivoituvuudesta
Derivaatasta ja derivoituvuudesta Piia Lehtola Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2018 Tiivistelmä: Piia Lehtola, Derivaatasta ja derivoituvuudesta,
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotSinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.
Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn
Lisätiedotsaadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 4 Funktion raja-arvo 4 Määritelmä Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: fx) A < ε aina, kun 0 < x a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla
Lisätiedot4.3.7 Epäoleellinen integraali
Esimerkki 4.3.16. (Lineaarinen muuttujien vaihto) Olkoot A R m sellainen kompakti joukko, että A on nollajoukko. Olkoon M R m m säännöllinen matriisi (eli det(m) 0) ja f : R m R jatkuva funktio. Tehdään
Lisätiedotreaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,
Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
Lisätiedotu 2 dx, u A f siten, että D(u) = inf D(U). Tarkemmin: Tarkoitus on osoittaa seuraavat minimointitehtävä ja Dirichlet n tehtävä u A f ja
1. Dirichlet n periaatteesta 1.1. Periaate I. Dirichlet n periaate pohjautuu fysikaaliseen minimienergiaperiaatteeseen ja luo pohjaa osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ja variaatiolaskennan välille). Yksinkertaisesti
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
LisätiedotHELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Kalle
LisätiedotMITTA- JA INTEGRAALITEORIA 2015
MITT- J INTEGRLITEORI 2015 HELI TUOMINEN Sisältö Johdantoa 2 Mitta 2 Integraali 2 nalyysin peruslause 2 Riemann-integraalista 2 1. Valmistelua, kertausta ja merkintöjä 4 Infimum ja supremum 4 Laajennettu
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
Lisätiedot1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ
Matematiikan tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 2015 Lisätehtävät 1 Ratkaisut 1. Olkoon f :, x+1, x 1, f (x)= x+3, x>1 Piirrä funktion kuvaa välillä [ 1, 3]. (a) Tutki ra-arvon (ε, δ)-määritelmän
LisätiedotEsimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta
Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen
LisätiedotKokonaislukuoptimointi
Kokonaislukuoptimointi Algebrallisen geometrian sovelluksia Sisältö Taustaa algebrallisesta geometriasta Gröbnerin kanta Buchbergerin algoritmi Kokonaislukuoptimointi Käypyysongelma Algoritmi ratkaisun
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Supremum ja inmum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen Kuitenkaan päätepisteet eli luvut ja
LisätiedotTasainen suppeneminen ja sen sovellukset
Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tuomas Hentunen Matematiikan pro gradu tutkielma Kesäkuu 2014 Tiivistelmä: Tuomas Hentunen, Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset (engl. Uniform convergence
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.
Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,
Lisätiedot