ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)

Transkriptio

1 Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Syksy 2015

2 Luento 1: Avausluento Kurssin suorituksesta Matematiikan kertaus Johdantoa Suoraviivainen liike

3 Luennon sisältö Kurssin suorituksesta Matematiikan kertaus Johdantoa Suoraviivainen liike

4 Päivän ohjelma Luento 1 Johdantoa Suoraviivainen liike Kurssin tavoitteet ja työtavat Kiihtyvyys Matematiikan kertaus Vauhti Vektorit Sijainti Derivointi ja integrointi Trigonometria Tutustuminen Käytännön järjestelyt Motivaation merkitys

5 Yleistä kurssista Kurssi Korkeakoulun fysiikan perusopintojen ensimmäinen osa Ilmoittautuminen Ilmoittautuminen kurssille WebOodin kautta Kohdeyleisö Sähkötekniikan kandidaattiohjelman opiskelijat (hakukohteet Elektroniikka ja sähkötekniikka; Automaatio- ja informaatioteknologia; ja Bioinformaatioteknologia). Myös muiden ohjelmien opiskelijat tervetulleita.

6 Kurssin tavoitteet Tavoitteista tarkemmin MyCourses-sivuilla Matemaattinen ajattelutapa ja täsmällisyys Fysikaaliset periaatteet Tutustuminen matemaattiseen ohjelmistoon nimeltä Matlab Opiskelutapojen ja -käytäntöjen sovittaminen yliopistoympäristöön

7 Aikataulu Luennot Syksyn ajan maanantaisin ja keskiviikkoisin salissa B ja C Harjoitukset Useita ryhmiä, ti, to ja pe välillä. Tentti Kurssilla ei ole lopputenttiä! Välikokeet ke klo salissa A/Otakaari 1 ke klo salissa A/Otakaari 1 ke klo salissa A/Otakaari 1 ke klo välikoeuusinta salissa C osallistumisoikeus rajoitettu!

8 Materiaali Oppimateriaali Oppikirja, luentokalvot ja luennot Oppikirja Young & Freedman: University Physics: with modern physics, 13. painos, Addison-Wesley (2011) luvut Vaihtoehtoinen kirja on Wolfson, R.: Essential University Physics, 2. painos. Luvut E-kirja Upadhyaya: University Physics. Linkki kurssin MyCourses-sivuilta. Luentokalvot Saatavilla kurssin MyCourses-sivuilta. Itseopiskelu Mahdollista yhdistelmällä kirja+luentokalvot. Luentokalvot tarkoituksella suppeahkot eivätkä ole tarkoitettu itseopiskeluun yksistään Oma aktiivisuus Luentokalvoja kannattaa täydentää itse omilla muistiinpanoilla ja niitä on syytä lukea ajatuksella Liitutaulu Liitutaululla esitetään materiaalia ja esimerkkejä tarpeen mukaan. Eivät ilmesty luentokalvoihin.

9 Suoritusvaatimukset Osa-alueet ja painoarvot arvosanaan Tehtävä Määrä Painoarvo Esitehtävät (ET) 30 tehtävää 10 % Laskuharjoitukset (LH) 40 tehtävää 25 % Välikokeet (VK) 3 kpl 50 % Matlab-harjoitustyö (M) 1-2 kpl 10 % Loppupalaute 5 % Arvosteluasteikko Hyväksyttyä arvosanaa varten tarvitaan molemmat: 1. Vähintään 25 % välikoepisteistä sekä 1 hyväksytysti tehty Matlab-työ 2. Sekä vähintään 40 % painotetuista loppupisteistä

10 Luennot Luentomateriaaliin tutustuttava omatoimisesti etukäteen Omatoimisen opiskelun tueksi viikottaiset esitehtävät Eivät ole materiaalin ääneen lukua Materiaalista käydään valikoituja osia kaikki luentokalvojen materiaali on välikoealuetta vaikka sitä ei olisikaan käsitelty luennoilla Osana opetusta on kesken luentoa pidetyt kyselyt ja vieruskaverikeskustelut, vertaisopetus Luentojen tarkoitus on kehittää fysiikan käsitteiden hallintaa, laskuharjoituksissa harjoitellaan matemaattisia taitoja Tarkoitus on että pysyt mukana opetuksessa koko luennon ajan

11 Esitehtävät Monivalintatehtäviä, 2 tehtävää / luento, 10 viikon ajan Kysymykset perustuvat alkavan viikon materiaaliin Tavoitteena että lukemisen lisäksi myös pohdit lukemaasi materiaalia Painoarvo lopulliseen arvosanaan 10 % Tehtävät ovat helppoja (vastaukset löytyvät materiaalista), mutta vastaukset eivät välttämättä ilmeisiä Saa tehdä yksin tai kaverin kanssa

12 Harjoitustehtävät Perustuvat saman viikon luentoihin, osassa tehtävistä myös elementtejä menneiden viikkojen luennoista Painoarvo lopulliseen arvosanaan 25 % PDF-muodossa kurssin MyCourses-sivulta Tehtäviä lasketaan laskuharjoitusryhmissä assistentin johdolla tai etukäteen itsenäisesti Tehtäviä kannattaa laskea useamman hengen ryhmässä Laskuharjoituspisteet = laskettujen tehtävien lukumäärä Laskuharjoituksissa tarvitaan: kirjoitusvälineet, kurssin oppimateriaali, kirjoituspaperia ja laskin

13 Välikokeet 3 kpl, painoarvo lopulliseen arvosanaan 50 % Välikokeilla keskenään eri painoarvo VK1: 25%, VK2: 35% ja VK3: 40% välikoepisteistä Tavoitteena mitata opiskelijan osaamisen taso Yksilösuoritus 3 tehtävää, termien selitys, sanallinen tehtävä ja lasku Kysymysten mukana saa muistin tueksi kokoelman kurssilla esitettyjä kaavoja ilman selityksiä. Kaavakokoelma ei korvaa kaavojen merkityksen opettelemista Mukaan henkilöllisyystodistus, kirjoitusvälineet ja funktiolaskin. Graafinen laskin tai lausekkeiden symboliseen manipulointiin kykenevä laskin kielletty.

14 Matlab-harjoitustyöt Vähintään yhden työn tekeminen pakollista, 2 työtä tarjolla (2.työ bonustyö) Painoarvo kurssin lopulliseen arvosanaan 10 % Tehdään 2-3 hengen ryhmissä Ryhmien rekisteröinti MyCoursesissa luentoviikoilla 1-4 Harjoitustyön 1 deadline su klo Harjoitustyön 2 deadline su klo 23.55

15 Matlab-harjoitustyö Harjoitustyössä tutustutaan ryhmän kanssa omatoimisesti kaupalliseen ohjelmistoon nimeltä Matlab Jos yhteisten tapaamisten sopiminen vaikeaa, käyttäkää esim. Skypeä Aallolla on Matlabiin kampus- ja opiskelijalisenssi Harjoitustyötä voi tehdä myös Maarintalolla Asennettu lähes jokaiseen tietokoneluokkaan Ratkaistaan annettu probleema ja palautetaan MyCourse:n kautta Mukaan 1-2 sivun mittainen työselostus, jossa mukana Matlabilla piirretyt kuvaajat (tehtävänannossa tarkemmat ohjeet) Tehtävässä pyydetyt lähdekoodit

16 Matlab-harjoitustyö Harjoitustyön arviointikriteerit: koodin toimivuus ja sekä ongelmanratkaisun oikeellisuus, raportin päätelmät, kuvaajat ja sen jäsentely & oikeinkirjoitus Kurssilla EI opeteta Matlabin käyttöä, vaan se tehdään omatoimisesti Internetistä löytyy hyvin paljon aihetta käsittelevää kirjallisuutta Enemmän Matlabin käyttöä tulee keväällä 5. periodissa kurssilla Matemaattiset ohjelmistot Tällä kurssilla Matlabin käytön tavoitteena on tutustua fysikaalisten ongelmien ratkaisemiseen tietokoneella, ei opetella Matlab-guruksi Muutama luentoaika varattu harkkatyöohjaukselle vapaa tilaisuus jonne voi tulla läppärin kanssa ihmettelemään koodiansa

17 Kurssin mitoitus 5 opintopistettä vastaa laskennallisesti 134 työtuntia Kontaktiopetukseen varattu 62 tuntia (minimi): Luennot: 36 h Laskuharjoitukset: 20 h Välikokeet: 6 h Omatoimiseen työskentelyyn varattu 72 tuntia (esimerkkijaottelu) Harjoitustyöt: 10 h Esitehtävät: 20 h Oppimateriaaliin tutustuminen ja kertaus: 42 h

18 Kurssin henkilökunta Luennoitsija Yliopistonlehtori TkT Sami Kujala, Mikro- ja nanotekniikan laitos, Tietotie 3, huone 4162, p , Vastaanotto luentojen yhteydessä, muina aikoina sopimuksen mukaan. Assistentit Toni Pasanen Jaakko Honkala Jan Loikkanen Amin Modabberian Jere Kaiku Jan Härkönen Tomi Penttilä

19 Apukanavat Kurssilla paljon uusia matemaattisia konsepteja, jotka tulevat vastaan fysiikan kursseilla ennen matematiikan kursseja ÄLÄ MUREHDI Kannattaa kysellä kavereilta ja assareilta Facebook: "S-Fysiikka (Aalto-yliopisto)" -ryhmä Internet (muista lähdekritiikki!)

20 Esitietovaatimukset Kurssilla oletetaan osattavaksi lukion matematiikan pitkä oppimäärä (kurssit 1-5 ja 7-10) sekä lukion fysiikka (kurssit 1 ja 3-5), tai vastaavat tiedot ja taidot Mikäli koet että taidoissasi on puutteita, matematiikan laitos kerännyt lukiomatematiikan kertaamiseen tarkoitetun paketin Tämän lisäksi lukion fysiikan kirjat toimivat hyvänä kertausmateriaalina

21 Motivaatio opiskeluun Kursseilla paljon asiaa ja tekemistä, päällekkäisiä deadlineja Yliopistossa opiskelun ajankäyttöön kiinnitettävä huomiota kiire stressi Edellyttää tavoitteellisuutta, kurinalaisuutta ja järjestelmällisyyttä haahuilulle ei liiemmälti varaa Motivaatio sisäsyntyistä! sitä joko on tai ei ole Omat tavoitteet auttavat jäsentämään tavoitteen saavuttamiseen tarvittavaa matkaa Lyhyen ja pitkän aikavälin tavoitteet Tavoitteen asettaminen auttaa myös ylläpitämään motivaatiota Oman suorituksen peilaaminen tavoitteisiin antaa itselle palautetta omasta suoriutumisesta

22 Ajankäyttö Viikossa kontaktitunnit + 5 h omatoimista työskentelyä / vk Luennot vapaaehtoisia oman opiskelemisen merkitys ja säännöllisyys korostuvat Opiskelun ulottuvuudet Paikka Aika Tapa Kirjasto Kiltahuone Kahvila Koti Aamupäivä Iltapäivä Alkuviikko Loppuviikko Yksin Kaverin kanssa Ryhmässä

23 Luennon sisältö Kurssin suorituksesta Matematiikan kertaus Johdantoa Suoraviivainen liike

24 Mikä on vektori? Vähintään n alkion järjestetty joukko Alkioiden lukumäärä n kertoo vektorin ulottuvuuden (fysiikassa tyypillisesti 2 tai 3) Käytetään fysiikassa kuvaamaan suureita, joihin liittyy suuruuden lisäksi suunta = vektorisuure (kiihtyvyys, voima, pyöriminen) Skalaarisuure = suure, jota voi kuvata käyttäen yhtä lukua (lämpötila, massa, energia) Kappaleen liikkuessa kolmiulotteisessa avaruudessa, täytyy sen liikettä kuvata vektorisuureilla Merkitään tyypillisesti A, A tai (tällä kurssilla) A

25 Vektorin ominaisuuksia Vektorin pituus eli itseisarvo A > 0 Kerrotaan vektori A skalaarilla λ A:n kanssa yhdensuuntainen vektori B = λ A B samansuuntainen (λ > 0) tai vastakkaissuuntainen (λ < 0) Kahden vektorin summa eli resultantti C = A + B saadaan piirtämällä vektori B alkamaan vektorin A kärjestä

26 Vektorien laskuoperaatiot Vektorisumma kommutatiivinen: A + B = B + A Vektorisumma myös assosiatiivinen: A + ( B + C ) = ( A + B ) + C Vektorien vähennyslasku määritellään summman ja vastavektorin avulla A B = A + ( B ).

27 Summavektorin pituus Vektorien A ja B summavektorin pituus saadaan vektorien välisten kulmien avulla Kosinilause C = C = A 2 + B 2 + 2AB cos ϕ Sinilause A sin α = B sin β = C sin γ β A C γ α ϕ B

28 Vektorin komponenttiesitys Vektorin komponenttiesitys y A = Ax + Ay, A missä A y A x = Ax = A cos θ ja θ x A y = Ay = A sin θ A x Vektorin pituus ja suuntakulma saadaan yhtälöistä A 2 = A 2 x + A 2 y ja θ = arctan A y A x.

29 Suuntakulman määrittäminen Tangentti-funktion periodi on π (180 ) Varmistettava, että tarkastellaan oikeaa yksikköympyrän neljännestä Jos ollaan toisessa tai kolmannessa neljänneksessä, täytyy saatuun kulmaan lisätä π θ = arctan A y A x y 2 1 A x θ Ay A 3 4 x

30 Suuntakulman määrittäminen Tangentti-funktion periodi on π (180 ) Varmistettava, että tarkastellaan oikeaa yksikköympyrän neljännestä Jos ollaan toisessa tai kolmannessa neljänneksessä, täytyy saatuun kulmaan lisätä π θ = arctan A y A x + π y 2 1 A x θ Ay A 3 4 x

31 Vektorien yhteenlasku komponenttimuodossa y C y B B y A C A y A x Bx x Kaksi vektoria lasketaan yhteen komponenttimuodossa summaamalla toisiaan vastaavat komponentit C x C x = A x + B x ja C y = A y + B y

32 Yksikkövektorit Vektori, jonka pituus 1 xyz-koordinaatiston yksikkövektorit (î, ĵ ja ˆk) Vaihtoehtoisesti (ˆx, ŷ ja ẑ) tai (ê x, ê y ja ê z ) Käytetään mielivaltaisen vektorin A esittämiseen A = A x î + A y ĵ + A z ˆk Yleisesti vektorin B suuntainen yksikkövektori voidaan määritellä z B ê B = ˆk B ê B B î x ĵ y

33 Skalaari- eli pistetulo Kahden vektorin A ja B välinen skalaari- eli pistetulo B ϕ B A = B cos ϕ A A B = A B cos ϕ, missä vektorien välissä kulma ϕ Merkitään B:n projektiota A:lla BA :lla Toisaalta B A = B cos ϕ, jolloin pistetulo voidaan esittää A B = A BA = B AB

34 Vektorin projektio ja pistetulon laskeminen Projektio B:stä A:lle, BA, on pistetulon avulla (ê A on A:n suuntainen yksikkövektori) B A = B A ê A, ja B A = B A A = BA ê A xyz-koordinaatisto on suorakulmainen, joten î î = ĵ ĵ = ˆk ˆk = 1 ja î ĵ =... = 0, jolloin pistetulo komponenttimuodossa on ) ( ) A B = (A x î + A y ĵ + A z ˆk B x î + B y ĵ + B z ˆk = A x B x + A y B y + A z B z = A n B n n={x,y,z}

35 Esimerkki Tehtävä Olkoon E = 3ĵ + 4ˆk, F = 4î ĵ + 5ˆk ja G = aî 6ĵ + 2ˆk. Laske 1. E F 2. F E (E:n projektion F :lle pituus) 3. Millä a:n arvolla F ja G ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan? Ratkaisu 1. E F = ( 1) = E = = 5, E F = E FE = F E = E F E = F G = 4a = 0 = a = 4

36 Vektori- eli ristitulo Esiintyy mm. puhuttaessa pyörimisliikkeestä (vääntö, pyörimisakseli), sähkömagnetiikassa Kahden vektorin ristitulon itseisarvo A B = A B sin ϕ A B Ristitulovektorin suunta tulon tekijöitä vastaan: A B A A B B A B:n suunta oikean käden säännöstä Yhdensuuntaiset tulontekijät (ϕ = 0 tai 180 ) A B = 0 ϕ A B B A = A B

37 Komponenttiesitys Tulo on antikommutatiivinen eli A B = B A Yksikkövektoreiden väliset ristitulot ovat î î = ĵ ĵ = ˆk ˆk = 0 ja î ĵ = ˆk jne Ristitulo voidaan esittää determinanttina î ĵ ˆk A B = A x A y A z B x B y B z = î(a y B z A z B y ) ĵ(a x B z A z B x ) + ˆk(Ax B y A y B x )

38 Derivointi ja integrointi Derivaatta kuvaa funktion paikallista muutosnopeutta Geometrisesti se on funktion kuvaajan tangentti eli kulmakerroin Derivointi = lausekkeen derivaatan määrittäminen Merkintätapoja funktion f (t) derivaatalle f df, D[f ], ḟ ja dx Käytetään jatkossa merkintää df /dx (ns. Leibnizin notaatio) Integroinnilla tarkoitetaan tällä kurssilla derivointioperaation vastaoperaatiota, lausekkeen integraalin määrittämistä (Riemannin integraali) Geometrisesti integrointi on funktion f (x) kuvaajan ja x-akselin jäliin jäävän pinta-alan määrittämistä

39 Fysiikka & integrointi/derivointi WTF?! Fysiikassa monet käsitteet määritetty vain pisteille Todellinen maailma ei ole pistemäinen Pistemäisistä käsitteistä kootaan äärellinen summaamalla pisteiden vaikutukset integrointi Toisaalta monista käsitteistä tiedetään vain niiden muutosnopeuden riippuvuus esim. ajasta, eli derivaatta differentiaaliyhtälö

40 Vektoriarvoisen funktion derivointi Vektoriarvoinen ajasta riippuva funktio A(t) (esim. nopeusvektori) A(t) = A x î + A y ĵ + A z ˆk Aikaderivaatta komponenttimuodossa da(t) dt = da x dt î + da y dt ĵ + da z ˆk, dt (karteesisen koordinaatiston yksikkövektorit vakioita ajan suhteen eri tilanne pallo- ja sylinterikoordinaatistojen kanssa!)

41 Vektorifunktioiden tulon derivointi Noudattaa normaalia tulon derivaatan sääntöä d ] [λ(t) A(t) = dλ(t) A(t) + λ(t) d A(t) dt dt dt d [ ] A(t) B(t) = d A(t) B(t) + d B(t) A(t) dt dt dt d [ ] A(t) B(t) = d A(t) B(t) + d B(t) A(t) dt dt dt missä λ(t) on ajasta riippuva skalaarifunktio Erityisesti ristituloa derivoitaessa säilytettävä vektorien järjestys oikeana!

42 Esimerkki Tehtävä Olkoon E = 3ĵ + 4ˆk, F = 4î tĵ + 5ˆk ja G = 4tî + 2t ˆk. Laske a) Ê ˆF ja b) d dt ( G F). Ratkaisu 1. (15 + 4t)î + 16ĵ 12ˆk 2. 26

43 Trigonometriaa y Hypotenuusa r, kateetit a ja b Pythagoras: r 2 = a 2 + b 2 r α a b s x sin α = b/r, cos α = a/r, tan α = b/a Jos tan α = x, niin x sin α = x ja cos α = 1 x Yleensä positiiviset kulmat vastapäivään Kaarenpituus s = rα (α radiaaneina!)

44 Luennon sisältö Kurssin suorituksesta Matematiikan kertaus Johdantoa Suoraviivainen liike

45 Fysiikka tieteenä Todistamaton teoria on hypoteesi todistamaton teoria pitää osoittaa paikkansapitäväksi kokeellisesti Fysikaalisten ilmiöiden matemaattisista malleista voidaan ymmärtää ja ennustaa ilmiöiden käyttäytymistä Oleellista sekä hallita ilmiöiden teoreettinen tausta että pystyä ratkaisemaan käytännön ongelmia Miksi opiskella fysiikkaa? Fysiikka useimpien teknisten tieteiden perusta Fysiikassa käytettävät menetelmät antavat valmiuksia ymmärtää ja ratkaista insinööritieteiden ongelmia Ongelmanratkaisutaito ja analyyttinen ajattelu

46 Fysiikan matemaattiset mallit Yleensä yksinkertaistuksia Nykyiset teoriat eivät välttämättä lopullisia totuuksia, vaan uusien kokeellisten havaintojen myötä voi kehittyä uusia, tarkempia malleja Monet fysiikan periaatteet (esim. Newtonin mekaniikka) approksimaatioita, jotka pätevät vain tietyllä osa-alueella! Oleellista ymmärtää matemaattisen mallin rakenteen lisäksi mallin pätevyysalue, rajoitukset ja oletukset

47 Luennon sisältö Kurssin suorituksesta Matematiikan kertaus Johdantoa Suoraviivainen liike

48 Käsitteet Mekaniikka (mechanics) Voiman, voiman, aineen ja liikkeen väliset yhteydet Kinematiikka (kinematics) Liikkeen kuvaus Dynamiikka (dynamics) Liikkeen ja sen syiden väliset suhteet Suureet Siirtymä, nopeus ja kiihtyvyys Seuraavaksi Käsitellään suoraviivaisen liikkeen kinematiikkaa ilman vektorisuureita Määritellään suureet siirtymä, nopeus ja kiihtyvyys

49 Hiukkasen suoraviivainen liike Hiukkanen liikkuu pitkin suoraa t = t 1 : hiukkanen pisteessä P 1 (koordinaatti x 1 ); t = t 2 : pisteessä P 2, (koordinaatti x 2 ) Hiukkasen paikan muutos l. siirtymä (displacement) x = x 2 x 1 aikavälillä t = t 2 t 1 Siirtymää vastaa keskimääräinen nopeus (average velocity) aikavälillä t v ave = x 2 x 1 t 2 t 1 = x t x 2 x x v ave x 1 P 1 t 1 t P 2 x(t) t 2 t

50 Hetkellinen nopeus v ave riippuu alkupisteestä P 1 ja aikavälin t pituudesta Nopeus pisteessä P 1? Pienennetään t kohti nollaa v = lim t2 t 1 x 2 x 1 t 2 t 1 x = lim t 0 t = Erotusosamäärän raja-arvo eli derivaatta x(t + t) x(t) = lim t 0 t

51 Hetkellinen nopeus Hetkellinen nopeus (instantaneous velocity) v = dx dt xt-koordinaatistossa hetkellinen nopeus on liikekäyrän tangentin kulmakerroin Hetkellinen vauhti (speed) on hetkellisen nopeuden itseisarvo t 1 t x(t) P 1 dx v = dt x 1 x

52 Keskimääräinen kiihtyvyys Hiukkanen kiihtyvässä liikkeessä jos sen nopeus muuttuu ajan funktiona Pisteessä P 1 ajan hetkellä t = t 1 hiukkasella nopeus v 1 ja pisteessä P 2 (t = t 2 ) nopeus v 2 Hiukkasen keskimääräinen kiihtyvyys (average acceleration) aikavälillä t = t 2 t 1 a ave = v t = v 2 v 1 t 2 t 1 t 2 t t a ave t 1 P 1 v 1 v P 2 v(t) v 2 v

53 Hetkellinen kiihtyvyys Hetkellinen kiihtyvyys (instantaneous acceleration) saadaan keskimääräisen kiihtyvyyden raja-arvosta analogisesti nopeuden kanssa t v(t) v a = lim t 0 t = dv dt vt-koordinaatistossa hetkellinen kiihtyvyys liikekäyrän tangentin kulmakerroin t 1 P 1 dv a = dt v 1 v

54 Kiihtyvyys paikan funktiona Nopeus siirtymän aikaderivaatta, joten x a = dv dt = d dt ( dx ) = d 2 x dt dt 2 xt-koordinaatistossa liikekäyrän kaarevuus kertoo kiihtyvyyden suuruuden ja suunnan t Kulmakerroin nopeuden

55 Liike tasaisella kiihtyvyydellä Tasaisen kiihtyvyyden (uniform acceleration) liike yksinkertainen, mutta usein esiintyvä tapaus Ajan hetkellä t = 0 kiihtyvyys vakio a = a 0 0 ja nopeus v 0 Nopeus saadaan keskimääräisen kiihtyvyyden avulla a 0 = v v 0 t t 0 = v(t) = v 0 + a ave t. Vastaavasti paikalle (vakionopeus v 0, alkupaikka x 0 ja t 0 = 0) v 0 = x x 0 t t 0 = x(t) = x 0 + v 0 t.

56 Liike tasaisella kiihtyvyydellä: paikka ajan funktiona a a 0 Vakiokiihtyvyydestä seuraa v ave = v(t) + v(0) 2 = v 0 + a 0 t + v 0 2 v v ave = v a 0t. at v 0 t t t t

57 Liike tasaisella kiihtyvyydellä: paikka ajan funktiona Vakiokiihtyvyydestä seuraa v ave = Yhdistetään tulokset v(t) + v(0) 2 x = x 0 + v av t = x 0 + = v 0 + a 0 t + v 0 2 = v a 0t. ( v ) 2 a 0t t = x 0 + v 0 t a 0t 2

58 Liike tasaisella kiihtyvyys: vapaa pudotus Vapaasti putoava kappale Maan pinnan läheisyydessä putoamiskiihtyvyys vakio g Putoamiskiihtyvyyden lukuarvo riippuu hieman sijainnista maapallolla Suomessa g = 9.81 m s 2 Jos ilmanvastus voidaan jättää huomiotta, vapaasti putoavaan kappaleeseen pätevät tasaisesti kiihtyvän liikkeen yhtälöt Kuva (c) Barcroft Media