Lineaarialgebra MATH.1040 / Piirianalyysiä

Transkriptio

1 Lineaarialgebra MATH.1040 / Piirianalyysiä

2 1 Kirchoffin ensimmäinen laki: Missä tahansa virtapiirin liitoskohdassa pisteeseen saapuvien sähkövirtojen summa on yhtä suuri kuin siitä poistuvien sähkövirtojen summa. i 1 i 4 i 1 + i 3 = i 2 + i 4 i 2 i 3 i 1 i 2 + i 3 i 4 = 0

3 1 Kirchoffin ensimmäinen laki: Missä tahansa virtapiirin liitoskohdassa pisteeseen saapuvien sähkövirtojen summa on yhtä suuri kuin siitä poistuvien sähkövirtojen summa. i 1 i 4 i 1 + i 3 = i 2 + i 4 i 2 i 3 i 1 i 2 + i 3 i 4 = 0 Kirchoffin toinen laki: Suljetussa johdinsilmukassa järjestyksessä laskettu potentiaalierojen summa on nolla. U 1 i 1 R 1 i 2 R 2 U 1 R 1 i 1 + U 2 + R 2 i 2 = 0 U 2

4 2 Laske virrat, kun oheisessa kytkennässä U 1 = 2.0V, U 2 = 5.0V, R 1 = 200Ω, R 2 = 500Ω ja R 3 = 300Ω. i 1 i 2 U 2 i 3 R 1 R 2 R 3 U 1

5 2 Laske virrat, kun oheisessa kytkennässä U 1 = 2.0V, U 2 = 5.0V, R 1 = 200Ω, R 2 = 500Ω ja R 3 = 300Ω. i 1 i 2 U 2 i 3 R 1 R 2 R 3 U 1 Kirchoffin ensimmäisestä laista saamme i 1 + i 2 + i 3 = 0.

6 2 Laske virrat, kun oheisessa kytkennässä U 1 = 2.0V, U 2 = 5.0V, R 1 = 200Ω, R 2 = 500Ω ja R 3 = 300Ω. i 1 i 2 U 2 i 3 R 1 R 2 R 3 U 1 Kirchoffin ensimmäisestä laista saamme i 1 + i 2 + i 3 = 0. Kirchoffin toisesta laista saamme U 2 R 2 i 2 + R 3 i 3 = 0 R 1 i 1 + U 1 + R 2 i 2 = 0

7 3 Sijoitetaan parametrien arvot U 1 = 2.0V, U 2 = 5.0V, R 1 = 200Ω, R 2 = 500Ω ja R 3 = 300Ω yhtälöihin i 1 + i 2 + i 3 = 0, U 2 R 2 i 2 + R 3 i 3 = 0, R 1 i 1 + U 1 + R 2 i 2 = 0, ja järjestetään yhtälöt sieviksi:

8 3 Sijoitetaan parametrien arvot U 1 = 2.0V, U 2 = 5.0V, R 1 = 200Ω, R 2 = 500Ω ja R 3 = 300Ω yhtälöihin i 1 + i 2 + i 3 = 0, U 2 R 2 i 2 + R 3 i 3 = 0, R 1 i 1 + U 1 + R 2 i 2 = 0, ja järjestetään yhtälöt sieviksi: i 1 + i 2 + i 3 = 0 500Ωi Ωi 3 = 5.0V 200Ωi Ωi 2 = 2.0V

9 3 Sijoitetaan parametrien arvot U 1 = 2.0V, U 2 = 5.0V, R 1 = 200Ω, R 2 = 500Ω ja R 3 = 300Ω yhtälöihin i 1 + i 2 + i 3 = 0, U 2 R 2 i 2 + R 3 i 3 = 0, R 1 i 1 + U 1 + R 2 i 2 = 0, ja järjestetään yhtälöt sieviksi: i 1 + i 2 + i 3 = 0 500Ωi Ωi 3 = 5.0V 200Ωi Ωi 2 = 2.0V Jaetaan vielä toinen ja kolmas yhtälö ohmilla, jolloin yhtälöryhmä menee muotoon:

10 4 i 1 + i 2 + i 3 = 0 500i i 3 = 5.0A 200i i 2 = 2.0A

11 4 i 1 + i 2 + i 3 = 0 500i i 3 = 5.0A 200i i 2 = 2.0A D = =

12 4 i 1 + i 2 + i 3 = 0 500i i 3 = 5.0A 200i i 2 = 2.0A D = = D 1 = = A = 900A A A ( 2.0A)

13 5 i 1 + i 2 + i 3 = 0 500i i 3 = 5.0A 200i i 2 = 2.0A D 2 = = A = 1600A A A ( 2.0A)

14 6 i 1 + i 2 + i 3 = 0 500i i 3 = 5.0A 200i i 2 = 2.0A D 3 = = A A A = 2 500A ( 2.0A)

15 7 Siis: i 1 = D 1 D = i 2 = D 2 D = 900A = 2.90mA 1600A = 5.16mA i 3 = D 3 D = 2500A = 8.06mA

16 8 Edellisen esimerkin kytkennässä etsimme jännitelähteelle U 1 sellainen arvo, että virta vastuksen R 1 läpi on nolla (pieni). Merkitään U 1 = X. Tämä merkintä korostaa sitä, että olemme nyt etsimässä oikeata arvoa X :lle. 0A i 1 R 1 i 2 R 2 U 2 i 3 R 3 U 1 = X (V)

17 8 Edellisen esimerkin kytkennässä etsimme jännitelähteelle U 1 sellainen arvo, että virta vastuksen R 1 läpi on nolla (pieni). Merkitään U 1 = X. Tämä merkintä korostaa sitä, että olemme nyt etsimässä oikeata arvoa X :lle. 0A i 1 R 1 i 2 R 2 U 2 i 3 R 3 U 1 = X (V) Yhtälöryhmä muuttuu muotoon

18 8 Edellisen esimerkin kytkennässä etsimme jännitelähteelle U 1 sellainen arvo, että virta vastuksen R 1 läpi on nolla (pieni). Merkitään U 1 = X. Tämä merkintä korostaa sitä, että olemme nyt etsimässä oikeata arvoa X :lle. 0A i 1 R 1 i 2 R 2 U 2 i 3 R 3 U 1 = X (V) Yhtälöryhmä muuttuu muotoon i 1 + i 2 + i 3 = 0 500i i 3 = 5.0A 200i i 2 = X A

19 9 i 1 + i 2 + i 3 = 0 500i i 3 = 5.0A 200i i 2 = X A Ratkaisemme vain ensimmäisen muuttujan i 1 = D 1 /D:n (muuta emme nyt tarvitse). D 1 pitää laskea uudellee, mutta D on sama kuin edellisessä esimerkissä.

20 9 i 1 + i 2 + i 3 = 0 500i i 3 = 5.0A 200i i 2 = X A Ratkaisemme vain ensimmäisen muuttujan i 1 = D 1 /D:n (muuta emme nyt tarvitse). D 1 pitää laskea uudellee, mutta D on sama kuin edellisessä esimerkissä. D 1 = = A A X A = ( X )A + ( X A)

21 10 Siis ja i 1 = 0A, jos i 1 = D 1 D ( X )A =, X = 0 X = = 3.125(V)