ẋ(t) = s x (t) + f x y(t) u x x(t) ẏ(t) = s y (t) + f y x(t) u y y(t),

Transkriptio

1 Aalto-yliopiston Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Mat Systeemien Identifiointi 1. harjoituksen ratkaisut 1. Tarkastellaan maita X ja Y. Olkoon näiden varustelutaso t ja yt sekä puolustusmyönteisyys s t ja s y t hetkellä t. Mikäli maa i on puolustusvastainen, niin s i t on negatiivinen, muuten positiivinen. Oletetaan, että varustelunopeus on suoraan verrannollinen puolustusmyönteisyyteen ja naapurimaan varustelutasoon sekä kääntäen verrannollinen varustelukuluihin, jotka ovat verrannolliset varustelutasoon. Näin saadaan malli ẋt s t + f yt u t ẏt s y t + f y t u y yt, missä f i :t ja u i :t ovat positiivisia verrannollisuuskertoimia. Systeemi voidaan kirjoittaa myös vektorimuodossa: ẋt u f t s t + ẏt f y u y yt s y t Differentiaaliyhtälömallin avulla voidaan arvioida millä varustelutason alkuarvoilla ja verrannollisuuskertoimien arvoilla päädytään varustelukierteeseen tai stabiloidutaan johonkin tasapainotilaan. Tarkastalu voidaan suorittaa joko simuloimalla ratkomalla malli numeerisesti tai yksinkertaisissa tapauksissa analyyttisesti. Esimerkiksi tasapainotilat saadaan ratkaistua yhtälöstä ẋt 0 ẏt 0. Tämän ratkaisuksi saadaan u f y f y u y 1 s s y, kun oletetaan, että s i t s i on vakio ja, että tarvittava käänteismatriisi on olemassa. 1

2 2. Bakteerikannan kokonaiskasvunopeus on ḃt ja kasvunopeus bakteeriyksikköä kohden ḃt, jolloin olettamuksista i ja ii saadaan, että bt ḃt bt fut Eräs mahdollinen approksimaatio funktiolle f on Olettamuksesta iii saadaan lisäksi, että { k1 ut, kun ut on pieni ; k 2, kun ut on iso. ut fut k 2. ut + k 2 k 1 ut k 3 ḃt, jolloin bakteerisysteemiä kuvaamaan saadaan differentiaaliyhtälömalli ḃt futbt, ut k 3 futbt. 3. a Muodostetaan differenssiyhtälösysteemi kuvaamaan tehtävän systeemiä. Tässä tehtävässä aika on oletettu diskreetiksi suureeksi. Olkoon hierarkiassa tasoja N kappaletta ja K j t ja I j t ovat pätevien ja epäpätevien työntekijöiden määrä tasolla j sekä ut uusien työntekijöiden määrä hetkellä t. Ensimmäisellä tasolla pätee K 1 t K 1 t + 0.1I 1 t + 0.9ut I 1 t I 1 t + 0.1ut. Tasoilla j {2,..., N 1} vastaavasti K j t K j t + 0.1I j t K j 1t I j t I j t K j 1t + 0.1I j 1 t. Koska tasolta N ei voi enää ylentyä, saadaan tälle tasolle K N t K N t + 0.1I N t K N 1t I N t I N t K N 1t + 0.1I N 1 t. Merkitään j t Kj t I j t, 2

3 jolloin differenssiyhtälömallimme voidaan kirjoittaa muodossa t t + ut 0.1 j t + 1 A b j t j 1 t, j {2,..., N 1} N t + 1 A C N t N 1 t A N C b Ks. Ecel-malli lh1t3 ecel.ls, jossa on valittava hierarkioiden työtekijämäärät alussa. Huomataan, että työntekijöiden määrät eri hierarkian tasoilla stabiloituvat, kun t kasvaa. Varioimalla uusien työntekijöiden määrää havaitaan, että pätevien työmntekijöiden suhde ei ole kovin herkkä ut:n muutoksille. Erityisesti suurilla t:n arvoilla pätevien työntekijöiden osuus näyttäisi säilyvän samana, vaikka ut:a muutetaan. c Kirjoitetaan systeemimme muodossa ˆt + 1 ŷt ˆt + ˆBût, Ĉ ˆt + ˆDût, missä ŷt on systeemistä havaittava tai mitattava suure. Yleensä ût:a kutsutaan ohjaukseksi ja ˆt:a tilaksi. 1 t Valitaan ˆt., ja ût ut jolloin N t A C... Â... A C ja ˆB b 0  on 2N 2N matriisi ja ˆB 2N 1 vektori. Jos halutaan mitata suoraan tiloja, ts. ŷ ˆ valitaan luonnollisesti Ĉ I ja ˆD 0. Ks. toteutuksen Simulink-malli lh1t3 mdl.mdl, ja Matlab-skripti lh1t3 m.m joka muodostaa matriisit Â, ˆB, Ĉ ja ˆD, ajaa simulaation sekä piirtää kuvaajat. d Mallissa annetut prosenttiosuudet ovat vakioita. Siten mallissa palkkaus ei vaikuta pätevien ja epäpätevien suhteisiin, eikä malli ole riittävä palkkaustrategian optimointiin. Jos tehtävässä annetut prosenttiarvot oletettaisiinkin esimerkiksi funktioiksi seuraavan tason palkasta voitaisiin palkkaustrategiaa optimoida. Mahdollisia optimointikriteereitä olisivat esimerkiksi pätevien osuudet eri tasoilla ja kokonaispalkkakustannukset. 3. A N

4 4. a Olkoot yt ja t veren insuliini- ja sokeripitoisuudet hetkellä t. Merkitään insuliinipistoksesta saatavan insuliinin määrä wt:llä ja ruokailusta saatavan sokerin määrä zt:llä. Kirjoitetaan ensin differentiaaliyhtälömalli insuliinipitoisuudelle olettamuksista i-iii: ẏt b 1 ma{t 0, 0} b 2 ma{yt, 0} + b 3 wt, missä b i :t ovat positiivisia verrannollisuuskertoimia. Vastaavasti otaksumista iv-vi saadaan ẋt a 1 tyt + a 2 ma{ 0 t, 0} + a 3 zt, missä a i :t ovat positiivisia verrannollisuuskertoimia. b Aseta mallissa wt 0, jolloin insuliinipistoksia ei oteta. Muiksi verrannollisuuskertoimiksi voit asettaa a 1 a 2 a 3 1, b 1 1.5, b 2 0.2, b 3 1 ja Alkutilaksi ota 0 9, y0 0. Näet, että systeemin tasapainotila on t 0 10 esimerkiksi valitsemalla mallissa lisäksi zt 0 ja simuloimalla systeemiä. Tarkastele systeemin käyttäytymistä erilaisilla impulssimuotoisilla ruokailuprofiileilla. Tuloksena saat jaksollisia ratkaisuja, joissa elimistö ruokailun jälkeen erittää insuliinia veren sokeripitoisuuden pienentämiseksi. Veren sokerin saavuttaessa arvon 0 insuliinin eritys lakkaa ja maksa tuottaa sokeria tasapainotilan saavuttamiseksi. c Aseta nyt b-kohdan mallissa b 1 0, koska insuliinipotilas ei tuota insuliinia. Kokeile varioida insuliinipistoksen ja ruokailun välistä vaihe-eroa. Paras tulos saadaan, kun insuliini otetaan ruokailun yhteydessä, koska tällöin tarvitaan insuliinia veren sokeripitoisuuden laskemiseksi. 4

5 5. Etsitään siis matriisit A, B, C ja D siten, että ẋt At + But yt Ct + Dut. Koska halutaan, että yt qt tulee valita C I 0 D 0. Matriisit A ja B löydetään käyttämällä systeemiä kuvaavaa differentiaaliyhtälömallia, josta saadaan q M 1 Kq M 1 D q + M 1 f, eli saadaan d q dt q 0 I M 1 K M 1 D q q + 0 M 1 f. Siis A B 0 I M 1 K M 1 D 0 M 1. 5