Kompaktien avaruuksien ominaisuuksia

Transkriptio

1 Kompaktien avaruuksien ominaisuuksia Pro gradu -tutkielma Aleksi Karhu Fysiikan ja matematiikan laitos Itä-Suomen yliopisto Päivämäärä

2 Tiivistelmä Tämän työn tavoitteena on tutkia, mitä ominaisuuksia kompakteilla avaruuksilla on. Tutkimus on tehty olemassaolevaa kirjallisuutta hyödyntäen. On selvitetty, että kompaktius on topologinen ominaisuus ja että usealla tavalla kompakteilla avaruuksilla on samanlaisia ominaisuuksia kuin äärellisillä avaruuksilla, kuten että kompaktilla reaalilukujen osajoukolla on maksimi ja minimi. On myös päätelty, että kompakteilla Hausdorffin avaruuksilla on kaikki hyvin tunnettujen separaatioaksioomien tuomat ominaisuudet ja että kompakteissa Hausdorffin avaruuksissa joukon kompaktius on ekvivalenttia sen sulkeisuuden kanssa. Vastaavasti on havaittu, että äärellisulotteisissa reaaliavaruuksissa joukko on kompakti jos ja vain jos se on suljettu ja rajoitettu. On myös selvitetty, että reaaliavaruuksissa avaruuden kompaktius on ekvivalenttia usean ominaisuuden kanssa, kuten että avaruuden jokaisella jonolla on avaruudessa suppeneva osajono.

3 Abstract The aim of this MSc thesis is to examine what are the main properties of compact spaces. The research has been done using existing literature. It has been discovered that compactness is a topological property and that in several ways, compact spaces have similar properties as finite spaces, such as a compact subset of real numbers having a maximum and a minimum. It has also been reasoned that compact Hausdorff spaces have all the properties granted by the most well known separation axioms and also that in compact Hausdorff spaces, the compactness of a set is equivalent to the closedness of a set. Similarly it has been found that in finite dimensional real spaces a set is compact if and only if it closed and bounded. In real spaces it has also been discovered that compactness of a space is equivalent to a number of properties, one of them being that each sequence in the space has a subsequence that converges in the space.

4 Esisanat Yliopisto-opintojeni aikana hauskinta matematiikkaa oli ehdottomasti topologia. Sen myötä pyysin saada tehdä graduni topologiaan liittyen ja sehän järjestyi. Tämän työn tekeminen sisälsi monta miellyttävää hetkeä. Yhdessä vaiheessa aika tyypillinen ilta oli, että kotonani katselin valkotaululla olevaa matematiikkaa ja koitin keksiä jotain todistusstrategiaa. Sain pohtia ja oivaltaa asioita kompakteista avaruuksista, ja mikäs sen mukavampaa. Tahdon kiittää apulaisprofessori Janne Heittokangasta hyvästä ohjauksesta ja lähipiiriäni, joka rakkaudella muistutti gradun edistymisestä.

5 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Pohjatietoja 3 3 Yhtenäiset ja N-avaruudet 11 4 Kompaktit avaruudet 15 5 Kompaktius kuvauksissa 26 6 Kompaktius R n :ssä 30 7 Numeroituva kompaktius 36 8 Johtopäätökset 45 Lähteet 47 5

6 Luku 1 Johdanto Topologia on matematiikan osa-alue, jossa tutkitaan avaruuksien ja joukkojen eräällä tavalla perimmäisistä ominaisuuksista, jotka eivät muutu, vaikka avaruutta tai joukkoa esimerkiksi käänneltäisiin tai venytettäisiin. Työn aikana tullaan huomaamaan, että kompaktius on yksi tällainen topologinen ominaisuus. Ja kompaktit avaruudet ovatkin mielenkiintoisia avaruuksia. Niille on tyypillistä, että ne käyttäytyvät kuin äärelliset avaruudet, vaikka ne olisivatkin äärettömiä. Tässä työssä tutkitaan, millaisia ominaisuuksia kompakteilla avaruuksilla on. Työn pääasiallisena lähteenä on käytetty Paul E. Longin kirjaa An Introduction to General Topology. Työ sisältää pitkälti Longin esittämää teoriaa ja asiat esitetään osittain samassa järjestyksessä kuin Longin kirjassa. Uusien määritelmien yhteydessä annetaan viitteet, joilla vastaavat määritelmät löytyvät Longin kirjasta. Työn kirjoittajan panos tulee lisättyjen tulosten ja esimerkkien muodossa, joista suurin osa on poimittu Longin kirjan harjoitustehtävistä. Lisäksi muutama esimerkeistä ja suurin osa pohdinnoista ovat työn kirjoittajan omia. Muuta kirjallisuutta on hyödynnetty muutaman todistuksen kohdalla. Lisäksi kirjallisuudesta on katsottu, että Longin esittämä teoria ei ohita joitain tärkeitä kompaktien avaruuksien ominaisuuksia. Vaikuttaa siltä, että myös muut tekijät ovat pitäneet samoja ominaisuuksia tärkeinä kuin Long. Tosin tuntuu olevan tavallista, että muut tekijät määrittelevät luvussa 7 esitetyn Bolzanon-Weierstrassin lauseen eri tavoin kuin Long. Suomennettaessa englanninkielistä termistöä on hyödynnetty Jussi Väisälän Matematiikan sanastoa. Työ etenee niin, että ensin kerrataan topologian peruskäsitteistöä ja - tuloksia Itä-Suomen yliopiston topologian luentokurssin pohjalta. Seuraavaksi kompakteja avaruuksia pohjustetaan vielä luvulla, joka käsittelee yhtenäisiä avaruuksia ja N 1 - ja N 2 -avaruuksia. Kompakteista avaruuksista käsitellään ensin niiden perusominaisuuksia. Työn edetessä tarkastellaan niiden käyttäytymistä funktioissa, niiden erityispiirteitä reaaliavaruuksissa ja lopul- 1

7 ta tarkastellaan numeroituvasti kompaktien avaruuksien ominaisuuksia. 2

8 Luku 2 Pohjatietoja Kompakti avaruus on käsite, joka matematiikan osa-alueista kuuluu topologiaan. Tässä työssä kompaktien avaruuksien käsittely vaatiikin useiden topologian käsitteiden ja tulosten tuntemista. Itä-Suomen yliopistossa pidettiin vuonna 2017 topologian luentokurssi ja tässä luvussa esitetään luentokurssin tälle työlle olennaista sisältöä. Myös luentokurssi hyödynsi Longin kirjaa, erityisesti lukuja Basic Notions Concerning Sets, Functions, Topological Spaces, Bases, Subbases and Products, Continuous Functions, The Separation and Countability Axioms ja Convergence. Tuloksia pidetään tunnettuina. Tämän työn aikana termi osajoukko ja merkintä ymmärretään niin, että jos A B, niin kaikki A:n alkiot sisältyvät myös B:hen. Tämä sallii mahdollisuuden, että A = B. Työn aikana käytetään myös usein merkintää, jolla ilmaistaan mielivaltaista indeksijoukkoa. Aloitetaan määrittelemällä topologia. Määritelmä 2.1. [3, Definition 1.1, sivu 62] Perusjoukon X topologia T on kokoelma X:n osajoukkoja, joka toteuttaa seuraavat ehdot: 1. X T ja T. 2. Topologiaan kuuluvien joukkojen äärellinen leikkaus kuuluu myös topologiaan. 3. Topologiaan kuuluvien joukkojen yhdiste kuuluu myös topologiaan. Perusjoukko ja sen topologia muodostavat topologisen avaruuden (X, T ). Sanotaan, että jos joukko U kuuluu topologiaan, U on avoin. Esimerkki

9 a. Reaalilukujen standarditopologiassa epätyhjä U on avoin, mikäli jokaiselle x U löytyy avoin väli (a, b) siten, että x (a, b) U. Merkitään avaruutta (R, T st ). b. Avaruuden diskreettitopologiassa T ds joukko sisältyy topologiaan, jos joukko sisältyy avaruuteen. c. Avaruuden triviaalitopologiassa T tr topologiaan sisältyvät vain tyhjä joukko ja perusjoukko. Jatkossa jos reaaliavaruudelle ei erikseen ilmoiteta muuta topologiaa, käytössä on standarditopologia. Määritelmä 2.3. [3, Theorem 4.7, sivu 78] Olkoon avaruudessa (X, T ) osajoukko A. Aliavaruudessa (A, T A ) avoimia joukkoja ovat joukot V, jotka ovat muotoa A U, missä U T. Long on kirjassaan määritellyt aliavaruuksien topologian toisin. Tässä on määritelmäksi valittu ekvivalentti ominaisuus, joka on käytännöllinen todistuksissa. Aliavaruuksien topologioista sanotaan, että topologia T A periytyy topologiasta T. Esimerkki 2.4. Olkoon reaalilukujen osajoukolla [0, 1] avaruudesta (R, T st ) periytyvä topologia. Merkitään myös tätä aliavaruuden topologiaa standarditopologiaksi T st. Nyt myös joukot muotoa [0, a) ja (b, 1], missä a, b (0, 1), ovat avoimia avaruudessa ([0, 1], T st ). Esimerkki 2.4 osoittaa, että aliavaruuden avoimet joukot eivät välttämättä ole avoimia alkuperäisessä avaruudessa. Vastaavasti esimerkiksi (0, 1) on suljettu aliavaruudessa ((0, 1), T st ), mutta ei avaruudessa (R, T st ). Topologisuuden ehdot sallivat topologioiden olla yksinkertaisia tai monimutkaisia. Määritellään seuraavaksi erikoinen topologinen avaruus, johon myöhemmin palataan kompaktiuden yhteydessä. Tätä esimerkkiä ei ole käsitelty topologian luentokurssilla. Esimerkki 2.5 muistuttaa, että topologiset avaruudet eivät välttämättä liity lukuihin lainkaan, vaan ne voivat olla hyvinkin abstrakteja rakenteita. Esimerkki 2.5. Olkoon perusjoukko X muotoa 3 j=1 (B j C j ), missä joukot B 1, B 2, B 3, C 1, C 2 ja C 3 ovat pistevieraita keskenään, lukuun ottamatta kaikille joukoille yhteistä alkiota a. Valitaan jokaisesta joukosta a:sta poikkeava alkio ja nimetään alkiot niin, että b j B j ja c j C j, j = 1, 2, 3. Määritellään topologia T k, missä alaindeksiksi on valittu k: U T k jos ja vain jos U on jotain seuraavista vaihtoehdoista: 4

10 Kuva 2.1: Esimerkin 2.5 perusjoukko. 1. U =. 2. U = {a}. 3. U B j C j ja toteuttaa ehdot (a)-(c). (a) b j U. (b) Jos on olemassa x a siten, että x U C j, niin B j U. (c) Jos c j U, niin C j U. 4. U = V 1 V 2 V 3, missä yhdisteen joukot ovat avoimia ehtojen 1-3 mukaisesti. Osoitetaan, että T k todella on topologia. 1. Tyhjä joukko kuuluu topologiaan. Perusavaruus X on muotoa 3 j=1 (B j C j ). Nyt jokainen B j C j toteuttaa ehdon (3), sillä b j B j C j, B j B j C j ja C j B j C j. Tällöin avaruus X on avoin ehdon 4 mukaisesti. 5

11 2. Olkoon {U α : α } äärellinen perhe joukkoperheen T k joukkoja. Jos leikkaus α U α on tyhjä joukko tai {a}, sisältyy leikkaus topologiaan. Oletetaan, että leikkaus on jotain muuta, eli se sisältää a:sta poikkeavan alkion x B i C i, missä i on jokin alkio joukosta {1, 2, 3}. Nyt kaikki leikkaukseen α U α osallistuvat joukot sisältävät saman x B i C i ja koska joukot ovat topologiasta, täytyy niiden kaikkien sisältää b i ehdon (a) perusteella. Tällöin b i α U α. Jos leikkaus α U α sisältää a:sta poikkeavan alkion x 0 C i, täytyy kaikilla leikkaukseen osallistuvilla topologian joukoilla olla B i osajoukkona ehdon (b) perusteella. Tällöin B i α U α. Jos puolestaan c i α U α, niin ehdon (c) perusteella C i U α kaikilla α. Tällöin C i α U α. Tämän perusteella jos leikkaus α U α sisältyy joukkoon B i C i, toteuttaa leikkaus ehdon 3, jolloin se sisältyy topologiaan. Jos leikkaus puolestaan ei rajoitu kyseiseen joukkoon, voidaan täysin vastaavalla tavalla löytää leikkauksesta kaikki tarvittavat alkiot ja osajoukot, joilla leikkaus sisältyy topologiaan ehdoilla 3 ja Olkoon {U α : α } ehdon 3 mukaisesti avoin joukkoperhe siten, että joukot U α ovat saman B j C j osajoukkoja. Nyt yhdiste α U α selvästi toteuttaa ehdot (a)-(c), eli yhdiste on edelleen avoin ehdon 3 mukaisesti. Nyt mikä tahansa topologian joukkojen yhdiste voidaan purkaa muotoon α V α, missä jokainen V α on jonkin B j C j osajoukko. Nyt joukot V α voidaan yhdisteessä ryhmitellä niin, että α V α = V 1 V 2 V 3, missä V 1, V 2 ja V 3 ovat avoimia ehtojen 1-3 mukaisesti, eli yhdiste on avoin ehdon 4 mukaisesti. T k on topologia. Kun mahdollisesta topologiasta tarkastellaan joukkoperheen joukkojen leikkausta, riittää vaihtoehtoisesti tarkastella kahden mielivaltaisen joukon leikkausta. Jos niiden leikkaus kuuluu joukkoperheeseen, niin induktiivisesti mikä tahansa äärellinen leikkaus kuuluu myös. Jokaisella topologialla on vähintään yksi kanta. Kannat ovat kuin topologioiden riisuttuja versioita, jotka kuitenkin säilyttävät kaiken informaation, jonka perusteella topologia voidaan konstruoida uudelleen. Määritelmä 2.6. [3, Definition 1.1, sivu 92] Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja olkoon B perhe avoimia joukkoja. B on topologian T kanta, jos jokainen epätyhjä avoin joukko on kannan jäsenten yhdiste. Määritelmä 2.7. [3, Exercise 10, sivu 215] Pisteen x ympäristö avaruudessa X on osajoukko M X, jolle on olemassa avoin joukko U siten, että x U M. 6

12 Voidaan tulkita niin, että vähintäänkin avaruus itse on ympäristö sen jokaiselle alkiolle. Työn aikana käytetään termiä pisteen x avoin ympäristö, jolla yksinkertaisesti tarkoitetaan avaruuden avointa, x:n sisältävää osajoukkoa. Määritelmä 2.8. [3, Definition 2.1, sivu 69] Olkoon topologinen avaruus (X, T ). Joukko A X on suljettu, jos X \ A on avoin X:ssä. Suljetuissa joukoissa on hyvä huomata, että äärettömät leikkaukset ja yhdisteet käyttäytyvät käänteisellä tavalla avoimiin joukkoihin nähden. Avointen joukkojen ääretön leikkaus ei välttämättä ole avoin, mutta suljettujen joukkojen ääretön yhdiste puolestaan ei välttämättä ole suljettu. Lisäksi on tärkeää huomata, että intuitiosta poiketen joukot voivat olla avoimia tai suljettuja tai yhtäaikaisesti molempia tai ei kumpaakaan. Määritelmä 2.9. [3, Definition 2.4, sivu 70] Joukon A sulkeuma A on kaikkien A:n sisältävien suljettujen joukkojen leikkaus. Määritelmä [3, Definition 6.1, sivu 85] Piste x on joukon A kasautumispiste, jos kaikki avoimet joukot, jotka sisältävät x:n, sisältävät myös jonkin a A, a x. Joukon A kasautumispisteiden joukkoa merkitään A. Lause (a) Joukko A on suljettu, jos ja vain jos A = A. (b) A = A A. Määritelmä [3, Definition 6.9, sivu 88] Avaruuden X osajoukko A on tiheä X:ssä, jos A = X. Tiheydelle voidaan tehdä tulkinta, että jokainen avaruuden epätyhjä avoin joukko sisältää siinä tiheän A:n alkioita. Koska muuten avaruus sisältää pisteitä, jotka eivät kuulu A:han tai sen kasautumispisteisiin, eikä A siten voisi olla koko avaruus. Esitetään seuraavaksi eräitä tärkeitä kuvauksia, joista on hyötyä työn aikana. Määritelmä [3, Theorem 1.5, sivu 115] Olkoon f : X Y funktio avaruudelta (X, T X ) avaruudelle (Y, T Y ). Funktio f on jatkuva jos f 1 (V ) T X kaikilla V T Y. Jatkuvien funktioiden määritelmän tapauksessa poiketaan Longin kirjasta ja Topologian luentokurssista. Niissä jatkuvat funktiot on määritelty ekvivalentilla, mutta monimutkaisemmalla tavalla. Määritelmä [3, Definition 1.6, sivu 35] Olkoon n i=1 X i tuloavaruus. Nyt kaikilla k, 1 k n funktio p k : n i=1 X i X k on projektiofunktio, jolla p k (x 1, x 2,..., x n ) = x k. 7

13 Projektiofunktiot poimivat siis tuloavaruuksista halutun dimension. Projektiofunktiot voidaan määritellä myös mielivaltaiselle indeksijoukolle, mutta tässä työssä riittää tarkastella vain äärellisten tuloavaruuksien projektioita. Määritelmä [3, Definition 2.2, sivu 118] Olkoon f : X Y funktio topologisten avaruuksien (X, T X ) ja (Y, T Y ) välillä. f on avoin, jos jokaisella U T X, f(u) T Y. f on suljettu, jos jokaisella suljetulla U X, f(u) Y on suljettu. Määritelmä [3, Definition 2.5, sivu 120] Olkoon h : X Y funktio. h on homeomorfismi, jos h on bijektio, jatkuva ja avoin. Jos avaruuksien X ja Y välillä on homeomorfismi, sanotaan, että avaruudet ovat homeomorfiset. Homeomorfismit ovat hyvin tärkeitä funktioita, sillä ne ovat aivan topologian ytimessä. Juuri homeomorfismit ovat funktioita, jotka säilyttävät kaiken topologisessa mielessä mielenkiintoisen rakenteen avaruuksissa. Esimerkiksi jos X ja Y ovat homeomorfiset ja X:llä on tismalleen kaksi avointa yksiötä, niin Y :llä on myös tismalleen kaksi avointa yksiötä. Määritelmä [3, Definition 2.9, sivu 121] Topologisen avaruuden X ominaisuus on topologinen ominaisuus, jos kaikilla X:n kanssa homeomorfisilla avaruuksilla on sama ominaisuus. Määritellään separaatioaksioomat. Ne määrittävät sen, kuinka hyvin avaruuden erillisiä alkioita tai suljettuja osajoukkoja voidaan erottaa toisistaan avoimilla joukoilla. Sillä on suuri merkitys sen kannalta, millaisia ominaisuuksia avaruudella voi olla. Määritelmä [3, Definition 1.1, sivu 137] Olkoon (X, T ) topologinen avaruus. a. Avaruus on T 0 -avaruus, jos kaikilla erillisillä pisteillä x, y X on joko avoin joukko sisältäen x:n, mutta ei y:tä tai avoin joukko sisältäen y:n, mutta ei x:ää. b. Avaruus on T 1 -avaruus, jos kaikilla erillisillä pisteillä x, y X on avoin joukko sisältäen x:n, mutta ei y:tä ja avoin joukko sisältäen y:n, mutta ei x:ää. c. Avaruus on T 2 -avaruus tai Hausdorffin avaruus, jos kaikilla erillisillä pisteillä x, y X on avoimet joukot U ja V siten, että x U, y V ja U V =. 8

14 d. Avaruus on säännöllinen avaruus jos kaikilla suljetuilla osajoukoilla F X ja jokaisella pisteellä x F, on avoimet joukot U ja V siten, että x U, F V ja U V =. Säännöllistä T 1 -avaruutta kutsutaan T 3 -avaruudeksi. e. Avaruus on normaali avaruus, jos kaikkia erillisiä suljettuja osajoukkoja F 1 ja F 2 vastaa avoimet joukot U ja V siten, että F 1 U, F 2 V ja U V =. Normaalia T 1 -avaruutta kutsutaan T 4 -avaruudeksi. Kuva 2.2: Separaatioaksioomien havainnollistus. Pisteet edustavat alkioita, soikiot avoimia joukkoja ja suorakulmiot suljettuja joukkoja. Kirjallisuudessa säännöllisten ja normaalien avaruuksien määritelmät eivät ole vakiintuneita ja määritelmät usein vaihtuvat T 3 - ja T 4 -avaruuksien määritelmien kanssa vastaavasti. Tässä työssä on valittu Longin kirjan ja topologian luentokurssin määritelmäkäytäntö. Sillä on se etu, että näin määriteltynä pätee selvä implikaatioketju "Avaruus on T 4 " "Avaruus on T 3 " "Avaruus on T 2 " "Avaruus on T 1 " "Avaruus on T 0 ", joka on helppo todeta. Lause Avaruudet R n ovat Hausdorffin avaruuksia. Lemma Avaruus X on säännöllinen jos ja vain jos kaikilla x X ja x:n sisältävillä avoimilla joukoilla U on olemassa avoin joukko V siten, että x V V U. 9

15 Lemma 2.20 on erittäin hyödyllinen tilanteissa, joissa on toivottavaa konstruoida suljettu joukko sulkeumalla niin, että se säilyy jonkin avoimen joukon osajoukkona. Esitetään vielä muutama määritelmä jonoihin liittyen. Määritelmä [3, Definition 1.1, sivu 166] Funktio f : N X on jono avaruudessa X. Määritelmä [3, Definition 1.3, sivu 166] Jono f : N X suppenee pisteeseen x X, jos kaikilla x:n sisältävillä avoimilla joukoilla U on olemassa jokin luonnollinen luku n 0 siten, että f(n) U kaikilla n > n 0. Jotta jono voisi supeta, täytyy suppenemispisteen olla samassa avaruudessa kuin jonokin. Esimerkiksi jonot f : N (0, 1], f(n) = 1/n ja g : N [0, 1], g(n) = 1/n sisältävät tismalleen samat jäsenet, mutta vain jono g suppenee. Määritelmä [3, Definition 3.1, sivu 177] Olkoon jono f : N X avaruudessa X. Jos g : N N on aidosti kasvava injektio, niin yhdistetty funktio f g : N X on jonon f osajono. 10

16 Luku 3 Yhtenäiset ja N-avaruudet Ennen kompaktien avaruuksien käsittelyyn siirtymistä tässä luvussa vielä tarkastellaan kahdenlaisia avaruuksia, yhtenäisiä avaruuksia ja N 1 - ja N 2 - avaruuksia. Yhtenäisten avaruuksien tuntemisesta on hyötyä myöhemmin kompaktien reaaliavaruuksien yhteydessä ja numeroituvuuteen viittaavat N- avaruudet ovat hyödyllisiä työn luvussa 7. Määritelmä 3.1. [3, Definition 1.1, sivu 191] Avaruus on epäyhtenäinen avaruus, jos se voidaan esittää kahden avoimen, erillisen ja epätyhjän osajoukon yhdisteenä. Avaruus on yhtenäinen avaruus, jos se ei ole epäyhtenäinen. Yhtenäisen avaruuden määritelmästä seuraa se, että epäyhtenäisiä avaruuksia on paljon helpompaa käsitellä matemaattisesti. Tämän vuoksi monet yhtenäisyyttä koskevat lauseet todistetaankin antiteesien kautta. Lemma 3.2. A R, joka sisältää useamman kuin yhden pisteen, on yhtenäinen, jos ja vain jos millä tahansa pisteillä a, b A siten, että a < b, A:han sisältyvät kaikki pisteet x, joilla a < x < b. Todistus. Todistetaan väite suunnassa, jossa A oletetaan yhtenäiseksi. Muodostetaan antiteesi, että luvuilla a, b A, a < b on olemassa jokin x, a < x < b siten, että x A. Nyt joukot (, x) A ja (x, ) A ovat avoimia A:ssa ja muodostavat A:n osituksen. Ristiriita A:n yhtenäisyydestä osoittaa väitteen tässä suunnassa. Toisen suunnan todistus on pitkähkö ja nyt se kuitataan viittaamalla lähteeseen [3, Theorem 1.4, sivu 192]. Lemmaa 3.2 hyödyntäen on lähteessä [3, Theorem 1.6, sivu 194] todistettu seuraava hyödyllinen tulos. Lause 3.3. A R on yhtenäinen jos ja vain jos A on väli. 11

17 Lause 3.4. Jos f : X Y on jatkuva ja A X on yhtenäinen, niin f(a) on yhtenäinen. Todistus. Antiteesi: f(a) on epäyhtenäinen, jolloin avaruudessa Y avoimet joukot U ja V muodostavat f(a):n osituksen. Funktion jatkuvuuden perusteella f 1 (U) A ja f 1 (V ) A ovat avoimia A:ssa ja muodostavat sen osituksen. Ristiriita A:n yhtenäisyydestä todistaa väitteen. Jatkuvat funktiot siis siirtävät yhtenäisyyden kuvajoukoillekin. Sen sijaan jatkuvalla funktiolla ei voida osoittaa, että yhtenäisen joukon alkukuva on myös yhtenäinen. Vastaesimerkki voi esimerkiksi syntyä jos jatkuvalla funktiolla kahden erillisen avoimen joukon kuva on sama yksiö. Homeomorfismilla todistuksen päättely toimii käänteiseen suuntaan, eli yhtenäisyys on itseasiassa topologinen ominaisuus. Määritelmä 3.5. [3, Definition 3.2, sivu 204] Pisteen x X määräämä komponentti on niiden pisteiden y X joukko, joille on olemassa jokin yhtenäinen joukko A siten, että x, y A. Komponentit ovat itseasiassa ekvivalenssiluokkia, mikä on todistettu Longin kirjassa [3, sivu 204]. Tällöin ne muodostavat avaruuden osituksen, eli komponentti-sanan tuomat mielikuvat ovat osuvia. Jokainen avaruus rakentuu komponenteista, sillä vähintäänkin jokainen yksiö on yhtenäinen. Komponentteja voi olla avaruudessa myös vain yksi. Määritelmä 3.6. [3, Definition 3.8, sivu 206] Avaruus X on lokaalisti yhtenäinen, jos jokaisella x X ja jokaisella avoimella U X, siten, että x U, on olemassa yhtenäinen, avoin joukko A siten, että x A U. Esimerkki 3.7. Avaruus (1, 2) (3, 4) standarditopologialla on lokaalisti yhtenäinen, mutta ei yhtenäinen. Siirrytään seuraavaksi N 1 - ja N 2 -avaruuksien tarkasteluun. Aloitetaan määrittelemällä lokaali kanta. Määritelmä 3.8. [3, Definition 4.1, sivu 154] Avointen joukkojen perhe B x on lokaali kanta pisteelle x X, jos jokaisella avoimella joukolla U jolla x U, on olemassa jokin V B x siten, että x V U. Määritelmä 3.9. [3, Definition 4.2, sivu 154] Avaruus X on N 1 -avaruus, jos jokaisella x X on numeroituva, lokaali kanta. N 1 -avaruuksien etu on se, että vaikka jokin alkio sisältyisi ylinumeroituvaan määrään avoimia joukkoja, niihin kaikkiin päästään käsiksi numeroituvalla määrällä lokaalin kannan jäseniä. Numeroituvuudesta on hyötyä 12

18 erityisesti jonojen tapauksessa, sillä jonot ovat kuvauksia, joiden määrittelyjoukkona on N. Määritelläänkin jonojen kasautumispiste, jolloin päästään esittämään Lause 3.11 jonoista N 1 -avaruuksissa. Määritelmä [3, Definition 3.4, sivu 178] Olkoon avaruudessa X jono f : N X. Alkio a on jonon f kasautumispiste, jos kaikilla a:n sisältävillä avoimilla joukoilla U ja kaikilla luonnollisilla luvuilla n 0 on olemassa luku n N siten, että n > n 0 ja f(n) U. Nyt termi kasautumispiste on työssä kahtaismerkityksessä. Määritelmässä 2.10 kyseessä on joukon kasautumispiste ja Määritelmässä 3.10 jonon kasautumispiste. Englanniksi vastaavat termit ovat cluster point ja accumulation point. Määritelmät ovat hyvin samankaltaisia, mutta niillä on olennainen ero. Joukon kasautumispisteessä kaikki kasautumispisteen sisältävät avoimet joukot sisältävät minkä tahansa joukon alkion, joka poikkeaa kasautumispisteestä. Jonon kasautumispisteessä puolestaan kaikista kasautumispisteen sisältävistä avoimista joukoista täytyy löytyä jonon jäseniä mistä tahansa jonon järjestysluvusta lähtien. Kahtaismerkitykset ovat epätoivottavia, mutta tässä kuitenkin noudatetaan Väisälän suomennosta. Jos on vaaraa sekaannuksesta, tekstissä pyritään selvästi korostamaan kummasta kasautumispisteestä on kyse. Lause Olkoon X N 1 -avaruus ja f jono X:ssä. a X on jonon kasautumispiste, jos ja vain jos jonolla f on a:han suppeneva osajono. Todistus. Oletetaan ensin, että a on jonon f kasautumispiste. Koska X on N 1 -avaruus, pisteelle a on olemassa lokaali, numeroituva kanta {B n : n N}. Konstruoidaan pisteelle toinen lokaali numeroituva kanta {U n : n N} = { n i=1 B i : n N}. Uusi joukkoperhe on lokaali kanta, sillä joukot U n ovat avoimia ja kukin U n B n. Lisäksi uudella lokaalilla kannalla on todistuksen kannalta tärkeä ominaisuus, että U n+1 U n kaikilla n N. Koska a on jonon kasautumispiste, joukko U 1 sisältää jonon jäsenen f(n 1 ). Joukko U 2 puolestaan sisältää jonon jäsenen f(n 2 ) siten, että n 2 > n 1. Jatkamalla samoin voidaan muodostaa uusi jono g siten, että g(1) = f(n 1 ), g(2) = f(n 2 )... Nyt g on f:n osajono, joka suppenee kasautumispisteeseen a, sillä jokainen a:n sisältävä avoin joukko sisältää jonkin joukon U n lokaalista kannasta ja siten jonon g(n) kaikilla n > n. Oletetaan seuraavaksi, että jonolla f on a:han suppeneva osajono. Tällöin mikä tahansa a:n sisältävä avoin joukko sisältää osajonon kaikki jäsenet jostain luonnollisesta luvusta lähtien. Tällöin a on selvästi jonon kasautumispiste. Määritelmä [3, Definition 5.1, sivu 158] Avaruus (X, T ) on N 2 -avaruus, jos topologialla T on numeroituva kanta. 13

19 N 2 -avaruuksissa avoimiin joukkoihin päästään jälleen käsiksi numeroituvalla määrällä kannan jäseniä. Erona N 1 avaruuteen on se, että nyt mielivaltaista avointa joukkoa voidaan käsitellä täysin kannan jäsenten yhdisteenä. Lause Jokainen N 2 -avaruus on N 1 -avaruus. Todistus. Tarkastellaan pistettä x X, missä X on N 2 -avaruus. Valitaan topologian numeroituvasta kannasta ne joukot, jotka sisältävät alkion x ja annetaan uudelle joukkoperhelle nimi B(x). Nyt B(x) on x:lle numeroituva lokaali kanta, sillä mikä tahansa x:n sisältävä avoin joukko sisältää joukon B(x):stä. Pisteen x mielivaltaisuudesta johtuen X on N 1 -avaruus. Lauseen 3.14 todistus on pitkä ja se jätetään tässä esittämättä. Longin kirjassa Lause 3.14 on seurausta kahdesta lauseesta. Niistä ensimmäinen [3, Theorem 5.4, sivu 158] osoittaa, että R on N 2 -avaruus ja toinen [3, Theorem 5.13, sivu 162] osoittaa, että N 2 -avaruuksien äärellinen tuloavaruus on N 2 - avaruus. Mainittakoon todistuksista, että reaalilukujen standarditopologialle saadaan numeroituva kanta numeroituvalla kokoelmalla rationaalilukujen numeroituvia lokaaleja kantoja. Lause R n on N 2 -avaruus. 14

20 Luku 4 Kompaktit avaruudet Tässä luvussa esitetään kompaktien avaruuksien määritelmä ja tarkastellaan kompaktien avaruuksien perusominaisuuksia. Havaitaan, että useita päätelmiä voidaan tehdä kompakteista avaruuksista, joihin vaikuttavat separaatioaksioomat. Erityisesti kompakteissa Hausdorffin avaruuksissa löydetään yhteys suljettujen ja kompaktien osajoukkojen välillä. Lisäksi tarkastellaan vaihtoehtoista tapaa kompaktiuden määrittämiseksi, tuloavaruuksien kompaktiutta ja ei-kompaktien avaruuksien kompaktisointia. Kompaktiuden määrittelemiseksi tarvitaan peitteen käsitettä, joka määritellään seuraavaksi. Määritelmä 4.1. [3, Definition 4.1, sivu 210] Olkoon {A α : α } joukkoperhe avaruudessa X ja olkoon B X:n osajoukko. Perhe on joukon B peite, jos B α A α. Mikäli joukkoperhe koostuu avoimista joukoista, kyseessä on avoin peite. Mikäli joukkoperhe koostuu äärellisestä määrästä joukkoja, kyseessä on äärellinen peite. Kaikilla topologisilla avaruuksilla on vähintään yksi äärellinen, avoin peite, sillä perusjoukko itse kuuluu topologiaan. Määritelmä 4.2. [3, Definition 4.4, sivu 210] Olkoon {A α : α } joukon B peite. Olkoon uusi indeksijoukko siten, että. Nyt {A α : α } on peitteen {A α : α } osapeite B:lle, jos B α A α. Määritelmä 4.3. [3, Definition 4.5, sivu 211] Avaruus (X, T ) on kompakti, jos kaikilla X:n avoimilla peitteillä on olemassa äärellinen osapeite X:lle. Avaruuden osajoukko B on kompakti, jos aliavaruus (B, T B ) on kompakti. Koska kaikilla topologisilla avaruuksilla on vähintään yksi avoin, äärellinen peite, sellaisten löytäminen ei ole kovin mielenkiintoista. Kompaktiuden 15

21 määritelmässä vaaditaankin sopivan osapeitteen löytymistä kaikista mahdollisista avoimista peitteistä. Tällöin kompaktius voidaan osoittaa epätodeksi yhdelläkin vastaesimerkillä, mutta kompaktiuden osoittaminen todeksi vaatii päätelmien tekemistä kaikista mahdollisista avoimista peitteistä. Näin toimitaan seuraavissa esimerkeissä. Kompaktiuden toteaminen on siis työläämpää kuin yksittäisen äärellisen osapeitteen löytäminen, mutta toisaalta, koska kompaktius koskee kaikkia mahdollisia avoimia peitteitä, kompaktius voi kertoa avaruuden ominaisuuksista paljon. Esimerkki 4.4. Olkoon R:llä vasemman puolisäteen topologia T lr, eli topologiaan kuuluvat, R ja avoimet välit muotoa (, a), missä a R. a. Osoitetaan, että (R, T lr ) ei ole kompakti. Joukkoperhe {(, n) : n N} muodostaa avaruudelle avoimen peitteen. Jos avaruus olisi kompakti, olisi olemassa äärellinen osapeite {(, n 1 ), (, n 2 ),..., (, n i )}, missä i N. Nyt luvuista n 1, n 2,..., n i voitaisiin äärellisyyden ansiosta ottaa maksimi n max. Mutta nyt luku n max + 1 ei sisältyisi peitteseen. Avaruus ei ole kompakti. b. Osoitetaan, että aliavaruus {x : x < 0} ei ole kompakti. Joukkoperhe {(, 1 ) : n N} muodostaa avoimen peitteen aliavaruudelle. Jos aliavaruus olisi kompakti, olisi olemassa äärellinen osapei- n te {(, 1 n 1 ), (, 1 n 2 ),..., (, 1 n i )}, missä i N. Nyt luvuista n 1, n 2,..., n i voitaisiin äärellisyyden perusteella valita maksimi n max. 1 Mutta nyt luku ei sisältyisi peitteeseen. Aliavaruus ei ole n max + 1 kompakti. c. Osoitetaan, että aliavaruus C = {x : x 0} on kompakti. Olkoon aliavaruudella avoin peite. Aliavaruuden avoimet joukot ovat muotoa U C, missä U on avaruuden (R, T lr ) avoin joukko. Jotta luku 0 voisi sisältyä avaruuden (C, T C ) avoimeen peitteeseen, peitteeseen täytyy sisältyä vähintään yksi joukko V, joka on muotoa (, k) C, missä k > 0. Mutta tällöin koko joukko C sisältyy V :hen, eli V yksin riittää osapeitteeksi. Esimerkki 4.5. Osoitetaan, että R 2 ei ole kompakti. Olkoon {A n,m : n N 0, m N 0 } joukkoperhe, jossa kukin A n,m on muotoa {(x, y) R 2 : n 0, 6 < x < n+0, 6, m 0, 6 < y < m+0, 6}. Tämä joukkoperhe muodostaa äärettömän avoimen peitteen R 2 :lle. Mutta peitteestä on mahdotonta ottaa äärellistä osapeitettä, sillä yhdenkin joukon poistaminen tuottaisi peitteeseen aukon. Esimerkiksi jättämällä mielivaltaisen avoimen joukon A n,m pois 16

22 peitteestä, piste (n, m ) ei sisältyisi osapeitteeseen. Tällöin avaruus (R 2, T st ) ei ole kompakti. Esimerkki 4.6. Esimerkin 2.5 avaruus on kompakti. Tämä havaitaan helposti siitä, että mistä tahansa avoimesta peitteestä voidaan valita yksi, kaksi tai kolme joukkoa, joihin sisältyvät alkiot c 1, c 2 ja c 3. Tällöin pelkästään nämä joukot muodostavat avoimen osapeitteen. Tarkastellaan kompaktien avaruuksien perusominaisuuksia. Ensimmäinen tulos, Lause 4.7, kertoo, että kompaktien avaruuksien yhdisteet ovat kompakteja. Sen sijaan Esimerkki 4.8 osoittaa, että vastaava ei välttämättä päde leikkauksille. Tämä on hieman intuition vastaista, sillä luulisi, että kompaktin avaruuden pienentäminen leikkauksella tuottaisi edelleen kompaktin joukon. Lause 4.7. Oletetaan, että A ja B ovat avaruuden X kompakteja aliavaruuksia. Tällöin A B on kompakti. Todistus. Olkoon {U α : α } avoin peite A B:lle. Koska A A B, joukkoperhe {A U α : α } on avoin peite kompaktille A:lle. Tällöin siitä voidaan valita äärellinen avoin osapeite {A U α : α }. Samoin voidaan muodostaa äärellinen avoin osapeite {B U α : α } B:lle. Muodostamalla nyt äärellinen yhdiste = saadaan äärellinen ja avoin osapeite {U α : α } A B:lle. Esimerkki 4.8. Osoitetaan vastaesimerkillä, että A B ei aina ole kompakti. Muodostetaan perusjoukko N {a, b} ja sen topologia, jossa avoimia joukkoja ovat N:n diskreetin topologian avoimet joukot, sekä joukot N {a}, N {b} ja N {a, b}. N {a} ja N {b} ovat kompakteja aliavaruuksia, sillä aliavaruuksien peittäminen kokonaan vaatii sellaisen avoimen joukon sisällyttämistä peitteeseen, joka yksin peittää koko aliavaruuden. Mutta aliavaruuksien leikkaus N ei ole kompakti, sillä esimerkiksi {n : n N} muodostaa avoimen peitteen, josta on mahdotonta ottaa äärellistä osapeitettä. Lause 4.9. Jos (X, T ) on kompakti ja T 1 T, niin (X, T 1 ) on kompakti. Todistus. Valitaan mielivaltainen avoin peite avaruudelle (X, T 1 ). Koska T 1 T, peite on avoin myös avaruudessa (X, T ), jolloin siitä kompaktiuden perusteella voidaan valita avoin äärellinen osapeite, mikä osoittaa myös avaruuden (X, T 1 ) olevan kompakti. Seuraava esimerkki osoittaa, että käänteisessä tilanteessa, missä (X, T ) on kompakti ja T T 1, (X, T 1 ) ei välttämättä ole kompakti. 17

23 Esimerkki Tarkastellaan luonnollisten lukujen joukkoa triviaalitopologialla T tr. (N, T tr ) on selvästi kompakti. Mutta diskreetillä topologialla T dr pätee T tr T dr, eikä (N, T dr ) ole kompakti. Lause Jokaisella kompaktilla, lokaalisti yhtenäisellä avaruudella on vain äärellinen määrä komponentteja. Todistus. Antiteesi: Komponentteja on ääretön määrä. Koska avaruus on lokaalisti yhtenäinen, jokaiselle pisteelle voidaan konstruoida pisteen sisältävä avoin, yhtenäinen joukko. Valitaan komponentti A ja konstruoidaan jokaiselle A:n alkiolle a α, α avoin, yhtenäinen joukko V (a α ). Muodostetaan näistä joukoista yhdiste α V (a α). Nyt A = α V (a α), sillä selvästi A α V (a α). Jos puolestaan valitaan piste x α V (a α), kuuluu x vähintään yhteen yhtenäiseen joukkoon V (a α ), jolloin se komponentin määritelmän myötä kuuluu komponenttiin A. Avointen joukkojen yhdisteenä A on nyt myös avoin. Nyt ääretön määrä avoimia komponentteja muodostaa avoimen peitteen kompaktille avaruudelle, jolloin kompaktiuden perusteella voitaisiin valita äärellinen osapeite. Mutta komponentit muodostavat avaruudelle osituksen, eli peitteestä ei voida ottaa yhtäkään komponenttia pois. Ristiriita todistaa, että komponentteja on vain äärellinen määrä. Suoraan kompaktin avaruuden määritelmästä saadaan, että koko avaruutta voidaan käsitellä äärellisen monen avoimen joukon kautta. Ominaisuus on samanlainen kuin äärellisillä avaruuksilla. Työn aikana tullaan huomaamaan äärellisen osapeitteen hyötyjä. Esimerkiksi Lauseessa 4.12 kompaktiuden ansiosta voidaan ottaa äärellinen yhdiste suljetuista joukoista, jolloin yhdiste tiedetään myös suljetuksi. Lause 4.11 kertoo tapauksesta, jossa kompaktilla avaruudella on toinen samanlainen ominaisuus kuin äärellisellä avaruudella. Työn aikana tullaan kohtaamaan lisää tapauksia, joissa kompaktit avaruudet käyttäytyvät kuin äärelliset avaruudet. Tämä on kompakteille avaruuksille ominainen piirre ja avaruuksia onkin luonnehdittu niin, että ne "ovat seuraavaksi parasta äärellisten avaruuksien jälkeen". (Keskustelua aiheesta internet-foorumilla lähteessä [5].) Kannattaa huomata, että äärellisten avaruuksien peitteet ovat välttämättä äärellisiä, joten myös kaikki äärelliset avaruudet ovat kompakteja. Tarkastellaan seuraavaksi lauseita, joissa kompaktius yhdistyy separaatioaksioomiin. Lause Olkoon A kompakti joukko säännöllisessä avaruudessa X. Jos U on avoin joukko X:ssä sisältäen A:n, niin on olemassa X:n avoin osajoukko V siten, että A V V U. 18

24 Todistus. Lemman 2.20 perusteella tiedetään, että jokaiselle x U on olemassa avoin joukko V, jolla x V V U. Valitaan nyt A:n jokaiselle alkiolle a avoin joukko V (a), jolla pätee a V (a) V (a) U Nyt voidaan muodostaa yhdiste a A V (a), joka muodostaa avoimen peitteen joukolle A. Kompaktiuden perusteella voidaan muodostaa äärellinen osapeite joukoista V (a i ), missä i = 1, 2,..., n, eli A n i=1 V (a i). Nyt yhdiste n i=1 V (a i) U on suljettujen joukkojen äärellisenä yhdisteenä suljettu joukko, joka sisältää n i=1 V (a i):n. Sulkeuman määritelmän myötä A n V (a i ) i=1 n V (a i ) i=1 n V (a i ) U. i=1 Lauseen 4.12 todistuksessa sanottiin, että a A V (a), muodostaa avoimen peitteen kompaktille joukolle A. Teknisesti ottaen Määritelmän 4.3 perusteella olisi pitänyt tarkastella A:n aliavaruudessa avoimia joukkoja a A V (a) A, kun A:n kompaktiuden perusteella otettiin äärellinen osapeite. Todistuksen loppuosan perusidea olisi säilynyt, mutta sen esitys olisi ollut hieman monimutkaisempaa. Onneksi Lause 4.13 perustelee, että tätä vaivaa ei ole tarvetta nähdä. Lause Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja (A, T A ) sen aliavaruus. Tällöin A on kompakti jos ja vain jos kaikilla A:n peitteillä {U α : α }, missä U α T kaikilla α, on äärellinen osapeite. Todistus. Olkoon A kompakti, eli aliavaruus (A, T A ) on kompakti. Olkoon {U α : α } X:ssä avoin A:n peite. Nyt {A U α : α }, on aliavaruudessa avoin A:n peite, joten voidaan ottaa äärellinen osapeite {A U α1, A U α2,..., A U αn }, n N. Joukkojen U α1, U α2,..., U αn on peitettävä A, joten ne ovat peitteen {U α : α } äärellinen osapeite. Olkoon kaikilla X:ssä avoimilla A:n peitteillä {U α : α } äärellinen osapeite ja olkoon {A V α : α } aliavaruudessa A avoin A:n peite, missä V α T kaikilla α. Nyt {V α1, V α2,..., V αn } on äärellinen, X:ssä avoin A:n peite. Tällöin aliavaruudessa avoimella peitteellä {A V α : α } on äärellinen osapeite {A V α1, A V α2,..., A V αn }, eli A on kompakti. Lauseessa 4.12 osajoukko V on avoin joukko, joka sisältää kompaktin A:n. Lausetta voidaan siis soveltaa uudelleen ja uudelleen. Tästä seuraa se, että joko A lopulta sisältyy joukkoon, joka on sekä avoin, että suljettu, tai 19

25 A:n ympärille voidaan konstruoida loputtomasti yhä pienempiä suljettuja ja avoimia joukkoja. Lauseesta seuraa myös se, että jos kompakti joukko säännöllisessä avaruudessa on avoin, on se myös suljettu eräänlaisella kuristusperiaatteella. Tällöin jos avoin kompakti joukko olisi säännöllisen avaruuden aito osajoukko, avaruus olisi epäyhtenäinen, koska avaruus voitaisiin osittaa avoimeen joukkoon ja sen avoimeen komplementtiin. Tunnetusti R on säännöllinen ja Lauseen 3.3 perusteella yhtenäinen. Tämä tarkoittaa sitä, että ainakin R:ssä päädytään ristiriitaan, jos kompaktit joukot ovat avoimia, avaruuden aitoja osajoukkoja. Herää kysymys, että voivatko kompaktit joukot olla avoimia, avaruuden aitoja osajoukkoja missään säännöllisessä avaruudessa. Avaruus {a, b} diskreetillä topologialla osoittaa, että voivat. Ristiriitoja syntyy mahdollisesti vain yhtenäisissä avaruuksissa. Myöhemmin työn aikana havaitaan, että reaaliavaruudessa kompaktit joukot ovat välttämättä suljettuja. Lause Jokainen kompakti, säännöllinen avaruus on normaali. Todistus. Olkoon X kompakti, säännöllinen avaruus. Valitaan avaruudesta kaksi suljettua joukkoa A ja B. Tarkastellaan joukon B alkioita b. Säännöllisyyden perusteella jokaiselle b:lle on olemassa avoimet joukot U(b) ja V (b) siten, että A U(b), b V (b) ja U(b) V (b) =. Joukot V (b) muodostavat avoimen peitteen kompaktille B:lle, joten niistä voidaan valita äärellinen osapeite {V (b 1 ), V (b 2 ),..., V (b n )}. Nyt osapeitteen joukoille on vastaavat joukot U(b 1 ), U(b 2 ),..., U(b n ). Ottamalla äärellinen leikkaus n i=1 U(b i) saadaan avoin joukko, jolla pätee A n i=1 U(b i). Lisäksi B n i=1 V (b i) ja n i=1 U(b i) n i=1 V (b i) =. Avaruus on normaali. Suljetuilla ja kompakteilla osajoukoilla on tietyissä avaruuksissa vahva yhteys. Tarkastellaan seuraavaksi tuloksia, joiden perusteella selviää millä ehdoin osajoukon sulkeisuudesta seuraa sen kompaktius ja päinvastoin. Lause Olkoon X kompakti avaruus ja B X suljettu. Tällöin B on kompakti. Todistus. Olkoon {U α : α } suljetun joukon B avoin peite. Nyt joukkoperhe {U α : α } {X \ B} on kompaktin avaruuden X avoin peite. Tällöin on olemassa äärellinen osapeite, joka koostuu joukoista U α1, U α2,..., U αn, joiden täytyy peittää B, sillä {X \ B} ei voi sitä tehdä. B on kompakti. Lemma Olkoon A kompakti osajoukko Hausdorffin avaruudessa X ja olkoon x A. Tällöin on erilliset avoimet joukot U ja V, sisältäen A:n ja x:n vastaavasti. 20

26 Todistus. Tarkastellaan kompaktin joukon A alkiota a. Hausdorffiuden ansiosta on olemassa erilliset avoimet joukot U(a) ja V (a) siten, että a U(a) ja x V (a). Nyt joukkoperhe {U(a) : a A} on avoin peite kompaktille joukolle A, joten on olemassa äärellinen osapeite {U(a 1 ), U(a 2 ),..., U(a n )}. Näille joukoille on olemassa vastineet V (a 1 ), V (a 2 ),..., V (a n ). Avointen joukkojen äärellinen leikkaus on avoin, joten n i=1 V (a i) on avoin joukko sisältäen x:n, joka ei leikkaa avointa joukkoa n i=1 U(a i), joka sisältää A:n. Lause 4.17 seuraa lähes suoraan Lemmasta Kompaktin joukon komplementin jokaiselle alkiolle löytyy avoin joukko, joka ei leikkaa kompaktia joukkoa. Tämä tekee komplementista avoimen ja kompaktista joukosta suljetun. Lause Hausdorffin avaruuden kompakti osajoukko on suljettu. Nyt Lauseet 4.15 ja 4.17 yhdessä tuottavat Seurauksen Huomionarvoista on se, että Seuraus 4.18 pätee nimenomaan kompakteissa Hausdorffin avaruuksissa ja se on heikompi tulos kuin Lauseet 4.15 ja 4.17 erikseen yhdessä. Lause 4.15 ei vaadi avaruuden Hausdorffiutta eikä Lause 4.17 vaadi avaruuden kompaktiutta. Seuraus 4.18 on kuitenkin merkittävä, sillä nyt on löydetty avaruus, jossa osajoukon kompaktius on yhtäpitävää yksinkertaisen ja varsin fundamentaalisen ominaisuuden kanssa. Seuraus Olkoon X kompakti Hausdorffin avaruus. Tällöin A X on kompakti jos ja vain jos A on suljettu. Pohditaan suljettua joukkoa kompaktissa Hausdorffin avaruudessa. Seuraus 4.18 tekee joukosta kompaktin, jolloin Lemma 4.16 tekee avaruudesta säännöllisen. Eikä ketjureaktio pääty tähän, sillä nyt Lause 4.14 puolestaan tekee avaruudesta normaalin, mikä todistaa Lauseen Lause Jokainen kompakti Hausdorffin avaruus on normaali. Kompakteissa avaruuksissa separaatioaksioomat käyttäytyvät hieman erikoisesti. Yleisesti ottaen normaalit T 1 -avaruudet ovat säännöllisiä avaruuksia ja säännölliset T 1 -avaruudet ovat Hausdorffin avaruuksia. Mutta nyt on nähty, että kompakteissa avaruuksissa ketjureaktio tapahtuu käänteiseen suuntaan ja Hausdorffin avaruudet ovat automaattisesti säännöllisiä ja normaaleja. Ja koska yleisesti Hausdorffin avaruudet ovat T 1 -avaruuksia (ja sen myötä T 0 -avaruuksia), kompaktit Hausdorffin avaruudet ovat jopa T 3 - ja T 4 - avaruuksia. Kompakteissa avaruuksissa Hausdorffius on vahvin tässä työssä esitetyistä separaatioaksioomista. Määritellään seuraavaksi äärellisen leikkauksen ominaisuus, jonka avulla saadaan vaihtoehtoinen tapa kompaktiuden toteamiselle. 21

27 Määritelmä [3, Definition 4.14, sivu 213] Perheellä {A α : α } on äärellisen leikkauksen ominaisuus jos jokaisella äärellisellä osakokoelmalla {A α1, A α2,..., A αn } on ominaisuus, että n k=1 A αk. Määritelmästä seuraa suoraan, että tyhjä joukko ei voi kuulua perheeseen, jolla on äärellisen leikkauksen ominaisuus. Lause Avaruus X on kompakti, jos ja vain jos jokaisella perheellä X:n suljettuja osajoukkoja {A α : α }, jolla on äärellisen leikkauksen ominaisuus, on epätyhjä leikkaus. Lause 4.21 on todistettu lähteessä [2, Theorem 5.7, sivu 79]. Osoitetaan Lauseen 4.21 menetelmällä uudestaan, että Esimerkin 2.5 avaruus (X, T k ) on kompakti. Esimerkki Olkoon {A α : α } perhe suljettuja joukkoja avaruudessa (X, T k ), jolla on äärellisen leikkauksen ominaisuus. Avaruuden jokainen epätyhjä suljettu joukko sisältää pakosti vähintään yhden alkioista c 1, c 2 ja c 3. Muutoin vastaava avoin joukko muodostaisi avaruudelle peitteen, jolloin suljettu joukko olisi tyhjä. Pyritään osoittamaan hypoteesi H, että vähintään jokin alkioista c 1, c 2 tai c 3 kuuluu kaikkiin perheen {A α : α } joukkoihin. Valitaan perheestä joukot A 1 ja A 2, joiden leikkaus on suljettu ja äärellisen leikkauksen ominaisuuden ansiosta epätyhjä. Oletetaan, että alkio c 1 A 1 A 2. (Alkion valinta on tässä mielivaltainen.) Jos perheen kaikki epätyhjät joukot sisältävät c 1 :n, H pätee. Oletetaan seuraavaksi, että perhe sisältää vähintään yhden joukon A 3, joka ei sisällä c 1 :tä. Nyt leikkauksen A 2 A 3 on pakko sisältää joko c 2 tai c 3. Voidaan tehdä oletus, että se sisältää c 2 :n. Jos perheen kaikki joukot sisältävät c 2 :n, H pätee. Oletetaan siis, että perhe sisältää joukon A 4, joka ei sisällä c 2 :ta. Jos A 4 ei sisällä myöskään c 3 :ta, niin leikkaus A 4 A 3 on epätyhjä suljettu joukko, joka ei sisällä yhtään alkioista c 1, c 2 tai c 3. Tämä on mahdotonta, eli A 4 sisältää pakosti c 3 :n. Jos perheen kaikki joukot sisältävät c 3 :n, H pätee. Oletetaan siis vielä, että perhe sisältää joukon A 5, joka ei sisällä c 3 :a. Nyt A 3 A 4 A 5 on epätyhjä joukko, joka ei sisällä ainuttakaan alkiota c 1, c 2 tai c 3. Tämä on mahdotonta, joten hypoteesi H pätee kaikissa mahdollisissa tapauksissa. Nyt kaikilla perheen {A α : α } joukoilla on yhteinen alkio. Tällöin leikkaus α A α ja avaruus (X, T k ) on kompakti. Lauseen 4.21 menetelmä kompaktiuden toteamiseksi voi olla hyödyllinen erityisissä tilanteissa. Esimerkiksi lähteessä [4] äärellisen leikkauksen ominaisuutta on hyödynnetty mutkan kautta Tihonovin (Tychonoffin) lauseen 22

28 (tässä työssä Lause 4.23) todistuksessa. Avoimien, äärellisten osapeitteiden olemassaolo on kuitenkin vakiintunut kompaktiuden määritelmäksi ja se varmastikin on yleensä kätevin tapa tarkastella asiaa. Ainakin Esimerkkien 4.6 ja 4.22 tapauksessa tarkastelu äärellisen leikkauksen ominaisuuden kautta oli paljon työläämpää. Esitetään seuraavaksi mainittu Tihonovin lause. Cain kirjoittaa lauseesta: "yksi kaikkein tärkeimmistä topologian tuloksista [2, sivu 97]". Lauseella on monia merkittäviä sovelluksia tämän työn skaalan ja aiheen ulkopuolella. Työn aikana Lause 4.23 osoittautuu hyödylliseksi tarkasteltaessa R n - avaruuksia. Lause (Tihonovin lause.) Millä tahansa avaruuksien perheellä {X α : α }, α X α on kompakti jos ja vain jos jokainen X α, α on kompakti. Jo tässä vaiheessa on nähty, että kompakteilla avaruuksilla on hyödyllisiä ominaisuuksia, kuten se, että kompakteissa Hausdorffin avaruuksissa ei koskaan tarvita ääretöntä määrä avoimia joukkoja suljetun osajoukon peittämiseksi. Joskus voi olla toivottavaa, että ei-kompakteista avaruuksista olisi kompaktit versiot, jotka säilyttävät mahdollisimman paljon alkuperäisestä avaruudesta. Ei-kompakteja avaruuksia voidaan kompaktisoida. Kompaktisoinnissa konstruoidaan uusi avaruus, joka on kompakti ja jossa alkuperäinen avaruus on tiheä. Kompaktisoinnin keinoja on useita ja seuraavaksi esitetään yksi, joka tunnetaan yhden pisteen kompaktisointina. Olkoon (X, T ) avaruus, joka ei ole kompakti. Valitaan piste a X ja muodostetaan joukko X = X {a}. Määritetään topologia T X :lle: U T jos U T tai jos X \U on X:n suljettu, kompakti osajoukko. Merkitään jälkimmäistä ehtoa *:llä. Tarkistetaan topologisuuden ehdot: 1. on avoin X:ssä. Kun U = X, X \U =. on suljettu ja kompakti, sillä tyhjän joukon ainut avoin peite on tyhjä joukko itse. On osoitettu, että T ja X T. 2. Jos U, V T, niin U V T. Olkoon seuraavaksi U T ja toteuttakoon V ehdon *. Jotta X \ V voisi olla joukko X:ssä, täytyy {a} V. Ja jotta se voisi olla suljettu, täytyy V :n olla muotoa V {a}, missä V on avoin X:ssä. Vaatimus X \ V :n kompaktiudesta asettaa lisäehtoja V :lle, mutta jo selvitetty tieto riittää leikkauksen tarkasteluun. Nyt U V = U (V {a}) on avoin X:ssä, eli U V T. Täyttäkööt vielä sekä U, että V ehdon *. Nyt U V on muotoa (U {a}) (V {a}), 23

29 missä U, V T. Leikkaus ei voi olla avoin X:ssä, joten tarkastellaan, että onko X \ ( U V ) suljettu ja kompakti X:n osajoukko. Nyt X \ ( U V ) = X \ U X \ V. Tämän yhdisteen molemmat puolet ovat kompakteja ja suljettuja. Lauseen 4.7 perusteella yhdiste on myös kompakti ja suljettu. U V T kaikissa tapauksissa. 3. Olkoon {U α : α } perhe X :ssä avoimia joukkoja. Tarkastellaan yhdistettä α U α. Mikäli yhdiste sisältää vain joukossa X avoimia joukkoja, yhdiste on avoin. Olkoon yhdisteessä sitten vähintään yksi ehdon * täyttävä joukko U. Tarkastellaan, että onko X \ α U α suljettu ja kompakti X:n osajoukko. Nopeasti nähdään, että joukko on suljettu X:n osajoukko. Nyt X \ α U α X \ U, kuten kaikilla yhdisteillä. X \ U on ehdon * mukaisesti suljettu ja kompakti, joten myös sen suljetut osajoukot ovat kompakteja Lauseen 4.15 perusteella. α U α T. Tarkasti ottaen edellisessä yhdisteen tarkastelussa X \ α U α on suljettu avaruudessa X. Mutta tällöin X \ α U α on suljettu myös aliavaruudessa X \ U. Lause Ei-kompakti X on tiheä kompaktisoidussa X :ssä. Todistus. Tarkastellaan sulkeumaa X. Ainoat X:n sisältävät joukot X :ssa ovat X ja X. Mikäli vain X on suljettu, väite on todistettu. Tarkastellaan siis, että onko X suljettu X :ssa. X:n komplementti X :ssa on joukko {a}. {a} ei ole avoin X:n topologiassa, joten tutkitaan joukkoa X \ {a} = X. X oli oletettu ei-kompaktiksi, joten {a} ei ole avoin X :n topologiassa. X ei ole suljettu joukko X :ssa, joten X = X. ) on kompaktisointi, jonka kohteena on luonnollisten lukujen joukko diskreetillä topologialla. Nyt selvästi kaikkien avoimien peitteiden täytyy sisältää uusi perusjoukko, joka yksin muodostaa äärellisen osapeitteen. Kompaktius on hyvin helppo todeta Avaruudet voivat menettää alkuperäisiä ominaisuuksia kompaktisoinnin seurauksena, eivätkä kaikki kompaktisoinnin keinot olekaan yhtä hyviä tämän suhteen. Esimerkiksi hyvin yksinkertainen tapa kompaktisoida joukkoja on lisätä joukkoon yksi uusi alkio ja määritellä, että uuden topologian avoimia joukkoja ovat kaikki aiemmat avoimet joukot, sekä uusi perusjoukko. Merkitään uutta topologiaa T +. Esimerkiksi (N {a}, T + ds ) on menettänyt alkuperäisen avaruuden ominaisuuksista vähintäänkin Hausdorffiuden. Sen sijaan tietyin ehdoin yhden pisteen kompaktisointi säilyttää alkuperäisen avaruuden Hausdorffiuden [1] (Lause 7.42., sivu 235). verrattuna joukkoon (X, T ). Mutta (N {a}, T + ds 24

30 Esimerkki Yleinen yhden pisteen kompaktisointi on avaruus (R { }, Tts). Kyseessä on kompakti avaruus, joka sisältää kaikki reaaliluvut ja jonka jokainen avoin joukko sisältää reaalilukuja. Lisättyä pistettä on tapana merkitä äärettömyydellä, mikä on luontevaa, kuten ilmenee. Voidaan osoittaa, että avaruus (R ) on itseasiassa homeomorfinen ympyrän kanssa. Kuvassa 4.1 on esitetty vihje, jonka perusteella sopiva homeomorfismi voidaan määrittää. Samalla se perustelee lisätyn pisteen kutsumista äärettömäksi. Yksityiskohdat jätetään pohdittavaksi. Kuva 4.1: Reaaliakselin yhden pisteen kompaktisointi on homeomorfinen ympyrän kanssa. Esimerkissä 4.8 mainittiin sen erikoisuus, että kompaktin joukon pienentäminen leikkauksella ei välttämättä säilytä kompaktiutta. Nyt vastaavasti on erikoista, että ei-kompaktin joukon suurentaminen tekee siitä kompaktin. 25

31 Luku 5 Kompaktius kuvauksissa Tässä luvussa tarkastellaan kompaktien avaruuksien käyttäytymistä kuvauksissa. Havaitaan, että avaruuden kompaktius voi kertoa jotain funktion ominaisuuksista ja funktion ominaisuudet voivat kertoa jotain avaruuksien kompaktiudesta. Erityisesti havaitaan, että päätelmiä voidaan tehdä paljon jatkuvista funktioista. Tarkastellaan aluksi kahta erityistä funktiota, homeomorfismia ja projektiofunktiota. Lause 5.1. Kompaktius on topologinen ominaisuus. Todistus. Olkoot (A, T A ) ja (B, T B ) topologisia avaruuksia, joiden välillä on homeomorfismi h : A B. Olkoon lisäksi A kompakti. Tarkastellaan B:n avointa peitettä {V α : α }. Peitteen alkukuva {h 1 (V α ) : α } muodostaa peitteen kompaktille A:lle, joka on avoin homeomorfismin jatkuvuuden perusteella. Nyt voidaan valita äärellinen osapeite {h 1 (V α1 ), h 1 (V α2 ),..., h 1 V αn }. Koska h on surjektio, joukot h(h 1 (V α1 )) = V α1, h(h 1 (V α2 )) = V α2,..., h(h 1 (V αn )) = V αn muodostavat avoimen, äärellisen peitteen B:lle, joka on myös alkuperäisen peitteen osapeite. Tällöin B on myös kompakti, eli kompaktius on topologinen ominaisuus. Lause 5.2. Olkoon p y : X Y Y projektiofunktio. Jos X on kompakti, niin p y on suljettu. Todistus. Olkoon C avaruuden X Y suljettu osajoukko. Tavoitteena on osoittaa, että p y (C) on suljettu. Valitaan piste y 0 Y \ p y (C) ja pyritään löytämään sille avoin ympäristö, joka ei leikkaa p y (C):tä. Nyt piste (x, y 0 ) kuuluu avoimeen joukkoon X Y \C millä tahansa x X. Kullekin pisteelle (x, y 0 ) löytyy avoin joukko U(x) V (x) siten, että kaikilla x, (U(x) V (x)) C =. 26