Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Johdetaan ensiksi välttämättömät ehdot diskreettiaikaiselle optimisäätötehtävälle.
|
|
- Pirkko Härkönen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 9 1. Johdetaan ensiksi välttämättömät ehdot diskreettiaikaiselle optimisäätötehtävälle. Tilayhtälö on x k+1 = f k (x k, u k ), k = 1,..., N 1 alkuehdolla x 1 = x 0 1, ja tavoite on maksimoida kohdefunktio J(u) = g N (x N ) + N 1 k=1 g k (x k, u k ). Tehtävän Lagrangen funktio määritellään Lagrangen kertoimien λ k avulla: L = g N (x N ) + N 1 k=1 { gk (x k, u k ) λ k+1 [ xk+1 f k (x k, u k ) ]}. Mikäli tehtävän ohjaukset u k ovat rajoittamattomia, niin välttämättömät ehdot ekstremaalille ovat L = 0, k = 2,..., N (1) L u k = 0, k = 1,..., N 1 (2) L λ k = 0, k = 2,..., N (3) Tässä on yhteensä 3N 3 yhtälöä yhtä monelle tuntemattomalle Yhtälö (1) antaa Yhtälöstä (2) saadaan x 2,..., x N, u 1,..., u N 1,..., λ 2,..., λ N. g k + λ k+1 f k λ k = 0 λ k = g k + λ k+1 f k, k = 2,..., N. (4) g k u k + λ k+1 f k u k = 0, k = 1,..., N 1. (5) 1
2 Kolmas ehto toteaa yksinkertaisesti, että tilayhtälöiden tulee toteutua ekstremaalilla. Nyt voidaan määritellä tehtävän Hamiltonin funktio H k (x k, u k, λ k+1 ) g k (x k, u k ) + λ k+1 f k (x k, u k ), (6) jolloin välttämättömät ehdot muuttuvat muotoon x k+1 = f k (x k, u k ), k = 1,..., N 1 (7) λ k = H k(x k, u k, λ k+1 ), k = 2,..., N (8) 0 = H k(x k, u k, λ k+1 ) u k, 1 = 2,..., N 1. (9) Jos ohjaukset olisivatkin rajoitettuja, voitaisiin todistaa diskreetti versio Pontryaginin minimiperiaatteesta. Tämä korvaisi ehdon (5). Ratkaistaan seuraavaksi diskreetin ajan tilasäätäjäongelma. Tilayhtälö: x k+1 = A k x k + B k u k, k = 0,..., N 1 alkuehdolla x 0 = x 0 ja lopputila vapaa, ts. g N 0. Kohdefunktionaali on min J = 1 N 1 [ ] x T 2 k+1 Q k+1 x k+1 + u T k R k u k. Erityisesti on oltava k=0 λ N = 1 [ ] x T 2 x N Q N x N = QN x N. N Tilasäätäjäongelman Hamiltonin funktio on H k (x k, u k, λ k+1 ) = 1 2[ x T k+1 Q k+1 x k+1 + u T k R k u k ] + λ T k+1 [A k x k + B k u k ] = 1 [ ] (Ak x k + B k u k ) T Q k+1 (A k x k + B k u k ) + u T k R k u k 2 +λ T k+1[a k x k + B k u k ] Ohjaus on rajoittamaton, joten optimaalinen ohjaus saadaan ratkaistua yhtälöstä H k u k = Bk T Q k+1 A k x k + Bk T Q k+1 B k u k + R k u k + Bk T λ k+1 = Bk T Q k+1 (A k x k + B k u k ) + R k u k + Bk T λ k+1 = B T k Q k+1 x k+1 + R k u k + B T k λ k+1 = 0, 2
3 optimiohjaus on Liittotilayhtälöstä saadaan u k = R 1 k BT k [Q k+1 x k+1 + λ k+1 ]. λ k = H k = A T k Q k+1 A k x k + A T k Q k+1 B k u k + A T k λ [ ] k+1 = A T k Qk+1 (A k x k + B k u k ) + λ k+1 [ ] = A T k Qk+1 x k+1 + λ k+1. Tehdään oletus, jonka mukaan liittotila on muotoa λ k = (K k Q k )x k, (10) jollakin matriiseilla K k. Silloin optimiohjaus on muotoa ja sijoittamalla tilayhtälöihin saadaan u k = R 1 k BT k K k+1 x k+1 (11) josta seuraa x k+1 = A k x k B k R 1 k BT k K k+1 x k+1, (12) Λ k x k+1 [ I + B k R 1 k BT k K k+1 ] xk+1 = A k x k. (13) Vastaavasti liittotilayhtälöistä saadaan joten λ k = A T k K k+1 x k+1, (14) (K k Q k )x k = A T k K k+1 x k+1. (15) Jos nyt matriisi Λ k on säännöllinen niin Λ 1 k on olemassa, ja voidaan kirjoittaa: x k+1 = Λ 1 k A kx k. (16) Sijoittamalla tämä yhtälöön (15) saadaan [ ] Kk Q k xk = [ A T k K k+1 Λ 1 k A k] xk. (17) Koska yhtälön (17) tulee toteutua kaikilla x k, niin on oltava K k = Q k + A T k K k+1 Λ 1 k A k. (18) 3
4 Lisäksi, koska λ N = Q N x N niin silloin K N = 2Q N. (19) Tästä rekursiosta voidaan ratkaista K k :t. Nyt ollaan saatu takaisinkytketty optimiohjaus u k = R 1 k BT k K k+1 Λ 1 k A kx k. (20) Tällöin jokaisella ajan hetkellä ohjauksen laskemiseksi joudutaan ratkaisemaan lineaarinen yhtälöryhmä. Lainataan seuraava matriisien inversiolemma: Lemma 1. Olkoot I n yksikkömatriisi kokoa n n, S ja T matriiseja kokoa n r ja r n. Silloin: (I n + ST T ) 1 = I n S(I r + T T S) 1 T T, jos käänteismatriisit ovat olemassa. Todistus. Laskemalla (I + ST T )(I S(I + T T S) 1 T T ) =... = I. Sijoittamalla lemmaan S = B k ja T T = R 1 k BT k K k+1 saadaan Λ 1 k = I B k (I r + R 1 k BT k K k+1 B k ) 1 R 1 k BT k K [ k+1 = I B k Rk (I r + R 1 k BT k K k+1 B k )] 1 Bk T K k+1 = I B k [ Rk + B T k K k+1 B k ] 1B T k K k+1. Nyt riittää ratkaista r r yhtälöryhmä. Jos ohjausvektorin dimensio r on pienempi kuin tilavektorin dimensio n, niin säästyy laskenta-aikaa. Merkitään P k [ R k + B T k K k+1 B k ] 1B T k (21) ja nyt ratkaisu voidaan kirjoittaa x k+1 = (I B k P k K k+1 )A k x k [ ] u k = R 1 k BT k K k+1 I Bk P k K k+1 Ak x k [ ] K k = Q k + A T k K k+1 I Bk P k K k+1 Ak, K N = 2Q N P k = [ R k + B T k K k+1 B k ] 1B T k. 4
5 2. Seurantatehtävä ulkoisella (deterministisellä) häiriöllä ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + z(t) ja tehtävä on minimoida nöllinen kustannus min J = 1 2 [x(t f) r(t f )] T F [x(t f ) r(t f )] + 1 tf 2 + [x(t) r(t)] T Q(t)[x(t) r(t)] + u T (t)r(t)u(t) dt, t 0 missä F ja Q(t) symmetrisiä pos.semideniittejä, R symmetrinen pos.deniitti, z(t) on annettu ulkoinen häiriö ja r(t) on referenssitilatrajektori, jota tulisi noudattaa. Määritellään Hamiltonin funktio H (x, u, p, t) = 1 2 x r 2 Q + u 2 R + p T (Ax + Bu + z), missä on käytetty lyhennysmerkintää y V = y T V y. Ohjausten u ollessa rajoittamattomia täytyy optimiratkaisulle päteä Liittotilayhtälöistä H u = Ru BT p = 0 u (t) = R 1 (t)b T (t)p(t). ṗ(t) = H x = Q[x r] AT p ṗ(t) = Q(t)x(t) A T (t)p(t) + Q(t)r(t), reunaehdoilla p(t f ) = F [x(t f ) r(t f )]. Oletetaan, että liittotila on muotoa p(t) = K(t)x(t) + S(t), joillain matriiseilla K(t) ja S(t). Silloin: ṗ(t) = K(t)x(t) + K(t)ẋ(t) + Ṡ(t). Yhdistämällä saadut yhtälöt + tilayhtälö saadaan Qx+Qr A T [Kx+S] = Kx+KAx KBR 1 B T [Kx+S]+Kz +Ṡ. 5
6 Kokoamalla termejä saadaan [ Q A T K K KA + KBR 1 B T K ] x + [ A T S + Qr + KBR 1 B T S Kz Ṡ] = 0. Tämä yhtälö on voimassa kaikilla x(t), r(t) ja z(t) kun K = KA A T K Q + KBR 1 B T K Ṡ = [A T KBR 1 B T ]S + Qr Kz Näistä ensimmäinen on sama Riccatin yhtälö kuin tilasäätäjän tapauksessa, ja toinen yhtälö kertoo ulkoisen tekijän sekä referenssin aiheuttaman korjauksen liittotiloihin. 3. Optimikulutustehtävä T max e rt U(C(t)) dt 0 missä pääoman muutoksen yhtälö on K(t) = ik(t) C(t), K(0) = K 0. Pääoman tuottavuus on i ja hyötyfunktiolle U(.) pätee lim U C =, U CC < 0. C 0 Tällöin optimikulutukselle pätee C(t) > 0. Esimerkiksi kaikki funktiot muotoa U(C) = C 1/n, n > 1 ovat tällaisia. Oletetaan lisäksi rajoitus K(T ) 0. Määritellään tehtävän nykyarvo- Hamilton ja nykyarvoliittotila: Ĥ e rt H p e rt p ja koska niin Lisäksi H = e rt g(x, u) + p T f(x, u) Ĥ = g(x, u) + p T f(x, u). ṗ(t) = H x = d [ e rt p(t) ] dt 6
7 re rt p(t) + e rt p(t) = e rt Ĥ x p(t) = r p(t) Ĥ (nykyarvoliittotilan yhtälö). (22) x Optimiohjaus maksimoi sekä Hamiltonin funktion että nykyarvo-hamiltonin: argmax u Ĥ (x, u, p) = argmax u H (x, u, p) =: u. Tässä tehtävässä josta seuraa Yhtälöstä (22) seuraa Ĥ = U(C) + p(ik C), Ĥ C = U C(C) p = 0 p(t) = U C [C(t)]. p(t) = r p(t) Ĥ K = r p(t) i p(t) = (r i) p(t) p(t) = p 0 e (r i)t = U C [C(t)]. Riippuen siitä, onko K(T ) = 0 vai K(T ) > 0 voidaan löytää kaksi erityyppistä ratkaisua. Tapaus K(T ) > 0: Transversaalisuusehdoista seuraa p(t ) = 0, joten p 0. Silloin on oltava U C [C(t)] = 0, t [0, T ]. Tällaisen ratkaisun olemassaolo edellyttää kahta asiaa: (a) Hyötyfunktiolla on stationaaripiste C, jossa U C ( C) = 0. (b) Alkupääoma K 0 on tarpeeksi suuri, jotta koko tarkasteluperiodin ajan voidaan kuluttaa nopeudella C. Sijoittamalla vakiokulutus tilayhtälöön saadaan: K = ik C K(t) = K 0 e it C 7 t 0 e i(t τ) dτ
8 K(T ) = K 0 e it + C [ ] 1 e it > 0 i on oltava K 0 > C [ ] 1 e it. i Tämä vastaa tilannetta, jossa kulutus on vakio, pääoman marginaaliarvo on nolla, ja ylimääräinen pääoma ei tuo lisähyötyä Tapaus i < r Pääoma Kulutus Tapaus i > r Pääoma Kulutus Kuva 1: Optimaalinen kulutusstrategia, kun U(C) = C. Ensimmäisessä kuvassa laskettu ratkaisu kun i < r ja jälkimmäisessä kun i > r. Tapaus K(T ) = 0: Jos edellisen tapauksen a)kohta ei päde, niin ainoa mahdollinen optimiratkaisu saadaan ehdosta K(T ) = 0. Silloin U C > 0 kaikilla C, koska derivaatta on positiivinen ainakin jossakin nollan ympäristössä, eikä se voi vaihtaa merkkiään. U C > 0 p 0 > 0 p(t) > 0, t [0, T ]. Nykyarvoliittotila p tulkitaan pääoman marginaaliarvoksi, joka on aina positiivinen. Silloin pääoman lisääminen kullakin ajan hetkellä kasvattaa kokonaishyötyä. Jos i < r, niin pääoman marginaalihyöty on kasvava. Silloin kulutusta kannattaa painottaa ajanjakson alkupuolelle, koska muuten diskonttaustekijä syö alussa pääoman turhaan pois. 8
9 Jos taas i > r, niin pääoman marginaalihyöty on vähenevä. Silloin kulutus kannattaa painottaa ajanjakson loppupuolelle. 4. Koneen jälleenmyyntiarvon yhtälö ẋ(t) = d(t) + g(t)u(t), missä 0 u(t) U on ennaltaehkäisevä korjaus. Pyritään maksimoimaan kokonaishyötyä max J = e rt x(t ) + T 0 e rt[ πx(t) u(t) ] dt, missä loppuaika T ja lopputila T ovat vapaita. Kun kone on toiminnassa niin siitä saadaan tulovirta πx(t) ja lopuksi se myydään pois hinnalla x(t ). Hamiltonin funktio H = e rt (πx u) + p( d + gu) on mm. lineaarinen ohjauksen suhteen. Liittotilayhtälöstä saadaan ṗ(t) = πe rt, p(t ) = e rt, käyttämällä vapaan lopputilan transversaalisuusehtoja (Kirk s.200) Näistä ratkaisemalla saadaan p(t ) = h (x(t ), T ). x p(t) = π r e rt + e rt (1 π r ). Ohjaus on rajoitettu, joten tarvitaan Pontryaginin minimiperiaatetta. Koska Hamiltonin funktio oli lineaarinen ohjauksen suhteen voidaan tarkastella kytkentäfunktion σ (ohjaustermin kerroin Hamiltonin funktiossa) merkkiä ja päätellä ohjaus suoraan siitä: σ(t) = e rt + pg = e rt + g [ π r e rt + e rt (1 π r )] = e rt[ g ( π r (π r 1)er(t T )) 1 ]. 9
10 Olkoon nyt g(t) on ei-kasvava ja π/r > 1. Silloin jos σ(t) 0 jollakin välillä [t 0, t 1 ] niin vastaavasti olisi oltava ja g(t) = g (t) = 1 π/r (π/r 1)e r(t T ), t [t 0, t 1 ] (π/r 1)et+1 (e t + π/r(e e t )) > 0, t [t 0, t 2 1 ], mikä on ristiriita, jolloin on osoitettu ettei singulaarivälejä voi olla olemassa. Kytkentäfunktio siis korkeintaan vaihtaa merkkiään ajan hetkillä t s 1, t s 2,.... Optimiohjaus on { U, σ(t) < 0, u (t) = 0, σ(t) > 0. Optimaalinen myyntihetki T saadaan loppuehdosta (Kirk s.200) H (x (T ), u (T ), p (T ), T ) + h t (x (T ), T ) = Minimointitehtävä rajoitteilla min T 0 [ x 2 + ax + bu + cu 2] dt, c > 0 ẋ = u x(0) = x 0 ja T kiinteä mutta x(t ) vapaa. Hamiltonin funktio on: H = x 2 + ax + bu + cu 2 + pu. Koska ohjaukselle ei ollut rajoitteita, niin välttämätön ehto optimiohjaukselle on H u = 0 b + 2cu + p = 0 u = 1 (b + p). 2c 10
11 Liittotilayhtälöt ovat ṗ = H x = 2x a ja sijoittamalla tilayhtälöihin optimiohjaus saadaan josta seuraa ẋ = 1 (b + p), 2c ẍ = 1 2cṗ = 1 (2x + a) 2c ẍ 1 c x = a 2c. Tämän yhtälön ratkaisu on muotoa x(t) = c 1 e t/ c + c 2 e t/ c a 2. Vakiot määräytyvät alkuehdosta ja tranversaalisuusehdosta. Koska lopputila on vapaa, niin p(t ) = 0. Silloin 0 = 2cẋ(T ) b c 1 e T/ c c 2 e T/ c = b 2 c ja alkuehdosta x(0) = x 0 seuraa c 1 + c 2 a 2 = x 0. Yhdistämällä nämä saadaan ratkaistua vakiot c c 1 = e T/ (x 0 + a/2) b/(2 c) 2cosh(T/ c) c 2 = (x 0 + a 2 )[ e T/ c 1 2cosh(T/ ] b + c) 4 c cosh(t/ c). Toteuttaako saatu ratkaisu riittävät optimaalisuusehdot? Luennolla (tai Kamien-Schwartz, s ) esitetyt riittävät ehdot sisäpisteminimille = 0), kun h(x(t f), t f ) = 0 ja x(t f ) vapaa, ovat: ( H u (a) f(x, u, t) konveksi funktio (x, u):n suhteen; (b) g(x, u, t) konveksi funktio (x, u):n suhteen; 11
12 (c) f(x, u, t) on lineaarinen (x, u):n suhteen tai muuten p (t) 0, kaikilla t. Tässä tehtävässä f on lineaarinen, siis konveksi. Tästä seuraavat ehdot (a) ja (c). Vastaavasti g xx = 2 > 0, g uu = 2c > 0 joten myös g on konveksi sekä tilan että ohjauksen suhteen ja ehto (b) toteutuu. Siis riittävät ehdot toteutuvat ratkaistu u on minimoiva ohjaus. 12
[xk r k ] T Q[x k r k ] + u T k Ru k. }.
Mat-2.48 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 3. Johdetaan lineaarisen aikainvariantin seurantatehtävän yleinen ratkaisu neliöllisellä kustannuksella. Systeemi: x k+
Lisätiedot1 Perusteita lineaarisista differentiaaliyhtälöistä
1 Perusteita lineaarisista differentiaaliyhtälöistä Johdetaan lineaarisen aikavariantin systeemin ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), x(t 0 ) = x 0 yleinen ratkaisu. Tarkastellaan ensin homogeenistä yhtälöä. Lause
LisätiedotMat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 11
Mat-.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 11 1. Olkoon tehtaan tuotanto x(t) ajan hetkellä t ja investoitava osuus tuotannosta u(t). Tehdasta kuvaa systeemiyhtälö ẋ(t) = u(t)x(t) x() = c
LisätiedotMat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 3
Mat-2.48 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 3. Johdetaan lineaarisen aikainvariantin seurantatehtävän yleinen ratkaisu neliöllisellä kustannuksella. Systeemi: Kustannusfunktio: J = 2 xt NHx
LisätiedotJos siis ohjausrajoitusta ei olisi, olisi ratkaisu triviaalisti x(s) = y(s). Hamiltonin funktio on. p(0) = p(s) = 0.
Mat-.148 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 1 1. Olkoon maaston korkeus y(s) derivoituva funktio ja etsitään tien profiilia x(s). Päätösmuuttuja on tien jyrkkyys
LisätiedotMat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko
Lisätiedotk = 1,...,r. L(x 1 (t), x
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 6 1. Johdetaan välttämättömät ehdot funktionaalin J(y) = t g(y(t), ẏ(t),..., dr y(t), t) dt dt r ekstremaalille, kun
LisätiedotMat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Johdetaan välttämättömät ehdot funktionaalin. g(y(t), ẏ(t),...
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 6 1. Johdetaan välttämättömät ehdot funktionaalin J(y) = g(y(t), ẏ(t),..., dr y(t), t) dt dt r ekstremaalille, kun ja t f ovat kiinteitä ja tiedetään
LisätiedotAmazon.com: $130,00. Osia, jaetaan opetusmonisteissa
1 Kurssin käytännön järjestelyt Luennot (12 kpl) tiistaisin klo 9 12 luokassa Y313 Luennoitsija TkT Mitri Kitti Vastaanotto luentojen yhteydessä email: mitri.kitti@hse.fi Luentomoniste kurssin verkkosivuilla
Lisätiedotmin x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4
Lisätiedotv AB q(t) = q(t) v AB p(t) v B V B ṗ(t) = q(t) v AB Φ(t, τ) = e A(t τ). e A = I + A + A2 2! + A3 = exp(a D (t τ)) (I + A N (t τ)), A N = =
Mat-214 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti Mallivastaukset kierros 1 1 a) Sekoitussäiliöön A virtaa puhdasta vettä virtauksella v A säiliöstä A säiliöön B täysin sekoittunutta liuosta virtauksella v AB
LisätiedotLuento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa
Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon
LisätiedotMat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 1
Mat-214 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 1 1 a) Sekoitussäiliöön A virtaa puhdasta vettä virtauksella v A, säiliöstä A säiliöön B täysin sekoittunutta liuosta virtauksella v AB ja säiliöstä
LisätiedotMat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ
Mat-48 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ L ẋ = x ẋ = g L sin x rx Epälineaarisen systeemin tasapainotiloja voidaan
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 15. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 15 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden rajoittamatonta optimointia:
LisätiedotOptimaalisuusehdot. Yleinen minimointitehtävä (NLP): min f(x) kun g i (x) 0 h j (x) = 0
Optimaalisuusehdot Yleinen minimointitehtävä (NLP): min f(x) kun g i (x) 0 h j (x) = 0 i = 1,..., m j = 1,..., l missä f : R n R, g i : R n R kaikilla i = 1,..., m, ja h j : R n R kaikilla j = 1,..., l
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden
LisätiedotLuento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät
Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät ja sisäpistemenetelmät Lagrangen välttämättömien ehtojen ratkaiseminen Newtonin menetelmällä Jos tehtävässä on vain yhtälörajoituksia, voidaan minimipistekandidaatteja
LisätiedotSäätötekniikkaa. Säätöongelma: Hae (mahdollisesti ulostulon avulla) ohjaus, joka saa systeemin toimimaan halutulla tavalla
Säätötekniikkaa Säätöongelma: Hae (mahdollisesti ulostulon avulla) ohjaus, joka saa systeemin toimimaan halutulla tavalla servo-ongelma: ulostulon seurattava referenssisignaalia mahdollisimman tarkasti,
LisätiedotLuento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.
Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista x + αd, α 0, on pisteestä x R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin
Lisätiedot12 Jatkuva-aikaisten tehtävien numeerinen ratkaiseminen
12 Jatkuva-aikaisten tehtävien numeerinen ratkaiseminen Ratkaisumenetelmät jaetaan epäsuoriin ja suoriin menetelmiin Epäsuora menetelmä yrittää ratkaista Pontryaginin minimiperiaatteen mukaiset vättlämättömät
Lisätiedot, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
Lisätiedot6 Variaatiolaskennan perusteet
6 Variaatiolaskennan perusteet Sivut ss. 22 26 pääosin lähteen [Kirk, Ch. 4, ss. 107 127] pohjalta Variaatiolaskenta keskittyy lokaaliin analyysiin eli funktion lokaalin minimin vastineisiin funktionaaleilla.
Lisätiedotb 1. b m ) + ( 2b Ax) + (b b)
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-9 Optimointioppi Kimmo Berg 5 harjoitus - ratkaisut min Ax b (vertaa PNS-tehtävät) a x + + a n x n a) Ax b = a m x + + a mn x n = x a a m }{{}
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
Lisätiedot1 Rajoitettu optimointi I
Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali II-1 1 Rajoitettu optimointi I 1.1 Tarvittavaa osaamista Matriisit ja vektorit, matriisien de niittisyys Derivointi (mm. ketjusääntö, Taylorin kehitelmä) Implisiittifunktiolause
Lisätiedoty (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotHarjoitus 7: vastausvihjeet
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 31C01100 Kevät 2017 Topi Hokkanen topi.hokkanen@aalto.fi Harjoitus 7: vastausvihjeet 1. (Epäyhtälörajoitteet) Olkoon f (x, y) = 6x + 4y ja g (x, y) = x 2 + y 2 2.
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 1 23.1.2017 1. Päätösmuuttujiksi voidaan valita x 1 : tehtyjen peruspöytin lukumäärä x 2 : tehtyjen luxuspöytien lukumäärä. Optimointitehtäväksi tulee max 200x 1 + 350x 2 s. t. 5x
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila
LisätiedotOsittaisdifferentiaaliyhtälöt
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoituskokoelmat 4 ja 5, kevät 2011 Palautus Eemeli Blåstenille to 23.6. klo 16.00 mennessä 1. Ratkaise Dirichlet ongelma u(x, y) = 0, x 2 + y 2 < 1, u(x, y) = y + x 2,
LisätiedotDiskreettiaikainen dynaaminen optimointi
Diskreettiaikainen dynaaminen optimointi Usean kauden tapaus 2 kauden yleistys Ääretön loppuaika Optimaalinen pysäytys Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / Ongelma t 0 x 0 t- t T x t- + x t + x T u
Lisätiedotf(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim
Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 3. Luennon sisältö
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 3. Luennon sisältö Lineaarisen optimointitehtävän sallittu alue Optimointitehtävien muunnoksia Lineaarisen yhtälöryhmän perusmuoto ja perusratkaisut Lineaarisen optimointitehtävän
LisätiedotVektoreiden virittämä aliavaruus
Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden
LisätiedotJAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
LisätiedotHaitallinen valikoituminen: yleinen malli ja sen ratkaisu
Haitallinen valikoituminen: yleinen malli ja sen ratkaisu Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari Matias Leppisaari 29.1.2008 Esityksen rakenne Yleinen malli Käypyys ja rajoitusehdot Mallin ratkaisu Kotitehtävä
LisätiedotKimppu-suodatus-menetelmä
Kimppu-suodatus-menetelmä 2. toukokuuta 2016 Kimppu-suodatus-menetelmä on kehitetty epäsileiden optimointitehtävien ratkaisemista varten. Menetelmässä approksimoidaan epäsileitä funktioita aligradienttikimpulla.
LisätiedotLuento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.
Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista. + αd, α 0, on pisteessä R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin 2
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 12. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla
Talousmatematiikan perusteet: Luento 12 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
Lisätiedoty + 4y = 0 (1) λ = 0
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ
76336A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät 217 1. Koordinaatiston muunnosmatriisi (a) y' P r α φ ' Tarkastellaan, mitä annettu muunnos = cos φ + y sin φ, y = sin φ + y cos φ, (1a) (1b) tekee
Lisätiedot9 Singulaariset ratkaisut
9 Singulaariset ratkaisut Singulaarisuus tarkoittaa, että Hamiltonin funktion minimiehto ei ksikäsitteisesti määrää ohjausta Singulaarisuus liitt usein ohjauksen suhteen lineaarisiin ssteemeihin ja kohdefunktioihin
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
Lisätiedot2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.
2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x
LisätiedotLuento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu
Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) on voimassa
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Lisätiedot1.1 Kurssimateriaali. 1.2 Kurssin suorittaminen ja ohjelma. Luennot (12 kpl) tiistaisin klo 9 12 luokassa Y313
1 Kurssin käytännön järjestelyt Luennot (12 kpl) tiistaisin klo 9 12 luokassa Y313 Luennoitsija DI Janne Karelahti, U243 Vastaanotto tiistaisin klo 13 14 email: janne.karelahti@hut.fi Luentomoniste kurssin
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
Lisätiedot2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.
2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
Lisätiedot1. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 20x 2 +10xy +5y 2 (b.) f(x,y) = 4x 2 2y 2 xy +x+2y +100
HARJOITUS, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE 07.. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 0x +0xy +5y (b.) f(x,y) = 4x y xy +x+y +00 (a.) Funktion kriittiset pisteet ratkaisevat
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 2.2.217 Tehtävä 1 Edellisten demojen tehtävä oli muotoa max 3x 1 + 4x 2 s.t. 7x 1 + 3x 2 24 : v 1 x 1 + 4x 2 17 : v 2 x 2 3 : v 3 x 1, x 2. Kohdefunktio voitiin kirjoittaa myös muotoon
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä
LisätiedotMS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset
MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,
LisätiedotHäiriöteoriaa ja herkkyysanalyysiä. malleissa on usein pieniä/suuria parametreja. miten yksinkertaistetaan mallia kun parametri menee rajalle
Häiriöteoriaa ja herkkyysanalyysiä malleissa on usein pieniä/suuria parametreja miten yksinkertaistetaan mallia kun parametri menee rajalle jatkuvuus ja rajayhtälöt säännölliset ja epäsäännölliset häiriöt
LisätiedotDynaamisten systeemien teoriaa. Systeemianalyysilaboratorio II
Dynaamisten systeemien teoriaa Systeemianalyysilaboratorio II 15.11.2017 Vakiot, sisäänmenot, ulostulot ja häiriöt Mallin vakiot Systeemiparametrit annettuja vakioita, joita ei muuteta; esim. painovoiman
LisätiedotMalliratkaisut Demo 4
Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) f(x) = 2x + 21. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että imoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) f(x) = x (pienin kokonaisluku
Lisätiedotk=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu
LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 7. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 7 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 1 / 43 Luennon 7 sisältö Interpolointi ja approksimointi Interpolaatiovirheestä Paloittainen
Lisätiedot1 Rajoittamaton optimointi
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y
LisätiedotKäänteismatriisi 1 / 14
1 / 14 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella
Lisätiedotẋ(t) = s x (t) + f x y(t) u x x(t) ẏ(t) = s y (t) + f y x(t) u y y(t),
Aalto-yliopiston Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Mat-2.4129 Systeemien Identifiointi 1. harjoituksen ratkaisut 1. Tarkastellaan maita X ja Y. Olkoon näiden varustelutaso
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
Lisätiedot1 Rajoitettu optimointi II - kustannusfunktio, Lagrangen kertoimet varjohintoina
Taloustieteen mat.menetelmät syksy27 materiaali II-2 Rajoitettu optimointi II - kustannusfunktio, Lagrangen kertoimet varjohintoina. Tuotanto Yritys valmistaa yhtä tuotetta n:stä tuotannontekijästä/panoksesta
LisätiedotMalliratkaisut Demot 6,
Malliratkaisut Demot 6, 19.2.21 Tehtävä 1 Edellisten demojen tehtävä oli muotoa max 3x 1 + 4x 2 s.t. 7x 1 + 3x 2 24 : v 1 x 1 + 4x 2 17 : v 2 x 2 3 : v 3 x 1, x 2. Kohdefunktio voitiin kirjoittaa myös
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet
ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A27 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 2.2, 28, arvosteluperusteet T Moniosaisten tehtävien osien painoarvo on sama ellei muuta ole erikseen osoitettu. Kokeessa
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
Lisätiedot. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 3.2.27 Tehtävä. Valmisohjelmistolla voidaan ratkaista tehtävä min c T x s. t. Ax b x, missä x, c ja b R n ja A R m n. Muunnetaan tehtävä max x + 2x 2 + 3x 3 + x s. t. x + 3x 2 + 2x
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
LisätiedotWiener-prosessi: Tarkastellaan seuraavanlaista stokastista prosessia
Wiener-prosessi: Tarkastellaan seuraavanlaista stokastista prosessia { z(t k+1 ) = z(t k ) + ɛ(t k ) t t k+1 = t k + t, k = 0,..., N, missä ɛ(t i ), ɛ(t j ), i j ovat toisistaan riippumattomia siten, että
Lisätiedot3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =
BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Syksy 2016 1. (a) Olkoon z = z(x,y) = yx 1/2 + y 1/2. Muodosta z:lle lineaarinen approksimaatio L(x,y) siten että approksimaation ja z:n arvot
LisätiedotHarjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio,
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 06 Harjoitus 3 Kaikissa tehtävissä, joissa pitää tarkastella kriittisten pisteiden stabiliteettia, jos kyseessä on satulapiste, ilmoita myös satulauraratkaisun (tai kriittisessä
Lisätiedot2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo
2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo Ratkaisun olemassaolon tutkimiseen tarvitaan perustietoja konvekseista joukoista ja lineaarialgebrasta. Niitä tarvitaan myös ratkaisualgoritmin ymmärtämiseen. Tutkitaan
LisätiedotAmazon.com: $130,00. Osia, jaetaan opetusmonisteissa
1 Kurssin käytännön järjestelyt Luennot (12 kpl) tiistaisin klo 9 12 luokassa Y313 Luennoitsija TkT Mitri Kitti Vastaanotto luentojen yhteydessä email: mitri.kitti@hse.fi Luentomoniste kurssin verkkosivuilla
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
LisätiedotMalliratkaisut Demo 1
Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,
Lisätiedot2 Osittaisderivaattojen sovelluksia
2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä
LisätiedotACKERMANNIN ALGORITMI. Olkoon järjestelmä. x(k+1) = Ax(k) + Bu(k)
ACKERMANNIN ALGORITMI Olkoon järjestelmä x(k+1) = Ax( + Bu( jossa x( = tilavektori (n x 1) u( = ohjaus (skalaari) A (n x n matriisi) B (n x 1 matriisi) Oletetaan, että ohjaus u( = Kx( on rajoittamaton.
Lisätiedot5 Differentiaaliyhtälöryhmät
5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =
LisätiedotKonjugaattigradienttimenetelmä
Konjugaattigradienttimenetelmä Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Konjugaattigradienttimenetelmä Oletukset Matriisi A on symmetrinen: A T = A Positiivisesti definiitti: x T Ax > 0 kaikille x 0
Lisätiedot0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
Lisätiedot2. Teoriaharjoitukset
2. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 2.1 Todista Gauss-Markovin lause. Ratkaisu. Oletetaan että luentokalvojen standardioletukset (i)-(v) ovat voimassa. Huomaa että Gauss-Markovin lause ei vaadi virhetermien
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 5A Vastaukset alkuviikolla
Lisätiedot