Mat Systeemianalyysilaboratorio: Dynaamisen järjestelmän simulointi ja säätö
|
|
- Johanna Korpela
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Mat Systeemianalyysilaboratorio: Dynaamisen järjestelmän simulointi ja säätö Tausta ja lähtökohdat Teollisuusprosesseissa käytettävien energialähteiden, höyryn ja sähkön tarpeiden määrä vaihtelee suuresti kulutuksen mukaan. Esim. paperikoneen käynnistäminen aiheuttaa höyryntarpeen voimakkaan kasvun. Jos kulutushuippuja pystytään ennakoimaan voimalaitoksella, voidaan laitoksen höyryntuotanto ajaa etukäteen ylös halvoilla polttoaineilla (turve, hiili), ja kalliiden, nopeiden säätöpolttoaineiden (öljy, kaasu) tarve vähenee. Toisaalta kulutushuippuja tasaamalla voidaan peruspolttoaineena käyttää enemmän halvempia kiinteitä polttoaineita ja suorittaa säätö kalliimpia polttoaineita (öljy) käyttäen. Taustasta on yksityiskohtaisempi selvitys Pekka Pietikäisen raportissa Höyrykuorman tasausjärjestelmät (liite). Vastapainevoimalamallin kuvaus Vastapainevoimalan ensisijaisena tarkoituksena on tuottaa kuluttajan (esim. tehdas) tarvitsema höyry. Samalla saadaan ikään kuin sivutuotteena myös sähköä. Tässä työssä ei tarkastella sähkön tuotantoa, vaan tarkastellaan ainoastaan höyryn kulutuksen ja tuotannon sovittamista toisiinsa. Tarkastellaan vastapainelaitoksen yksinkertaistettua mallia. Polttoaineen syöttöjärjestelmän ja lämmön siirtymisen hitautta kattilassa kuvataan 1. kertaluvun dynamiikalla T 1 df p dt + f p = k 0 u (1) f p = kattilan höyrynkehitys u = polttoaineen syöttö T 1 = kattilakohtainen vakio k 0 = polttoainekohtainen vakio Kattilan paineen muutosnopeus saadaan laskettua höyrynkehityksen ja kattilasta lähtevän höyryvirtauksen avulla dp k dt = f p f ka (2) T s 1
2 p k = kattilan paine f ka = kattilasta lähtevä höyryvirtaus T s = kattilan koosta riippuva vakio Höyryn massavirtaus kattilasta höyrytukkiin oletetaan alikriittiseksi (p kp /p k 0.55), jolloin f ka = k 1 p 2 k p2 kp (3) p kp = korkeapainetukin paine k 1 = virtausvastusta kuvaava vakio Höyrytukin paineen muutosnopeus saadaan kattilasta tulevan ja höyrytukista lähtevän höyryvirtauksen avulla dp kp dt = k 2 (f ka f g ) (4) f g = virtaus turbiiniin k 2 = virtausvastus Höyrytukista turbiinille menevä virtaus on suoraan verrannollinen turbiinin säätöventtiilin säätimen ulostuloviestiin. Turbiiniin menevä höyryvirtaus riippuu toisaalta vain syöttävästä paineesta, sillä virtaus on oletettu ylikriittiseksi. Näin saadaan f g = k 3 z 1 p kp (5) z 1 = säätimen 1 ulostuloviesti (kuvaa venttiilin asentoa z 1 [0.8, 1.2]) k 3 = virtausvastus Höyryakkua ladattaessa osa turbiinivirtauksesta menee höyryakkuun. Yleensä suurin osa turbiinivirtauksesta virtaa suoraan vastapainetukkiin. Mikäli höyryakkua puretaan, johdetaan virtaus akusta vastapainetukkiin. Vastapainetukin paineen muutosnopeus riippuu tukkiin tulevien ja tukista lähtevien virtausten erotuksesta dp vp dt = k 4 {f g + f out f kul f in } (6) p vp = vastapainetukin paine f out = virtaus höyryakusta vastapainetukkiin f in = virtaus väliotosta akkuun f kul = kulutukseen (tehtaalle) menevä höyryvirtaus k 4 = tukin ominaisuuksista riippuva vakio Höyryakusta oletetaan, että sitä ladataan turbiinista välioton avulla siten, että latauspaine on vakio (=13 bar). Akussa vallitseva paine on suuruusluokkaa 10 bar, joten latausvirtaus on alikriittinen. Lisäksi virtaus oletetaan suoraan verrannolliseksi latausventtiilin säätimen ulostuloviestiin. Näin saadaan f in = k 5 z p 2 a (7)
3 z 2 = säätimen 2 ulostuloviesti (z 2 [0, 1]) k 5 = virtausvastus p a = akussa vallitseva paine Virtaus höyryakusta on ylikriittinen, sillä vastapainetukin paine on n. 3 bar. Myös tätä virtausta ohjataan säätimen avulla, jolloin f out = k 6 z 3 p a (8) z 3 = säätimen 3 ulostuloviesti (z 3 [0, 1]) k 6 = virtausvastus Höyryakun paineen muutosnopeus riippuu lähtevistä ja tulevista virtauksista sekä akun paineesta ja akussa olevasta veden massasta. Paineen muutosnopeudelle pätee seuraava likimääräisesitys dp a dt = (h 1p a + h 2 ) f out f in (9) m v h 1 ja h 2 ovat akulle ominaisia vakioita ja m v on akussa olevan veden massa. Säätimistä z 1, z 2 ja z 3 oletetaan, että z 1 :n ulostuloviesti kuuluu välille 0.8 z ja alkutasapainossa z 1 = 1.0, z 2 :lle ja z 3 :lle pätee, että 0.0 z 2 1.0, 0.0 z ja tasapainossa virtaus akkuun ja akusta ulos on 0.0. Tehtävät 1. Assistentti on kasannut Sinulle simulink-pohjan voimalan mallista (voima.m, haettavissa kurssin www-sivulta). Mallin parametrit ovat makrossa param.m (myös www-sivulla). Makro on ajettava ennen simulointien aloittamista parametrien alustamiseksi. Tutustu malliin, jotta ymmärrät miten se toimii ja osaat jatkossa muuttaa sitä oikein. Ohjausmuuttuja on siis polttoainevirtaus ja säädössä käytetään kahta eri lähestymistapaa, nimittäin PID-säätöä ja tilatakaisinkytkentää. 2. Järjestelmä on aluksi tasapainotilassa. Yli-innokas laitosmies avaa kuitenkin ohikulkiessaan venttiiliä z 1 sen verran, että turbiinivirtaus kasvaa 3 kg/s. Kuinka paljon siis venttiilin asento muuttuu? Tutki simuloimalla, mitä tapahtuu korkeapainetukin paineelle. 3. Suuret paineenvaihtelut rasittavat korkeapainetukkia ja aiheuttavat ongelmia jatkossa. Lisäksi korkeapainetukin paineen nousu yli 100 barin laukaisee laitoksen hätäpysäytyksen, mikä maksaa muutaman vuosipalkkasi verran. Otat tavoitteeksi pitää korkeapainetukin poikkeamat pienempinä kuin ±2% tasapainoarvosta. Toisaalta nopeat polttoaineen syötön muutokset eivät ole toivottavia (ks. raportti höyrykuormien tasaamisesta), sillä polttoaineen syöttö on suunniteltu niin, että kallista säätöpolttoa tarvitaan, jos ohjaus sisältää amplitudiltaan yli 1 kg/s vaihteluja alle sadan sekunnin jaksonajalla. Säätöpolttokaan ei käytännössä pysty toteuttamaan alle 10 sekunnin jaksoisia komentoja. Olet siis ratkaisemassa monitavoitteista optimointiongelmaa. Ohjeeksi säätimen konstruointiin voidaan antaa, että laitoshenkilökunnan preferenssien mukaan pitkällä aikavälillä vakaa korkeapainetukin paine on säätöpolton minimointia tärkeämpää.
4 Ryhdyt kehittelemään voimalaitokseen säätöjärjestelmää, jossa polttoaineensyöttöä säädetään takaisinkytkennällä korkeapainetukin paineesta. Tuumasta toimeen: viritä ensin P-säädin askelvastekokeen perusteella (vilkaise Ruususen monistetta Säätötekniikkaa, jos säätimet eivät ole kirkkaana mielessäsi). Kokeile miten säädin pystyy pelastamaan tilanteen, jossa laitosmies töppää. Mitä havaitset? Koska siis et ole täysin tyytyväinen P-säätimeen, viritä PI-säädin. Vertaa P- ja PI-säätimien suorituskykyä. Kokeile vielä PID-säädintä. Parantaako derivointi säätötulosta? 4. Vaihtoehtoinen säätötapa PID-säädölle on tilatakaisinkytkentä. Tällöin ohjaus on lineaarinen funktio tiloista f p, p k ja p kp (taas voi konsultoida Ruususen monisteen Säätötekniikkaa lukua 4; huomaa, että nyt ei tarvita monisteessa mainittua ulkopuolista referenssisignaalia w). Muodosta polttoaineensyötölle tilatakaisinkytkentään perustuva säädin, jonka parametrit määrätään valitsemalla suljetun silmukan systeemin tilayhtälömatriisin ominaisarvot sopivasti. Kätevä tapa valita ominaisarvot on muodostaa lineaaris-neliöllinen äärettömän aikavälin optimisäätötehtävä (ks. Kirk Optimal Control Theory ) ja ratkaista tilatakaisinkytkennän painomatriiseihin liittyvä algebrallinen Riccatin yhtälö numeerisesti (makrot lqr ja lqr2 Matlabissa).(Huomaa että hyvän tuloksen hakeminen mielivaltaisella ominaisuarvojen (napojen) asettelulla esim. Matlabin place-komennolla on aika loppumaton suo.) Lineaarista tilatakaisinkytkentää laskettaessa voimalaitoksen yläosan malli on linearisoitava tasapainonsa ympäristössä. Symboliseen laskentaan voi käyttää Mathematicaa tai jotain muuta soveltuvaa ohjelmistoa. Muista tarkistaa linearisoidun systeemin ohjattavuus ennen tilatakaisinkytkennän rakentamista. 5. Tilatakaisinkytkennässä tällaisenaan on ongelma. Mikä? Sen poistamiseksi lisäämme tilasäätimeen I-osan. Tarkastellaan systeemiä ẋ = Ax + Bu (10) y = Cx. (11) Yleisesti erosuure e = r y = r Cx, jossa r=referenssisignaali (tässä vakio). Erosuureen integraali saadaan aikaiseksi lisäämällä systeemin tilavektoriin tila x i ja tilayhtälö ẋ i = e = r Cx. Kun nyt valitaan ohjaus u = K x = (K k i )(x x i ) T, tulee u:hun mukaan erosuureen integraali kerrottuna k i :lla. Muotoile laajennetut tilayhtälöt, rakenna I-osa tilasäätäjään ja hae sopiva takaisinkytkentävektori K esim. em. lineaaris-neliöllisen tehtävän ratkaisijoiden avulla. 6. Vertaa PID-säätöä ja tilatakaisinkytkentään perustuvaa säätöä toisiinsa. Jätä parempi säätämään polttoainevirtausta. 7. Laajoja järjestelmiä analysoitaessa kannattaa joissain tapauksissa redusoida monimutkainen malli yksinkertaisempaan muotoon. Vaikkakaan tarkastelemamme voimalaitoksen malli ei nykymuodossakaan ole kovin monimutkainen, redusoimme seuraavaksi laitoksen yläosan ensimmäisen kertaluvun järjestelmäksi. Kirjoita linearisoitu tilayhtälömalli siirtofunktiomuodossa ja konstruoi 1. kertaluvun Padé-approksimaatio (Norton: An Introduction to Identification, ss ). Vertaa yksinkertaistetun mallin antamaa korkeapainetukin paineen vastetta polttoaineensyötön muuttuessa askelmaisesti alkuperäisen mallin askelvasteeseen. 8. Unohdetaan nyt linearisoitu malli ja Padé-approksimaatio ja siirrytään tarkastelemaan laitosta kokonaisuutena. Olet säätimelläsi saanut stabiloitua korkeapainetukin paineen laitosmiehen töppäilyistä huolimatta. Yläosa toimii loistavasti ja sinä lähdet jo esimiehesi
5 puheille keskustelemaan palkankorotuksesta. Mutta juuri silloin se tapahtuu... Kulutusvirtaus f kul kasvaa tasapainoarvostaan yhtäkkiä +2 kg/s. Miten vastapaine käyttäytyy? Taisi mennä palkankorotus! Höyryä käyttävä instanssi nimittäin haluaa, että vastapaine vaihtelee korkeintaan ±10% tasapainoarvosta. 9. Rakenna seuraavaksi vastapaineen säätöön järjestelmä, jossa vastapainetta hallitaan säätimen avulla. Kyseinen säädin ohjaa vastapaineturbiinin venttiiliä z 1 ja siten määrää turbiiniin menevän höyryvirtauksen annetuissa rajoissa. Säätimen tulee olla riittävän hidas, että höyryakun varastointikykyä pystytään käyttämään hyväksi. Tarkoituksena on, että ainoastaan matalataajuiset ja suuriamplitudiset kulutushäiriöt ja pysyvänluontoiset poikkeamat korjataan korkeapainetukin ja kattilan säädön avulla. Toisaalta säätimen tulee olla riittävän nopea, jotta suurimman häiriön sattuessa vastapaine pysyy sallituissa rajoissa. Viritä turbiinin venttiilin säädin siten, että se pyrkii pitämään vastapaineen tasapainoarvon (= 3 bar) ympärillä. Kokeile P- ja PI-säätöä sekä myös pelkkää I- tai ID-säätöä. Mitä havaitset? 10. Seuraavaksi otetaan vastapaineen säätöön mukaan höyryakku. Sillä on tarkoitus huolehtia suurempitaajuisista kulutusmuutoksista sekä pehmentää äkillisiä muutoksia niin, että kattilan polttoaineensyöttö ei sahaa. Valittu akun säätöstrategia perustuu seuraaviin P- säätimiin: z 2 = k in (p vp p vp0 ) (12) z 3 = k out (p vp0 p vp )/p a. (13) Tässä k in ja k out ovat vahvistuksia ja p vp0 on vastapainetukin paineen tasapainoarvo. Miksi on perusteltua olla käyttämättä I-säätöä? Muuta höyryakun lataus- ja purkuviestien saturoitumisrajat oikeiksi (ovat siis olleet tähän asti nollia) ja viritä säätimet. Käytä virittämisessä alkuarvoja k in = 25.5 ja k out = ja hae sellaiset vahvistukset, joilla turbiinin virtauksen säätö ja höyryakun säätö toimivat yhteistyössä mahdollisimman hyvin; katso seuraava tehtävä. Voi olla hyödyllistä pohtia myös PID-säätimen taajuusvastetta. 11. Sovita eri säätimien parametrit toimimaan mahdollisimman hyvin yhteen niin, että vastapaine pysyy sallituissa rajoissa, korkeapainetukin paineenvaihtelut ovat mahdollisimman pieniä mutta toisaalta säätöpolttoaineen käyttö kattilassa minimoituu. Testaa laitoksen toiminta kokonaisuutena. Kokeile säädetyn laitoksen toimintaa erilaisilla askel- ja ramppimaisilla kulutushäirioillä sekä taajuusominaisuuksien selvittämiseksi myös muotoa f kul = f kul0 + B sin(ω 1 t) + C sin(ω 2 t), t {0, T } (14) olevaa ulkoista kuormaa, jossa ω 1 on matala taajuus, esim. luokkaa rad/s ja ω 2 on korkea taajuus, luokkaa 0.1 rad/s. Höyryn kulutuksesta oletetaan, että amplitudit ovat likimäärin kääntäen verrannollisia taajuuksiin ja että 15 prosentin poikkeamaa tasapainosta voidaan pitää suurena. Anna kokeiden perusteella yleisohje vastapainehöryn käyttäjälle siitä, minkäamplitudiset korkea- ja matalataajuiset sekä miten suuret askelmaiset kulutushäiriöt ovat sallittuja annetulla vastapaineen vaihtelurajalla. Muista koko ajan myös huolehtia kattilahenkilökunnan vaatimuksesta kalliin säätöpolton minimoinnista ja korkeapainetukin painevaihteluista! Oletetaan, että yli 0.2 rad/s (T 32s) taajuksia ei juurikaan esiinny. Työselostus Työselostukseksessa pitää olla seuraavat kohdat:
6 Johdanto, jossa kerrotaan työn taustasta ja tarkoituksesta. Sanallinen selvitys säätimen virittämisestä askelvastekokeen avulla (kohta 2) sekä tarvittavat kuvat. Kuva myös toisen derivaatan numeerisesta määrittämisestä. Estimoitujen parametrien arvot ja käytetyt kaavat. Jokaisella simuloidulla häiriöllä kuva sekä säädettävän että säätävän suureen käyttäytymisestä. Kuvat voivat olla liitteenä, mutta kuvatekstit on oltava. Voimalaitoksen yläosan toimintaa kuvaavien tilayhtälöiden johtaminen. Matriisien A ja B numeeriset arvot. Vaatimukset navoille ja kerroinvektorille K. Kuvat kokeiluista erilaisilla optimisäätötehtävän painomatriiseilla. Pohdintaa erilaisten painomatriisien vaikutuksesta sekä ominaisarvojen sijoittumisesta erilaisilla optimisäätötehtävän painomatriiseilla. PID-säätimen ja tilasäätimen vertailu yleisesti sekä toiminnan vertailu tässä tapauksessa. Padé-approksimaation muodostaminen ja saatu tulos. Selvitys vastapaineen säätimen (venttiiliä z 1 säätävän) virittämisestä. Pohdiskelua akun toiminnasta ja muista mahdollisista säätöstrategioista. Ehdotettu strategia huolehtii vain toissijaisesti akun lataamisesta sinänsä. Miten voitaisiin huolehtia siitä, että pitkällä aikavälillä akku ei tyhjene kokonaan? Minkälaisilla häiriöillä akun ja vastapaineen säädön yhteistoimintaa voisi tutkia parhaiten? Pohdinnat, jossa kommentoidaan työssä käytettyjä menetelmiä, malleja sekä työtä kokonaisuutena. Parannusehdotuksia saa esittää.
7 Vakioitten arvoja: T 1 = 30.0 kattilan höyryntuotannon aikavakio [s] T s = 15.0 kattilan varastointikyky [kg/bar] k 0 = 1.0 muunnoskerroin polttoaineensyötöstä höyryntuotantoon k 1 = 2.0 virtausvastus kattilasta höyryrukkiin [kg/(s*bar)] k 2 = 1/30 korkeapainetukin varastointikyky [kg/bar] k 3 = 0.4 virtausvastus turbiiniille [kg/(s*bar)] k 4 = 1/300 vastapainetukin varastointikyky [kg/bar] k 5 = 0.6 virtausvastus höyryakkuun [kg/(s*bar)] k 6 = 0.6 virtausvastus höyryakusta [kg/(s*bar)] h 1 = 8.3 höyryakulle ominainen vakio h 2 = 21.0 höyryakulle ominainen vakio [bar] Tasapainoarvoja: f in0 = 0.0 virtaus akkuun [kg/s] f out0 = 0.0 virtaus akusta [kg/s] p a0 = 10.0 akun paine [bar] f kul0 = 35.7 kulutusvirtaus [kg/s] f g0 = 35.7 turbiinivirtaus [kg/s] m a0 = akussa olevan veden massa [kg] p vp0 = 3.0 vastapainetukin paine [bar]
Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria. Syksy 2006. Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1
Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen säätötekniikkaan Takaisinkytkennän
LisätiedotDynaamisten systeemien teoriaa. Systeemianalyysilaboratorio II
Dynaamisten systeemien teoriaa Systeemianalyysilaboratorio II 15.11.2017 Vakiot, sisäänmenot, ulostulot ja häiriöt Mallin vakiot Systeemiparametrit annettuja vakioita, joita ei muuteta; esim. painovoiman
LisätiedotSäätötekniikkaa. Säätöongelma: Hae (mahdollisesti ulostulon avulla) ohjaus, joka saa systeemin toimimaan halutulla tavalla
Säätötekniikkaa Säätöongelma: Hae (mahdollisesti ulostulon avulla) ohjaus, joka saa systeemin toimimaan halutulla tavalla servo-ongelma: ulostulon seurattava referenssisignaalia mahdollisimman tarkasti,
LisätiedotMat Työ 2: Voimalaitoksen säätö
Mat-2.4133 Työ 2: Voimalaitoksen säätö Työssä tarkastellaan voimalaitoksen höyryntuotantoa polttoprosessi => kattilan höyrynkehitys => korkeapainehöyryn tuotanto => (turbiini) => vastapainehöyrynjakelu
LisätiedotSäätötekniikan matematiikan verkkokurssi, Matlab tehtäviä ja vastauksia 29.7.2002
Matlab tehtäviä 1. Muodosta seuraavasta differentiaaliyhtälöstä siirtofuntio. Tämä differentiaaliyhtälö saattaisi kuvata esimerkiksi yksinkertaista vaimennettua jousi-massa systeemiä, johon on liitetty
LisätiedotY (s) = G(s)(W (s) W 0 (s)). Tarkastellaan nyt tilannetta v(t) = 0, kun t < 3 ja v(t) = 1, kun t > 3. u(t) = K p y(t) K I
Aalto-yliopiston Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan systeemianalyysin laitos Mat-2.429 Systeemien Identifiointi 6. harjoituksen ratkaisut. Laplace-tasossa saadaan annetulle venttiilille W (s) W (s)
LisätiedotMATLAB harjoituksia RST-säädöstä (5h)
Digitaalinen säätöteoria MATLAB harjoituksia RST-säädöstä (5h) Enso Ikonen Oulun yliopisto, systeemitekniikan laboratorio November 25, 2008 Harjoituskerran sisältö kertausta (15 min) Napojensijoittelu
Lisätiedot1 PID-taajuusvastesuunnittelun esimerkki
Enso Ikonen, Oulun yliopisto, systeemitekniikan laboratorio 2/23 Säätöjärjestelmien suunnittelu 23 PID-taajuusvastesuunnittelun esimerkki Tehtävänä on suunnitella säätö prosessille ( ) = = ( +)( 2 + )
Lisätiedotẋ(t) = s x (t) + f x y(t) u x x(t) ẏ(t) = s y (t) + f y x(t) u y y(t),
Aalto-yliopiston Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Mat-2.4129 Systeemien Identifiointi 1. harjoituksen ratkaisut 1. Tarkastellaan maita X ja Y. Olkoon näiden varustelutaso
LisätiedotKonventionaalisessa lämpövoimaprosessissa muunnetaan polttoaineeseen sitoutunut kemiallinen energia lämpö/sähköenergiaksi höyryprosessin avulla
Termodynamiikkaa Energiatekniikan automaatio TKK 2007 Yrjö Majanne, TTY/ACI Martti Välisuo, Fortum Nuclear Services Automaatio- ja säätötekniikan laitos Termodynamiikan perusteita Konventionaalisessa lämpövoimaprosessissa
LisätiedotSäätötekniikkaa. Säätöongelma: Hae (mahdollisesti ulostulon avulla) ohjaus, joka saa systeemin toimimaan halutulla tavalla
Säätötekniikkaa Säätöongelma: Hae (mahdollisesti ulostulon avulla) ohjaus, joka saa systeemin toimimaan halutulla tavalla servo-ongelma: ulostulon seurattava referenssisignaalia mahdollisimman tarkasti,
Lisätiedot6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.
1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun
Lisätiedot6.8 Erityisfunktioiden sovelluksia
6.8 Erityisfunktioiden sovelluksia Tässä luvussa esitellään muutama esimerkki, joissa käytetään hyväksi eksponentti-, logaritmi- sekä trigonometrisia funktioita. Ensimmäinen esimerkki juontaa juurensa
Lisätiedot(s 2 + 9)(s 2 + 2s + 5) ] + s + 1. s 2 + 2s + 5. Tästä saadaan tehtävälle ratkaisu käänteismuuntamalla takaisin aikatasoon:
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2429 Systeemien Identifiointi 2 harjoituksen ratkaisut Yhtälö voitaisiin ratkaista suoraankin, mutta käytetään Laplace-muunnosta tehtävän ratkaisemisessa
LisätiedotTässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen
KEMA221 2009 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET ATKINS LUKU 4 1 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET Esimerkkejä faasimuutoksista? Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen Faasi = aineen
Lisätiedotax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa.
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 7, Syksy 206 Tutkitaan yhtälöryhmää x + y + z 0 2x + y + az b ax + y + 2z 0 (a) Jos a 0 ja b 0 niin mikä on yhtälöryhmän ratkaisu? Tulkitse ratkaisu
LisätiedotFYSP105 / K3 RC-SUODATTIMET
FYSP105 / K3 R-SODATTIMET Työn tavoitteita tutustua R-suodattimien toimintaan oppia mitoittamaan tutkittava kytkentä laiterajoitusten mukaisesti kerrata oskilloskoopin käyttöä vaihtosähkömittauksissa Työssä
LisätiedotAikatason vaste vs. siirtofunktio Tehtävä
Aikatason vaste vs. siirtofunktio Tehtävä Millainen toisen kertaluvun siirtofunktio vastaa systeemiä jonka ylitys on 10% ja asettumisaika 4 min? Y s X s = 2 n s 2 2 2 n s n M p =e t r 1.8 n t s 4.6 n 1
LisätiedotMatemaattisesta mallintamisesta
Matemaattisesta mallintamisesta (Fysikaalinen mallintaminen) 1. Matemaattisen mallin konstruointi dynaamiselle reaalimaailman järjestelmälle pääpaino fysikaalisella mallintamisella samat periaatteet pätevät
LisätiedotLASKENNALLISEN TIETEEN OHJELMATYÖ: Diffuusion Monte Carlo -simulointi yksiulotteisessa systeemissä
LASKENNALLISEN TIETEEN OHJELMATYÖ: Diffuusion Monte Carlo -simulointi yksiulotteisessa systeemissä. Diffuusio yksiulotteisessa epäjärjestäytyneessä hilassa E J ii, J ii, + 0 E b, i E i i i i+ x Kuva.:
LisätiedotElektroniikka, kierros 3
Elektroniikka, kierros 3 1. a) Johda kuvan 1 esittämän takaisinkytketyn systeemin suljetun silmukan vahvistuksen f lauseke. b) Osoita, että kun silmukkavahvistus β 1, niin suljetun silmukan vahvistus f
Lisätiedot3. kierros. 2. Lähipäivä
3. kierros. Lähipäivä Viikon aihe (viikko /) Takaisinkytketyt vahvistimet Takaisinkytkentä, suljettu säätöluuppi Nyquistin kriteeri, stabiilisuus Taajuusanalyysi, Boden ja Nyquistin diagrammit Systeemin
Lisätiedot1 Di erentiaaliyhtälöt
Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y
LisätiedotHarjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio,
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 06 Harjoitus 3 Kaikissa tehtävissä, joissa pitää tarkastella kriittisten pisteiden stabiliteettia, jos kyseessä on satulapiste, ilmoita myös satulauraratkaisun (tai kriittisessä
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 8 Vaimennettu värähtely Elävässä elämässä heilureiden ja muiden värähtelijöiden liike sammuu ennemmin tai myöhemmin. Vastusvoimien takia värähtelijän
LisätiedotOsatentti
Osatentti 2.8.205 Nimi: Opiskelijanumero: Ohjeet: Vastaa kysymyspaperiin ja kysymyksille varattuun tilaan. Laskin ei ole sallittu. Tenttikaavasto jaetaan. Kaavastoon EI merkintöjä. Palauta kaavasto tämän
LisätiedotLuento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt
Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa Matlab-esittelyä 1 / 20 Luennon sisältö Digress: vakio-
LisätiedotCHEM-A1110 Virtaukset ja reaktorit. Laskuharjoitus 9/2016. Energiataseet
CHEM-A1110 Virtaukset ja reaktorit Laskuharjoitus 9/2016 Lisätietoja s-postilla reetta.karinen@aalto.fi tai tiia.viinikainen@aalto.fi vastaanotto huoneessa D406 Energiataseet Tehtävä 1. Adiabaattisen virtausreaktorin
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 7. Derivointisääntöjä Yhdistetyn funktion, tulon ja osamäärän derivointi Suhteellinen muutosnopeus ja jousto
Talousmatematiikan perusteet: Luento 7 Derivointisääntöjä Yhdistetyn funktion, tulon ja osamäärän derivointi Suhteellinen muutosnopeus ja jousto Viime luennolla Funktion Derivaatta f (x) kuvaa funktion
Lisätiedot1 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 27 materiaali 4 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause. Johdanto Jo opiskeltu antaa nyt valmiu tutkia taloudellisia malleja Kiinnostava malli voi olla
LisätiedotHarjoitus 3 (3.4.2014)
Harjoitus 3 (3..) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i, j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman
LisätiedotVärähtelevä jousisysteemi
Mathematican version 8 mukainen. (5.10.01 SKK) Värähtelevä jousisysteemi Jousen puristumista ja venymistä voidaan kuvata varsin yksinkertaisella matemaattisella mallilla m d x k x, d t missä x on jousen
LisätiedotPatteriverkoston paine ja sen vaikutus
Patteriverkoston paine ja sen vaikutus Tämä materiaali on koottu antamaan lukijalleen valmiuksia arvioida mahdollisia ongelmia lämmitysjärjestelmässä. Esitys keskittyy paisuntajärjestelmän oleellisiin
Lisätiedot4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C =
BMA58 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 6, Syksy 5. Olkoon [ 6 6 A =, B = 4 [ 3 4, C = 4 3 [ 5 Määritä matriisien A ja C ominaisarvot ja ominaisvektorit. Näytä lisäksi että matriisilla B
LisätiedotJännite, virran voimakkuus ja teho
Jukka Kinkamo, OH2JIN oh2jin@oh3ac.fi +358 44 965 2689 Jännite, virran voimakkuus ja teho Jännite eli potentiaaliero mitataan impedanssin yli esiintyvän jännitehäviön avulla. Koska käytännön radioamatöörin
Lisätiedot5. Numeerisesta derivoinnista
Funktion derivaatta ilmaisee riippumattoman muuttujan muutosnopeuden riippuvan muuttujan suteen. Esimerkiksi paikan derivaatta ajan suteen (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on nopeus, joka ilmaistaan
LisätiedotSÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU
ENSO IKONEN PYOSYS 1 SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU Enso Ikonen professori säätö- ja systeemitekniikka http://cc.oulu.fi/~iko Oulun yliopisto Teknillinen tiedekunta Systeemitekniikan laboratorio Jan 2019
LisätiedotIntegrointialgoritmit molekyylidynamiikassa
Integrointialgoritmit molekyylidynamiikassa Markus Ovaska 28.11.2008 Esitelmän kulku MD-simulaatiot yleisesti Integrointialgoritmit: mitä integroidaan ja miten? Esimerkkejä eri algoritmeista Hyvän algoritmin
LisätiedotTilaesityksen hallinta ja tilasäätö. ELEC-C1230 Säätötekniikka. Luku 6: Tilasäätö, tilaestimointi, saavutettavuus ja tarkkailtavuus
Tilaesityksen hallinta ja tilasäätö ELEC-C1230 Säätötekniikka Luku 6: Tilasäätö, tilaestimointi, saavutettavuus ja tarkkailtavuus Edellisessä luvussa tarkasteltiin napoja ja nollia sekä niiden vaikutuksia
LisätiedotTilayhtälötekniikasta
Tilayhtälötekniikasta Tilayhtälöesityksessä it ä useamman kertaluvun differentiaaliyhtälö esitetään ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmänä. Jokainen ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
LisätiedotAki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI
Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI 26.4.2011 JOHDANTO Tässä monisteessa esitetään lineaarisen optimoinnin alkeet. Moniste sisältää tarvittavat Excel ohjeet. Viimeisin versio tästä monisteesta ja siihen
Lisätiedotv AB q(t) = q(t) v AB p(t) v B V B ṗ(t) = q(t) v AB Φ(t, τ) = e A(t τ). e A = I + A + A2 2! + A3 = exp(a D (t τ)) (I + A N (t τ)), A N = =
Mat-214 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti Mallivastaukset kierros 1 1 a) Sekoitussäiliöön A virtaa puhdasta vettä virtauksella v A säiliöstä A säiliöön B täysin sekoittunutta liuosta virtauksella v AB
LisätiedotEnergian talteenotto liikkuvassa raskaassa työkoneessa. 20.01.2010 Heinikainen Olli
Energian talteenotto liikkuvassa raskaassa työkoneessa 20.01.2010 Heinikainen Olli Esityksen sisältö Yleistä Olemassa olevat sovellukset Kineettisen energian palauttaminen Potentiaalienergian palauttaminen
LisätiedotBM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
LisätiedotTASAVIRTAPIIRI - VASTAUSLOMAKE
TASAVIRTAPIIRI - VASTAUSLOMAKE Ryhmä Tekijä 1 Pari Tekijä 2 Päiväys Assistentti Täytä mittauslomake lyijykynällä. Muista erityisesti virhearviot ja suureiden yksiköt! 4 Esitehtävät 1. Mitä tarkoitetaan
Lisätiedot17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.
99 17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Differentiaaliyhtälön x'(t) = f(x(t),t), x(t) n määrittelemän systeemin sanotaan olevan autonominen, jos oikea puoli ei eksplisiittisesti riipu
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
Lisätiedot1 Rajoittamaton optimointi
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan
LisätiedotVoimalaitos prosessit. Kaukolämpölaitokset 1, Tuomo Pimiä
Voimalaitos prosessit Kaukolämpölaitokset 1, 2015. Tuomo Pimiä Sisältö Kaukolämpölaitokset Johdanto Tuntivaihtelu käyrä Peruskuormalaitos Huippukuormalaitos Laitoskoon optimointi Pysyvyyskäyrä Kokonaiskustannus
Lisätiedot12. Differentiaaliyhtälöt
1. Differentiaaliyhtälöt 1.1 Johdanto Differentiaaliyhtälöitä voidaan käyttää monilla alueilla esimerkiksi tarkasteltaessa jonkin kohteen lämpötilan vaihtelua, eksponentiaalista kasvua, sähkölatauksen
LisätiedotMASSASÄILIÖN SIMULOINTI JA SÄÄTÖ Simulation and control of pulp tank
MASSASÄILIÖN SIMULOINTI JA SÄÄTÖ Simulation and control of pulp tank Sonja Lindman Kandidaatintyö 10.4.2014 LUT Energia Sähkötekniikan koulutusohjelma TIIVISTELMÄ Lappeenrannan teknillinen yliopisto Teknillinen
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, kevät 01 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi. harjoitus, viikko 1 R1 ke 1 16 D11 (..) R to 10 1 D11 (..) 1. Määritä funktion y(x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun y(0) = ja y (x) = (x
LisätiedotVOIMALAITOSTEKNIIKKA MAMK YAMK Tuomo Pimiä
VOIMALAITOSTEKNIIKKA 2016 MAMK YAMK Tuomo Pimiä Voimalaitoksen säätötehtävät Voimalaitoksen säätötehtävät voidaan jakaa kolmeen toiminnalliseen : Stabilointitaso: paikalliset toimilaiteet ja säätimet Koordinointitaso:
LisätiedotSiirtokapasiteetin määrittäminen
1 (5) Siirtokapasiteetin määrittäminen 1 Suomen sähköjärjestelmän siirtokapasiteetit Fingrid antaa sähkömarkkinoiden käyttöön kaiken sen siirtokapasiteetin, joka on mahdollinen sähköjärjestelmän käyttövarmuuden
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
LisätiedotPerusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1
Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1 Kalle Hyvönen Työ tehty 1. joulukuuta 008, Palautettu 30. tammikuuta 009 1 Assistentti: Mika Torkkeli Tiivistelmä Laboratoriossa tehdyssä ensimmäisessä kokeessa
LisätiedotLuottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.
5.10.2017/1 MTTTP1, luento 5.10.2017 KERTAUSTA Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla todennäköisyydellä,
LisätiedotLuottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.
6.10.2016/1 MTTTP1, luento 6.10.2016 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA Timo Mäkelä Tässä tekstissä esitellään yhden muuttujan reaaliarvoisten funktioiden differentiaalilaskentaa sekä sarjoja. Raja-arvot Raja-arvoja voidaan laskea käyttämällä
LisätiedotVOIMALAITOSTEKNIIKKA 2016. MAMK YAMK Tuomo Pimiä
VOIMALAITOSTEKNIIKKA 2016 MAMK YAMK Tuomo Pimiä Pääsäätöpiirit Luonnonkierto- ja pakkokiertokattilan säädöt eivät juurikaan poikkea toistaan prosessin samankaltaisuuden vuoksi. Pääsäätöpiireihin kuuluvaksi
LisätiedotKon Simuloinnin Rakentaminen Janne Ojala
Kon 16.4011 Simuloinnin Rakentaminen Janne Ojala Simulointi käytännössä 1/3 Simulaatiomalleja helppo analysoida Ymmärretään ongelmaa paremmin - Opitaan ymmärtämään koneen toimintaa ja siihen vaikuttavia
LisätiedotMat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 1
Mat-214 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 1 1 a) Sekoitussäiliöön A virtaa puhdasta vettä virtauksella v A, säiliöstä A säiliöön B täysin sekoittunutta liuosta virtauksella v AB ja säiliöstä
LisätiedotMat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ
Mat-48 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ L ẋ = x ẋ = g L sin x rx Epälineaarisen systeemin tasapainotiloja voidaan
LisätiedotSÄHKÖSTATIIKKA JA MAGNETISMI. NTIETS12 Tasasähköpiirit Jussi Hurri syksy 2013
SÄHKÖSTATIIKKA JA MAGNETISMI NTIETS12 Tasasähköpiirit Jussi Hurri syksy 2013 1. RESISTANSSI Resistanssi kuvaa komponentin tms. kykyä vastustaa sähkövirran kulkua Johtimen tai komponentin jännite on verrannollinen
LisätiedotHarjoitus 3 (31.3.2015)
Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu
LisätiedotDynaamiset regressiomallit
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Tilastolliset aikasarjat voidaan jakaa kahteen
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotIdentifiointiprosessi
Alustavia kokeita Identifiointiprosessi Koesuunnittelu, identifiointikoe Mittaustulosten / datan esikäsittely Ei-parametriset menetelmät: - Transientti-, korrelaatio-, taajuus-, Fourier- ja spektraalianalyysi
LisätiedotTeddy 7. harjoituksen malliratkaisu syksy 2011
Teddy 7. harjoituksen malliratkaisu syksy 2011 1. Systeemin käyttäytymistä faasirajalla kuvaa Clapeyronin yhtälönä tunnettu keskeinen relaatio dt = S m. (1 V m Koska faasitasapainossa reaktion Gibbsin
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
LisätiedotTehtävä 1. Vaihtoehtotehtävät.
Kem-9.47 Prosessiautomaation perusteet Tentti.4. Tehtävä. Vaihtoehtotehtävät. Oikea vastaus +,5p, väärä vastaus -,5p ja ei vastausta p Maksimi +5,p ja minimi p TÄMÄ PAPERI TÄYTYY EHDOTTOMASTI PALAUTTAA
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
Lisätiedot. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa
LisätiedotPID-sa a timen viritta minen Matlabilla ja simulinkilla
PID-sa a timen viritta minen Matlabilla ja simulinkilla Kriittisen värähtelyn menetelmä Tehtiin kuvan 1 mukainen tasavirtamoottorin piiri PID-säätimellä. Virittämistä varten PID-säätimen ja asetettiin
LisätiedotHarjoitus 7: Dynaamisten systeemien säätö (Simulink)
Harjoitus 7: Dynaamisten systeemien säätö (Simulink) MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Dynaamisten (=ajassakehittyvien)
LisätiedotIdentifiointiprosessi
Identifiointiprosessi Koesuunnittelu Identifiointikoe Datan esikäsittely Mallirakenteen valinta Parametrien estimointi Diagnostiset testit Mallin validointi Mallin käyttö & ylläpito Identifiointi- ja simulointiohjelmistoja
LisätiedotLuku 8 EXERGIA: TYÖPOTENTIAALIN MITTA
Thermodynamics: An Engineering Approach, 7 th Edition Yunus A. Cengel, Michael A. Boles McGraw-Hill, 2011 Luku 8 EXERGIA: TYÖPOTENTIAALIN MITTA Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required
LisätiedotHarjoitus 4: Differentiaaliyhtälöt (Matlab) MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1
Harjoitus 4: Differentiaaliyhtälöt (Matlab) MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Matlab:n solver komento differentiaaliyhtöiden
LisätiedotOikosulkumoottorikäyttö
Oikosulkumoottorikäyttö 1 DEE-33040 Sähkömoottorikäyttöjen laboratoriotyöt TTY Oikosulkumoottorikäyttö T. Kantell & S. Pettersson 2 Laboratoriomittauksia suorassa verkkokäytössä 2.1 Käynnistysvirtojen
LisätiedotSaSun VK1-tenttikysymyksiä 2019 Enso Ikonen, Älykkäät koneet ja järjestelmät (IMS),
SaSun VK1-tenttikysymyksiä 2019 Enso Ikonen, Älykkäät koneet ja järjestelmät (IMS), 5.2.2019 Tentin arvosteluperusteita: o Kurssin alku on osin kertausta SäAn ja prosessidynamiikkakursseista, jotka oletetaan
LisätiedotEi välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:
Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti
Lisätiedot(a) Järjestellään yhtälöitä siten, että vasemmalle puolelle jää vain y i ja oikealle puolelle muut
BM0A5830 Differentiaalihtälöiden peruskurssi Harjoitus 7, Kevät 07 Päivitksiä: Tehtävän b tehtävänantoa korjattu, tehtävän 5 vastaus korjattu. b tehtävänantoa sujuvoitettu. Vastauksia lisätt.. Monasti
LisätiedotOmavoimaiset säätimet on suunniteltu integroitaviksi suoraan lämmönsiirtimeen. Niiden avulla lämmönsiirrin säätää käyttöveden lämmitystä.
Tekninen esite Lämmönsiirtimen omavoimaiset säätimet (PN16) PM2+P Suhteellinen virtaussäädin, jossa sisäänrakennettu p -säädin (NS) PTC2+P Virtauksen mukaan toimiva lämpötilansäädin, jossa sisäänrakennettu
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
Lisätiedotei jakoventtiileinä. Laipallista venttiiliä M3P...FY on saatavana kahta eri kokoa: laipallinen venttiili DN100
Magneettitoimimoottorilla varustetut moduloivat säätöventtiilit PN kylmä- ja lämminvesilaitoksia varten; varustettu asennon säädöllä ja asennon takaisinkytkennällä MP80FY MP00FY Magneettisella toimimoottorilla
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain
LisätiedotTaajuustason tekniikat: Boden ja Nyquistin diagrammit, kompensaattorien suunnittelu. Vinkit 1 a
ELEC-C3 Säätötekniikka 9. laskuharjoitus Taajuustason tekniikat: Boden ja Nyquistin diagrammit, kompensaattorien suunnittelu Vinkit a 3. Vaiheenjättökompensaattorin siirtofunktio: ( ) s W LAG s, a. s Vahvistus
LisätiedotSÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU
ENSO IKONEN PYOSYS 1 SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU Enso Ikonen professori säätö- ja systeemitekniikka http://cc.oulu.fi/~iko Oulun yliopisto Älykkäät koneet ja järjestelmät / Systeemitekniikka Jan 2019
LisätiedotJakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina
Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina 31.5.2012. T 6.1 (pakollinen): Massa on kiinnitetty pystysuoran jouseen. Massaa poikkeutetaan niin, että se alkaa värähdellä.
Lisätiedot4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino (Mankiw & Taylor, 2 nd ed., chs 4-5)
4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino (Mankiw & Taylor, 2 nd ed., chs 4-5) Opimme tässä ja seuraavissa luennoissa että markkinat ovat hyvä tapa koordinoida taloudellista toimintaa (mikä on yksi taloustieteen
LisätiedotHarjoitustyö 3. Heiluri-vaunusysteemin parametrien estimointi
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.4129 Systeemien identifiointi Harjoitustyö 3 Heiluri-vaunusysteemin parametrien estimointi Yleistä Systeemianalyysin laboratoriossa
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
Lisätiedot100-500 40-60 tai 240-260 400-600 tai 2 000-2 200 X
Yleistä tilauksesta Yleistä tilauksesta Tilaa voimanotot ja niiden sähköiset esivalmiudet tehtaalta. Jälkiasennus on erittäin kallista. Suositellut vaatimukset Voimanottoa käytetään ja kuormitetaan eri
Lisätiedot