Mat Sovelletun matematiikan erikoistyö. ARCH -mallit Atso Suopajärvi 57512W

Transkriptio

1 Ma-.8 Sovelleun maemakan erkosyö ARCH -mall Aso Suopajärv 575W

2 Ssällyslueelo OSA I : Teora OSA II: Smulon. Johdano.... Mall.. Paramer.. Parameren esmon.... Kaavan (9) joho 5. Keromsa Heeroskedassuuden esaamnen Omnasuuksa.7 7. Heeroskedassuudesa 7. Ylesä..8. Akasarja.8. Havanojen generon.9. Akasarjojen analyson.. 5. Parameren esmonnsa Tulokse Akasarja a (ARCH()) Akasarja b (ARCH()) Akasarja c (ARCH()) Akasarja a (ARCH()) Akasarja b (ARCH()) Akasarja (ARCH(5)) Akasarja a ja b (avanomasa heeroskedassuua ssälävä akasarja) Akasarja yyppä 5 (ARMA -akasarja).9 6. Tulokse aulukouna Malln aseen määrämnen Yheenveo ja johopääökse...5 Lähee.7

3 OSA I: ARCH- mallen eora. Johdano Tavanomanen regressomall on y + β ' x + ε () mssä y on seleävä muuuja ja x on seläven (ulkosen) muuujen muodosama p- vekor. Keroma β kusuaan regressokeromks. Alandeks vaa ajanhekeen. Jäännösermllä haluaan selää lmenevää vahelua; y e ss määräydy deermnsses seläjsä x. AR(q)-mall on y q + y + ε el havanoja seleään edellsllä havannolla. Jos havanno keskseään el nsä vähenneään odousarvo, nn mall ulee muooon x q β x + ε () (b) Sekä avanomasessa eä AR(q)-mallssa ehdään jäännösermsä rajoava oleuksa; oleeaan, eä ε : ova rppumaoma ja denses jakauunea saunnasmuuuja, joka noudaava N(, σ ) -jakaumaa jollan äärellsellä vakoparamerlla. Regressokerome on apana esmoda havanoanesosa penmmän nelösumman meneelmällä. Regressomalla pdeään hyvänä, jos se 'selää paljon' havanojen ja seläjen mahdollsesa yheydesä. Tämä hyvyysanalyys ehdään veralemalla resduaaleja y ˆ' β, ˆ x β kerronesmaavekor. Jos resduaal ova penä el malln selysase suur ja jäännösermä koskeva oleukse vomassa, kasoaan regressomall räväks selämään lmöä, el odeaan 'nän luono om'. Reaalmaalman lmö ja nä kuvaava hmsen kehämä mall ova kaks er asaa. Men luono om ja mä saunnasuus pohjmmlaan on (onko sä edes) ova kysymyksä, john en oa kanaa, mua arkouksen on arkasella eräsä erkosapausa. Enä jos luono om muuen kuen mall (), mua e olekaan homoskedasnen (varanss vako)? Vakka seläjks oeasn 'okea' muuuja x, vo sl käydä nn, eä jouduaan hylkäämään mall, koska jäännöserm e ole deaalnen. E mkään välämää pakoa jäännösermä deaalseks, ja nn 'okea' selys jäs löyämää. Rakasun ähän ongelmaan (a okeasaan sen erääseen erkosapaukseen) arjoaa ARCH-mall.

4 . Mall ARCH(p)-mall on y h Ψ ~ N(, h ) + y + y y Ψ on hekellä - unneu nformaaojoukko, joka ssälää edellse havanno, ulkose seläjä ja muun olennasen nformaaon. Seleävä muuuja y on ss ehdollses normaaljakauunu odousarvolla ja varansslla h, joka puolesaan on funko edellssä havannosa. Se e ss ole vako. Tässä yheydessä ulee huomaa, eä ny y vasaa malln () jäännösermä. Tämän vuoks y:n ehdollnen odousarvo on nolla. Malla () vasaavan ARCH-malln eksplsnen muoolu on y Ψ ~ N( x β,' h ) (5) h h( e, e,..., e p e y x β ' (7) el regressoyhälömuodossa y x β ' +ε, mssä ε ~ N(, h ) (8) Anoa ero malln () on ss jäännösermn varanss, joka e ole ARCH-malln apauksessa vako. Kuen kaavasa (6) huomaaan, peraaeessa h:n rppuvuus resduaalesa (7) vos olla muunknlasa kun kaavan () määrelemä. Kaava () on kuenkn 'mukavamp'eoreesla omnasuukslaan ja se on kasou räväks kuvaamaan odellsuua usemmssa apauksssa, joen rajoan arkaselun shen.. Paramer. Parameren esmon ARCH-malln paramer vodaan esmoda penmmän nelösumman meneelmällä, mua mkäl x ssälää vväseyjä rppuva muuuja, esmaaen luoamusrajosa ulee arpeeoman suura. Kerome ulee sen sjaan esmoda suurmman uskoavuuden meneelmällä. Logarmnen uskoavuusfunko vodaan krjoaa muooon (joho luvussa.) T y L( ) ( ½ lnh ) (9) h mssä T ooskoko. Kerome on mplsses haudau kaavan () osoamalla avalla. Esmaa :lle saadaan L():n maksmkohdasa (gradenn nollakohdasa). Merkään z [, y, y,..., y p ]' () h Z f [ z, z,..., z ] y h h T y,..., T ) h h T T (6) p () () p () ()

5 5 jollon Newonn eraao ARCH(p)-malln kerronesmaaelle on a+ a + ( ZZ )' Zf () mssä a :n esmaa :nnellä eraaokerroksella. Algorm arvsee myös jonkn alkuarvauksen. Luonnollses vaadaan, eä oos josa esmodaan, on suuremp kun esmoaven parameren lukumäärä (T > p).. Kaavan 9 joho Kaava (9) johdeaan maksmomalla uskoavuusfunkoa p y, y,...,,,..., ) ( y T p Lähen lkkeelle havannosa : y ~ N(, ) ja edelleen havanojen ja yhesjakauma p y, y ) p( y y ) p( y ) N(, h ) N(, ) () ( h Vasaavas jakaen p ( y,..., y T ) saadaan normaaljakaumen ulona N(, h ). Tunneus normaaljakauman heysfunko on x µ ϕ( x ) exp ½( ) σ π (5) σ Ny µ, σ h, joen heysfunko ulee muooon ½ ϕ ( x) h exp( x ) (6) π h josa logarm on x lnϕ ln ln h (7) π h Tulon logarm on logarmen summa. Ny x y, ja koska vako (. erm) e vakua maksmonn, se vodaan unohaa summasa, ja uloksena on kaava 9. Paramer (gradenn nollakohdan) vo ok rakasa muuenkn kun Newonn eraaolla, joka on van eräs meneelmä maksmn löyämseks; opmonopp unee muakn meneelmä. Syy, mks meneelmä esen, on se, eä yhälön l ( ) rakasemnen analyyses :n suheen on yleses oaen vakeaa elle mahdoona, joen jouduaan urvauumaan numeersn meneelmn. T

6 6. Keromsa Kerome,..., p evä vo olla mä ahansa reaallukuja, vaan nden ulee äyää ey ehdo, joa ARCH(p)-prosess ols hyvn määrely ja melekäs. Ensnnäkn, koska varanss e vo olla negavnen, äyyy olla {,,,.., p}. Tosaala e ole melekäsä, eä varanss ols nolla; e ols saunnasuua, joa ollaan selämässä. Sks vaadaan >. Prosess e myöskään saa "räjähää" el varanssn ulee pysyä äärellsenä (rajoeuna). Ääreön a hyvn suur varanss aheuas sen, ee lmösä kyeäs sanomaan yhään mään ennususmelessä, ja mallsa uls merkykseön lmön kuvaajana. Eho, joka akaa kovaransssaonaarsuuden, on ns. vvepolynomn p juuren olemnen ykskköympyrän kehän ulkopuolella, el juur nn kun L AR(p)-prosessn apauksessa. Esmerkks ARCH()-mallssa ämä arkoaa, eä <. 5. Heeroskedassuuden esaamnen Yksnkeranen selys asalle on paremp kun monmukanen. Regressoanalyysssä 'yksnkerasemp'arkoaa vähäparamersempaa malla. Selväskn avanomanen regressomall () on yksnkerasemp kun ARCH-mall (8). ARCH-malla käyeään sllon, kun avanomanen regressomall e rä (resduaal ova heeroskedassa). Homo-/heeroskedassuua vodaan esaa lasollses Lagrangen keroja (LM) - esllä. Nollahypoees on, eä resduaal ova homoskedassa (... ). Jos nollahypoees näyää esn valossa epäodennäköselä, p pääellään, eä anakn jokn keromsa pokkeaa nollasa. Tes suoreaan seuraavas: muodoseaan apuregresso ε a + a ε + a ε a ε + e el p p seleään resduaalen nelöä sen p:llä vveellä (ja vakolla). ε on ny resduaal mallsa (). Tämän regresson selysase olkoon R. LM-essuure on ällön TR (T havanojen lkm). Tessuure noudaaa asympooses χ ( p) -jakaumaa. Nän ollen suure essuureen arvo (joden p-arvo on pen) johava nollahypoeesn hylkäämseen rppuen myös luoamusason valnnasa. Tulee kuenkn huomaa, eä LM-es reago myös väärään spesfkaaoon; resduaalen nelö saaava olla auokorrelounea, mkäl mallsa () puuuu jokn lasollses merksevä seläjä. Sks LM-essä e vo suoraan pääellä heeroskedassuuden olemassaoloa. Tulee myös huomaa, eä malln aseen p valna vo vakuaa loppuulokseen. Tulee esaa rävän suurella aseluvulla, mua e osaala sas vala lan soa aselukua, sllä selysase R vo van kasvaa, vakka lsääsn merkykseömä seläjä. Lsää johopääöksä malln okeellsuudesa vo ehdä arkaselemalla ε sandardouja resduaaleja z el malln () resduaal jaeaan h ( ˆ ML ) varanssesmaan nelöjuurella el keskhajonnalla. Oken spesfodussa mallssa akasarja z on valkosa kohnaa, mkä vodaan esaa avanomasn kenon. Jos z:n odeaan olevan valkosa kohnaa, vodaan ARCH(p)-mall hyväksyä kuvaamaan lmöä.

7 7 6. Omnasuuksa ARCH-malln resduaal ova auokorrelomaoma, mua evä sunkaan rppumaoma. Kaavasa () nähdään, mnkälasa rppuvuus on; sesarvolaan suure resduaal aheuava suuren varanssn h seuraavan havannon jäännösermn jakaumaan. Seuraus on odennäköses suur pokkeama odousarvosa. Suure pokkeama ss apaava ryhmyä ällä avalla, ja vasaavas pene pokkeama generova odennäköses penä pokkeama. Taloueen lyvssä akasarjossa on apana puhua volaleen kluseroumsesa ässä yheydessä. Kerome ja malln ase p vakuava shen, kunka usen 'rymhäröä'apahuu, kauanko ne kesävä ja kunka suur on vaheluden amplud, mua luonnollses sauma määrää akasarjan lopullsen muodon. Sauma on myös se ekjä, joka laukasee syseemn muuoksen. Yks a useamp samalla avalla epäyypllnen havano saa akaan varanssn h merkävän kasvun a vähenemsen. 7. Heeroskedassuudesa Tavanomasen regressomalln yheydessä oleeaan, eä jäännösermn ε varanss on vako kaklla ajanhekllä. Tällön prosessn sanoaan olevan homoskedasnen. Jos varanss rppuu ajasa, jäännösermä sanoaan heeroskedasseks. ARCH-malln yheydessä heeroskedassuus on ehdollsa; yksäsen havanojen jakaumen varanss pokkeava ossaan ehdolla prosessn mennesyys (pas jos saadaan kaks samanlasa havanoa, mkä on äärmmäsen epäodennäkösä). Varanss h e ole eksplsses ajan vaan edellsen havanojen funko. Sen sjaan koko keskseyn ARCH-prosessn ehdoon varanss on Var( y ) E( y ) ( E( y )) el vako. Tässä yössä arkoeaan ARCH-malln heeroskedassuudella nmenomaan ehdollsa heeroskedassuua. p p (8) σ

8 8 OSA II: Smulon. Ylesä Tässä osossa smulon ARCH - omnasuua ssälävä ja ssälämäömä akasarjoja. Akasarjojen heeroskedassuus esan Lagrangen kerojaesllä (rskaso 5 %) ja paramer esmon suurmman uskoavuuden meneelmällä. Smulon akasarjoja kakkaan kpl; () kpl ARCH() - akasarjoja; () kpl ARCH() - akasarjoja; () ARCH(5) - akasarja; () kpl avanomasa heeroskedassuua ssälävä akasarjoja; (5a) ARMA(,) - akasarja; (5b) ARMA(,) + rend; (5c) ARMA (,)(,) akasarja; (5d) ARMA (,)(,) + rend - akasarja. Kusakn edellä lueellusa akasarjasa smulon sekä lyhy ( havanoa) eä pkä ( 5 havanoa) verso. Usemmssa apauksssa lyhy akasarja on pkän akasarjan alkupää.. Akasarja () ARCH() - akasarja ( h ( a) ( b) ( c),,5, + y,8,5 () ARCH() - akasarja ( h ( a) ( b), ): + + y y ):,6 8 () ARCH(5) - akasarja ( h ) : + y + y + y + y + 5 y 5,,5,, 5, () Tavanomasa heeroskedassuua ssälävä akasarja ( h, S ): S lyhy: S (a) pkä: {,,,} {,,,} C C S S

9 9 S (b) {,,,}, {97,98,,6},5 {,,,} {,,,} 5 {5,5,,6} 5 (5) ARMA - akasarja: a) ARMA(,) parameren (.5,.5) b) ARMA(,) + rend parameren (.6,.), nc. c) ARMA(,)(,) parameren (.7,.)(.5,.6), kaus d) ARMA(,)(,) + rend parameren (.8,.)(.7,.5) nc., kaus. Havanojen generon Generonn käyen NCSS- ja Excel-ohjelma. NCSS:sä saan valmlla komennolla (,) - normaaljakauunea pseudosaunnaslukuja ( ε ), joka srren Exceln. Kohdan () mukasen akasarjojen ( y ) saamseks ehn seuraavanlanen suodaus:. Aseen y ε. Lasken h + y. Aseen y ε h (*). Tosen vahea ja kaavojen h + y ja y ε h, {,,...,5} osoamalla avalla, kunnes saan 5 havanoa (*) Ehdollnen varanss (ks eoraosan kappale ) on ) Var( h ) h Var( ε Var ( y Ψ ε ) h h el juur nn kun pääkn. Vahe suoreaan, joa saaasn jollan lalla generoua sarjan alkupää. Lähdeään ss lkkeelle laneesa, jossa edelävä havano ols nolla. Nän saadaan edes jollan lalla yypllnen havano sarjan alkuun. Kohdassa () ulee aseaa y ε, y ε ja varanss laskeaan kaavalla + h y y. + Kohdan () mukasen akasarjojen saamseks aseeaan y, {,,,,5 } ε + y + y + y + y + 5 y 5 ja varanss saadaan kaavasa h. Muuon akasarjayyppen () ja () generon sujuu samalla yllä kuvaulla avalla kun yyplle (). Komeno arvsee käyäjälään semenluvun. Semenluvu aulukouna: akasarja a b c a b a b semenluku

10 Kohdan () mukase akasarja saadaan aseamalla y ε h, mssä h, S. Kohdan (5) akasarja saadaan NCSS:n valmlla komennolla. Akasarjoja kuvssa -. Akasarjosa käyän lyheneä, esm. bp arkoaa kohdan (b) pkää akasarjaa. Vasaavas L arkoaa lyhyä.. Akasarjojen analyson Akasarjolle ehn eoraosan kappaleessa 5 esely LM es heeroskedassuudelle, jossa apuregresson ase on 5. Tällön nollahypoeesn ( a a a a a ) päessä essuure 5 TR noudaaa asympooses Χ (5) - jakaumaa. Pken akasarjojen apauksessa T 5 ja lyhyden T. Huolmaa heeroskedassuusesn uloksesa kohen,,5 akasarjolle esmon ja. Tapauksessa esmon, ja, ja ukn myös, men ja muuuva, jos akasarja oleeaan kohdan mukaseks. Tapaukselle esmon kakk 6 paramerä. Jodenkn akasarjojen yheydessä ukn myös, men yksänen havano vakuaa parameresmaaehn; esan, kunka paljon esmaaen arvo muuuva, kun yhä havanoa 'peukalodaan', ja osaala kunka paljon esmaa eroava, kun akasarjan puus muuuu yhden havannon verran. 5. Parameren esmonnsa On oleellsa osaa vala okea aseluku p ARCH(p) - malln. Aseluku kuvaa sä, kunka kaukanen mennesyys vakuaa nykysyyeen. Parameren numeerse arvo kuvaava mennesyyden vakuusa kvanavses. Väärä aseluku anaa pas vääränlasen kuvan lmösä, vakuaa myös parameresmaaen lukuarvohn. Lan pen aseluku on avallaan 'vaarallsempaa', sllä se anaa vallnasen kuvan lmösä ja vakuaa enemmän parameresmaaehn. Lan suuren aseluvun valnaa kompenso se, eä paramer, > p esmouva lähelle nollaa rppuen eys havannosa ja nden määräsä. Tosaala pyrään mahdollsmman yksnkeraseen selykseen, joen aseluku on syyä määrää oken. Esmodessan paramerejä olen nden lukumäärän unneuks kunkn akasarjan yheydessä, joskn esasn jossakn apauksssa myös men lan suur/pen aseluku vakuaa. Esmaaen määrämseks Exceln solverlla asen jonkn alkuarvauksen (esm. ˆ, ˆ ), mnkä jälkeen laskn kullekn havannolle varanssesmaan aempen havanojen avulla: h ˆ ˆ + y (9) Kaavaa käyen akasarjayyppen, ja 5 yheydessä. Akasarjayypelle ja käyen vasaava kaavoja: h ˆ + ˆ y + y () h ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + y + y + y + y + 5 y 5 () (Tyyplle kaavaa (), yyplle kaavaa ().) Kunkn havannon logarmnen uskoavuus (eoraosan kappaleesa ) on y s lnh h ()

11 T s p+ Annon solvern ehäväks maksmoda summan, mssä p akasarjan oleeu aseluku, muuelemalla paramerejä, jollon san suurmman uskoavuuden esmaa paramerelle. Huomaavaa on, eä rppuen alkuarvauksesa parameresmaaen. desmaal (ja desmaal sä eeenpän) vahel, joen ulokse päenevä ennään kolmen desmaaln arkkuudella. 6. Tulokse Tulokse on koou aulukkomuooon kappaleessa 6.. Alla on erely ulokse sanallses akasarjoan. 6.. Akasarja a (ARCH()) Akasarjan a generonn käyen parameren arvoja.,. 8, el on suur suheessa :aan. Akasarja al kuvassa. Realsaao edusaa perusapausa, jossa varanss sälyää suuruusluokkansa pkään. Havanojen -5 hajona näyäs kuvan peruseella olevan suurempaa kun muden havanojen, el ne muodosasva klusern. Heeroskedassuuses e kuenkaan havase akasarjaa heeroskedasseks. Tessuure saa arvon 9,5, jonka p-arvo on,9. Paramer kuenkn esmouva kohuullsen lähelle generonnssa käyeyjä. Esmaa ova ˆ.77, ˆ. 8. Pkän akasarjan ap apauksessa heeroskedassuus on ksaona. Tessuureen p- arvo on, el nolla kahdeksan desmaaln arkkuudella, joka on käyeyn ohjelman (NCSS) laskenaarkkuus. Parameresmaa laskeuna 5:sa havannosa ova ˆ.79, ˆ.785. Heman yllääen ne evä ole manavas arkemma kun lyhyesä akasarjasa laskeu esmaa. Yksäsen havannon vakuusa esmaaehn kokeln laskemalla esmaa myös 9:n ja 99:n havannon peruseella. Tulokse ova ällön ˆ.75, ˆ. 86 (9 havanoa) ja ˆ.78, ˆ.78 (99 havanoa). Yksäsen havannon vakuus rppuu kahdesa asasa: akasarjan puudesa ja havannon pokkeavuudesa. Lyhyen akasarjan lyhenämnen yhdellä, vakkakn kuvan peruseella 'normaallla'havannolla muuaa esmaan ˆ arvoa, yksköllä, mkä on suheellsen paljon. Pkän akasarjan esmaaehn vmesen havannon posamnen e vakua sanoavas. Akasarjohn al ja ap soven myös ARCH() - mall. Lyhyen akasarjan ARCH() - esmaa ova ˆ., ˆ. 59, ˆ. 7 el ne ova harhaanjohava. ˆ ˆ, jäävä kauaks okesa ja ARCH() - malln peruseella esmodusa. Lsäks ˆ esmouu suureks, mkä anaa lluuson sä, eä varanss rppus myös havannosa, jonka vve on. Sen sjaan pkän akasarjan ap parameresmaa ˆ ˆ, ova juur kuen ARCH() - malln vasaava, ja ˆ esmouu nollaks.

12 ,5,5 -,5 Seres - -,5 - -, Kuva. Akasarja al. 6.. Akasarja b (ARCH()) Akasarja generon käyäen paramerejä.5,. 5. Lyhyen akasarjan bl peruseella laskeu esmaa ova ˆ.77, ˆ. 69. Pkäsä akasarjasa esmodu paramer ova ˆ.567, ˆ.7. Kummassakn apauksessa ˆ jää aka kauaks arvosa.5. Heeroskedassuusesn p-arvo lyhyen akasarjan apauksessa on,7 ja pkän,. Tes ss havasee pkän, mua e lyhyen akasarjan heeroskedassuuden. Yksäsen havannon vakuusa esan manpulomalla akasarjaa sen, eä snänsä yypllsä havanoa muuen ensn sesarvolaan suuremmaks ja sen penemmäks. Ny uhrks valkou havano nro 6, jonka lukuarvo on,7765. Havano vahden lukuarvoon, jollon lyhyen akasarjan parameresmaa muuuva dramaases: ˆ., ˆ,. Myös pkään akasarjaan ällä muuoksella on vakuusa kohuupaljon: ˆ.6, ˆ. 7. Muuosen suuruude selyvä sllä, eä havannon 6 muuamnen arvoon saa sen pokkeamaan ympärsösään. Se muodosaa yksnäsen pkn, joka on epäodennäkönen realsaao alkuperäsen parameren generomassa akasarjassa. Havannon 6 muuamnen arvoon. e aheua läheskään yhä suura muuoksa. Lyhyen akasarjan esmaa ova ˆ., ˆ. 7 ja pkän ˆ.565, ˆ. 7. Akasarjaan b soven myös ARCH() - mall. Tulokse ova ällön lyhyelle akasarjalle ˆ.5, ˆ. 56, ˆ,, ˆ. ja pkälle akasarjalle ˆ.5, ˆ.7, ˆ., ˆ. 66. Pkän akasarjan apauksessa lan suur aseluku e juur haaa ( ˆ ˆ, lähellä nollaa ja ˆ ˆ, samaa luokkaa kun malln aseen ollessa ), mua lyhyen akasarjan esmaa ˆ ˆ, ova kaukana odellssa arvosaan.

13 6.. Akasarja c (ARCH()) Kuva. Ensmmäse havanoa akasarjasa cp. Kuvaan on prrey akasarja cp, jonka ensmmäsä havanoa muodosava akasarjan cl. Havanno 5- näyävä heelehvän enemmän kun muu, mua se e rä kumoamaan heeroskedassuusesn nollahypoeesä. Lyhyä akasarjaa cl e vo heeroskedassuusesn peruseella (p-arvo,) pää heeroskedassena. Pkä akasarja puolesaan havaaan heeroskedasseks (p-arvo.5). Akasarjan generomseen käyen parameren lukuarvoja,.. ARCH - omnasuus on ss 'levää'( pen). Parameresmaaeks saadaan lyhyesä akasarjasa ˆ.9, ˆ. ja pkäsä ˆ.96, ˆ. 7. Parameresmaa akasarjasa, jonka puus on, ova ˆ.8, ˆ. 9. Esmaa ss muuuva melkoses. Syy on se, eä havano pokkeaa edeläjäsään; edellnen havano on sesarvolaan 'kaukana'nollasa ja havano nro 'lähellä'nollaa (ks. kuva ). Huomaavaa on, eä muuos apahuu koh generonnssa käyeyjä arvoja. Pkän akasarjan ypsämnen 99:ään havanoon muuaa esmaa arvohn ˆ.99, ˆ. 65 el vakuus on odoeus vähänen. Akasarjaan c soven ARCH() - mall. Tällön lyhyesä akasarjasa saadaan esmaa ˆ.8, ˆ., ˆ., ˆ,, ˆ. 8 ja pkäsä ˆ.8, ˆ.6, ˆ., ˆ.6, ˆ.5, joka evä ole nnkään harhaanjohava lukema, joskn ˆ on aka suur lyhyesä akasarjasa esmouna. Varanssn rppuvuus havannosa, jonka vve on, on kuveellsa, mua sl sä näyäs olevan, jos anesoon soveaan ARCH()-mall.

14 6.. Akasarja a (ARCH()) Kuva. Ensmmäse havanoa akasarjasa ap Lyhyä akasarjaa al e havaa heeroskedasseks (p-arvo,9), mkä e ole ylläys, kun kasoo kuvaa. Ensmmäsen :n havannon joukossa on van yks pokkeava havano, jonka selämseen e arva ARCH - malla. Tes havasee pkän akasarjan heeroskedasseks (p-arvo,). Akasarjan ARCH - omnasuus lmenee kuvassa havanojen 5-6 keppellä selväs. Akasarja generon paramerellä,.,. 6. Lyhyesä akasarjasa laskeu esmaa ova ˆ.6, ˆ.67, ˆ.. Eroa on ss hyvn paljon. Näden esmaaen peruseella akasarjassa al e ARCH - omnasuua juurkaan ols. Saman johopääöksen vos ehdä myös kuvasa. (Akasarjan alkupää näyää asapaksula.) Hyvn pokkeava havano (nro 9) 'väärsää'esmaaa ˆ paljon ykkösä suuremmaks. Pkäsä akasarjasa esmodu arvo ova ˆ.87, ˆ., ˆ. 78. Vrheä nässä on non. ykskköä kussakn, mkä on suheellsen paljon akasarjan puus huomoden. Akasarjaa peukalon vahamalla havano nro (lukuarvo,595) ensks lukuarvoon ja sen lukuarvoon,. Pkäsä akasarjasa laskeuhn esmaaehn kummallakaan muuoksella e ole manavaa vakuusa. Myöskään lyhyeen akasarjaan e havannon vahamsella penemmäks ole oleellsa vakuusa. Sen sjaan havannon korvaamnen suurella arvolla aheuaa muuoksa lyhyen akasarjan esmaaehn: ˆ., ˆ., ˆ.. Akasarja vakuaa ällön olevan kokonaan lman ARCH - omnasuua. Sovamalla daaan ARCH() - mall saadaan lyhyesä esmaa ˆ.568, ˆ.7 ja pkäsä ˆ.69, ˆ. 87. Vakka ˆ. esmoaessa lyhyen akasarjan ARCH() - paramer, evä ˆ ja ˆ ole yhenevä, koska ny esmoaessa käyeään myös havanoa nro ; aseluvun ollessa meneeään ensmmäsä havanoa, kun aas aseluvun ollessa van havano. Arvaenkn pkän akasarjan esmaa ˆ ja ˆ pokkeava paljon generonnssa käyeysä, sllä paramer on hallseva ARCH - omnasuuden uoaja, jonka vakuus upoeaan ny muhn paramerehn ( ˆ ja ˆ suura).

15 Akasarja b (ARCH()) Akasarja b generon käyäen paramerejä.5,.5,. 5. Parameresmaa ova lyhyesä akasarjasa ˆ.69, ˆ.76, ˆ. ja pkäsä ˆ.59, ˆ.77, ˆ.65. Lyhyen esmaa lähnnä suunaa-anava, mua pkäsä saadaan kelpo esmaa. Touuun apaan lyhyä e havaa heeroskedasseks (p-arvo,76), mua pkä havaaan (p-arvo,). ARCH() - malln uoama esmaa lyhyelle akasarjalle ova ˆ.59, ˆ.8 ja pkälle ˆ.55, ˆ. 7. Ne ova melko lähellä ARCH() - malln uoama esmaaeja, pänvason kun akasarjan a apauksessa. Selys löyyy parameren kesknässä suhesa. Ny on selväs penn, jollon sen huomoa jäämsesä (oleamalla ARCH() - mall) e seuraa yhä suura vrheä kun apauksessa a Akasarja (ARCH(5)) Kuva. Akasarjan ensmmäse 5 havanoa. Akasarja on ARCH(5) - prosess. Akasarja generon paramerellä,.,.5,.,., 5.. Akasarja kuvassa. Heeroskedassuuses e huomaa lyhyä akasarjaa heeroskedasseks (p-arvo,97). Tesn mukaan pkä akasarja on heeroskedasnen (p-arvo ). Lyhyesä akasarjasa L parameresmaa ova ˆ., ˆ., ˆ., ˆ.957, ˆ.56, ˆ 5.. Johuen akasarjan lyhyydesä ( havanoa, josa 5 velä meneeään) esmaa ova kaukana okesa. Eryses huomoa heräää ˆ., koska ARCH - mallla edellyeään >. Pkän akasarjan esmaa ova ˆ.68, ˆ.6, ˆ.7, ˆ.5, ˆ.7, ˆ 5. el ne sauva jo huomaavas lähemmäks odellsa arvoja. havanoa on avan lan vähän, joa ARCH(5) - mall saaasn esmoua luoeavas.

16 6 Tässä yheydessä esan lan penen aseluvun vakuus oleamalla ARCH() - prosess. Tällön saadaan parameresmaa ˆ.9, ˆ.5.76, ˆ. lyhyesä ja pkäsä ˆ.67, ˆ.8, ˆ. 9. Puuuven parameren,, 5 vakuus keräänyy ylsuureks parameresmaaks ˆ Akasarja a ja b (avanomasa heeroskedassuua ssälävä akasarja) Kuva 5. Akasarja ap graafses. Tyyppä oleva akasarja ova avanomasa heeroskedassuua ssälävä akasarjoja. Akasarjoja kuvssa 5-8. Kuvan 5 peruseella näyää odellakn slä, eä akasarjan ap havanojen - hajona on suuremp kun muden havanojen. Lyhy akasarja al on kuvassa 6, josa havanno - evä erou mllään lmesellä avalla. (Havanno - generon jakaumasa, jonka varanss on kaksnkeranen.) Ny ulee huomaa, eä al e ole akasarjan ap alkupää. Heeroskedassuusesn ulos on odoeunlanen: akasarja ap on heeroskedasnen (p-arvo,) ja lyhy akasarja homoskedasnen (p-arvo,6). Lyhyen akasarjan al ARCH() - malln parameresmaa ova melenknosa:.6, ˆ. el vakka ehdään 'väärn' ˆ sovamalla ARCH - mall, vrhe saadaan aneeks ( ˆ. ). Pkän akasarjan esmaa ova.6, ˆ.5. Veralun vuoks lasken oosvaranss ˆ σ : lyhyelle ˆ σ.55 ja ˆ pkälle ˆ σ.. Lyhyen akasarjan parameresmaa ˆ e ole kaukana oosvaransssa. Vakka lyhyen akasarjan parameresmaa ˆ olkn nolla, suurmman uskoavuuden meneelmä e uoa ˆ :lle äsmälleen oosvaranssn suurusa arvoa ässä apauksessa. ˆ. arkoaa ARCH omnasuuden ypsymsä pos mallsa, el havanoja mallnneaan valkosella kohnalla. Tällön on kohnan varanss, jolle oosvaranss ols paremp esmaaor.

17 7 Akasarja al,5,5 y -, Seres - -,5 - -,5 - Kuva 6. Akasarja al. Pkä akasarja bp e näyä erysen heeroskedassela kuvan 7 peruseella. Akasarja näyää aka lalla homoskedassela. Lähemp arkaselu (kuva 8) anaa paremman kuvan, sllä generodessa akasarjaa varanssa kasvaen van kymmenelle havannolle kerrallaan. Kuvassa 7 nämä kymmenen havanno jakso hukkuva. Havanno - generon käyäen varanssa,, joka on van vähän suuremp kun perusvaranss. Tällasa levää, lähes olemaona lyhyen akasarjan heeroskedassuua e havaa slmällä ekä esllä (p-arvo,5). Pkä akasarja puolesaan paljasuu heeroskedasseks (p-arvo,76), joskaan e nn selvällä erolla kun edellse pkä akasarja, kun verallaan p-arvoja. ARCH() - malln parameresmaa ova lyhyesä ˆ.66, ˆ. ja pkäsä ˆ.9, ˆ. 86 el ne ova samanapase kun akasarjojen al ja ap esmaa. Pkän akasarjan oosvaranss on,99 ja lyhyen akasarjan oosvaranss on,67. ˆ esmouu ss lähelle oosvaranssa, jos ˆ on nolla a hyvn pen.

18 Kuva 7. Tavanomasa heeroskedassuua omaava akasarja bp Kuva 8. Akasarjan bp 8 vmesä havanoa.

19 Akasarja yyppä 5 (ARMA akasarja) Tyypn 5 akasarja ova ARMA - yyppsä akasarjoja, ekä nssä ole ARCH - omnasuua. Idea on uka, men heeroskedassuuses reago ällasn akasarjohn, ja mnkälasa parameresmaaeja saadaan sovamalla ARCH() - mall. Akasarja 5a (lyhy verso kuvassa 9) on ARMA(,) - prosess. Heeroskedassuuses oeaa sekä pkän eä lyhyen verson homoskedasseks (p-arvo, ja,8). ARCH() - malln parameresmaa ova ˆ.8, ˆ. lyhyelle ja., ˆ.8 pkälle. ARMA(,) - prosess e ss johda harhaan ˆ heeroskedassuusesä ja parameresmaaeja ( ). ˆ Akasarja 5aL y Seres Kuva 9. ARMA(,) akasarja parameren (.5,.5). Trend vakeuaa akasarjan analysomsa. Akasarja 5b ( y ) saan generomalla ARMA(,) - prosess x ja lsäämällä shen lneaarnen rend: y x +,(-). Kappaleessa kohdassa 5 arkoeaan paramerllä nc eo. yhälön lsäysä akaykskössä [(-):n kerrona]. Akasarjan 5b rend on varsn vomakas; apuregresson selysase on äsä johuen korkea (,6 lyhyelle ja,99 pkälle akasarjalle). Nämä lukema johava nollahypoeesn hylkäämseen molemmssa apauksssa.

20 Akasarja 5bL 5 y Seres Kuva. 'Trendkäs'ARMA(,) - prosess. Akasarja 5c on kausvahelua omaava SARMA(,)(,) - akasarja jaksonpuudella. Akasarja 5cP kuvassa, josa sen yyppä on paljaalla slmällä vakea nähdä. Heeroskedassuusesn ulos on, eä lyhy on homoskedasnen (p-arvo,87) ja pkä heeroskedasnen (p-arvo,68). Sovamalla ARCH() - mall saadaan ˆ.6, ˆ. 7 lyhyesä ja ˆ.99, ˆ. pkäsä. Lyhyen akasarjan esmaa ˆ on huomaavan suur, mua kuen on jo aemmn huomau, lyhyden akasarjojen uoama parameresmaa ova melkosen epäluoeava ja nhn ulee suhauua krses, vakka mall olskn oken spesfou, mä se e ässä apauksessa edes ole. Edellä ARMA(,) - prosessn e odeu aheuavan heeroskedassuusesn nollahypoeesn hylkäämsä. SARMA:n apauksessa es kuenkn hälyää, mkä johunee suuresa AR-paramersä (,7). Resduaal ova vomakkaas korrelounea lyhyllä vvellä. Pelkkä kausvahelun aheuama korrelaao uskn näkys esssä, sllä kaudenpuus on ja ny esaaan ennään vveellä 5 oleva resduaaleja.

21 Akasarja 5cP y Seres Kuva. SARMA(,)(,) - prosess, kauden puus. (5 ensmmäsä havanoa) Akasarjassa 5d (kuvassa ) on rend, jonka suuruus on nc,. Akasarjan ausalla on SARMA - prosess kaudenpuudella, johon on lsäy rend akasarjan 5b apaan. Trend ja AR - paramer evä ole arpeeks suura aheuamaan nollahypoeesn hylkäämsä lyhyen akasarjan apauksessa (p-arvo,), mua pkän akasarjan apauksessa es hälyää (parvo ). Lyhyesä esmouva paramer ˆ., ˆ. 789 ja pkäsä ˆ.69, ˆ.79. ˆ on varsn suur molemmssa apauksssa. Trend näkyy suurena esmaana ˆ : alussa havanno ova lähellä nollaa, ja lopussa ne ova järjeselmällses suura. Penä havanoa seuraa ss keskmäärn pen havano, ja suura suur, msä seurauksena on suur ˆ. Samankalasen havanojen kluseroumnen johuu rendsä, ekä ARCH - omnasuudesa, mua sähän suurmman uskoavuuden esmonmeneelmä e edä!

22 Akasarja 5dP 8 6 y Seres Kuva. SARMA, jossa rend.

23 6. Tulokse aulukouna PARAMETRIT 5 ˆ ESTIMAATIT ˆ ˆ ˆ 5 AS al,,8,78,8 E ap,79,785 K a,75,86 9 a,78,78 99 al,,59,7 ARCH() ap,79,785, ARCH() bl,5,5,77,69 E bp,567,7 K bl,, Y bp,66,7 Y bl,,7 A bp,565,7 A bl,5,56,, ARCH() bp,5,7,,66 ARCH() cl,,9, E cp,96,7 K c,8,9 c,99,65 99 cl,8,,,,8 ARCH() cp,8,6,,6,5 ARCH() al,,6,6,67, E ap,87,,78 K al,,, Y ap,87,96,7 Y al,6,69, A ap,88,,78 A al,568,7 ARCH() ap,69,87 ARCH() bl,5,5,,69,76, E bp,59,77,65 K bl,59,8 ARCH() bp,55,7 ARCH() L,,5,,,,,,,957,6, E P,68,6,7,5,7, K L,9,5, ARCH() P,67,8,9 ARCH() al,6, E ap,6,5 K bl,66, E bp,9,86 K 5aL,8, E 5aP,,8 E 5bL,5,57 K 5bP,66,8 K 5cL,6,7 E 5cP,99, K 5dL,,789 E 5dP,65,79 K ˆ ˆ Huom HS

24 Selyksä edellsen svun aulukkoon: AS Akasarja, HS heeroskedassuus, K heeroskedassuusesn p-arvo <,5, E aneso esn mukaan homoskedasnen (p-arvo >,5), Y havanoa muueu sommaks, A havanoa muueu penemmäks, huom - sarakkeessa numero x akasarjan puus on x. 7. Malln aseen määrämnen Soveaessa ARCH(p) - malleja akasarjohn aseluku p ol unneu generonnn peruseella. Tukn myös, men väärä aseluku vakuaa. Reaalmaalman akasarjojen synnyävä mekansmeja e ana varmuudella unnea. Jos akasarjaa epällään ARCH - prosessks, sen aseluku ulee selvää aneson peruseella. Yks apa on uka apuregresson regressokeromen a merksevyyä. Lkkeelle lähdeään regressosa a + a ε + e a pokkeaa ε. Mkäl kerron lasollses merkseväs nollasa, jakeaan kasvaamalla regressoasea, kunnes löyyy regresso, jonka jokn regressokerron (e kuenkaan vakoseläjä) e pokkea merkseväs nollasa. ARCH - malln aseluvuks valaan ällön seläjen lukumäärä vmesesä regressosa, jonka kakk aojen seläjen regressokerome ova merksevä. Tällasen regresson löyymsen vakeus (arvaan paljon seläjä) vaa shen, ee ARCH mall ole kovn hyvä selämään arkaselavaa lmöä/akasarjaa. Tonen apa vala malln ase on esmoda aluks ARCH() - malln paramer, ja muodosaa nden avulla varanssennusee kaavalla (9). Tämän jälkeen muodoseaan akasarja x kaavalla x y h. Jos x on valkosa kohnaa, valaan aseluvuks p. Mkäl e, esmodaan ARCH() - paramer ja jaeaan havanno hajonaennuseella, jonka jälkeen ukaan, onko x valkosa kohnaa. Nän jakeaan, kunnes saavueaan aseluku p, jolle x on valkosa kohnaa. Käyännön ARCH - prosessessa aseluku on kuenkn suheellsen pen, joen jos aselukua jouduaan kasvaamaan kohuuoman soks, on syyä meä malln rakennea uudesaan. Kuen on nähy, heeroskedassuuses, jolla ARCH - omnasuuden olemassaoloa esaaan, reago myös paljon muuhunkn kun ARCH - omnasuueen: avanomaseen heeroskedassuueen, rendn, rakenneosan väärään spesfkaaoon, auokorrelaaoon ja malln puuuvn seläjn.

25 5 8. Yheenveo ja johopääökse ARCH - omnasuus akasarjassa vaa usea kymmenä elle saoja havanoja lmenyäkseen kunnolla. havanoa on avan lan vähän, jos aoaan uka luoeavas akasarjan mahdollsa ARCH - omnasuua. Ensnnäkään heeroskedassuuses e hälyäny lyhyden ARCH - akasarjojen yheydessä keraakaan, jollon ARCH - omnasuua e huomau. Toseks esmaaoren hajona on suura, kun havanoja on van. Kolmanneks lyhye akasarja ova epäsableja, mllä arkoan, eä esmaa muuuva herkäs hyvnkn paljon akasarjassa apahuven muuosen suheen. Lyhyen akasarjan puuden muuumnen yhdellä yksköllä, yks vrheellnen havano esm. mausvrheen seurauksena a väärä (lan suur) aseluku aheuava poenaalses rajuja muuoksa esmaaehn. Pkllä akasarjolla vakavaa epäsablsuusongelmaa e ole. Lan suur aseluku e aheua soja ongelma parameresmonn pksä akasarjosa. Lan penellä aseluvulla puolesaan on apumusa kasvaaa parameresmaaa ˆ lan suureks. Heeroskedassuusesn käyöön ARCH - omnasuuden paljasajana lyy monenlasa ongelma. Pken akasarjojen yheydessä es reago muhnkn lmöhn kun ARCH - omnasuueen, ekä hälyyksen syyä välämää kyeä varmuudella eroamaan. Sen äyyy olla varovanen pääelmssään esn peruseella. ARCH - omnasuuden pääelemseks ols hyvä olla muuakn evdenssä. Ennen kun anesolle esmodaan ARCH - paramer, ulee varmsaa muuama asoa. Heeroskedassuusesn ulee hälyää, ekä hälyyksen syynä saa olla mään lmesä kuen rendä. Malln aseluku ulee määrää oken, anakaan se e saa jäädä lan peneks. Ooksen ulee olla rävän suur, joa esmaa olsva arkkoja. Akasarjan puus myös kompenso mahdollsa penä vrheä. Esmonnn uloksena ulee synyä järkevä lukema el nden ulee oeuaa eoraosassa manu ehdo. Kuva ja lmenävä hyvn ARCH - prosessn perusomnasuua, varanssn vahelua. Isesarvolaan suur havano mplko seuraavan havannon suuren hajonnan, joka odennäköses mplko sesarvolaan suuren havannon ja vasaavas penlle havannolle. Kuva lmenää onnsunua esmona. Kuvassa näkyy vrheellsen parameresmaaen vakuus. Akasarjan al paramer ja esmon penks, jollon varanss on lkman vako koko ajan.

26 6 Akasarjan al varanss,5,5 var es,5, Kuva. Akasarjan al 'odellnen'el generonnssa käyey varanss h (var) ja sen esmaa h (es). Akasarja kulkeva lähes päällekkän. Akasarjan al varanss var es havano Kuva. Esmonnn ulos, kun esmaa pokkeava paljon generonnssa käyeysä. Koko ajan varanssesmaa on kaukana odellsesa varansssa (huomaa pysyakseln skaala).

27 7 Lähee Engle, R: Auoregressve condonal heeroscedascy wh esmaes of he varance of Uned Kngdom. Economerca 5. Menen, J: ARCH -mall ja heysfunkoennusamnen. Pro gradu -ukelma, Helsngn ylopso. hp:// Pajunen, P: TKK:n T-6.8 Sgnaalen lasollnen mallnnus -kurssn luenomaeraal