Tähän kirjoitelmaan on poimittu joitakin kurssiin Integraalilaskenta 2 liittyviä, kurssin luentomonistetta [2] täydentäviä asioita.

Transkriptio

1 Tähän kirjoitelmaan on poimittu joitakin kurssiin ntegraalilaskenta 2 liittyviä, kurssin luentomonistetta [2] täydentäviä asioita. 1. Differentiaalimuodon integraalista 1.1. Differentiaalien laskusääntöjä. Funktion f : R, R väli, derivaatta määritellään erotusosamäärän raja-arvona df(x) = lim x 0 f(x) x, missä x = (x + h) x = h ja f(x) = f(x + x) f(x). Klassisessa kirjallisuudessa funktion arvoa on ollut tapana merkitä muuttujalla y. Koska derivaatta on erotusosamäärän raja-arvo, kun vapaan muuttujan x muutos x lähestyy nollaa, on derivaattaa pidetty äärettömän pienten suureiden ja, infinitesimaalien osamääränä. Suureita ja on kutsuttu muuttujien x ja y differentiaaleiksi. 2 Varhaisina aikoina differentiaaleilla laskettiin varsin formaalisti niinkuin ne olisivat vain erotuksia x. Differentiaalien tulot, kuten esimerkiksi () 2, jätettiin laskuissa pois, koska ne ovat äärettömän paljon pienempiä kuin differentiaalit sellaisenaan. Esimerkiksi d(x 2 ) = (x + ) 2 x 2 = 2x + () 2 = 2x, josta saadaan d(x 2 )/ = 2x. Tämänkaltainen differentiaalien supistaminen/laventaminen toimii hyvin muistisääntönä yhden muuttujan funktioille. Esimerkiksi ketjusääntö funktioille f ja g sanoo: D(g f)(x) = Dg(f(x)) Df(x), t.s. kun z = g(y) ja y = f(x), on suureen z = g(y) = g(f(x)) derivaatta muuttujan x suhteen dz = dz. Funktion f käänteisfunktiolle f 1 on: kun y = f(x), on x = f 1 (y) ja (f 1 ) (y) = 1/f (x), josta differentiaaliosamäärille saadaan = 1/. Muuttujanvaihto y = f(x) integraalissa g(y) voidaan myös tehdä saman periaatteen mukaan: kun sijoitetaan y = f(x), on g(y) = g(f(x)) f (x). Toisaalta differentiaaleilla laskien saadaan = ja g(y) = g(y) = g(f(x)) f (x). Vastaavasti, kun määrättyssä integraalissa d c y = f(x), muuttuvat integroimisrajat muuttujan x arvoja vastaaviksi: d g(y) sijoitetaan g(y) = c b g(y), missä f(a) = c ja f(b) = d. Tästä näkyy myös syy siihen, miksi integraalissa g(y) integrointimuuttuja y merkitään nimenomaan differentiaalina. a Kirjan [6] ensimmäinen ja toinen luku johdattelee lukijaa yhden muuttujan funktioiden differentiaali- ja integraalilaskentaan lähestyen asiaa historian kautta. 1 Viimeksi muutettu Differentiaalimerkintä on peräisin Gottfried Wilhelm Leibnizilta 1684; ks. Struikin kirjasta [13, luku V, 1]. saac Newton käytti merkintää ẏ, Joseph Louis Lagrange y ja Augustin Louis Cauchy Dy. Koukero-d,, osittaisderivaatalle on peräisin Carl Gustav Jacob Jacobilta Muut kuin Newtonin käyttämät merkinnät ovat enemmäkseen säilyneet; vrt. Newtonin korkeamman kertaluvun derivaattoihin (tai fluksioihin, kuten Newton derivaattoja kutsui): ÿ, ÿ, ÿ,... ; ks. Newtonin Two treatises on the quadrature of curves and analysis by equations of an infinite number of terms, explained, 1745; latinankielinen käsikirjoitus Tractatus de quadratura curvarum on vuodelta ntegraalin merkki on myös Leibnizilta, venytetty S; integraali ajateltiin infinitesimaalien summaksi. Nimitys integraalilaskenta on Johann ja Jacob Bernoullilta. 1

2 1.2. Differentiaaleista täsmällisemmin. Differentioituvan reaaliarvoisen kuvauksen f : G R (G R n avoin) differentiaali df on sama kuin sen derivaatta, t.s. pisteessä a G df(a) on lineaarikuvaus R n R, jolle f(a + h) f(a) = df(a)h + h ε(h), missä ε(h) 0, kun h 0. Osittaisderivaattojen avulla df(a)h = n jf(a) h j. Jos f on lineaarinen, on f(a + h) f(a) = f(h), joten differentioituvuuskehitelmässä ε(h) 0 ja siis df(a) = f. Avaruuden R n = R n x koordinaattikuvauksille x j : R n x R on x j (a) = a j kaikille a = (a 1,..., a n ) R n. Koska koordinaattikuvaukset ovat lineaarisia, on j (a) = x j. Differentioituvuuskehitelmä saa nyt muodon 2 df(a)h = j f(a) h j = j f(a) j (a)h. Siis df(a) = n jf(a) j (a) ja df = j f(x) j. Tässä x = (x 1,..., x n ): R n R n on identtinen kuvaus (ja j f(x) tarkoittaa funktiota, jonka arvo pisteessä a on j f(a)). Koska a j (a) = x j, R n R, on vakiokuvaus, muuttuja x jätetään yleensä merkitsemättä. Toisinaan differentiaalia on käytännöllistä pitää pisteen a ja suunnan h funktiona, ja merkitä df(a; h) := df(a)h = j f(a) h j. Usean muuttujan funktioidenkin differentiaaleilla voidaan laskea varsin formaalisti, mutta myös perustellusti, kuten edellä meneteltiin yhden muuttujan funktioille. Seuraavassa on keskeisimmät säännöt, joiden todistaminen jätetään lukijan tehtäväksi. Tärkeätä on selvittää, mitä kaavoissa esiintyvät suureet tarkoittavat. Olkoot G R n x ja G R m y avoimia, f = (f 1,..., f m ): G R m ja g, h: G R differentioituva siten, että f(g) G. (Tässä R n x = R n, jossa koordinaattikuvauksia merkikään x j, vastaavasti avaruuden R n y koordinaattikuvaukset ovat y k.) Osoita, että a) jos m = 1, niin dg(y) = g (y) ; b) d(g h)(y) = h(y) dg(y) + g(y) dh(y); c) d(g(f 1,..., f m ))(x) = m k=1 kg(f 1 (x),..., f m (x)) df k (x), t.s. yhdistetyn funktion g f = g(f 1,..., f m ) differentiaali saadaan funktion g differentiaalista dg = m k=1 kg(y) k sijoittamalla y k = f k (x) ja k = df k (x). Malliksi kohdan a) perustelu: Yksiulotteisen euklidisen avaruuden R 1 y = R kantavektori on luku 1. Jokainen lineaarikuvaus L: R R on muotoa Lh = a h jollekin luvulle a R. Nimittäin, lineaarisuuden nojalla Lh = L(h 1) = h L1 kaikille h R. Vakio a := L1. Väitteen kumpikin puoli on lineaarikuvaus R R, joten lasketaan kummankin arvo vektoreille h R: (dg(y))(h) = y g(y) h = g (y) h (missä g (y) tarkoittaa tavanomaista erotusosamäärän avulla määrättyä derivaattaa). Toisaalta (g (y) )(h) = g (y) (h) = g (y) h, sillä : R R on identtinen kuvaus.

3 1.3. Differentiaalimuodon integraali. Olkoot G R n x avoin ja f jatkuva vektorikenttä joukossa G, t.s. f = (f 1,..., f n ) on jatkuva kuvaus G R n. Vektorikenttää f vastaa differentiaalimuoto, tarkemmin differentiaalinen 1-muoto ω = f 1 (x) f n (x) n. Differentiaalimuoto on samanlainen olio kuin funktion differentiaali, mutta tässä yleisemmässä tilanteessa komponenttien f k ei tarvitse olla reaaliarvoisen funktion osittaisderivaattoja. Differentiaalimuoto ω on siis funktio, joka riippuu kahdesta muuttujasta, pisteestä a G ja suunnasta h R n. Differentiaalimuodon ω arvolle ω(a)h = ω(a; h) on ω(a; h) = (f 1 (x) 1 )(a; h) + + (f n (x) n )(a; h) = f 1 (a) 1 (a; h) + + f n (a) n (a; h) = f 1 (a) h f n (a) h n. Kun : G on joukon G C 1 -polku ( R kompakti väli), on differentiaalimuodon ω integraaali polun suhteen ( ω := ω((t); (t)) dt = f1 ((t)) 1(t) + + f n ((t)) n(t) ) dt. Differentiaalimuodon integraaalin määrittelevä kaava on helpppo muistaa seuraavasti: differentiaalimuodossa ω = f 1 (x) f n (x) n jokaisen koordinaatin x j paikalle sijoitetaan x j ((t)) = j (t), jolloin differentiaalien j paikalle sijoitetaan d( j (t)) = j(t) dt. Nykyaikaisessa pintojen ja käyrien käsittelyssä tätä muuttujanvaihtoa kutsutaan pullback iksi, ja merkitään (ks. esim. [11, luku 8, 2.3]: (ω)(t) := ω((t); (t)) dt = ( f 1 ((t)) 1(t) + + f n ((t)) n(t) ) dt. Kyse ei ole muuttujanvaihdosta siinä mielessä, jossa nimitys esiintyy esimerkiksi usean muuttujan funktioiden integraalilaskennassa (vrt. [1, lause 8.9]), vaan ennemminkin yhden muuttujan funktioiden integraalilaskennan sijoitusmenetelmästä. Käyräintegraalin laskemisesta kannattaa huomata, että jos polku kulkee jonkin matkaa pitkin koordinaattiakselin x j suuntaista janaa, on tällä osalla j = 0. Esimerkiksi, jos tasossa on laskettavana η (f + g ), missä polku = ( 1, 2 ) on x-akselin suuntainen janapolku pisteestä (a, b) pisteeseen (c, b) ja η = (η 1, η 2 ) on y-akselin suuntainen janapolku pisteestä (c, b) pisteeseen (c, d), lasketaan näin (oletetaan, että c > a ja d < b): Polulla on = 0, koska 2 on vakiofunktio. Sopiva parametrisointi on (x) := (x, b), x [a, c]. Vastaavasti polulla η on = 0, koska η 1 on vakio. Sopiva parametrisointi polulle η saadaan sen vastapolun avulla: β(y) := (c, y), y [d, b], jolloin η = β. 3 Siis (f + g ) = (f + g ) (f + g ) η η = c a f(x, b) b d g(c, y). 3 Muista: Poluille : [a, b] R n ja η : [c, d] R n, joille (b) = η(c), määritellään : [a, b] R n (polun vastapolku) ja η : [a, b + d c] R n (polkujen ja η yhdistetty polku) asettamalla {(t), kun t [a, b], ja (t) := (b (t a)) ja ( η)(t) := η(c + t b), kun t [b, b + d c]. 3

4 Käyräintegraalilla on siis kaksi esitystapaa, vektorikentän käyräintegraali ja differentiaalimuodon käyräintegraali, ja kumpaakin tarvitaan. Vektorikentän avulla käyräintegraalista saadaan geometrisempi kuva, kun taas differentiaalimuodoilla saadaan laskennallisesti tehokkaampi ote käyräintegraalien määräämiseen Funktion käyräintegraali. Reaaliarvoisen funktion käyräintegraalin f ds tulkitseminen differentiaalien avulla vaatii hieman enemmän tulkintaa. Katsotaan aluksi klassista esitystapaa. Polun pisteestä (t) pisteeseen (t + t) osoittava vektori (t + t) (t) (t) t. Kun t on infinitesimaalisen pieni, t = dt, voidaan sekantti korvata tangentilla (ainakin likimain). Pisteitä (t) ja (t + dt) yhdistävän kaaren pituus on siis (t) dt = (t) dt, kun dt > 0. Klassisesti tätä pisteitä (t) ja (t + dt) yhdistävän infinitesimaalisen kaaren pituutta, kaarialkiota, on merkitty ds. Siis ds = (t) dt. Modernimmin samaan päästään seuraavasti: Polun : [a, b] R n kaarenpituusparametri s määritellään integraalina s(t) := t a (τ) dτ, t [a, b]. Tällöin ds(t) = s (t) dt = (t) dt. Jos vasemmalla puolella muuttuja t jätetään merkitsemättä, saadaan klassinen kaarialkio. Kun polun komponentit ovat j, on (t) = 1(t) n(t) 2. Koska differentiaalista j saadaan sijoituksella x = (t) differentiaali j(t) dt, on (t) dt = ( 1(t) dt) ( n(t) dt) 2, joten kaarialkio ds(t) = (t) dt saadaan sijoittamalla x = (t) differentiaalilausekkeeseen ds = n. Huomaa, että tämä ei ole differentiaalimuoto, koska differentiaalimuoto on differentiaalien j lineaarinen lauseke. (Siis differentiaalinen 1-muoto on; differentiaalinen k-muoto on differentiaalien j homogeeninen astetta k oleva polynomi.) Kaarialkion klassinen merkintä ds on siis varsin epäkorrekti: ds ei ole minkään funktion s: R n R differentiaali eikä se ole edes differentiaalimuoto. Kun f : G R on jatkuva ja () G, on funktion f integraaali polun suhteen f ds = f((t)) (t) dt. Tämänkin integraalin määritelmä voidaan tulkita differentiaalien avulla: differentiaalissa f ds = f(x) ds muuttujan x paikalle sijoitetaan (t) ja ds tulkitaan polun kaarialkioksi kuten edellä. Kirjallisuutta [1] Veikko T. Purmonen: ntegraalilaskentaa 1, Jyväskylän yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Luentomoniste 53, [2] Veikko T. Purmonen: ntegraalilaskentaa 2, Jyväskylän yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Luentomoniste 55, [3] Richard Courant ja Fritz John: ntroduction to calculus and analysis, Volume, uusintapainos vuoden 1989 laitoksesta, Classics in Mathematics, Springer, (Alkuperäiset saksankieliset versiot Vorlesungen über Differential- und ntegralrechnung & ovat ja luvuilta.) 4

5 [4] Richard Courant ja Fritz John: ntroduction to calculus and analysis, Volume /1 ja /2, uusintapainos vuoden 1989 laitoksesta, Classics in Mathematics, Springer, [5] Jean Dieudonné: nfinitesimal Calculus, Hermann, Paris 1971; alunperin Calcul infinitésimal, Hermann, Paris [6] Ernst Hairer ja Gerhard Wanner: Analysis by ts History, Undergraduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, kolmas korjattu painos, Springer, [7] Serge Lang: Undergraduate analysis, toinen laitos, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 1997 (korjattu neljäs painos 2005). Edelliset laitokset Analysis, Addison-Wesley, 1968; Undergraduate analysis, Springer, [8] Serge Lang: Complex analysis, neljäs laitos, Graduate Texts in Mathematics 103, Springer, Edelliset laitokset Addison-Wesley, 1977; toinen laitos, Springer, 1985; kolmas laitos, Springer, [9] Jacqueline Lelong-Ferrand ja Jean-Marie Arnaudiès: Cours de mathématiques 1 4. Dunod. 1. Algèbre, 3 e édition, 1978; 2. Analyse, 4 e édition, 1977; 3. Géométrie et cinématique, 2 e édition, Equations différentielles, intégrales multiples, fonctions holomorphes, 2 e édition, [10] James R. Munkres: Analysis on manifolds, Advanced Book Classics, Westview Press, [11] Theodore Shifrin: Multivariable mathematics. Linear algebra, multivariable calculus, and manifolds, John Wiley & Sons, [12] Michael Spivak: Calculus on manifolds. A modern approach to classical theorems of advanced calculus, Addison-Wesley, 1965; korjattu painos, [13] Dirk J. Struik (toim.): A Source Book in Mathematics, , Princeton University Press, [14] John A. Thorpe: Elementary topics in differential geometry, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag,