MAA preliminääri 2018

Save this PDF as:

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "MAA preliminääri 2018"

Transkriptio

1 MAA preliminääri 018 Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Kirjoita A-osion ratkaisut alla olevaan ruudukkoon. Vastausta voi tarvittaessa jatkaa erillisellä puoliarkilla. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Taulukkokirjaa saa käyttää koko kokeessa. Koevihko ja mahdolliset A-osan erilliset vastausarkit on palautettava viimeistään kolmen tunnin kuluttua kokeen alkamisesta lukion määräämällä tavalla. A-osio. Ratkaise enintään neljä tehtävää. Nimi A1. a) Sievennä (x-) -(x- )(x+ ). 7 b) Laske (1 ) - p + sin( ). c) Ratkaise yhtälö -(x -5x- 1) = 5. 1

2 A. a) Millä vakion a arvoilla funktio f( x) = x + x+ a saa vain positiivisia arvoja? b) Laske c) Ratkaise yhtälö 0 ò -1 x( x + 1) dx. lg( x ) + = 0.

3 A. a) Pisteestä A = (-6, -, -4) kuljetaan 6 yksikköä vektorin b= i - j + k suuntaan, jolloin päädytään pisteeseen L. Kuinka kaukana piste L on pisteestä C = (1, -, )? b) Olkoon vektori a = 4 i - t j + ( t+ 6) k ja b= i - j + tk. Määritä luku t siten, että vektorit a ja b ovat yhdensuuntaiset.

4 A4. Funktio f( x) on kaikkialla määritelty, jatkuva ja funktion perusjakso on 4. Oheisessa kuviossa on funktion f( x) kuvaaja välillä - 4 x 0. Hahmottele seuraavat kuvaajat. Perusteluja ei tarvita. a) f( x), kun - 4 x 0 b) f( x) + f( x), kun 4 x 8 c) f( x), kun 0 x 6. 4

5 B1-osio. Laske tehtävistä B5-B9 enintään kolme. B5. Suorakulmaisen kolmion A kateetit ovat 18 ja 80. Hypotenuusan keskinormaali jakaa kolmion A kahteen osaan, kolmioon B ja nelikulmioon. a) Laske keskinormaalista kolmion sisään jäävän janan pituus. b) Kuinka monta prosenttia kolmion A pinta-ala on suurempi kuin kolmion B pinta-ala? B6. a) Osoita, että kaikki paraabelit y- a= x -( a-1) x kulkevat saman pisteen kautta riippumatta vakion a arvosta. p b) Mikä on tämä piste? c) Määritä tästä paraabeliparvesta se paraabeli, jonka kuvaaja sivuaa suoraa y =1. p B7. Etanoista ennustavan eukon mukaan poudan todennäköisyys on joka päivä 67,89 %. Laske todennäköisyys, että viiden päivän jaksossa a) kaikki päivät ovat sadepäiviä. b) poutapäiviä tulee neljä. p c) tulee tasan kolme peräkkäistä poutapäivää. p B8. a) Eliön kuollessa hiili-isotoopin C-14 pitoisuus alkaa vähentyä eksponentiaalisesti. Kuinka vanha on puuesine, jonka C-14 pitoisuus on vähentynyt 8 %? Kyseisen isotoopin puoliintumisaika 570 vuotta. 1 b) sin x =- ja p < x < p. Määritä kulman x kosinin tarkka arvo sekä kulman x likiarvo. B9. a) Missä lukujärjestelmässä kymmenjärjestelmän luku 51 kirjoitetaan muodossa 1? 017 b) Osoita, että jos k on pariton, niin myös k on pariton. 5

6 B-osio. Laske tehtävistä B10-B1 enintään kolme. B10. Muumimukin sisäosa on katkaistun kartion muotoinen, jossa pohjan halkaisija on 6,4 cm ja suuosan halkaisija 7,6 cm. Mukiin kaadetaan1,5 dl kahvia. Kuinka korkealle nousee nesteen yläpinta mukin pohjasta laskettuna, kun mukin sisäkorkeus on 7 mm? B11. a) Kirjoita erotusosamäärän lauseke kohdasta a kohtaan a+ h? Mitä asiaa erotusosamäärän avulla selvitetään? p x b) Jyrkkää rinnettä kuvaa likimäärin funktio f( x) =-x tietyllä välillä. Arvioi rinteen kaltevuuskulmaa kohdassa x =1, 5 käyttäen keskeisdifferenssiä ja arvoa h = 0,01. Anna tulos asteen kymmenesosan tarkkuudella. 4p B1. Paraabelille y = x-x piirretään I-neljänneksen pisteeseen tangentti, jonka kuvaaja on laskeva suora. Tangentti rajoittaa positiivisten koordinaattiakselien ja käyrän y = x-x kuvaajan kanssa kaksiosaisen alueen A. Laske alueen A pinta-alan pienin mahdollinen arvo. ì 8 ï B1. a) Osoita, että funktio f( x) = í (x + 4), x³ 0 on erään ï î0, muulloin satunnaismuuttujan X tiheysfunktio. b) Muodosta satunnaismuuttujan X kertymäfunktion F( x) lauseke. c) Laske todennäköisyys PX> ( 6). 6

7 Ratkaisut A1. a) Sievennä (x-) -(x- )(x+ ). 7 b) Laske (1 ) - p + sin( ). c) Ratkaise yhtälö -(x -5x- 1) = 5. Ratkaisu: a) (x-) -(x- )(x+ ) = 4x - 1x+ 9 -(4x -9) =- 1x b) (1 ) - p p + sin( ) = ( ) + sin( + p ) 5 9 p 9 16 = + sin( ) = - 1 = c) -(x -5x- 1) = 5Û - x + 5x+ 1= 5Û - x + 5x- = 0 A. a) Millä vakion a arvoilla funktio f( x) = x + x+ a saa vain positiivisia arvoja? b) Laske - ± x= Û x= x= () - c) Ratkaise yhtälö 0 ò ( ) ( ) tai 1. x( x + 1) dx. lg( x ) + = 0. Ratkaisu: a) Tapa I: Yhtälön diskriminantin D= a= 4-4a on oltava negatiivinen, sillä kyseisen funktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Siis 4-4a< 0 Û a> 1. Tapa II: Havaitaan, että x + x+ a= ( x+ 1) + a-1, josta huipun koordinaatit (-1, a -1). Huipun y-koordinaatti oltava positiivinen, joten a- 1 > 0 Û a> 1. Tapa III: Selvitään huipun koordinaatit derivaatan avulla. Huipun y-koordinaatti oltava positiivinen, joten a- 1 > 0 Û a> b) ò x( x + 1) dx = /( x + x ) = ( )-( (- 1) + (- 1) ) =-. c) lg( x ) + = 0. Oltava x > 0 Û x< 0 tai x> 0. ( ei vaadita) - 1 log 10( x ) =-Þ x = 10 = Saatu molemmat vastaukset x= tai x= Yhtälön muokkaaminen muotoon lg( x ) + = 0 max 7

8 A. a) Pisteestä A = (-6, -, -4) kuljetaan 6 yksikköä vektorin b= i - j + k suuntaan, jolloin päädytään pisteeseen L. Kuinka kaukana piste L on pisteestä b) Olkoon vektori Määritä luku t siten, että vektorit a ja b ovat yhdensuuntaiset. Ratkaisu: a) Vektorin a = 4 i - t j + ( t+ 6) k ja b= i - j + tk. b= i - j + k pituus b = + (- 1) + =. C = (1, -, )? Paikkavektori OL = OA + b ( tai b = b, josta OL= OA+ 6 b ). OL =-6i-j - 4k + (i - j + k ) =-i -4 j Þ L = (-, -4, 0). Pituus LC = (1 + ) + (- + 4) + ( - 0) =. b) Oltava a = sb, s ¹ 0. 4 i - t j + ( t + 6) k = s(i - j + t k ) Û 4 i - t j + ( t + 6) k = si - s j + tsk. ì 4= s ï Vertailemalla kertoimia saadaan yhtälöryhmä í - t =-. s ï ît + 6 = ts Ylimmästä yhtälöstä saadaan s = ja keskimmäisestä yhtälöstä t = 6. Katsotaan toteutuuko alimmainen yhtälö (tämä suoritus on oltava). 6+ 6= 6 tosi. Siis t = 6. A4. Funktio f( x) on kaikkialla määritelty, jatkuva ja funktion perusjakso on 4. Oheisessa kuviossa on funktion f( x) kuvaaja välillä - 4 x 0. Hahmottele seuraavat kuvaajat. Perusteluja ei tarvita. a) f( x), kun - 4 x 0 b) f( x) + f( x), kun 4 x 8 c) f( x), kun 0 x 6. Ratkaisu: a) Y-koordinaatin arvot kaksinkertaistuvat, nollakohdat säilyvät ja minimipisteen koordinaatit ovat (-, -4). Jos piirretty väärälle välille, niin max. b) Jaksollisuuden nojalla funktion f( x) kuvaaja on välillä 4 x 8 samanlainen kuin tehtävässä piirretty kuvaaja. Välillä Täten tällä välillä 4 x 8 pätee f( x) 0, jolloin f( x) =-f( x). f( x) + f( x) =- f( x) + f( x) = 0 eli jana x- akselilla. 8

9 4 c) Sisäfunktio johtaa jakson puolittumiseen. Jakso on siten =. Minimipisteen y-koordinaatti on edelleen -. Jos piirretty väärälle välille tai ei ole kolmea kupua, niin 0p Yleisohje koko tehtävälle. Huolimaton piirto max 5. Ei ole korostettu, että myös välin päätepisteet ovat mukana max 4. 9

10 B1-osio. Laske tehtävistä B5-B9 enintään kolme. B5. Suorakulmaisen kolmion A kateetit ovat 18 ja 80. Hypotenuusan keskinormaali jakaa 10

11 kolmion A kahteen osaan, kolmioon B ja nelikulmioon. a) Laske keskinormaalista kolmion sisään jäävän janan pituus. b) Kuinka monta prosenttia kolmion A pinta-ala on suurempi kuin kolmion B pinta-ala? Ratkaisu: a) Kuvion merkinnöillä saadaan hypotenuusan FE pituus jolloin janan DE pituus DE = 41. Oltava hyvä kuvio. Kolmiot CDF ja EDG ovat yhdenmuotoisia (kk), sillä C = E suorana kulmana ja D on molemmille kolmioille yhteinen. Yhdenmuotoisuus pitää perustella. Olkoon x kysytyn janan pituus. x Saadaan verranto = Þ x = = 9 = 9, ,5 b) Kolmion A pinta-ala on A = = 70 ja pinta-ala on B = = 189, Alojen suhde = =, , (Alojen suhde voidaan laskea myös mittakaavan neliönä FE = = 8, Täten kolmion A pinta-ala on 80,75...%» 80 % suurempi kuin kolmion B pinta-ala +p Jos merkitseviä numeroita on 4 tai enemmän, niin max 5 Mikäli laskettu vain likiarvoilla, niin max 4 Vastaus 80 % - æ80 ö ç ). è41ø B6. a) Osoita, että kaikki paraabelit y- a= x -( a-1) x kulkevat saman pisteen kautta riippumatta vakion a arvosta. p b) Mikä on tämä piste? c) Määritä tästä paraabeliparvesta se paraabeli, jonka kuvaaja sivuaa suoraa y =1. p Ratkaisu: a) Valitaan paraabeliparvesta esim. a:n arvoja a = 0 ja a = 1 vastaavat paraabelit. 11

12 Saadaan y = x + x ja ì y = x + x Yhtälöparista í seuraa x + x= x +1Þ x= 1 ja y =. î y = x + 1 (Tai joku muu järkevä aloitus ) Osoitetaan, että kaikki parven paraabelit kulkevat tämän pisteen kautta sijoittamalla x= 1 ja y = paraabeliparveen mikä on tosi lause. b) Piste P = (1,). c) Tapa I: Yhtälöparilla y = x + (1 - a) x+ a ja y = 1 pitää olla vain yksi ratkaisu (kaksoisjuuri), jolloin yhtälön 1 = x + (1 - a) x+ a eli x + (1 - a) x+ a- 1 = 0 diskriminantin oltava nolla. Tulon nollasäännön avulla saadaan josta paraabelit y = x + 1 tai y = x - 4x+ 5. Tapa II: Paraabelin huipun y-koordinaatin pitää olla 1. Neliöksi täydentämällä saadaan a a 1 josta huipun y-koordinaatti a a 1 Saadaan yhtälö = Jatko kuten tavassa II -b b -4ac Tapa III: Havaitaan, että ratkaisukaavasta ax + bx + c = 0 Þ x = ± a a -b seuraa symmetrian nojalla, että huipun x-koordinaatti x =. a Nyt siis paraabelin Tapa IV: Olkoon y = x a= 1 -( a- 1) 1Û - a= -a, D= -a - a- = Û a - a+ = (1 ) 4 1 ( 1) a a a a = 0 Û( -1)( - 5) = 0. a= 1 tai a= 5, -(1-a) a-1 x = =. 1 y = x -( a- 1) x+ a huipun x-koordinaatti on Y-koordinaatti saadaan sijoittamalla. Jne. f x x a x a ( ) = -( - 1) +. TI-nspire ja tangentin yhtälö, josta jatko. a-1 a a 1 x -( a- 1) x+ a = ( x- ) - + -, 4 4 Huipun x-luku symbolisella laskimella 1

13 B7. Etanoista ennustavan eukon mukaan poudan todennäköisyys on joka päivä 67,89 %. Laske todennäköisyys, että viiden päivän jaksossa a) kaikki päivät ovat sadepäiviä. b) poutapäiviä tulee neljä. p c) tulee tasan kolme peräkkäistä poutapäivää. p Ratkaisu: a) poutapäivä = p ja sadepäivä = s. P(" s ") = 1-0,6789 = 0,11. Suotuisa tapahtuma s ja s ja s ja s ja s. Kertolaskukaavan nojalla saadaan 5 P( kysytty ) = 0,11 = 0, » 0, b) Binomikaavan nojalla saadaan æ5ö 4 1 P( kysytty ) = ç 0,6789 0,11 = 0, » 0,411. è4ø Vaihtoehtoinen tapa: jono pppps, pppsp, ppspp, psppp,spppp vastaus Puuttuu järjestys max c) Jono pppss, sppps, ssppp, josta todennäköisyys P 1 = 0, ,11 = 0, Havaittu myös suotuisa jono psppp tai pppsp, josta todennäköisyys 4 P = 0, ,11 = 0, Kysytty todennäköisyys on P1+ P = 0, » 0,. Yleisohje koko tehtävälle: ei vaadita vastaukseen neljää merkitsevää numeroa, mutta jos on väärin pyöristetty niin max 5. Desimaalien määrää riippuu laskimesta ja asetuksista. 1

14 B8. a) Eliön kuollessa hiili-isotoopin C-14 pitoisuus alkaa vähentyä eksponentiaalisesti. Kuinka vanha on puuesine, jonka C-14 pitoisuus on vähentynyt 8 %? Kyseisen isotoopin puoliintumisaika on 570 vuotta. 1 b) sin x =- ja p < x < p. Määritä kulman x kosinin tarkka arvo sekä kulman x likiarvo. Ratkaisu: a) Tapa I: Hiilen C-14 alkumäärä olkoon a. (Jos sitä ei ole, niin max.) 1 t/570 Määrää t vuoden kuluttua kuvaa malli Nt () = a ( ). 1 t/570 Saadaan yhtälö a ( ) = (1-0,8) a eli 1 t/570 t ln(0, 7) ( ) = 0, 7 Þ = Û t = 715, » 700 vuotta ln( ) Hyväksytään myös 716 tai 70 vuotta, mutta jos desimaaleja mukana niin - t Tapa II: Määrää t vuoden kuluttua kuvaa malli Nt () = ak. Puoliintumisajasta saadaan yhtälö a k = aþ k = ( ) = 0, Täten kysytty saadaan ratkaistua yhtälöstä t ln(0, 7) a 0, = 0, 7aÞ t = ln(0, ) = 715, » 700 vuotta. b) Kyseessä kolmas neljännes, joten kulman x kosinin arvo on negatiivinen. cos x=- 1-sin 1 =- - - =- x 1 ( ). 14

15 -1 cos( x ) =-, josta eräs kulma x = cos (- ) =, (rad). Kaikki yhtälön cos( x ) =- ratkaisut ovat x=±, n p, missä n on kokonaisluku. Ainoa ratkaisu, joka toteuttaa ehdon p < x < p on -, p =, », 48. (» 199,47 ) Tapa II: B9. a) Missä lukujärjestelmässä kymmenjärjestelmän luku 51 kirjoitetaan muodossa 1? 017 b) Osoita, että jos k on pariton, niin myös k on pariton. Ratkaisu: a) Olkoon lukujärjestelmän kantaluku k. 1 0 Tällöin 1k = 1 k + k + k = k + k+. +p Saadaan yhtälö k k k k + + = 51 Û( - 6)( + 8) = 0. Tulon nollasäännön nojalla saadaan k = 6 tai ( k =-8,ei mielekäs). b) Käytetään epäsuoraa todistustapaa. Tehdään antiteesi: k on parillinen. joten k on muotoa k = n, missä n on kokonaisluku Tällöin k = ( n) = n Luku n = n = ( n ) = m, missä m on kokonaisluku. Luku m on siten parillinen, koska tekijänä on luku. Siten ristiriita 017 oletuksen k on pariton kanssa eli antiteesi on väärä eli itse teesi oikea. 15

16 B-osio. Laske tehtävistä B10-B1 enintään kolme. B10. Muumimukin sisäosa on katkaistun kartion muotoinen, jossa pohjan halkaisija on 6,4 cm ja suuosan halkaisija 7,6 cm. Mukiin kaadetaan1,5 dl kahvia. Kuinka korkealle nousee nesteen yläpinta mukin pohjasta laskettuna, kun mukin sisäkorkeus on 7 mm? Ratkaisu: Tapa I: Sijoitetaan mukin pohjan keskipiste origoon, jolloin pohjan halkaisijan 1 reuna on pisteessä A = (,0). Katso kuvio Suuosan halkaisijan reuna on pisteessä B = (,7 ). 5 5 (tai joku muu järkevä aloitus) ) (tai hyvä kuvio) ) 7, Suoran AB yhtälö y- 0 = ( x-, ) Þ y = 1 x-.,8 -, 5 Mukin sisäosa syntyy, kun jana AB pyörähtää y-akselin ympäri y = 1 x- Û x= y+. Olkoon h kysytty korkeus muki Yhtälö h h h 1 16 ò òp y òp ( ) V = dv = r dy = y + dy V muki = 150 (5 + 19) p ( ) = p / h y dy = h h h ratkaistu symbolisella laskimella ja saatu = 4, » 4, cm. 7, Tapa II: Saatu janan AB yhtälö y- 0 = ( x-, ) Þ y = 1 x-. +p,8 -, Suuosan säde korkeudella h on h Käytetty katkaistun kartion taulukkokirjan kaavaa ja saatu yhtälö p h (, +, ( h+ ) + ( h+ ) ) = p Ratkaistu yhtälö symbolisella laskimella ja saatu h = 4, » 4, cm. 16

17 B11. a) Kirjoita erotusosamäärän lauseke kohdasta a kohtaan a+ h? Mitä asiaa erotusosamäärän avulla selvitetään? p x b) Jyrkkää rinnettä kuvaa likimäärin funktio f( x) =-x tietyllä välillä. Arvioi rinteen kaltevuuskulmaa kohdassa x =1, 5 käyttäen keskeisdifferenssiä ja arvoa h = 0,01. Anna tulos asteen kymmenesosan tarkkuudella. 4p Ratkaisu: f( a+ h) - f( a) a) Lauseke on. h Erotusosamäärän avulla voidaan selvittää pisteiden ( a, f( a)) ja ( a+ h, f( a+ h)) kautta kulkevan sekanttisuoran kulmakerroin. Huom. Jo sanat sekantti ja kulmakerroin antavat pisteen x b) Tapa I: Määritellään laskimeen funktio f( x) =-x. f( a+ h) - f( a-h) Keskeisdifferenssi. h f(1,5 + 0,01) - f(1,5-0,01) =. 0,01 =-6, (Desimaalien määrä riippuu käytettävästä laskimesta ja asetuksesta) Keskeisdifferenssi antaa sekantin kulmakertoimen, joten tana =-6, a = tan (- 6, ) =- 87, »-87,8. Huom! Miinus merkkiä ei vaadita vastaukseen 17

18 Tapa II: b) Keskeisdifferenssi on oikeanpuoleisen ja vasemmanpuoleisen erotusosamäärän keskiarvo. f(1,5 + 0, 01) - f(1,5) Oik.p. =-6, ,01 f(1,5-0, 01) - f(1,5) Vas.p - =-5, ,01 Keskiarvo -6, Vastaus B1. Paraabelille y = x-x piirretään I-neljänneksen pisteeseen tangentti, jonka kuvaaja on laskeva suora. Tangentti rajoittaa positiivisten koordinaattiakselien ja käyrän y = x-x kuvaajan kanssa kaksiosaisen alueen A. Laske alueen A pinta-alan pienin mahdollinen arvo. 1 Ratkaisu: Olkoon tangentin sivuamispisteen koordinaatit ( aa, - a), missä < a 1. ( Jos määrittelyehtoa ei missään mainita, niin max 5p) Tangentin yhtälö y-( a- a ) = (1- a)( x-a). ( y = 1-x) y = - a x+ a (1 ). a Tangentti leikkaa y-akselin kohdassa B= (0, a ) ja x-akselin kohdassa C = (,0). a -1 a a 4 Kolmion OBC pinta-ala 1 a 1 A= a - =, < a 1. Piste O on origo. 4a - Paraabeli y = x-x rajoittaa välillä 0 x 1 alueen D, jonka ala 1 1 saadaan integraalista ò ( x - x ) dx = a 1 1 Kysytyn kaksiosaisen alueen pinta-ala on Ea ( ) = A- D= -, < a 1. 4a - 6 a (a- ) 1 Derivaatta E ( a) =, < a< 1. ( symbolinen laskin) (a -1) 18

19 Derivaatan nollakohta a= tai ( a= 0). ( symbolinen laskin) Perustelu absoluuttiselle minimille esim. kulkukaavion/ funktion kuvaajan/derivaatan kuvaajan avulla E (0, 6) =- 1, 08 < 0 ja E (0, 7) = 0, 1475 > 0. Täten derivaatan merkki vaihtuu kohtaa a = ohitettaessa negatiivisesta positiiviseksi, joten kyseessä on absoluuttinen minimikohta. 7 Saatu vastaus E ( ) =. 54 Eräitä laskuja tukevia symbolisen laskimen suorituksia. 19

20 ì 8 ï B1. a) Osoita, että funktio f( x) = í (x + 4), x³ 0 on erään ï î0, muulloin satunnaismuuttujan X tiheysfunktio. b) Muodosta satunnaismuuttujan X kertymäfunktion F( x) lauseke. c) Laske todennäköisyys PX> ( 6). Ratkaisu: a) Oltava - ò f( x ) ³ 0 ja f ( x) dx = 1. - Ensimmäinen ehto selviö, (sillä parillinen eksponentti ja kielto x ¹- ei kuulu alueeseen). 0 M 8 M 4 f ( x) dx = f ( x) dx + lim dx = 0+ lim /- ò ò ò - - M (x+ 4) M 0 x M - + 1¾¾¾ = 1. Oltava näkyvissä raja-arvoprosessi ja int.funktio. M + 4 b) Kun x< 0, niin F( x) = 0, koska vaaka-akselin kanssa ei muodostu pinta-alaa. x 8 x 4 4 x Kun x ³ 0, niin F( x) = ò dt = /- = 1 - =. (t+ 4) 0 t+ 4 x+ 4 x+ 4 0 c) PX ( > 6) = 1 - PX ( 6) = 1-6 = Voi myös laskea suoraan laskimella ò dx. +p (x + 4) 6 0

Ratkaisut. π π. Ratkaisu: a) Tapa I: Yhtälön diskriminantin D = a = 4 4a kyseisen funktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli.

Ratkaisut. π π. Ratkaisu: a) Tapa I: Yhtälön diskriminantin D = a = 4 4a kyseisen funktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Ratkaisut A. a) Sievennä (x ) (x )(x + ). 7 b) Laske ( ) π + sin( ). c) Ratkaise yhtälö (x 5x ) = 5. Ratkaisu: a) (x ) (x )(x + ) = 4x x + 9 (4x 9) = x + 8 + 7 b) ( ) π π + sin( ) = ( ) + sin( + π ) 5

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Merkitään f(x) =x 3 x. Laske a) f( 2), b) f (3) ja c) YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Merkitään f(x) =x 3 x. Laske a) f( 2), b) f (3) ja c) YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 26.3.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ YLIOPPILSTUTKINTO- LUTKUNT..7 MTEMTIIKN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ -osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän alla olevaan ruudukkoon.

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat

Lisätiedot

a) Sievennä lauseke 1+x , kun x 0jax 1. b) Aseta luvut 2, 5 suuruusjärjestykseen ja perustele vastauksesi. 3 3 ja

a) Sievennä lauseke 1+x , kun x 0jax 1. b) Aseta luvut 2, 5 suuruusjärjestykseen ja perustele vastauksesi. 3 3 ja 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 1.10.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x

Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5. a) Ratkaise epäyhtälö >. b) Määritä kaikki luvut, jotka toteuttavat vaatimuksen: Luvun neliön ja vastaluvun summa on. c) Sievennä

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ.0.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

Kokelaan sukunimi ja kaikki etunimet selväsi kirjoitetuna. Kaava 1 b =2a 2 b =0,5a 3 b =1,5a 4 b = 1a. 4 5 b =4a 6 b = 5a

Kokelaan sukunimi ja kaikki etunimet selväsi kirjoitetuna. Kaava 1 b =2a 2 b =0,5a 3 b =1,5a 4 b = 1a. 4 5 b =4a 6 b = 5a 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 28.9.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10-13

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10-13 Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo -. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x +9, b) log (x) 7, c) x + x 4 =.. Määrää kaikki ne

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 ESITYS pisteitykseksi Yleisohje tarkkuuksista: Ellei tehtävässä vaadittu tiettyä tarkkuutta, kelpaa numeerisissa vastauksissa ohjeen vastauksen lisäksi yksi merkitsevä

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016 Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut

Lisätiedot

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a) K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

Paraabeli suuntaisia suoria.

Paraabeli suuntaisia suoria. 15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10 13

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10 13 Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 2 x 2 3 2 3 x 1 4, (b) (x + 1)(x 2)

Lisätiedot

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

1. a) Laske lukujen 1, 1 ja keskiarvo. arvo. b) Laske lausekkeen. c) Laske integraalin ( x xdx ) arvo. MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

1. a) Laske lukujen 1, 1 ja keskiarvo. arvo. b) Laske lausekkeen. c) Laske integraalin ( x xdx ) arvo. MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 13..015 MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat

Lisätiedot

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot