Tähän kirjoitelmaan on poimittu joitakin kurssiin Vektorifunktioiden analyysi 2B liittyviä, kurssin luentomonistetta [2] täydentäviä asioita.

Transkriptio

1 Tähän kirjoitelmaan on poimittu joitakin kurssiin Vektorifunktioiden analyysi 2B liittyviä, kurssin luentomonistetta [2] täydentäviä asioita. 1. Differentiaalimuodon integraalista 1.1. Differentiaalien laskusääntöjä. Funktion f : I R, I R väli, derivaatta määritellään erotusosamäärän raja-arvona df(x) dx = lim x f(x) x, missä x = (x + h) x = h ja f(x) = f(x + x) f(x). Klassisessa kirjallisuudessa funktion arvoa on ollut tapana merkitä muuttujalla y. Koska derivaatta on erotusosamäärän raja-arvo, kun vapaan muuttujan x muutos x lähestyy nollaa, on derivaattaa dy pidetty äärettömän pienten suureiden dy ja dx, infinitesimaalien dx osamääränä. Suureita dx ja dy on kutsuttu muuttujien x ja y differentiaaleiksi. 2 Varhaisina aikoina differentiaaleilla dx laskettiin varsin formaalisti niinkuin ne olisivat vain erotuksia x. Differentiaalien tulot, kuten esimerkiksi (dx) 2, jätettiin laskuissa pois, koska ne ovat äärettömän paljon pienempiä kuin differentiaalit sellaisenaan. Esimerkiksi d(x 2 ) = (x + dx) 2 x 2 = 2x dx + (dx) 2 = 2x dx, josta saadaan d(x 2 )/dx = 2x. Tämänkaltainen differentiaalien supistaminen/laventaminen toimii hyvin muistisääntönä yhden muuttujan funktioille. Esimerkiksi ketjusääntö funktioille f ja g sanoo: D(g f)(x) = Dg(f(x)) Df(x), t.s. kun z = g(y) ja y = f(x), on suureen z = g(y) = g(f(x)) derivaatta muuttujan x suhteen dz = dz. Funktion f käänteisfunktiolle f 1 on: kun y = f(x), on x = f 1 (y) ja (f 1 ) (y) = 1/f (x), dx dy josta differentiaaliosamäärille saadaan dx dy = 1/ dy dx. Muuttujanvaihto y = f(x) integraalissa g(y) dy voidaan myös tehdä saman periaatteen mukaan: kun sijoitetaan y = f(x), on g(y) dy = g(f(x)) f (x) dx. Toisaalta differentiaaleilla laskien saadaan dy = dy dx ja g(y) dy = g(y) dy dx = dx dx g(f(x)) f (x) dx. Vastaavasti, kun määrättyssä integraalissa d c y = f(x), muuttuvat integroimisrajat muuttujan x arvoja vastaaviksi: d g(y) dy sijoitetaan g(y) dy = c b dy g(y) dx, missä f(a) = c ja f(b) = d. Tästä näkyy myös syy siihen, miksi integraalissa g(y) dy integrointimuuttuja y merkitään nimenomaan differentiaalina dy. a dx Kirjan [7] ensimmäinen ja toinen luku johdattelee lukijaa yhden muuttujan funktioiden differentiaali- ja integraalilaskentaan lähestyen asiaa historian kautta. dy dx 1 Viimeksi muutettu Differentiaalimerkintä on peräisin Gottfried Wilhelm Leibnizilta 1684; ks. Struikin kirjasta [15, luku V, 1]. Isaac Newton käytti merkintää ẏ, Joseph Louis Lagrange y ja Augustin Louis Cauchy Dy. Koukero-d,, osittaisderivaatalle on peräisin Carl Gustav Jacob Jacobilta Muut kuin Newtonin käyttämät merkinnät ovat enemmäkseen säilyneet; vrt. Newtonin korkeamman kertaluvun derivaattoihin (tai fluksioihin, kuten Newton derivaattoja kutsui): ÿ, ÿ, ÿ,... ; ks. Newtonin Two treatises on the quadrature of curves and analysis by equations of an infinite number of terms, explained, 1745; latinankielinen käsikirjoitus Tractatus de quadratura curvarum on vuodelta Integraalin merkki on myös Leibnizilta, venytetty S; integraali ajateltiin infinitesimaalien ummaksi. Nimitys integraalilaskenta on Johann ja Jacob Bernoullilta. 1

2 1.2. Differentiaaleista täsmällisemmin. Differentioituvan reaaliarvoisen kuvauksen f : G R (G R n avoin) differentiaali df on sama kuin sen derivaatta, t.s. pisteessä a G df(a) on lineaarikuvaus R n R, jolle f(a + h) f(a) = df(a)h + h ε(h), missä ε(h), kun h. Osittaisderivaattojen avulla df(a)h = n j=1 jf(a) h j. Jos f on lineaarinen, on f(a + h) f(a) = f(h), joten differentioituvuuskehitelmässä ε(h) ja siis df(a) = f. Avaruuden R n = R n x koordinaattikuvauksille x j : R n x R on x j (a) = a j kaikille a = (a 1,..., a n ) R n. Koska koordinaattikuvaukset ovat lineaarisia, on dx j (a) = x j. Differentioituvuuskehitelmä saa nyt muodon 2 df(a)h = n j f(a) h j = j=1 n j f(a) dx j (a)h. j=1 Siis df(a) = n j=1 jf(a) dx j (a) ja df = n j f(x) dx j. j=1 Tässä x = (x 1,..., x n ): R n R n on identtinen kuvaus (ja j f(x) tarkoittaa funktiota, jonka arvo pisteessä a on j f(a)). Koska a dx j (a) = x j, R n R, on vakiokuvaus, muuttuja x jätetään yleensä merkitsemättä. Toisinaan differentiaalia on käytännöllistä pitää pisteen a ja suunnan h funktiona, ja merkitä df(a; h) := df(a)h = n j f(a) h j. j=1 Usean muuttujan funktioidenkin differentiaaleilla voidaan laskea varsin formaalisti, mutta myös perustellusti, kuten edellä meneteltiin yhden muuttujan funktioille. Seuraavassa on keskeisimmät säännöt, joiden todistaminen jätetään lukijan tehtäväksi. Tärkeätä on selvittää, mitä kaavoissa esiintyvät suureet tarkoittavat. Olkoot G R n x ja G R m y avoimia, f = (f 1,..., f m ): G R m ja g, h: G R differentioituva siten, että f(g) G. (Tässä R n x = R n, jossa koordinaattikuvauksia merkikään x j, vastaavasti avaruuden R n y koordinaattikuvaukset ovat y k.) Osoita, että a) jos m = 1, niin dg(y) = g (y) dy; b) d(g h)(y) = h(y) dg(y) + g(y) dh(y); c) d(g(f 1,..., f m ))(x) = m k=1 kg(f 1 (x),..., f m (x)) df k (x), t.s. yhdistetyn funktion g f = g(f 1,..., f m ) differentiaali saadaan funktion g differentiaalista dg = m k=1 kg(y) dy k sijoittamalla y k = f k (x) ja dy k = df k (x). Malliksi kohdan a) perustelu: Yksiulotteisen euklidisen avaruuden R 1 y = R kantavektori on luku 1. Jokainen lineaarikuvaus L: R R on muotoa Lh = a h jollekin luvulle a R. Nimittäin, lineaarisuuden nojalla Lh = L(h 1) = h L1 kaikille h R. Vakio a := L1. Väitteen kumpikin puoli on lineaarikuvaus R R, joten lasketaan kummankin arvo vektoreille h R: (dg(y))(h) = y g(y) h = g (y) h (missä g (y) tarkoittaa tavanomaista erotusosamäärän avulla määrättyä derivaattaa). Toisaalta (g (y) dy)(h) = g (y) dy(h) = g (y) h, sillä dy : R R on identtinen kuvaus.

3 1.3. Differentiaalimuodon integraali. Olkoot G R n x avoin ja f jatkuva vektorikenttä joukossa G, t.s. f = (f 1,..., f n ) on jatkuva kuvaus G R n. Vektorikenttää f vastaa differentiaalimuoto, tarkemmin differentiaalinen 1-muoto ω = f 1 (x) dx f n (x) dx n. Differentiaalimuoto on samanlainen olio kuin funktion differentiaali, mutta tässä yleisemmässä tilanteessa komponenttien f k ei tarvitse olla reaaliarvoisen funktion osittaisderivaattoja. Differentiaalimuoto ω on siis funktio, joka riippuu kahdesta muuttujasta, pisteestä a G ja suunnasta h R n. Differentiaalimuodon ω arvolle ω(a)h = ω(a; h) on ω(a; h) = (f 1 (x) dx 1 )(a; h) + + (f n (x) dx n )(a; h) = f 1 (a) dx 1 (a; h) + + f n (a) dx n (a; h) = f 1 (a) h f n (a) h n. Kun : I G on joukon G C 1 -polku (I R kompakti väli), on differentiaalimuodon ω integraaali polun suhteen ( ω := ω((t); (t)) dt = f1 ((t)) 1(t) + + f n ((t)) n(t) ) dt. I I Differentiaalimuodon integraaalin määrittelevä kaava on helpppo muistaa seuraavasti: differentiaalimuodossa ω = f 1 (x) dx f n (x) dx n jokaisen koordinaatin x j paikalle sijoitetaan x j ((t)) = j (t), jolloin differentiaalien dx j paikalle sijoitetaan d( j (t)) = j(t) dt. Nykyaikaisessa pintojen ja käyrien käsittelyssä tätä muuttujanvaihtoa kutsutaan pullback iksi, ja merkitään (ks. esim. [13, luku 8, 2.3]): (ω)(t) := ω((t); (t)) dt = ( f 1 ((t)) 1(t) + + f n ((t)) n(t) ) dt. Kyse ei ole muuttujanvaihdosta siinä mielessä, jossa nimitys esiintyy esimerkiksi usean muuttujan funktioiden integraalilaskennassa (vrt. [1, lause 3.2.2]), vaan ennemminkin yhden muuttujan funktioiden integraalilaskennan sijoitusmenetelmästä. Käyräintegraalin laskemisesta kannattaa huomata, että jos polku kulkee jonkin matkaa pitkin koordinaattiakselin x j suuntaista janaa, on tällä osalla dx j =. Esimerkiksi, jos tasossa on laskettavana (f dx + g dy), missä polku = ( 1, 2 ) on x-akselin suuntainen janapolku pisteestä (a, b) pisteeseen (c, b) ja = ( 1, 2 ) on y-akselin suuntainen janapolku pisteestä (c, b) pisteeseen (c, d), lasketaan näin (oletetaan, että c > a ja d < b): Polulla on dy =, koska 2 on vakiofunktio. Sopiva parametrisointi on (x) := (x, b), x [a, c]. Vastaavasti polulla on dx =, koska 1 on vakio. Sopiva parametrisointi polulle saadaan sen vastapolun avulla: β(y) := (c, y), y [d, b], jolloin = β. 3 Siis (f dx + g dy) = (f dx + g dy) (f dx + g dy) = c a f(x, b) dx b d g(c, y) dy. 3 Muista: Poluille : [a, b] R n ja : [c, d] R n, joille (b) = (c), määritellään : [a, b] R n (polun vastapolku) ja : [a, b + d c] R n (polkujen ja yhdistetty polku) asettamalla {(t), kun t [a, b], ja (t) := (b (t a)) ja ( )(t) := (c + t b), kun t [b, b + d c]. 3

4 Käyräintegraalilla on siis kaksi esitystapaa, vektorikentän käyräintegraali ja differentiaalimuodon käyräintegraali, ja kumpaakin tarvitaan. Vektorikentän avulla käyräintegraalista saadaan geometrisempi kuva, kun taas differentiaalimuodoilla saadaan laskennallisesti tehokkaampi ote käyräintegraalien määräämiseen Funktion käyräintegraali. Reaaliarvoisen funktion käyräintegraalin f ds tulkitseminen differentiaalien avulla vaatii hieman enemmän tulkintaa. Katsotaan aluksi klassista esitystapaa. Polun pisteestä (t) pisteeseen (t + t) osoittava vektori (t + t) (t) (t) t. Kun t on infinitesimaalisen pieni, t = dt, voidaan sekantti korvata tangentilla (ainakin likimain). Pisteitä (t) ja (t + dt) yhdistävän kaaren pituus on siis (t) dt = (t) dt, kun dt >. Klassisesti tätä pisteitä (t) ja (t + dt) yhdistävän infinitesimaalisen kaaren pituutta, kaarialkiota, on merkitty ds. Siis ds = (t) dt. Modernimmin samaan päästään seuraavasti: Polun : [a, b] R n kaarenpituusparametri s määritellään integraalina s(t) := t a (τ) dτ, t [a, b]. Tällöin ds(t) = s (t) dt = (t) dt. Jos vasemmalla puolella muuttuja t jätetään merkitsemättä, saadaan klassinen kaarialkio. Kun polun komponentit ovat j, on (t) = 1(t) n(t) 2. Koska differentiaalista dx j saadaan sijoituksella x = (t) differentiaali j(t) dt, on (t) dt = ( 1(t) dt) ( n(t) dt) 2, joten kaarialkio ds(t) = (t) dt saadaan sijoittamalla x = (t) differentiaalilausekkeeseen ds = dx dx 2 n. Huomaa, että tämä ei ole differentiaalimuoto, koska differentiaalimuoto on differentiaalien dx j lineaarinen lauseke. (Siis differentiaalinen 1-muoto on; differentiaalinen k-muoto on differentiaalien dx j homogeeninen astetta k oleva polynomi.) Kaarialkion klassinen merkintä ds on siis varsin epäkorrekti: ds ei ole minkään funktion s: R n R differentiaali eikä se ole edes differentiaalimuoto. Kun f : G R on jatkuva ja (I) G, on funktion f integraaali polun suhteen f ds = f((t)) (t) dt. I Tämänkin integraalin määritelmä voidaan tulkita differentiaalien avulla: differentiaalissa f ds = f(x) ds muuttujan x paikalle sijoitetaan (t) ja ds tulkitaan polun kaarialkioksi kuten edellä. 2. Potentiaalin olemassaolosta 2.1. Luentomonisteen [2] potentiaalin olemassaolon karakterisoiva lause ei ole symmetrinen ( jos ja vain jos ). Seuraava versio täydentää tulosta symmetrisemmin: Lause 2.1. Olkoon f : A R n alueen A R n jatkuva vektorikenttä. Tällöin seuraavat ehdot ovat keskenään yhtäpitäviä: (i) vektorikentällä f on potentiaali alueessa A; 4 Viimeksi muutettu

5 (ii) vektorikentän f käyräintegraali f d s riippuu vain paloittain C1 -polun : [a, b] A päätepisteistä (a) ja (b); (iii) vektorikentän f käyräintegraali f d s häviää jokaiselle umpinaiselle paloittain C 1 -polulle. Todistus. (i) (ii) ja (i) (iii): Kuten luentomonisteessa [2, lause ja 1.3.3]. (iii) (ii): Olkoot : [a, b] A ja : [c, d] A paloittain C 1 -polkuja, joille (a) = (c) ja (b) = (d). Tällöin ϑ := on umpinainen paloittain C 1 -polku. Oletuksen (iii) nojalla f d s =. Siis ϑ = f d s = f d s f d s Kohdan (ii) väite seuraa tästä. ϑ (ii) (i): Tämä seuraa luentomonisteessa [2, lause 1.3.3] todistetusta. Jos käyräintegraali f d s riippuu vain polun päätepisteistä, voidaan potentiaali määritellä kaavalla (2.1) u(x) := f d s, x missä x : [a, b] A on yksinkertainen paloittain C 1 -polku, jolle x (b) = x (ja x (a) = x A on kiinnitetty). 5 Palautettakoon vielä mieleen, miten osoitetaan, että kaava (2.1) määrittelee vektorikentän f potentiaalin u, kun lauseen 2.1 ehto (ii) toteutuu. Kiinnitetään x A. Olkoot x, x + h A sekä x ja x+h paloittain C 1 -polkuja, jotka lähtevät pisteestä x ja päätyvät pisteisiin x ja x + h. Tällöin u(x + h) u(x) = x+h f d s x f d s = x x+h f d s. Tässä x x+h on paloittain C 1 -polku pisteestä x pisteeseen x + h. Koska oletuksen nojalla käyräintegraali f d s riippuu vain polun päätepisteistä, voidaan polku x x+h korvata pisteestä x pisteeseen x + h kulkevalla janapolulla : [, 1] A, (t) := x + t h. (Tässä pitää olettaa, että h on niin pieni, että kyseinen jana sisältyy joukkoon A; tämä onnistuu, koska A on alue.) Siis 1 u(x + h) u(x) = f d s = f(x + t h) h dt = 1 f(x) h dt + 1 (f(x + t h) f(x)) h dt. Tässä 1 f(x) h dt = f(x) h on suunnan h suhteen lineaarinen, ja jälkimmäiselle integraalille saadaan funktion f jatkuvuuden nojalla 1 1 (f(x + t h) f(x)) h dt f(x + t h) f(x) h dt ε h, kun h δ on tarpeeksi pieni. Siis u on differentioituva ja Du(x)h = f(x) h, t.s. u(x) = f(x) eli u on vektorikentän f potentiaali.

6 Tässä päättelyssä on tärkeä huomata, että ilman lauseen 2.1 ehtoa (ii) käyräintegraali x f d s määrittelee kyllä reaaliarvoisen funktion, mutta ei sellaista, joka riippuisi vain pisteestä x, vaan koko polusta x riippuvan suureen. Oletus (ii) tarvitaan siis siihen, että käyräintegraali määrittelisi alueessa A määritellyn eli vain pisteestä x A riippuvan funktion u: A R Polun kierroslukua käsiteltäessä tärkeä vektorikenttä on origon komplementissa määritelty ( y g(x, y) := x 2 + y, x ). 2 x 2 + y 2 Tämä vektorikenttä on tyyppiesimerkki osoittamaan, että vektorikentän f = (f 1, f 2 ) potentiaalin olemassaololle välttämätön integroituvuusehto (IE) 2 f 1 = 1 f 2 ei ole riittävä, koska edellisen lauseen 2.1 kohdan (iii) ehto ei toteudu esimerkiksi origon kiertävälle ympyrän kehälle. Edellistä tarkastelua voidaan kuitenkin käyttää apuna osoittamaan, että vektorikenttä g onkin jossakin mielessä ainoa ongelmia aiheuttava vektorikenttä. Tarkemmin: Olkoon f origon komplementissa R 2 \ {(, )} määritelty C 1 -vektorikenttä, joka toteuttaa integroituvuusehdon (IE). Tällöin on olemassa vakio r R siten, että vektorikentällä f r g on potentiaali joukossa R 2 \ {(, )}. Vakion r arvo on helppo selvittää. Jos vektorikentällä f r g on potentiaali u, on edellisen lauseen 2.1 kohdan (iii) nojalla (f r g) d s = jokaiselle umpinaisella paloittain C 1 -polulle. Erityisesti siis r = 1 f d s, 2π kun on origokeskisen yksikköympyrän parametriesitys, (t) := (cos t, sin t), π t π. Valitaan r nyt yllä olevan kaavan mukaisesti. Määritellään nyt u(x) := (f r g) d s, x missä polku x := x j x, ja (i) x on pisteestä (1, ) lähtevä yksikköympyrän kehää pitkin kulkeva polku, joka päättyy pisteeseen x/ x ; ja (ii) j x on janapolku, joka yhdistää pisteen x/ x pisteeseen x. (Piirrä kuva.) Ympyrän kehää pitkin kuljettaessa voidaan vielä vaatia, että kuljetaan pitkin ylempää puolikaarta, jos x on ylemmässä puolitasossa, ja vastaavasti pitkin alempaa puolikaarta, jos x on alemmassa puolitasossa. Ongelmia voi syntyä, kun piste x on negatiivisella x 1 -akselilla. Merkitään hetkeksi pitkin yksikköympyrän alempaa puolikaarta kulkevaa 6

7 polkua x := x j x ; x = x j x olkoon pitkin ylempää puolikaarta kulkeva polku. Näiden kahden polun avulla määritellyn funktion erotus on (f r g) d s (f r g) d s = (f r g) d s (f r g) d s x x x x = (f r g) d s =, koska janapolku j x on sama molemmille poluille, x x on yksikköympyrän standardiparametriesitys, ja f d s = 2π r = r g d s. Koska u(x):n määrittelevä kaava määrittelee funktion R 2 \{(, )} R, on lauseen 2.1 jälkeisten tarkastelujen nojalla u = f r g. Tälle tulokselle löytyy huomattava yleistys Langin kirjasta [9, luku XVI] (ks. erityisesti [9, luku XVI, lause 2.7]). Vastaavaa asiaa kompleksianalyyttisille (tai holomorfisille) funktioille on käsitelty kirjassa [1, luku IV]. Varoitus: Langin kirjassa [9, luku XVI] integraalia r = 1 f d s merkitään 2π res (,) (f) (vektorikentän f residy pisteessä (, )), jollainen esiintyy myös kompleksianalyysissä. Jos kompleksiarvoinen funktio f = u + iv samaistetaan vektorikentän (u, v) kanssa, ovat reaalinen käyräintegraali (u, v) d s = (u dx + v dy) ja kompleksinen käyräintegraali f dz = (u dx v dy)+i (v dx+u dy) eri asioita. Komplek- sianalyysissä residy origossa määritellään integraalina 1 f dz. Toinen oleellinen 2π i ero on: Tässä tarkasteltiin integroituvuusehdon y u = x v toteuttaneita vektorikenttiä (u, v). Kompleksianalyyttinen funktio u + iv toteuttaa Cauchyn ja Riemannin yhtälöt x u = y v ja y u = x v. 3. Polkujen homotopiasta 3.1. Homotopia. Olkoot G R n alue (myöhemmin n = 2) ja, : [a, b] G C 1 -polkuja. Sanotaan, että polut ja ovat differentioituvasti homotooppiset, jos on olemassa jatkuva kuvaus H : [a, b] [, 1] G siten, että ja H(t, ) = (t) ja H(t, 1) = (t) kaikille t [a, b], t H(t, s) on jatkuvasti differentioituva kaikille s [, 1]. Jos tällainen homotopia H on olemassa, merkitään s (t) := H(t, s), jolloin siis = ja 1 =. Oletetaan nyt, että poluilla ja 1 on sama lähtöpiste ja sama päätepiste, (a) = 1 (a) ja (b) = 1 (b). Sanotaan, että polkujen ja 1 välinen homotopia H säilyttää päätepisteet (tai H on homotopia kiintein päätepistein), jos H(a, s) = (a) kaikille s [, 1] ja H(b, s) = (b) kaikille s [, 1]. 5 Viimeksi muutettu

8 Oletetaan nyt, että polut ja 1 ovat umpinaisia, (a) = (b) ja 1 (a) = 1 (b). Sanotaan, että polkujen ja 1 välinen homotopia H on silmukkahomotopia (tai ja 1 ovat homotooppiset silmukoina), jos jokainen s on silmukka, t.s. H(a, s) = H(b, s) kaikille s [, 1]. Olkoon : [a, b] G umpinainen C 1 -polku. Sanotaan, että on nollahomotooppinen, jos on olemassa p G siten, että on silmukkahomotooppinen vakiopolun 1 : [a, b] G, 1 (t) := p kaikille t [a, b], kanssa. Kommentteja: Annettu polku : [a, b] G on aina homotooppinen vakiopolun kanssa, sillä kuvaus H : [a, b] [, 1] G, H(t, s) := ((1 s) t + s a), on jatkuva, kuvaus t H(t, s), on jatkuvasti differentioituva (jos on), ja H(t, ) = (t) ja H(t, 1) = (a). Käsite nollahomotooppisuus ei siis ole mielenkiintoinen yleisen homotopian tapauksessa. Toisaalta, koska vakiopolun lähtö- ja päätepiste ovat samat, ei nollahomotooppisuus myöskään sovi homotopiaan kiintein päätepistein. Heuristisesti homotopia tarkoittaa, että polku voidaan jatkuvasti muuttaa poluksi 1. Muuttumisen välittävät polut s, s 1. Useimmissa topologisissa tarkasteluissa polkujen s halutaan olevan vain jatkuvia. Tämä kuitenkin aiheuttaa ongelmia käyräintegraalien s f s määrittelemisessä. Tämän vuoksi tässä rajoitutaan differentioituvaan homotopiaan. Yleistys paloittain jatkuvasti differentioituville poluille jätetään lukijan tehtäväksi. Vihje: välin [a, b] jako differentioituvuusosaväleiksi saa olla sama jokaiselle parametrille s [, 1] Potentiaalin olemassaolo. Seuraavassa n = 2 ja f = (f 1, f 2 ): G R 2 on jatkuvasti differentioituva vektorikenttä, joka toteuttaa integroituvuusehdon (IE) 2 f 1 = 1 f 2 Lause 3.1. Olkoot p, q G ja, : [a, b] G paloittain C 1 -polkuja pisteestä p pisteeseen q. Jos ja ovat homotooppiset kiintein päätepistein, on f d s = f d s. Lause 3.2. Olkoot, : [a, b] G umpinaisia paloittain C 1 -polkuja. Jos ja ovat silmukkahomotooppiset, on f d s = f d s. Erityisesti, jos on nollahomotooppinen, on f d s =. Seuraavassa esitetään vain lauseen 3.1 todistus; lauseen 3.2 todistus on oleellisesti samanlainen. Lauseen 3.1 todistus. Olkoon H : [a, b] [, 1] G polkujen ja välinen homotopia, joka säilyttää päätepisteet. Koska H on jatkuva, on sen kuvajoukko K := H([a, b] [, 1]) kompakti. Koska K G on kompakti ja R 2 \ G suljettu, on etäisyys d(k, R 2 \ G) >. Olkoon ε > pienempi kuin tämä etäisyys. 8

9 Jatkuvana funktiona H on tasaisesti jatkuva kompaktissa joukossa [a, b] [, 1]. Olkoon δ > siten, että H(t, s) H(t, s ) < ε, kun t t δ ja s s δ. Valitaan väleille [a, b] ja [, 1] jaot (vaikka tasaväliset) a = t < t 1 < < t n = b, = s < s 1 < < s m = 1, siten, että t j+1 t j δ, s k+1 t k δ ja H(t, s) H(t j, s k ) < ε, kun t t j δ ja s s k δ. Olkoot T j,k := [t j, t j+1 ] [s k, s k+1 ] ja D j,k := B(H(t j, s k ); ε). Tällöin D j,k G. Tasaisen jatkuvuuden epäyhtälöstä ja pisteiden (t j, s k ) valinnasta seuraa, että H(T j,k ) D j,k, H(T j 1,k ) D j,k, H(T j 1,k 1 ) D j,k ja H(T j,k 1 ) D j,k. Koska ympyrä D j,k on konveksina joukkona tähtimäinen, on vektorikentällä f potentiaali u j,k joukossa D j,k. Olkoon k (t) := H(t, s k ), k m. Kiinnitetään nyt k ja tarkastellaan vierekkäisiä polkuja k ja k+1. Osoitetaan, että k f d s = k+1 f d s. Väite seuraa tästä, koska f d s = f d s = f d s = = f d s = f d s. 1 m Koska vektorikentällä f on potentiaali u j,k joukossa D j,k ja k ([t j+1, t j ]) D j,k, on ( f d s = f d s = uj,k ( k (t j+1 )) u j,k ( k (t j )) ). k k [tj+1,t j ] Vastaavasti, koska k+1 ([t j+1, t j ]) D j,k, on ( f d s = uj,k ( k+1 (t j+1 )) u j,k ( k+1 (t j )) ). k+1 Koska u j,k ja u j+1,k ovat vektorikentän f potentiaaleja joukoissa D j,k ja D j+1,k, ja ympyröiden D j,k ja D j+1,k leikkaus D j,k D j+1,k on yhtenäinen joukko, on erotus u j,k u j+1,k = c j,k = vakio joukossa D j,k D j+1,k. Kun p, q D j,k D j+1,k, on siis u j,k (p) u j,k (q) = u j+1,k (p) + c j,k (u j+1,k (q) + c j,k ) = u j+1,k (p) u j+1,k (q). Kun tätä sovelletaan pisteisiin p = k (t j+1 ) ja q = k+1 (t j+1 ), saadaan ( (uj,k f d s f d s = ( k (t j+1 )) u j,k ( k (t j )) ) k k+1 ( u j,k ( k+1 (t j+1 )) u j,k ( k+1 (t j )) )) ( (uj,k = ( k (t j+1 )) u j,k ( k+1 (t j+1 )) ) ( u j,k ( k (t j )) u j,k ( k+1 (t j )) )) ( (uj+1,k = ( k (t j+1 )) u j+1,k ( k+1 (t j+1 )) ) ( u j,k ( k (t j )) u j,k ( k+1 (t j )) )) ( (uj+1,k = ( k (t j+1 )) u j,k ( k (t j )) ) ( u j+1,k ( k+1 (t j+1 )) u j,k ( k+1 (t j )) )) = ( u n,k ( k (t n )) u,k ( k (t )) ) ( u n,k ( k+1 (t n )) u,k ( k+1 (t )) ) =. 9

10 Tässä viimeinen summa n 1... on teleskooppinen, t.s. muotoa n 1 (a j+1 a j ) oleva summa, joten sen arvo on a n a. Summasta jäävät termit häviävät, koska poluilla k ja k+1 on sama lähtö- ja sama päätepiste. Sanotaan, että avoin joukko G R 2 on yhdesti yhtenäinen, jos se on yhtenäinen ja jokainen (differentioituva) silmukka on nollahomotooppinen. Seuraus 3.3. Yhdesti yhtenäisessä alueessa G jatkuvasti differentioituvalla vektorikentällä f on potentiaali, jos se toteuttaa integroituvuusehdon (IE). Todistus. Yhdesti yhtenäisessä alueessa G käyräintegraali f d s häviää jokaiselle umpinaiselle C 1 -polulle lauseen 3.2 nojalla. Aiemmin todetun nojalla potentiaa- lin olemassaolo seuraa tästä. Kirjallisuutta [1] Petri Juutinen: Vektorifunktioiden analyysi 2A, luentomuistiinpanoja keväältä 215. [2] Petri Juutinen: Vektorifunktioiden analyysi 2B, luentomuistiinpanoja keväältä 215. [3] Tom M. Apostol: Mathematical analysis. A modern approach to advanced calculus, Addison Wesley, ensimmäinen laitos, viides painos, 1971 (alunperin 1957). [4] Richard Courant ja Fritz John: Introduction to calculus and analysis, Volume I, uusintapainos vuoden 1989 laitoksesta, Classics in Mathematics, Springer, [5] Richard Courant ja Fritz John: Introduction to calculus and analysis, Volume II/1 ja II/2, uusintapainos vuoden 1989 laitoksesta, Classics in Mathematics, Springer, 2. [6] Jean Dieudonné: Infinitesimal Calculus, Hermann, Paris [7] Ernst Hairer ja Gerhard Wanner: Analysis by its history, Undergraduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, kolmas korjattu painos, Springer, 2. [8] Victor J. Katz: The history of Stokes theorem, Mathematics Magazine 52 (1979), no. 3, [9] Serge Lang: Undergraduate analysis, toinen laitos, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 1997 (korjattu neljäs painos 25). [1] Serge Lang: Complex analysis, neljäs laitos, Graduate Texts in Mathematics 13, Springer, [11] Jacqueline Lelong-Ferrand ja Jean-Marie Arnaudiès : Cours de mathématiques 1 4. Dunod. 1. Algèbre, 3 e édition, 1978 ; 2. Analyse, 4 e édition, 1977 ; 3. Géométrie et cinématique, 2 e édition, Equations différentielles, intégrales multiples, fonctions holomorphes, 2 e édition, [12] James R. Munkres: Analysis on manifolds, Advanced Book Classics, Westview Press, [13] Theodore Shifrin: Multivariable mathematics. Linear algebra, multivariable calculus, and manifolds, John Wiley & Sons, 25. [14] Michael Spivak: Calculus on manifolds. A modern approach to classical theorems of advanced calculus, Addison-Wesley, 1965; korjattu painos, [15] Dirk J. Struik (toim.): A source book in mathematics, 12 18, Princeton University Press, [16] John A. Thorpe: Elementary topics in differential geometry, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag,