ARK-A.3000 Rakennetekniikka (4op) Rakenteiden mekaniikka II. Dipl.Ins. Hannu Hirsi.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "ARK-A.3000 Rakennetekniikka (4op) Rakenteiden mekaniikka II. Dipl.Ins. Hannu Hirsi."

Transkriptio

1 ARK-A.3000 Rakennetekniikka (4op) Rakenteiden mekaniikka II Dipl.Ins. Hannu Hirsi.

2 Objectives in lecture 2 of mechanics : A thorough understanding of how to draw and use a freebody diagram is absolutely essential when solving problems in mecanics - P. Schavione & al. Modelling. Forces and parallellogram of forces. Moments and their combinations. Free-body diagrams. Loads. Examples in *.XLS and *.DWG. If time allows. Modelling of structures!

3 Newtonin liikelait : I Hitauslaki : Jokainen kappale pysyy lepotilassa tai suoraviivaisessa liikkeessä, elleivät vaikuttavat voimat pakota sitä muuttamaan tätä tilaa tilanne on vakaa, staattinen. II Kiihtyvyyslaki : Liikkeen muutos on verrannollinen vaikuttavaan voimaan ja tapahtuu sen vaikutussuunnassa tilanne dynaamineen. III Vaikutuksen ja vastavaikutuksen laki : Vastavaikutus on aina yhtä suuri ja vastakkaissuuntainen kuin alkuperäinen vaikutus tasapaino.

4 Modeling of the structures in mechanics, phases : 1. Piste tai hiukkanen avaruudessa : Pisteellä on massa mutta sillä ei ole muotoa. Massa otetaan mukaan tarkasteluun, muodolla ei nyt ole väliä. Kaikki kappaleet muuttuvat siirryttäessä kauemmas lopulta pisteiksi vrt taivaankap. väliset voimat. Liittymät ja liitokset kannattaa aina mallintaa pisteinä. 2. Vapaakappale muodostuu pistejoukosta : Piste- tai hiukkasjoukosta muotoutuu jäykkä kappale. Pisteet tuovat massan tullessaan, koosteella on myös massa. Voimien aiheuttamat jäykän kappaleen muodonmuutokset ovat niin pieniä, että ne voidaan jättää huomiotta vrt toisen asteen teoria. 3. Rakennesysteemit koostuvat vapaakappaleista : Rakennusosa (sauva, palkki, kaari, levy, laatta, kuori) on hyvä lähtökohta vapaakappaleelle. ( Pilari, palkki ja ristikko muodostavat jo rakennejärjestelmän perusosat)

5 Modeling of force : Voima on vektorisuure : Sillä on yksikkövektorinsa suunta ja Skalaarikertoimensa suuruus. -F 1 - Pisteen translaatio u x, v y, w z - Jäykän kappaleen rotaatio F 1 akselien ympäri x, y, z - Yhteensä 6 kpl vapausasteita Aktiolla on reaktionsa : Staattisissa järjestelmissä vallitsee tasapaino (newtonin 1. liikelaki) Aktio eli tässä voima pyrkii aiheuttamaan liikettä, translaatiota. Reaktiota ei selvyyden vuoksi piirretä yleensä näkyviin.

6 Kokonaisvoima : Samaansuuntaiset, samaa akselia pitkin vaikuttavat voimat voidaan laskea yhteen kokonaisvoiman selvittämiseksi : F 2 F 3 F 1 Voiman vaikutuspiste voidaan valita vaikutussuoralta, akselilta vapaasti. F = R = F 1 + F 2 + F 3 R = resultantti tai kokonaisvoima

7 Voimien muodostamat voimamonikulmiot : Samaan pisteeseen vaikuttavat voimat voidaan laskea yhteen asettamalla toinen voima toisen jatkeeksi : Esim 2 F 4 Yhteenlaskettu voima on vektorin alkupisteen ja loppupisteen välinen etäisyys. Voimat voidaan yhdistellä vaiheittain. Käytetyllä järjestyksellä (A / B) ei ole merkitystä lopputuloksen kannalta. (Vaihdannainen järjes.) A R B R B Esim 1 F 1 A F 5 R A F 2 R 1 R 2 F 5 R B F 4 F 5 F 4 R B F 3 F 6 R 1 R 2 F 3 B F 6 F 6 F 3 Graafinen mekaniikka edelleen havainnollista, opettele ihmeessä!

8 Puristava vai vetävä voima : Samaan pisteeseen vaikuttavat voimat voivat olla pistettä työntäviä, puristavia tai sitä vetäviä voimia : Sama voima mutta eri merkkinen. Merkit ilmoitettava. Vetäviä voima : Puristavia voima : F 1 F2 R 1 R2 F 3 F 4

9 Voimien tasapaino : Puristava voima : -R 1 Reaktio R 2 F 3 F 4 Aktio F 1 F 2 (Esimerkeissä käytetään tämän takia vetäviä voimia.) -R 2 R 1 Onko voima puristava vai vetävä on rakenteiden kannalta hyvin keskeistä.

10 Voimien komponentit ja yhteisvaikutus : Voimien yhdistäminen laskennallisesti : 1. Jaetaan voimat vaaka- ja pystysuuntaisiin komponentteihin tai projektioihin. 2. Lasketaan vaakasuuntaiset voimat yhteen merkki huomioiden jolloin saadaan vaakasuuntaisten voimien resultantille suuruus ja suunta. 3. Lasketaan pystysuuntaiset voimat yhteen merkki huomioiden jolloin saadaan pystysuuntaisten voimien resultantin suuruus ja suunta. 4. Yhdistetään saadut summat, jolloin saadaan lopullisen voiman suuruus ja suunta. Analyyttinen mekaniikka edelleen käyttökelpoista!

11 Esimerkki voimien yhdistämisestä : R = ( R x2 + R y2 ) 0.5 = atan ( R y / R x ) Analyyttinen mekaniikka antaa resultantin tarkan suunnan ja suuruuden.

12 Esimerkki köysivoimien laskemisesta : Kuorman R suuruus tiedetään ja pitää selvittää köysivoimat F 1 ja F 2

13 Momentti M ja momenttivarsi r : Kun voima siirretään sivuun vaikutussuoraltaan syntyy epäkeskeisyyttä, momenttia : Suuruus on voima kertaa kohtisuora etäisyys vaikutussuorasta.. e M = F x e Suunta voi olla + myötäpäivään ja - vastapäivään. 1 Momenttivarsi r = e. F 2 Käytännössä epäkeskeisyydet ovat hyvin pieniä, voimaa ei voi siirtää kauas. 2 F Jos voima siirretään pisteestä 2 pisteeseen 1, momentti häviää.

14 Momentti tasapaino : Momentti pyrkii aiheuttamaan kappaleelle rotaatiota : Toisen suuntainen momentti tasapainoittaa, kumoaa momentin vaikutuksen ja kappale ei ala pyöriä. Staattinen tila. M -F F -M

15 Momentti useasta voimasta ja vääntö : Voimapari synnyttää niiden akselin ympäri momentin : Jos pisteen paikalla on akseli se vääntyy. Voimat kumoavat toisensa, pisteessä A on vain momenttia ja leikkausta. Jos e = 0 jää jäljelle vain aktio ja reaktio F e M t = F x e F M t

16 Momentti useasta voimasta jatkuu... Jos epäkeskeisiä voimia on useita kokonaismomentti saadaan laskemalla momentit yhteen : M t = F 1 x e 1 + F 2 x e 2 + F 3 x e 3 e 1 F e 2 e 3

17 Esimerkki epäkeskeisyyden vaikutuksesta momenttiin : Sama tulos. Miksi?

18 Esimerkki epäkeskeisyyden vaikutuksesta momenttiin jatkuu... Sama tulos!

19 Vapaakappelekuvio VKK free-body diagram : Vapaakappalekuvio on abstrahoitu malli systeemistä ja siihen vaikuttavista ulkoisista voimista : Pelkistetään ja yksinkertaistetaan lähtötilanne niin paljon, että tasapainoyhtälöiden kannalta oleellinen on jäljellä. Muista ottaa kaikki voimat huomioon : Aktivoivat voimat. Reaktiovoimat. Oma paino. F 1 F 2 F 1 Nostoköysien ja apukehän paino oletetaan = 0 Sisäiset apukehän sauvavoimat ratkaistaan ulkoisten voimien avulla.

20 Ohje vapaakappaleen piirtämiseen : 1. Osita rakennejärjestelmä ja yksilöi sen osat. 2. Piirrä osan karkea hahmo ja merkitse siihen oleelliset mitat ja kulmat. 3. Piirrä koordinaattiakselit. 4. Piirrä kuvioon osaan vaikuttavat voimat : 1. Ulkoiset aktiiviset voimat, 2. Ulkoiset reaktiiviset voimat ja 3. Omapaino. 5. Yksilöi ja merkitse kaikki osaan vaikuttavat voimat. Anna voimille niiden suunta ja suuruusluokka. 6. Tuntemattomille voimille anna jokin tarkka oletusarvo : A. Anna tuntemattomalle koordinaattiakselien suunta. B. Anna tuntemattomalle sauvan suunta vrt reunaehdot

21 Vapaakappalekuvio VKK : a) Harkon vapaakappalekuvio : Harkon massa synnyttää alustan ja harkon välille voiman ja sille reaktion. Harkon massa Tukivoimat A Voisi olla myös piste tai hiukkanen b) Palkin vapaakappalekuvio : Palkin omapaino ja muu kuorma synnyttää alustan ja palkin välille voiman ja sille reaktion. c) Ulokkeen vapaakappalekuvio : Ulokkeen omapaino ja muu kuorma synnyttää alustan ja C ulokkeen välille voiman ja momenti sekä ja niille reaktiot. Laskemme tukireaktioita tarkemmin ensi kerralla. A Q, M B Voisi olla myös viiva

22 Mallin reunaehtojen idealisointi : Kiinteä tuki Nivel tuki Liikkuva niveltuki Vapaa tuki Köysi

23 Esimerkkejä liitoksista ja niiden idealisoiduista malleista : Kaikki edellä kuvatut liitosten perustyypit voidaan toteuttaa kaikille rakennusmateriaaleille ja rakennetyypeille. Liitossuunnittelu on vaikein vaihe rakennesuunnittelua : esteettiset, jatkuvuus rakennettavuus ja taloudellisuus vaatimukset Logistiikka määrittää pitkälti rakennuksen osituksen, liitosten paikat ja tyypit.

ARK-A.3000 Rakennetekniikka (4op) Rakenteiden mekaniikka III

ARK-A.3000 Rakennetekniikka (4op) Rakenteiden mekaniikka III ARK-A.3000 Rakennetekniikka (4op) Rakenteiden mekaniikka III A P 1 B P2 C P 3 D L L 1 L P 1 Q 1 Q 2 P 3 P2 A B C D Prof. (ma) Hannu Hirsi. Objectives in lecture 2 of mechanics : A thorough understanding

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 1.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Jäykän kappaleen tasapaino ja vapaakappalekuva (Kirjan luvut 5.1-5.4) Osaamistavoitteet: 1. Ymmärtää, mitä tukireaktiot ovat

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

RTEK-2000 Statiikan perusteet. 1. välikoe ke LUENTOSALEISSA K1705 klo 11:00-14:00 sekä S4 klo 11:15-14:15 S4 on sähkötalossa

RTEK-2000 Statiikan perusteet. 1. välikoe ke LUENTOSALEISSA K1705 klo 11:00-14:00 sekä S4 klo 11:15-14:15 S4 on sähkötalossa RTEK-2000 Statiikan perusteet 1. välikoe ke 27.2. LUENTOSALEISSA K1705 klo 11:00-14:00 sekä S4 klo 11:15-14:15 S4 on sähkötalossa RTEK-2000 Statiikan perusteet 4 op 1. välikoealue luennot 21.2. asti harjoitukset

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 10.3.2016 Susanna Hurme Statiikan välikoe 14.3.2016 Ajankohta ma 14.3.2016 klo 14:15 17:15 Salijako Aalto-Sali: A-Q (sukunimen alkukirjaimen mukaan) Ilmoittautuminen

Lisätiedot

RAK Statiikka 4 op

RAK Statiikka 4 op RAK-31000 Statiikka 4 op Opintojakson kotisivu on osoitteessa: http://webhotel2.tut.fi/mec_tme harjoitukset (H) harjoitusten malliratkaisut harjoitustyöt (HT) ja opasteet ilmoitusasiat RAK-31000 Statiikka

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 2.3.2016 Susanna Hurme äivän aihe: Staattisesti määrätyn rakenteen tukireaktiot (Kirjan luvut 5.7 ja 6.6) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, mitä tarkoittaa staattisesti

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut 4.1-4.6) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan

Lisätiedot

RTEK-2000 Statiikan perusteet 4 op

RTEK-2000 Statiikan perusteet 4 op RTEK-2000 Statiikan perusteet 4 op Opintojakson kotisivu on osoitteessa: http://webhotel2.tut.fi/mec_tme harjoitukset (H) harjoitusten malliratkaisut harjoitustyöt (HT) ja opasteet ilmoitusasiat Osaamistavoitteet

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 8.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Normaalivoiman, leikkausvoiman ja taivutusmomentin käsitteet (Kirjan luku 7.1) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, millaisia sisäisiä

Lisätiedot

RAK-31000 Statiikka 4 op

RAK-31000 Statiikka 4 op RAK-31000 Statiikka 4 op Opintojakson kotisivu on osoitteessa: http://webhotel2.tut.fi/mec_tme harjoitukset (H) harjoitusten malliratkaisut harjoitustyöt (HT) ja opasteet ilmoitusasiat RAK-31000 Statiikka

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Kevät 2010 Jukka Maalampi LUENTO 2-3 Vääntömomentti Oletus: Voimat tasossa, joka on kohtisuorassa pyörimisakselia vastaan. Oven kääntämiseen tarvitaan eri suuruinen voima

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 25.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voimasysteemien samanarvoisuus ja jakaantuneen voiman käsite (Kirjan luvut 4.7-4.9) Osaamistavoitteet: 1. Ymmärtää, mikä on

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 3.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Ristikon sauvavoimat (Kirjan luvut 6.1-6.4) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, mikä on ristikkorakenne Osata soveltaa aiemmin kurssilla

Lisätiedot

Tapa II: Piirretään voiman F vaikutussuora ja lasketaan momentti sen avulla. Kuva 3. d r. voiman F vaikutussuora

Tapa II: Piirretään voiman F vaikutussuora ja lasketaan momentti sen avulla. Kuva 3. d r. voiman F vaikutussuora VOIMAN MOMENTTI Takastellaan jäykkää kappaletta, joka pääsee kietymään akselin O ympäi. VOIMAN MOMENTTI on voiman kietovaikutusta kuvaava suue. Voiman momentti määitellään voiman F ja voiman vaen tulona:

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

RAK Statiikka 4 op

RAK Statiikka 4 op RAK-31000 Statiikka 4 op Opintojakson kotisivu on osoitteessa: http://webhotel2.tut.fi/mec_tme harjoitukset (H) harjoitusten malliratkaisut harjoitustyöt (HT) ja opasteet ilmoitusasiat RAK-31000 Statiikka

Lisätiedot

g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen

g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure Aiheuttaa kappaleelle

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

Luvun 10 laskuesimerkit

Luvun 10 laskuesimerkit Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 11.1 Sigge-serkku tasapainoilee sahapukkien varaan asetetulla tasapaksulla puomilla, jonka pituus L = 6.0 m ja massa M = 90 kg. Sahapukkien huippujen välimatka D = 1.5

Lisätiedot

ARK-A.3000 Rakennetekniikka (4op) Rakenteiden mekaniikka V. Hannu Hirsi.

ARK-A.3000 Rakennetekniikka (4op) Rakenteiden mekaniikka V. Hannu Hirsi. ARK-A.3000 Rakennetekniikka (4op) Rakenteiden mekaniikka V Hannu Hirsi. Esimerkki, pitkän jännevälin kaarevapaarteinen ristikko : Yläpaarteen muoto seuraa parabelia. Aksiaalivoimat ja muodonmuutokset symmetrisellä

Lisätiedot

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota. MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen liike-energia, teho ja energiaperiaate (Kirjan luku 18) Osaamistavoitteet Ymmärtää, miten liike-energia määritetään kiinteän

Lisätiedot

Luento 7: Voima ja Liikemäärä

Luento 7: Voima ja Liikemäärä Luento 7: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Viereisessä kuvaajassa on kuvattu kappaleen nopeutta

Lisätiedot

Harjoitus 4. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa a) ja b) sekä laske c) kohdan tehtävä.

Harjoitus 4. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa a) ja b) sekä laske c) kohdan tehtävä. Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Syksy 009 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.

Lisätiedot

ARK-A.3000 Rakennetekniikka (4op) Rakenteiden mekaniikka IV. Hannu Hirsi.

ARK-A.3000 Rakennetekniikka (4op) Rakenteiden mekaniikka IV. Hannu Hirsi. ARK-A.3000 Rakennetekniikka (4op) Rakenteiden mekaniikka IV Hannu Hirsi. Kappaleen ja tukien liikemahdollisuudet : Liikkuva pystysuunnassa Liikkuva vaakasuunnassa Kiertyvä y y y Liikkuva niveltuki x ESTETTY

Lisätiedot

Voimat mekanismeissa. Kari Tammi, Tommi Lintilä (Janne Ojalan kalvoista)

Voimat mekanismeissa. Kari Tammi, Tommi Lintilä (Janne Ojalan kalvoista) 1 Voimat mekanismeissa Kari Tammi, Tommi Lintilä (Janne Ojalan kalvoista) 12.2.2016 Sisältö Staattiset voimat Staattinen tasapainotila Vapaakappalekuva Tasapainoyhtälöt Kitkavoimat Hitausvoimat Hitausvoimien

Lisätiedot

:37:37 1/50 luentokalvot_05_combined.pdf (#38)

:37:37 1/50 luentokalvot_05_combined.pdf (#38) 'VLTJ,)Ł /Ł 2015-09-21 13:37:37 1/50 luentokalvot_05_combined.pdf (#38) Luento 5: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä 2015-09-21 13:37:37

Lisätiedot

Luento 7: Voima ja Liikemäärä. Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä

Luento 7: Voima ja Liikemäärä. Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä Luento 7: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä 1 / 36 Johdanto Dynamiikka tutkii voimia ja niiden aiheuttamaa liikettä Newtonin liikelait

Lisätiedot

Luento 5: Voima ja Liikemäärä

Luento 5: Voima ja Liikemäärä Luento 5: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä Johdanto Dynamiikka tutkii voimia ja niiden aiheuttamaa liikettä Newtonin liikelait (Newton

Lisätiedot

TÄSSÄ ON ESIMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETISMIOPIN KEVÄÄN 2017 MATERIAALISTA

TÄSSÄ ON ESIMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETISMIOPIN KEVÄÄN 2017 MATERIAALISTA TÄSSÄ ON ESMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETSMOPN KEVÄÄN 2017 MATERAALSTA a) Määritetään magneettikentän voimakkuus ja suunta q P = +e = 1,6022 10 19 C, v P = (1500 m s ) i, F P = (2,25 10 16 N)j q E = e = 1,6022

Lisätiedot

DI Risto Lilja, kommentaattori RI, DI Aarre Iivonen Tampereen ammattikorkeakoulu, valvojana Olli Saarinen

DI Risto Lilja, kommentaattori RI, DI Aarre Iivonen Tampereen ammattikorkeakoulu, valvojana Olli Saarinen TAMPEREEN AMMATTIKORKEAKOULU Rakennustekniikan koulutusohjelma Talonrakennustekniikka Tutkintotyö Timo Sormunen STATIIKAN PERUSKURSSIN OPPIMATERIAALI Työn ohjaaja Työn teettäjä Tampere 005 DI Risto Lilja,

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 9.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Palkin leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumat ja kuviot (Kirjan luvut 7.2 ja 7.3) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, miten leikkausvoima

Lisätiedot

766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4

766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4 766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4 0. MUISTA: Tenttitehtävä tulevassa päätekokeessa: Fysiikan säilymislait ja symmetria. (Tästä tehtävästä voi saada tentissä kolme ylimääräistä pistettä. Nämä

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto Fysiikan perusteet Voimat ja kiihtyvyys Antti Haarto.05.01 Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.

Lisätiedot

Voimapari ja sen momentti

Voimapari ja sen momentti Rakenteiden Mekaniikka Vol. 49, Nro, 06, s. 78-55 rmseura.tkk.fi/rmlehti/ Kirjoittajat 06. Vapaasti saatavilla CC BY-SA 4.0 lisensioitu. Voimapari ja sen momentti Tapio Salmi Tiivistelmä. Artikkelissa

Lisätiedot

Vektoreita GeoGebrassa.

Vektoreita GeoGebrassa. Vektoreita GeoGebrassa 1 Miten GeoGebralla piirretään vektoreita? Työvälineet ja syöttökentän komennot Vektoreiden esittäminen GeoGebrassa on luontevaa: vektorien piirtämiseen on kaksi työvälinettä vektoreita

Lisätiedot

Materiaalien mekaniikka

Materiaalien mekaniikka Materiaalien mekaniikka 3. harjoitus jännitys ja tasapainoyhtälöt 1. Onko seuraava jännityskenttä tasapainossa kun tilavuusvoimia ei ole: σ x = σ 0 ( 3x L + 4xy 8y ), σ y = σ 0 ( x L xy + 3y ), τ xy =

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 30.3.2016 Susanna Hurme Yleisen tasoliikkeen kinetiikka (Kirjan luku 17.5) Osaamistavoitteet Osata ratkaista voimia ja niiden aiheuttamia kiihtyvyyksiä tasoliikkeessä

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 23.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Luennon sisältö Hooken laki lineaaris-elastiselle materiaalille (Reddy, kpl 6.2.3) Lujuusoppia: sauva (Reddy,

Lisätiedot

Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi

Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi Vaakasuora heittoliike Heittoliikettä voidaan tarkastella erikseen vaaka- ja pystysuunnassa v=(v x,v y ) Jos ilmanvastausta ei oteta huomioon (yleensä ei), vaakasuunnalle

Lisätiedot

Vektorit. Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi)

Vektorit. Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi) Vektorit Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi) Sisällys Vektorit Nimeäminen Vektorien kertolasku Vektorien yhteenlasku Suuntasopimus Esimerkki: laivan nopeus Vektorit Vektoreilla

Lisätiedot

5.9 Voiman momentti (moment of force, torque)

5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) 5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) Voiman momentti määritellään ristitulona M = r F missä r on voiman F vaikutuspisteen paikkavektori tarkasteltavan pisteen suhteen Usean voiman tapauksessa

Lisätiedot

PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE

PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE Kappaleen painopiste on piste, jonka kautta kappaleeseen kohdistuvan painovoiman vaikutussuora aina kulkee, olipa kappale missä asennossa tahansa. Jos ajatellaan kappaleen

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 6 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 6 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 6 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Mekaniikan peruslait (liikelait). Liikemäärän momentin tase. Kappaleen massan vaikutusmitat. Jäykän

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 31.3.2016 Susanna Hurme Dynamiikan välikoe 4.4.2016 Ajankohta ma 4.4.2016 klo 16:30 19:30 Salijako Aalto-Sali: A-P (sukunimen alkukirjaimen mukaan) Ilmoittautuminen

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Luento 9: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa

Luento 9: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Luento 9: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti ja sen määrittäminen Liikemäärämomentti Gyroskooppi Harjoituksia ja laskettuja esimerkkejä ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami

Lisätiedot

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 1. (a) W on laatikon paino, F laatikkoon kohdistuva vetävä voima, F N on pinnan tukivoima ja F s lepokitka. Kuva 1: Laatikkoon kohdistuvat voimat,

Lisätiedot

Kitka ja Newtonin lakien sovellukset

Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Haarto & Karhunen Tavallisimpia voimia: Painovoima G Normaalivoima, Tukivoima Jännitysvoimat Kitkavoimat Voimat yleisesti F f T ja s f k N Vapaakappalekuva Kuva, joka

Lisätiedot

Aksiaalisella tai suoralla leikkauksella kuormitettujen rakenneosien lujuusopillinen analyysi ja suunnittelu

Aksiaalisella tai suoralla leikkauksella kuormitettujen rakenneosien lujuusopillinen analyysi ja suunnittelu TAVOITTEET Statiikan kertausta Kappaleen sisäiset rasitukset Normaali- ja leikkausjännitys Aksiaalisella tai suoralla leikkauksella kuormitettujen rakenneosien lujuusopillinen analyysi ja suunnittelu 1

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v. Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause

Lisätiedot

Ratkaisut 2. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa a) ja b) sekä laske c) kohdan tehtävä.

Ratkaisut 2. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa a) ja b) sekä laske c) kohdan tehtävä. Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen kuvan mukaisessa ripustuksessa. a) Mitkä ovat kahleiden jännitykset? b) Mikä kahleista uhkaa katketa ensimmäisenä? Piirretäänpä parit vapaakappalekuvat.

Lisätiedot

Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa

Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti ja sen määrittäminen Liikemäärämomentti Gyroskooppi Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti

Lisätiedot

VUOROVAIKUTUS JA VOIMA

VUOROVAIKUTUS JA VOIMA VUOROVAIKUTUS JA VOIMA Isaac Newton 1642-1727 Voiman tunnus: F Voiman yksikkö: 1 N (newton) = 1 kgm/s 2 Vuorovaikutus=> Voima Miten Maa ja Kuu vaikuttavat toisiinsa? Pesäpallon ja Maan välinen gravitaatiovuorovaikutus

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Huom: luvun 4 kohdalla luennolla ei ollut laskuesimerkkejä, vaan koko luvun 5 voi nähdä kokoelmana sovellusesimerkkejä edellisen luvun asioihin! Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen

Lisätiedot

Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa

Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti ja sen määrittäminen Liikemäärämomentti Gyroskooppi Harjoituksia ja laskettuja esimerkkejä 1 / 37 Luennon sisältö Johdanto

Lisätiedot

2.5 Liikeyhtälö F 3 F 1 F 2

2.5 Liikeyhtälö F 3 F 1 F 2 Tässä kappaleessa esittelen erilaisia tapoja, joilla voiat vaikuttavat kappaleen liikkeeseen. Varsinainen kappaleen pääteea on assan liikeyhtälön laatiinen, kun assaan vaikuttavat voiat tunnetaan. Sitä

Lisätiedot

Piirrä kirjaan vaikuttavat voimat oikeissa suhteissa toisiinsa nähden. Kaikki kappaleet ovat paikallaan

Piirrä kirjaan vaikuttavat voimat oikeissa suhteissa toisiinsa nähden. Kaikki kappaleet ovat paikallaan Voimakuvioita kirja Piirrä kirjaan vaikuttavat voimat oikeissa suhteissa toisiinsa nähden. Kaikki kappaleet ovat paikallaan Kirja lattialla Kirja, jota painetaan kepillä Kirja, jota painetaan seinään Kirja,

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 22.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Rotaatioliikkeen kinematiikka: kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.7, 16.3) Osaamistavoitteet Osata analysoida jäykän

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää

Lisätiedot

4 Kaksi- ja kolmiulotteinen liike

4 Kaksi- ja kolmiulotteinen liike Mansfield and O Sullivan: Understandin physics, painos 1999, kpl 4. Näitä löytyy myös Youn and Freedman: University physics -teoksen luvuissa 4, osin myös luvuissa 3 ja 5. 4 Kaksi- ja kolmiulotteinen liike

Lisätiedot

Vektorilla on suunta ja suuruus. Suunta kertoo minne päin ja suuruus kuinka paljon. Se on siinä.

Vektorilla on suunta ja suuruus. Suunta kertoo minne päin ja suuruus kuinka paljon. Se on siinä. Koska varsinkin toistensa suhteen liikkuvien kappaleiden liikkeen esittäminen suorastaan houkuttelee käyttämään vektoreita, mutta koska ne eivät kaikille ehkä ole kuitenkaan niin tuttuja kuin ansaitsisivat,

Lisätiedot

ax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa.

ax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa. BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 7, Syksy 206 Tutkitaan yhtälöryhmää x + y + z 0 2x + y + az b ax + y + 2z 0 (a) Jos a 0 ja b 0 niin mikä on yhtälöryhmän ratkaisu? Tulkitse ratkaisu

Lisätiedot

HalliPES 1.0 OSA 11: JÄYKISTYS

HalliPES 1.0 OSA 11: JÄYKISTYS 1.0 JOHDANTO Tässä osassa käsitellään yksittäisen kantavan rakenteen ja näistä koostuvan rakennekokonaisuuden nurjahdus-/ kiepahdustuentaa sekä primäärirungon kokonaisjäykistystä massiivipuurunkoisessa

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen kinetiikka: hitausmomentti ja liikeyhtälöt (Kirjan luvut 17.1, 17.2 ja 17.4) Osaamistavoitteet Ymmärtää hitausmomentin

Lisätiedot

Muodonmuutostila hum 30.8.13

Muodonmuutostila hum 30.8.13 Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan

Lisätiedot

8. Yhdistetyt rasitukset

8. Yhdistetyt rasitukset TAVOITTEET Analysoidaan ohutseinäisten painesäiliöiden jännitystilaa Tehdään yhteenveto edellisissä luennoissa olleille rasitustyypeille eli aksiaalikuormalle, väännölle, taivutukselle ja leikkausvoimalle.

Lisätiedot

7. Suora leikkaus TAVOITTEET 7. Suora leikkaus SISÄLTÖ

7. Suora leikkaus TAVOITTEET 7. Suora leikkaus SISÄLTÖ TAVOITTEET Kehitetään menetelmä, jolla selvitetään homogeenisen, prismaattisen suoran sauvan leikkausjännitysjakauma kun materiaali käyttäytyy lineaarielastisesti Menetelmä rajataan määrätyn tyyppisiin

Lisätiedot

Yleistä vektoreista GeoGebralla

Yleistä vektoreista GeoGebralla Vektoreita GeoGebralla Vektoreilla voi laskea joko komentopohjaisesti esim. CAS-ikkunassa tai piirtämällä piirtoikkunassa. Ensimmäisen tavan etuna on, että laskujen tueksi muodostuu kuva. Tästä on varmasti

Lisätiedot

Vektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa

Vektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa Viikon aiheet Pistetulo (skalaaritulo Vektorien tulot Pistetulo Ristitulo Skalaari- ja vektorikolmitulo Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integrointi, yhdistetyn funktion derivaatan integrointi Vektoreiden

Lisätiedot

Vektorin paikalla avaruudessa ei ole merkitystä. Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa kaikki kolme vektoria ovat samoja, ts.

Vektorin paikalla avaruudessa ei ole merkitystä. Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa kaikki kolme vektoria ovat samoja, ts. 49 3 VEKTORIT 3.1 VEKTORIN KÄSITE Vektori on suure, jolla suuruuden lisäksi on myös suunta (esim. kiihtyvyys). Skalaari puolestaan on suure, jolla on vain suuruus (esim. tiheys). Vektori graafisesti: Vektorin

Lisätiedot

VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN. Fysiikan ja kemian pedagogiikan perusteet (mat/fys/kem suunt.), luento 1 Kari Sormunen

VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN. Fysiikan ja kemian pedagogiikan perusteet (mat/fys/kem suunt.), luento 1 Kari Sormunen VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN Fysiikan ja kemian pedagogiikan perusteet (mat/fys/kem suunt.), luento 1 Kari Sormunen Vuorovaikutus on yksi keskeisimmistä fysiikan peruskäsitteistä

Lisätiedot

Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä

Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä Antti Haarto.5.13 Sähkövaraus Aine koostuu Varauksettomista neutroneista Positiivisista protoneista Negatiivisista elektroneista Elektronien siirtyessä

Lisätiedot

VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN. Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka, luento Kari Sormunen

VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN. Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka, luento Kari Sormunen VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka, 1.-2. luento Kari Sormunen Mitä yhteistä? Kirja pöydällä Opiskelijapari Teräskuulan liike magneetin lähellä

Lisätiedot

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Syksy 2016 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia Ajankohtaista Presemokyselyn poimintoja Millä odotuksilla aloitat

Lisätiedot

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017 763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,

Lisätiedot

PÄÄKANNATTAJAN LIITOSTEN MITOITUS

PÄÄKANNATTAJAN LIITOSTEN MITOITUS PÄÄKANNATTAJAN LIITOSTEN MITOITUS VERKKOLIITE 1a Diagonaalien liitos pääkannattajan alapaarteeseen (harjalohkossa) Huom! K-liitoksen mitoituskaavoissa otetaan muuttujan β arvoa ja siitä laskettavaa k n

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

kertausta Esimerkki I

kertausta Esimerkki I tavoitteet kertausta osaat määrittää jäykän kappaleen hitausmomentin laskennallisesti ymmärrät kuinka vierimisessä eteneminen ja pyöriminen kytekytyvät osaat soveltaa energiaperiaatetta vierimisongelmiin

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka uento 16: Yleinen tasoliike kappaleen liikkeen mallinnus ja analysointi Jua Hartikainen Rakennustekniikan laitos Aalto-yliopiston insinööritieteiden korkeakoulu 16 Yleinen

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 25.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Tämän päivän luento Aiemmin ollaan johdettu palkin voimatasapainoyhtälöt differentiaaligeometrisella tavalla

Lisätiedot

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2016 1 / 21 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Verkot ja todennäköisyyslaskenta

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Verkot ja todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Verkot ja todennäköisyyslaskenta TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Verkot ja todennäköisyyslaskenta >> Puudiagrammit todennäköisyyslaskennassa:

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 29.3.2016 Susanna Hurme Yleisen tasoliikkeen kinematiikka: absoluuttinen ja suhteellinen liike, rajoitettu liike (Kirjan luvut 16.4-16.7) Osaamistavoitteet Ymmärtää,

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

Akselipainolaskelmat. Yleistä tietoa akselipainolaskelmista

Akselipainolaskelmat. Yleistä tietoa akselipainolaskelmista Yleistä tietoa akselipainolaskelmista Kun kuorma-autoa halutaan käyttää mihin tahansa kuljetustyöhön, tehtaalta toimitettua alustaa täytyy täydentää jonkinlaisella päällirakenteella. Yleistä tietoa akselipainolaskelmista

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho

Luento 10: Työ, energia ja teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Ajat pyörällä ylös jyrkkää mäkeä. Huipulle vie kaksi polkua, toinen kaksi kertaa pidempi kuin

Lisätiedot

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt 6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran

Lisätiedot