MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009"

Transkriptio

1 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa olla ohjelmoitava eikä graafinen laskin ERITYISTÄ HUOMATTAVAA: Vastaa kaikkiin neljään pakolliseen kysymykseen. Valitse kolmesta valinnaisesta kysymyksestä vastattavaksi kaksi ja merkitse ne rastilla lomakkeen ruutuihin. Laske jokainen koetehtävä eri paperille. Sivu 1/8

2 PAKOLLINEN KYSYMYS 1 ANALYYSI Tarkastellaan funktiota f, joka määritellään: x f( x) xe, x 0. Alla oleva kuva esittää funktion f kuvaajaa sekä pisteiden O ja A kautta kulkevaa suoraa, missä piste A on funktion f kuvaajan maksimipiste. a) i. Laske pisteen A koordinaatit. ii. Osoita, että pisteiden O ja A kautta kulkevan suoran yhtälö on x y. e b) Laske kuvion varjostetun alueen pinta-ala. 6 pistettä Sivu 2/8

3 PAKOLLINEN KYSYMYS 2 ANALYYSI Opiskelija tutkii kokeellisesti bakteeripopulaation kasvua. Hänen laatimansa mallin mukaan kasvu noudattaa differentiaaliyhtälöä dn 0,25 N t, dt missä t on kokeen alusta kulunut aika minuutteina ja N on bakteerien lukumäärä ajanhetkellä t. Suoritetaan nyt koe, jonka alussa bakteerien lukumäärä on a) Määritä tämän differentiaaliyhtälön ratkaisu, joka antaa lukumäärän N ajan t funktiona. b) i. Laske bakteerien lukumäärä 4 minuutin kuluttua kokeen alusta. ii. Laske aika, jonka kuluessa bakteerien lukumäärä kasvaa bakteeriin. 6 pistettä Sivu 3/8

4 PAKOLLINEN KYSYMYS 3 GEOMETRIA Kolmiulotteisessa suorakulmaisessa koordinaatistossa annetaan taso : 4x3y 12. a) i. Määritä tason ja koordinaattiakselien leikkauspisteiden koordinaatit. ii. Määritä parametrimuotoinen yhtälö tason ja xy-tason leikkaussuoralle. b) i. Piste P on origon O kuvapiste peilauksessa tason suhteen. Määritä pisteen P koordinaatit. ii. Määritä niiden tasojen koordinaattimuotoiset yhtälöt, jotka ovat yhdensuuntaisia tason kanssa ja etäisyydellä 4 tasosta. Sivu 4/8

5 PAKOLLINEN KYSYMYS 4 TODENNÄKÖISYYS Tehtaaseen on asennettu hälytysjärjestelmä, joka aktivoituu välittömästi, kun tuotantolinjalla esiintyy häiriö. Jos hälytys aktivoituu, tuotantolinja suljetaan lopuksi päivää. Hälytysjärjestelmä ei kuitenkaan toimi aina oikein. Tiedetään, että minkä tahansa päivän aikana hälytys aktivoituu todennäköisyydellä 0,02, vaikka häiriötä ei esiinny, hälytys ei aktivoidu todennäköisyydellä 0,2, vaikka häiriö esiintyy. Tiedetään lisäksi, että häiriö esiintyy minkä tahansa päivän aikana todennäköisyydellä 0,01. a) i. Laske todennäköisyys, että tietyn päivän aikana tuotantolinjalla esiintyy häiriö ja se aktivoi hälytyksen. ii. Laske todennäköisyys, että tietyn päivän aikana hälytys aktivoituu. b) i. Hälytys on aktivoitunut. Laske todennäköisyys, että tuotantolinjalla on todella esiintynyt häiriö. ii. Laske todennäköisyys, että seitsemän päivän aikana hälytys aktivoituu täsmälleen kahtena päivänä. Sivu 5/8

6 VALINNAINEN KYSYMYS I ANALYYSI Tarkastellaan funktiota f, joka määritellään: f 3x ln x, kun x) 3x ln x, kun ( 1 0 x 1 x 1. Olkoon F funktion f kuvaaja suorakulmaisessa koordinaatistossa. a) Osoita, että funktio f on jatkuva ja derivoituva kohdassa x 1. b) Tutki funktiota f määrittämällä sen nollakohta, ääriarvopisteiden koordinaatit ja ääriarvojen luonne sekä funktion f (x) raja-arvot, kun x ja kun x 0. 6 pistettä c) Hahmottele kuvaaja F. d) Kuvaajalle F piirretään tangentti pisteeseen, jossa F leikkaa x-akselin. Määritä tangentin yhtälö. e) i. Määritä sen alueen pinta-ala A (k), jonka kuvaaja F rajoittaa yhdessä x-akselin sekä suorien x k ( 0 k 1) ja x 1 kanssa. ii. Määritä A lim A( k). k 0 f) i. Määritä sen alueen pinta-ala B ( p), jonka kuvaaja F rajoittaa yhdessä x-akselin sekä suorien x 1 ja x p ( p 1) kanssa. ii. Määritä luku p siten, että B( p) A. Sivu 6/8

7 VALINNAINEN KYSYMYS II TODENNÄKÖISYYS Erään yhtiön valmistamissa leluissa on vain kaksi mahdollista virhettä: värivirhe ja muotovirhe. Nämä kaksi virhettä esiintyvät toisistaan riippumatta. Umpimähkään valitulle lelulle määrittelemme tapahtumat: A: lelussa on värivirhe, B: lelussa on muotovirhe, C: lelussa on ainakin yksi kahdesta virheestä. Tiedetään, että P( A ) 0, 052 ja P( B ) 0, 041. a) Laske P( A B). b) Laske P( C ). Seuraavissa kysymyksissä c) ja d) oletetaan, että tuotannosta umpimähkään valitussa lelussa on ainakin yksi kahdesta virheestä todennäköisyydellä 0,09. Lelut valitaan umpimähkään ja pakataan laatikoihin. c) Liike ostaa leluja, jotka on pakattu 60 lelun laatikoihin. Olkoon X satunnaismuuttuja, joka ilmoittaa niiden laatikossa olevien lelujen lukumäärän, joissa on ainakin yksi kahdesta virheestä. i. Ilmoita, millainen on satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauma ja mitkä ovat sen parametrit. 1 piste ii. Laske P( X 5). iii. Jakaumaa X approksimoidaan Poisson-jakaumalla. Laske tämän jakauman parametri. iv. Laske tätä Poisson-approksimaatiota käyttäen todennäköisyys, että umpimähkään valitussa laatikossa on vähemmän kuin 3 sellaista lelua, jossa on ainakin yksi kahdesta virheestä. 1 piste d) Toinen liike ostaa leluja, jotka on pakattu 500 lelun laatikoihin. Olkoon Y satunnaismuuttuja, joka ilmoittaa niiden laatikossa olevien lelujen lukumäärän, joissa on ainakin yksi kahdesta virheestä. i. Perustele, miksi satunnaismuuttujan Y jakaumalle voidaan käyttää normaalijakauma-approksimaatiota, ja laske sen parametrit. ii. Laske P( Y 50). iii. Laske P(20 Y 30). Sivu 7/8

8 VALINNAINEN KYSYMYS III GEOMETRIA Sivu 1 / 1 Kolmiulotteisessa suorakulmaisessa koordinaatistossa annetaan pisteet P ( 0, 1, 1) ja Q ( 3, 0, 3), suora d : x 2t y t z 2 2t, t IR, pallo S : x y z 2x 2y 2z 6 0 ja taso : 2x y 4 0. a) Taso sisältää pisteen P ja suoran d. Osoita, että x2y2z4 0 on tason yhtälö. b) Määritä pallon S keskipisteen C koordinaatit ja säde R. c) Määritä yhtälöt niille kahdelle pallolle, joiden säde r 3 ja jotka sivuavat tasoa pisteessä P. 6 pistettä Osoita, että toinen näistä palloista on S. d) Osoita, että tasot ja ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. e) Taso ja pallo S leikkaavat toisensa pitkin ympyrää K. Määritä ympyrän K keskipiste ja säde. f) i. Osoita, että Q on pallon S piste. ii. Suora m sivuaa palloa S pisteessä Q ja leikkaa suoran d. Määritä parametrimuotoinen yhtälö suoralle m. 5 pistettä 1 piste 5 pistettä Sivu 8/8

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 3 tuntia (180 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 010 MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4 kesäkuuta 010 KOKEEN KESTO: 3 tuntia (180 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa olla

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt 6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus

Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 8. Vektoriarvoiset funktiot 8.1. Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 320. Olkoon u reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio R R n ja lim t a u(t) = b. Todista: lim t a u(t) = b. 321. Olkoon

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

1. a) Laske lukujen 1, 1 ja keskiarvo. arvo. b) Laske lausekkeen. c) Laske integraalin ( x xdx ) arvo. MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

1. a) Laske lukujen 1, 1 ja keskiarvo. arvo. b) Laske lausekkeen. c) Laske integraalin ( x xdx ) arvo. MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 13..015 MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti 8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ YLIOPPILSTUTKINTO- LUTKUNT..7 MTEMTIIKN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ -osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän alla olevaan ruudukkoon.

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS: 6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali 6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A23 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 216 Laskuharjoitus 2A (Vastaukset) Alkuviikolla

Lisätiedot

a b c d

a b c d 1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa Ympyrän ja pallon ominaisuuksia

Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa Ympyrän ja pallon ominaisuuksia 10. Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa 10.1. Ympyrän ja pallon ominaisuuksia 446. Minkä käyrän muodostavat ne tason E 2 pisteet, joista pisteitä ( a,0) ja (a,0) yhdistävä jana (a > 0) näkyy 45

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Yleistä 1. Ratkaise yhtälöt. a) n n n n n 5 b) x 3 x 1 5 5 5 5 5 5 x 1 0 x c). Suureet x ja y ovat

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Käyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa

Käyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa Solmu 3/2008 1 Käyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa Georg Metsalo georg.metsalo@tkk.fi Tämä kirjoitus on yhteenveto kaksiosaisesta esitelmästä Maunulan yhteiskoulun matematiikkapäivänä

Lisätiedot

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen?

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen? YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 3.3.0 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

Piste ja jana koordinaatistossa

Piste ja jana koordinaatistossa 607 Piste ja jana koordinaatistossa ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 Kertausta kurssi Eri asioiden välisten riippuvuuksien havainnollistamiseen kätetään usein koordinaatistoesitstä Pstakselilla riippuvan muuttujan

Lisätiedot

Kokelaan sukunimi ja kaikki etunimet selväsi kirjoitetuna. Kaava 1 b =2a 2 b =0,5a 3 b =1,5a 4 b = 1a. 4 5 b =4a 6 b = 5a

Kokelaan sukunimi ja kaikki etunimet selväsi kirjoitetuna. Kaava 1 b =2a 2 b =0,5a 3 b =1,5a 4 b = 1a. 4 5 b =4a 6 b = 5a 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 28.9.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

= = = 1 3.

= = = 1 3. 9. 10. 2008!"$#&%(')'*,#.-/* P1. lkuperäisen punaisen kuution pinta koostuu kuudesta 3 3-neliöstä, joten sen ala on 6 3 2 = 54. Koska 3 3 =, kuutio jakautuu leikatessa yksikkökuutioksi, joiden kokonaispinta-ala

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden, sisältöjen ja isteitysten luonnehdinta

Lisätiedot

4 (x 1)(y 3) (y 3) (x 1)(y 3)3 5 3

4 (x 1)(y 3) (y 3) (x 1)(y 3)3 5 3 . Taylorin polynomi; funktion ääriarvot.1. Taylorin polynomi 94. Kehitä funktio f (x,y) = x 2 y Taylorin polynomiksi kehityskeskuksena piste ( 1,2) a) laskemalla osittaisderivaatat, b) kirjoittamalla muuttujat

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

2 x 5 4x + x 2, [ 100,2].

2 x 5 4x + x 2, [ 100,2]. 7. Derivaatan sovellutuksia 7.1. Derivaatta tangentin kulmakertoimena 6. Määritä a, b ja c siten, että käyrät y = x + ax + b ja y = cx x sivuavat toisiaan pisteessä (1,). a = 0, b =, c = 4. 6. Määritä

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

Mb03 Koe 21.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/4

Mb03 Koe 21.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/4 Mb03 Koe 2..20 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu /4 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta)

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta) MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 3.3.06. ( piste/kohta) Sivu / 8 Kohta Vaihtoehdon numero A B C D E F 3. a) Ainakin yhdet sulut kerrottu oikein auki 6x 4x x( 3x) Ratkaistu nollakohdat sieventämisen lisäksi

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Koordinaatistot 1/6 Sisältö Koordinaatiston ja koordinaattien käsite Geometrisissa tehtävissä ja siten mös monissa kätännön ongelmissa on usein tarpeen ilmoittaa pisteiden sijainti jonkin kiinteän vertailussteemin

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no

Lisätiedot

Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit

Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit Pitkä matematiikka, kevät 016 Mallivastaukset, 3.3.016 Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Teemu Kekkonen ja

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7. Koe Jussi Tyni 1..01 1. Laske raja-arvot: a) 5 x lim x5 x 10 b) x 8x16 lim x x 9 x. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (5). b) Onko funktio f x vastauksesi lyhyesti 1 9 x ( ) x f ( x)

Lisätiedot

Riemannin pintojen visualisoinnista

Riemannin pintojen visualisoinnista Riemannin pintojen visualisoinnista eli Funktioiden R R kuvaajat Simo K. Kivelä 7.7.6 Tarkastelun kohteena olkoon kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio f : C C, f(z) = w eli f(x + iy) = u(x, y)

Lisätiedot

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ INTERNETIX Ylioppilaskirjoitusten tehtävät Page YLIOPPILSTUTINTO MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ okeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Eräät tehtävät sisältävät useita osia [merkittynä a), b) jne],

Lisätiedot

3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio

3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio 3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio Arkikielessä saatetaan sanoa esimerkiksi niin, että auton jarrutusmatka on vauhdin funktio tai että jäätien kantavuus on jään paksuuden funktio. Nämä sanonnat

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 8906 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Tutkintoaineen sensorikokous on hyväksynyt seuraavat hyvän vastauksen piirteet Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty

Lisätiedot