Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5.

Transkriptio

1 3.4 Kvanttorit Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. Kaikilla reaaliluvuilla x pätee x+1 > x. Lauseilla on aivan eri merkitykset, jos "kaikilla" ja "on olemassa" vaihdetaan! Logiikassa myös näille on olemassa symbolit: "on olemassa" voidaan korvata merkillä Tätä kutsutaan eksistenssikvanttoriksi.

2 "kaikilla" voidaan korvata merkillä Tätä kutsutaan universaalikvanttoriksi. Joskus todistuksen tarvitaan vain pätevän joillekin, joskus sen on pädettävä kaikilla. Jos väite halutaan osoittaa epätodeksi, on yleensä helpoin löytää 1 esimerkki, jolla väite ei päde. Eli jos on olemassa x, jolla A ei ole tosi, niin silloin EI ole voimassa, että kaikilla x pätee A. Tällainen x toimii vastaesimerkkinä. Esim. Väite: Vastaesimerkki: jos x=0, niin x = 0 ja 0>0 aiheuttaa ristiriidan! Eli väite ei pidä paikkaansa (kaikilla x).

3 Kun halutaan osoittaa, että väite pätee kaikilla reaaliluvuilla, niin osoitetaan että väite pätee jollakin luvulla x, jota ei rajoiteta mitenkään. Silloin x voi olla mikä tahansa reaaliluku ja väite pätee millä tahansa reaaliluvulla! Esim. Osoita, että 2 on irrationaaliluku. Vastaoletus: 2 on rationaaliluku. Eli on olemassa sellaiset m ja n, joille 2 = m/n. (n 0) Voidaan myös olettaa, että m/n on supistetussa muodossa (jos ei olisi, niin supistetaan niin kauan kuin on ja tarkastellaan sitä). Nyt eli Eli m^2 on parillinen luku. (muotoa 2*k) (Jos m on parillinen, niin m^2 on parillinen) (Jos m on pariton(muotoa 2k+1), niin m^2 = (2k+1)(2k+1) = 4k^2+4k +1 eli pariton)

4 Siis myös m on parillinen! No tällöin m^2 = (2k)^2 jollakin k:lla = 4k^2 Siis m^2 = 2n^2 4k^2 = 2n^2 2k^2 = n^2 Eli n^2 on parillinen. Vastaavasti myös n on parillinen! MUTTA jos n ja m ovat parillisia, niin m/n:stä voi supistaa = RISTIRIITA Eli siis vastaoletus oli väärä, ja väite tosi.

5 3.5 Induktioperiaate Muista, että jos väite tulee osoittaa todeksi kaikilla x, niin ei riitä, että osoitetaan väite todeksi joillakin x. Esim. s.49 esimerkki. Jos halutaan osoittaa, että väite pätee kaikilla luonnollisilla luvuilla n, voidaan se tehdä näppärästi induktioperiaatteella. Siinä osoitetaan, että väite pätee kun n=0 (tai väitteestä riippuva pienin n). Tätä kutsutaan aloitusaskeleeksi. Voidaan siis olettaa, että väite pätee jollakin n arvolla. (Erityisesti kun n=0) Tämän jälkeen osoitetaan, että väite pätee tapauksessa n+1. Tätä kutsutaan induktioaskeleeksi.

6 Eli siis ensimmäinen kohta pätee ja minkä tahansa toimivan kohdan seuraava kohta pätee. Tällöin siis kaikki kohdat pätee! Esim. 340 Väite: a>0, b>0 ja n=1,2,3,... 1.Aloitusaskel Osoitetaan, että väite pätee kun n=1. 2.Induktioaskel Oletetaan, että väite pätee jollakin n, eli pätee: (Induktio-oletus) Osoitetaan että väite pätee arvolla n+1. (Induktioväite)

7 (potenssien laskusäännöt) (induktio-oletus) Induktioväite on siis tosi, joten myös väite on. (n=1 tosi) ^ (n tosi => n+1 tosi) => kaikilla n tosi

8 4.2 Predikaattorilogiikka -niinkuin klassinen logiikka -otetaan mukaan kvanttorit -käytetään tuttuja lukiomatematiikan merkkejä, kuten =,, f(x),, jne. -käytetään lukuja, vakioita ja muuttujia Yleensä muuttujat voivat saada vapaasti arvoja, jolloin kaava missä tällaiset ovat kutsutaan avoimeksi lauseeksi. Mikäli lauseessa käytetään kvanttoreita sitomaan kaikki muuttujat jonnekin alueelle, tulee kaavasta vain lause. Esim. avoin lause lause Avoimesta lauseesta ei voi sanoa (välttämättä) onko se tosi, mutta lauseesta voi.

9 Kun puhekieleen lause muutetaan predikaattorilogiikan lauseeksi, kutsutaan sitä lauseen formalisoinniksi. Esim. formalisoi lause "Jos Antilla on paljon rahaa, niin Antti ostaa mersun." Merkitään x = Antti R(x) = x omistaa paljon rahaa M(x) = x ostaa mersun Jos ajatellaan, että kyse on yhdestä ainokaisesta Antista, niin formalisointi: Jos taas tämä pätee kaikille Anteille, niin:

10 Formalisointi toimii paremmin matemaattiseen tekstiin: Esim. On olemassa sellainen reaaliluku, joka on aidosti pienempi kuin minkään muun reaaliluvun itseisarvo: Onko lause tosi?